Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Bachelor Year 2

20Lijnintegralen en meervoudige integralen

Dit hoofdstuk breidt de integratie uit van intervallen naar krommen en naar gebieden van het vlak en van de ruimte. Lijnintegralen integreren een differentiaalvorm $P\,\dd x + Q\,\dd y$ langs een georiënteerde boog; dubbele en drievoudige integralen integreren functies over twee- en driedimensionale gebieden. De twee theorieën ontmoeten elkaar in de stelling van Green–Riemann, de tweedimensionale hoofdstelling van de integraalrekening, en het voornaamste rekengereedschap is overal de formule voor de verandering van veranderlijken, waarvan de vervormingsfactor de absolute waarde van de jacobideterminant is.

20.1 Lijnintegralen

Definitie 20.1 (Differentiaalvorm; lijnintegraal)

Zij $U \subseteq \R^2$ open. Een differentiaalvorm van graad $1$ en van klasse $\mathcal{C}^0$ op $U$ is een uitdrukking $\omega = P\,\dd x + Q\,\dd y$ met $P, Q \colon U \to \R$ continu — formeel een continue afbeelding van $U$ in de duale ruimte van $\R^2$ , $\omega(M) = P(M)\,e_1^* + Q(M)\,e_2^*$ . Voor een $\mathcal{C}^1$ -boog $\gamma \colon [a, b] \to U$ , $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ , is de lijnintegraal van $\omega$ langs $\gamma$

\int_\gamma \omega = \int_a^b \Bigl(P(\gamma(t))\,x'(t) + Q(\gamma(t))\,y'(t)\Bigr)\,\dd t .

De definities breiden woordelijk uit tot $\R^3$ (vormen $P\,\dd x + Q\,\dd y + R\,\dd z$ ) en tot stuksgewijs $\mathcal{C}^1$ -bogen (som over de stukken).

Propositie 20.2 (Invariantie en oriëntatie)

De lijnintegraal verandert niet onder een stijgende $\mathcal{C}^1$ -parameterverandering, en verandert van teken onder een dalende. Zij hangt dus alleen van de georiënteerde meetkundige boog af.

Bewijs. Is $\theta \colon [c, d] \to [a, b]$ een parameterverandering en $\tilde\gamma = \gamma \circ \theta$ , dan geldt volgens de kettingregel en de verandering van veranderlijke $t = \theta(u)$ in één veranderlijke

\int_{\tilde\gamma}\omega = \int_c^d \bigl(P(\gamma(\theta(u)))\,x'(\theta(u)) + Q(\gamma(\theta(u)))\,y'(\theta(u))\bigr)\,\theta'(u)\,\dd u = \pm\int_a^b \bigl(Px' + Qy'\bigr)(t)\,\dd t ,

met teken $+$ als $\theta$ stijgt ( $\theta(c) = a$ ) en $-$ als zij daalt (de grenzen verwisselen). ∎

Voorbeeld 20.3 (Arbeid van een kracht; circulatie)

Is $F = (P, Q)$ een krachtveld, dan is $\int_\gamma P\dd x + Q\dd y = \int_a^b \langle F(\gamma(t)), \gamma'(t)\rangle\,\dd t$ de arbeid van $F$ langs $\gamma$ . Voor $\omega = -y\,\dd x + x\,\dd y$ langs de eenheidscirkel tegen de wijzers van de klok in, $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ :

\int_\gamma \omega = \int_0^{2\pi}\bigl((-\sin t)(-\sin t) + \cos t\cos t\bigr)\,\dd t = 2\pi ,

tweemaal de omsloten oppervlakte — een eerste hint van Green–Riemann.

Voorbeeld 20.4 (Eén integraal, twee parametriseringen, één tekenval)

Bereken $\int_\gamma x\,\dd y$ langs de bovenste eenheidshalfcirkel van $(1, 0)$ naar $(-1, 0)$ . Met $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ , $t \in \intcc0\pi$ :

\int_0^\pi\cos t\cdot\cos t\,\dd t = \frac\pi2 .

Met de grafiekparametrisering $x \mapsto (x, \sqrt{1 - x^2})$ , $x$ van $1$ naar $-1$ (let op de richting!):

\int_1^{-1}x\cdot\frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x = \int_{-1}^{1}\frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x = \frac\pi2

( $x = \sin u$ herleidt haar tot een integraal van Wallis). Dezelfde waarde, zoals Propositie 20.2 waarborgt — maar alleen omdat beide doorlopen van $(1,0)$ naar $(-1,0)$ gaan; de reis omkeren keert het teken om. Het pad sluiten langs de $x$ -as (waar $\dd y = 0$ ) voegt niets toe, en het totaal $\frac\pi2$ is de oppervlakte van de halve schijf: het eerste geval van de randformules voor oppervlakten van Green–Riemann hieronder.

Definitie 20.5 (Exacte en gesloten vormen)

De vorm $\omega = P\,\dd x + Q\,\dd y$ van klasse $\mathcal{C}^0$ heet exact op $U$ wanneer er een $f \in \mathcal{C}^1(U)$ bestaat (een potentiaal) met $\omega = \dd f$ , dat wil zeggen $P = f_x$ en $Q = f_y$ . Een $\mathcal{C}^1$ -vorm heet gesloten wanneer $P_y = Q_x$ op $U$ .

Stelling 20.6 (Hoofdstelling voor lijnintegralen)

Is $\omega = \dd f$ exact en $\gamma$ een stuksgewijs $\mathcal{C}^1$ -boog in $U$ van $A$ naar $B$ , dan is

\int_\gamma \omega = f(B) - f(A) .

In het bijzonder is de integraal van een exacte vorm langs elke gesloten boog nul, en is elke exacte $\mathcal{C}^1$ -vorm gesloten.

Bewijs. $\frac{\dd}{\dd t}f(\gamma(t)) = f_x(\gamma(t))x'(t) + f_y(\gamma(t))y'(t)$ volgens de kettingregel (Hoofdstuk 15), dus is de integrand in Definitie 20.1 de afgeleide van $t \mapsto f(\gamma(t))$ , en de hoofdstelling van de integraalrekening geeft het resultaat op elk stuk; de tussenwaarden telescoperen. Dat exacte $\mathcal{C}^1$ -vormen gesloten zijn, is de stelling van Schwarz: $P_y = f_{xy} = f_{yx} = Q_x$ . ∎

Voorbeeld 20.7 (Een potentiaal reconstrueren)

Zij $\omega = y\,\eu^{xy}\,\dd x + (x\,\eu^{xy} + 2y)\,\dd y$ op $\R^2$ . Zij is gesloten: beide gemengde afgeleiden zijn gelijk aan $\eu^{xy}(1 + xy)$ . Om een potentiaal te vinden, integreer je $P$ naar $x$ bij vaste $y$ :

f(x, y) = \int y\,\eu^{xy}\,\dd x = \eu^{xy} + c(y),

en pas je $c$ aan door $f_y$ te laten kloppen: $x\,\eu^{xy} + c'(y) = x\,\eu^{xy} + 2y$ geeft $c(y) = y^2$ . Dus $f(x,y) = \eu^{xy} + y^2$ , en voor elke stuksgewijs $\mathcal C^1$ -boog van $(0,0)$ naar $(1,1)$ is

\int_\gamma\omega = f(1,1) - f(0,0) = (\eu + 1) - 1 = \eu ,

onafhankelijk van het pad — het recept in twee stappen (integreren naar $x$ , corrigeren in $y$ ) is de praktische omkering van Stelling 20.6 op gebieden waar gesloten vormen exact zijn.

Voorbeeld 20.8 (Gesloten impliceert niet exact)

Op $U = \R^2 \setminus \{0\}$ is de hoekvorm

\omega = \frac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2}

gesloten (rechtstreekse berekening: zowel $P_y$ als $Q_x$ is gelijk aan $\frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}$ ), maar haar integraal langs de eenheidscirkel is $2\pi \neq 0$ (dezelfde berekening als in Voorbeeld 20.3, gedeeld door $1$ ): $\omega$ is niet exact op $U$ . Lokaal is $\omega = \dd\theta$ voor een bepaling $\theta$ van de poolhoek; het falen is globaal — de hoek kan niet continu rond het gat worden gedefinieerd. Op gebieden zonder gaten verdwijnt de pathologie: op een stervormige open verzameling is elke gesloten $\mathcal{C}^1$ -vorm exact (het lemma van Poincaré, Oefening 20.8).

20.2 Dubbele integralen

Wij nemen de theorie van de riemann-integraal in één veranderlijke als bekend aan (volume van bachelorjaar 1, en Hoofdstuk 9) en schetsen haar versie met twee veranderlijken. Een functie $f$ die continu is op een rechthoek $R = [a, b] \times [c, d]$ heeft een dubbele integraal $\iint_R f$ , gedefinieerd met Riemannsommen over roosters precies als in één veranderlijke, en berekend door iteratie:

Stelling 20.9 (Fubini op een rechthoek)

Voor $f$ continu op $R = [a,b] \times [c,d]$ geldt

\iint_R f = \int_a^b \Bigl(\int_c^d f(x, y)\,\dd y\Bigr)\dd x = \int_c^d \Bigl(\int_a^b f(x, y)\,\dd x\Bigr)\dd y .

Bewijs. Zet $F(x) = \int_c^d f(x, y)\,\dd y$ . De uniforme continuïteit van $f$ op het compacte $R$ maakt $F$ continu (gedomineerde schatting: $\abs{F(x) - F(x')} \leq (d - c)\sup_y\abs{f(x,y) - f(x',y)}$ ). Verdeel nu $[a,b]$ en $[c,d]$ elk in $n$ gelijke delen, wat een rooster van cellen $R_{ij}$ met oppervlakte $\Delta x\,\Delta y$ geeft. Op elke cel is $\inf_{R_{ij}} f \cdot \Delta x \Delta y \leq \int_{x_{i-1}}^{x_i}\int_{y_{j-1}}^{y_j} f(x,y)\,\dd y\,\dd x \leq \sup_{R_{ij}} f \cdot \Delta x \Delta y$ wegens de monotonie van de integraal in één veranderlijke (tweemaal toegepast). Sommeren over de cellen klemt de herhaalde integraal $\int_a^b F$ tussen de onder- en bovensommen van Riemann van het rooster; wegens de uniforme continuïteit convergeren beide sommen naar de gemeenschappelijke waarde die $\iint_R f$ definieert als $n \to \infty$ . Hetzelfde argument werkt met de rollen van $x$ en $y$ verwisseld, dus beide herhaalde integralen zijn gelijk aan $\iint_R f$ . ∎

Opmerking 20.10

De continuïteit op een compacte rechthoek doet in het bewijs van Fubini echt werk: zij levert de uniforme continuïteit die de Riemannsommen inklemt. Voor wildere integranden faalt de uitspraak werkelijk — er bestaan functies waarvan de twee herhaalde integralen bestaan en verschillen. De eerlijke algemene stelling, met integreerbaarheid als enige hypothese, is de stelling van Fubini voor de lebesgue-integraal, bewezen in het volume van bachelorjaar 3; alles in dit hoofdstuk blijft binnen het continue kader waar het elementaire bewijs hierboven volledig is.

Definitie 20.11 (Elementaire gebieden)

Een gebied $D \subseteq \R^2$ heet $y$ -elementair wanneer

D = \{(x, y) : a \leq x \leq b,\ \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x)\}

met $\varphi_1 \leq \varphi_2$ continu op $[a,b]$ ( $x$ -elementair: symmetrisch). Voor $f$ continu op een $y$ -elementair gebied $D$ is

\iint_D f = \int_a^b\Bigl( \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,\dd y\Bigr)\dd x ,

en men gaat na (door $f$ met een benaderingsargument uit te breiden, of door onder te verdelen) dat wanneer $D$ in beide richtingen elementair is, de twee herhaalde integralen overeenstemmen. Gebieden die in eindig veel elementaire stukken worden gesneden, worden met de additiviteit behandeld, en de oppervlakte van $D$ is $\operatorname{Area}(D) = \iint_D 1$ .

Voorbeeld 20.12

Op de driehoek $D = \{0 \leq x \leq 1,\ 0 \leq y \leq x\}$ :

\iint_D xy \,\dd x\,\dd y = \int_0^1 x\Bigl(\int_0^x y\,\dd y\Bigr)\dd x = \int_0^1 x\cdot\frac{x^2}{2}\,\dd x = \frac18 .

De volgorde verwisselen ( $x$ van $y$ tot $1$ ): $\int_0^1 y\bigl(\int_y^1 x\,\dd x\bigr)\dd y = \int_0^1 y\,\frac{1 - y^2}{2}\,\dd y = \frac18$ — dezelfde waarde, een andere berekening: de volgorde van integreren goed kiezen is de helft van het vak.

Voorbeeld 20.13 (Wanneer maar één volgorde werkt)

Bereken $I = \displaystyle\int_0^1\!\!\int_x^1 \eu^{y^2}\,\dd y\,\dd x$ . Zoals zij er staat, heeft de binnenste integraal $\int\eu^{y^2}\dd y$ geen elementaire primitieve: de berekening loopt vast. Maar het gebied is de driehoek $0 \leq x \leq y \leq 1$ , die in beide richtingen elementair is; de volgorde verwisselen geeft

I = \int_0^1\!\!\int_0^y \eu^{y^2}\,\dd x\,\dd y = \int_0^1 y\,\eu^{y^2}\,\dd y = \Bigl[\tfrac12\eu^{y^2}\Bigr]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2} .

De binnenste veranderlijke $x$ kwam in de integrand nergens voor, dus haar eerst integreren bracht precies de factor $y$ voort die de buitenste integraal onmiddellijk maakt. Moraal: Fubini is niet alleen een vergunning om te itereren — het is een vergunning om te kiezen, en de juiste volgorde kan van een onmogelijke integraal een regel van één zin maken. Schets altijd het gebied en lees beide beschrijvingen af voordat je begint.

Stelling 20.14 (Verandering van veranderlijken)

Zij $\Phi \colon U' \to U$ een $\mathcal{C}^1$ -diffeomorfisme tussen open verzamelingen van $\R^2$ , zij $K \subseteq U$ een compact gebied dat in elementaire stukken is gesneden met $K' = \Phi^{-1}(K)$ , en zij $f$ continu op $K$ . Dan is

\iint_K f(x, y)\,\dd x\,\dd y = \iint_{K'} f\bigl(\Phi(u, v)\bigr)\, \abs{\det J_\Phi(u, v)}\,\dd u\,\dd v .

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 20.15

Het volledige bewijs — $\Phi$ door haar differentiaal benaderen op een fijn rooster en de randcellen beheersen — is lang maar niet diep; het wordt volledig uitgevoerd in de maattheorie van bachelorjaar 3, als gevolg van de theorie van Lebesgue. De heuristiek is het beeld dat al voor de oppervlakte van een oppervlak werd gebruikt: een klein vierkant met zijde $\dd u$ in $(u, v)$ wordt tot op eerste orde afgebeeld op het parallellogram opgespannen door $\Phi_u\,\dd u$ en $\Phi_v\,\dd v$ , waarvan de oppervlakte $\abs{\det J_\Phi}\,\dd u\,\dd v$ is (Lemma 19.18).

Opmerking 20.16 (Methode: de verandering van veranderlijken kiezen)

Drie reflexen dekken de meeste gevallen. Symmetrie van de integrand: $x^2 + y^2$ roept om poolcoördinaten, een productstructuur roept om het behouden van de cartesische assen. Vorm van de rand: randen $u(x,y) = c_1$ , $v(x,y) = c_2$ smeken om de coördinaten $(u, v)$ zelf, zoals in het voorbeeld met het hyperbolische gebied hieronder — het gebied wordt een rechthoek, en dat is de hele overwinning. Lineaire structuur: uitdrukkingen in $x + y$ en $x - y$ nodigen uit tot de rotatie over $45$ graden of tot een afschuiving (Voorbeeld 20.18). In alle gevallen zijn er drie hokjes aan te vinken voordat je integreert: de afbeelding is een bijectie van het nieuwe gebied op het oude; haar jacobideterminant wordt berekend in de richting die werkelijk wordt gebruikt (inverteer op het einde als dat gemakkelijker is); en de jacobideterminant komt binnen met haar absolute waarde.

Voorbeeld 20.17 (Poolcoördinaten)

$\Phi(\rho, \alpha) = (\rho\cos\alpha,\ \rho\sin\alpha)$ heeft

J_\Phi = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\rho\sin\alpha\\ \sin\alpha & \rho\cos\alpha \end{pmatrix}, \qquad \det J_\Phi = \rho ,

dus $\dd x\,\dd y = \rho\,\dd\rho\,\dd\alpha$ . Voor de schijf $D_R$ met straal $R$ :

\iint_{D_R} e^{-(x^2 + y^2)}\,\dd x\,\dd y = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^R e^{-\rho^2}\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha = \pi\bigl(1 - e^{-R^2}\bigr) \xrightarrow[R\to\infty]{} \pi .

Vergelijken met het vierkant $[-R, R]^2$ (dat tussen de schijven $D_R$ en $D_{R\sqrt2}$ geklemd zit, met overal positieve integranden) geeft $\bigl(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\dd x\bigr)^2 = \pi$ :

\boxed{\ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,\dd x = \sqrt{\pi}\ }

— opnieuw de integraal van Gauss, nu met haar beroemdste bewijs (vergelijk de afleiding in één veranderlijke in Hoofdstuk 9).

Voorbeeld 20.18 (Affiene veranderingen van veranderlijken)

Voor een affiene afbeelding $\Phi(u, v) = M(u, v)^{\mathsf T} + C$ met $M$ inverteerbaar is de jacobimatrix de constante matrix $M$ : oppervlakten worden vermenigvuldigd met de constante factor $\abs{\det M}$ — de belofte uit Hoofdstuk 17 is nu een stelling. Twee onmiddellijke toepassingen. De ellips $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1$ is het beeld van de eenheidsschijf onder $(u, v) \mapsto (au, bv)$ , dus is haar oppervlakte $ab \cdot \pi$ — zonder berekening. En voor de integraal van $f(x + y)$ over het vierkant $K = \intcc01^2$ maakt de afschuiving $\Phi(u, v) = (u - v, v)$ (determinant $1$ ) er een integraal van $f(u)$ over een parallellogram van, dat Fubini bij constante $u$ in schijven snijdt: met $f = \exp$ ,

\iint_K \eu^{x+y}\,\dd x\,\dd y = \Bigl(\int_0^1 \eu^x\,\dd x\Bigr)^2 = (\eu - 1)^2,

zoals de productstructuur bevestigt. Coördinaten kiezen die bij de integrand passen — niet bij het gebied — is de andere helft van het vak.

Voorbeeld 20.19 (Coördinaten aangepast aan een kromlijnig gebied)

Zij $D$ het gebied in het eerste kwadrant begrensd door de hyperbolen $xy = 1$ en $xy = 3$ en de rechten $y = x$ en $y = 3x$ . In de coördinaten $u = xy$ , $v = y/x$ wordt het gebied het vierkant $\intcc13 \times \intcc13$ ; inverteren geeft

x = \sqrt{u/v}, \qquad y = \sqrt{uv}, \qquad \det J = x_uy_v - x_vy_u = \frac{1}{2v}

(een berekening van twee regels met $x = u^{1/2}v^{-1/2}$ , $y = u^{1/2}v^{1/2}$ ). Bijgevolg is

\operatorname{Area}(D) = \int_1^3\!\!\int_1^3\frac{\dd u\,\dd v}{2v} = 2\cdot\frac{\ln 3}{2} = \ln 3 \approx 1.10 .

$D$ in cartesische coördinaten in schijven snijden betekent haar in drie stukken met hyperbolische en lineaire randen snijden — haalbaar, vreugdeloos en foutgevoelig. De moraal herhaalt Voorbeeld 20.18 in volle kracht: lees de randvergelijkingen, en laat hen de coördinaten kiezen; de jacobideterminant zet dan de celoppervlakte van het kromlijnige rooster om, precies zoals $\rho$ dat voor poolcoördinaten deed.

Voorbeeld 20.20 (Gemiddelde waarden)

De gemiddelde waarde van $f$ over een gebied $D$ is $\frac1{\operatorname{Area}(D)}\iint_Df$ . Voorbeeld: de gemiddelde afstand tot het middelpunt voor een uniform gekozen punt van de schijf met straal $R$ is

\frac{1}{\pi R^2}\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^R \rho\cdot\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha = \frac{2\pi R^3/3}{\pi R^2} = \frac{2R}3 ,

niet $R/2$ : een uniforme oppervlakte legt meer massa bij grote stralen (de ring op straal $\rho$ heeft gewicht evenredig met $\rho$ ), zodat het gemiddelde voorbij het halverwegepunt ligt. Deze factor juist krijgen is precies de jacobiaan van de poolcoördinaten aan het werk, en dezelfde weging verklaart het zwaartepunt $\bar z = 3R/8$ van de halve bol dat verderop in het hoofdstuk wordt berekend, in plaats van $R/2$ .

20.3 De stelling van Green–Riemann

Stelling 20.21 (Green–Riemann)

Zij $K \subseteq \R^2$ een compact gebied dat in beide richtingen elementair is (of een eindige vereniging van zulke gebieden, langs segmenten aaneengelijmd), met als rand $\partial K$ een stuksgewijs $\mathcal{C}^1$ gesloten kromme, georiënteerd tegen de wijzers van de klok in (het gebied blijft links). Voor $P, Q$ van klasse $\mathcal{C}^1$ op een omgeving van $K$ geldt

\oint_{\partial K} P\,\dd x + Q\,\dd y = \iint_K \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,\dd x\,\dd y .

Bewijs. Ten eerste zijn beide leden additief wanneer $K$ langs een segment in twee stukken $K_1, K_2$ wordt gesneden: de dubbele integralen tellen op wegens de additiviteit van $\iint$ ; en wat de randintegralen betreft, doorlopen de randen van $K_1$ en $K_2$ tegen de wijzers van de klok in de inwendige snede elk eenmaal, in tegengestelde richtingen, zodat in de som

\oint_{\partial K_1} + \oint_{\partial K_2} = \oint_{\partial K} + (\text{de snede, in beide richtingen}) = \oint_{\partial K},

de twee passages langs de snede elkaar opheffen (Propositie 20.2) en alleen de buitenrand overblijft. Door eindig veel sneden te herhalen, volstaat het een elementair gebied te behandelen. Wij bewijzen $\oint P\,\dd x = -\iint_K P_y$ op een $y$ -elementair gebied $D = \{a \leq x \leq b,\ \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x)\}$ ; de identiteit $\oint Q\,\dd y = \iint_K Q_x$ is symmetrisch ( $x$ -elementair), en de stelling is hun som.

Bereken de dubbele integraal met Fubini en de hoofdstelling in één veranderlijke:

\iint_D \frac{\partial P}{\partial y}\,\dd x\,\dd y = \int_a^b \bigl(P(x, \varphi_2(x)) - P(x, \varphi_1(x))\bigr) \,\dd x .

Nu bestaat de rand van $D$ , tegen de wijzers van de klok in, uit: de onderste grafiek $y = \varphi_1(x)$ van links naar rechts doorlopen, het rechtse verticale segment $x = b$ (omhoog), de bovenste grafiek $y = \varphi_2(x)$ van rechts naar links doorlopen, en het linkse verticale segment $x = a$ (omlaag). Langs de verticale segmenten is $x$ constant, dus dragen zij $0$ bij aan $\oint P\,\dd x$ ; de grafieken, geparametriseerd met $x$ , geven

\oint_{\partial D} P\,\dd x = \int_a^b P(x, \varphi_1(x))\,\dd x - \int_a^b P(x, \varphi_2(x))\,\dd x = -\iint_D \frac{\partial P}{\partial y}\,\dd x\,\dd y . \qedhere

∎

Gevolg 20.22 (Oppervlakte via de rand)

Onder de hypothesen van Stelling 20.21 is

\operatorname{Area}(K) = \oint_{\partial K} x\,\dd y = -\oint_{\partial K} y\,\dd x = \frac12\oint_{\partial K} x\,\dd y - y\,\dd x .

Bewijs. Pas Green–Riemann toe op $(P, Q) = (0, x)$ , $(-y, 0)$ en $\frac12(-y, x)$ : telkens is $Q_x - P_y = 1$ . ∎

Opmerking 20.23 (Kiezen tussen de drie oppervlakteformules)

De drie randformules zijn gelijk, maar in de praktijk niet onderling verwisselbaar. Gebruik $\oint x\,\dd y$ wanneer de parametrisering $\dd y$ eenvoudig maakt (grafieken boven de $y$ -as), $-\oint y\,\dd x$ symmetrisch, en de symmetrische halve som wanneer de parametrisering $x$ en $y$ gelijk behandelt — voor de ellips leverde zij een constante integrand op, zonder enige goniometrische linearisatie. Op veelhoekige randen wordt de halve som de veterformule van Oefening 20.12, het algoritme van de landmeters. En wordt de rand door de gegeven parametrisering met de wijzers van de klok mee doorlopen, dan geven alle drie de formules min de oppervlakte: een negatief resultaat is geen rekenfout maar een melding over de oriëntatie — keer het teken om, of de parametrisering.

Voorbeeld 20.24 (Oppervlakte van de ellips)

Voor $x = a\cos t$ , $y = b\sin t$ , $t \in [0, 2\pi]$ :

\operatorname{Area} = \frac12\int_0^{2\pi}\bigl(a\cos t \cdot b\cos t - b\sin t\cdot(-a\sin t)\bigr)\,\dd t = \frac{ab}{2}\int_0^{2\pi}\dd t = \pi ab .

Voorbeeld 20.25 (Green–Riemann als kruiscontrole)

Neem $P = -y^3$ , $Q = x^3$ op de gesloten eenheidsschijf $D$ . De randkant, met $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ :

\oint_{\partial D}P\,\dd x + Q\,\dd y = \int_0^{2\pi}\bigl(\sin^4 t + \cos^4 t\bigr)\dd t = 2\pi\cdot\Bigl(\frac38 + \frac38\Bigr) = \frac{3\pi}2 ,

door lineariseren ( $\sin^4 + \cos^4 = \tfrac34 + \tfrac14\cos4t$ ). De inwendige kant:

\iint_D(Q_x - P_y)\,\dd x\,\dd y = \iint_D 3(x^2 + y^2)\,\dd x\,\dd y = 3\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1\rho^3\,\dd\rho\,\dd\alpha = \frac{3\pi}2 .

Hetzelfde getal, twee heel verschillende berekeningen — en dat is het praktische nut: welke kant van de identiteit van Green ook gemakkelijker is, wordt de berekening, en de andere de controle. Voor circulaties van veeltermvelden rond gesloten krommen is de dubbele integraal bijna altijd de gemakkelijke kant.

Opmerking 20.26

Green–Riemann verklaart Voorbeeld 20.8: voor een gesloten vorm ( $Q_x = P_y$ ) verdwijnt de integraal rond de rand van elk gebied dat in $U$ bevat is. De hoekvorm faalt alleen omdat het gat in de oorsprong verhindert dat de schijf begrensd door de eenheidscirkel binnen $U$ ligt — lijnintegralen van gesloten vormen sporen de gaten van het gebied op. (Doorgedreven wordt deze waarneming de cohomologie van de Rham.)

20.4 Drievoudige integralen

De theorie breidt zich zonder enig nieuw idee uit tot drie veranderlijken: Fubini herleidt $\iiint$ tot drie integralen in één veranderlijke (ofwel door in schijven te snijden: $\iiint_K f = \int\bigl(\iint_{K_z} f\bigr)\dd z$ over de horizontale schijven $K_z$ , ofwel door te stapelen: eerst naar $z$ integreren langs verticale staafjes), en de formule voor de verandering van veranderlijken geldt met de $3 \times 3$ -jacobimatrix.

Voorbeeld 20.27 (Cilinder- en bolcoördinaten)

Cilindrisch $(x, y, z) = (\rho\cos\alpha, \rho\sin\alpha, z)$ : $\dd x\,\dd y\,\dd z = \rho\,\dd\rho\,\dd\alpha\,\dd z$ . Bolvormig $(x, y, z) = (r\cos\theta\cos\varphi,\ r\sin\theta\cos\varphi,\ r\sin\varphi)$ ( $\theta$ de lengtegraad, $\varphi \in [-\frac\pi2, \frac\pi2]$ de breedtegraad): de $3 \times 3$ -determinant langs de laatste rij ontwikkelen geeft

\det J = r^2\cos\varphi , \qquad \dd x\,\dd y\,\dd z = r^2\cos\varphi\;\dd r\,\dd\theta\,\dd\varphi .

Volume van de bol met straal $R$ :

V = \int_0^R\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\int_{-\pi/2}^{\pi/2} r^2\cos\varphi\;\dd\varphi\,\dd\theta\,\dd r = \frac{R^3}{3}\cdot 2\pi \cdot 2 = \boxed{\frac43\pi R^3} ,

waarmee eindelijk de formule wordt gekweten die in de volumehoofdstukken van de eerdere boeken werd aangenomen.

Voorbeeld 20.28 (Het viervlak, tweemaal)

Het volume van $T = \{x, y, z \geq 0,\ x + y + z \leq 1\}$ , door stapelen: voor vaste $(x, y)$ in de driehoek $x + y \leq 1$ loopt $z$ over $\intcc0{1 - x - y}$ , dus

V = \int_0^1\!\!\int_0^{1-x}(1 - x - y)\,\dd y\,\dd x = \int_0^1\frac{(1 - x)^2}{2}\,\dd x = \frac16 .

Door in schijven te snijden: de doorsnede op hoogte $z$ is de driehoek $\{x, y \geq 0,\ x + y \leq 1 - z\}$ , met oppervlakte $\frac{(1-z)^2}2$ , en $V = \int_0^1\frac{(1-z)^2}2\,\dd z = \frac16$ opnieuw — de twee berekeningen zijn dezelfde integralen in een andere volgorde, en meer beweert Fubini niet. De waarde $\frac16 = \frac13\cdot\frac12\cdot1$ is de kegelformule (Voorbeeld 20.30) met driehoekige grondvlak, en de $n$ -dimensionale versie $1/n!$ wordt in de weekendopgave met precies dit snijden bewezen.

Voorbeeld 20.29 (Zwaartepunt van een halve bol)

Voor de bovenste halve bol $H$ met straal $R$ ( $z \geq 0$ ) is de hoogte van het zwaartepunt $\bar z = \frac1{V}\iiint_H z$ , met $V = \frac23\pi R^3$ . In bolcoördinaten ( $z = r\sin\varphi$ , $\varphi \in \intcc0{\pi/2}$ ):

\iiint_H z = \int_0^R r^3\,\dd r\int_0^{2\pi}\dd\theta \int_0^{\pi/2}\sin\varphi\cos\varphi\,\dd\varphi = \frac{R^4}4\cdot2\pi\cdot\frac12 = \frac{\pi R^4}4 ,

dus

\bar z = \frac{\pi R^4/4}{2\pi R^3/3} = \frac{3R}8 :

het evenwichtspunt van een massieve halve bol ligt op drie achtste van de straal boven het platte vlak — onder de halve hoogte $R/2$ , zoals het moet, omdat het lichaam nabij het grondvlak dikker is. Elke berekening van een zwaartepunt heeft deze gedaante: één momentintegraal, één volume, één verhouding, en een controle op aannemelijkheid tegen de meetkunde.

Voorbeeld 20.30 (Volume door in schijven te snijden: de kegel)

Een kegel met grondvlak van oppervlakte $A$ en hoogte $h$ (top boven, grondvlak op $z = 0$ ): de schijf op hoogte $z$ is het grondvlak geschaald met de factor $(1 - z/h)$ , met oppervlakte $A(1 - z/h)^2$ . Bijgevolg is

V = \int_0^h A\Bigl(1 - \frac zh\Bigr)^2\dd z = \frac{Ah}{3} :

het één derde van de schoolformules, geldig voor elke vorm van het grondvlak — in schijven snijden maakt er de integraal van een kwadraat van.

Voorbeeld 20.31 (Drempels voor integreerbaarheid in het vlak)

Voor welke $\alpha > 0$ convergeert $\iint_{D}\rho^{-\alpha}\,\dd x\,\dd y$ op de geperforeerde eenheidsschijf $D$ (als limiet over ringen $\varepsilon \leq \rho \leq 1$ )? In poolcoördinaten is

\int_0^{2\pi}\!\!\int_\varepsilon^1\rho^{-\alpha}\, \rho\,\dd\rho\,\dd\alpha = 2\pi\int_\varepsilon^1\rho^{1-\alpha}\,\dd\rho ,

wat convergeert als $\varepsilon \to 0$ dan en slechts dan als $1 - \alpha > -1$ , dat wil zeggen $\alpha < 2$ : in dimensie $2$ is de kritieke exponent van de singulariteit de dimensie zelf, waarbij de extra $\rho$ uit de jacobiaan de singulariteit met één macht verzacht. (Evenzo $\alpha < 3$ voor een puntsingulariteit in de ruimte, via $r^2$ .) Deze radiale boekhouding is hoe de integreerbaarheid in het kader van Lebesgue van bachelorjaar 3 in één oogopslag wordt beslist — en zij is de reden waarom $\iiint 1/r$ in Oefening 20.7 moeiteloos convergeerde.

Opmerking 20.32 (Klassieke valkuilen)

(i) Oriëntatie: een lijnintegraal verandert van teken met de richting van het doorlopen, en Green–Riemann vereist de rand tegen de wijzers van de klok in (het gebied links); voor een gebied met een gat wordt de binnenrand met de wijzers van de klok mee doorlopen. (ii) De jacobiaan komt binnen met een absolute waarde: een verandering van veranderlijken brengt nooit een negatieve oppervlakte voort, en $\abs{\det}$ vergeten keert gewoonlijk precies de tekens om wanneer de afbeelding de oriëntatie omkeert. (iii) De poolfactor $\rho$ : $\dd x\,\dd y = \rho\,\dd\rho\,\dd\alpha$ , niet $\dd\rho\,\dd\alpha$ — de meest voorkomende fout van het hele hoofdstuk; dimensieanalyse vangt haar op, want $\dd\rho\,\dd\alpha$ heeft de dimensie van een lengte, niet van een oppervlakte. (iv) Oneigenlijke dubbele integralen: de limieten over groeiende schijven en over groeiende vierkanten stemmen hier overeen omdat de integranden positief zijn (inklemmen); voor integranden die van teken wisselen kan de limiet van de uitputting afhangen, en zonder absolute convergentie wordt niets beweerd. (v) Gebieden tegenover integranden: een productintegrand op een gebied dat geen product is, ontbindt de integraal niet — de ontbinding heeft beide nodig, zoals bij het vierkant van Voorbeeld 20.17.

Opmerking 20.33 (Vooruitblik binnen dit volume)

De integraal van Gauss die hier wordt berekend, zit stilzwijgend overal in de kanshoofdstukken: de constante $\sqrt\pi$ binnen de formule van Stirling (Stelling 6.13) is de integraal van dit hoofdstuk, en via Stirling legt zij de asymptoten $1/\sqrt{\pi n}$ vast van de terugkeerkansen van de toevalswandeling in Hoofdstuk 21. Ook de integralen van Wallis uit de weekendopgave duiken daar op en drijven dezelfde schattingen van de centrale binomiaalcoëfficiënten aan. In de andere richting maken de oppervlakte- en volume-elementen van dit hoofdstuk de meetkunde van Hoofdstuk 19 af, en de formule van Green berekent de oppervlakten van de omhullenden van Hoofdstuk 18 opnieuw (de astroïde, in Oefening 20.5). Eén hoofdstuk, drie diensten: maat voor de meetkunde, constanten voor de kansrekening, en de discipline van de verandering van veranderlijken voor beide.

20.5 Oefeningen

Oefening 20.1 ★

Bereken $\int_\gamma y^2\,\dd x + x\,\dd y$ langs: (a) het segment van $(0,0)$ naar $(1,1)$ ; (b) de paraboolboog $y = x^2$ van $(0,0)$ naar $(1,1)$ . Is de vorm exact?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.1.

(a) Segment $\gamma(t) = (t, t)$ , $t \in [0,1]$ :

\int_\gamma y^2\dd x + x\dd y = \int_0^1 (t^2 + t)\,\dd t = \frac13 + \frac12 = \frac56 .

(b) Parabool $\gamma(t) = (t, t^2)$ :

\int_0^1 \bigl(t^4\cdot 1 + t\cdot 2t\bigr)\dd t = \frac15 + \frac23 = \frac{13}{15} .

De twee waarden verschillen, dus hangt de integraal van het pad af: de vorm is niet exact — daarmee in overeenstemming is $P_y = 2y \neq 1 = Q_x$ , zodat zij niet eens gesloten is.

Oefening 20.2 ★

Toon aan dat $\omega = (2xy + y^3)\,\dd x + (x^2 + 3xy^2 + 1)\,\dd y$ gesloten is op $\R^2$ , bepaal een potentiaal, en bereken $\int_\gamma\omega$ langs een willekeurige boog van $(0, 0)$ naar $(1, 2)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.2.

$P = 2xy + y^3$ , $Q = x^2 + 3xy^2 + 1$ : $P_y = 2x + 3y^2 = Q_x$ , gesloten op $\R^2$ . Zoek $f$ met $f_x = P$ : $f = x^2y + xy^3 + g(y)$ ; dan dwingt $f_y = x^2 + 3xy^2 + g'(y) = Q$ af dat $g'(y) = 1$ , zeg $g(y) = y$ . Dus is

f(x, y) = x^2y + xy^3 + y

een potentiaal ( $\R^2$ is stervormig, dus moest er volgens het lemma van Poincaré een potentiaal bestaan — maar hem aanwijzen gaat sneller). Volgens Stelling 20.6 is voor elke boog van $(0,0)$ naar $(1,2)$

\int_\gamma\omega = f(1, 2) - f(0, 0) = 2 + 8 + 2 = 12 .

Oefening 20.3 ★

Bereken $\iint_D (x + y)\,\dd x\,\dd y$ , waarbij $D$ het gebied is begrensd door $y = x^2$ en $y = x$ ( $0 \leq x \leq 1$ ), in beide volgorden van integratie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.3.

Het gebied is $\{0 \leq x \leq 1,\ x^2 \leq y \leq x\}$ . Eerst $y$ :

\int_0^1\!\int_{x^2}^{x}(x + y)\,\dd y\,\dd x = \int_0^1\Bigl(x(x - x^2) + \frac{x^2 - x^4}{2}\Bigr)\dd x = \int_0^1\Bigl(\frac{3x^2}{2} - x^3 - \frac{x^4}{2}\Bigr)\dd x = \frac12 - \frac14 - \frac1{10} = \frac{3}{20} .

Eerst $x$ : de schijf op hoogte $y \in [0, 1]$ is $y \leq x \leq \sqrt y$ , dus

\int_0^1\!\int_{y}^{\sqrt y}(x + y)\,\dd x\,\dd y = \int_0^1\Bigl(\frac{y - y^2}{2} + y(\sqrt y - y)\Bigr)\dd y = \frac14 - \frac16 + \frac25 - \frac13 = \frac{3}{20} .

Oefening 20.4 ★★

Bereken met poolcoördinaten $\iint_D \frac{\dd x\,\dd y}{(1 + x^2 + y^2)^2}$ over het hele vlak (als limiet over schijven), en $\iint_{D'} xy\,\dd x\,\dd y$ over de kwartschijf $D' = \{x, y \geq 0,\ x^2 + y^2 \leq 1\}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.4.

Eerste integraal. Op de schijf $D_R$ , in poolcoördinaten:

\iint_{D_R}\frac{\dd x\,\dd y}{(1 + x^2 + y^2)^2} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^R \frac{\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha}{(1 + \rho^2)^2} = 2\pi\Bigl[-\frac{1}{2(1 + \rho^2)}\Bigr]_0^R = \pi\Bigl(1 - \frac{1}{1 + R^2}\Bigr) \xrightarrow[R \to \infty]{} \pi .

Tweede integraal. De kwartschijf is $0 \leq \alpha \leq \frac\pi2$ , $0 \leq \rho \leq 1$ , en $xy = \rho^2\cos\alpha\sin\alpha$ :

\iint_{D'}xy\,\dd x\,\dd y = \int_0^{\pi/2}\!\!\cos\alpha\sin\alpha\,\dd\alpha \int_0^1 \rho^3\,\dd\rho = \frac12\cdot\frac14 = \frac18 .

Oefening 20.5 ★★

Bereken de oppervlakte omsloten door de astroïde $x = \cos^3 t$ , $y = \sin^3 t$ , $t \in [0, 2\pi]$ , met Gevolg 20.22. (Lineariseer $\sin^2 t\cos^2 t$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.5.

Volgens Gevolg 20.22 met $x = \cos^3 t$ , $y = \sin^3 t$ : $x' = -3\cos^2 t\sin t$ , $y' = 3\sin^2 t\cos t$ , dus

xy' - yx' = 3\cos^4 t\sin^2 t + 3\sin^4 t\cos^2 t = 3\sin^2 t\cos^2 t = \frac{3}{4}\sin^2 2t = \frac{3}{8}(1 - \cos 4t) .

Bijgevolg is

A = \frac12\int_0^{2\pi}\frac38(1 - \cos 4t)\,\dd t = \frac{3}{16}\cdot 2\pi = \frac{3\pi}{8} .

(De astroïde past in de eenheidsschijf met oppervlakte $\pi$ ; drie achtste van $\pi$ is aannemelijk voor haar stervorm met vier keerpunten.)

Oefening 20.6 ★★

Bereken het volume van het lichaam dat onder wordt begrensd door de paraboloïde $z = x^2 + y^2$ en boven door het vlak $z = 1$ , met beide methoden: stapelen (integreer $1 - x^2 - y^2$ over de eenheidsschijf, poolcoördinaten) en in schijven snijden (de horizontale schijven zijn schijven met straal $\sqrt z$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.6.

Stapelen: boven elke $(x, y)$ van de eenheidsschijf $D$ loopt $z$ van $x^2 + y^2$ tot $1$ :

V = \iint_D \bigl(1 - x^2 - y^2\bigr)\dd x\,\dd y = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 (1 - \rho^2)\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha = 2\pi\Bigl(\frac12 - \frac14\Bigr) = \frac\pi2 .

In schijven snijden: de schijf op hoogte $z \in [0, 1]$ is de schijf $x^2 + y^2 \leq z$ , met oppervlakte $\pi z$ :

V = \int_0^1 \pi z\,\dd z = \frac\pi2 .

Oefening 20.7 ★★

(Zwaartekrachtige aantrekking van een bol — de stelling van Newton, bijzonder geval) Toon aan dat het volume van de bolschil $a \leq r \leq b$ gelijk is aan $\frac43\pi(b^3 - a^3)$ en bereken $\iiint_{B} \frac{\dd x\,\dd y\,\dd z}{r}$ over de bol $B$ met straal $R$ ( $r$ de afstand tot de oorsprong). (Bolcoördinaten.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.7.

In bolcoördinaten is het volume-element $r^2\cos\varphi\,\dd r\,\dd\theta\,\dd\varphi$ (Voorbeeld 20.27), en het hoekgedeelte integreert tot $4\pi$ ( $2\pi$ uit $\theta$ , $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos = 2$ ). Het volume van de schil is

\int_a^b 4\pi r^2\,\dd r = \frac43\pi\bigl(b^3 - a^3\bigr).

Voor de tweede integraal hangt de integrand $1/r$ alleen van $r$ af:

\iiint_B \frac{\dd x\,\dd y\,\dd z}{r} = \int_0^R 4\pi r^2\cdot\frac1r\,\dd r = 4\pi\,\frac{R^2}{2} = 2\pi R^2 .

(De integrand explodeert in de oorsprong, maar onschadelijk: $r^2/r = r$ is continu — de integraal over de schillen $\varepsilon \leq r \leq R$ convergeert als $\varepsilon \to 0$ , en dat is de precieze zin van de uitspraak. Dit soort berekening is de eerste stap naar de stelling van Newton dat een homogene bol aantrekt als een puntmassa in haar middelpunt.)

Oefening 20.8 ★★★

(Lemma van Poincaré, stervormig geval) Zij $U$ stervormig ten opzichte van $0$ (dat wil zeggen $M \in U \Rightarrow [0, M] \subseteq U$ ) en $\omega = P\dd x + Q\dd y$ een gesloten $\mathcal{C}^1$ -vorm op $U$ . Definieer

f(x, y) = \int_0^1 \bigl(x\,P(tx, ty) + y\,Q(tx, ty)\bigr)\dd t .

Toon met differentiatie onder het integraalteken (Hoofdstuk 9) en $P_y = Q_x$ aan dat $f_x = P$ en $f_y = Q$ : elke gesloten vorm op een stervormige open verzameling is exact.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.8.

De integrand $g(t; x, y) = xP(tx, ty) + yQ(tx, ty)$ is $\mathcal{C}^1$ in $(x, y)$ en continu in $t$ , met partiële afgeleiden die continu zijn op $[0,1] \times U$ ; differentiatie onder het integraalteken (Hoofdstuk 9, toegepast op het compacte $t$ -interval $[0,1]$ , waar de dominatie vanzelf geldt) geeft

f_x(x, y) = \int_0^1 \bigl(P(tx, ty) + tx\,P_x(tx, ty) + ty\,Q_x(tx, ty)\bigr)\dd t .

Met de geslotenheid $Q_x = P_y$ :

tx\,P_x(tx, ty) + ty\,P_y(tx, ty) = t\,\frac{\dd}{\dd t}\bigl[P(tx, ty)\bigr] ,

dus is de integrand $P(tx, ty) + t\frac{\dd}{\dd t}P(tx, ty) = \frac{\dd}{\dd t}\bigl[t\,P(tx, ty)\bigr]$ en

f_x(x, y) = \Bigl[t\,P(tx, ty)\Bigr]_0^1 = P(x, y) .

Symmetrisch is $f_y = Q$ (dezelfde berekening met $P_y = Q_x$ in de andere richting gebruikt). Merk op waar de hypothese binnenkomt: $f$ is gedefinieerd door langs het segment $[0, M]$ te integreren, dat precies in $U$ ligt omdat $U$ stervormig is.

Oefening 20.9 ★★★

(De integraal van Dirichlet via dubbele integratie) Verantwoord en buit uit

\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty e^{-xy}\sin x\;\dd y\,\dd x \quad\text{tegenover}\quad \int_0^\infty\!\!\int_0^\infty e^{-xy}\sin x\;\dd x\,\dd y

op $[0, A] \times [0, \infty)$ : toon aan dat $\int_0^A \frac{\sin x}{x}\dd x = \frac\pi2 - \int_0^\infty e^{-Ay}\frac{y\sin A + \cos A}{1 + y^2}\dd y$ en vind $\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,\dd x = \frac\pi2$ terug, in vergelijking met het bewijs via parameterintegralen uit Hoofdstuk 9.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.9.

Op de strook $[0, A] \times [0, \infty)$ is de functie $(x, y) \mapsto e^{-xy}\sin x$ niet in naïeve zin uniform absoluut integreerbaar tot $y = \infty$ , maar elke herhaalde integraal convergeert en hun gelijkheid volgt uit Fubini op $[0, A] \times [0, B]$ plus een limiet $B \to \infty$ (de staart $\int_0^A\int_B^\infty e^{-xy}\abs{\sin x}\,\dd y\,\dd x \leq \int_0^A \frac{e^{-Bx}\abs{\sin x}}{x}\dd x \leq \int_0^A e^{-Bx} \dd x\to 0$ , met $\abs{\sin x} \leq x$ ).

Eerst $y$ : $\int_0^\infty e^{-xy}\,\dd y = \frac1x$ voor $x > 0$ , dus is de eerste integraal $\int_0^A \frac{\sin x}{x}\,\dd x$ .

Eerst $x$ : twee partiële integraties (of het imaginaire deel van $\int_0^A e^{(i - y)x}\dd x$ nemen) geven

\int_0^A e^{-xy}\sin x\,\dd x = \frac{1 - e^{-Ay}(y\sin A + \cos A)}{1 + y^2} .

Naar $y$ integreren over $[0, \infty)$ zondert de term $\int_0^\infty \frac{\dd y}{1 + y^2} = \frac\pi2$ af:

\int_0^A \frac{\sin x}{x}\,\dd x = \frac{\pi}{2} - \int_0^\infty e^{-Ay}\,\frac{y\sin A + \cos A}{1 + y^2}\,\dd y .

De rest wordt begrensd door $\int_0^\infty e^{-Ay}\frac{y + 1}{1 + y^2}\dd y \leq \int_0^\infty e^{-Ay}\cdot\frac{1+y}{1+y^2} \,\dd y \to 0$ als $A \to \infty$ (gedomineerde convergentie, of de ruwe grens $\frac{1 + y}{1 + y^2} \leq \frac32$ die $\frac{3}{2A}$ geeft). Bijgevolg is $\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}\dd x = \frac\pi2$ — dezelfde waarde als die in Hoofdstuk 9 werd verkregen door een parameterintegraal te differentiëren; hier doet Fubini het werk.

Oefening 20.10 ★★★

(Isoperimetrische ongelijkheid via Wirtinger) Zij $\gamma$ een enkelvoudige gesloten $\mathcal{C}^1$ -kromme met lengte $2\pi$ , geparametriseerd naar booglengte op $[0, 2\pi]$ , die de oppervlakte $A$ omsluit. Bewijs met Gevolg 20.22, Parseval en de ongelijkheid van Wirtinger (oefeningen van Hoofdstuk 14) dat $A \leq \pi$ , met gelijkheid voor de cirkel. (Normaliseer $\int_0^{2\pi} x(s)\dd s = 0$ ; schrijf $2A = \oint x\,\dd y - y\,\dd x$ en begrens $2A \leq \int (x^2 + y'^2)$ zorgvuldig via $2A = \int_0^{2\pi}(xy' - yx')\dd s$ en $x^2 + y'^2 \geq 2xy'$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.10.

Parametriseer naar booglengte $s \in [0, 2\pi]$ , zodat $x'^2 + y'^2 = 1$ , en transleer zo dat $\int_0^{2\pi} x(s)\,\dd s = 0$ . Volgens Gevolg 20.22 is

2A = \oint x\,\dd y - y\,\dd x = \int_0^{2\pi}\bigl(xy' - yx'\bigr)\dd s .

$\oint y\,\dd x$ partieel integreren over de periode (de randtermen heffen elkaar op wegens de periodiciteit) geeft $-\int yx' = \int y'x$ , dus is in feite $2A = 2\int_0^{2\pi}xy'\,\dd s$ . Dan geeft $2xy' \leq x^2 + y'^2$ dat

2A \leq \int_0^{2\pi}\bigl(x^2 + y'^2\bigr)\dd s = \int_0^{2\pi} x^2 + \int_0^{2\pi}\bigl(1 - x'^2\bigr) = 2\pi - \int_0^{2\pi}\bigl(x'^2 - x^2\bigr)\dd s .

De ongelijkheid van Wirtinger (oefeningen van Hoofdstuk 14: voor een $2\pi$ -periodieke $\mathcal{C}^1$ -functie met gemiddelde nul is $\int x^2 \leq \int x'^2$ ) maakt de laatste integraal niet-negatief: $A \leq \pi$ . Gelijkheid vereist gelijkheid in Wirtinger ( $x(s) = a\cos s + b\sin s$ ) en in $2xy' \leq x^2 + y'^2$ ( $y' = x$ puntsgewijs), wat $y = a\sin s - b\cos s + c$ afdwingt: de kromme is de eenheidscirkel (passend gecentreerd). Omdat een kromme met lengte $L$ tot lengte $2\pi$ herschaalt, luidt de algemene uitspraak $A \leq \frac{L^2}{4\pi}$ : van alle gesloten krommen met gegeven omtrek omsluit de cirkel de grootste oppervlakte.

Oefening 20.11 ★★

(Momenten van de bol) Bereken voor de bol $B$ met straal $R$ in $\R^3$ de integraal $\iiint_B z^2\,\dd x\,\dd y\,\dd z$ in bolcoördinaten, en leid met de symmetrie $\iiint_B (x^2 + y^2 + z^2)\,\dd x\,\dd y\,\dd z$ af. Toets de laatste aan de berekening met schillen $\int_0^R r^2\cdot4\pi r^2\,\dd r$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.11.

In bolcoördinaten is $z = r\sin\varphi$ en $\dd x\,\dd y\,\dd z = r^2\cos\varphi\,\dd r\,\dd\theta\,\dd\varphi$ :

\iiint_B z^2 = \int_0^R r^4\,\dd r\int_0^{2\pi}\dd\theta \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin^2\varphi\cos\varphi\,\dd\varphi = \frac{R^5}5\cdot2\pi\cdot \Bigl[\frac{\sin^3\varphi}3\Bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{4\pi R^5}{15}.

Wegens de symmetrie van de bol onder het permuteren van de coördinaten is $\iiint_B x^2 = \iiint_B y^2 = \iiint_B z^2$ , dus $\iiint_B(x^2 + y^2 + z^2) = 3\cdot\frac{4\pi R^5}{15} = \frac{4\pi R^5}5$ . Controle met schillen: $\int_0^R r^2\cdot 4\pi r^2\,\dd r = \frac{4\pi R^5}5$ — de integrand $r^2$ is constant op de bol met straal $r$ , die oppervlakte $4\pi r^2$ heeft.

Oefening 20.12 ★★

(Veterformule) Zij $K$ een veelhoek met hoekpunten $(x_1, y_1), \dots, (x_m, y_m)$ tegen de wijzers van de klok in geordend (indices modulo $m$ ). Leid uit Gevolg 20.22 af dat

\operatorname{Area}(K) = \frac12\sum_{i=1}^m \bigl(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i\bigr) ,

en ga de formule na op de driehoek $(0,0)$ , $(1,0)$ , $(0,1)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.12.

Parametriseer de zijde van $(x_i, y_i)$ naar $(x_{i+1}, y_{i+1})$ met $\gamma(t) = \bigl((1-t)x_i + tx_{i+1},\ (1-t)y_i + ty_{i+1}\bigr)$ . Haar bijdrage aan $\frac12\oint(x\,\dd y - y\,\dd x)$ is

\frac12\int_0^1\Bigl(\bigl((1-t)x_i + tx_{i+1}\bigr)(y_{i+1} - y_i) - \bigl((1-t)y_i + ty_{i+1}\bigr)(x_{i+1} - x_i)\Bigr)\dd t ,

en omdat $\int_0^1\bigl((1-t)u + tv\bigr)\dd t = \frac{u + v}2$ , is dit gelijk aan

\frac14\Bigl((x_i + x_{i+1})(y_{i+1} - y_i) - (y_i + y_{i+1})(x_{i+1} - x_i)\Bigr) = \frac12\bigl(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i\bigr),

waarbij de kruistermen wegvallen. Sommeren over de $m$ zijden geeft volgens Gevolg 20.22 de veterformule. Driehoek $(0,0), (1,0), (0,1)$ : $\frac12\bigl((0\cdot0 - 1\cdot0) + (1\cdot1 - 0\cdot0) + (0\cdot0 - 0\cdot1)\bigr) = \frac12$ , de juiste oppervlakte.

20.6 Probleem: het volume van de bol in dimensie $n$

Probleem 20.1

Weekendopgave — $V_n = \pi^{n/2}/\Gamma(\frac n2 + 1)$ , en de vreemdheid van hoge dimensies

De schijf heeft oppervlakte $\pi$ , de bol volume $\frac43\pi$ — en dan? Deze opgave berekent het volume van de eenheidsbol van $\R^n$ voor elke $n$ , tweemaal (met een recursie door in schijven te snijden, aangedreven door de integralen van Wallis, en daarna met de $\Gamma$ -functie en de integraal van Gauss uit Voorbeeld 20.17), en leest daarna de meetkunde af: de volumes pieken in dimensie vijf en snellen naar nul, en bijna heel een hoogdimensionale bol verbergt zich in een dunne schil nabij haar rand. Voor een continue functie op een bol van $\R^n$ wordt de integraal opgevat als de $n$ -voudig herhaalde integraal (één coördinaat tegelijk in schijven gesneden, als in het hoofdstuk voor $n \leq 3$ ); wij schrijven $B_n(R)$ voor de gesloten bol met straal $R$ en middelpunt $0$ , $v_n(R)$ voor haar volume, en $V_n = v_n(1)$ , met $V_0 = 1$ per afspraak.

Deel I — De recursie door in schijven te snijden.

Toon met de substitutie $x_i = Ru_i$ in elk van de $n$ herhaalde integralen aan dat $v_n(R) = V_nR^n$ .
Toon, door $B_n(1)$ langs haar laatste coördinaat in schijven te snijden, aan dat

$V_n = V_{n-1}\int_{-1}^{1}(1 - t^2)^{\frac{n-1}2}\,\dd t .$
Identificeer met $t = \sin\theta$ de integraal als een integraal van Wallis: $\int_{-1}^1(1 - t^2)^{\frac{n-1}2}\dd t = 2W_n$ , met $W_n = \int_0^{\pi/2}\cos^n\theta\,\dd\theta = \int_0^{\pi/2}\sin^n\theta\,\dd\theta$ .
Bewijs de twee identiteiten van Wallis (partieel integreren; dan $nW_nW_{n-1}$ telescoperen):

$W_n = \frac{n-1}nW_{n-2} \quad (n \geq 2), \qquad W_nW_{n-1} = \frac{\pi}{2n} \quad (n \geq 1).$

Deel II — De recursie opgelost.

Combineer de vragen 2–4 tot de recursie met twee stappen

$V_n = \frac{2\pi}{n}\,V_{n-2} \qquad (n \geq 2).$
Leid de gesloten vormen af, voor $k \geq 0$ :

$V_{2k} = \frac{\pi^k}{k!}, \qquad V_{2k+1} = \frac{2^{k+1}\pi^k}{1\cdot3\cdot5\cdots (2k+1)} .$
Zet $V_1, \dots, V_7$ numeriek in een tabel. Bewijs met de verhouding $V_n/V_{n-2} = 2\pi/n$ en de waarden van $2W_5$ en $2W_6$ dat de rij $(V_n)$ stijgt tot haar maximum $V_5 = \frac{8\pi^2}{15} \approx 5.26$ en daarna daalt.
Toon aan dat $V_n \to 0$ sneller dan elke meetkundige rij, en dat $\sum_{n\geq1} V_n$ convergeert: alle eenheidsbollen samen hebben een eindig totaal volume.
Bewijs de voortbrengende identiteit

$\sum_{k\geq0} V_{2k}\,x^{2k} = \eu^{\pi x^2} \qquad (x \in \R),$

en leid af dat $\sum_{k\geq0}V_{2k} = \eu^\pi \approx 23.14$ .

Deel III — Tweede weg: $\Gamma$ en de integraal van Gauss.

Toon met Fubini aan (de integrand is een product) dat

$I_n = \int_{\R^n}\eu^{-\norm x^2}\dd x = \Bigl(\int_{-\infty}^{+\infty} \eu^{-t^2}\dd t\Bigr)^{\!n} = \pi^{n/2},$

de $n$ -dimensionale integraal van Gauss, opgevat als een limiet over kubussen $\intcc{-R}{R}^n$ .
Herinner je $\Gamma(s) = \int_0^\infty t^{s-1}\eu^{-t}\dd t$ (Definitie 9.17). Bereken uit $\Gamma(s+1) = s\,\Gamma(s)$ (Stelling 9.18) en $\Gamma(\tfrac12) = \sqrt\pi$ (substitueer $t = u^2$ en roep de integraal van Gauss in):

$\Gamma(k + 1) = k!, \qquad \Gamma\Bigl(k + \frac32\Bigr) = \frac{1\cdot3\cdots(2k+1)}{2^{k+1}}\,\sqrt\pi .$
Bewijs met inductie via de recursie van vraag 5 de ene formule

$V_n = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\bigl(\frac n2 + 1\bigr)} \qquad (n \geq 1),$

en ga na dat zij beide gesloten vormen van vraag 6 reproduceert.
Toon aan dat $\int_0^\infty \eu^{-r^2}r^{n-1}\dd r = \tfrac12\Gamma\bigl(\tfrac n2\bigr)$ en leid de identiteit

$I_n = n\,V_n\int_0^\infty \eu^{-r^2}\,r^{n-1}\,\dd r$

af. Interpreteer haar: de gaussische massa van $\R^n$ wordt verzameld langs bolschillen waarvan de “ $(n-1)$ -dimensionale oppervlakte” op straal $r$ gelijk is aan $nV_nr^{n-1}$ — beide leden zijn nu onafhankelijk bewezen, dus de interpretatie kost niets.
Zet $s_{n-1} = nV_n$ (de oppervlakte van de eenheidssfeer $S^{n-1}$ , in overeenstemming met $v_n(R) = \int_0^R s_{n-1}r^{n-1}\dd r$ ). Zet $s_0, \dots, s_3$ in een tabel en ga na dat $s_1 = 2\pi$ , $s_2 = 4\pi$ , $s_3 = 2\pi^2$ .

Deel IV — Hoge dimensies zijn vreemd.

Toon met de formule van Stirling (Stelling 6.13) toegepast op $k!$ aan dat voor even $n = 2k$

$V_n \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}} \Bigl(\frac{2\pi\eu}{n}\Bigr)^{n/2} \qquad (n \to \infty, \ n \text{ even}),$

en leg uit waarom dezelfde grens van supermeetkundig verval zich via de recursie uitbreidt tot oneven $n$ .
De eenheidsbol ligt in de kubus $\intcc{-1}1^n$ met volume $2^n$ . Bereken de vulverhouding $V_n/2^n$ voor $n = 2, 3, 10$ , en toon aan dat zij naar $0$ streeft: in hoge dimensie ligt vrijwel de hele kubus in haar hoeken.
Toon aan dat het aandeel van $v_n(1)$ dat binnen afstand $\varepsilon$ van de randsfeer ligt, gelijk is aan $1 - (1 - \varepsilon)^n \to 1$ ; welk aandeel van een bol in $100$ dimensies ligt numeriek in de buitenschil met dikte $1\%$ ?
Bewijs de asymptotiek van Wallis $W_n \sim \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}$ (de monotonie van $(W_n)$ , de verhouding $W_n/W_{n-2} \to 1$ , en $W_nW_{n-1} = \frac\pi{2n}$ ), en de ondergrens $W_n \geq \sqrt{\dfrac{\pi}{2(n+1)}}$ voor alle $n$ .
(Concentratie op een plak) Het aandeel van de eenheidsbol met eerste coördinaat voorbij $\delta$ is $\int_\delta^1(1 - x^2)^{\frac{n-1}2}\dd x \,\big/\, (2W_n)$ . Toon met $1 - u \leq \eu^{-u}$ en de staartgrens $\int_\delta^\infty \eu^{-a x^2}\dd x \leq \frac{\eu^{-a\delta^2}}{2a\delta}$ aan dat dit aandeel hoogstens

$\frac{\eu^{-(n-1)\delta^2/2}}{(n-1)\,\delta} \Big/ \sqrt{\frac{2\pi}{n+1}}$

is, en besluit: voor $\delta = s/\sqrt{n-1}$ ligt op een aandeel $O(\eu^{-s^2/2}/s)$ na de hele bol in de plak $\abs{x_1} \leq s/\sqrt{n-1}$ . Een bol van hoge dimensie is statistisch een dunne pannenkoek, in alle richtingen tegelijk.
Zet de vragen 16–19 in elkaar tot één alinea: waar het volume van $B_n(1)$ zit (nabij de randsfeer, en toch binnen plakken van dikte $O(1/\sqrt n)$ van elk hypervlak door het middelpunt), en waarom deze twee uitspraken elkaar niet tegenspreken.

Deel V — Andere lichamen, en synthese.

(Simplex) Zij $\Delta_n = \{x \in \R^n : x_i \geq 0,\ \sum x_i \leq 1\}$ . Toon met in schijven snijden en inductie aan dat $\operatorname{vol}(\Delta_n) = \frac1{n!}$ .
(Kruispolytoop) Leid af dat $C_n = \{x : \sum\abs{x_i} \leq 1\}$ volume $\frac{2^n}{n!}$ heeft, en ga de insluiting $C_n \subseteq B_n(1) \subseteq \intcc{-1}1^n$ op het niveau van de volumes na: $\frac{2^n}{n!} \leq V_n \leq 2^n$ .
Bereken $V_4$ op een derde manier: snijd $\R^4 = \R^2 \times \R^2$ in schijven, integreer de oppervlakte van de $(z, w)$ -schijf over de $(x, y)$ -schijf in poolcoördinaten, en vind $V_4 = \frac{\pi^2}2$ terug.
(Monte Carlo in moeilijkheden) Er wordt uniform een punt getrokken in de kubus $\intcc{-1}1^{20}$ . Toon aan dat de kans dat het in de ingeschreven bol belandt gelijk is aan $V_{20}/2^{20} \approx 2.5\cdot10^{-8}$ , zodat er ongeveer veertig miljoen trekkingen nodig zijn voordat de eerste treffer wordt verwacht: $V_n$ schatten met verwerpende steekproeven stort in hoge dimensie in (de vloek van de dimensionaliteit).
Synthese. Twee onafhankelijke afleidingen ontmoetten elkaar in $V_n = \pi^{n/2}/\Gamma(\frac n2 + 1)$ : som op welke stelling van dit hoofdstuk elk ervan gebruikte (Fubini, de verandering van veranderlijken, de integraal van Gauss in poolcoördinaten), en welke ingrediënten uit één veranderlijke (Wallis, $\Gamma$ , Stirling). Waar doet het volume van bachelorjaar 3 deze berekening opnieuw met de theorie van Lebesgue, en wat voegt zij toe?

Oplossing

Oplossing van Probleem 20.1.

1. De bol $B_n(R)$ wordt beschreven door de herhaalde grenzen $-R \leq x_n \leq R$ , dan $\abs{x_{n-1}} \leq \sqrt{R^2 - x_n^2}$ , enzovoort; $x_i = Ru_i$ substitueren in elk van de $n$ integralen in één veranderlijke vermenigvuldigt elke met $R$ en beeldt de grenzen af op die van $B_n(1)$ : $v_n(R) = R^n\,v_n(1) = V_nR^n$ .

2. In schijven snijden langs $x_n = t$ : de schijf van $B_n(1)$ is de bol $B_{n-1}\bigl(\sqrt{1 - t^2}\bigr)$ , dus is volgens vraag 1

V_n = \int_{-1}^1 v_{n-1}\bigl(\sqrt{1 - t^2}\bigr)\,\dd t = V_{n-1}\int_{-1}^{1}(1 - t^2)^{\frac{n-1}2}\,\dd t .

3. Met $t = \sin\theta$ , $\dd t = \cos\theta\,\dd\theta$ en $(1 - t^2)^{\frac{n-1}2} = \cos^{n-1}\theta$ op $\intcc{-\pi/2}{\pi/2}$ :

\int_{-1}^1(1 - t^2)^{\frac{n-1}2}\dd t = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^n\theta\,\dd\theta = 2\int_0^{\pi/2}\cos^n\theta\,\dd\theta = 2W_n,

en $\theta \mapsto \frac\pi2 - \theta$ verwisselt de sinus- en de cosinusvorm van $W_n$ .

4. Schrijf $\sin^n = \sin^{n-2}(1 - \cos^2)$ en integreer $\int\sin^{n-2}\cos\cdot\cos$ partieel ( $v = \frac{\sin^{n-1}}{n-1}$ ):

W_n = W_{n-2} - \frac{W_n}{n-1} \quad\Longrightarrow\quad W_n = \frac{n-1}{n}W_{n-2}.

Bijgevolg is $nW_nW_{n-1} = (n-1)W_{n-1}W_{n-2}$ : de rij $(nW_nW_{n-1})$ is constant, gelijk aan $1\cdot W_1W_0 = 1\cdot\frac\pi2$ , dus $W_nW_{n-1} = \frac{\pi}{2n}$ .

5. De vragen 2–3 geven $V_n = 2W_nV_{n-1}$ , tweemaal:

V_n = 2W_n\cdot 2W_{n-1}\,V_{n-2} = 4\,\frac{\pi}{2n}\,V_{n-2} = \frac{2\pi}n\,V_{n-2}.

6. Uit $V_0 = 1$ : $V_{2k} = \frac{2\pi}{2k}V_{2k-2} = \frac\pi kV_{2k-2}$ , dus $V_{2k} = \frac{\pi^k}{k!}$ met inductie. Uit $V_1 = 2$ : $V_{2k+1} = \frac{2\pi}{2k+1}V_{2k-1}$ , dus

V_{2k+1} = 2\prod_{j=1}^k\frac{2\pi}{2j+1} = \frac{2^{k+1}\pi^k}{1\cdot3\cdot5\cdots(2k+1)} .

7. $V_1 = 2$ , $V_2 = \pi \approx 3.142$ , $V_3 = \frac{4\pi}3 \approx 4.189$ , $V_4 = \frac{\pi^2}2 \approx 4.935$ , $V_5 = \frac{8\pi^2}{15} \approx 5.264$ , $V_6 = \frac{\pi^3}6 \approx 5.168$ , $V_7 = \frac{16\pi^3}{105} \approx 4.725$ . De verhouding met één stap is $V_n/V_{n-1} = 2W_n$ , en $(W_n)$ is dalend ( $\sin^n \leq \sin^{n-1}$ puntsgewijs). Nu is $2W_5 = 2\cdot\frac45\cdot\frac23 = \frac{16}{15} > 1$ terwijl $2W_6 = 2\cdot\frac56\cdot\frac34\cdot\frac12\cdot\frac\pi2 = \frac{5\pi}{16} < 1$ : de verhoudingen zijn groter dan $1$ tot en met $n = 5$ en kleiner dan $1$ vanaf $n = 6$ — $(V_n)$ stijgt tot haar maximum $V_5$ en daalt daarna.

8. Voor $n \geq 13 > 4\pi$ is $V_n/V_{n-2} = 2\pi/n < \tfrac12$ , dus $V_{n} \leq C\cdot 2^{-n/2}$ met een vaste constante; sterker nog, voor elke $q > 0$ is $2\pi/n < q^2$ voor grote $n$ , dus $V_n/q^n \to 0$ : het verval verslaat elke meetkundige rij. De convergentie van $\sum V_n$ volgt uit de verhouding $V_n/V_{n-2} \to 0$ (vanaf een zekere rang met een meetkundige reeks vergelijken).

9. $\sum_{k\geq0}V_{2k}x^{2k} = \sum_{k\geq0}\frac{(\pi x^2)^k}{k!} = \eu^{\pi x^2}$ , de exponentiële reeks (Hoofdstuk 11), convergent voor elke $x$ . In $x = 1$ : $\sum_kV_{2k} = \eu^\pi \approx 23.14$ .

10. Op de kubus $\intcc{-R}R^n$ is de integrand het product $\prod_i\eu^{-x_i^2}$ , dus ontbindt de herhaalde integraal: $\bigl(\int_{-R}^R\eu^{-t^2}\dd t\bigr)^n$ . Met $R \to \infty$ en $\int_\R\eu^{-t^2}\dd t = \sqrt\pi$ (Voorbeeld 20.17): $I_n = \pi^{n/2}$ .

11. $t = u^2$ geeft $\Gamma(\tfrac12) = \int_0^\infty t^{-1/2}\eu^{-t}\dd t = 2\int_0^\infty\eu^{-u^2}\dd u = \sqrt\pi$ . $\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)$ herhalen: $\Gamma(k+1) = k!\,\Gamma(1) = k!$ , en

\Gamma\Bigl(k + \frac32\Bigr) = \Bigl(k + \frac12\Bigr)\Bigl(k - \frac12\Bigr)\cdots \frac12\cdot\Gamma\Bigl(\frac12\Bigr) = \frac{(2k+1)(2k-1)\cdots1}{2^{k+1}}\,\sqrt\pi .

12. Zet $F_n = \pi^{n/2}/\Gamma(\frac n2 + 1)$ . Omdat $\Gamma(\frac n2 + 1) = \frac n2\,\Gamma(\frac n2) = \frac n2\,\Gamma(\frac{n-2}2 + 1)$ , is $F_n = \frac{2\pi}nF_{n-2}$ : dezelfde recursie als voor $V_n$ (vraag 5). Basisgevallen: $F_1 = \sqrt\pi/\Gamma(\frac32) = \sqrt\pi/(\frac{\sqrt\pi}2) = 2 = V_1$ en $F_2 = \pi/\Gamma(2) = \pi = V_2$ . Met inductie is $V_n = F_n$ voor alle $n$ ; vraag 11 zet dit terug om in de twee gesloten vormen van vraag 6.

13. Met $r = \sqrt t$ : $\int_0^\infty \eu^{-r^2}r^{n-1}\dd r = \frac12\int_0^\infty t^{\frac n2 - 1}\eu^{-t}\dd t = \frac12\Gamma(\frac n2)$ . Bijgevolg is

n\,V_n\int_0^\infty\eu^{-r^2}r^{n-1}\dd r = V_n\cdot\frac n2\,\Gamma\Bigl(\frac n2\Bigr) = V_n\,\Gamma\Bigl(\frac n2 + 1\Bigr) = \pi^{n/2} = I_n .

Omdat beide leden bewezen zijn, kan de identiteit worden gelezen als de ontbinding in schillen van de integraal van Gauss: de sfeer met straal $r$ draagt oppervlakte $nV_nr^{n-1}$ , en het gaussische gewicht $\eu^{-r^2}$ wordt over de schillen geïntegreerd.

14. $s_0 = V_1 = 2$ (de $0$ -sfeer bestaat uit twee punten), $s_1 = 2V_2 = 2\pi$ , $s_2 = 3V_3 = 4\pi$ , $s_3 = 4V_4 = 2\pi^2$ ; en $\int_0^R s_{n-1}r^{n-1}\dd r = V_nR^n = v_n(R)$ : de oppervlakte is de radiale afgeleide van het volume.

15. Voor $n = 2k$ geeft Stirling (Stelling 6.13) dat $k! \sim \sqrt{2\pi k}\,(k/\eu)^k$ , dus

V_{2k} = \frac{\pi^k}{k!} \sim \frac{(\pi\eu/k)^k}{\sqrt{2\pi k}} = \frac1{\sqrt{\pi n}}\Bigl(\frac{2\pi\eu}n\Bigr)^{n/2} \qquad (n = 2k).

Voor oneven $n$ : $V_{2k+1} = 2W_{2k+1}V_{2k} \leq 2V_{2k}$ , dus gelden dezelfde grenzen van supermeetkundig verval (op een factor $2$ en een verschuiving van één in de exponent na) — voor elke $q > 0$ is $V_n = o(q^n)$ .

16. $V_2/4 = \pi/4 \approx 0.785$ ; $V_3/8 = \pi/6 \approx 0.524$ ; $V_{10}/2^{10} = \frac{\pi^5}{120\cdot1024} \approx 0.0025$ . In het algemeen is $\frac{V_n/2^n}{V_{n-2}/2^{n-2}} = \frac{2\pi}{4n} = \frac{\pi}{2n} \to 0$ : de verhouding streeft (supermeetkundig) naar $0$ . De ingeschreven bol neemt een verdwijnend aandeel in: het volume van de kubus verhuist naar haar hoeken.

17. Volgens vraag 1 heeft de binnenste bol met straal $1 - \varepsilon$ volume $V_n(1-\varepsilon)^n$ , dus draagt de buitenschil het aandeel $1 - (1 - \varepsilon)^n \to 1$ . Voor $n = 100$ en $\varepsilon = 0.01$ : $(0.99)^{100} = \eu^{100\ln0.99} \approx \eu^{-1.005} \approx 0.366$ : ongeveer $63\%$ van de bol ligt binnen $1\%$ van haar oppervlak.

18. $(W_n)$ daalt, dus $W_n \leq W_{n-1} \leq W_{n-2} = \frac{n}{n-1}W_n$ : inklemmen geeft $W_{n-1}/W_n \to 1$ . Vermenigvuldigen met $W_nW_{n-1} = \frac\pi{2n}$ : $W_n^2 \sim \frac\pi{2n}$ , dat wil zeggen $W_n \sim \sqrt{\pi/(2n)}$ . Ondergrens: $W_n^2 \geq W_nW_{n+1} = \frac{\pi}{2(n+1)}$ , dus $W_n \geq \sqrt{\pi/(2(n+1))}$ voor elke $n$ .

19. Teller: $1 - x^2 \leq \eu^{-x^2}$ geeft $(1 - x^2)^{\frac{n-1}2} \leq \eu^{-(n-1)x^2/2}$ , en met $a = \frac{n-1}2$ is

\int_\delta^1(1 - x^2)^{\frac{n-1}2}\dd x \leq \int_\delta^\infty\eu^{-ax^2}\dd x \leq \int_\delta^\infty\frac x\delta\,\eu^{-ax^2}\dd x = \frac{\eu^{-a\delta^2}}{2a\delta} = \frac{\eu^{-(n-1)\delta^2/2}}{(n-1)\delta}.

Noemer: $2W_n \geq \sqrt{2\pi/(n+1)}$ volgens vraag 18. Delen geeft de getoonde grens. Voor $\delta = s/\sqrt{n-1}$ wordt zij $\sqrt{\tfrac{n+1}{2\pi(n-1)}}\;\eu^{-s^2/2}/s = O\bigl( \eu^{-s^2/2}/s\bigr)$ , uniform in $n$ : buiten de plak $\abs{x_1} \leq s/\sqrt{n-1}$ zit vrijwel geen volume, voor matig grote $s$ — en wegens de symmetrie geldt hetzelfde in elke richting.

20. De twee uitspraken bestaan naast elkaar omdat zij verschillende coördinaten van hetzelfde punt beschrijven. Vrijwel elk punt van $B_n(1)$ heeft een norm dicht bij $1$ (vraag 17: radiale concentratie nabij de sfeer), en toch is elk van zijn $n$ coördinaten klein, van de orde $1/\sqrt n$ (vraag 19), wat verenigbaar is omdat $n$ coördinaten van grootte $1/\sqrt n$ een norm van de orde $1$ hebben. Het volume in hoge dimensie concentreert zich waar alle coördinaten het normbudget gelijk delen — nabij de sfeer, maar ver van elke pool op een coördinaatas.

21. Snijd $\Delta_n$ in schijven bij $x_n = t \in \intcc01$ : de schijf is $\{x' \in \R^{n-1} : x_i \geq 0,\ \sum x_i \leq 1 - t\} = (1-t)\Delta_{n-1}$ , met volume $(1-t)^{n-1}\operatorname{vol}(\Delta_{n-1})$ wegens de homogeniteit. Dus

\operatorname{vol}(\Delta_n) = \operatorname{vol}(\Delta_{n-1})\int_0^1(1 - t)^{n-1}\dd t = \frac{\operatorname{vol}(\Delta_{n-1})}{n} \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{vol}(\Delta_n) = \frac1{n!}\,.

22. De $2^n$ tekenorthanten snijden $C_n$ in $2^n$ kopieën van $\Delta_n$ (met verwaarloosbare overlappingen op de coördinaathypervlakken): $\operatorname{vol}(C_n) = \frac{2^n}{n!}$ . Geldt $\sum\abs{x_i} \leq 1$ , dan is $\sum x_i^2 \leq \bigl(\sum\abs{x_i}\bigr)^2 \leq 1$ : $C_n \subseteq B_n(1)$ ; en $B_n(1) \subseteq \intcc{-1}1^n$ omdat $\abs{x_i} \leq \norm x$ . Bijgevolg is $\frac{2^n}{n!} \leq V_n \leq 2^n$ — in overeenstemming met vraag 15, die $V_n$ tussen de faculteits- en de meetkundige schaal plaatst.

23. Voor $(x, y)$ in de eenheidsschijf is de schijf van $B_4(1)$ de schijf met straal $\sqrt{1 - x^2 - y^2}$ in het $(z, w)$ -vlak, met oppervlakte $\pi(1 - x^2 - y^2)$ . In poolcoördinaten:

V_4 = \iint_{x^2+y^2\leq1}\pi(1 - x^2 - y^2)\,\dd x\,\dd y = \pi\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1(1 - \rho^2)\rho\, \dd\rho\,\dd\alpha = \pi\cdot2\pi\cdot\frac14 = \frac{\pi^2}2 ,

in overeenstemming met vraag 6.

24. De kans is de volumeverhouding $\dfrac{V_{20}}{2^{20}} = \dfrac{\pi^{10}}{10!\cdot2^{20}} \approx \dfrac{0.0258}{1\,048\,576} \approx 2.5\cdot10^{-8}$ . Het aantal trekkingen tot de eerste treffer is van de orde van het omgekeerde, ongeveer $4\cdot10^7$ : een verwerpende steekproef die voor de schijf prachtig werkte ( $\pi/4$ van de treffers) is nutteloos in dimensie $20$ — de vloek van de dimensionaliteit in één regel.

25. Weg één (Delen I–II) gebruikte: het in schijven snijden van de herhaalde integraal in de stijl van Fubini, de substitutie in één veranderlijke in elke coördinaat (homogeniteit) en de integralen van Wallis — zuivere analyse in één veranderlijke plus inductie. Weg twee (Deel III) gebruikte: Fubini voor de productstructuur van $I_n$ , de verandering naar poolcoördinaten via de integraal van Gauss uit Voorbeeld 20.17, en de functionaalvergelijking van de $\Gamma$ -functie. Zij ontmoeten elkaar in $V_n = \pi^{n/2}/\Gamma(\frac n2 + 1)$ , waarbij Stirling (Stelling 6.13) de formule in asymptotiek omzet. Het volume van bachelorjaar 3 bouwt dit alles opnieuw op met de integraal van Lebesgue: daar zijn Fubini en de verandering van veranderlijken stellingen voor algemene integreerbare functies, bestaan bolcoördinaten in elke dimensie, en duiken dezelfde volumes van de bol op als de uitgewerkte dividenden van de opgaven over productmaten en Stirling — met de gedomineerde convergentie in de plaats van onze zelfgemaakte insluitingen.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst

20.1 Lijnintegralen

20.2 Dubbele integralen

20.3 De stelling van Green–Riemann

20.4 Drievoudige integralen

20.5 Oefeningen

20.6 Probleem: het volume van de bol in dimensie nnn

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

20.6 Probleem: het volume van de bol in dimensie $n$