Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

9Kansrekening en steekproeven

Kansrekening kent getallen toe aan het toeval. Uitgaande van experimenten met even waarschijnlijke uitkomsten — dobbelstenen, munten, kaarten — bouwt dit hoofdstuk de basisregels op voor het berekenen van kansen van gebeurtenissen, introduceert boomschema’s voor tweestapsexperimenten, en eindigt met de link tussen kansen en waargenomen frequenties. De theorie gaat verder in Hoofdstuk 18.

9.1 Toevalsexperimenten en gebeurtenissen

Definitie 9.1 (Uitkomsten en gebeurtenissen)

Een toevalsexperiment is een experiment waarvan het resultaat niet voorspelbaar is (een dobbelsteen gooien). De verzameling van alle mogelijke resultaten is de uitkomstenruimte $\Omega = \{\omega_1, \dots, \omega_n\}$ ; haar elementen zijn de uitkomsten. Een gebeurtenis is een verzameling uitkomsten; een gebeurtenis treedt op wanneer het resultaat van het experiment ertoe behoort.

Definitie 9.2 (Kansverdeling)

Aan elke uitkomst $\omega_i$ een getal $p_i \geq 0$ toekennen, met $p_1 + \dots + p_n = 1$ , definieert een kans: de kans $\P(A)$ van een gebeurtenis $A$ is de som van de $p_i$ van de uitkomsten in $A$ . In het bijzonder $\P(\Omega) = 1$ en de onmogelijke gebeurtenis $\varnothing$ heeft kans $0$ .

Propositie 9.3 (Even waarschijnlijke uitkomsten)

Als de $n$ uitkomsten even waarschijnlijk zijn (elke $p_i = \frac1n$ ), dan voor elke gebeurtenis $A$ :

\P(A) = \frac{\text{aantal uitkomsten in } A}{n} = \frac{\text{gunstige gevallen}}{\text{mogelijke gevallen}} .

Bewijs. $A$ bevat een zeker aantal $k$ uitkomsten, elk met kans $\frac1n$ , dus $\P(A) = \frac kn$ . ∎

Voorbeeld 9.4

Gooi een eerlijke dobbelsteen: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ , elke uitkomst met kans $\frac16$ . De gebeurtenis $A$ : “het resultaat is even” is $A = \{2, 4, 6\}$ , dus $\P(A) = \frac36 = \frac12$ . De gebeurtenis $B$ : “het resultaat is minstens $5$ ” is $B = \{5, 6\}$ , dus $\P(B) = \frac26 = \frac13$ .

9.2 Gebeurtenissen combineren

Definitie 9.5 (Doorsnede, vereniging, complement)

Laat $A$ en $B$ gebeurtenissen zijn.

$A \cap B$ (“ $A$ en $B$ ”) treedt op wanneer beide optreden;
$A \cup B$ (“ $A$ of $B$ ”) treedt op wanneer minstens één optreedt;
het complement $\bar A$ (“niet $A$ ”) treedt precies op wanneer $A$ dat niet doet;
$A$ en $B$ zijn onverenigbaar wanneer ze niet samen kunnen optreden: $A \cap B = \varnothing$ .

Stelling 9.6 (Optelregels)

Voor alle gebeurtenissen $A$ en $B$ :

\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B) - \P(A \cap B), \qquad \P(\bar A) = 1 - \P(A) .

Voor onverenigbare gebeurtenissen vereenvoudigt de eerste regel tot $\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B)$ .

Bewijs. Optellen van $\P(A) + \P(B)$ telt de kans van elke uitkomst van $A \cup B$ één keer, behalve die van $A \cap B$ , die twee keer geteld worden — één in $A$ en één in $B$ . Aftrekken van $\P(A \cap B)$ herstelt de dubbeltelling. Voor het complement: $A$ en $\bar A$ zijn onverenigbaar en $A \cup \bar A = \Omega$ , dus $\P(A) + \P(\bar A) = \P(\Omega) = 1$ . ∎

Twee overlappende gebeurtenissen: in (A) + (B) wordt de gearceerde doorsnede A ∩ B twee keer geteld, wat de aftrekking in de optelregel verklaart. — Twee overlappende gebeurtenissen: in $\P(A) + \P(B)$ wordt de gearceerde doorsnede $A \cap B$ twee keer geteld, wat de aftrekking in de optelregel verklaart.

Voorbeeld 9.7

Trek één kaart uit een standaard spels van $52$ kaarten. Laat $A$ : “de kaart is een harten” ( $13$ kaarten) en $B$ : “de kaart is een heer” ( $4$ kaarten). Dan is $A \cap B$ “de hartenheer” ( $1$ kaart), en

\P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}.

De complementregel is vaak de snelste route: de kans dat de kaart geen harten is, is $1 - \frac{13}{52} = \frac34$ .

9.3 Boomschema’s

Methode 9.8 (Tweestapsexperimenten)

Voor een experiment in twee stappen:

teken een boom: één tak per mogelijk resultaat van de eerste stap, daarna vanaf elk daarvan één tak per resultaat van de tweede stap, met de kans op elke tak (de takken die een knoop verlaten moeten tot $1$ sommen);
de kans van een pad (een blad van de boom) is het product van de kansen langs zijn takken;
de kans van een gebeurtenis is de som van de kansen van de paden die haar realiseren.

Voorbeeld 9.9

Een urn bevat $3$ rode ballen en $2$ blauwe ballen. Trek één bal, leg haar terug, trek opnieuw. Elke trekking geeft rood (R) met kans $\frac35$ en blauw (B) met kans $\frac25$ .

De boom van twee trekkingen met teruglegging. De vier padkansen sommen tot 1. — De boom van twee trekkingen met teruglegging. De vier padkansen sommen tot $1$ .

De kans om twee ballen van dezelfde kleur te krijgen is $\P(\text{RR}) + \P(\text{BB}) = \frac{9}{25} + \frac{4}{25} = \frac{13}{25}$ ; de kans op minstens één blauw is $1 - \P(\text{RR}) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ (complementregel).

Opmerking 9.10

Zonder teruglegging hangen de kansen van de tweede trekking af van de eerste: met de urn hierboven, na het trekken van een rode bal, blijven nog $2$ rood en $2$ blauw, dus de tweede tak draagt $\frac24$ en $\frac24$ . De boommethode werkt ongewijzigd; alleen de getallen op de takken van het tweede niveau veranderen.

9.4 Frequenties en steekproeven

Wanneer een toevalsexperiment vele malen herhaald wordt, nadert de waargenomen frequentie van een gebeurtenis haar kans — daarom is kansrekening nuttig om de echte wereld te beschrijven.

Definitie 9.11 (Steekproef)

Een steekproef van grootte $n$ is het resultaat van $n$ onafhankelijke herhalingen van hetzelfde experiment. De waargenomen frequentie van een gebeurtenis in de steekproef is het aantal optredens gedeeld door $n$ .

Voorbeeld 9.12

Een eerlijke munt geeft kop met kans $0.5$ . Haar $100$ keer opgooien geeft zelden precies $50$ keer kop: steekproeven fluctueren. Typische reeksen van $100$ worpen geven frequenties zoals $0.46$ , $0.53$ , $0.49$ — dicht bij $0.5$ , maar niet gelijk. Grotere steekproeven fluctueren minder: met $10\,000$ worpen liggen waargenomen frequenties meestal binnen ongeveer $0.01$ van $0.5$ .

Opmerking 9.13 (Fluctuatie-interval)

Een nuttige vuistregel, gerechtvaardigd in Hoofdstuk 19: voor een steekproef van grootte $n$ van een gebeurtenis met kans $p$ (met $n$ redelijk groot), ligt de waargenomen frequentie in het interval

\intcc{p - \frac{1}{\sqrt n}}{\,p + \frac{1}{\sqrt n}}

in ongeveer $95\%$ van de steekproeven. Als een waargenomen frequentie ver buiten dit interval valt, twijfel aan de waarde van $p$ : dit is het startpunt van statistisch toetsen.

Voorbeeld 9.14

Een fabriek beweert dat slechts $10\%$ van haar onderdelen defect is ( $p = 0.1$ ). In een steekproef van $n = 400$ onderdelen zijn er $64$ defect: waargenomen frequentie $\frac{64}{400} = 0.16$ . Het fluctuatie-interval is $\intcc{0.1 - \frac{1}{20}}{0.1 + \frac{1}{20}} = \intcc{0.05}{0.15}$ , en $0.16$ valt erbuiten: de steekproef twijfelt serieus aan de claim.

9.5 Oefeningen

Oefening 9.1 ★

Een eerlijke dobbelsteen wordt gegooid. Bereken de kans van elke gebeurtenis: “een $6$ gooien”; “een oneven getal gooien”; “ten hoogste $4$ gooien”; “een $7$ gooien”.

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.1.

Elk van de $6$ uitkomsten heeft kans $\frac16$ . “Een $6$ gooien”: $\frac16$ . “Oneven getal” $= \{1, 3, 5\}$ : $\frac36 = \frac12$ . “Ten hoogste $4$ ” $= \{1,2,3,4\}$ : $\frac46 = \frac23$ . “Een $7$ gooien”: onmogelijke gebeurtenis, kans $0$ .

Oefening 9.2 ★

Een zak bevat $5$ groene, $3$ gele en $2$ zwarte knikkers; één knikker wordt willekeurig getrokken. Bereken de kans dat ze groen is; dat ze niet zwart is; dat ze groen of geel is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.2.

Er zijn $10$ even waarschijnlijke knikkers. $\P(\text{groen}) = \frac{5}{10} = \frac12$ . $\P(\text{niet zwart}) = 1 - \frac{2}{10} = \frac{8}{10} = \frac45$ . Groen en geel zijn onverenigbaar: $\P(\text{groen of geel}) = \frac{5}{10} + \frac{3}{10} = \frac{8}{10} = \frac45$ .

Oefening 9.3 ★

In een klas van $30$ leerlingen studeren $18$ Spaans, $10$ Duits, en $4$ beide. Een leerling wordt willekeurig gekozen. Bereken met de optelregel de kans dat deze leerling minstens één van de twee talen studeert, daarna de kans dat hij of zij geen van beide studeert.

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.3.

Laat $S$ : “studeert Spaans”, $G$ : “studeert Duits”. Dan $\P(S) = \frac{18}{30}$ , $\P(G) = \frac{10}{30}$ , $\P(S \cap G) = \frac{4}{30}$ . Optelregel:

\P(S \cup G) = \frac{18}{30} + \frac{10}{30} - \frac{4}{30} = \frac{24}{30} = \frac45 .

Complement: $\P(\text{geen van beide}) = 1 - \frac45 = \frac15$ .

Oefening 9.4 ★

Een eerlijke munt wordt twee keer opgegooid. Teken de boom van het experiment en bereken de kans op twee keer kop; precies één keer kop; minstens één keer kop.

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.4.

De boom heeft vier paden KK, KM, MK, MM, elk met kans $\frac12 \times \frac12 = \frac14$ . Twee keer kop: $\frac14$ . Precies één keer kop (KM of MK): $\frac24 = \frac12$ . Minstens één keer kop: $1 - \P(\text{MM}) = 1 - \frac14 = \frac34$ .

Oefening 9.5 ★★

Een urn bevat $4$ rode en $6$ witte ballen. Twee ballen worden achtereenvolgens getrokken zonder teruglegging. Teken de boom met de juiste kansen op het tweede niveau, en bereken de kans op twee rode ballen, daarna op twee ballen van verschillende kleuren.

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.5.

Eerste trekking: rood met kans $\frac{4}{10}$ , wit $\frac{6}{10}$ . Tweede trekking zonder teruglegging: na een rood blijven $3$ rood en $6$ wit onder $9$ ; na een wit $4$ rood en $5$ wit onder $9$ .

Twee rood: $\frac{4}{10} \times \frac39 = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$ .

Verschillende kleuren: paden RW en WR:

\frac{4}{10} \times \frac69 + \frac{6}{10} \times \frac49 = \frac{24}{90} + \frac{24}{90} = \frac{48}{90} = \frac{8}{15}.

Oefening 9.6 ★★

Twee eerlijke dobbelstenen worden gegooid en hun som genoteerd.

Leg uit waarom de uitkomstenruimte genomen kan worden als de $36$ even waarschijnlijke paren $(1,1), (1,2), \dots, (6,6)$ .
Bereken de kans dat de som $7$ is; dat ze $12$ is; dat ze ten hoogste $4$ is.
Welke som is het meest waarschijnlijk?

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.6.

1. Elke dobbelsteen toont onafhankelijk elk vlak met kans $\frac16$ , dus de $36$ geordende paren zijn even waarschijnlijk; de som wordt bepaald door het paar.

2. Som $7$ : de paren $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ , dus $\P = \frac{6}{36} = \frac16$ . Som $12$ : alleen $(6,6)$ , $\P = \frac{1}{36}$ . Som ten hoogste $4$ : paren die tot $2$ , $3$ of $4$ sommen: $(1,1)$ ; $(1,2), (2,1)$ ; $(1,3), (2,2), (3,1)$ — zes paren, dus $\P = \frac{6}{36} = \frac16$ .

3. Het aantal paren dat elke som bereikt groeit van $1$ (som $2$ ) tot $6$ (som $7$ ) en daalt daarna: de meest waarschijnlijke som is $7$ .

Oefening 9.7 ★★

Een meerkeuzevraag biedt $4$ antwoorden, waarvan één correct. Een leerling beantwoordt $2$ onafhankelijke zulke vragen volledig willekeurig. Bereken de kans om beide correct te beantwoorden, precies één correct, geen correct. Controleer dat de drie kansen tot $1$ sommen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.7.

Elke vraag wordt correct beantwoord met kans $\frac14$ , onafhankelijk. Boom met twee niveaus:

Beide correct: $\frac14 \times \frac14 = \frac{1}{16}$ .

Precies één correct: paden correct–fout en fout–correct: $\frac14 \times \frac34 + \frac34 \times \frac14 = \frac{6}{16} = \frac38$ .

Geen correct: $\frac34 \times \frac34 = \frac{9}{16}$ .

Controle: $\frac{1}{16} + \frac{6}{16} + \frac{9}{16} = 1$ .

Oefening 9.8 ★★

Een politicus claimt $50\%$ goedkeuring. In een peiling van $n = 900$ willekeurig gekozen kiezers keuren $396$ goed.

Bereken de waargenomen frequentie en het fluctuatie-interval rond $p = 0.5$ voor $n = 900$ .
Twijfelt de peiling aan de claim?

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.8.

1. Waargenomen frequentie: $\frac{396}{900} = 0.44$ . Met $n = 900$ : $\frac{1}{\sqrt{900}} = \frac{1}{30} \approx 0.033$ , dus het fluctuatie-interval is ongeveer $\intcc{0.467}{0.533}$ .

2. De waargenomen $0.44$ ligt buiten het interval: steekproeven van $900$ kiezers uit een populatie met $50\%$ goedkeuring wijken zelden zo ver af. De peiling twijfelt serieus aan de geclaimde $50\%$ .

Oefening 9.9 ★★★

Een spel kost $2$ om te spelen: je gooit een eerlijke dobbelsteen en wint $6$ bij een $6$ , $3$ bij een $5$ , niets anders.

Bereken de kans van elk gewonnen bedrag ( $6$ , $3$ , $0$ ).
Over $600$ spellen, hoeveel van elke uitkomst verwacht je ongeveer? Bereken de totale verwachte winst en het verlies: is het spel de moeite waard?

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.9.

1. $\P(\text{win } 6) = \frac16$ (gooi een $6$ ), $\P(\text{win } 3) = \frac16$ (gooi een $5$ ), $\P(\text{win } 0) = \frac46 = \frac23$ .

2. Over $600$ spellen verwacht men ongeveer $100$ zessen, $100$ vijven, $400$ andere worpen. Winst: ongeveer $100 \times 6 + 100 \times 3 = 900$ . Kosten: $600 \times 2 = 1200$ . Verwacht nettoresultaat: $900 - 1200 = -300$ , d.w.z. een verlies van ongeveer $0.5$ per spel gemiddeld — het spel is de moeite niet waard.