Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Bachelor Year 2

8Functies van een reële veranderlijke

Voordat de analyse overgaat op functies van functies (Hoofdstuk 10) loont het het landschap in één veranderlijke fijner te kennen dan bachelorjaar 1 vroeg: hoe discontinu een monotone functie kan zijn, hoe regelmatig een convexe functie moet zijn, en welke bijzondere eigenschappen afgeleiden genieten (Darboux). Deze structurele resultaten zijn kort, scherp en geliefd bij examinatoren.

8.1 Monotone functies

Stelling 8.1 (Regulariteit van monotone functies)

Zij $f \colon I \to \R$ stijgend op een interval.

In elk inwendig punt $a$ bestaan de eenzijdige limieten:

$f(a^-) = \sup_{x < a} f(x) \;\leq\; f(a) \;\leq\; f(a^+) = \inf_{x > a} f(x) ;$

elke discontinuïteit is een sprong.
De verzameling van de discontinuïteiten van $f$ is hoogstens aftelbaar.

Bewijs. (1) De verzameling $\{f(x) : x < a\}$ is niet leeg en van boven door $f(a)$ begrensd: haar supremum $s$ voldoet aan $f(x) \to s$ als $x \to a^-$ (bij gegeven $\varepsilon$ is er een $f(x_0) > s - \varepsilon$ , en de monotonie sluit $f(x) \in \intoc{s - \varepsilon}{s}$ in voor $x \in \intoo{x_0}{a}$ ). Symmetrisch aan de rechterkant.

(2) Hecht aan elke discontinuïteit $a$ het niet-lege open interval $J_a = \intoo{f(a^-)}{f(a^+)}$ (een echte sprong). Voor discontinuïteiten $a < b$ zijn $J_a$ en $J_b$ disjunct: voor elke $c$ ertussen geldt $f(a^+) \leq f(c) \leq f(b^-)$ . Elke $J_a$ bevat een rationaal getal, en verschillende discontinuïteiten krijgen verschillende rationale getallen: dat is een injectie van de verzameling discontinuïteiten in $\Q$ , dat aftelbaar is (Propositie 1.6). ∎

Voorbeeld 8.2

De grens is scherp: leg een opsomming $(r_n)$ van $\Q \cap \intoo{0}{1}$ vast en zet $f(x) = \sum_{n : r_n \leq x} 2^{-n}$ (een definitie via een sommeerbare familie, Definitie 7.8). Dan is $f$ stijgend op $\intcc{0}{1}$ en precies in elk rationaal getal van $\intoo{0}{1}$ discontinu (met sprong $2^{-n}$ in $r_n$ ): een monotone functie kan dus op een dichte aftelbare verzameling discontinu zijn.

Voorbeeld 8.3 (De sprongen kunnen de stijging niet overtreffen)

Voor stijgende $f$ op $\intcc{a}{b}$ hebben de sprongen een budget: zijn $a < c_1 < \dots < c_m < b$ discontinuïteiten met sprongen $s_i = f(c_i^+) - f(c_i^-) > 0$ , kies dan tussenliggende punten $a < c_1 < t_1 < c_2 < \dots$ en gebruik de monotonie op elk stuk:

\sum_{i=1}^{m} s_i \;\leq\; f(b) - f(a) :

de totale stijging begrenst het totale springen. Gevolg: voor elke $k$ zijn er hoogstens $k\,\bigl(f(b) - f(a)\bigr)$ discontinuïteiten met sprong $\geq \frac1k$ — een kwantitatieve verfijning van Stelling 8.1 (2), want de verzameling discontinuïteiten is de aftelbare vereniging over $k$ van deze eindige verzamelingen. Bij de functie met rationale sprongen hierboven wordt het budget precies opgemaakt: de sprongen $2^{-n}$ tellen op tot $1 = f(1^+) - f(0^-)$ in de voor de hand liggende uitgebreide zin. Monotone functies mogen dicht springen, maar alleen op een strikte toelage.

8.2 Convexe functies

Lemma 8.4 (Hellingsongelijkheid)

Zij $f$ convex op $I$ en zijn $x < y < z$ in $I$ . Dan is

\frac{f(y) - f(x)}{y - x} \;\leq\; \frac{f(z) - f(x)}{z - x} \;\leq\; \frac{f(z) - f(y)}{z - y} :

de hellingen van de koorden stijgen in beide eindpunten.

Bewijs. Schrijf $y = \frac{z - y}{z - x}\,x + \frac{y - x}{z - x}\,z$ : een convexe combinatie, want de twee coëfficiënten zijn positief en tellen op tot $1$ . De convexiteit geeft

f(y) \;\leq\; \frac{z-y}{z-x}\,f(x) + \frac{y-x}{z-x}\,f(z).

Trek voor de linkerongelijkheid $f(x)$ van beide leden af, met $\frac{z-y}{z-x} - 1 = -\frac{y-x}{z-x}$ :

f(y) - f(x) \leq \frac{y - x}{z - x}\bigl(f(z) - f(x)\bigr),

en deel door $y - x > 0$ . Trek voor de rechterongelijkheid in plaats daarvan af van $f(z)$ :

f(z) - f(y) \geq f(z) - \frac{z-y}{z-x}f(x) - \frac{y-x}{z-x}f(z) = \frac{z - y}{z - x}\bigl(f(z) - f(x)\bigr),

en deel door $z - y > 0$ . Beide stappen zijn dezelfde barycentrische identiteit, gelezen tegen een ander eindpunt. ∎

Stelling 8.5 (Regulariteit van convexe functies)

Zij $f$ convex op een interval $I$ .

In elk inwendig punt heeft $f$ eindige eenzijdige afgeleiden $f'_g \leq f'_d$ ; beide zijn stijgende functies van het punt; in het bijzonder is $f$ continu op het inwendige van $I$ (maar mogelijk niet in de eindpunten).
$f$ ligt boven elke steunlijn: voor inwendige $a$ en elke $m \in \intcc{f'_g(a)}{f'_d(a)}$ geldt

$f(x) \geq f(a) + m(x - a) \qquad (x \in I).$
(Jensen, met gewichten) Voor $x_i \in I$ en gewichten $\lambda_i \geq 0$ met $\sum\lambda_i = 1$ geldt

$f\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i\Bigr) \leq \sum_i \lambda_i f(x_i) .$

Bewijs. (1) Leg een inwendig punt $a$ vast. Volgens Lemma 8.4 is de helling $\tau(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ een stijgende functie van $h$ (aan beide kanten, en $\tau(h_-) \leq \tau(h_+)$ voor $h_- < 0 < h_+$ ). Bijgevolg heeft $\tau$ een eindige limiet als $h \to 0^-$ (stijgend, van boven begrensd door elke rechterhelling) — dat is $f'_g(a)$ — en als $h \to 0^+$ ( $f'_d(a)$ ), met $f'_g(a) \leq f'_d(a)$ . Eindige eenzijdige afgeleiden dwingen de continuïteit in $a$ af. Monotonie in het punt: voor inwendige $a < b$ is $f'_d(a) \leq \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \leq f'_g(b)$ , opnieuw volgens de hellingsongelijkheid.

(2) Voor $x > a$ : $\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \geq f'_d(a) \geq m$ ; voor $x < a$ : $\frac{f(a) - f(x)}{a - x} \leq f'_g(a) \leq m$ . Beide laten zich tot de bewering herschikken.

(3) Inductie naar het aantal punten, precies als in het volume van bachelorjaar 1 (het geval van twee punten is de definitie) — of in één klap: pas (2) toe in $a = \sum\lambda_i x_i$ en middel de steunlijnongelijkheden in de punten $x_i$ met de gewichten $\lambda_i$ : $\sum_i \lambda_i f(x_i) \geq f(a) + m\sum_i\lambda_i(x_i - a) = f(a)$ . ∎

Convexiteit in één plaatje: tussen -1.5 en 2 blijft de grafiek van f(x) = x2 onder haar koorde (de definitie) en boven de steunlijn in x = 0.5 ( (2)) — elke ongelijkheid uit de weekendopgave van dit hoofdstuk is een herschikking van deze twee posities. — Convexiteit in één plaatje: tussen $-1.5$ en $2$ blijft de grafiek van $f(x) = x^2$ onder haar koorde (de definitie) en boven de steunlijn in $x = 0.5$ (Stelling 8.5 (2)) — elke ongelijkheid uit de weekendopgave van dit hoofdstuk is een herschikking van deze twee posities.

Voorbeeld 8.6 (Discontinuïteit in een eindpunt)

Op $\intcc{0}{1}$ is de functie met $f(0) = 1$ en $f(x) = 0$ voor $x > 0$ convex maar discontinu in het eindpunt $0$ : uitspraak (1) is dus scherp.

Voorbeeld 8.7 (Knikken en de waaier van steunlijnen)

Voor $f(x) = \abs x$ in $a = 0$ zijn de eenzijdige afgeleiden $f'_g(0) = -1$ en $f'_d(0) = +1$ , en Stelling 8.5 (2) deelt een steunlijn uit voor elke helling $m \in \intcc{-1}{1}$ :

\abs x \geq m\,x \qquad (x \in \R,\ -1 \leq m \leq 1),

telkens met gelijkheid precies op een halfrechte of in $0$ . Een convexe functie is in $a$ differentieerbaar precies wanneer de waaier tot één enkele lijn inklapt ( $f'_g(a) = f'_d(a)$ ); knikken dragen een heel interval raaklijnen. Deze waaier is de eindigdimensionale kiem van het subdifferentiaal uit de convexe optimalisatie — en de reden dat convexe functies zo robuust zijn: zelfs waar de afgeleide faalt, overleeft de steunende meetkunde, en meer had het bewijs van Jensen niet nodig.

Voorbeeld 8.8 (Ongelijkheid van de machtgemiddelden)

Voor $0 < p < q$ en positieve $x_i$ met gewichten $\lambda_i$ die tot $1$ optellen geeft Jensen, toegepast op de convexe $t \mapsto t^{q/p}$ in de punten $x_i^p$ :

\Bigl(\sum \lambda_i x_i^{p}\Bigr)^{1/p} \leq \Bigl(\sum \lambda_i x_i^{q}\Bigr)^{1/q} :

de machtgemiddelden stijgen met de exponent — waaronder de ongelijkheid tussen rekenkundig en kwadratisch gemiddelde, en, in de limiet $p \to 0$ (Oefening 8.6), opnieuw de ongelijkheid tussen rekenkundig en meetkundig gemiddelde.

Het machtgemiddelde M_p van de waarden 1, 2, 4 (gelijke gewichten), als functie van de exponent p: stijgend van = 1 (als p -∈fty) tot = 4 (als p +∈fty), via het harmonische (p = -1), het meetkundige (het gat bij p = 0, waarde 2), het rekenkundige (p = 1) en het kwadratische (p = 2) gemiddelde. De hele keten van klassieke ongelijkheden tussen gemiddelden is één stijgende kromme — bewezen in Deel III van de weekendopgave van dit hoofdstuk. — Het machtgemiddelde $M_p$ van de waarden $1, 2, 4$ (gelijke gewichten), als functie van de exponent $p$ : stijgend van $\min = 1$ (als $p \to -\infty$ ) tot $\max = 4$ (als $p \to +\infty$ ), via het harmonische ( $p = -1$ ), het meetkundige (het gat bij $p = 0$ , waarde $2$ ), het rekenkundige ( $p = 1$ ) en het kwadratische ( $p = 2$ ) gemiddelde. De hele keten van klassieke ongelijkheden tussen gemiddelden is één stijgende kromme — bewezen in Deel III van de weekendopgave van dit hoofdstuk.

Voorbeeld 8.9 (Maximale entropie)

Voor een kansvector $(p_1, \dots, p_n)$ (positief, met som $1$ ) voldoet de entropie $H(p) = -\sum_i p_i\ln p_i$ aan

H(p) \leq \ln n , \qquad\text{met gelijkheid dan en slechts dan als } p_i = \frac1n \text{ voor alle } i .

Bewijs met Jensen (Stelling 8.5 (3)) toegepast op de concave $\ln$ met gewichten $p_i$ in de punten $\frac{1}{p_i}$ :

H(p) = \sum_i p_i\ln\frac{1}{p_i} \leq \ln\Bigl(\sum_i p_i\,\frac1{p_i}\Bigr) = \ln n ,

waarbij gelijkheid alle punten $\frac1{p_i}$ gelijk afdwingt (strikte concaviteit), dat wil zeggen: $p$ uniform. Gelijkwaardig is dit Oefening 8.7 met uniforme $q$ . Onzekerheid wordt gemaximaliseerd door onwetendheid die uniform is uitgesmeerd — het variationele principe achter codering, statistische mechanica en de entropie zoals zij in Hoofdstuk 22 opduikt.

Methode 8.10 (De convexe functie achter een ongelijkheid vinden)

De meeste klassieke ongelijkheden zijn Jensen in vermomming; om er een te ontkleden: (1) normaliseer zo dat er een gewogen gemiddelde verschijnt (positieve gewichten met som $1$ — deel zo nodig door een totale massa); (2) kijk welke functie binnen en welke buiten het gemiddelde wordt toegepast: de bewering “ $f(\text{gemiddelde}) \leq$ gemiddelde van $f$ ” noemt de convexe $f$ ; (3) certificeer de convexiteit met de tweede afgeleide en behandel de gelijkheid met de striktheid; (4) is er geen gemiddelde zichtbaar, neem dan eerst logaritmen — producten en machten worden gemiddelden, en de concaviteit van $\ln$ draagt de ongelijkheid tussen rekenkundig en meetkundig gemiddelde, die van Young en hun verwanten (de weekendopgave van dit hoofdstuk doorloopt de stappen 1–4 op elk ervan). Onthullen zelfs logaritmen geen gemiddelde, lees de ongelijkheid dan als monotonie van hellingen (Lemma 8.4) — uitspraken over superadditiviteit zoals Oefening 8.9 horen daar thuis.

Opmerking 8.11 (Klassieke valkuilen)

(i) Convexiteit blijft niet onder producten behouden: $x$ en $(x - 1)^2$ zijn convex op $\intcc{0}{2}$ , maar hun product $x(x-1)^2$ heeft tweede afgeleide $6x - 4$ , negatief op $\intco{0}{\frac23}$ — dus niet convex; en zonder monotonie blijft convexiteit evenmin onder samenstelling behouden (Oefening 8.10). (ii) Jensen keert om voor concave functies: de helft van de klassieke ongelijkheden is de concave $\ln$ -versie; de convexe vorm op $\ln$ toepassen is de snelste manier om de ongelijkheid tussen rekenkundig en meetkundig gemiddelde achterstevoren te bewijzen. (iii) Convexiteit in het midden alleen impliceert geen convexiteit — daarvoor is continuïteit (of alleen al begrensdheid) nodig (Oefening 8.8); de pathologische tegenvoorbeelden liggen buiten de axioma’s van dit boek. (iv) Een convexe functie op een open interval is continu, zelfs lokaal Lipschitz (Oefening 8.12); in de eindpunten is niets gratis. (v) Afgeleiden gehoorzamen aan Darboux maar hoeven niet continu te zijn (Voorbeeld 8.15): “ $f'$ heeft geen sprongen” betekent nooit “ $f'$ is continu”.

8.3 De eigenschap van Darboux

Stelling 8.12 (Darboux)

Zij $f$ differentieerbaar op een interval $I$ . Dan neemt $f'$ elke waarde tussen twee van haar waarden aan — ook al hoeft $f'$ niet continu te zijn.

Bewijs. Zijn $a < b$ in $I$ en ligt $v$ strikt tussen $f'(a)$ en $f'(b)$ , zeg $f'(a) < v < f'(b)$ . De functie $g(x) = f(x) - vx$ is differentieerbaar met $g'(a) < 0 < g'(b)$ : haar minimum op $\intcc{a}{b}$ (aangenomen: continuïteit op een compacte verzameling) ligt niet in $a$ (net na $a$ daalt $g$ onder $g(a)$ ) en evenmin in $b$ (net vóór $b$ ligt $g$ onder $g(b)$ ): het is dus inwendig, en daar is $g'(c) = 0$ , dat wil zeggen $f'(c) = v$ . (Dit was een oefening met sterren in bachelorjaar 1; haar plaats in de theorie is hier.) ∎

Voorbeeld 8.13 (Welke functies zijn afgeleiden?)

De stelling van Darboux is een niet-bestaansmachine. De afrondingsfunctie $\lfloor x\rfloor$ is op $\R$ de afgeleide van geen enkele functie: zij neemt de waarden $0$ en $1$ aan maar slaat $\frac12$ op $\intcc{0}{1}$ over, en dat verbiedt Stelling 8.12 voor afgeleiden. Hetzelfde oordeel treft elke functie met een sprong — het teken, de heavisidefunctie, alle trapfuncties — hoe onschuldig zij er ook uitzien; hun “primitieven” ( $\abs x$ voor het teken, enzovoort) bestaan alleen buiten de sprong en knopen daar met een knik aaneen. Daartegenover is de wild discontinue $f'$ uit Voorbeeld 8.15 wél een afgeleide — haar discontinuïteit is een oscillatie, en die verdraagt Darboux. De grens tussen beide gedragingen is precies het gevolg over sprongen hieronder.

Gevolg 8.14

Een afgeleide heeft geen sprongdiscontinuïteiten: bestaan $f'(a^-)$ en $f'(a^+)$ , dan zijn zij gelijk aan $f'(a)$ . De discontinuïteiten van een afgeleide zijn altijd van het oscillatietype (de afgeleide van $x^2\sin\frac1x$ in $0$ , volume van bachelorjaar 1).

Bewijs. Bestaat $f'(a^+) = \lim_{x\to a^+} f'(x)$ en verschilt zij van $f'(a)$ , dan zouden waarden er strikt tussenin door $f'$ op een rechteromgeving worden overgeslagen — in strijd met Darboux op de intervallen $\intcc{a}{a + h}$ . (Anders gezegd: de middelwaardestelling dwingt $f'(a) = \lim_{h\to0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = f'(a^+)$ af, want het differentiequotiënt is een waarde van $f'$ in een tussenliggend punt.) Aan de linkerkant hetzelfde. ∎

Voorbeeld 8.15 (De canonieke oscillerende afgeleide)

Zij $f(x) = x^2\sin\frac1x$ voor $x \neq 0$ en $f(0) = 0$ . In $0$ : $\bigl|\frac{f(h) - f(0)}{h}\bigr| = \abs{h\sin\frac1h} \leq \abs h \to 0$ , dus bestaat $f'(0) = 0$ . Buiten $0$ is

f'(x) = 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x ,

waarvan de eerste term naar $0$ gaat terwijl $\cos\frac1x$ op elk interval $\intoo{0}{\delta}$ het hele $\intcc{-1}{1}$ doorloopt: de limiet $f'(0^+)$ bestaat dus niet. Bijgevolg is $f'$ overal gedefinieerd maar discontinu in $0$ — en, precies zoals Gevolg 8.14 voorspelt, is de discontinuïteit een oscillatie en geen sprong: op elke $\intoo{0}{\delta}$ veegt $f'$ nog steeds een heel interval rond $0$ af. Afgeleiden mogen wild zijn, maar alleen op de manier die met Darboux verenigbaar is.

Opmerking 8.16 (Waar dit hoofdstuk wordt gebruikt)

De convexiteit is de motor van de ongelijkhedenindustrie: de weekendopgave van dit hoofdstuk maakt er Young, Hölder, Minkowski en de keten van machtgemiddelden mee, die de normentheorie van Hoofdstuk 5 en de integraalschattingen van Hoofdstuk 9 weer verbruiken; Jensen duikt in de kansrekening opnieuw op als de momentongelijkheden van Hoofdstuk 22. De regulariteit van monotone functies keert terug in Hoofdstuk 9 (monotone functies zijn integreerbaar) en, in het volume van bachelorjaar 3, als de differentieerbaarheid bijna overal van monotone functies — waar “aftelbaar veel sprongen” de eerste stap van de theorie van Lebesgue wordt.

8.4 Oefeningen

Oefening 8.1 ★

Bepaal de verzamelingen van discontinuïteiten en de sprongen van $\lfloor x \rfloor$ , $\;x - \lfloor x\rfloor$ , $\;\lfloor x \rfloor + \sqrt{x - \lfloor x\rfloor}$ , en van de functie uit het voorbeeld na Stelling 8.1, beperkt tot de dyadische rationale getallen $r_n$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.1.

$\lfloor x\rfloor$ : sprongen ter grootte $1$ in elk geheel getal. $x - \lfloor x\rfloor$ : sprongen ter grootte $-1$ in de gehele getallen (linkerlimiet $1$ , waarde $0$ ). $\lfloor x\rfloor + \sqrt{x - \lfloor x\rfloor}$ : in een geheel getal $n$ is de linkerlimiet $(n - 1) + 1 = n$ en de waarde $n$ : dus overal continu (de vierkantswortel repareert de sprong), al is de functie in de gehele getallen niet differentieerbaar. De functie met rationale sprongen: beperken we de constructie tot een opsomming van de dyadische getallen, dan springt zij met $2^{-n}$ precies in het $n$ -de dyadische rationale getal en is zij elders continu.

Oefening 8.2 ★

Bewijs dat een stijgende functie $f \colon I \to \R$ met de tussenwaarde-eigenschap (het beeld van elk deelinterval is een interval) continu is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.2.

Stel dat de stijgende $f$ een discontinuïteit heeft in een inwendig punt $a$ : dan is $f(a^-) < f(a^+)$ (Stelling 8.1) en mist het beeld van $I$ het niet-lege open interval $\intoo{f(a^-)}{f(a^+)}$ , hoogstens op de ene waarde $f(a)$ na: het beeld van elk deelinterval dat $a$ in zijn inwendige bevat, is dan geen interval (het heeft aan minstens één zijde van $f(a)$ een gat). Dat is in strijd met de tussenwaarde-eigenschap. Discontinuïteiten in de eindpunten worden op dezelfde manier uitgesloten, met eenzijdige gaten.

Oefening 8.3 ★

Welke van de volgende functies zijn convex op hun domein? $x \mapsto x\ln x$ ( $x > 0$ ); $\;x \mapsto \ln(1 + \eu^x)$ ; $\;x \mapsto \sqrt{1 + x^2}$ ; $\;x \mapsto x^3$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.3.

$x\ln x$ : tweede afgeleide $\frac1x > 0$ , dus convex. $\ln(1 + \eu^x)$ : afgeleide $\frac{\eu^x}{1 + \eu^x} = 1 - \frac{1}{1 + \eu^x}$ , stijgend, dus convex. $\sqrt{1 + x^2}$ : tweede afgeleide $(1 + x^2)^{-3/2} > 0$ , dus convex. $x^3$ : niet convex op $\R$ ( $f'' = 6x$ wisselt van teken); alleen convex op $\R_+$ .

Oefening 8.4 ★★

Zij $f$ convex op $\R$ en van boven begrensd. Bewijs dat $f$ constant is. (Is $f(a) \neq f(b)$ , dan plant de hellingsongelijkheid de koordehelling ongelijk aan nul voort: voorbij het punt met de grootste waarde groeit $f$ minstens lineair — in strijd met de begrensdheid. Behandel beide tekens van de helling.) Leid af dat een convexe functie op $\R$ met aan beide zijden een asymptoot affien is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.4.

Stel $f(a) \neq f(b)$ , zeg $f(b) > f(a)$ met $a < b$ (het geval $f(b) < f(a)$ is symmetrisch, met de blik naar links). Voor $x > b$ geeft de hellingsongelijkheid (Lemma 8.4) op $a < b < x$

\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \geq \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = m > 0 \quad\Longrightarrow\quad f(x) \geq f(a) + m(x - a) \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty,

in strijd met de begrensdheid van boven. Bijgevolg is $f$ constant.

Asymptoten: geldt $f(x) - (\alpha x + \beta) \to 0$ bij $+\infty$ en $f(x) - (\alpha' x + \beta') \to 0$ bij $-\infty$ , dan is de convexe functie $g(x) = f(x) - (\alpha x + \beta)$ bij $+\infty$ van boven begrensd; de convexiteit plus een asymptoot bij $-\infty$ (die $\alpha' \leq \alpha$ afdwingt en daarna $\alpha' = \alpha$ door de hellingen bij $\mp\infty$ te vergelijken: de hellingen van een convexe functie stijgen) maakt $g$ op heel $\R$ van boven begrensd, dus constant, en in de limiet gelijk aan $0$ : $f$ is affien.

Oefening 8.5 ★★

Zij $f$ differentieerbaar op $I$ met $f'$ monotoon. Bewijs dat $f'$ continu is (combineer Stelling 8.1 en Gevolg 8.14).

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.5.

$f'$ is monotoon, dus zijn volgens Stelling 8.1 haar enige mogelijke discontinuïteiten sprongen, met overal bestaande eenzijdige limieten. Volgens Gevolg 8.14 heeft een afgeleide geen sprongdiscontinuïteiten. Bijgevolg heeft $f'$ helemaal geen discontinuïteiten: zij is continu.

Oefening 8.6 ★★

(Het meetkundige gemiddelde als limiet) Bewijs voor positieve $x_i$ en gewichten $\lambda_i$ met som $1$ dat

\lim_{p \to 0^+} \Bigl(\sum_i \lambda_i x_i^p\Bigr)^{1/p} = \prod_i x_i^{\lambda_i} ,

via $x_i^p = \eu^{p\ln x_i} = 1 + p\ln x_i + O(p^2)$ , en leid daaruit met Voorbeeld 8.8 de gewogen ongelijkheid tussen rekenkundig en meetkundig gemiddelde af.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.6.

Neem logaritmen:

\frac1p \ln\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i^p\Bigr) = \frac1p \ln\Bigl(1 + p\sum_i \lambda_i \ln x_i + O(p^2)\Bigr) = \sum_i \lambda_i \ln x_i + O(p) \xrightarrow[p \to 0^+]{} \sum_i \lambda_i \ln x_i ,

met $\sum\lambda_i = 1$ en $\ln(1 + u) = u + O(u^2)$ . Exponentiëren geeft het meetkundige gemiddelde. Voor elke $p \in \intoo{0}{1}$ geeft de ongelijkheid van de machtgemiddelden (Voorbeeld 8.8, exponenten $p < 1$ ) nu

\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i^p\Bigr)^{1/p} \leq \sum_i\lambda_i x_i ;

links $p \to 0^+$ laten gaan levert $\prod_i x_i^{\lambda_i} \leq \sum_i \lambda_i x_i$ : de gewogen ongelijkheid tussen rekenkundig en meetkundig gemiddelde.

Oefening 8.7 ★★

(Entropieongelijkheid) Bewijs met de strikte convexiteit van $t \mapsto t\ln t$ dat voor positieve $p_i, q_i$ met $\sum p_i = \sum q_i = 1$ geldt

\sum_i p_i \ln\frac{p_i}{q_i} \geq 0 ,

met gelijkheid dan en slechts dan als $p = q$ . (Schrijf het linkerlid als $\sum q_i\, \varphi\bigl(\frac{p_i}{q_i}\bigr)$ met $\varphi(t) = t\ln t$ en pas Jensen toe met gewichten $q_i$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.7.

Met $\varphi(t) = t\ln t$ (convex: $\varphi'' = \frac1t > 0$ ) en gewichten $q_i$ in de punten $t_i = \frac{p_i}{q_i}$ :

\sum_i p_i \ln\frac{p_i}{q_i} = \sum_i q_i\, \varphi\Bigl(\frac{p_i}{q_i}\Bigr) \;\geq\; \varphi\Bigl(\sum_i q_i \frac{p_i}{q_i}\Bigr) = \varphi(1) = 0 ,

volgens Jensen (Stelling 8.5 (3)). Gelijkheid in Jensen voor een strikt convexe functie dwingt af dat alle punten $t_i$ samenvallen: $\frac{p_i}{q_i}$ is dus constant, en na sommeren is die constante $1$ : $p = q$ . (Deze grootheid — de divergentie van Kullback en Leibler — keert terug in de wereld van Hoofdstuk 22.)

Oefening 8.8 ★★★

(Convexiteit in het midden) $f \colon I \to \R$ heet convex in het midden wanneer altijd $f\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr) \leq \frac{f(x) + f(y)}{2}$ . Bewijs dat een continue functie die convex in het midden is, convex is. (Stel de convexiteitsongelijkheid voor dyadische gewichten $\frac{k}{2^m}$ vast met inductie naar $m$ , en ga daarna met de dichtheid en de continuïteit naar de limiet.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.8.

Dyadische gewichten. Met inductie naar $m$ : het geval $m = 1$ is de hypothese. Voor een gewicht $\lambda = \frac{k}{2^{m+1}}$ (met oneven $k$ ) schrijven we $\lambda = \frac12(\lambda_1 + \lambda_2)$ met $\lambda_j = \frac{k \mp 1}{2^{m+1}}$ , na vereenvoudiging beide met noemer $2^m$ ; dan is

f\bigl(\lambda x + (1{-}\lambda)y\bigr) = f\Bigl(\tfrac{u + v}{2}\Bigr) \leq \frac{f(u) + f(v)}{2} \leq \lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y),

met $u = \lambda_1 x + (1 - \lambda_1)y$ en $v = \lambda_2 x + (1-\lambda_2)y$ , waarbij eerst de convexiteit in het midden en daarna de inductiehypothese op $u$ en $v$ wordt gebruikt.

Overgang naar de limiet. Neem voor willekeurige $\lambda \in \intcc{0}{1}$ dyadische $\lambda_n \to \lambda$ : de continuïteit van $f$ en van de affiene afbeeldingen brengt de ongelijkheid $f(\lambda_n x + (1-\lambda_n)y) \leq \lambda_n f(x) + (1-\lambda_n)f(y)$ naar de limiet: dus is $f$ convex.

Oefening 8.9 ★★★

Zij $f$ convex op $\intco{0}{+\infty}$ met $f(0) \leq 0$ . Bewijs dat $x \mapsto \frac{f(x)}{x}$ stijgt op $\intoo{0}{+\infty}$ , en leid af dat voor convexe $f$ met $f(0) = 0$ geldt: $f(x + y) \geq f(x) + f(y)$ voor $x, y \geq 0$ (superadditiviteit).

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.9.

Voor $0 < x < y$ geeft de hellingsongelijkheid (Lemma 8.4) in de punten $0 < x < y$

\frac{f(x) - f(0)}{x} \leq \frac{f(y) - f(0)}{y}, \qquad\text{dat wil zeggen}\qquad \frac{f(x)}{x} \leq \frac{f(y)}{y} + f(0)\Bigl(\frac1x - \frac1y\Bigr).

Omdat $f(0) \leq 0$ en $\frac1x - \frac1y > 0$ , is de laatste term $\leq 0$ : dus $\frac{f(x)}{x} \leq \frac{f(y)}{y}$ . Bijgevolg stijgt $x \mapsto \frac{f(x)}x$ .

Superadditiviteit bij $f(0) = 0$ : voor $x, y > 0$ (de gevallen met een variabele gelijk aan nul zijn triviaal) geeft de zojuist bewezen monotonie

f(x) = x\,\frac{f(x)}{x} \leq x\,\frac{f(x+y)}{x+y}, \qquad f(y) \leq y\,\frac{f(x+y)}{x+y},

en optellen geeft $f(x) + f(y) \leq f(x+y)$ .

Oefening 8.10 ★

Zij $f$ convex op $I$ en $g$ convex en stijgend op een interval dat $f(I)$ bevat. Bewijs dat $g \circ f$ convex is, en toon met een tegenvoorbeeld aan dat de monotonie van $g$ niet mag vervallen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.10.

Voor $x, y \in I$ en $\lambda \in \intcc01$ : eerst de convexiteit van $f$ , dan de monotonie van $g$ , dan de convexiteit van $g$ :

g\bigl(f(\lambda x + (1{-}\lambda)y)\bigr) \leq g\bigl(\lambda f(x) + (1{-}\lambda)f(y)\bigr) \leq \lambda\,g(f(x)) + (1{-}\lambda)\,g(f(y)).

Tegenvoorbeeld zonder monotonie: $g(t) = -t$ is convex (affien) maar dalend, $f(x) = x^2$ is convex, en $g \circ f = -x^2$ is strikt concaaf.

Oefening 8.11 ★★

(Hermite–Hadamard) Zij $f$ convex en continu op $\intcc{a}{b}$ . Bewijs dat

f\Bigl(\frac{a+b}{2}\Bigr) \;\leq\; \frac{1}{b - a}\int_a^b f(t)\,\dd t \;\leq\; \frac{f(a) + f(b)}{2} .

(Links: integreer een steunlijn in het midden. Rechts: begrens $f$ door de koorde.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.11.

Linkerongelijkheid: zij $m = \frac{a+b}2$ en neem een steunlijn in $m$ (Stelling 8.5 (2)): $f(t) \geq f(m) + \mu(t - m)$ voor alle $t \in \intcc ab$ . Integreren over $\intcc{a}{b}$ : de lineaire term integreert tot $\mu\int_a^b(t - m)\dd t = 0$ (symmetrie rond $m$ ), dus $\int_a^b f \geq (b - a)f(m)$ .

Rechterongelijkheid: op $\intcc ab$ begrenst de convexiteit $f$ door haar koorde: $f(t) \leq f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(t - a)$ . Integreren geeft $\int_a^b f \leq (b-a)f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\cdot\frac{(b-a)^2}2 = (b - a)\,\frac{f(a) + f(b)}2$ . Deel door $b - a$ .

Oefening 8.12 ★★★

Bewijs dat een convexe functie op een open interval $I$ lokaal Lipschitz is: voor elk segment $\intcc{a}{b} \subseteq I$ en elke marge $\delta > 0$ met $\intcc{a - \delta}{b + \delta} \subseteq I$ is de beperking van $f$ tot $\intcc{a}{b}$ Lipschitz, met constante $\max\Bigl(\bigl|\frac{f(a) - f(a - \delta)}{\delta}\bigr|, \bigl|\frac{f(b + \delta) - f(b)}{\delta}\bigr|\Bigr)$ (sluit elke koordehelling met de hellingsongelijkheid tussen deze twee in).

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.12.

Zij $a - \delta < a \leq x < y \leq b < b + \delta$ , alle in $I$ . Twee toepassingen van de hellingsongelijkheid (Lemma 8.4), eerst op $a - \delta < a \leq x < y$ en daarna op $x < y \leq b < b + \delta$ :

\frac{f(a) - f(a - \delta)}{\delta} \leq \frac{f(y) - f(x)}{y - x} \leq \frac{f(b + \delta) - f(b)}{\delta}

(koordehellingen stijgen wanneer beide eindpunten naar rechts schuiven). Bijgevolg ligt elke koordehelling binnen $\intcc ab$ tussen twee vaste getallen ingeklemd, en is

\abs{f(y) - f(x)} \leq K\,\abs{y - x}, \qquad K = \max\Bigl(\Bigl|\frac{f(a) - f(a-\delta)}{\delta}\Bigr|, \Bigl|\frac{f(b+\delta) - f(b)}{\delta}\Bigr|\Bigr):

$f$ is dus Lipschitz op $\intcc ab$ . Elk punt van het open $I$ heeft zo’n segment met marge om zich heen: dus lokaal Lipschitz, en daarmee (opnieuw) continu op $I$ .

8.5 Probleem: De gereedschapskist van de convexiteit

Eén definitie — de koorde boven de grafiek — brengt de hele gereedschapskist van de klassieke ongelijkheden voort. Deze weekendopgave bouwt haar in logische volgorde op: convexiteitscriteria en strikte Jensen, dan Young, Hölder en Minkowski (de geboorteakten van de $p$ -normen), de volledige keten van machtgemiddelden van het minimum tot het maximum, en twee kroonopbrengsten — de ongelijkheid van Carleman, en Hölder gelezen als een dualiteit. Alles wordt bewezen; niets wordt ingevoerd.

Probleem 8.1

Weekendopgave — Young, Hölder, Minkowski en de keten van machtgemiddelden

Overal zijn $p, q > 1$ toegevoegde exponenten: $\frac1p + \frac1q = 1$ ; vectoren zijn $a = (a_1, \dots, a_n) \in \R^n$ ; en gewichten $\lambda_i > 0$ voldoen aan $\sum_i\lambda_i = 1$ .

Deel I — Criteria en strikte Jensen.

Zij $f$ differentieerbaar op een interval $I$ . Bewijs dat $f$ convex is dan en slechts dan als $f'$ stijgt (de ene richting door in de hellingsongelijkheid Lemma 8.4 naar de limiet te gaan, de andere met de middelwaardestelling). Leid het $C^2$ -criterium $f'' \geq 0$ af.
Neem aan dat $f'' > 0$ op $I$ . Bewijs dat $f$ strikt convex is (strikte ongelijkheid voor $x \neq y$ en $\lambda \in \intoo01$ ), en dat een strikt convexe functie aan de ongelijkheid van Jensen (Stelling 8.5 (3)) alleen met gelijkheid voldoet wanneer alle $x_i$ samenvallen.
Certificeer de grondstoffen van de gereedschapskist: $-\ln$ is strikt convex op $\intoo{0}{+\infty}$ ; $t \mapsto t^r$ is daar strikt convex voor $r > 1$ en strikt concaaf voor $0 < r < 1$ ; en $\exp$ is strikt convex op $\R$ .
(Ongelijkheid van Young) Bewijs voor $a, b \geq 0$ dat

$ab \;\leq\; \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q},$

met gelijkheid dan en slechts dan als $a^p = b^q$ (pas de concaviteit van $\ln$ toe op de twee punten $a^p, b^q$ met gewichten $\frac1p, \frac1q$ ).
Leid uit de concaviteit van $\ln$ in één regel opnieuw de gewogen ongelijkheid tussen rekenkundig en meetkundig gemiddelde af:

$\prod_i x_i^{\lambda_i} \leq \sum_i\lambda_ix_i \qquad (x_i > 0),$

met het geval van gelijkheid; vergelijk dit met de weg via de limiet uit Oefening 8.6.

Deel II — Hölder en Minkowski. Schrijf $\norm{a}_p = \bigl(\sum_i \abs{a_i}^p\bigr)^{1/p}$ en $\norm{a}_\infty = \max_i\abs{a_i}$ .

(Hölder) Bewijs dat

$\sum_{i=1}^{n}\abs{a_ib_i} \;\leq\; \norm a_p\,\norm b_q ,$

met gelijkheid dan en slechts dan als de vectoren $(\abs{a_i}^p)$ en $(\abs{b_i}^q)$ evenredig zijn (normaliseer $\norm a_p = \norm b_q = 1$ en pas Young term voor term toe).
Benoem de bijzondere gevallen: $p = q = 2$ (Cauchy–Schwarz), en het randpaar $(p, q) = (1, \infty)$ : formuleer en bewijs $\sum\abs{a_ib_i} \leq \norm a_1\norm b_\infty$ .
(Minkowski) Bewijs voor $p \geq 1$ dat

$\norm{a + b}_p \leq \norm a_p + \norm b_p$

(schrijf $\abs{a_i + b_i}^p \leq \abs{a_i + b_i}^{p-1}(\abs{a_i} + \abs{b_i})$ en pas Hölder op elk product toe). Besluit: $\norm\cdot_p$ is voor elke $p \in \intco{1}{+\infty}$ een norm op $\R^n$ , wat het beeld van Hoofdstuk 5 completeert.
Integraalversies: formuleer en bewijs Hölder en Minkowski voor $\norm f_p = \bigl(\int_a^b\abs f^p\bigr)^{1/p}$ met $f, g$ continu op $\intcc{a}{b}$ (dezelfde bewijzen, met de strikte positiviteit van de integraal voor de bespreking van de gelijkheid).
Bewijs de monotonie $\norm a_q \leq \norm a_p$ voor $1 \leq p \leq q$ , de limiet $\norm a_p \to \norm a_\infty$ als $p \to \infty$ , en de omgekeerde vergelijking met de scherpe constante:

$\norm a_p \leq n^{\frac1p - \frac1q}\,\norm a_q$

(Hölder tegen de constante vector). Benoem de vectoren die elke gelijkheid realiseren.
(Interpolatie) Bewijs voor $1 \leq p < r < q$ en $\theta \in \intoo01$ met $\frac1r = \frac\theta p + \frac{1-\theta}q$ dat

$\norm a_r \leq \norm a_p^{\theta}\, \norm a_q^{1-\theta}$

(pas Hölder met de exponenten $\frac{p}{\theta r}$ en $\frac{q}{(1-\theta)r}$ toe op $\abs{a_i}^{\theta r}\abs{a_i}^{(1-\theta)r}$ ).

Deel III — De keten van machtgemiddelden, volledig. Zet voor $p \neq 0$ de waarde $M_p = \bigl(\sum_i\lambda_i x_i^p\bigr)^{1/p}$ ( $x_i > 0$ ), en $M_0 = \prod_i x_i^{\lambda_i}$ .

Bewijs dat $p \mapsto M_p$ op heel $\R^*$ stijgt: behandel $p < q < 0$ met de identiteit $M_{-p}(x) = M_p(1/x)^{-1}$ , en overbrug $0$ door aan te tonen dat $M_p \leq M_0 \leq M_q$ voor $p < 0 < q$ (pas de concaviteit van $\ln$ toe op $x_i^q$ , en de omgekeerde ongelijkheid voor negatieve exponenten).
Bewijs de limieten $M_p \to \max_i x_i$ als $p \to +\infty$ en $M_p \to \min_i x_i$ als $p \to -\infty$ .
Schrijf de keten $\min \leq \mathrm{HM} \leq \mathrm{GM} \leq \mathrm{AM} \leq \mathrm{QM} \leq \max$ uit voor gelijke gewichten, en bewijs het klassieke gevolg: voor positieve $a_1, \dots, a_n$ geldt

$\Bigl(\sum_i a_i\Bigr)\Bigl(\sum_i\frac1{a_i}\Bigr) \geq n^2 .$
Verbind gemiddelden met normen: voor gelijke gewichten $\lambda_i = \frac1n$ is $M_p(x) = n^{-1/p}\norm x_p$ . Verzoen in één zin over de factor $n^{-1/p}$ de twee monotonieën — gemiddelden stijgen met $p$ terwijl normen dalen (vraag 10).
Bepaal de gevallen van gelijkheid langs de hele keten van vraag 14 (positieve gewichten): gelijkheid ergens dwingt af dat alle $x_i$ gelijk zijn — de strikte convexiteit betaalt zich uit.

Deel IV — Opbrengsten.

(Young met een knop) Bewijs voor $a, b \geq 0$ en $\varepsilon > 0$ dat

$ab \leq \varepsilon\,\frac{a^p}{p} + \varepsilon^{-q/p}\,\frac{b^q}{q},$

en het werkpaardgeval $ab \leq \varepsilon a^2 + \frac{b^2}{4\varepsilon}$ : de absorptietruc die in de hele analyse wordt gebruikt.
(Op weg naar Carleman) Zij $c_k = \frac{(k+1)^k}{k^{k-1}}$ . Bewijs de telescopische identiteit $\prod_{k=1}^{n}c_k = (n+1)^n$ , en leid met de ongelijkheid tussen rekenkundig en meetkundig gemiddelde toegepast op de getallen $c_ka_k$ af dat

$(a_1a_2\cdots a_n)^{1/n} \leq \frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n} c_k a_k \qquad (a_k > 0).$
(Ongelijkheid van Carleman) Sommeer over $n$ , verwissel de sommatievolgorde (positieve sommeerbare families, Stelling 7.14), en gebruik $\sum_{n \geq k}\frac{1}{n(n+1)} = \frac1k$ en $c_k/k = \bigl(1 + \frac1k\bigr)^k < \eu$ om te besluiten: voor elke convergente $\sum a_k$ met positieve termen geldt

$\sum_{n=1}^{\infty}(a_1a_2\cdots a_n)^{1/n} \;\leq\; \eu\sum_{k=1}^{\infty}a_k .$
Bewijs voor $f$ continu en positief op $\intcc{0}{1}$ dat

$\Bigl(\int_0^1 f\Bigr)\Bigl(\int_0^1\frac1f\Bigr) \geq 1,$

met gelijkheid dan en slechts dan als $f$ constant is (Cauchy–Schwarz op $\sqrt f\cdot\frac1{\sqrt f}$ ).
(Meetkunde van de bollen) Toon met het geval van gelijkheid in Minkowski aan dat voor $1 < p < \infty$ de eenheidssfeer van $\norm\cdot_p$ geen enkel segment bevat (de norm is strikt convex in de zin van Probleem 5.1), terwijl zij dat voor $p = 1$ en $p = \infty$ wel doet: geef de vlakke stukken.

Deel V — Dualiteit en synthese.

(Hölder als dualiteit) Bewijs dat voor elke $a \in \R^n$

$\norm a_p = \max_{\norm b_q \leq 1}\ \sum_i a_ib_i ,$

en geef een maximaliserende $b$ expliciet. (De $p$ -norm is de duale van de $q$ -norm — de eindigdimensionale kiem van de dualiteit van de $L^p$ -ruimten.)
(Momenten) Zij $X$ een stochastische variabele die eindig veel positieve waarden $x_i$ aanneemt met kansen $\lambda_i$ . Herformuleer vraag 12 als: $r \mapsto \E[X^r]^{1/r}$ stijgt — de momentongelijkheid (van Lyapunov), opnieuw te gebruiken in Hoofdstuk 22.
Los op met benoemd gereedschap, in telkens twee regels: (i) voor positieve $a, b, c$ geldt $a^3 + b^3 + c^3 \geq \frac{(a+b+c)^3}{9}$ ; (ii) voor positieve $x_1, \dots, x_n$ geldt $\bigl(\sum_i\sqrt{x_i}\bigr)^2 \leq n\sum_i x_i$ .
(Synthese) Teken de stamboom in vijf zinnen: van de definitie met de koorde naar het hellingslemma; van de hellingen via de steunlijnen naar Jensen; van de concaviteit van $\ln$ via Young en Hölder naar Minkowski en de $p$ -normen; van Jensen via de keten van machtgemiddelden naar de momenten; van de ongelijkheid tussen rekenkundig en meetkundig gemiddelde naar Carleman. Noem de toppen (Hölder en Minkowski; Carleman) en zeg waar de gereedschapskist naartoe gaat: de $L^p$ -ruimten van het volume van bachelorjaar 3, waarvan de axioma’s precies de vragen 6 en 8 zijn.

Oplossing

Oplossing van Probleem 8.1.

1. Convex $\Rightarrow$ $f'$ stijgend: voor $a < b$ geeft de hellingsongelijkheid bij kleine $h > 0$ dat $\frac{f(a+h) - f(a)}h \leq \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \leq \frac{f(b) - f(b-h)}{h}$ ; met $h \to 0$ volgt $f'(a) \leq \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \leq f'(b)$ . Omgekeerd, stijgt $f'$ en zijn $x < y < z$ , dan geeft de middelwaardestelling $c_1 \in \intoo{x}{y}$ en $c_2 \in \intoo yz$ met

\frac{f(y) - f(x)}{y - x} = f'(c_1) \leq f'(c_2) = \frac{f(z) - f(y)}{z - y},

en deze hellingsongelijkheid in drie punten, toegepast met $y = \lambda x + (1 - \lambda)z$ , herschikt zich tot de convexiteitsongelijkheid. Voor $C^2$ : $f'' \geq 0$ dan en slechts dan als $f'$ stijgt.

2. Is $f'' > 0$ , dan stijgt $f'$ strikt, en geeft de bovenstaande berekening met de middelwaardestelling een strikte ongelijkheid tussen de twee koordehellingen: strikte convexiteit. Strikte steun: is $a$ inwendig met steunhelling $m$ en geldt $f(x_0) = f(a) + m(x_0 - a)$ voor zekere $x_0 \neq a$ , dan vallen op het segment van $a$ naar $x_0$ de steunlijn en de koorde samen, en geeft de strikte convexiteit in het midden $f\bigl(\frac{a + x_0}2\bigr) < f(a) + m\,\frac{x_0 - a}2$ , in strijd met de steunongelijkheid. Dus $f(x) > f(a) + m(x - a)$ voor alle $x \neq a$ . Strikte Jensen: met $a = \sum\lambda_ix_i$ geeft het middelen van de steunongelijkheden $\sum\lambda_if(x_i) \geq f(a)$ , met gelijkheid dan en slechts dan als elke term een gelijkheid is, dat wil zeggen dan en slechts dan als elke $x_i = a$ .

3. $(-\ln)'' = \frac1{t^2} > 0$ ; $(t^r)'' = r(r - 1)t^{r-2}$ , positief voor $r > 1$ en negatief voor $0 < r < 1$ ; en $\exp'' = \exp > 0$ . Alles strikt volgens vraag 2.

4. De gevallen $ab = 0$ zijn triviaal. Voor $a, b > 0$ geeft de concaviteit van $\ln$ in de punten $a^p, b^q$ met gewichten $\frac1p, \frac1q$ :

\ln\Bigl(\frac{a^p}p + \frac{b^q}q\Bigr) \geq \frac1p\ln(a^p) + \frac1q\ln(b^q) = \ln(ab),

en $\ln$ stijgt: dus $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ . Gelijkheid dan en slechts dan als de twee punten samenvallen (strikte concaviteit): $a^p = b^q$ .

5. De concaviteit van $\ln$ met gewichten $\lambda_i$ geeft $\ln\bigl(\sum\lambda_ix_i\bigr) \geq \sum\lambda_i\ln x_i = \ln\prod x_i^{\lambda_i}$ ; exponentiëren. Gelijkheid dan en slechts dan als alle $x_i$ gelijk zijn (vraag 2). De weg van Oefening 8.6 kreeg dezelfde ongelijkheid als limiet van machtgemiddelden; hier is het één toepassing van Jensen — de gereedschapskist bevat ingebouwde redundantie.

6. Is $a = 0$ of $b = 0$ , dan is de ongelijkheid triviaal. Normaliseer: vervangen we $a$ door $a/\norm a_p$ en $b$ door $b/\norm b_q$ , dan mogen we $\norm a_p = \norm b_q = 1$ aannemen en moeten we $\sum\abs{a_ib_i} \leq 1$ aantonen. Young term voor term:

\sum_i\abs{a_i}\abs{b_i} \leq \sum_i\Bigl(\frac{\abs{a_i}^p}{p} + \frac{\abs{b_i}^q}{q}\Bigr) = \frac1p + \frac1q = 1 .

Gelijkheid dan en slechts dan als elke ongelijkheid van Young scherp is: $\abs{a_i}^p = \abs{b_i}^q$ voor alle $i$ — na het ongedaan maken van de normalisatie: $(\abs{a_i}^p)$ evenredig met $(\abs{b_i}^q)$ .

7. $p = q = 2$ is Cauchy–Schwarz, met hetzelfde geval van gelijkheid (evenredigheid). Randgeval: $\sum\abs{a_ib_i} \leq \bigl(\max_i\abs{b_i}\bigr)\sum_i\abs{a_i} = \norm a_1\norm b_\infty$ , term voor term onmiddellijk.

8. Voor $p = 1$ is het de driehoeksongelijkheid, term voor term. Voor $p > 1$ , met toegevoegde $q$ :

\norm{a+b}_p^p = \sum_i\abs{a_i + b_i}^p \leq \sum_i\abs{a_i+b_i}^{p-1}\abs{a_i} + \sum_i\abs{a_i+b_i}^{p-1}\abs{b_i},

en Hölder op elke som, met $(p - 1)q = p$ :

\sum_i\abs{a_i+b_i}^{p-1}\abs{a_i} \leq \Bigl(\sum_i\abs{a_i+b_i}^{p}\Bigr)^{1/q}\norm a_p = \norm{a + b}_p^{p/q}\,\norm a_p ,

en evenzo met $b$ . Bijgevolg is $\norm{a+b}_p^p \leq \norm{a + b}_p^{p/q}\bigl(\norm a_p + \norm b_p\bigr)$ ; is $a + b \neq 0$ , deel dan door $\norm{a+b}_p^{p/q}$ en gebruik $p - \frac pq = 1$ . Samen met de homogeniteit en de scheiding (duidelijk) is $\norm\cdot_p$ een norm op $\R^n$ .

9. Voor continue $f, g$ op $\intcc ab$ : Hölder

\int_a^b\abs{fg} \leq \Bigl(\int_a^b\abs f^p\Bigr)^{1/p}\Bigl(\int_a^b\abs g^q\Bigr)^{1/q}

met dezelfde normalisatie plus puntsgewijze Young, geïntegreerd; en Minkowski $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$ met dezelfde splitsing en Hölder op elk stuk. De scheiding van de norm gebruikt de strikte positiviteit: een continue $\abs f^p$ met integraal nul verdwijnt identiek (volume van bachelorjaar 1).

10. Monotonie: we mogen $\norm a_p = 1$ aannemen; dan is elke $\abs{a_i} \leq 1$ , dus $\abs{a_i}^q \leq \abs{a_i}^p$ en $\norm a_q^q \leq 1$ : dus $\norm a_q \leq 1 = \norm a_p$ . Gelijkheid vereist $\abs{a_i}^q = \abs{a_i}^p$ voor elke $i$ , dat wil zeggen elke $\abs{a_i} \in \{0, 1\}$ ; met $\sum\abs{a_i}^p = 1$ blijft er precies één coördinaat van modulus $1$ over: gelijkheid dan en slechts dan als $a$ hoogstens één coördinaat ongelijk aan nul heeft. Limiet: $\norm a_\infty \leq \norm a_p \leq n^{1/p}\norm a_\infty$ , en $n^{1/p} \to 1$ . Omgekeerde vergelijking: Hölder met de exponenten $\frac qp$ en haar toegevoegde $\frac{q}{q-p}$ , toegepast op $\abs{a_i}^p\cdot 1$ :

\norm a_p^p = \sum_i\abs{a_i}^p\cdot 1 \leq \Bigl(\sum_i\abs{a_i}^{q}\Bigr)^{p/q}\,n^{1 - p/q} = \norm a_q^{p}\; n^{1-p/q},

waaruit $\norm a_p \leq n^{\frac1p - \frac1q}\norm a_q$ , met gelijkheid dan en slechts dan als alle $\abs{a_i}$ gelijk zijn (het geval van gelijkheid in Hölder tegen de constante vector).

11. Schrijf $\abs{a_i}^r = \abs{a_i}^{\theta r}\,\abs{a_i}^{(1-\theta)r}$ en pas Hölder toe met de toegevoegde exponenten $\frac{p}{\theta r}$ en $\frac{q}{(1-\theta)r}$ (toegevoegd juist omdat $\frac{\theta r}p + \frac{(1-\theta)r}q = 1$ ):

\norm a_r^r = \sum_i \abs{a_i}^{\theta r}\abs{a_i}^{(1-\theta)r} \leq \Bigl(\sum_i\abs{a_i}^{p}\Bigr)^{\theta r/p} \Bigl(\sum_i\abs{a_i}^{q}\Bigr)^{(1-\theta)r/q} = \norm a_p^{\theta r}\,\norm a_q^{(1-\theta)r} .

Neem $r$ -de wortels: de $p$ -normen zijn logaritmisch convex in $\frac1p$ .

12. Beide negatief: geldt $p < q < 0$ , dan is $0 < -q < -p$ , en geeft $M_{-q}(y) \leq M_{-p}(y)$ voor de positieve exponenten (het geval uit de cursus, Voorbeeld 8.8) toegepast op $y = (1/x_i)$ ; het inverteren van de identiteit $M_p(x) = M_{-p}(1/x)^{-1}$ keert de ongelijkheid om tot $M_p(x) \leq M_q(x)$ . De brug: voor $q > 0$ geeft de concaviteit van $\ln$ dat $\ln M_q = \frac1q\ln\bigl(\sum\lambda_ix_i^q\bigr) \geq \frac1q\sum\lambda_i\ln x_i^q = \ln M_0$ ; voor $p < 0$ geeft dezelfde concaviteit $\ln\bigl(\sum\lambda_ix_i^p\bigr) \geq p\sum\lambda_i\ln x_i$ , en deling door $p < 0$ keert dat om: $\ln M_p \leq \ln M_0$ . Bijgevolg is $M_p \leq M_0 \leq M_q$ zodra $p < 0 < q$ : samen met de twee gevallen met gelijk teken stijgt $M$ op heel $\R^*$ (en door $0$ heen).

13. Zij $x_{\max} = \max x_i$ , aangenomen in $i^*$ . Voor $p > 0$ :

\lambda_{i^*}^{1/p}\,x_{\max} \leq M_p \leq x_{\max},

en $\lambda_{i^*}^{1/p} \to 1$ : dus $M_p \to x_{\max}$ . Voor $p \to -\infty$ : $M_p(x) = M_{-p}(1/x)^{-1} \to \bigl(\max_i\frac1{x_i}\bigr)^{-1} = \min_ix_i$ .

14. Met $\lambda_i = \frac1n$ luidt de keten $M_{-\infty} \leq M_{-1} \leq M_0 \leq M_1 \leq M_2 \leq M_{+\infty}$ als

\min \leq \frac{n}{\sum\frac1{a_i}} \leq \Bigl(\prod a_i\Bigr)^{1/n} \leq \frac{\sum a_i}{n} \leq \sqrt{\frac{\sum a_i^2}{n}} \leq \max .

De ongelijkheid tussen rekenkundig en harmonisch gemiddelde ( $M_{-1} \leq M_1$ ) herschikt zich rechtstreeks tot $\bigl(\sum a_i\bigr)\bigl(\sum\frac1{a_i}\bigr) \geq n^2$ .

15. Met gelijke gewichten is $M_p(x) = \bigl(\frac1n\sum\abs{x_i}^p\bigr)^{1/p} = n^{-1/p}\norm x_p$ . Groeit $p$ , dan daalt $\norm x_p$ (vraag 10) maar stijgt de normalisator $n^{-1/p}$ sneller, zodat het product stijgt (vraag 12): gemiddelden middelen, normen stapelen op, en de factor $n^{-1/p}$ is precies de wisselkoers tussen de twee boekhoudconventies.

16. Elke schakel is een geval van strikte Jensen (vraag 2) met de strikt convexe of concave functies uit vraag 3 ( $t^{q/p}$ , $\ln$ ), dus dwingt gelijkheid in welke schakel dan ook af dat alle $x_i$ gelijk zijn; en ook $\min = M_p$ of $M_p = \max$ dwingt af dat alle waarden gelijk zijn aan het gemeenschappelijke extremum. De keten is strikt zodra twee $x_i$ verschillen.

17. Pas Young (vraag 4) toe op het paar $\varepsilon^{1/p}a$ en $\varepsilon^{-1/p}b$ :

ab = (\varepsilon^{1/p}a)(\varepsilon^{-1/p}b) \leq \varepsilon\,\frac{a^p}p + \varepsilon^{-q/p}\,\frac{b^q}q .

Voor $p = q = 2$ , met $\varepsilon$ vervangen door $2\varepsilon$ : $ab \leq \varepsilon a^2 + \frac{b^2}{4\varepsilon}$ — de absorptieongelijkheid: een product wordt ingeruild voor een klein veelvoud van het ene kwadraat plus een groot veelvoud van het andere.

18. Telescoperen:

\prod_{k=1}^{n}c_k = \frac{\prod_{k=1}^n(k+1)^k} {\prod_{k=1}^{n}k^{k-1}} = \frac{2^1\,3^2\cdots(n+1)^n}{1^0\,2^1\cdots n^{n-1}} = (n+1)^n,

waarbij elke factor $(k+1)^k$ van de teller wegvalt tegen de volgende term van de noemer. De ongelijkheid tussen rekenkundig en meetkundig gemiddelde op de $n$ getallen $c_ka_k$ geeft

(a_1\cdots a_n)^{1/n} = \frac{\bigl(\prod_k c_ka_k\bigr)^{1/n}}{(n+1)} \leq \frac{1}{n+1}\cdot\frac1n\sum_{k=1}^{n}c_ka_k .

19. Sommeren over $n$ en de twee sommaties verwisselen (alle termen positief: Stelling 7.14) geeft

\sum_{n\geq1}(a_1\cdots a_n)^{1/n} \leq \sum_{n\geq1}\frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n}c_ka_k = \sum_{k\geq1}c_ka_k\sum_{n\geq k}\frac1{n(n+1)} = \sum_{k\geq1}\frac{c_ka_k}{k},

met de telescopering $\sum_{n\geq k}\bigl(\frac1n - \frac1{n+1}\bigr) = \frac1k$ . Ten slotte is $\frac{c_k}k = \frac{(k+1)^k}{k^k} = \bigl(1 + \frac1k\bigr)^k < \eu$ (een stijgende rij met limiet $\eu$ , volume van bachelorjaar 1):

\sum_{n\geq1}(a_1\cdots a_n)^{1/n} \leq \eu\sum_{k\geq1}a_k :

de ongelijkheid van Carleman. (De constante $\eu$ is optimaal, al bewijzen wij dat niet.)

20. Cauchy–Schwarz (vraag 9, $p = q = 2$ ) toegepast op $\sqrt f$ en $\frac1{\sqrt f}$ :

1 = \Bigl(\int_0^1\sqrt f\cdot\frac{1}{\sqrt f}\Bigr)^{2} \leq \Bigl(\int_0^1 f\Bigr)\Bigl(\int_0^1\frac1f\Bigr).

Gelijkheid dan en slechts dan als $\sqrt f$ en $\frac1{\sqrt f}$ evenredig zijn, dat wil zeggen $f^2$ constant, dat wil zeggen $f$ constant (want $f > 0$ en continu).

21. Zij $1 < p < \infty$ , $\norm a_p = \norm b_p = 1$ , $a \neq b$ , en stel $\bigl\Vert\frac{a+b}2\bigr\Vert_p = 1$ , dat wil zeggen: Minkowski is voor $a, b$ een gelijkheid. Volgen we het bewijs van vraag 8, dan dwingt de gelijkheid gelijkheid af in beide toepassingen van Hölder en in de driehoeksongelijkheden per term: $(\abs{a_i}^p)$ en $(\abs{b_i}^p)$ zijn dan beide evenredig met $(\abs{a_i + b_i}^p)$ , en $a_i, b_i$ hebben hetzelfde teken — dus $b = ta$ voor zekere $t \geq 0$ , en $\norm b_p = \norm a_p$ geeft $t = 1$ : dus $b = a$ , tegenspraak. De $p$ -sfeer bevat dus geen middelpunt van twee verschillende punten van de sfeer: geen segment. Voor $p = \infty$ in $\R^2$ liggen alle $(1, t)$ met $\abs t \leq 1$ op de eenheidssfeer — een vlakke rib; en voor $p = 1$ ligt het segment $(t, 1 - t)$ , $t \in \intcc01$ , erop.

22. Voor $a = 0$ verdwijnen beide leden. Anders begrenst Hölder elke $\sum a_ib_i$ door $\norm a_p\norm b_q \leq \norm a_p$ . Aangenomen: neem

b_i = \frac{\operatorname{sign}(a_i)\,\abs{a_i}^{p-1}} {\norm a_p^{p/q}} : \qquad \norm b_q^q = \frac{\sum_i\abs{a_i}^{(p-1)q}}{\norm a_p^{p}} = \frac{\norm a_p^p}{\norm a_p^p} = 1, \quad \sum_ia_ib_i = \frac{\norm a_p^p}{\norm a_p^{p/q}} = \norm a_p ,

met $(p-1)q = p$ en $p - \frac pq = 1$ . Het supremum is dus een maximum, gelijk aan $\norm a_p$ : elke $p$ -norm is de duale norm van haar toegevoegde — de kiem van de dualiteit tussen $L^p$ en $L^q$ .

23. Er geldt $\E[X^r] = \sum_i\lambda_ix_i^r$ , dus $\E[X^r]^{1/r} = M_r(x; \lambda)$ , dat volgens vraag 12 stijgt in $r$ (en via de vragen 12–13 ook bij $r \to 0, \pm\infty$ ): de momentongelijkheid van Lyapunov, zuiver een uitspraak over gewogen machtgemiddelden. Zij keert voor echte stochastische variabelen terug in Hoofdstuk 22.

24. (i) De machtgemiddelden $M_1 \leq M_3$ met gelijke gewichten geven $\frac{a+b+c}3 \leq \bigl(\frac{a^3+b^3+c^3}3\bigr)^{1/3}$ ; tot de derde macht verheffen en met $3$ vermenigvuldigen geeft $a^3 + b^3 + c^3 \geq \frac{(a+b+c)^3}9$ . (ii) Cauchy–Schwarz tegen de constante vector: $\sum_i\sqrt{x_i}\cdot1 \leq \bigl(\sum_ix_i\bigr)^{1/2}n^{1/2}$ ; kwadrateren.

25. De definitie met de koorde levert met één algebraïsche herschikking het hellingslemma; hellingen die in een punt worden ingeklemd leveren eenzijdige afgeleiden en steunlijnen, waarvan het gewogen gemiddelde Jensen is. Toegepast op $-\ln$ wordt Jensen de ongelijkheid van Young, die gesommeerd tegen genormaliseerde vectoren Hölder wordt, die gesplitst en opnieuw geabsorbeerd Minkowski wordt — en zo worden de $p$ -normen van Hoofdstuk 5 geboren, met hun dualiteit (vraag 22) en hun meetkunde (vraag 21). Jensen langs de schaal van de machten toegepast rijgt alle gemiddelden van $\min$ tot $\max$ aaneen (vragen 12–14), wat op stochastische variabelen gelezen de momentongelijkheid is (vraag 23). En de ongelijkheid tussen rekenkundig en meetkundig gemiddelde levert, gewogen met één telescopische truc, de grens van Carleman met haar onherleidbare constante $\eu$ (vragen 18–19). De toppen: Hölder en Minkowski, en Carleman. De bestemming: de $L^p$ -ruimten van het volume van bachelorjaar 3, waarvan de grondaxioma’s precies de vragen 6 en 8 zijn, met integralen in plaats van sommen.