Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Bachelor Year 3

13Hilbertruimten

Een hilbertruimte is een banachruimte waarvan de norm van een inwendig product komt — en die ene extra structuur herstelt in oneindige dimensie zo goed als de hele euclidische meetkunde: orthogonale projecties bestaan, elke continue functionaal is een inwendig product tegen een vaste vector (Riesz), en orthonormale bases ontwikkelen elke vector in een convergente reeks met een pythagoreïsche boekhouding (Parseval). Het hoogtepunt van dit hoofdstuk is een ingeloste schuld: het trigonometrische stelsel is een orthonormale basis van $L^2$ , zodat de identiteit van Parseval voor elke kwadratisch integreerbare functie geldt — de uitspraak die het volume van bachelorjaar 2 alleen voor stuksgewijs $\mathcal C^1$ -functies kon bewijzen. We eindigen met Lax–Milgram, het werkpaard van de variationele aanpak van differentiaalvergelijkingen.

Overal is $H$ een vectorruimte over $K = \R$ of $\C$ .

13.1 Inwendige producten; de projectiestelling

Definitie 13.1

Een inwendig product is een afbeelding $\langle \cdot,\cdot\rangle \colon H\times H \to K$ die lineair is in de tweede veranderlijke, met $\langle y, x\rangle = \overline{\langle x, y\rangle}$ en $\langle x, x\rangle > 0$ voor $x \neq 0$ . Ze induceert de norm $\norm x = \langle x, x\rangle^{1/2}$ , de ongelijkheid van Cauchy–Schwarz $\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x\norm y$ (het bewijs uit het volume van bachelorjaar 2 — de discriminant — blijft ongewijzigd) en de parallellogramwet

\norm{x + y}^2 + \norm{x - y}^2 = 2\norm x^2 + 2\norm y^2 .

Een hilbertruimte is een ruimte met inwendig product die volledig is voor deze norm. Voorbeelden: $\ell^2$ (Probleem 8.1) en, het fundamentele geval, $L^2(\mu)$ met $\langle f, g\rangle = \int\bar fg\,\dd\mu$ — volledig volgens Riesz–Fischer (Stelling 12.4); het inwendig product is eindig volgens Cauchy–Schwarz ( $=$ Hölder bij $p = q = 2$ ).

Stelling 13.2 (Projectie op een gesloten convexe verzameling)

Zij $C \neq \varnothing$ een gesloten convexe deelruimte van de hilbertruimte $H$ en $x \in H$ . Er is een unieke $p_C(x) \in C$ met

\norm{x - p_C(x)} = d(x, C),

gekarakteriseerd door: $\operatorname{Re}\langle x - p_C(x),\ c - p_C(x)\rangle \leq 0$ voor alle $c \in C$ . De afbeelding $p_C$ is $1$ -lipschitz.

Bewijs. Zij $d = d(x, C)$ en $(c_n) \subseteq C$ met $\norm{x - c_n} \to d$ . Parallellogram op $x - c_n$ en $x - c_m$ :

\norm{c_n - c_m}^2 = 2\norm{x - c_n}^2 + 2\norm{x - c_m}^2 - 4\,\bigl\|x - \tfrac{c_n + c_m}2\bigr\|^2 \leq 2\norm{x{-}c_n}^2 + 2\norm{x{-}c_m}^2 - 4d^2

(de convexiteit legt het midden in $C$ ): het rechterlid gaat naar $0$ , dus is $(c_n)$ cauchy, en haar limiet $p \in C$ (gesloten) bereikt $d$ . Uniciteit: twee minimalisatoren geven met dezelfde identiteit $\norm{p - p'}^2 \leq 2d^2 + 2d^2 - 4d^2 = 0$ .

Karakterisering: voor $c \in C$ en $t \in \intoc01$ ligt de vector $p + t(c - p)$ in $C$ , dus

d^2 \leq \norm{x - p - t(c-p)}^2 = d^2 - 2t\operatorname{Re}\langle x - p, c - p\rangle + t^2\norm{c-p}^2 ;

deel door $t$ en laat $t \to 0^+$ : $\operatorname{Re}\langle x - p, c - p\rangle \leq 0$ . Omgekeerd geeft deze ongelijkheid $\norm{x - c}^2 = \norm{x - p}^2 - 2\operatorname{Re}\langle x - p, c - p\rangle + \norm{p - c}^2 \geq \norm{x-p}^2$ . Lipschitz: tel voor $x, y$ met projecties $p, q$ de twee variationele ongelijkheden op (met $c = q$ respectievelijk $c = p$ ): $\operatorname{Re}\langle x - y - (p - q), p - q\rangle \geq 0$ , dus $\norm{p - q}^2 \leq \operatorname{Re}\langle x - y, p - q\rangle \leq \norm{x - y}\norm{p - q}$ . ∎

Stelling 13.3 (Orthogonale ontbinding)

Zij $F$ een gesloten deelruimte van $H$ . Dan is $p_F$ lineair, is $x - p_F(x) \perp F$ voor alle $x$ , en geldt

H = F \oplus F^\perp, \qquad F^\perp = \{y : \langle y, f\rangle = 0\ \forall f\in F\}, \qquad (F^\perp)^\perp = F .

Voor een algemene deelruimte is $(F^\perp)^\perp = \bar F$ ; in het bijzonder ligt $F$ dicht dan en slechts dan als $F^\perp = \{0\}$ .

Bewijs. Voor een deelruimte dwingt de variationele karakterisering met $c = p_F(x) \pm f$ ( $f \in F$ , beide tekens, en $\iu f$ in het complexe geval) af dat $\langle x - p_F(x), f\rangle = 0$ : het residu staat loodrecht op $F$ . Ontbinding $x = p_F(x) + (x - p_F(x))$ met $F \cap F^\perp = \{0\}$ (want $\langle y, y \rangle = 0$ ); de lineariteit van $p_F$ volgt uit de uniciteit van dergelijke ontbindingen (beide leden zijn er lineair in). Altijd is $(F^\perp)^\perp \supseteq F$ ; omgekeerd, staat $x$ loodrecht op $F^\perp$ , schrijf dan $x = f + g$ : dan is $g = x - f \in F^\perp$ en $\langle g, g\rangle = \langle x, g\rangle - \langle f, g\rangle = 0$ , dus $x = f \in F$ . Voor een algemene deelruimte $F$ is $F^\perp = \bar F^{\,\perp}$ (continuïteit van het inwendig product), zodat $(F^\perp)^\perp = \bar F$ volgens het gesloten geval; en dichtheid geldt dan en slechts dan als $\bar F = H$ , dat wil zeggen $F^\perp = 0$ . ∎

Stelling 13.4 (Representatiestelling van Riesz)

Voor elke continue lineaire functionaal $\varphi \in H'$ is er een unieke $a \in H$ met

\varphi(x) = \langle a, x\rangle \quad (x \in H), \qquad \norm\varphi_{H'} = \norm a .

Bewijs. Is $\varphi = 0$ , neem dan $a = 0$ . Anders is $F = \ker\varphi$ een gesloten echte deelruimte; kies $u \in F^\perp$ met $\norm u = 1$ (Stelling 13.3: $F^\perp \neq 0$ omdat $F \neq H$ ). Voor elke $x$ ligt de vector $\varphi(x)u - \varphi(u)x$ in $\ker\varphi$ , dus $\perp u$ :

0 = \langle u, \varphi(x)u - \varphi(u)x\rangle = \varphi(x) - \varphi(u)\langle u, x\rangle : \qquad \varphi(x) = \langle \overline{\varphi(u)}\,u,\ x\rangle .

Dus voldoet $a = \overline{\varphi(u)}u$ . Uniciteit: $\langle a - a', x\rangle = 0$ voor alle $x$ , test met $x = a - a'$ . Normen: $\abs{\varphi(x)} \leq \norm a\norm x$ (Cauchy–Schwarz), met gelijkheid bij $x = a$ . ∎

Voorbeeld 13.5 (Een projectie, tot het einde berekend)

Wat is in $H = L^2(\intcc01)$ de beste benadering van $f(x) = x^2$ door een affiene functie? De deelruimte $F = \operatorname{Vect}(1, x)$ is gesloten (eindigdimensionaal), en $p_F(f) = a + bx$ wordt gekarakteriseerd door de orthogonaliteit van het residu op $1$ en op $x$ :

\int_0^1(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0, \qquad \int_0^1x\,(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0,

dat wil zeggen $\frac13 = a + \frac b2$ en $\frac14 = \frac a2 + \frac b3$ : dus $a = -\frac16$ en $b = 1$ . Bijgevolg is $p_F(x^2) = x - \frac16$ , en de fout is

d(f, F)^2 = \int_0^1\Bigl(x^2 - x + \frac16\Bigr)^2\dd x = \frac1{180}, \qquad d(f, F) = \frac1{6\sqrt5} .

Twee opmerkingen die het onthouden waard zijn. Ten eerste is de berekening niets anders dan een $2\times2$ -stelsel — de normaalvergelijkingen; voor de monoombasis is hun matrix $\bigl(\frac1{i+j+1}\bigr)$ de berucht slecht geconditioneerde hilbertmatrix, en eerst orthogonaliseren (legendreveeltermen, Probleem 13.1) is het geneesmiddel. Ten tweede is de beste uniforme benadering van $x^2$ door affiene functies een andere ( $x - \frac18$ , wegens de gelijkmatige oscillatie): elke norm heeft haar eigen meetkunde, en alleen de hilbertiaanse antwoordt met een lineair stelsel.

13.2 Orthonormale bases

Definitie 13.6

Een familie $(e_i)_{i\in I}$ heet orthonormaal als $\langle e_i, e_j\rangle = \delta_{ij}$ , en een hilbertbasis (orthonormale basis) als bovendien haar eindige lineaire combinaties dicht liggen in $H$ (de familie is totaal). We behandelen het aftelbare geval $I = \N$ , dat via Gram–Schmidt elke separabele $H$ dekt (Propositie 13.8).

Stelling 13.7 (Bessel, Parseval)

Zij $(e_n)_{n\in\N}$ orthonormaal in $H$ , en $c_n(x) = \langle e_n, x\rangle$ .

(Bessel) $\sum_n\abs{c_n(x)}^2 \leq \norm x^2$ , en de reeks $\sum_nc_n(x)e_n$ convergeert in $H$ , met som $p_F(x)$ , waarbij $F = \overline{\operatorname{Vect}}(e_n)$ .
De volgende uitspraken zijn gelijkwaardig: (i) $(e_n)$ is een hilbertbasis; (ii) $x = \sum_nc_n(x)e_n$ voor elke $x$ ; (iii) Parseval: $\norm x^2 = \sum_n\abs{c_n(x)}^2$ voor elke $x$ ; (iv) de enige vector die loodrecht staat op alle $e_n$ is $0$ .
Is $(e_n)$ een hilbertbasis, dan is $x \mapsto (c_n(x))_n$ een isometrisch isomorfisme $H \to \ell^2$ (elke oneindigdimensionale separabele hilbertruimte “is” $\ell^2$ ), en is $\langle x, y\rangle = \sum_n\overline{c_n(x)}c_n(y)$ .

Bewijs. (1) Voor eindige $N$ is $x - \sum_{n\leq N}c_ne_n \perp e_k$ ( $k \leq N$ ), zodat Pythagoras $\norm x^2 = \sum_{n\leq N}\abs{c_n}^2 + \norm{x - \sum_{n\leq N}c_ne_n}^2$ geeft: dat is Bessel. De partiële sommen $S_N = \sum_{n\leq N}c_ne_n$ zijn cauchy: $\norm{S_N - S_M}^2 = \sum_{M<n\leq N}\abs{c_n}^2$ , de staart van een convergente reeks; de limiet ligt in $F$ , en $x - \lim S_N$ staat loodrecht op elke $e_k$ (continuïteit), dus $\perp F$ : wegens de uniciteit van de orthogonale ontbinding is $\lim S_N = p_F(x)$ .

(2) (i) $\Rightarrow$ (ii): $F = H$ , dus $p_F = \mathrm{id}$ . (ii) $\Rightarrow$ (iii): Pythagoras in de limiet ( $\norm{S_N}^2 = \sum_{n \leq N}\abs{c_n}^2 \to \norm x^2$ ). (iii) $\Rightarrow$ (iv): staat $x$ loodrecht op alle $e_n$ , dan is $\norm x^2 = 0$ . (iv) $\Rightarrow$ (i): $F^\perp = \{0\}$ (loodrecht staan op alle $e_n$ is loodrecht staan op $F$ ), dus ligt $F$ dicht volgens Stelling 13.3; maar $F$ is als afsluiting al gesloten: dus $F = H$ .

(3) De afbeelding is lineair, isometrisch volgens (iii) (dus injectief) en surjectief: is $(c_n) \in \ell^2$ gegeven, dan convergeert de reeks $\sum c_ne_n$ (cauchy als in (1)) naar een origineel. De formule voor het inwendig product is polarisatie uit (iii), of een rechtstreekse limietberekening. ∎

Propositie 13.8 (Gram–Schmidt)

Zij $(x_n)$ een lineair onafhankelijke rij. Inductief $\tilde e_n = x_n - \sum_{k<n}\langle e_k, x_n\rangle e_k$ en $e_n = \tilde e_n/\norm{\tilde e_n}$ stellen levert een orthonormale $(e_n)$ op met dezelfde eindige opspansels: $\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_n) = \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_n)$ . Bijgevolg heeft elke separabele hilbertruimte (een ruimte met een aftelbare dichte deelverzameling) een hilbertbasis.

Bewijs. Inductie: per constructie is $\tilde e_n \perp e_k$ ( $k < n$ ), en $\tilde e_n \neq 0$ wegens de onafhankelijkheid; de opspansels komen in elke stap overeen (driehoekige basisverandering). Voor een separabele $H$ : haal uit een dichte rij een lineair onafhankelijke deelfamilie met dicht opspansel (gooi elke vector weg die in het opspansel van zijn voorgangers ligt — het opspansel verandert niet) en orthonormaliseer: het resultaat is totaal. ∎

Stelling 13.9 (Het trigonometrische stelsel; Parseval, eindelijk)

In $L^2(\intcc{-\pi}\pi)$ met $\langle f, g\rangle = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \bar fg$ is de familie $e_n(t) = \eu^{\iu nt}$ , $n \in \Z$ , een hilbertbasis. Bijgevolg geldt voor elke $f \in L^2$ — in het bijzonder elke stuksgewijs continue $2\pi$ -periodieke $f$ — met $c_n(f) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\eu^{-\iu nt}\dd t$ :

f = \sum_{n\in\Z}c_n(f)\,\eu^{\iu nt} \ \ \text{in } L^2, \qquad \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs f^2 = \sum_{n\in\Z}\abs{c_n(f)}^2 .

Dit bewijst in volle algemeenheid de identiteit van Parseval die het volume van bachelorjaar 2 zonder bewijs aannam.

Bewijs. De orthonormaliteit is een rechtstreekse berekening (volume van bachelorjaar 2). Totaliteit: zij $f \in L^2$ loodrecht op alle $e_n$ , dat wil zeggen met verdwijnende fouriercoëfficiënten. De continue $2\pi$ -periodieke functies liggen dicht in $L^2(\intcc{-\pi}\pi)$ : inderdaad ligt $\mathcal C_c(\intoo{-\pi}\pi)$ dicht (Stelling 12.6(2)) en zulke functies breiden periodiek en continu uit. Trigonometrische veeltermen liggen $\norm\cdot_\infty$ -dicht in de continue periodieke functies (Stone–Weierstrass, Gevolg 7.16(c)), en $\norm\cdot_2 \leq \norm\cdot_\infty$ : dus liggen trigonometrische veeltermen dicht in $L^2$ . Maar $f$ staat loodrecht op elke trigonometrische veelterm, dus loodrecht op een dichte deelruimte: $f \in (\text{dicht})^\perp = \{0\}$ (Stelling 13.3). Criterium (iv) van Stelling 13.7 besluit; (ii) en (iii) vertalen zich in de weergegeven formules (na herindexering van het aftelbare $\Z$ ; de tweezijdige reeks convergeert onvoorwaardelijk — de partiële sommen over elke uitputtende familie convergeren, volgens het staartargument in $\ell^2$ ). ∎

Stelling 13.10 (Lax–Milgram)

Zij $H$ een reële hilbertruimte en $a \colon H\times H \to \R$ bilineair, continu ( $\abs{a(u,v)} \leq M\norm u\norm v$ ) en coërcief ( $a(u, u) \geq \alpha\norm u^2$ , met $\alpha > 0$ ). Dan is er voor elke $\varphi \in H'$ een unieke $u \in H$ met

a(u, v) = \varphi(v) \qquad \text{voor alle } v \in H .

Bewijs. Voor vaste $u$ is $v \mapsto a(u, v)$ continu lineair: Riesz geeft een unieke $Au \in H$ met $a(u,v) = \langle Au, v\rangle$ ; $A$ is lineair met $\norm{Au} \leq M\norm u$ (uniciteit van de vertegenwoordigers, dan de afschatting). Coërciviteit: $\alpha\norm u^2 \leq a(u,u) = \langle Au, u\rangle \leq \norm{Au}\norm u$ , dus $\norm{Au} \geq \alpha\norm u$ : $A$ is injectief met gesloten beeld (een cauchyrij $Au_n$ in het beeld dwingt af dat $(u_n)$ cauchy is). Het beeld ligt dicht: staat $w$ loodrecht op $\operatorname{im}A$ , dan is $0 = \langle Aw, w\rangle \geq \alpha\norm w^2$ . Gesloten en dicht: dus is $A$ bijectief. Zij $\varphi$ gegeven, $f$ haar vertegenwoordiger (Riesz) en $u = A^{-1}f$ : dan is $a(u, v) = \langle f, v\rangle = \varphi(v)$ , en dat op unieke wijze ( $a(u - u', \cdot) = 0$ plus coërciviteit). ∎

Opmerking 13.11

Is $a$ symmetrisch, dan is de oplossing van Lax–Milgram de unieke minimalisator van de energie $J(v) = \frac12a(v,v) - \varphi(v)$ (Oefening 13.9): het bestaan van oplossingen van variatieproblemen in één klap. Toegepast op geschikte functieruimten (de sobolevruimten van een latere cursus) lost dit randwaardeproblemen voor differentiaalvergelijkingen op — de moderne toegangspoort tot de partiële differentiaalvergelijkingen.

13.3 Oefeningen

Oefening 13.1 ★

(a) Bewijs de polarisatie-identiteiten (reëel: $4\langle x, y\rangle = \norm{x+y}^2 - \norm{x-y}^2$ ; complex: de versie met vier termen). (b) Toon aan dat $\norm\cdot_1$ op $L^1(\intcc01)$ en $\norm\cdot_\infty$ op $\mathcal C(\intcc01)$ de parallellogramwet schenden: deze normen komen van geen enkel inwendig product.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.1.

(a) Reëel: ontwikkel $\norm{x \pm y}^2 = \norm x^2 \pm 2\langle x,y\rangle + \norm y^2$ en trek af. Complex (het inwendig product lineair in de tweede plaats): met dezelfde ontwikkeling

\langle x, y\rangle = \frac14\sum_{k=0}^{3} \iu^k\,\bigl\|\iu^kx + y\bigr\|^2,

waarbij elke term $\iu^k\cdot2\operatorname{Re}\bigl( (-\iu)^k\langle x,y\rangle\bigr)$ bijdraagt, met som $4\langle x,y\rangle$ (ga de vier waarden van $k$ na; verder is $\sum\iu^k (\norm x^2 + \norm y^2) = 0$ ).

(b) $L^1$ : neem $f = \mathbf 1_{\intcc0{1/2}}$ en $g = \mathbf 1_{\intcc{1/2}1}$ : dan is $\norm{f\pm g}_1^2 = 1$ voor beide tekens, samen $2$ ; terwijl $2\norm f_1^2 + 2\norm g_1^2 = 1 \neq 2$ . Supremumnorm: $f = \mathbf 1$ en $g(t) = t$ op $\intcc01$ : $\norm{f + g}_\infty^2 + \norm{f-g}_\infty^2 = 4 + 1 = 5 \neq 4 = 2 + 2$ . Omdat ze de parallellogramwet schenden, worden deze normen door geen enkel inwendig product geïnduceerd (dat zou ze door rechtstreeks ontwikkelen afdwingen).

Oefening 13.2 ★

In $H = L^2(\intcc01)$ (reëel): (a) bereken de projectie van $f$ op de deelruimte van de constante functies, en interpreteer; (b) bereken de projectie op $\{g : g = 0 \text{ b.o.\ op } \intcc0{1/2}\}$ ; (c) bereken $d\bigl(x \mapsto x,\ \operatorname{Vect}(\mathbf 1)\bigr)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.2.

(a) $p(f) = \bigl(\int_0^1f\bigr)\mathbf 1$ : inderdaad staat $f - \int f$ loodrecht op de constanten ( $\int(f - \int f)c = 0$ ). De beste constante benadering van $f$ in kwadratisch gemiddelde is haar gemiddelde — het eerste geval van een voorwaardelijke verwachting (Hoofdstuk 22).

(b) $p(f) = f\,\mathbf 1_{\intcc{1/2}1}$ : het verschil $f\mathbf 1_{\intcc0{1/2}}$ staat loodrecht op elke $g$ die op $\intcc0{1/2}$ verdwijnt.

Oefening 13.3 ★★

(a) Toon voor een deelruimte $F$ aan: $F$ ligt dicht $\iff$ $F^\perp = \{0\}$ , en geef in $\ell^2$ een voorbeeld van een echte dichte deelruimte (dus $F^\perp = 0$ zonder dat $F = H$ : de ontbindingsstelling heeft $F$ gesloten werkelijk nodig). (b) Toon aan dat uit $x_n \to x$ en $y_n \to y$ in norm volgt dat $\langle x_n, y_n\rangle \to \langle x, y\rangle$ , en wijs twee plaatsen aan waar het hoofdstuk deze continuïteit gebruikte.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.3.

(a) De gelijkwaardigheid is Stelling 13.3 ( $\bar F = (F^\perp)^\perp$ , en $\bar F = H \iff F^\perp = \{0\}$ ). Voorbeeld: de ruimte $F$ van de eindige rijen ligt dicht in $\ell^2$ (afknotten) en is echt: $F^\perp = \{0\}$ terwijl $F \neq \ell^2$ — voor een niet gesloten deelruimte faalt $H = F \oplus F^\perp$ overduidelijk ( $F \oplus \{0\} \neq H$ ).

(b) $\abs{\langle x_n, y_n\rangle - \langle x, y\rangle} \leq \abs{\langle x_n - x, y_n\rangle} + \abs{\langle x, y_n - y\rangle} \leq \norm{x_n - x}\sup_n\norm{y_n} + \norm x\,\norm{y_n - y} \to 0$ (convergente rijen zijn begrensd). Gebruikt: in Stelling 13.7(1) om te zien dat $x - \lim S_N \perp e_k$ , en in Stelling 13.3 om te zien dat $F^\perp = \bar F^{\,\perp}$ .

Oefening 13.4 ★★

Pas Gram–Schmidt toe op $1, x, x^2$ in $L^2(\intcc{-1}1)$ (lebesguemaat): verkrijg de eerste drie genormeerde legendreveeltermen en ga na dat ze samenvallen met $\sqrt{n + \frac12}\,P_n$ voor de rodriguesveeltermen $P_n$ van Probleem 13.1.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.4.

$e_0 = \frac1{\sqrt2}$ . Vervolgens staat $x$ al loodrecht op $\mathbf 1$ ( $\int_{-1}^1x = 0$ ), en $\int_{-1}^1x^2 = \frac23$ : dus $e_1 = \sqrt{\tfrac32}\,x$ . Daarna is $x^2 - \langle e_0, x^2\rangle e_0 = x^2 - \frac13$ (en $\perp e_1$ wegens de pariteit), met

\int_{-1}^1\Bigl(x^2 - \frac13\Bigr)^2\dd x = \frac25 - \frac49 + \frac29 = \frac{8}{45}: \qquad e_2 = \sqrt{\tfrac{45}8}\,\Bigl(x^2 - \frac13\Bigr).

Vergelijking: $P_0 = 1$ , $P_1 = x$ , $P_2 = \frac{3x^2 - 1}2$ , en $\sqrt{n + \tfrac12}\,P_n$ geeft $\frac1{\sqrt2}$ , $\sqrt{\frac32}x$ , $\sqrt{\frac52}\,\frac{3x^2-1}2 = \sqrt{\frac{45}8}\bigl(x^2 - \frac13\bigr)$ : precies $e_0, e_1, e_2$ .

Oefening 13.5 ★★

Pas Parseval (Stelling 13.9) toe op $f(t) = t$ en $f(t) = t^2$ op $\intcc{-\pi}\pi$ — nu voor deze functies rechtmatig (continu, maar vroeger vroeg de identiteit om zorgvuldigheid met stuksgewijs $\mathcal C^1$ bij de sprong aan de rand): vind opnieuw

\sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6, \qquad \sum_{n\geq1}\frac1{n^4} = \frac{\pi^4}{90} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.5.

Voor $f(t) = t$ : $c_0 = 0$ en, na partiële integratie, $c_n = \frac{\iu(-1)^n}{n}$ voor $n \neq 0$ : dus $\abs{c_n}^2 = \frac1{n^2}$ . Parseval:

\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\dd t = \frac{\pi^2}3 = \sum_{n\neq0}\frac1{n^2} = 2\sum_{n\geq1}\frac1{n^2} \ \Longrightarrow\ \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6 .

Voor $f(t) = t^2$ : $c_0 = \frac{\pi^2}3$ en $c_n = \frac{2(-1)^n}{n^2}$ ( $n \ne 0$ ). Parseval:

\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^4\dd t = \frac{\pi^4}5 = \frac{\pi^4}9 + \sum_{n\neq0}\frac4{n^4} \ \Longrightarrow\ \sum_{n\geq1}\frac1{n^4} = \frac18\Bigl(\frac{\pi^4}5 - \frac{\pi^4}9\Bigr) = \frac{\pi^4}{90} .

Er is geen enkel voorbehoud over stuksgewijs $\mathcal C^1$ nodig: Stelling 13.9 dekt elke $L^2$ -functie.

Oefening 13.6 ★★

(a) Zoek $a \in L^2(\intcc01)$ met $\int_0^{1/2}f = \langle a, f\rangle$ voor alle $f$ ; bereken $\norm\varphi$ voor deze functionaal. (b) Toon aan dat de evaluatie $f \mapsto f(\frac12)$ , gedefinieerd op de deelruimte $\mathcal C(\intcc01) \subseteq L^2(\intcc01)$ , niet continu is voor $\norm\cdot_2$ : er bestaat geen vertegenwoordiger van Riesz (evaluatie is geen $L^2$ -begrip).

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.6.

(a) $\varphi(f) = \int_0^{1/2}f = \langle\mathbf 1_{\intcc0{1/2}},\ f\rangle$ : de vertegenwoordiger is $a = \mathbf 1_{\intcc0{1/2}}$ , en $\norm\varphi = \norm a_2 = \frac1{\sqrt2}$ (Stelling 13.4).

(b) Neem de tentfuncties $f_n$ met piek $1$ in $\frac12$ en een drager van breedte $\frac2n$ : dan is $f_n(\tfrac12) = 1$ terwijl $\norm{f_n}_2^2 \leq \frac2n \to 0$ : geen enkele constante $C$ kan $\abs{f(\frac12)} \leq C\norm f_2$ geven. Puntsgewijze evaluatie is betekenisloos in $L^2$ — de elementen zijn klassen modulo nulverzamelingen — en deze berekening is de kwantitatieve reden.

Oefening 13.7 ★★★

Zij $H$ separabel met hilbertbasis $(e_n)$ , en $(x_k)$ een begrensde rij. (a) Toon aan dat een deelrij zwak convergeert: er is een $x$ met $\langle y, x_{k_j}\rangle \to \langle y, x\rangle$ voor elke $y \in H$ . (Diagonaalextractie op de coëfficiënten $\langle e_n, x_k\rangle$ ; stel $x$ samen met Bessel en de uniforme begrensdheid van de normen.) (b) Toon aan dat $e_n \rightharpoonup 0$ terwijl $\norm{e_n} = 1$ : zwakke limieten kunnen norm verliezen. Toon in (a) aan dat $\norm x \leq \liminf\norm{x_{k_j}}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.7.

(a) Zij $M = \sup_k\norm{x_k}$ . De scalaire rijen $(\langle e_n, x_k\rangle)_k$ zijn begrensd door $M$ : een diagonaalextractie levert $x_{k_j}$ met $\langle e_n, x_{k_j}\rangle \to \gamma_n$ voor elke $n$ . Voor elke $N$ is $\sum_{n\leq N}\abs{\gamma_n}^2 = \lim_j\sum_{n\leq N}\abs{\langle e_n, x_{k_j}\rangle}^2 \leq M^2$ (Bessel), dus $(\gamma_n) \in \ell^2$ en $x = \sum_n\gamma_ne_n \in H$ (Stelling 13.7(3)). Voor $y \in H$ :

\abs{\langle y, x_{k_j} - x\rangle} \leq \Bigl|\sum_{n\leq N}\overline{c_n(y)}\bigl(\langle e_n, x_{k_j}\rangle - \gamma_n\bigr)\Bigr| + 2M\Bigl(\sum_{n>N}\abs{c_n(y)}^2\Bigr)^{1/2},

met de ontwikkeling $\langle y, z\rangle = \sum\overline{c_n(y)}c_n(z)$ en Cauchy–Schwarz op de staart; kies eerst $N$ , dan $j$ : zwakke convergentie naar $x$ .

(b) $\langle y, e_n\rangle = c_n(y) \to 0$ voor elke $y$ ( $\ell^2$ -staarten): dus $e_n \rightharpoonup 0$ , terwijl $\norm{e_n} = 1$ : de norm is niet zwak continu. In (a): $\norm x^2 = \sum\abs{\gamma_n}^2 \leq \liminf_j\norm{x_{k_j}}^2$ (eindige afsnijdingen en opnieuw Bessel): zwakke limieten kunnen alleen norm verliezen.

Oefening 13.8 ★★

(Toegevoegde operatoren) Toon voor $T \in \mathcal L(H)$ aan dat er een unieke $T^* \in \mathcal L(H)$ is met $\langle Tx, y\rangle = \langle x, T^*y\rangle$ (Riesz), en dat $\vertiii{T^*} = \vertiii T$ . Bereken de toegevoegde van de verschuiving $S$ op $\ell^2$ en bewijs $\ker T^* = (\operatorname{im}T)^\perp$ — leid daaruit $\overline{\operatorname{im}T} = (\ker T^*)^\perp$ af.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.8.

Voor vaste $y$ is $x \mapsto \langle y, Tx\rangle$ een continue lineaire functionaal; Riesz geeft een unieke $T^*y$ met $\langle y, Tx\rangle = \langle T^*y, x\rangle$ voor alle $x$ — na toevoeging is $\langle Tx, y\rangle = \langle x, T^*y\rangle$ . De uniciteit maakt $T^*$ lineair; en

\norm{T^*y} = \sup_{\norm x = 1}\abs{\langle T^*y, x\rangle} = \sup_{\norm x=1}\abs{\langle y, Tx\rangle} \leq \vertiii T\,\norm y,

dus $\vertiii{T^*} \leq \vertiii T$ , en $T^{**} = T$ geeft gelijkheid. Verschuiving: $\langle Sx, y\rangle = \sum_{n\geq1} x_n\bar y_{n+1} = \langle x, S^*y\rangle$ met $(S^*y)_n = y_{n+1}$ : de achterwaartse verschuiving. Kern en beeld: $T^*y = 0$ dan en slechts dan als $\langle x, T^*y\rangle = 0$ voor alle $x$ , dan en slechts dan als $\langle Tx, y\rangle = 0$ voor alle $x$ , dan en slechts dan als $y \perp \operatorname{im}T$ : dus $\ker T^* = (\operatorname{im}T)^\perp$ ; het orthogonaal complement nemen en Stelling 13.3 gebruiken geeft $\overline{\operatorname{im}T} = (\ker T^*)^\perp$ .

Oefening 13.9 ★★

Zij $a$ als in Lax–Milgram en bovendien symmetrisch. Toon aan dat $u$ de vergelijking $a(u, \cdot) = \varphi$ oplost dan en slechts dan als $u$ de functionaal $J(v) = \frac12a(v, v) - \varphi(v)$ minimaliseert, en dat het minimum in precies één punt wordt bereikt. (Kwadraat afsplitsen: $J(u + w) - J(u) = \frac12a(w,w) \geq \frac\alpha2\norm w^2$ .) Toepassing: leid de projectiestelling voor gesloten deelruimten opnieuw af uit Lax–Milgram.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.9.

Is $a(u, \cdot) = \varphi$ , dan is voor elke $w$

J(u + w) - J(u) = a(u, w) - \varphi(w) + \tfrac12a(w,w) = \tfrac12a(w,w) \geq \tfrac\alpha2\norm w^2,

strikt positief voor $w \neq 0$ : dus is $u$ de unieke minimalisator. Omgekeerd heeft in een minimalisator de functie $t \mapsto J(u + tw)$ (een kwadratische veelterm in $t$ ) afgeleide $0$ in $0$ : $a(u, w) - \varphi(w) = 0$ voor elke $w$ . De projectie opnieuw afgeleid: pas voor een gesloten deelruimte $F$ Lax–Milgram toe op de hilbertruimte $F$ met $a(u,v) = \langle u, v\rangle$ ( $M = \alpha = 1$ ) en $\varphi(v) = \langle x, v\rangle$ : er is een unieke $p \in F$ met $\langle p, v\rangle = \langle x, v\rangle$ voor alle $v \in F$ , dat wil zeggen $x - p \perp F$ — en volgens het symmetrische geval minimaliseert $p$ op $F$ de uitdrukking $\frac12\norm v^2 - \langle x, v\rangle = \frac12\norm{v - x}^2 - \frac12\norm x^2$ : de projectie.

Oefening 13.10 ★★★

(Het stelsel van Haar) Stel op $\intcc01$ $h_{0} = \mathbf 1$ , en voor $n = 2^j + k$ ( $j \geq 0$ , $0 \leq k < 2^j$ ):

h_n = 2^{j/2}\Bigl(\mathbf 1_{[k2^{-j},\,(k + \frac12)2^{-j})} - \mathbf 1_{[(k+\frac12)2^{-j},\,(k+1)2^{-j})} \Bigr).

Toon aan dat $(h_n)_{n\geq0}$ orthonormaal en totaal is in $L^2(\intcc01)$ . (Orthogonaliteit: disjuncte of geneste dragers; totaliteit: de eindige opspansels bevatten alle dyadische trapfuncties, en die liggen dicht — via Stelling 12.6(1) en dyadische benadering van intervallen.) Het stelsel van Haar is de voorvader van de wavelets.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.10.

Normering: $\int h_n^2 = 2^j\cdot 2^{-j} = 1$ . Orthogonaliteit: twee verschillende haarfuncties hebben ofwel disjuncte (inwendige van hun) dragers (product b.o. nul), ofwel ligt de drager van de fijnste in een halfinterval waarop de grofste constant is — dan is de integraal van het product die constante maal $\int h_{\text{fijnste}} = 0$ ; tegen $h_0 = \mathbf 1$ is het opnieuw $\int h_n = 0$ . Totaliteit: het opspansel van $\{h_0, \dots, h_{2^J-1}\}$ bestaat uit trapfuncties op het dyadische rooster met stap $2^{-J}$ ; beide ruimten hebben dimensie $2^J$ en de haarfuncties zijn onafhankelijk (orthonormaal): dus is het opspansel alle zulke trapfuncties. Dyadische trapfuncties liggen dicht in $L^2(\intcc01)$ : de elementaire functies liggen dicht (Stelling 12.6(1)), meetbare verzamelingen worden benaderd door eindige verenigingen van intervallen (Oefening 9.7), en intervallen door dyadische (de uiteinden verschuiven met hoogstens $2^{-J}$ ). Volgens Stelling 13.7 is het stelsel van Haar een hilbertbasis.

Oefening 13.11 ★★

(Orthogonale projecties, gekarakteriseerd) Zij $H$ een hilbertruimte en $P \in \mathcal L(H)$ met $P^2 = P$ en $P \neq 0$ . Toon de gelijkwaardigheid aan van: (i) $P$ is de orthogonale projectie op $\operatorname{im}P$ ; (ii) $P = P^*$ (Oefening 13.8); (iii) $\vertiii P = 1$ . (Voor (iii) $\Rightarrow$ (i): had een $x \in (\ker P)^\perp$ $Px \neq x$ , beschouw dan $x + t(Px - x)$ — of rechtstreeks: ontwikkel voor $u \in \operatorname{im}P$ en $v \in \ker P$ de ongelijkheid $\norm{P(u + tv)}^2 \leq \norm{u + tv}^2$ voor alle $t \in \R$ en besluit dat $\langle u, v\rangle = 0$ .) Geef een niet-orthogonale projectie op $\R^2$ en bereken haar norm.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.11.

(i) $\Rightarrow$ (ii): voor de orthogonale projectie is $\langle Px, y\rangle = \langle Px, Py\rangle = \langle x, Py\rangle$ (voer de ontbindingen $x = Px + (x - Px)$ enzovoort in en dood de kruistermen). (ii) $\Rightarrow$ (iii): $\norm{Px}^2 = \langle P^2x, x\rangle = \langle Px, x\rangle \leq \norm{Px}\norm x$ , dus $\vertiii P \leq 1$ , en $Pu = u$ op het niet-triviale beeld: dus $= 1$ . (iii) $\Rightarrow$ (i): $H = \operatorname{im}P \oplus \ker P$ (algebraïsch, uit $P^2 = P$ ); neem $u = Pu \in \operatorname{im}P$ , $v \in \ker P$ en $t \in \R$ : $\norm{P(u + tv)}^2 = \norm u^2$ moet $\leq \norm{u + tv}^2 = \norm u^2 + 2t\operatorname{Re}\langle u, v\rangle + t^2\norm v^2$ zijn voor elke $t$ , wat $\operatorname{Re}\langle u, v\rangle = 0$ afdwingt (vergelijk de lineaire termen bij $t \to 0^\pm$ ); $v$ door $\iu v$ vervangen doodt ook het imaginaire deel: dus $\operatorname{im}P \perp \ker P$ , en dat is precies de orthogonaliteit van de projectie. Voorbeeld: $P(x, y) = (x + y, 0)$ op $\R^2$ : $P^2 = P$ , het beeld is de $x$ -as, de kern de rechte $y = -x$ , en $\vertiii P = \sup\frac{\abs{x+y}}{\norm{(x,y)}} = \sqrt2$ (bereikt in $(1,1)/\sqrt2$ ): een scheve projectie heeft norm $> 1$ . (Voor de volledigheid geeft (ii) ook rechtstreeks (i): $\ker P = \ker P^* = (\operatorname{im}P)^\perp$ volgens Oefening 13.8.)

Oefening 13.12 ★★★

(Ergodenstelling van von Neumann) Zij $U \in \mathcal L(H)$ unitair ( $U^*U = UU^* = I$ ), $F = \ker(U - I)$ de vaste ruimte, $P$ de orthogonale projectie op $F$ , en $A_n = \frac1n\sum_{k=0}^{n-1}U^k$ . (a) Toon aan dat $\ker(U - I) = \ker(U^* - I)$ (uit $\norm{Ux - x}^2 = 2\norm x^2 - 2\operatorname{Re}\langle Ux, x\rangle$ en de unitariteit), en leid $\overline{\operatorname{im}(U - I)} = F^\perp$ af. (b) Toon aan dat $A_nx \to x$ voor $x \in F$ en $A_nx \to 0$ voor $x \in \operatorname{im}(U - I)$ (telescoperen), en vervolgens voor $x \in \overline{\operatorname{im}(U - I)}$ (uniforme grens $\vertiii{A_n} \leq 1$ ). (c) Besluit: $A_nx \to Px$ voor elke $x \in H$ — tijdsgemiddelden convergeren naar de projectie op de invarianten. (d) Werk dat uit voor $H = L^2(\R/\Z)$ en $Uf = f(\cdot + \alpha)$ met $\alpha$ irrationaal: identificeer $F$ (gebruik fourierreeksen, Stelling 13.9) en leid af dat $\frac1n\sum_{k<n}f(x + k\alpha) \to \int_0^1f$ in $L^2$ : de gelijkverdeling in $L^2$ van irrationale rotaties.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.12.

(a) Voor unitaire $U$ : $\norm{Ux - x}^2 = 2\norm x^2 - 2\operatorname{Re}\langle Ux, x\rangle$ en $\norm{U^*x - x}^2 = 2\norm x^2 - 2\operatorname{Re}\langle x, Ux\rangle$ : die twee verdwijnen samen, dus $\ker(U - I) = \ker(U^* - I)$ . Met $\ker T^* = (\operatorname{im}T)^\perp$ (Oefening 13.8) voor $T = U - I$ en $T^* = U^* - I$ :

\overline{\operatorname{im}(U - I)} = \bigl(\ker(U^* - I)\bigr)^\perp = F^\perp .

(b) Op $F$ is $U^kx = x$ , dus $A_nx = x$ . Voor $x = (U - I)y$ is $A_nx = \frac1n(U^ny - y)$ , met norm $\leq \frac2n\norm y \to 0$ . Voor $x$ in de afsluiting: kies bij gegeven $\varepsilon$ een $x' = (U - I)y$ met $\norm{x - x'} < \varepsilon$ ; omdat $\vertiii{A_n} \leq \frac1n\sum\vertiii{U^k} = 1$ , is $\norm{A_nx} \leq \norm{A_n(x - x')} + \norm{A_nx'} \leq \varepsilon + o(1)$ .

(c) Ontbind $x = Px + (x - Px)$ met $Px \in F$ en $x - Px \in F^\perp = \overline{\operatorname{im}(U - I)}$ (deel (a)): dan is $A_nx = Px + A_n(x - Px) \to Px + 0$ .

(d) In de fourierbasis $e_m(x) = \eu^{2\iu\pi mx}$ is $Ue_m = \eu^{2\iu\pi m\alpha}e_m$ , dus $Ue_m = e_m$ dan en slechts dan als $m\alpha \in \Z$ , dat wil zeggen $m = 0$ ( $\alpha$ irrationaal): dus $F = \C\mathbf 1$ en $Pf = \langle\mathbf 1, f\rangle\mathbf 1 = \int_0^1f$ . De stelling luidt dan $\frac1n\sum_{k<n}f(\cdot + k\alpha) \to \int_0^1f$ in $L^2(\R/\Z)$ : de baangemiddelden van een irrationale rotatie verdelen zich gelijkmatig — de $L^2$ -schaduw van de gelijkverdelingsstelling van Weyl, verkregen met louter hilbertmeetkunde.

13.4 Probleem: orthogonale veeltermen

Probleem 13.1

Weekendopgave — Legendre, Hermite en de kwadratuur van Gauss

Zij $I \subseteq \R$ een interval en $w > 0$ een continu gewicht op het inwendige van $I$ zodat $\int_I \abs t^nw(t)\dd t < \infty$ voor alle $n$ ; we werken in $H = L^2(I, w\,\dd\lambda)$ met $\langle f, g\rangle = \int_I \bar fg\,w$ . Gram–Schmidt toegepast op $1, t, t^2, \dots$ levert de orthogonale veeltermen $(p_n)$ voor $w$ op (monische normering: $p_n = t^n + \cdots$ ).

Deel I — Algemene theorie.

Toon aan dat $p_n$ loodrecht staat op elke veelterm van graad $< n$ , en dat $(p_0, \dots, p_n)$ een basis van $\R_n[t]$ is.
(Driepuntsrecursie) Toon aan dat er reële getallen $a_n, b_n$ bestaan met

$p_{n+1}(t) = (t - a_n)\,p_n(t) - b_n\,p_{n-1}(t), \qquad b_n = \frac{\norm{p_n}^2}{\norm{p_{n-1}}^2} > 0 .$

(Ontwikkel $t\,p_n$ in de basis $(p_k)_{k \leq n+1}$ en dood coëfficiënten met de orthogonaliteit, gebruikmakend van $\langle tp_n, p_k\rangle = \langle p_n, tp_k\rangle$ .)
(Wortels) Toon aan dat $p_n$ $n$ verschillende wortels heeft, alle inwendig in $I$ . (Zij $t_1 < \dots < t_m$ de inwendige tekenwisselingen van $p_n$ ; is $m < n$ , test $p_n$ dan tegen $\prod_{i\leq m}(t - t_i)$ en weerspreek de orthogonaliteit.)

Deel II — Legendre ( $I = \intcc{-1}1$ , $w = 1$ ). Definieer $P_n(t) = \frac{1}{2^nn!}\,\frac{\dd^n}{\dd t^n}\bigl[(t^2 - 1)^n\bigr]$ (Rodrigues).

Toon aan dat $\deg P_n = n$ met kopcoëfficiënt $\frac{(2n)!}{2^n(n!)^2}$ , en, door $n$ maal partieel te integreren, dat $\langle P_n, Q\rangle = 0$ voor elke veelterm $Q$ van graad $< n$ : de $P_n$ zijn (op de normering na) de orthogonale veeltermen voor $w = 1$ .
Bereken $\norm{P_n}_2^2 = \frac{2}{2n+1}$ (integreer $n$ maal partieel tegen zichzelf en herleid tot een bèta- of wallisintegraal, Oefening 11.8).
Toon aan dat de genormeerde legendreveeltermen een hilbertbasis van $L^2(\intcc{-1}1)$ vormen (Weierstrass, Gevolg 7.16, plus de dichtheid van $\mathcal C$ in $L^2$ ), en ontwikkel $f(t) = \abs t$ tot graad $2$ : bereken de beste kwadratische $L^2$ -benadering van $\abs t$ .

Deel III — Hermite ( $I = \R$ , $w(t) = \eu^{-t^2}$ ). Definieer $H_n(t) = (-1)^n\eu^{t^2}\frac{\dd^n}{\dd t^n}\eu^{-t^2}$ .

Toon aan dat $H_n$ een veelterm van graad $n$ is met kopcoëfficiënt $2^n$ , dat $H_{n+1} = 2tH_n - H_n'$ , en dat $\langle H_m, H_n\rangle_w = \delta_{mn}\,2^nn! \sqrt\pi$ (opnieuw partieel integreren).
Toon aan dat de familie van Hermite totaal is in $L^2(\R, \eu^{-t^2}\dd t)$ , waarbij je één resultaat uit Hoofdstuk 14 zonder bewijs mag aannemen: heeft $g \in L^1(\R)$ $\int g(t)\eu^{-\iu\xi t}\dd t = 0$ voor alle $\xi$ , dan is $g = 0$ b.o. (Voor $f$ loodrecht op alle $H_n$ , dus loodrecht op alle veeltermen: toon aan dat $z \mapsto \int f(t)\eu^{-t^2}\eu^{-\iu zt}\dd t$ goed gedefinieerd is, ontwikkel de exponentiële functie in een reeks, rechtvaardig het verwisselen met dominantie en besluit dat de fouriergetransformeerde van $f\eu^{-t^2}$ verdwijnt.)

Deel IV — De kwadratuur van Gauss. Leg $n$ vast, zij $t_1 < \dots < t_n$ de wortels van $p_n$ (Deel I), en definieer de gewichten $w_i = \int_I \ell_i(t)\,w(t)\dd t$ , waarbij $\ell_i$ de lagrange-interpolatiebasisveeltermen in de $t_i$ zijn.

Toon aan dat de kwadratuurregel $Q(f) = \sum_iw_if(t_i)$ exact is op alle veeltermen van graad $\leq n - 1$ (interpolatie), en in feite — het wonder — op alle veeltermen van graad $\leq 2n - 1$ : schrijf $P = qp_n + r$ en gebruik de orthogonaliteit op het quotiënt $q$ .
Toon aan dat de gewichten positief zijn (pas de regel toe op $\ell_i^2$ , van graad $2n - 2$ ), en leid uit de stelling van Polya (Oefening 8.9) af dat de kwadratuur van Gauss convergeert: $Q_n(f) \to \int_I fw$ voor elke continue $f$ op een compacte $I$ .
Bereken voor $n = 2$ , $I = \intcc{-1}1$ , $w = 1$ de knopen $\pm\frac1{\sqrt3}$ en de gewichten $1, 1$ , en ga de exactheid op $1, t, t^2, t^3$ met de hand na. Vergelijk met de trapeziumregel in dezelfde twee evaluatiepunten.

Deel V — Chebyshev: de veeltermen die het best oscilleren. Nu is $I = \intcc{-1}1$ en $w(t) = \frac1{\sqrt{1 - t^2}}$ .

Toon aan dat $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ een veelterm $T_n$ van graad $n$ definieert (leid $T_{n+1} = 2t\,T_n - T_{n-1}$ af uit een goniometrische identiteit), met kopcoëfficiënt $2^{n-1}$ voor $n \geq 1$ ; en dat de substitutie $t = \cos\theta$ geeft

$\langle T_m, T_n\rangle_w = \int_0^\pi\cos m\theta\,\cos n\theta\,\dd\theta = 0 \ (m \neq n), \qquad \norm{T_0}_w^2 = \pi,\ \ \norm{T_n}_w^2 = \frac\pi2 :$

de $T_n$ zijn de orthogonale veeltermen voor dit gewicht, en chebyshevontwikkelingen zijn vermomde fouriercosinusreeksen.
Lokaliseer expliciet de $n$ wortels $t_k = \cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ en de $n + 1$ extrema $s_j = \cos\frac{j\pi}n$ van $T_n$ op $\intcc{-1}1$ , waar $T_n(s_j) = (-1)^j$ : de grafiek oscilleert gelijkmatig tussen $\pm1$ .
(Minimax) Toon aan dat onder alle monische veeltermen van graad $n$ de veelterm $2^{1-n}T_n$ de kleinste supremumnorm op $\intcc{-1}1$ heeft, namelijk $2^{1-n}$ — en dat ze de unieke minimalisator is. (Had een monische $P$ $\sup\abs P < 2^{1-n}$ , dan zou het verschil $2^{1-n}T_n - P$ , van graad $\leq n-1$ , in de $n+1$ punten van gelijkmatige oscillatie van teken wisselen.)
Toepassing op interpolatie: voor knopen $t_1 < \dots < t_n$ in $\intcc{-1}1$ bevat de fout van de lagrange-interpolatie van een $\mathcal C^n$ -functie de factor $\omega(t) = \prod_i(t - t_i)$ . Toon aan dat de keuze van de chebyshevwortels als knopen $\sup_{\intcc{-1}1}\abs\omega$ minimaliseert, en geef de resulterende grens $\norm{f - L_nf}_\infty \leq \frac{\norm{f^{(n)}}_\infty} {2^{n-1}\,n!}$ — vergelijk met gelijkmatig verdeelde knopen (vermeld het verschijnsel van Runge als waarschuwing).
Ga na dat $\abs{T_n'(\pm1)} = n^2$ (differentieer $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ en neem de limieten $\theta \to 0, \pi$ ): veeltermen die op $\intcc{-1}1$ door $1$ begrensd zijn, kunnen aan de rand een afgeleide zo groot als $n^2$ hebben (de ongelijkheid van Markov zegt dat het niet groter kan — enkel de uitspraak). Waar in het interval is de grens voor de afgeleide slechts $O(n)$ ?
(Kwadratuur van Chebyshev–Gauss) Toon aan dat de gaussregel voor het gewicht $w$ in de $n$ chebyshevwortels gelijke gewichten $w_i = \frac\pi n$ heeft (exactheid op $T_0, \dots, T_{n-1}$ plus de goniometrische sommen $\sum_{k=1}^n\cos\bigl(j\tfrac{(2k-1)\pi}{2n}\bigr) = 0$ voor $1 \leq j \leq n - 1$ ): de meest uniforme van alle kwadraturen. Schrijf haar uit voor $n = 3$ .

Deel VI — Christoffel–Darboux, verstrengeling en de jacobimatrix. Terug naar een algemeen gewicht; $h_k = \norm{p_k}^2$ (met monische $p_k$ ) en $b_k = h_k/h_{k-1}$ .

(Kleinste norm) Toon aan dat onder alle monische veeltermen van graad $n$ de orthogonale $p_n$ de unieke veelterm van minimale $L^2(w)$ -norm is — herken de minimalisering als een orthogonale projectie op $\R_{n-1}[t]$ (Stelling 13.2, of de eindigdimensionale projectie uit het volume van bachelorjaar 2). De minimaxeigenschap van vraag 14 is dezelfde uitspraak met $L^\infty$ in de plaats van $L^2$ : dezelfde held, twee normen.
(Christoffel–Darboux) Bewijs met inductie naar $n$ , gebruikmakend van de driepuntsrecursie, de identiteit

$\sum_{k=0}^{n}\frac{p_k(x)\,p_k(y)}{h_k} = \frac{p_{n+1}(x)\,p_n(y) - p_n(x)\,p_{n+1}(y)}{h_n\,(x - y)} \qquad (x \neq y),$

en haar samenvloeiende vorm ( $y \to x$ ): $\sum_{k\leq n}\frac{p_k(x)^2}{h_k} = \frac{p_{n+1}'(x)p_n(x) - p_n'(x)p_{n+1}(x)}{h_n}$ .
Leid af dat $p_n$ en $p_{n+1}$ geen gemeenschappelijke wortel hebben, en dat in elke wortel $x_0$ van $p_{n+1}$ geldt $p_n(x_0)\,p_{n+1}'(x_0) > 0$ . Besluit tot de verstrengeling van de wortels: tussen twee opeenvolgende wortels van $p_{n+1}$ ligt precies één wortel van $p_n$ .
(Jacobimatrix) Zij $J_n$ de symmetrische tridiagonale $n\times n$ -matrix met diagonaal $a_0, \dots, a_{n-1}$ en nevendiagonale elementen $\sqrt{b_1}, \dots, \sqrt{b_{n-1}}$ . Toon met inductie aan dat $\det(tI_n - J_n) = p_n(t)$ , zodat de wortels van $p_n$ de eigenwaarden van een reële symmetrische matrix zijn — wat in één regel opnieuw bewijst dat ze reëel zijn, en (met de verstrengeling hierboven) de orthogonale veeltermen aan de spectrale wereld van Hoofdstuk 15 bindt.
(Synthese) Stel het woordenboek samen voor de drie klassieke families (Legendre, Hermite, Chebyshev): interval, gewicht, definiërende formule, driepuntsrecursie, norm en de natuurlijke habitat van elk (kwadratuur en benadering op compacte verzamelingen; gaussische analyse; minimax- en fouriercosinusmethoden). Eén zin over wat de algemene theorie (Delen I en VI) heeft opgeleverd wat geen enkele afzonderlijke berekening kon geven.

Deel VII — De foutterm, en de kern achter de gewichten. Hier is $I$ compact en $f \in \mathcal C^{2n}(I)$ .

(Foutformule van Gauss) Zij $Hf$ de hermite-interpolant van graad $\leq 2n - 1$ die $f$ en $f'$ in de knopen $t_1, \dots, t_n$ vastlegt (bewijs haar bestaan en de puntsgewijze fout

$f(t) - Hf(t) = \frac{f^{(2n)}(\xi_t)}{(2n)!}\;p_n(t)^2$

met het gebruikelijke argument met een hulpfunctie). Leid, door deze identiteit tegen $w$ te integreren en in te klemmen tussen de extrema van $f^{(2n)}$ , af dat

$\int_I f\,w - Q_n(f) = \frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!}\,h_n \qquad\text{voor een } \xi \in I,$

met $h_n = \norm{p_n}^2$ als in Deel VI: de kwadratuur van Gauss vergist zich met één $2n$ -de afgeleide, gewogen met de gekwadrateerde norm van de monische orthogonale veelterm.
(De gewichten zijn christoffelwaarden) Bewijs met de reproducerende kern $K_n(x, y) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}$ van $\R_{n-1}[t]$ en de exactheid van $Q_n$ tot graad $2n - 2$ dat

$w_i \;=\; \Bigl(\,\sum_{k=0}^{n-1} \frac{p_k(t_i)^2}{h_k}\Bigr)^{\!-1} :$

elk gewicht is de waarde in zijn eigen knoop van de functie van Christoffel — opnieuw de positiviteit van de gewichten (vraag 10), nu met een exacte formule. Ga na dat ze $w_1 = w_2 = 1$ teruggeeft voor $n = 2$ , $I = \intcc{-1}1$ , $w = 1$ .
(Alles klopt op één integraal) Bereken voor het chebyshevgewicht en $n = 3$ knopen beide leden van

$\int_{-1}^{1}\frac{t^6}{\sqrt{1 - t^2}}\,\dd t = \frac{5\pi}{16}, \qquad Q_3(t^6) = \frac{9\pi}{32},$

zodat de kwadratuurfout precies $\frac{\pi}{32}$ is; ga vervolgens na dat de foutformule van vraag 23 precies deze waarde voorspelt (hier is $f^{(6)} = 6!$ constant, en $h_3 = \norm{2^{-2}T_3}_w^2 = \frac\pi{32}$ ): theorie en berekening stemmen tot op het laatste cijfer overeen.

Oplossing

Oplossing van Probleem 13.1.

1. Gram–Schmidt waarborgt $\operatorname{Vect}(p_0, \dots, p_n) = \operatorname{Vect}(1, \dots, t^n) = \R_n[t]$ en $p_n \perp p_k$ ( $k < n$ ), dus $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ . De $p_k$ , met strikt stijgende graden, zijn onafhankelijk: een basis.

2. $t\,p_n$ is monisch van graad $n + 1$ : ontwikkel $t\,p_n = p_{n+1} + \sum_{k\leq n}c_kp_k$ met $c_k = \langle p_k, tp_n\rangle/\norm{p_k}^2$ . Voor $k \leq n - 2$ is $\langle p_k, tp_n\rangle = \langle tp_k, p_n\rangle = 0$ (graad $k + 1 < n$ ). Dus $tp_n = p_{n+1} + a_np_n + b_np_{n-1}$ , de vermelde recursie, met

b_n = \frac{\langle p_{n-1}, tp_n\rangle}{\norm{p_{n-1}}^2} = \frac{\langle tp_{n-1}, p_n\rangle}{\norm{p_{n-1}}^2} = \frac{\langle p_n + (\text{lagere termen}),\ p_n\rangle}{\norm{p_{n-1}}^2} = \frac{\norm{p_n}^2}{\norm{p_{n-1}}^2} > 0 .

3. Zij $t_1 < \dots < t_m$ de punten inwendig aan $I$ waar $p_n$ van teken wisselt, en $q = \prod_{i\leq m}(t - t_i)$ (met $q = 1$ als $m = 0$ ). Dan heeft $p_nq$ een constant teken op $I$ en is ze niet b.o. nul: $\int_Ip_nq\,w \neq 0$ . Is $m < n$ , dan is dat in tegenspraak met $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ . Dus is $m = n$ : $p_n$ heeft $n$ verschillende inwendige wortels (meer dan $n$ wortels kan ze niet hebben).

4. $(t^2 - 1)^n$ heeft graad $2n$ ; $n$ keer differentiëren laat graad $n$ over, met kopcoëfficiënt $\frac{(2n)(2n-1)\cdots(n+1)}{2^nn!} = \frac{(2n)!}{2^n(n!)^2}$ . Is $\deg Q < n$ , integreer dan $n$ maal partieel: alle randtermen bevatten een afgeleide van orde $< n$ van $(t^2-1)^n$ , die in $\pm1$ verdwijnt (wortel van orde $n$ ); na $n$ stappen draagt de integrand $Q^{(n)} = 0$ .

5. Met $u = (t^2 - 1)^n$ :

(2^nn!)^2\norm{P_n}^2 = \int_{-1}^1(u^{(n)})^2 = (-1)^n\int_{-1}^1 u\,u^{(2n)} = (2n)!\int_{-1}^1(1 - t^2)^n\dd t ,

( $u^{(2n)} = (2n)!$ ; de randtermen verdwijnen als in vraag 4). En $\int_{-1}^1(1-t^2)^n\dd t = B(\tfrac12, n+1) = \frac{\Gamma(\frac12)\Gamma(n+1)}{\Gamma(n + \frac32)} = \frac{2\cdot4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$ (Oefening 11.8). Samen: $\norm{P_n}^2 = \frac{2}{2n + 1}$ .

6. Veeltermen liggen $\norm\cdot_\infty$ -dicht in $\mathcal C(\intcc{-1}1)$ (Weierstrass, Gevolg 7.16), continue functies liggen $L^2$ -dicht (Stelling 12.6), en $\norm\cdot_2 \leq \sqrt2\norm\cdot_\infty$ : de opspansels van veeltermen zijn dus totaal, zodat de genormeerde $P_n$ een hilbertbasis vormen. Ontwikkeling van $\abs t$ : de coëfficiënt tegen $P_0$ is $\frac{\langle P_0, \abs t\rangle}{\norm{P_0}^2} = \frac12$ ; tegen $P_1$ : $0$ (pariteit); tegen $P_2$ : $\frac{\int_{-1}^1\abs t\,\frac{3t^2-1}2\dd t}{2/5} = \frac{1/4}{2/5} = \frac58$ . Beste kwadratische benadering:

\abs t \approx \frac12 + \frac58\,P_2(t) = \frac{3}{16} + \frac{15}{16}\,t^2 .

7. Uit $\frac{\dd^{n+1}}{\dd t^{n+1}}\eu^{-t^2} = \frac{\dd^n}{\dd t^n}(-2t\,\eu^{-t^2})$ en Leibniz volgt $H_{n+1} = 2tH_n - H_n'$ ; inductie geeft graad $n$ en kopcoëfficiënt $2^n$ . Voor $m < n$ integreer je $n$ maal partieel in $\int H_m H_n\eu^{-t^2} = (-1)^n\int H_m\,\bigl(\eu^{-t^2} \bigr)^{(n)}$ : de randtermen (veelterm maal $\eu^{-t^2}$ ) verdwijnen in $\pm\infty$ , en er blijft $\int H_m^{(n)}\,\eu^{-t^2} = 0$ over. Voor $m = n$ : $H_n^{(n)} = 2^nn!$ , dus $\norm{H_n}_w^2 = 2^nn!\int\eu^{-t^2} = 2^nn!\sqrt\pi$ .

8. Zij $f \in L^2(\R, \eu^{-t^2}\dd t)$ loodrecht op elke veelterm, en $g = f\eu^{-t^2}$ . Dan is $g \in L^1$ : $\int\abs f\eu^{-t^2} \leq \bigl(\int\abs f^2\eu^{-t^2}\bigr)^{1/2}\bigl(\int\eu^{-t^2}\bigr)^{1/2}$ (Cauchy–Schwarz). Ontwikkel voor $\xi \in \R$ de functie $\eu^{-\iu\xi t}$ : de partiële sommen worden gedomineerd, want

\sum_k\frac{\abs\xi^k}{k!}\int\abs f\,\abs t^k\eu^{-t^2}\dd t \leq \Bigl(\int \abs f^2\eu^{-t^2}\Bigr)^{1/2} \sum_k\frac{\abs\xi^k}{k!}\Bigl(\int t^{2k}\eu^{-t^2}\Bigr)^{1/2} < \infty

(de laatste reeks convergeert: $\int t^{2k}\eu^{-t^2} = \Gamma(k+\frac12) \leq k!\,\sqrt\pi$ , zodat de termen $O(\abs\xi^k/\sqrt{k!})$ zijn). Term voor term integreren (Gevolg 10.7 op de absolute reeks, dan Fubini voor reeksen) geeft

\int_\R g(t)\,\eu^{-\iu\xi t}\dd t = \sum_k\frac{(-\iu\xi)^k}{k!}\int f(t)\,t^k\,\eu^{-t^2}\dd t = 0 ,

want elke integraal is van het type $\langle t^k, f\rangle_w = 0$ . Volgens de zonder bewijs aangenomen injectiviteit van de fouriertransformatie (Hoofdstuk 14) is $g = 0$ b.o., dus $f = 0$ b.o.: de familie van Hermite (waarvan de opspansels de veeltermen zijn) is totaal.

9. Exactheid tot graad $n - 1$ : voor zo’n $P$ is $P = \sum_iP(t_i)\ell_i$ exact, dus $\int Pw = \sum_iP(t_i)\int \ell_iw = Q(P)$ . Graad $\leq 2n - 1$ : deel $P = qp_n + r$ met $\deg q \leq n - 1$ en $\deg r \leq n-1$ ; dan is $\int Pw = \int qp_nw + \int rw = 0 + Q(r)$ (want $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ ), terwijl $Q(P) = \sum_iw_i\bigl(q(t_i)\,p_n(t_i) + r(t_i)\bigr) = Q(r)$ omdat de knopen de wortels van $p_n$ zijn. Gelijk.

10. $\ell_i^2$ heeft graad $2n - 2 \leq 2n - 1$ en $\ell_i^2(t_j) = \delta_{ij}$ : dus $0 < \int\ell_i^2w = Q(\ell_i^2) = w_i$ . Polya (Oefening 8.9, overgezet naar $I$ met gewicht): voorwaarde (i) geldt — elke veelterm wordt exact geïntegreerd zodra $2n - 1 \geq$ haar graad; voorwaarde (ii): $\sum_i\abs{w_{i}} = \sum_iw_i = Q(\mathbf 1) = \int_Iw$ , begrensd: dus $Q_n(f) \to \int fw$ voor elke $f \in \mathcal C(I)$ , met $I$ compact.

11. Monisch is $p_2 = t^2 - \frac13$ (uit Oefening 13.4): knopen $\pm\frac1{\sqrt3}$ . Gewichten: $\ell_1(t) = \frac{t - \frac1{\sqrt3}}{-\frac2{\sqrt3}}$ , en $w_1 = \int_{-1}^1\ell_1 = 1$ ; wegens de symmetrie is $w_2 = 1$ . Exactheid: $\int 1 = 2 = 1 + 1$ ; $\int t = 0 = -\frac1{\sqrt3} + \frac1{\sqrt3}$ ; $\int t^2 = \frac23 = \frac13 + \frac13$ ; $\int t^3 = 0$ . De trapeziumregel met twee punten (knopen $\pm1$ , gewichten $1, 1$ ) is slechts exact tot graad $1$ : op $t^2$ geeft ze $2$ in plaats van $\frac23$ . Dezelfde kostprijs, twee graden exactheid extra: de winst van orthogonale knopen.

12. Uit $\cos(n{+}1)\theta + \cos(n{-}1)\theta = 2\cos\theta\cos n\theta$ volgt $T_{n+1} = 2tT_n - T_{n-1}$ met $T_0 = 1$ en $T_1 = t$ ; inductie geeft veeltermen van graad $n$ met kopcoëfficiënt $2^{n-1}$ ( $n \geq 1$ ). De substitutie $t = \cos\theta$ ( $w(t)\dd t \mapsto \dd\theta$ ) geeft $\langle T_m, T_n\rangle_w = \int_0^\pi\cos m\theta\cos n\theta\,\dd\theta = 0$ voor $m \neq n$ , $= \pi$ voor $m = n = 0$ en $= \frac\pi2$ anders (product naar som). De graden en de paarsgewijze orthogonaliteit identificeren de $T_n$ op scalairen na met de uitvoer van Gram–Schmidt; een chebyshevontwikkeling van $f$ is precies de fouriercosinusreeks van $\theta \mapsto f(\cos\theta)$ .

13. $T_n(t) = 0$ dan en slechts dan als $\cos n\theta = 0$ , dus $\theta = \frac{(2k-1)\pi}{2n}$ : de $n$ verschillende wortels $t_k = \cos\frac{(2k-1)\pi}{2n} \in \intoo{-1}1$ . Extrema: $\abs{T_n} \leq 1$ op $\intcc{-1}1$ , met $T_n(s_j) = (-1)^j$ in de $n + 1$ punten $s_j = \cos\frac{j\pi}n$ : perfecte gelijkmatige oscillatie.

14. $2^{1-n}T_n$ is monisch met supremumnorm $2^{1-n}$ . Had een monische $P$ van graad $n$ $\sup\abs P < 2^{1-n}$ , dan zou het verschil $D = 2^{1-n}T_n - P$ graad $\leq n - 1$ hebben (de kopternen vallen weg) en toch van teken wisselen in $s_0 > \dots > s_n$ (daar domineert $2^{1-n}T_n = \pm2^{1-n}$ over $P$ ): minstens $n$ nulpunten — dus $D \equiv 0$ , tegenspraak. Voor de uniciteit bij gelijkheid voldoet dezelfde $D$ aan $(-1)^jD(s_j) \geq 0$ ; een veelterm $\ne 0$ van graad $\leq n-1$ kan geen $n$ zwak wisselende extremale voorwaarden hebben zonder $n$ correct geteld wortels (is $D(s_j) = 0$ voor een inwendige $s_j$ , dan telt dat nulpunt dubbel, want $D$ behoudt lokaal een teken): opnieuw $D \equiv 0$ .

15. De foutformule van Lagrange (Rolle, volume van bachelorjaar 2) geeft $f - L_nf = \frac{f^{(n)}(\xi_t)} {n!}\,\omega(t)$ , dus is de uniforme fout hoogstens $\frac{\norm{f^{(n)}}_\infty} {n!}\,\sup\abs\omega$ , en $\omega$ is monisch van graad $n$ : volgens vraag 14 is $\sup_{\intcc{-1}1}\abs\omega \geq 2^{1-n}$ , met gelijkheid dan en slechts dan als de knopen de chebyshevwortels zijn. Vandaar de optimale grens $\norm{f - L_nf}_\infty \leq \frac{\norm{f^{(n)}}_\infty}{2^{n-1}n!}$ . Met gelijkmatig verdeelde knopen is $\sup\abs\omega$ nabij de uiteinden exponentieel groter, en zelfs de interpolatie van $\frac1{1 + 25t^2}$ divergeert daar als $n \to \infty$ (het verschijnsel van Runge); chebyshevknopen zijn het geneesmiddel.

16. Differentiëren van $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ geeft $T_n'(\cos\theta) = \frac{n\sin n\theta} {\sin\theta}$ , dat naar $n^2$ gaat als $\theta \to 0$ en naar $(-1)^{n+1}n^2$ als $\theta \to \pi$ : dus $\abs{T_n'(\pm1)} = n^2$ . In inwendige punten is $\abs{T_n'(t)} \leq \frac{n}{\sqrt{1 - t^2}} = O(n)$ : de kwadratische explosie woont uitsluitend aan de randen (de inwendige grens van Bernstein tegenover de globale van Markov).

17. Zij $\theta_k = \frac{(2k-1)\pi}{2n}$ en $S_j = \sum_{k=1}^n\cos(j\theta_k)$ voor $1 \leq j \leq n-1$ . Dan is

S_j = \operatorname{Re}\Bigl[\eu^{\iu j\pi/2n} \sum_{k=0}^{n-1}\eu^{\iu jk\pi/n}\Bigr] = \operatorname{Re}\Bigl[\eu^{\iu j\pi/2n}\, \frac{\eu^{\iu j\pi} - 1}{\eu^{\iu j\pi/n} - 1}\Bigr] .

Voor even $j$ verdwijnt de teller: $S_j = 0$ . Voor oneven $j$ is de teller $-2$ , en $\eu^{\iu j\pi/n} - 1 = \eu^{\iu j\pi/2n}\cdot2\iu\sin\frac{j\pi}{2n}$ , zodat de hele uitdrukking $\frac{-2}{2\iu\sin(j\pi/2n)} = \frac{\iu}{\sin(j\pi/2n)}$ is: zuiver imaginair, dus opnieuw $S_j = 0$ . Bijgevolg integreert de regel met gelijke gewichten $\frac\pi n\sum_kf(t_k)$ de veelterm $T_0$ juist ( $\sum w_i = \pi = \int w$ ) en doodt ze $T_1, \dots, T_{n-1}$ precies zoals $\int T_jw = 0$ doet: ze is exact tot graad $n - 1$ . Gewichten die bij gegeven knopen tot graad $n-1$ exact zijn, zijn uniek (lagrangebasis): dus zijn alle gaussgewichten $\frac\pi n$ . Voor $n = 3$ : knopen $\pm\frac{\sqrt3}2$ en $0$ , en

\int_{-1}^1\frac{f(t)}{\sqrt{1 - t^2}}\,\dd t \approx \frac\pi3\Bigl[f\Bigl(\tfrac{\sqrt3}2\Bigr) + f(0) + f\Bigl(-\tfrac{\sqrt3}2\Bigr)\Bigr],

exact tot en met graad $5$ .

18. Voor monische $P$ van graad $n$ : $P = p_n + r$ met $r \in \R_{n-1}[t]$ , en $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ (vraag 1), dus $\norm P^2 = \norm{p_n}^2 + \norm r^2 \geq \norm{p_n}^2$ , met gelijkheid dan en slechts dan als $r = 0$ : $p_n$ is het residu van de orthogonale projectie van $t^n$ op $\R_{n-1}[t]^\perp$ , dat wil zeggen de monische veelterm die het dichtst bij de deelruimte ligt die ze moet mijden. Chebyshevs $2^{1-n}T_n$ beantwoordt dezelfde vraag voor de supremumnorm: kleinste afwijking van nul, één keer in $L^2(w)$ , één keer in $L^\infty$ .

19. Schrijf $K_n(x, y) = \sum_{k=0}^n\frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}$ . Basis $n = 0$ : $(x - y)\frac1{h_0} = \frac{p_1(x)\cdot1 - 1\cdot p_1(y)}{h_0}$ , want $p_1 = t - a_0$ . Stap: aannemend dat de identiteit voor $n - 1$ geldt, is

(x - y)\,K_n(x,y) = \frac{p_n(x)p_{n-1}(y) - p_{n-1}(x)p_n(y)}{h_{n-1}} + \frac{(x - y)\,p_n(x)p_n(y)}{h_n} ;

substitueer $x\,p_n(x) = p_{n+1}(x) + a_np_n(x) + b_np_{n-1}(x)$ en $y\,p_n(y) = p_{n+1}(y) + a_np_n(y) + b_np_{n-1}(y)$ in de tweede term: de bijdragen met $a_n$ vallen weg, en die met $b_n = \frac{h_n}{h_{n-1}}$ heffen de inductieterm op; wat overblijft is $\frac{p_{n+1}(x)p_n(y) - p_n(x)p_{n+1}(y)}{h_n}$ . De samenvloeiende vorm volgt door $y \to x$ te laten gaan (beide leden zijn veeltermen in $y$ ).

20. De samenvloeiende vorm geeft $p_{n+1}'p_n - p_n'p_{n+1} = h_n\sum_{k\leq n}\frac{p_k^2}{h_k} \geq \frac{h_n}{h_0} > 0$ overal. In een wortel $x_0$ van $p_{n+1}$ is dus $p_{n+1}'(x_0)\,p_n(x_0) > 0$ , zodat $p_n(x_0) \neq 0$ (geen gemeenschappelijke wortels). Tussen opeenvolgende wortels $x_0 < x_1$ van $p_{n+1}$ (alle enkelvoudig, Deel I) heeft $p_{n+1}'$ tegengestelde tekens, en dus ook $p_n$ : in elk van de $n$ gaten ligt een wortel van $p_n$ — en daarmee zijn haar $n$ wortels uitgeput: verstrengeling.

21. Ontwikkeling van $D_n(t) = \det(tI_n - J_n)$ langs de laatste rij: $D_n = (t - a_{n-1})D_{n-1} - b_{n-1}D_{n-2}$ , met $D_0 = 1$ en $D_1 = t - a_0$ : de recursie en de startwaarden van de monische $p_n$ , dus $D_n = p_n$ . De wortels van $p_n$ zijn de eigenwaarden van de symmetrische $J_n$ : reëel, en enkelvoudig volgens vraag 19 — de kwadratuur van Gauss is de spectraaltheorie van een tridiagonale matrix in vermomming, de eindigdimensionale schaduw van Hoofdstuk 15.

22. Woordenboek:

	Legendre	Hermite	Chebyshev
interval	$\intcc{-1}1$	$\R$	$\intcc{-1}1$
gewicht	$1$	$\eu^{-t^2}$	$(1-t^2)^{-1/2}$
formule	Rodrigues	$(-1)^n\eu^{t^2} \frac{\dd^n}{\dd t^n}\eu^{-t^2}$	$\cos(n\arccos t)$
norm $^2$	$\frac2{2n+1}$	$2^nn!\sqrt\pi$	$\pi, \frac\pi2$
habitat	kwadratuur	gaussische analyse	minimax

(elk met haar driepuntsrecursie: de algemene vorm voor Legendre, $H_{n+1} = 2tH_n - 2nH_{n-1}$ , $T_{n+1} = 2tT_n - T_{n-1}$ ). De algemene theorie leverde wat geen enkele afzonderlijke familie laat zien: de realiteit en de verstrengeling van de wortels, de positiviteit van de kwadratuurgewichten, het loutere bestaan van de recursie en van Christoffel–Darboux — gevolgen van de orthogonaliteit alleen, uniform in het gewicht.

23. Bestaan: de lineaire afbeelding $\R_{2n-1}[t] \to \R^{2n}$ , $P \mapsto (P(t_1), P'(t_1), \dots, P(t_n), P'(t_n))$ , is injectief (een $P$ in de kern heeft $n$ dubbele wortels en graad $\leq 2n - 1$ , dus $P = 0$ ) tussen ruimten van gelijke dimensie $2n$ : dus bijectief. Puntsgewijze fout: leg een $t$ vast die geen knoop is, en kies $K$ zo dat $g(s) = f(s) - Hf(s) - K\,p_n(s)^2$ in $s = t$ verdwijnt. Dan verdwijnt $g$ in de $n + 1$ verschillende punten $t, t_1, \dots, t_n$ , en $g'$ verdwijnt ook in elke $t_i$ (zowel $f - Hf$ als $p_n^2$ hebben daar dubbele nulpunten). Rolle geeft $n$ nulpunten van $g'$ strikt tussen opeenvolgende nulpunten van $g$ — verschillend van de knopen — zodat $g'$ $2n$ verschillende nulpunten heeft; Rolle nog $2n - 1$ maal toepassen levert een $\xi_t$ met $g^{(2n)}(\xi_t) = 0$ . Omdat $\deg Hf \leq 2n - 1$ en $p_n^2$ monisch van graad $2n$ is, is $g^{(2n)} = f^{(2n)} - K\,(2n)!$ , waaruit $K = f^{(2n)}(\xi_t)/(2n)!$ — en in de knopen is de identiteit triviaal. Integratie: $Q_n(f) = Q_n(Hf)$ (want $Hf$ valt in de knopen samen met $f$ ) en $Q_n(Hf) = \int Hf\,w$ wegens de exactheid tot graad $2n - 1$ (vraag 9), dus is de kwadratuurfout $\int(f - Hf)\,w$ . Zijn $m, M$ de extrema van $f^{(2n)}$ op $I$ , dan klemt de puntsgewijze identiteit

\frac{m\,h_n}{(2n)!} \;\leq\; \int_I(f - Hf)\,w \;\leq\; \frac{M\,h_n}{(2n)!} ,

en de tussenwaardestelling toegepast op de continue $f^{(2n)}$ levert $\xi$ . (Voor Legendre met $n = 2$ : $h_2 = \int_{-1}^1(t^2 - \frac13)^2\dd t = \frac8{45}$ , dus is de fout $f^{(4)}(\xi)/135$ .)

24. De kern reproduceert $\R_{n-1}[t]$ : de ontwikkeling $q = \sum_k\frac{\langle p_k, q\rangle}{h_k}p_k$ geeft $\int_I K_n(t_i, t)\,q(t)\,w(t)\dd t = q(t_i)$ voor elke $q$ van graad $\leq n - 1$ . Neem $q = \ell_i$ : het linkerlid is $\ell_i(t_i) = 1$ . Maar $t \mapsto K_n(t_i, t)\,\ell_i(t)$ is een veelterm van graad $\leq (n - 1) + (n - 1) = 2n - 2$ , waarop $Q_n$ exact is (vraag 9), en ze verdwijnt in elke knoop $t_j \neq t_i$ (de factor $\ell_i$ ), dus

1 = \int_I K_n(t_i, t)\,\ell_i(t)\,w(t)\dd t = w_i\,K_n(t_i, t_i) = w_i\sum_{k=0}^{n-1}\frac{p_k(t_i)^2}{h_k} .

De som is $> 0$ (haar term voor $k = 0$ is $1/h_0 > 0$ ): dat is de vermelde formule, en opnieuw de positiviteit. Controle ( $n = 2$ , Legendre): $p_0 = 1$ , $h_0 = 2$ , $p_1 = t$ , $h_1 = \frac23$ ; in $t_i = \pm\frac1{\sqrt3}$ is

K_2(t_i, t_i) = \frac12 + \frac{1/3}{2/3} = 1, \qquad w_i = 1,

zoals in vraag 11 gevonden.

25. Met de substitutie $t = \cos\theta$ is de integraal $\int_0^\pi\cos^6\theta\,\dd\theta = \pi\,\frac{5\cdot3\cdot1}{6\cdot4\cdot2} = \frac{5\pi}{16}$ (Wallis, Oefening 11.8). De regel van Chebyshev–Gauss met $n = 3$ (vraag 17) heeft de knopen $\cos\frac\pi6 = \frac{\sqrt3}2$ , $\cos\frac\pi2 = 0$ en $\cos\frac{5\pi}6 = -\frac{\sqrt3}2$ en gelijke gewichten $\frac\pi3$ :

Q_3(t^6) = \frac\pi3\Bigl(2\cdot\Bigl(\frac{\sqrt3}2 \Bigr)^{6}\Bigr) = \frac\pi3\cdot\frac{54}{64} = \frac{9\pi}{32}, \qquad \frac{5\pi}{16} - \frac{9\pi}{32} = \frac\pi{32} .

Voorspelling: de monische orthogonale veelterm van graad $3$ is $2^{-2}T_3 = t^3 - \frac34t$ , met $h_3 = \frac1{16}\norm{T_3}_w^2 = \frac1{16}\cdot\frac\pi2 = \frac\pi{32}$ ; en $f = t^6$ heeft constante $f^{(6)} = 720 = 6!$ , zodat vraag 23 de fout $\frac{6!}{6!}\,h_3 = \frac\pi{32}$ geeft — zonder enige resterende afhankelijkheid van $\xi$ moet de formule wel exact zijn, en dat is ze.