Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Bachelor Year 2

8Functies van een reële veranderlijke

Voor de analyse overgaat naar functies van functies (Hoofdstuk 10) loont het de eenvariabele landschap fijner te kennen dan Jaar 1 eiste: hoe discontinu een monotone functie kan zijn, hoe regulier een convexe functie moet zijn, en welke speciale eigenschappen afgeleiden genieten (Darboux). Deze structurele resultaten zijn kort, scherp, en geliefd bij examinatoren.

8.1 Monotone functies

Stelling 8.1 (Regulariteit van monotone functies)

Zij $f \colon I \to \R$ stijgend op een interval.

In elk inwendig punt $a$ bestaan de eenzijdige limieten:

$f(a^-) = \sup_{x < a} f(x) \;\leq\; f(a) \;\leq\; f(a^+) = \inf_{x > a} f(x) ;$

elke discontinuïteit is een sprong.
De verzameling discontinuïteiten van $f$ is ten hoogste aftelbaar.

Bewijs. (1) De verzameling $\{f(x) : x < a\}$ is niet-leeg, van boven begrensd door $f(a)$ : haar supremum $s$ voldoet aan $f(x) \to s$ als $x \to a^-$ (gegeven $\varepsilon$ , enige $f(x_0) > s - \varepsilon$ , en monotonie vangt $f(x) \in \intoc{s - \varepsilon}{s}$ voor $x \in \intoo{x_0}{a}$ ). Symmetrisch rechts.

(2) Koppel aan elke discontinuïteit $a$ het niet-lege open interval $J_a = \intoo{f(a^-)}{f(a^+)}$ (een echte sprong). Voor $a < b$ discontinuïteiten zijn $J_a$ en $J_b$ disjunct: $f(a^+) \leq f(c) \leq f(b^-)$ voor elke $c$ ertussen. Elk $J_a$ bevat een rationaal; onderscheiden discontinuïteiten krijgen onderscheiden rationalen: een injectie van de discontinuïteitsverzameling in $\Q$ , die aftelbaar is (Propositie 1.6). ∎

Voorbeeld 8.2

De grens is scherp: fixeer een enumeratie $(r_n)$ van $\Q \cap \intoo{0}{1}$ en stel $f(x) = \sum_{n : r_n \leq x} 2^{-n}$ (een definitie via sommeerbare families, Definitie 7.8). Dan is $f$ stijgend op $\intcc{0}{1}$ en discontinu precies in elke rationaal van $\intoo{0}{1}$ (sprong $2^{-n}$ in $r_n$ ): een monotone functie kan discontinu zijn op een dichte aftelbare verzameling.

Voorbeeld 8.3 (De sprongen kunnen de stijging niet overtreffen)

Voor $f$ stijgend op $\intcc{a}{b}$ hebben de sprongen een budget: als $a < c_1 < \dots < c_m < b$ discontinuïteiten zijn met sprongen $s_i = f(c_i^+) - f(c_i^-) > 0$ , kies dan ineengevlochten punten $a < c_1 < t_1 < c_2 < \dots$ en gebruik monotonie op elk stuk,

\sum_{i=1}^{m} s_i \;\leq\; f(b) - f(a) :

de totale stijging begrensd de totale sprong. Gevolg: voor elke $k$ hebben ten hoogste $k\,\bigl(f(b) - f(a)\bigr)$ discontinuïteiten sprong $\geq \frac1k$ — een kwantitatieve verfijning van Stelling 8.1 (2), want de discontinuïteitsverzameling is de aftelbare unie over $k$ van deze eindige verzamelingen. Op de rationale-sprongfunctie hierboven wordt het budget exact besteed: de sprongen $2^{-n}$ sommen tot $1 = f(1^+) - f(0^-)$ in de voor de hand liggende uitgebreide zin. Monotone functies mogen dicht springen, maar slechts op een strikte toelage.

8.2 Convexe functies

Lemma 8.4 (Hellingongelijkheid)

Zij $f$ convex op $I$ en $x < y < z$ in $I$ . Dan

\frac{f(y) - f(x)}{y - x} \;\leq\; \frac{f(z) - f(x)}{z - x} \;\leq\; \frac{f(z) - f(y)}{z - y} :

hellingen van koorden stijgen in beide eindpunten.

Bewijs. Schrijf $y = \frac{z - y}{z - x}\,x + \frac{y - x}{z - x}\,z$ : een convexe combinatie, want de twee coëfficiënten zijn positief en sommeren tot $1$ . Convexiteit geeft

f(y) \;\leq\; \frac{z-y}{z-x}\,f(x) + \frac{y-x}{z-x}\,f(z).

Voor de linkerongelijkheid, trek $f(x)$ van beide kanten af, met $\frac{z-y}{z-x} - 1 = -\frac{y-x}{z-x}$ :

f(y) - f(x) \leq \frac{y - x}{z - x}\bigl(f(z) - f(x)\bigr),

en deel door $y - x > 0$ . Voor de rechterongelijkheid, trek in plaats daarvan af van $f(z)$ :

f(z) - f(y) \geq f(z) - \frac{z-y}{z-x}f(x) - \frac{y-x}{z-x}f(z) = \frac{z - y}{z - x}\bigl(f(z) - f(x)\bigr),

en deel door $z - y > 0$ . Beide getoonde stappen zijn dezelfde barycentrische identiteit, gelezen tegen een ander eindpunt. ∎

Stelling 8.5 (Regulariteit van convexe functies)

Zij $f$ convex op een interval $I$ .

In elk inwendig punt heeft $f$ eindige eenzijdige afgeleiden $f'_g \leq f'_d$ ; beide zijn stijgende functies van het punt; in het bijzonder is $f$ continu op het inwendige van $I$ (maar mogelijk niet in de eindpunten).
$f$ ligt boven elke steunlijn: voor $a$ inwendig en enige $m \in \intcc{f'_g(a)}{f'_d(a)}$ ,

$f(x) \geq f(a) + m(x - a) \qquad (x \in I).$
(Jensen, gewogen) Voor $x_i \in I$ en gewichten $\lambda_i \geq 0$ , $\sum\lambda_i = 1$ :

$f\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i\Bigr) \leq \sum_i \lambda_i f(x_i) .$

Bewijs. (1) Fixeer $a$ inwendig. Door Lemma 8.4 is de helling $\tau(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ een stijgende functie van $h$ (aan beide kanten, en $\tau(h_-) \leq \tau(h_+)$ voor $h_- < 0 < h_+$ ). Dus heeft $\tau$ een eindige limiet als $h \to 0^-$ (stijgend, van boven begrensd door enige rechterhelling) — dit is $f'_g(a)$ — en als $h \to 0^+$ ( $f'_d(a)$ ), met $f'_g(a) \leq f'_d(a)$ . Eindige eenzijdige afgeleiden dwingen continuïteit in $a$ . Monotonie in het punt: voor $a < b$ inwendig, $f'_d(a) \leq \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \leq f'_g(b)$ , opnieuw door de hellingongelijkheid.

(2) Voor $x > a$ : $\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \geq f'_d(a) \geq m$ ; voor $x < a$ : $\frac{f(a) - f(x)}{a - x} \leq f'_g(a) \leq m$ . Beide herschikken tot de bewering.

(3) Inductie op het aantal punten precies als in het boekdeel van Jaar 1 (het tweepuntsgeval is de definitie) — of in één slag: pas (2) toe in $a = \sum\lambda_i x_i$ en gemiddeld de steunlijnongelijkheden in de punten $x_i$ met gewichten $\lambda_i$ : $\sum_i \lambda_i f(x_i) \geq f(a) + m\sum_i\lambda_i(x_i - a) = f(a)$ . ∎

Convexiteit in één plaatje: tussen -1.5 en 2 blijft de grafiek van f(x) = x2 onder haar koorde (de definitie) en boven de steunlijn in x = 0.5 ( (2)) — elke ongelijkheid van de weekendopgave van dit hoofdstuk is een herschikking van deze twee posities. — Convexiteit in één plaatje: tussen $-1.5$ en $2$ blijft de grafiek van $f(x) = x^2$ onder haar koorde (de definitie) en boven de steunlijn in $x = 0.5$ (Stelling 8.5 (2)) — elke ongelijkheid van de weekendopgave van dit hoofdstuk is een herschikking van deze twee posities.

Voorbeeld 8.6 (Discontinuïteit in een eindpunt)

Op $\intcc{0}{1}$ is de functie $f(0) = 1$ , $f(x) = 0$ voor $x > 0$ convex maar discontinu in het eindpunt $0$ : bewering (1) is scherp.

Voorbeeld 8.7 (Hoeken en de bundel steunlijnen)

Voor $f(x) = \abs x$ in $a = 0$ : de eenzijdige afgeleiden zijn $f'_g(0) = -1$ en $f'_d(0) = +1$ , en Stelling 8.5 (2) reikt een steunlijn uit voor elke helling $m \in \intcc{-1}{1}$ :

\abs x \geq m\,x \qquad (x \in \R,\ -1 \leq m \leq 1),

elk een gelijkheid precies op een halfrechte of in $0$ . Een convexe functie is differentieerbaar in $a$ precies wanneer de bundel tot één lijn instort ( $f'_g(a) = f'_d(a)$ ); hoeken dragen een interval van raaklijnen. Deze bundel is de eindig-dimensionale kiem van het subdifferentiaal van convexe optimalisatie — en de reden dat convexe functies zo robust zijn: zelfs waar de afgeleide faalt, overleeft de steungeometrie, en dat is alles wat Jensens bewijs gebruikte.

Voorbeeld 8.8 (Machtsgemiddelde-ongelijkheid)

Voor $0 < p < q$ en positieve $x_i$ met gewichten $\lambda_i$ die tot $1$ sommen, Jensen toepassen op de convexe $t \mapsto t^{q/p}$ in de punten $x_i^p$ :

\Bigl(\sum \lambda_i x_i^{p}\Bigr)^{1/p} \leq \Bigl(\sum \lambda_i x_i^{q}\Bigr)^{1/q} :

machtsgemiddelden stijgen met de exponent — met AM–QM, en, in de limiet $p \to 0$ (Oefening 8.6), opnieuw de AM–GM-ongelijkheid.

Het machtsgemiddelde M_p van de waarden 1, 2, 4 (gelijke gewichten), als functie van de exponent p: stijgend van = 1 (als p -∈fty) tot = 4 (als p +∈fty), via het harmonische (p = -1), meetkundige (de opening in p = 0, waarde 2), rekenkundige (p = 1) en kwadratische (p = 2) gemiddelden. De hele keten van klassieke gemiddelde-ongelijkheden is één stijgende kromme — bewezen in de weekendopgave van dit hoofdstuk, Deel III. — Het machtsgemiddelde $M_p$ van de waarden $1, 2, 4$ (gelijke gewichten), als functie van de exponent $p$ : stijgend van $\min = 1$ (als $p \to -\infty$ ) tot $\max = 4$ (als $p \to +\infty$ ), via het harmonische ( $p = -1$ ), meetkundige (de opening in $p = 0$ , waarde $2$ ), rekenkundige ( $p = 1$ ) en kwadratische ( $p = 2$ ) gemiddelden. De hele keten van klassieke gemiddelde-ongelijkheden is één stijgende kromme — bewezen in de weekendopgave van dit hoofdstuk, Deel III.

Voorbeeld 8.9 (Maximale entropie)

Voor een waarschijnlijkheidsvector $(p_1, \dots, p_n)$ (positief, sommerend tot $1$ ) voldoet de entropie $H(p) = -\sum_i p_i\ln p_i$ aan

H(p) \leq \ln n , \qquad\text{met gelijkheid d.e.s.d.a.\ } p_i = \frac1n \text{ voor alle } i .

Bewijs via Jensen (Stelling 8.5 (3)) toegepast op de concave $\ln$ met gewichten $p_i$ in de punten $\frac{1}{p_i}$ :

H(p) = \sum_i p_i\ln\frac{1}{p_i} \leq \ln\Bigl(\sum_i p_i\,\frac1{p_i}\Bigr) = \ln n ,

gelijkheid dwingt alle punten $\frac1{p_i}$ gelijk (strikte concaviteit), d.w.z. $p$ uniform. Equivalent is dit Oefening 8.7 met $q$ uniform. Onzekerheid wordt gemaximaliseerd door gelijkmatig gespreide onwetendheid — het variatieprincipe achter codering, statistische mechanica, en de entropieverschijningen van Hoofdstuk 22.

Methode 8.10 (De convexe functie achter een ongelijkheid vinden)

De meeste klassieke ongelijkheden zijn Jensen in kostuum; om er één uit te kleden: (1) normaliseer zodat een gewogen gemiddelde verschijnt (gewichten positief, sommerend tot $1$ — deel door een totale massa indien nodig); (2) kijk welke functie binnen versus buiten het gemiddelde wordt toegepast: de bewering “ $f(\text{gemiddelde}) \leq$ gemiddelde van $f$ ” noemt de convexe $f$ ; (3) certificeer convexiteit via de tweede afgeleide, en behandel gelijkheid via striktheid; (4) als geen gemiddelde zichtbaar is, neem eerst logaritmen — producten en machten worden gemiddelden, en de concaviteit van $\ln$ draagt AM–GM, Young en hun verwanten (de weekendopgave van dit hoofdstuk voert stappen 1–4 op elk van hen uit). Als zelfs logaritmen geen gemiddelde onthullen, probeer de ongelijkheid te lezen als monotonie van hellingen (Lemma 8.4) — superadditiviteitsuitspraken zoals Oefening 8.9 wonen daar.

Opmerking 8.11 (Veelgemaakte valkuilen)

(i) Convexiteit blijft niet bewaard onder producten: $x$ en $(x - 1)^2$ zijn convex op $\intcc{0}{2}$ , maar hun product $x(x-1)^2$ heeft tweede afgeleide $6x - 4$ , negatief op $\intco{0}{\frac23}$ — niet convex; noch blijft convexiteit bewaard onder samenstelling zonder monotonie (Oefening 8.10). (ii) Jensen keert om voor concave functies: de helft van de klassieke ongelijkheden is de concave $\ln$ -versie; de convexe vorm op $\ln$ toepassen is de snelste manier om AM–GM achterstevoren te bewijzen. (iii) Midpuntconvexiteit alleen impliceert geen convexiteit — continuïteit (of louter begrensdheid) is nodig (Oefening 8.8); de pathologische tegenvoorbeelden leven voorbij de axioma’s van dit boek. (iv) Een convexe functie op een open interval is continu, zelfs lokaal Lipschitz (Oefening 8.12); in eindpunten is niets gratis. (v) Afgeleiden gehoorzamen Darboux maar hoeven niet continu te zijn (Voorbeeld 8.15): “ $f'$ heeft geen sprongen” betekent nooit “ $f'$ is continu”.

8.3 De Darboux-eigenschap

Stelling 8.12 (Darboux)

Zij $f$ differentieerbaar op een interval $I$ . Dan neemt $f'$ elke waarde tussen enige twee van haar waarden — ook al hoeft $f'$ niet continu te zijn.

Bewijs. Zij $a < b$ in $I$ en $v$ strikt tussen $f'(a)$ en $f'(b)$ , zeg $f'(a) < v < f'(b)$ . De functie $g(x) = f(x) - vx$ is differentieerbaar met $g'(a) < 0 < g'(b)$ : haar minimum op $\intcc{a}{b}$ (bereikt: continuïteit op een compactum) ligt niet in $a$ (vlak na $a$ daalt $g$ onder $g(a)$ ) noch in $b$ (vlak vóór $b$ is $g$ onder $g(b)$ ): het is inwendig, en daar $g'(c) = 0$ , d.w.z. $f'(c) = v$ . (Dit was een met ster gemarkeerde oefening van Jaar 1; haar plaats in de theorie is hier.) ∎

Voorbeeld 8.13 (Welke functies zijn afgeleiden?)

De stelling van Darboux is een niet-bestaansmachine. De vloerfunctie $\lfloor x\rfloor$ is niet de afgeleide van enige functie op $\R$ : zij neemt de waarden $0$ en $1$ maar slaat $\frac12$ over op $\intcc{0}{1}$ , wat Stelling 8.12 voor afgeleiden verbiedt. Hetzelfde oordeel treft elke functie met een sprong — sign, Heaviside, alle trapfuncties — hoe onschuldig zij er ook uitzien; hun “primitieven” ( $\abs x$ voor sign, enz.) bestaan enkel weg van de sprong en knopen daar met een hoek. Contrasteer: de wild discontinue $f'$ van Voorbeeld 8.15 is een afgeleide — haar discontinuïteit is een oscillatie, die Darboux verdraagt. De grens tussen de twee gedragingen is precies het geen-sprongen-gevolg hieronder.

Gevolg 8.14

Een afgeleide heeft geen sprongdiscontinuïteiten: als $f'(a^-)$ en $f'(a^+)$ bestaan, zijn zij gelijk aan $f'(a)$ . De discontinuïteiten van een afgeleide zijn altijd van oscillatietype (de afgeleide van $x^2\sin\frac1x$ in $0$ , boekdeel van Jaar 1).

Bewijs. Als $f'(a^+) = \lim_{x\to a^+} f'(x)$ bestaat en verschilt van $f'(a)$ , zouden waarden strikt ertussen door $f'$ overgeslagen worden op een rechteromgeving — in tegenspraak met Darboux op intervallen $\intcc{a}{a + h}$ . (Alternatief: de middelwaardestelling dwingt $f'(a) = \lim_{h\to0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = f'(a^+)$ , het differentiequotiënt zijnde een $f'$ -waarde in een tussenpunt.) Hetzelfde links. ∎

Voorbeeld 8.15 (De canonieke oscillerende afgeleide)

Zij $f(x) = x^2\sin\frac1x$ voor $x \neq 0$ en $f(0) = 0$ . In $0$ : $\bigl|\frac{f(h) - f(0)}{h}\bigr| = \abs{h\sin\frac1h} \leq \abs h \to 0$ , dus $f'(0) = 0$ bestaat. Weg van $0$ ,

f'(x) = 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x ,

waarvan de eerste term naar $0$ streeft terwijl $\cos\frac1x$ oscilleert door $\intcc{-1}{1}$ op elk interval $\intoo{0}{\delta}$ : de limiet $f'(0^+)$ bestaat niet. Dus is $f'$ overal gedefinieerd maar discontinu in $0$ — en, precies zoals Gevolg 8.14 voorspelt, is de discontinuïteit een oscillatie, geen sprong: op elk $\intoo{0}{\delta}$ veegt $f'$ nog een vol interval rond $0$ . Afgeleiden kunnen wild zijn, maar enkel op de Darboux-compatibele manier.

Opmerking 8.16 (Waar dit hoofdstuk gebruikt wordt)

Convexiteit is de motor van de ongelijkheidsindustrie: de weekendopgave van dit hoofdstuk fabriceert Young, Hölder, Minkowski en de machtsgemiddelde-keten eruit, die de normtheorie van Hoofdstuk 5 en de integraalschattingen van Hoofdstuk 9 consumeren; Jensen keert terug in de kansrekening als de momentongelijkheden van Hoofdstuk 22. Monotone regulariteit keert terug in Hoofdstuk 9 (monotone functies zijn integreerbaar) en, in het boekdeel van Jaar 3, als de bijna-overal differentieerbaarheid van monotone functies — waar “aftelbaar vele sprongen” de eerste stap van Lebesgues theorie wordt.

8.4 Oefeningen

Oefening 8.1 ★

Bepaal de discontinuïteitsverzamelingen en de spronggroottes: $\lfloor x \rfloor$ ; $\;x - \lfloor x\rfloor$ ; $\;\lfloor x \rfloor + \sqrt{x - \lfloor x\rfloor}$ ; de functie van het voorbeeld na Stelling 8.1 beperkt tot dyadische rationalen $r_n$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.1.

$\lfloor x\rfloor$ : sprongen van grootte $1$ in elk geheel getal. $x - \lfloor x\rfloor$ : sprongen van grootte $-1$ in gehele getallen (linkerlimiet $1$ , waarde $0$ ). $\lfloor x\rfloor + \sqrt{x - \lfloor x\rfloor}$ : in een geheel getal $n$ , linkerlimiet $(n - 1) + 1 = n$ en waarde $n$ : continu overal (de vierkantswortel herstelt de sprong), al niet differentieerbaar in gehele getallen. De rationale-sprongfunctie: bij restrictie van de constructie tot een enumeratie van de dyadischen springt zij met $2^{-n}$ precies in de $n$ -de dyadische rationaal en is elders continu.

Oefening 8.2 ★

Bewijs dat een stijgende functie $f \colon I \to \R$ met de tussenwaarde-eigenschap (haar beeld van elk deelinterval is een interval) continu is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.2.

Stel $f$ stijgend heeft een discontinuïteit in een inwendig $a$ : dan $f(a^-) < f(a^+)$ (Stelling 8.1) en het beeld van $I$ mist het niet-lege open interval $\intoo{f(a^-)}{f(a^+)}$ behalve mogelijk de enkele waarde $f(a)$ : het beeld van enig deelinterval dat $a$ inwendig bevat is geen interval (het heeft een gat aan minstens één kant van $f(a)$ ). Dit spreekt de tussenwaarde-eigenschap tegen. Eindpuntdiscontinuïteiten worden op dezelfde manier uitgesloten met eenzijdige gaten.

Oefening 8.3 ★

Welke van de volgende zijn convex op hun domein? $x \mapsto x\ln x$ ( $x > 0$ ); $\;x \mapsto \ln(1 + \eu^x)$ ; $\;x \mapsto \sqrt{1 + x^2}$ ; $\;x \mapsto x^3$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.3.

$x\ln x$ : tweede afgeleide $\frac1x > 0$ : convex. $\ln(1 + \eu^x)$ : afgeleide $\frac{\eu^x}{1 + \eu^x} = 1 - \frac{1}{1 + \eu^x}$ , stijgend: convex. $\sqrt{1 + x^2}$ : tweede afgeleide $(1 + x^2)^{-3/2} > 0$ : convex. $x^3$ : niet convex op $\R$ ( $f'' = 6x$ wisselt van teken); convex enkel op $\R_+$ .

Oefening 8.4 ★★

Zij $f$ convex op $\R$ en van boven begrensd. Bewijs dat $f$ constant is. (Als $f(a) \neq f(b)$ , plant de hellingongelijkheid de niet-nul koordehelling voort: voorbij het punt met de grotere waarde groeit $f$ minstens lineair — in tegenspraak met begrensdheid. Behandel beide tekens van de helling.) Leid af dat een convexe functie op $\R$ met een asymptoot aan beide einden affien is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.4.

Stel $f(a) \neq f(b)$ , zeg $f(b) > f(a)$ met $a < b$ (het geval $f(b) < f(a)$ is symmetrisch, kijkend naar links). Voor $x > b$ geeft de hellingongelijkheid (Lemma 8.4) op $a < b < x$

\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \geq \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = m > 0 \quad\Longrightarrow\quad f(x) \geq f(a) + m(x - a) \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty,

in tegenspraak met begrensdheid van boven. Dus is $f$ constant.

Asymptoten: als $f(x) - (\alpha x + \beta) \to 0$ in $+\infty$ en $f(x) - (\alpha' x + \beta') \to 0$ in $-\infty$ , is de convexe functie $g(x) = f(x) - (\alpha x + \beta)$ van boven begrensd nabij $+\infty$ ; convexiteit plus een asymptoot in $-\infty$ (die $\alpha' \leq \alpha$ dwingt, dan $\alpha' = \alpha$ door hellingen te vergelijken in $\mp\infty$ : hellingen van een convexe functie stijgen) maakt $g$ van boven begrensd op heel $\R$ , dus constant $= 0$ in de limiet: $f$ is affien.

Oefening 8.5 ★★

Zij $f$ differentieerbaar op $I$ met $f'$ monotoon. Bewijs dat $f'$ continu is (combineer Stelling 8.1 en Gevolg 8.14).

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.5.

$f'$ is monotoon, dus door Stelling 8.1 zijn haar enige mogelijke discontinuïteiten sprongen, met eenzijdige limieten overal bestaand. Door Gevolg 8.14 heeft een afgeleide geen sprongdiscontinuïteiten. Dus heeft $f'$ geen discontinuïteiten: continu.

Oefening 8.6 ★★

(Meetkundig gemiddelde als limiet) Voor positieve $x_i$ en gewichten $\lambda_i$ die tot $1$ sommen, bewijs

\lim_{p \to 0^+} \Bigl(\sum_i \lambda_i x_i^p\Bigr)^{1/p} = \prod_i x_i^{\lambda_i} ,

via $x_i^p = \eu^{p\ln x_i} = 1 + p\ln x_i + O(p^2)$ , en leid de gewogen AM–GM-ongelijkheid af uit Voorbeeld 8.8.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.6.

Neem logaritmen:

\frac1p \ln\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i^p\Bigr) = \frac1p \ln\Bigl(1 + p\sum_i \lambda_i \ln x_i + O(p^2)\Bigr) = \sum_i \lambda_i \ln x_i + O(p) \xrightarrow[p \to 0^+]{} \sum_i \lambda_i \ln x_i ,

met $\sum\lambda_i = 1$ en $\ln(1 + u) = u + O(u^2)$ . Exponentiëren geeft het meetkundig gemiddelde. Nu voor elke $p \in \intoo{0}{1}$ geeft de machtsgemiddelde-ongelijkheid (Voorbeeld 8.8, exponenten $p < 1$ )

\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i^p\Bigr)^{1/p} \leq \sum_i\lambda_i x_i ;

$p \to 0^+$ links levert $\prod_i x_i^{\lambda_i} \leq \sum_i \lambda_i x_i$ : de gewogen AM–GM-ongelijkheid.

Oefening 8.7 ★★

(Entropieongelijkheid) Met strikte convexiteit van $t \mapsto t\ln t$ , bewijs dat voor positieve $p_i, q_i$ met $\sum p_i = \sum q_i = 1$ :

\sum_i p_i \ln\frac{p_i}{q_i} \geq 0 ,

met gelijkheid d.e.s.d.a. $p = q$ . (Schrijf de linkerkant als $\sum q_i\, \varphi\bigl(\frac{p_i}{q_i}\bigr)$ met $\varphi(t) = t\ln t$ en pas Jensen toe met gewichten $q_i$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.7.

Met $\varphi(t) = t\ln t$ (convex: $\varphi'' = \frac1t > 0$ ) en gewichten $q_i$ in de punten $t_i = \frac{p_i}{q_i}$ :

\sum_i p_i \ln\frac{p_i}{q_i} = \sum_i q_i\, \varphi\Bigl(\frac{p_i}{q_i}\Bigr) \;\geq\; \varphi\Bigl(\sum_i q_i \frac{p_i}{q_i}\Bigr) = \varphi(1) = 0 ,

door Jensen (Stelling 8.5 (3)). Gelijkheid in Jensen voor een strikt convexe functie dwingt alle punten $t_i$ samen te vallen: $\frac{p_i}{q_i}$ constant, en sommeren, de constante is $1$ : $p = q$ . (Deze grootheid — de Kullback–Leibler-divergentie — keert terug in de wereld van Hoofdstuk 22.)

Oefening 8.8 ★★★

(Midpuntconvexiteit) $f \colon I \to \R$ is midpuntconvex wanneer $f\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr) \leq \frac{f(x) + f(y)}{2}$ steeds. Bewijs dat een continue midpuntconvexe functie convex is. (Vestig de convexiteitsongelijkheid voor dyadische gewichten $\frac{k}{2^m}$ door inductie op $m$ , ga dan over tot de limiet met dichtheid en continuïteit.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.8.

Dyadische gewichten. Door inductie op $m$ : het geval $m = 1$ is de hypothese. Voor gewicht $\lambda = \frac{k}{2^{m+1}}$ (oneven $k$ ), schrijf $\lambda = \frac12(\lambda_1 + \lambda_2)$ met $\lambda_j = \frac{k \mp 1}{2^{m+1}}$ , beide van noemer $2^m$ na vereenvoudiging; dan

f\bigl(\lambda x + (1{-}\lambda)y\bigr) = f\Bigl(\tfrac{u + v}{2}\Bigr) \leq \frac{f(u) + f(v)}{2} \leq \lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y),

waar $u = \lambda_1 x + (1 - \lambda_1)y$ en $v = \lambda_2 x + (1-\lambda_2)y$ , met midpuntconvexiteit dan de inductiehypothese op $u, v$ .

Overgang naar de limiet. Voor willekeurige $\lambda \in \intcc{0}{1}$ , neem dyadischen $\lambda_n \to \lambda$ : continuïteit van $f$ en van de affiene afbeeldingen draagt de ongelijkheid $f(\lambda_n x + (1-\lambda_n)y) \leq \lambda_n f(x) + (1-\lambda_n)f(y)$ over naar de limiet: $f$ is convex.

Oefening 8.9 ★★★

Zij $f$ convex op $\intco{0}{+\infty}$ met $f(0) \leq 0$ . Bewijs dat $x \mapsto \frac{f(x)}{x}$ stijgend is op $\intoo{0}{+\infty}$ , en leid af dat voor convexe $f$ met $f(0) = 0$ : $f(x + y) \geq f(x) + f(y)$ voor $x, y \geq 0$ (superadditiviteit).

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.9.

Voor $0 < x < y$ : de hellingongelijkheid (Lemma 8.4) in de punten $0 < x < y$ geeft

\frac{f(x) - f(0)}{x} \leq \frac{f(y) - f(0)}{y}, \qquad\text{d.w.z.}\qquad \frac{f(x)}{x} \leq \frac{f(y)}{y} + f(0)\Bigl(\frac1x - \frac1y\Bigr).

Aangezien $f(0) \leq 0$ en $\frac1x - \frac1y > 0$ , is de laatste term $\leq 0$ : $\frac{f(x)}{x} \leq \frac{f(y)}{y}$ . Dus stijgt $x \mapsto \frac{f(x)}x$ .

Superadditiviteit voor $f(0) = 0$ : voor $x, y > 0$ (gevallen met een nule veranderlijke zijn triviaal),

f(x) = x\,\frac{f(x)}{x} \leq x\,\frac{f(x+y)}{x+y}, \qquad f(y) \leq y\,\frac{f(x+y)}{x+y},

door de zojuist bewezen monotonie; optellen geeft $f(x) + f(y) \leq f(x+y)$ .

Oefening 8.10 ★

Zij $f$ convex op $I$ en $g$ convex stijgend op een interval dat $f(I)$ bevat. Bewijs dat $g \circ f$ convex is, en toon met een tegenvoorbeeld dat monotonie van $g$ niet weggelaten kan worden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.10.

Voor $x, y \in I$ en $\lambda \in \intcc01$ : convexiteit van $f$ , dan monotonie van $g$ , dan convexiteit van $g$ :

g\bigl(f(\lambda x + (1{-}\lambda)y)\bigr) \leq g\bigl(\lambda f(x) + (1{-}\lambda)f(y)\bigr) \leq \lambda\,g(f(x)) + (1{-}\lambda)\,g(f(y)).

Tegenvoorbeeld zonder monotonie: $g(t) = -t$ is convex (affien) maar dalend, $f(x) = x^2$ is convex, en $g \circ f = -x^2$ is strikt concaaf.

Oefening 8.11 ★★

(Hermite–Hadamard) Zij $f$ convex en continu op $\intcc{a}{b}$ . Bewijs

f\Bigl(\frac{a+b}{2}\Bigr) \;\leq\; \frac{1}{b - a}\int_a^b f(t)\,\dd t \;\leq\; \frac{f(a) + f(b)}{2} .

(Links: integreer een steunlijn in het middenpunt. Rechts: begrens $f$ door de koorde.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.11.

Linkerongelijkheid: zij $m = \frac{a+b}2$ en neem een steunlijn in $m$ (Stelling 8.5 (2)): $f(t) \geq f(m) + \mu(t - m)$ voor alle $t \in \intcc ab$ . Integreren over $\intcc{a}{b}$ : de lineaire term integreert tot $\mu\int_a^b(t - m)\dd t = 0$ (symmetrie rond $m$ ), dus $\int_a^b f \geq (b - a)f(m)$ .

Rechterongelijkheid: op $\intcc ab$ begrensd convexiteit $f$ door haar koorde: $f(t) \leq f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(t - a)$ . Integreren: $\int_a^b f \leq (b-a)f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\cdot\frac{(b-a)^2}2 = (b - a)\,\frac{f(a) + f(b)}2$ . Deel door $b - a$ .

Oefening 8.12 ★★★

Bewijs dat een convexe functie op een open interval $I$ lokaal Lipschitz is: voor elk segment $\intcc{a}{b} \subseteq I$ en marge $\delta > 0$ met $\intcc{a - \delta}{b + \delta} \subseteq I$ is de restrictie van $f$ tot $\intcc{a}{b}$ Lipschitz, met constante $\max\Bigl(\bigl|\frac{f(a) - f(a - \delta)}{\delta}\bigr|, \bigl|\frac{f(b + \delta) - f(b)}{\delta}\bigr|\Bigr)$ (vang elke koordehelling tussen deze twee via de hellingongelijkheid).

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.12.

Zij $a - \delta < a \leq x < y \leq b < b + \delta$ , alle in $I$ . Twee toepassingen van de hellingongelijkheid (Lemma 8.4), eerst op $a - \delta < a \leq x < y$ , dan op $x < y \leq b < b + \delta$ :

\frac{f(a) - f(a - \delta)}{\delta} \leq \frac{f(y) - f(x)}{y - x} \leq \frac{f(b + \delta) - f(b)}{\delta}

(koordehellingen stijgen wanneer beide eindpunten naar rechts bewegen). Dus is elke koordehelling binnen $\intcc ab$ gevangen tussen twee vaste getallen, en

\abs{f(y) - f(x)} \leq K\,\abs{y - x}, \qquad K = \max\Bigl(\Bigl|\frac{f(a) - f(a-\delta)}{\delta}\Bigr|, \Bigl|\frac{f(b+\delta) - f(b)}{\delta}\Bigr|\Bigr):

$f$ is Lipschitz op $\intcc ab$ . Elk punt van het open $I$ heeft zo’n segment-met-marge eromheen: lokaal Lipschitz, dus (opnieuw) continu op $I$ .

8.5 Probleem: De convexiteitsgereedschapskist

Eén definitie — de koorde boven de grafiek — genereert de hele gereedschapskist van klassieke ongelijkheden. Deze weekendopgave bouwt haar in logische volgorde: convexiteitscriteria en strikt Jensen, dan Young, Hölder en Minkowski (de geboortebewijzen van de $p$ -normen), de volledige machtsgemiddelde-keten van minimum tot maximum, en twee kroondividenden — de ongelijkheid van Carleman, en Hölder gelezen als dualiteit. Alles wordt bewezen; niets wordt ingevoerd.

Probleem 8.1

Weekendopgave — Young, Hölder, Minkowski, en de machtsgemiddelde-keten

Doorheen zijn $p, q > 1$ geconjugeerde exponenten: $\frac1p + \frac1q = 1$ ; vectoren zijn $a = (a_1, \dots, a_n) \in \R^n$ ; gewichten $\lambda_i > 0$ voldoen aan $\sum_i\lambda_i = 1$ .

Deel I — Criteria en strikt Jensen.

Zij $f$ differentieerbaar op een interval $I$ . Bewijs dat $f$ convex is dan en slechts dan als $f'$ stijgend is (één richting door naar de limiet te gaan in de hellingongelijkheid Lemma 8.4; de andere door de middelwaardestelling). Leid het $C^2$ -criterium $f'' \geq 0$ af.
Stel $f''> 0$ op $I$ . Bewijs dat $f$ strikt convex is (strikte ongelijkheid voor $x \neq y$ en $\lambda \in \intoo01$ ), en dat een strikt convexe functie de ongelijkheid van Jensen (Stelling 8.5 (3)) voldoet met gelijkheid enkel wanneer alle $x_i$ samenvallen.
Certificeer de grondstoffen van de gereedschapskist: $-\ln$ is strikt convex op $\intoo{0}{+\infty}$ ; $t \mapsto t^r$ is daar strikt convex voor $r > 1$ en strikt concaaf voor $0 < r < 1$ ; $\exp$ is strikt convex op $\R$ .
(Ongelijkheid van Young) Voor $a, b \geq 0$ , bewijs

$ab \;\leq\; \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q},$

met gelijkheid d.e.s.d.a. $a^p = b^q$ (pas de concaviteit van $\ln$ toe op de twee punten $a^p, b^q$ met gewichten $\frac1p, \frac1q$ ).
Herleid gewogen AM–GM in één regel uit de concaviteit van $\ln$ :

$\prod_i x_i^{\lambda_i} \leq \sum_i\lambda_ix_i \qquad (x_i > 0),$

met het gelijkheidsgeval; vergelijk met de limietroute van Oefening 8.6.

Deel II — Hölder en Minkowski. Schrijf $\norm{a}_p = \bigl(\sum_i \abs{a_i}^p\bigr)^{1/p}$ en $\norm{a}_\infty = \max_i\abs{a_i}$ .

(Hölder) Bewijs

$\sum_{i=1}^{n}\abs{a_ib_i} \;\leq\; \norm a_p\,\norm b_q ,$

met gelijkheid d.e.s.d.a. de vectoren $(\abs{a_i}^p)$ en $(\abs{b_i}^q)$ evenredig zijn (normaliseer $\norm a_p = \norm b_q = 1$ en pas Young termsgewijs toe).
Identificeer de speciale gevallen: $p = q = 2$ (Cauchy–Schwarz), en het eindpuntpaar $(p, q) = (1, \infty)$ : formuleer en bewijs $\sum\abs{a_ib_i} \leq \norm a_1\norm b_\infty$ .
(Minkowski) Voor $p \geq 1$ , bewijs

$\norm{a + b}_p \leq \norm a_p + \norm b_p$

(schrijf $\abs{a_i + b_i}^p \leq \abs{a_i + b_i}^{p-1}(\abs{a_i} + \abs{b_i})$ en pas Hölder toe op elk product). Concludeer: $\norm\cdot_p$ is een norm op $\R^n$ voor elke $p \in \intco{1}{+\infty}$ , wat het beeld van Hoofdstuk 5 compleet maakt.
Integraalversies: voor $f, g$ continu op $\intcc{a}{b}$ , formuleer en bewijs Hölder en Minkowski voor $\norm f_p = \bigl(\int_a^b\abs f^p\bigr)^{1/p}$ (dezelfde bewijzen, met de strikte positiviteit van de integraal voor de gelijkheidsdiscussie).
Bewijs de monotonie $\norm a_q \leq \norm a_p$ voor $1 \leq p \leq q$ , de limiet $\norm a_p \to \norm a_\infty$ als $p \to \infty$ , en de omgekeerde vergelijking met de scherpe constante:

$\norm a_p \leq n^{\frac1p - \frac1q}\,\norm a_q$

(Hölder tegen de constante vector). Identificeer de vectoren die elke gelijkheid bereiken.
(Interpolatie) Voor $1 \leq p < r < q$ en $\theta \in \intoo01$ met $\frac1r = \frac\theta p + \frac{1-\theta}q$ , bewijs

$\norm a_r \leq \norm a_p^{\theta}\, \norm a_q^{1-\theta}$

(pas Hölder toe met exponenten $\frac{p}{\theta r}$ en $\frac{q}{(1-\theta)r}$ op $\abs{a_i}^{\theta r}\abs{a_i}^{(1-\theta)r}$ ).

Deel III — De machtsgemiddelde-keten, compleet. Voor $p \neq 0$ stel $M_p = \bigl(\sum_i\lambda_i x_i^p\bigr)^{1/p}$ ( $x_i > 0$ ), en $M_0 = \prod_i x_i^{\lambda_i}$ .

Bewijs dat $p \mapsto M_p$ stijgend is op heel $\R^*$ : behandel $p < q < 0$ via de reciproke identiteit $M_{-p}(x) = M_p(1/x)^{-1}$ , en overbrug door $0$ door $M_p \leq M_0 \leq M_q$ te tonen voor $p < 0 < q$ (pas de concaviteit van $\ln$ toe op $x_i^q$ , en de omgekeerde ongelijkheid voor negatieve exponenten).
Bewijs de limieten $M_p \to \max_i x_i$ als $p \to +\infty$ en $M_p \to \min_i x_i$ als $p \to -\infty$ .
Schrijf de keten $\min \leq \mathrm{HM} \leq \mathrm{GM} \leq \mathrm{AM} \leq \mathrm{QM} \leq \max$ uit voor gelijke gewichten, en bewijs het klassieke gevolg: voor positieve $a_1, \dots, a_n$ ,

$\Bigl(\sum_i a_i\Bigr)\Bigl(\sum_i\frac1{a_i}\Bigr) \geq n^2 .$
Relateer gemiddelden aan normen: voor gelijke gewichten $\lambda_i = \frac1n$ , $M_p(x) = n^{-1/p}\norm x_p$ . Verzoen de twee monotonieën — gemiddelden stijgen met $p$ terwijl normen dalen (vraag 10) — in één zin over de factor $n^{-1/p}$ .
Bepaal de gelijkheidsgevallen langs de hele keten van vraag 14 (positieve gewichten): gelijkheid ergens dwingt alle $x_i$ gelijk — strikte convexiteit loont.

Deel IV — Dividenden.

(Young met een knop) Voor $a, b \geq 0$ en $\varepsilon > 0$ , bewijs

$ab \leq \varepsilon\,\frac{a^p}{p} + \varepsilon^{-q/p}\,\frac{b^q}{q},$

en het werkpaardgeval $ab \leq \varepsilon a^2 + \frac{b^2}{4\varepsilon}$ : de absorptietruc die overal in de analyse gebruikt wordt.
(Naar Carleman) Zij $c_k = \frac{(k+1)^k}{k^{k-1}}$ . Bewijs de telescoperende identiteit $\prod_{k=1}^{n}c_k = (n+1)^n$ , en leid af, via AM–GM toegepast op de getallen $c_ka_k$ ,

$(a_1a_2\cdots a_n)^{1/n} \leq \frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n} c_k a_k \qquad (a_k > 0).$
(Ongelijkheid van Carleman) Sommeer over $n$ , wissel de sommatievolgorde (positieve sommeerbare families, Stelling 7.14), en gebruik $\sum_{n \geq k}\frac{1}{n(n+1)} = \frac1k$ en $c_k/k = \bigl(1 + \frac1k\bigr)^k < \eu$ om te concluderen: voor elke convergente $\sum a_k$ met positieve termen,

$\sum_{n=1}^{\infty}(a_1a_2\cdots a_n)^{1/n} \;\leq\; \eu\sum_{k=1}^{\infty}a_k .$
Voor $f$ continu en positief op $\intcc{0}{1}$ , bewijs

$\Bigl(\int_0^1 f\Bigr)\Bigl(\int_0^1\frac1f\Bigr) \geq 1,$

met gelijkheid d.e.s.d.a. $f$ constant is (Cauchy–Schwarz op $\sqrt f\cdot\frac1{\sqrt f}$ ).
(Meetkunde van de ballen) Met het gelijkheidsgeval van Minkowski, toon dat voor $1 < p < \infty$ de eenheidssfeer van $\norm\cdot_p$ geen segment bevat (de norm is strikt convex in de zin van Probleem 5.1), terwijl voor $p = 1$ en $p = \infty$ wel: vertoon de platte stukken.

Deel V — Dualiteit en synthese.

(Hölder als dualiteit) Bewijs dat voor elke $a \in \R^n$ ,

$\norm a_p = \max_{\norm b_q \leq 1}\ \sum_i a_ib_i ,$

met een maximaliserende $b$ expliciet. (De $p$ -norm is de duale van de $q$ -norm — de eindig-dimensionale kiem van $L^p$ -dualiteit.)
(Momenten) Zij $X$ een stochastische veranderlijke die eindig veel positieve waarden $x_i$ aanneemt met kansen $\lambda_i$ . Herformuleer vraag 12 als: $r \mapsto \E[X^r]^{1/r}$ is stijgend — de momentongelijkheid van Lyapunov, te hergebruiken in Hoofdstuk 22.
Los op met benoemde gereedschappen, in twee regels elk: (i) voor positieve $a, b, c$ : $a^3 + b^3 + c^3 \geq \frac{(a+b+c)^3}{9}$ ; (ii) voor positieve $x_1, \dots, x_n$ : $\bigl(\sum_i\sqrt{x_i}\bigr)^2 \leq n\sum_i x_i$ .
(Synthese) Teken de genealogie in vijf zinnen: koordedefinitie naar hellingslemma; hellingen naar steunlijnen naar Jensen; concaviteit van $\ln$ naar Young naar Hölder naar Minkowski naar de $p$ -normen; Jensen naar de machtsgemiddelde-keten naar momenten; AM–GM naar Carleman. Noem de toppen (Hölder–Minkowski; Carleman), en zeg waar de gereedschapskist naartoe gaat: de $L^p$ -ruimten van het boekdeel van Jaar 3, waarvan de axioma’s precies vragen 6 en 8 zijn.

Oplossing

Oplossing van Probleem 8.1.

1. Convex $\Rightarrow$ $f'$ stijgend: voor $a < b$ geeft de hellingongelijkheid, voor kleine $h > 0$ , $\frac{f(a+h) - f(a)}h \leq \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \leq \frac{f(b) - f(b-h)}{h}$ ; $h \to 0$ : $f'(a) \leq \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \leq f'(b)$ . Omgekeerd, als $f'$ stijgt en $x < y < z$ : de middelwaardestelling geeft $c_1 \in \intoo{x}{y}$ , $c_2 \in \intoo yz$ met

\frac{f(y) - f(x)}{y - x} = f'(c_1) \leq f'(c_2) = \frac{f(z) - f(y)}{z - y},

en deze driewegs hellingongelijkheid, toegepast met $y = \lambda x + (1 - \lambda)z$ , herschikt tot de convexiteitsongelijkheid. Voor $C^2$ : $f'' \geq 0$ d.e.s.d.a. $f'$ stijgt.

2. Als $f'' > 0$ , is $f'$ strikt stijgend, en de middelwaardeberekening hierboven geeft een strikte ongelijkheid tussen de twee koordehellingen: strikte convexiteit. Strikte steun: in een inwendig $a$ met steunhelling $m$ , als $f(x_0) = f(a) + m(x_0 - a)$ voor enige $x_0 \neq a$ , dan vallen op het segment van $a$ tot $x_0$ de steunlijn en de koorde samen, en strikte convexiteit in het middenpunt geeft $f\bigl(\frac{a + x_0}2\bigr) < f(a) + m\,\frac{x_0 - a}2$ , in tegenspraak met de steunongelijkheid. Dus $f(x) > f(a) + m(x - a)$ voor alle $x \neq a$ . Strikt Jensen: met $a = \sum\lambda_ix_i$ , gemiddelden van de steunongelijkheden geven $\sum\lambda_if(x_i) \geq f(a)$ , met gelijkheid d.e.s.d.a. elke term een gelijkheid is, d.w.z. d.e.s.d.a. elke $x_i = a$ .

3. $(-\ln)'' = \frac1{t^2} > 0$ ; $(t^r)'' = r(r - 1)t^{r-2}$ , positief voor $r > 1$ , negatief voor $0 < r < 1$ ; $\exp'' = \exp > 0$ . Alle strikt door vraag 2.

4. De gevallen $ab = 0$ zijn triviaal. Voor $a, b > 0$ , concaviteit van $\ln$ in de punten $a^p, b^q$ met gewichten $\frac1p, \frac1q$ :

\ln\Bigl(\frac{a^p}p + \frac{b^q}q\Bigr) \geq \frac1p\ln(a^p) + \frac1q\ln(b^q) = \ln(ab),

en $\ln$ stijgt: $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ . Gelijkheid d.e.s.d.a. de twee punten samenvallen (strikte concaviteit): $a^p = b^q$ .

5. Concaviteit van $\ln$ met gewichten $\lambda_i$ : $\ln\bigl(\sum\lambda_ix_i\bigr) \geq \sum\lambda_i\ln x_i = \ln\prod x_i^{\lambda_i}$ ; exponentieer. Gelijkheid d.e.s.d.a. alle $x_i$ gelijk (vraag 2). De route van Oefening 8.6 verkreeg dezelfde ongelijkheid als limiet van machtsgemiddelden; hier is het één toepassing van Jensen — de gereedschapskist heeft redundantie ingebouwd.

6. Als $a = 0$ of $b = 0$ is de ongelijkheid triviaal. Normaliseer: vervang $a$ door $a/\norm a_p$ en $b$ door $b/\norm b_q$ , we mogen aannemen $\norm a_p = \norm b_q = 1$ en moeten tonen $\sum\abs{a_ib_i} \leq 1$ . Young termsgewijs:

\sum_i\abs{a_i}\abs{b_i} \leq \sum_i\Bigl(\frac{\abs{a_i}^p}{p} + \frac{\abs{b_i}^q}{q}\Bigr) = \frac1p + \frac1q = 1 .

Gelijkheid d.e.s.d.a. elke Young-ongelijkheid strak is: $\abs{a_i}^p = \abs{b_i}^q$ voor alle $i$ — na ongedaan maken van de normalisatie, $(\abs{a_i}^p)$ evenredig met $(\abs{b_i}^q)$ .

7. $p = q = 2$ is Cauchy–Schwarz met hetzelfde gelijkheidsgeval (evenredigheid). Eindpunt: $\sum\abs{a_ib_i} \leq \bigl(\max_i\abs{b_i}\bigr)\sum_i\abs{a_i} = \norm a_1\norm b_\infty$ , onmiddellijk termsgewijs.

8. Voor $p = 1$ is het de driehoeksongelijkheid termsgewijs. Voor $p > 1$ , met $q$ geconjugeerd:

\norm{a+b}_p^p = \sum_i\abs{a_i + b_i}^p \leq \sum_i\abs{a_i+b_i}^{p-1}\abs{a_i} + \sum_i\abs{a_i+b_i}^{p-1}\abs{b_i},

en Hölder op elke som, met $(p - 1)q = p$ :

\sum_i\abs{a_i+b_i}^{p-1}\abs{a_i} \leq \Bigl(\sum_i\abs{a_i+b_i}^{p}\Bigr)^{1/q}\norm a_p = \norm{a + b}_p^{p/q}\,\norm a_p ,

evenzo met $b$ . Dus $\norm{a+b}_p^p \leq \norm{a + b}_p^{p/q}\bigl(\norm a_p + \norm b_p\bigr)$ ; als $a + b \neq 0$ , deel door $\norm{a+b}_p^{p/q}$ en gebruik $p - \frac pq = 1$ . Met homogeniteit en scheiding (duidelijk) is $\norm\cdot_p$ een norm op $\R^n$ .

9. Voor continue $f, g$ op $\intcc ab$ : Hölder

\int_a^b\abs{fg} \leq \Bigl(\int_a^b\abs f^p\Bigr)^{1/p}\Bigl(\int_a^b\abs g^q\Bigr)^{1/q}

door dezelfde normalisatie plus puntsgewijze Young, geïntegreerd; en Minkowski $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$ door dezelfde splitsing, Hölder op elk stuk. Scheiding van de norm gebruikt strikte positiviteit: een continue $\abs f^p$ met nulintegraal verdwijnt identiek (boekdeel van Jaar 1).

10. Monotonie: we mogen aannemen $\norm a_p = 1$ ; dan elke $\abs{a_i} \leq 1$ , dus $\abs{a_i}^q \leq \abs{a_i}^p$ en $\norm a_q^q \leq 1$ : $\norm a_q \leq 1 = \norm a_p$ . Gelijkheid eist $\abs{a_i}^q = \abs{a_i}^p$ voor elke $i$ , d.w.z. elke $\abs{a_i} \in \{0, 1\}$ ; met $\sum\abs{a_i}^p = 1$ blijft precies één coördinaat van modulus $1$ : gelijkheid d.e.s.d.a. $a$ ten hoogste één niet-nul coördinaat heeft. Limiet: $\norm a_\infty \leq \norm a_p \leq n^{1/p}\norm a_\infty$ , en $n^{1/p} \to 1$ . Omgekeerde vergelijking: Hölder met exponenten $\frac qp$ en haar geconjugeerde $\frac{q}{q-p}$ , toegepast op $\abs{a_i}^p\cdot 1$ :

\norm a_p^p = \sum_i\abs{a_i}^p\cdot 1 \leq \Bigl(\sum_i\abs{a_i}^{q}\Bigr)^{p/q}\,n^{1 - p/q} = \norm a_q^{p}\; n^{1-p/q},

vandaar $\norm a_p \leq n^{\frac1p - \frac1q}\norm a_q$ , met gelijkheid d.e.s.d.a. alle $\abs{a_i}$ gelijk zijn (het Hölder-gelijkheidsgeval tegen de constante vector).

11. Schrijf $\abs{a_i}^r = \abs{a_i}^{\theta r}\,\abs{a_i}^{(1-\theta)r}$ en pas Hölder toe met de geconjugeerde exponenten $\frac{p}{\theta r}$ en $\frac{q}{(1-\theta)r}$ (geconjugeerd precies omdat $\frac{\theta r}p + \frac{(1-\theta)r}q = 1$ ):

\norm a_r^r = \sum_i \abs{a_i}^{\theta r}\abs{a_i}^{(1-\theta)r} \leq \Bigl(\sum_i\abs{a_i}^{p}\Bigr)^{\theta r/p} \Bigl(\sum_i\abs{a_i}^{q}\Bigr)^{(1-\theta)r/q} = \norm a_p^{\theta r}\,\norm a_q^{(1-\theta)r} .

Neem $r$ -de wortels: de $p$ -normen zijn log-convex in $\frac1p$ .

12. Beide negatief: als $p < q < 0$ dan $0 < -q < -p$ , en $M_{-q}(y) \leq M_{-p}(y)$ voor de positieve exponenten (cursusgeval, Voorbeeld 8.8) toegepast op $y = (1/x_i)$ ; inverteren van de identiteit $M_p(x) = M_{-p}(1/x)^{-1}$ keert de ongelijkheid om tot $M_p(x) \leq M_q(x)$ . Brug: voor $q > 0$ geeft concaviteit van $\ln$ $\ln M_q = \frac1q\ln\bigl(\sum\lambda_ix_i^q\bigr) \geq \frac1q\sum\lambda_i\ln x_i^q = \ln M_0$ ; voor $p < 0$ geeft dezelfde concaviteit $\ln\bigl(\sum\lambda_ix_i^p\bigr) \geq p\sum\lambda_i\ln x_i$ , en delen door $p < 0$ keert om: $\ln M_p \leq \ln M_0$ . Dus $M_p \leq M_0 \leq M_q$ wanneer $p < 0 < q$ : met de twee zelfde-teken-gevallen stijgt $M$ op heel $\R^*$ (en door $0$ ).

13. Zij $x_{\max} = \max x_i$ , bereikt in $i^*$ . Voor $p > 0$ :

\lambda_{i^*}^{1/p}\,x_{\max} \leq M_p \leq x_{\max},

en $\lambda_{i^*}^{1/p} \to 1$ : $M_p \to x_{\max}$ . Voor $p \to -\infty$ : $M_p(x) = M_{-p}(1/x)^{-1} \to \bigl(\max_i\frac1{x_i}\bigr)^{-1} = \min_ix_i$ .

14. Met $\lambda_i = \frac1n$ leest de keten $M_{-\infty} \leq M_{-1} \leq M_0 \leq M_1 \leq M_2 \leq M_{+\infty}$ als

\min \leq \frac{n}{\sum\frac1{a_i}} \leq \Bigl(\prod a_i\Bigr)^{1/n} \leq \frac{\sum a_i}{n} \leq \sqrt{\frac{\sum a_i^2}{n}} \leq \max .

AM–HM ( $M_{-1} \leq M_1$ ) herschikt rechtstreeks tot $\bigl(\sum a_i\bigr)\bigl(\sum\frac1{a_i}\bigr) \geq n^2$ .

15. Met gelijke gewichten is $M_p(x) = \bigl(\frac1n\sum\abs{x_i}^p\bigr)^{1/p} = n^{-1/p}\norm x_p$ . Als $p$ groeit, daalt $\norm x_p$ (vraag 10) maar de normalisator $n^{-1/p}$ stijgt sneller, en het product stijgt (vraag 12): gemiddelden middelen, normen accumuleren, en de factor $n^{-1/p}$ is precies de wisselkoers tussen de twee boekhoudconventies.

16. Elke schakel is een instantie van strikt Jensen (vraag 2) met de strikt convexe/concave functies van vraag 3 ( $t^{q/p}$ , $\ln$ ), dus dwingt gelijkheid in enige schakel alle $x_i$ gelijk; en $\min = M_p$ of $M_p = \max$ dwingt evenzo alle waarden gelijk aan het gemeenschappelijk extremum. De keten is strikt zodra twee $x_i$ verschillen.

17. Pas Young (vraag 4) toe op het paar $\varepsilon^{1/p}a$ en $\varepsilon^{-1/p}b$ :

ab = (\varepsilon^{1/p}a)(\varepsilon^{-1/p}b) \leq \varepsilon\,\frac{a^p}p + \varepsilon^{-q/p}\,\frac{b^q}q .

Voor $p = q = 2$ , vervang $\varepsilon$ door $2\varepsilon$ : $ab \leq \varepsilon a^2 + \frac{b^2}{4\varepsilon}$ — de absorptieongelijkheid: een product wordt geruild voor een klein veelvoud van één kwadraat plus een groot veelvoud van het andere.

18. Telescoperend:

\prod_{k=1}^{n}c_k = \frac{\prod_{k=1}^n(k+1)^k} {\prod_{k=1}^{n}k^{k-1}} = \frac{2^1\,3^2\cdots(n+1)^n}{1^0\,2^1\cdots n^{n-1}} = (n+1)^n,

elke factor $(k+1)^k$ van de teller cancelt tegen de volgende term van de noemer. AM–GM op de $n$ getallen $c_ka_k$ :

(a_1\cdots a_n)^{1/n} = \frac{\bigl(\prod_k c_ka_k\bigr)^{1/n}}{(n+1)} \leq \frac{1}{n+1}\cdot\frac1n\sum_{k=1}^{n}c_ka_k .

19. Sommeren over $n$ en wisselen van de twee sommaties (alle termen positief: Stelling 7.14):

\sum_{n\geq1}(a_1\cdots a_n)^{1/n} \leq \sum_{n\geq1}\frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n}c_ka_k = \sum_{k\geq1}c_ka_k\sum_{n\geq k}\frac1{n(n+1)} = \sum_{k\geq1}\frac{c_ka_k}{k},

met de telescoperende $\sum_{n\geq k}\bigl(\frac1n - \frac1{n+1}\bigr) = \frac1k$ . Ten slotte $\frac{c_k}k = \frac{(k+1)^k}{k^k} = \bigl(1 + \frac1k\bigr)^k < \eu$ (stijgende rij met limiet $\eu$ , boekdeel van Jaar 1):

\sum_{n\geq1}(a_1\cdots a_n)^{1/n} \leq \eu\sum_{k\geq1}a_k :

de ongelijkheid van Carleman. (De constante $\eu$ is optimaal, al bewijzen we dat niet.)

20. Cauchy–Schwarz (vraag 9, $p = q = 2$ ) toegepast op $\sqrt f$ en $\frac1{\sqrt f}$ :

1 = \Bigl(\int_0^1\sqrt f\cdot\frac{1}{\sqrt f}\Bigr)^{2} \leq \Bigl(\int_0^1 f\Bigr)\Bigl(\int_0^1\frac1f\Bigr).

Gelijkheid d.e.s.d.a. $\sqrt f$ en $\frac1{\sqrt f}$ evenredig zijn, d.w.z. $f^2$ constant, d.w.z. $f$ constant ( $f > 0$ continu).

21. Zij $1 < p < \infty$ , $\norm a_p = \norm b_p = 1$ , $a \neq b$ , en stel $\bigl\Vert\frac{a+b}2\bigr\Vert_p = 1$ , d.w.z. Minkowski is een gelijkheid voor $a, b$ . Het bewijs van vraag 8 volgend dwingt gelijkheid in beide Hölder-toepassingen en in de termsgewijze driehoeksongelijkheden: $(\abs{a_i}^p)$ en $(\abs{b_i}^p)$ beide evenredig met $(\abs{a_i + b_i}^p)$ , en $a_i, b_i$ van hetzelfde teken — dus $b = ta$ voor enige $t \geq 0$ , en $\norm b_p = \norm a_p$ geeft $t = 1$ : $b = a$ , tegenspraak. Dus bevat de $p$ -sfeer geen middenpunt van onderscheiden sfeerpunten: geen segment. Voor $p = \infty$ in $\R^2$ : alle $(1, t)$ , $\abs t \leq 1$ , liggen op de eenheidssfeer — een platte rand; voor $p = 1$ : het segment $(t, 1 - t)$ , $t \in \intcc01$ , doet dat.

22. Voor $a = 0$ verdwijnen beide kanten. Anders begrensd Hölder elke $\sum a_ib_i$ door $\norm a_p\norm b_q \leq \norm a_p$ . Bereiking: neem

b_i = \frac{\operatorname{sign}(a_i)\,\abs{a_i}^{p-1}} {\norm a_p^{p/q}} : \qquad \norm b_q^q = \frac{\sum_i\abs{a_i}^{(p-1)q}}{\norm a_p^{p}} = \frac{\norm a_p^p}{\norm a_p^p} = 1, \quad \sum_ia_ib_i = \frac{\norm a_p^p}{\norm a_p^{p/q}} = \norm a_p ,

met $(p-1)q = p$ en $p - \frac pq = 1$ . Dus is het supremum een maximum, gelijk aan $\norm a_p$ : elke $p$ -norm is de duale norm van haar geconjugeerde — de kiem van $L^p$ – $L^q$ -dualiteit.

23. $\E[X^r] = \sum_i\lambda_ix_i^r$ , dus $\E[X^r]^{1/r} = M_r(x; \lambda)$ , stijgend in $r$ door vraag 12 (en door $r \to 0, \pm\infty$ door vragen 12–13): de momentongelijkheid van Lyapunov, puur een uitspraak over gewogen machtsgemiddelden. Zij keert terug voor echte stochastische veranderlijken in Hoofdstuk 22.

24. (i) Machtsgemiddelden $M_1 \leq M_3$ met gelijke gewichten: $\frac{a+b+c}3 \leq \bigl(\frac{a^3+b^3+c^3}3\bigr)^{1/3}$ ; kubus en vermenigvuldig met $3$ : $a^3 + b^3 + c^3 \geq \frac{(a+b+c)^3}9$ . (ii) Cauchy–Schwarz tegen de constante vector: $\sum_i\sqrt{x_i}\cdot1 \leq \bigl(\sum_ix_i\bigr)^{1/2}n^{1/2}$ ; kwadrateer.

25. De koordedefinitie levert het hellingslemma door één algebraïsche herschikking; hellingen samengeknepen in een punt produceren eenzijdige afgeleiden en steunlijnen, waarvan het gewogen gemiddelde Jensen is. Toegepast op $-\ln$ wordt Jensen Young, die gesommeerd tegen genormaliseerde vectoren Hölder is, die gesplitst en geabsorbeerd Minkowski is — en de $p$ -normen van Hoofdstuk 5 zijn geboren, met hun dualiteit (vraag 22) en hun meetkunde (vraag 21). Jensen toegepast langs de schaal van machten ketent alle gemiddelden van $\min$ tot $\max$ (vragen 12–14), die gelezen op stochastische veranderlijken de momentongelijkheid is (vraag 23). En AM–GM, gewogen door één telescoperende truc, levert de grens van Carleman met haar onherleidbare constante $\eu$ (vragen 18–19). Toppen: Hölder–Minkowski, en Carleman. Bestemming: de $L^p$ -ruimten van het boekdeel van Jaar 3, waarvan de stichtende axioma’s precies vragen 6 en 8 zijn met integralen in plaats van sommen.