Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Bachelor Year 2

13Hermitische vormen

Complexe vectorruimten hebben hun eigen inwendig-productmeetkunde, met één twist: lineariteit in de ene variabele, geconjugeerde lineariteit in de andere. De beloning voor het accepteren van de twist is een spectraaltheorie die nog schoner is dan de reële — hermitische endomorfismen hebben reële eigenwaarden, unitaire hebben unimodulaire eigenwaarden, en beide diagonaliseren in orthonormale basissen. Dit korte hoofdstuk voert het euclidische programma van Hoofdstuk 12 uit over $\C$ .

13.1 Hermitische inwendige producten

Definitie 13.1

Een hermitisch inwendig product op een complexe vectorruimte $E$ is een afbeelding $\langle\cdot,\cdot\rangle \colon E \times E \to \C$ die lineair is in de tweede variabele, geconjugeerd-symmetrisch ( $\langle y, x\rangle = \conj{\langle x, y\rangle}$ — dus geconjugeerd-lineair in de eerste variabele), en positief definiet ( $\langle x, x\rangle > 0$ voor $x \neq 0$ ). Het standaardvoorbeeld op $\C^n$ :

\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} \conj{x_i}\, y_i ;

op continue functies, $\langle f, g\rangle = \int_a^b \conj f\,g$ . Norm: $\norm x = \sqrt{\langle x,x\rangle}$ ; een eindigdimensionale complexe ruimte zo uitgerust is een hermitische ruimte.

Voorbeeld 13.2 (Eerste berekeningen)

In $\C^2$ , neem $x = (1+\iu,\ 2-\iu)$ en $y = (\iu,\ 1)$ . Dan

\norm x^2 = \abs{1+\iu}^2 + \abs{2-\iu}^2 = 2 + 5 = 7, \qquad \norm y^2 = 1 + 1 = 2,

en, met conjugatie op het eerste argument,

\langle x, y\rangle = \conj{(1+\iu)}\,\iu + \conj{(2-\iu)}\cdot1 = (1-\iu)\iu + (2+\iu) = (\iu + 1) + (2 + \iu) = 3 + 2\iu .

Cauchy–Schwarz klopt: $\abs{\langle x, y\rangle}^2 = 9 + 4 = 13 \leq 14 = \norm x^2\norm y^2$ — dicht bij gelijkheid, omdat $x$ dicht bij een veelvoud van $y$ ligt. Merk ook op $\langle y, x\rangle = \conj{3 + 2\iu} = 3 - 2\iu$ : geconjugeerde symmetrie in actie, en de reden dat $\langle x, x\rangle$ altijd reëel is.

Stelling 13.3 (Cauchy–Schwarz, complex)

$\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x \norm y$ , met gelijkheid d.e.s.d.a. $x, y$ lineair afhankelijk zijn; $\norm\cdot$ is een norm. Bovendien bestaan orthonormale basissen (Gram–Schmidt loopt letterlijk), met

x = \sum_i \langle e_i, x\rangle\, e_i, \qquad \norm x^2 = \sum_i \abs{\langle e_i, x\rangle}^2 .

Bewijs. Voor $y \neq 0$ en $t \in \C$ : $0 \leq \norm{x - ty}^2 = \norm x^2 - 2\Re\bigl(\conj t\langle y, x\rangle\bigr) + \abs t^2\norm y^2$ . Kies $t = \frac{\langle y, x\rangle}{\norm y^2}$ :

0 \leq \norm x^2 - \frac{\abs{\langle y, x\rangle}^2}{\norm y^2},

wat de ongelijkheid is; gelijkheid dwingt $x = ty$ . Driehoeks- ongelijkheid, volledig:

\norm{x + y}^2 = \norm x^2 + 2\,\Re\langle x, y\rangle + \norm y^2 \leq \norm x^2 + 2\,\abs{\langle x, y\rangle} + \norm y^2 \leq \bigl(\norm x + \norm y\bigr)^2 ,

via $\Re z \leq \abs z$ en dan Cauchy–Schwarz; homogeniteit en scheiding zijn onmiddellijk, dus $\norm\cdot$ is een norm. Gram–Schmidt: zoals in het reële geval, met conjugaten geplaatst door de definitie (let op de conventie: onze producten zijn geconjugeerd-lineair in de eerste slot, dus coördinaten zijn $\langle e_i, x\rangle$ ; het volgende voorbeeld voert het algoritme één keer volledig uit). ∎

Voorbeeld 13.4 (Complexe Gram–Schmidt, volledig uitgevoerd)

Orthonormaliseer de basis $v_1 = (1, \iu)$ , $v_2 = (0, 1)$ van $\C^2$ . Eerste vector: $\norm{v_1}^2 = \abs1^2 + \abs\iu^2 = 2$ , dus $e_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$ . Projecteer $v_2$ — met de conjugatie in de eerste slot:

\langle e_1, v_2\rangle = \frac{1}{\sqrt2}\bigl(\conj{1}\cdot0 + \conj{\iu}\cdot1\bigr) = \frac{-\iu}{\sqrt2} , \qquad v_2 - \langle e_1, v_2\rangle e_1 = (0,1) + \frac{\iu}{2}\,(1, \iu) = \Bigl(\frac\iu2,\ \frac12\Bigr) .

Haar norm is $\sqrt{\frac14 + \frac14} = \frac{1}{\sqrt2}$ : $e_2 = \frac{1}{\sqrt2}(\iu, 1)$ . Controle: $\langle e_1, e_2\rangle = \frac12(\conj1\cdot\iu + \conj\iu\cdot1) = \frac12(\iu - \iu) = 0$ . Coördinaten van $v_2$ in de nieuwe basis: $v_2 = \langle e_1, v_2\rangle e_1 + \langle e_2, v_2\rangle e_2$ met $\langle e_2, v_2\rangle = \frac{1}{\sqrt2}$ — let op de volgorde: $\langle v_2, e_1\rangle$ zou de geconjugeerde coëfficiënt geven. Slotinzicht: het algoritme is letterlijk het euclidische; de enige val is waar de conjugatie valt, en het berekenen van $\norm{v_2 - \text{proj}}^2 > 0$ gebruikt stilzwijgend positiviteit — het axioma dat de hele meetkunde doet werken.

13.2 Adjunct, hermitische en unitaire endomorfismen

Definitie 13.5

De adjunct $u^*$ van $u \in \mathcal{L}(E)$ is gedefinieerd door $\langle u^*(x), y\rangle = \langle x, u(y)\rangle$ ; in een orthonormale basis is $\operatorname{Mat}(u^*) = \conj{A}^{\mathsf T} =: A^{\dagger}$ (geconjugeerde getransponeerde) — inderdaad, als $B = (b_{ij})$ de matrix van $u^*$ is in de orthonormale basis $(e_i)$ , dan is $b_{ij} = \langle e_i, u^*(e_j)\rangle$ , en de definerende identiteit geeft

\conj{b_{ij}} = \langle u^*(e_j), e_i\rangle = \langle e_j, u(e_i)\rangle = a_{ji} , \qquad\text{dus}\qquad B = \conj{A}^{\mathsf T} .

$u$ is hermitisch wanneer $u^* = u$ ( $A^\dagger = A$ ), unitair wanneer $u^*u = \mathrm{id}$ ( $A^\dagger A = I$ : de groep $U(n)$ ), normaal wanneer $u^*u = uu^*$ .

Propositie 13.6

Eigenwaarden van een hermitisch endomorfisme zijn reëel; eigenwaarden van een unitair endomorfisme hebben modulus $1$ ; in beide gevallen zijn eigenruimten bij verschillende eigenwaarden orthogonaal.

Bewijs. Hermitisch, $u(x) = \lambda x$ , $x \neq 0$ :

\lambda \norm x^2 = \langle x, u(x)\rangle = \langle u(x), x\rangle = \conj{\langle x, u(x)\rangle} = \conj\lambda\,\norm x^2 ,

dus $\lambda \in \R$ . Unitair: $\norm{u(x)} = \norm x$ (uit $u^*u = \mathrm{id}$ ), dus $\abs\lambda\norm x = \norm x$ . Orthogonaliteit (hermitisch geval): $\lambda\langle x, y\rangle = \langle u(x), y\rangle = \langle x, u(y)\rangle = \mu\langle x, y\rangle$ voor eigenvectoren met reële $\lambda \neq \mu$ . Unitair geval, volledig: voor $u(x) = \lambda x$ , $u(y) = \mu y$ met $\lambda \neq \mu$ (beide unimodulair),

\langle x, y\rangle = \langle u(x), u(y)\rangle = \conj\lambda\mu\,\langle x, y\rangle ,

en $\conj\lambda\mu = \frac{\mu}{\lambda} \neq 1$ : de factor is niet $1$ , dus $\langle x, y\rangle = 0$ . ∎

Voorbeeld 13.7 (Een scheef-hermitische matrix, gediagonaliseerd)

$A = \begin{pmatrix} 0 & -2\\ 2 & 0\end{pmatrix}$ voldoet aan $A^\dagger = A^{\mathsf T} = -A$ : scheef-hermitisch (ook reëel antisymmetrisch — over $\R$ heeft zij überhaupt geen eigenwaarden). Karakteristieke veelterm $X^2 + 4$ : eigenwaarden $\pm2\iu$ , zuiver imaginair, zoals Oefening 13.9 in het algemeen voorspelt. Eigenvectoren: $(A - 2\iu I)v = 0$ geeft $v_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$ , en $v_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)$ voor $-2\iu$ ; zij zijn orthogonaal:

\langle v_1, v_2\rangle = \tfrac12\bigl(\conj{1}\cdot1 + \conj{\iu}\cdot(-\iu)\bigr) = \tfrac12(1 - 1) = 0 .

Dus $A = U\operatorname{diag}(2\iu, -2\iu)\,U^\dagger$ met $U = (v_1\ v_2)$ unitair. Slotinzicht: $H = -\iu A = \begin{pmatrix} 0 & 2\iu\\ -2\iu & 0\end{pmatrix}$ is hermitisch met het reële spectrum $\{\pm2\}$ en de zelfde eigenvectoren — de bijectie $u \mapsto \iu u$ tussen hermitische en scheef-hermitische endomorfismen (Oefening 13.9), matrix voor matrix gezien; over $\R$ is dezelfde $A$ een rotatie-schaling zonder eigenvectoren helemaal, en alleen de overgang naar $\C$ onthult haar normale vorm.

Stelling 13.8 (Hermitische spectraalstelling)

Elk hermitisch endomorfisme van een hermitische ruimte heeft een orthonormale basis van eigenvectoren (met reële eigenwaarden): $A^\dagger = A$ impliceert $A = U D U^{\dagger}$ met $U \in U(n)$ en $D$ reëel diagonaal.

Bewijs. Over $\C$ splitst de karakteristieke veelterm: er bestaat een eigenvector $e_1$ (Hoofdstuk 3) — geen compactheidsargument nodig, een voordeel van $\C$ . Normaliseer hem. Zijn orthogonaal complement $F = e_1^\perp$ is stabiel: voor $x \perp e_1$ ,

\langle e_1, u(x)\rangle = \langle u(e_1), x\rangle = \lambda_1\langle e_1, x\rangle = 0

( $\lambda_1$ reëel). De restrictie is hermitisch; inducteer naar de dimensie en concateneer. In detail: de restrictie $u|_F$ is een endomorfisme van de hermitische ruimte $F$ (dimensie $n - 1$ ) met $\langle u|_F(x), y\rangle = \langle x, u|_F(y)\rangle$ geërfd van $u$ ; de inductiehypothese levert een orthonormale basis $(e_2, \dots, e_n)$ van $F$ van eigenvectoren, en $(e_1, e_2, \dots, e_n)$ is orthonormaal in $E$ ( $e_1 \perp F$ ) en bestaat uit eigenvectoren van $u$ . Matrixvertaling: de kolommen van $U$ zijn de $e_i$ , $U^\dagger U = I$ drukt hun orthonormaliteit uit, en $AU = UD$ verzamelt de eigenwaarde- vergelijkingen, vandaar $A = UDU^\dagger$ met $D$ reëel diagonaal (Propositie 13.6). ∎

Voorbeeld 13.9

$A = \begin{pmatrix} 0 & -\iu\\ \iu & 0\end{pmatrix}$ is hermitisch ( $A^\dagger = A$ ): eigenwaarden uit $\chi_A = X^2 - 1$ : $\pm 1$ (reëel, zoals beloofd), met orthonormale eigenvectoren $\frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)^{\mathsf T}$ en $\frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)^{\mathsf T}$ . (Natuurkundigen kennen $A$ als een Pauli-matrix; de realiteit van hermitische spectra is waarom kwantumobservabelen gemodelleerd worden door hermitische operatoren.)

Voorbeeld 13.10 (Een positief definiete hermitische matrix, uitgewerkt)

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1-\iu\\ 1+\iu & 3\end{pmatrix}$ : hermitisch, want de diagonaal is reëel en de off-diagonale ingangen zijn conjugaten. Karakteristieke veelterm:

(2-\lambda)(3-\lambda) - \abs{1-\iu}^2 = \lambda^2 - 5\lambda + 4 = (\lambda - 1)(\lambda - 4) :

spectrum $\{1, 4\}$ , reëel en positief — $A$ is positief definiet. Eigenvectoren: voor $\lambda = 4$ geeft het stelsel $(A - 4I)v = 0$ $v_4 = (1 - \iu,\ 2)$ (controleer de tweede rij: $(1+\iu)(1-\iu) - 2 = 0$ ); voor $\lambda = 1$ , $v_1 = (1 - \iu,\ -1)$ . Orthogonaliteit, met de conjugatie in de eerste slot:

\langle v_4, v_1\rangle = \conj{(1-\iu)}\,(1-\iu) + \conj{2}\,(-1) = 2 - 2 = 0 . \checkmark

Normaliseren ( $\norm{v_4}^2 = 2 + 4 = 6$ , $\norm{v_1}^2 = 2 + 1 = 3$ ) geeft de unitaire $U = \bigl(\frac{v_4}{\sqrt6}\ \frac{v_1}{\sqrt3}\bigr)$ met $A = U\operatorname{diag}(4,1)U^\dagger$ . Slotinzicht: de Rayleigh-lezing is onmiddellijk — op de eenheidsbol van $\C^2$ doorloopt $\langle x, Ax\rangle$ $\intcc{1}{4}$ , bereikt in de twee eigenvectoren; dit is de $n = 2$ -kiem van de Courant–Fischer-theorie gebouwd in het weekeindprobleem. Steekproef dat de vorm reëel is buiten de eigenvectoren: in $x = (1, \iu)$ ,

Ax = \bigl(2 + (1-\iu)\iu,\ (1+\iu) + 3\iu\bigr) = (3 + \iu,\ 1 + 4\iu),

\langle x, Ax\rangle = \conj{1}\,(3+\iu) + \conj{\iu}\,(1+4\iu) = (3 + \iu) + (-\iu)(1 + 4\iu) = 3 + \iu - \iu + 4 = 7 \in \R ,

zoals het bewijsmechanisme van Propositie 13.6 (geconjugeerde symmetrie tegen $A^\dagger = A$ ) garandeert voor elke $x$ .

Voorbeeld 13.11 (Een unitaire matrix gediagonaliseerd)

$U = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ \iu & 1 \end{pmatrix}$ (unitair via Oefening 13.2). Haar karakteristieke veelterm is $\bigl(X - \frac{1}{\sqrt2}\bigr)^2 + \frac12$ , met wortels

\lambda_\pm = \frac{1 \pm \iu}{\sqrt2} = \eu^{\pm\iu\pi/4},

unimodulair zoals Propositie 13.6 beloofde, en orthonormale eigenvectoren $\frac{1}{\sqrt2}(1, \pm1)$ . Dus $U = V\operatorname{diag}(\eu^{\iu\pi/4}, \eu^{-\iu\pi/4})V^\dagger$ : in de juiste basis is $U$ een paar vlakke rotaties over $\pm\frac\pi4$ — een reële rotatiematrix heeft geen reële eigenvectoren, maar over $\C$ splitst zij in twee unimodulaire scalaren. Slotinzicht: hermitische spectra leven op de reële lijn, unitaire spectra op de eenheidscirkel; beide zijn schaduwen van dezelfde normaliteit, en de Cayley-transformatie van Oefening 13.6 beeldt het ene plaatje op het andere af.

Voorbeeld 13.12 (De Cayley-transformatie, berekend)

Voer Oefening 13.6 uit op $H = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ (hermitisch, spectrum $\{1, -1\}$ , orthonormale eigenvectoren $\frac{1}{\sqrt2}(1, \pm1)$ ). In de eigenbasis is alles scalair: de transformatie $\lambda \mapsto \frac{\lambda - \iu}{\lambda + \iu}$ stuurt

1 \longmapsto \frac{1 - \iu}{1 + \iu} = -\iu, \qquad -1 \longmapsto \frac{-1 - \iu}{-1 + \iu} = \iu ,

(vermenigvuldig met de geconjugeerde van de noemer), dus $U = (H - \iu I)(H + \iu I)^{-1}$ is de unitaire met eigenwaarden $\mp\iu$ op diezelfde eigenvectoren:

U = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\iu & 0\\ 0 & \iu\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -\iu\\ -\iu & 0\end{pmatrix} .

Controle: $U^\dagger U = I$ , en $1 \notin \operatorname{Sp}U = \{\pm\iu\}$ , zoals de theorie belooft. Slotinzicht: de reële lijn beeldt af op de eenheidscirkel minus het punt $1$ — eigenwaarde voor eigenwaarde is de Cayley-transformatie de Möbius-afbeelding $\frac{\lambda-\iu}{\lambda+\iu}$ , en matrices volgen gewoon hun spectra.

Opmerking 13.13 (Veelgemaakte valkuilen)

(i) Waar de streep valt: dit boek conjugeert de eerste slot, dus coördinaten zijn $\langle e_i, x\rangle$ en $\langle\lambda x, y\rangle = \conj\lambda\langle x, y\rangle$ ; veel teksten conjugeren in plaats daarvan de tweede slot — vertaal vóór formules vergeleken worden, anders gaan tekens van $\iu$ stilzwijgend fout. (ii) Complexe polarisatie is sterker: over $\C$ , als $\langle x, u(x)\rangle = 0$ voor alle $x$ dan $u = 0$ (werk $x + y$ en $x + \iu y$ uit: zowel het reële als het imaginaire deel van $\langle x, u(y)\rangle$ verdwijnt); over $\R$ faalt dit — de rotatie over $\frac\pi2$ voldoet aan $\langle x, u(x)\rangle = 0$ overal. Bijgevolg, alleen over $\C$ , dwingt “ $\langle x, u(x)\rangle \in \R$ voor alle $x$ ” reeds dat $u$ hermitisch is. (iii) Reëel normaal is niet diagonaliseerbaar: de matrix van Voorbeeld 13.7 is normaal maar heeft geen reële eigenwaarde; unitaire diagonalisatie is een stelling over $\C$ , en over $\R$ krijgt men alleen blokreducties. (iv) Unitariteit controleren: $U^\dagger U = I$ betekent dat de kolommen orthonormaal zijn voor het hermitische product — $UU^{\mathsf T}$ testen, of de conjugatie in de kolomproducten vergeten, zijn de twee klassieke manieren om een verkeerde matrix te certificeren.

Voorbeeld 13.14 (Isometrieën zijn precies de unitairen)

Normbehoud lijkt zwakker dan unitariteit, maar over $\C$ is dat niet zo: als $\norm{u(x)} = \norm x$ voor alle $x$ , dan $u^*u = \mathrm{id}$ . Inderdaad is $v = u^*u - \mathrm{id}$ hermitisch en voldoet $\langle x, v(x)\rangle = \norm{u(x)}^2 - \norm x^2 = 0$ voor elke $x$ ; door complexe polarisatie (valkuil (ii) hierboven) is een afbeelding met identiek verdwijnende “diagonaal” nul: $v = 0$ . Concreet loopt de polarisatie

0 = \langle x + y, v(x+y)\rangle = \langle x, v(y)\rangle + \langle y, v(x)\rangle, \qquad 0 = \langle x + \iu y, v(x + \iu y)\rangle = \iu\langle x, v(y)\rangle - \iu\langle y, v(x)\rangle ,

en de twee regels samen dwingen $\langle x, v(y)\rangle = 0$ voor alle $x, y$ . Slotinzicht: daarom kan “unitair” gecontroleerd worden door alleen lengtes te meten — starheid die het Fourier-hoofdstuk zal uitbuiten, waar behoud van de energie $\norm f_2$ (Parseval) hetzelfde is als behoud van alle inwendige producten van coëfficiënten.

Opmerking 13.15 (Perspectieven binnen dit volume)

De hermitische machinerie die hier gebouwd is, wordt bijna onmiddellijk geconsumeerd. Het Fourier-hoofdstuk is hermitische meetkunde in oneindige dimensie: de exponentialen $(e_n)$ zijn een orthonormale familie voor $\langle f, g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int\conj fg$ , de ongelijkheid van Bessel is de projectieschatting van Stelling 13.3 van dit hoofdstuk, en Parseval is haar limietgelijkheid. De eindige Fourier-transformatie (Oefening 13.10) keert terug wanneer convolutie gediagonaliseerd moet worden. En het weekeindprobleem van dit hoofdstuk — Courant–Fischer, Weyl, interlacing — levert de eigenwaarde-stabiliteit die het differentiaalvergelijkingen- hoofdstuk inroept wanneer het beweert dat kleine storingen van een systeem zijn frequenties slechts licht verschuiven. Achterwaarts is alles hier de complexe spiegel van het kwadratische-vormenhoofdstuk: houd de twee woordenboeken naast elkaar ( $A^{\mathsf T} \leftrightarrow A^\dagger$ , orthogonaal $\leftrightarrow$ unitair, Rayleigh reëel in beide).

Opmerking 13.16 (Normale endomorfismen)

Over $\C$ is de definitieve uitspraak: $u$ is unitair diagonaliseerbaar d.e.s.d.a. hij normaal is ( $u^*u = uu^*$ ) — hermitische, unitaire en scheef-hermitische afbeeldingen in één keer dekkend. Het bewijs is een aangename versterking van het argument hierboven (Oefening 13.8). Over $\R$ , daarentegen, koopt normaliteit alleen blokdiagonalisatie (rotatieblokken): complexe meetkunde is oprecht eenvoudiger.

Opmerking 13.17 (Waar dit gebruikt wordt)

Hermitische spectraaltheorie is de wiskunde van de kwantum- mechanica: observabelen worden gemodelleerd door hermitische operatoren (reële spectra = meetbare waarden), tijdevolutie door unitaire (normbehoud = behoud van waarschijnlijkheid). Binnen dit boek steunt het Fourier-hoofdstuk op de orthonormaliteit van de exponentialen — een hermitische inwendig-productuitspraak — en is de diagonalisatie van circulante matrices (Oefening 13.10) de eindige Fourier-transformatie. Het weekeindprobleem ontwikkelt de variationele calculus van eigenwaarden (Courant–Fischer, Weyl, interlacing), het dagelijks brood van numerieke analyse en mathematische fysica; het jaar- 3-volume breidt het uit tot compacte zelftoegevoegde operatoren op Hilbert-ruimten.

13.3 Oefeningen

Oefening 13.1 ★

Op $\C^2$ : bereken $\langle x, y\rangle$ , $\norm x$ , $\norm y$ voor $x = (1, \iu)$ , $y = (\iu, 1)$ ; zijn zij orthogonaal? Geef een orthonormale basis die $\frac{x}{\norm x}$ bevat.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.1.

$\langle x, y\rangle = \conj{1}\cdot\iu + \conj{\iu}\cdot 1 = \iu - \iu = 0$ : orthogonaal. $\norm x = \norm y = \sqrt{1 + 1} = \sqrt2$ . Orthonormale basis: $\bigl(\frac{1}{\sqrt2}(1, \iu),\; \frac{1}{\sqrt2}(\iu, 1)\bigr)$ — het genormaliseerde paar zelf.

Oefening 13.2 ★

Welke zijn hermitisch? unitair? normaal?

\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ -\iu & 2 \end{pmatrix}, \qquad \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ \iu & 1\end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.2.

Eerste: gelijk aan haar geconjugeerde getransponeerde (reële diagonaal, $\conj{\iu} = -\iu$ verwisseld): hermitisch (dus normaal); niet unitair ( $A^\dagger A \neq I$ : kolommen geen eenheid).

Tweede: $A^\dagger A = \frac12\begin{pmatrix} 1 & -\iu\\ -\iu & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ \iu & 1\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = I$ : unitair (dus normaal); niet hermitisch.

Derde: $A^\dagger A = E_{22} \neq E_{11} = AA^\dagger$ : niet normaal (dus noch hermitisch noch unitair) — het standaard nilpotente tegenvoorbeeld.

Oefening 13.3 ★

Bewijs dat een matrix $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ uniek schrijft $A = H + \iu K$ met $H, K$ hermitisch (de “reële en imaginaire delen” $H = \frac{A + A^\dagger}{2}$ , $K = \frac{A - A^\dagger}{2\iu}$ ), en dat $A$ normaal is d.e.s.d.a. $H$ en $K$ commutereren.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.3.

Uniciteit: $A = H + \iu K$ met $H^\dagger = H$ , $K^\dagger = K$ dwingt $A^\dagger = H - \iu K$ , dus $H = \frac{A + A^\dagger}{2}$ , $K = \frac{A - A^\dagger}{2\iu}$ ; deze formules zijn hermitisch (controle: $\bigl(\frac{A - A^\dagger}{2\iu}\bigr)^\dagger = \frac{ A^\dagger - A}{-2\iu} = K$ ) en reconstrueren $A$ : bestaan.

Normaliteit: $A^\dagger A - AA^\dagger = (H - \iu K)(H + \iu K) - (H + \iu K)(H - \iu K) = 2\iu(HK - KH)$ : zij verdwijnt d.e.s.d.a. $HK = KH$ .

Oefening 13.4 ★★

Diagonaliseer in een orthonormale basis: $A = \begin{pmatrix} 2 & \iu\\ -\iu & 2\end{pmatrix}$ , en bereken $A^k$ voor $k \in \N$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.4.

$\chi_A = (X-2)^2 - 1$ : eigenwaarden $3$ en $1$ . Eigenvectoren, via directe berekening:

A\begin{pmatrix}1\\ -\iu\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + \iu(-\iu)\\ -\iu + 2(-\iu)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ -3\iu \end{pmatrix} = 3\begin{pmatrix}1\\ -\iu\end{pmatrix}, \qquad A\begin{pmatrix}1\\ \iu\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + \iu\cdot\iu\\ -\iu + 2\iu\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ \iu\end{pmatrix}.

Orthonormale eigenbasis: $u_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)$ (eigenwaarde $3$ ), $u_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$ (eigenwaarde $1$ ); orthogonaliteit zoals in Oefening 13.1. Machten, via de spectrale projecties $A^k = 3^k u_1u_1^\dagger + 1^k\, u_2u_2^\dagger$ :

A^k = U\begin{pmatrix} 3^k & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}U^\dagger = \frac{3^k}{2}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ -\iu & 1\end{pmatrix} + \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -\iu\\ \iu & 1\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix} 3^k + 1 & (3^k - 1)\iu\\ -(3^k-1)\iu & 3^k + 1 \end{pmatrix}.

(Controle $k = 1$ : herstelt $A$ .)

Oefening 13.5 ★★

Bewijs dat $U(n)$ compact is, en dat de eigenwaarde-afbeelding surjectief is: elke unimodulaire $\lambda$ ontstaat voor enige unitaire matrix. Bewijs dat $\det U \in \mathbb{U}$ (de eenheidscirkel) voor $U \in U(n)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.5.

Compact: gesloten (inverse beeld van $I$ onder de continue $U \mapsto U^\dagger U$ ) en begrensd (kolommen zijn eenheidsvectoren: ingangen van modulus $\leq 1$ ) in $\mathcal{M}_n(\C) \simeq \R^{2n^2}$ .

Eigenwaarden: $\operatorname{diag}(\lambda, 1, \dots, 1)$ is unitair voor elke $\abs\lambda = 1$ . Determinant: $\abs{\det U}^2 = \det U^\dagger \det U = \det(U^\dagger U) = 1$ (via $\det A^\dagger = \conj{\det A}$ ): $\det U$ ligt op de eenheidscirkel.

Oefening 13.6 ★★

(Cayley-transformatie) Laat $H$ hermitisch zijn. Bewijs dat $H + \iu I$ inverteerbaar is en dat $U = (H - \iu I)(H + \iu I)^{-1}$ unitair is, met $1 \notin \operatorname{Sp}(U)$ . (Werk spectraal: op een eigenbasis van $H$ is alles scalair.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.6.

Via de spectraalstelling, werk in een orthonormale eigenbasis van $H$ : alles herleidt tot scalaren $\lambda \in \R$ (de eigenwaarden). $H + \iu I$ heeft eigenwaarden $\lambda + \iu \neq 0$ : inverteerbaar. $U$ heeft eigenwaarden $\mu = \frac{\lambda - \iu}{\lambda + \iu}$ , van modulus $1$ ( $\abs{\lambda - \iu} = \abs{\lambda + \iu}$ voor reële $\lambda$ ): $U^\dagger U = I$ geldt omdat $U$ unitair diagonaliseerbaar is met unimodulaire eigenwaarden (hij is diagonaal in de gekozen orthonormale basis). En $\mu = 1$ zou $-\iu = \iu$ forceren: onmogelijk, dus $1 \notin \operatorname{Sp} U$ . (De Cayley- transformatie beeldt hermitisch af op unitair-minus-een-punt — de matrix- versie van de afbeelding van $\R$ naar de cirkel.)

Oefening 13.7 ★★

Voor $A$ hermitisch positief definiet ( $\langle x, Ax\rangle > 0$ voor $x \neq 0$ ), bewijs dat $\operatorname{Sp}(A) \subseteq \intoo{0}{\infty}$ , dat $A = B^2$ voor een hermitische positief definiete $B$ , en dat $\det A > 0$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.7.

Voor een eigenpaar $Ax = \lambda x$ ( $x \neq 0$ ): $\lambda\norm x^2 = \langle x, Ax\rangle > 0$ , dus $\lambda > 0$ (al reëel, Propositie 13.6). Vierkantswortel: in een spectraal- basis, $B = U\operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_i})U^\dagger$ : hermitisch, positief definiet, $B^2 = A$ . Determinant: product van de positieve eigenwaarden.

Oefening 13.8 ★★★

(Spectraalstelling voor normale endomorfismen) Laat $u$ normaal zijn op een hermitische ruimte.

Bewijs $\norm{u(x)} = \norm{u^*(x)}$ voor alle $x$ , en leid af $\ker(u - \lambda) = \ker(u^* - \conj\lambda)$ .
Bewijs dat eigenruimten van $u$ bij verschillende eigenwaarden orthogonaal zijn, en dat het orthogonaal complement van een eigenruimte $u$ -stabiel is.
Concludeer inductief dat $u$ unitair diagonaliseerbaar is; en omgekeerd.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.8.

$\norm{u(x)}^2 = \langle u(x), u(x)\rangle = \langle x, u^*u(x)\rangle = \langle x, uu^*(x)\rangle = \norm{u^*(x)}^2$ . Toegepast op de normale $u - \lambda\,\mathrm{id}$ (haar adjunct is $u^* - \conj\lambda$ , en normaliteit wordt geërfd): $\norm{(u - \lambda)x} = \norm{(u^* - \conj\lambda)x}$ , dus komen de kernen overeen.
Voor eigenvectoren $u(x) = \lambda x$ , $u(y) = \mu y$ ( $\lambda \neq \mu$ ): via (1), $u^*(x) = \conj\lambda x$ ; dan

$\lambda\langle y, x\rangle = \langle y, u(x)\rangle = \langle u^*(y), x\rangle = \langle \conj\mu\, y, x\rangle = \mu \langle y, x\rangle ,$

dus $\langle y, x\rangle = 0$ . Stabiliteit van $E_\lambda^\perp$ : voor $x \perp E_\lambda$ en $z \in E_\lambda$ , $\langle z, u(x)\rangle = \langle u^*(z), x\rangle = \langle\conj\lambda z, x\rangle = 0$ .
Inductie naar dimensie: over $\C$ heeft $u$ een eigenvector $e_1$ (normaliseer); zijn orthogonaal complement is stabiel onder $u$ (via (2)) en onder $u^*$ (zelfde argument met rollen verwisseld), dus is de restrictie normaal: inducteer en concateneer orthonormale eigenbasissen. Omgekeerd voldoet een unitair diagonaliseerbare $u = UDU^\dagger$ aan $u^*u = U\conj D D U^\dagger = U D\conj D U^\dagger = uu^*$ : normaal.

Oefening 13.9 ★

Een endomorfisme is scheef-hermitisch wanneer $u^* = -u$ . Bewijs dat zijn eigenwaarden zuiver imaginair zijn, dat $u \mapsto \iu u$ een bijectie is van hermitische naar scheef-hermitische endomorfismen, en dat scheef-hermitische endomorfismen unitair diagonaliseerbaar zijn (Oefening 13.8).

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.9.

Eigenwaarden: voor $u(x) = \lambda x$ , $x \neq 0$ :

\lambda\norm x^2 = \langle x, u(x)\rangle = \langle u^*(x), x\rangle = -\langle u(x), x\rangle = -\conj{\langle x, u(x)\rangle} = -\conj\lambda\,\norm x^2 ,

dus $\lambda = -\conj\lambda$ : zuiver imaginair. Aangezien $(\iu u)^* = -\iu\,u^*$ (de adjunct is geconjugeerd-lineair in scalaren), geeft $u^* = u$ $(\iu u)^* = -\iu u$ : de afbeelding $u \mapsto \iu u$ stuurt hermitisch naar scheef-hermitisch, met inverse $w \mapsto -\iu w$ : een bijectie. Een scheef-hermitische $u$ voldoet aan $u^*u = -u^2 = uu^*$ : normaal, dus unitair diagonaliseerbaar via Oefening 13.8.

Oefening 13.10 ★★

(De eindige Fourier-transformatie) Laat $S$ de cyclische verschuiving van $\C^n$ zijn: $S(x_0, x_1, \dots, x_{n-1}) = (x_{n-1}, x_0, \dots, x_{n-2})$ , en $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ .

Toon dat $S$ unitair is, en dat de vectoren $f_k = \frac{1}{\sqrt n}\bigl(1, \omega^k, \omega^{2k}, \dots, \omega^{(n-1)k}\bigr)$ , $0 \leq k < n$ , een orthonormale basis van eigenvectoren vormen: $Sf_k = \omega^{-k} f_k$ .
Leid af dat elke circulante matrix $C = \sum_{j=0}^{n-1} c_jS^j$ normaal is, gediagonaliseerd door dezelfde basis, met eigenwaarden $\widehat c(k) = \sum_j c_j\,\omega^{-jk}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.10.

$S$ permuteert een orthonormale basis: $\norm{Sx} = \norm x$ , dus $S$ is unitair. Coördinaten indexeren met $j = 0, \dots, n-1$ modulo $n$ : $(Sx)_j = x_{j-1}$ , dus voor $(f_k)_j = \frac{\omega^{jk}}{\sqrt n}$ :

$(Sf_k)_j = \frac{\omega^{(j-1)k}}{\sqrt n} = \omega^{-k}\,(f_k)_j : \qquad Sf_k = \omega^{-k}f_k .$

Orthonormaliteit: $\langle f_k, f_l\rangle = \frac1n \sum_j \omega^{j(l-k)} = \delta_{kl}$ (geometrische som van een niet-triviale eenheidswortel verdwijnt).
$Cf_k = \sum_j c_j S^jf_k = \bigl(\sum_j c_j\omega^{-jk}\bigr)f_k = \widehat c(k)\,f_k$ : elke circulante is diagonaal in de orthonormale Fourier-basis, dus normaal, met spectrum $\{\widehat c(k)\}$ . (De basisverandering is de discrete Fourier-transformatie: convolutie wordt vermenigvuldiging.)

Oefening 13.11 ★★

Laat $P$ een idempotent ( $P^2 = P$ ) endomorfisme van een hermitische ruimte zijn. Bewijs dat $P$ de orthogonale projectie is op $\operatorname{im} P$ d.e.s.d.a. $P^* = P$ . Geef de matrix van de orthogonale projectie op $\C v$ ( $\norm v = 1$ ), en op een deelruimte met orthonormale basis $(v_1, \dots, v_k)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.11.

( $\Leftarrow$ ) Laat $P^2 = P = P^*$ . Elke $v$ splitst als $v = Pv + (v - Pv)$ met $Pv \in \operatorname{im} P$ en $P(v - Pv) = 0$ . De twee stukken zijn orthogonaal: voor alle $x, y$ ,

\langle Px, (I - P)y\rangle = \langle x, P(I-P)y\rangle = \langle x, (P - P^2)y\rangle = 0 :

$\ker P \perp \operatorname{im} P$ , dus is $P$ de orthogonale projectie op haar beeld. ( $\Rightarrow$ ) Als $P$ de orthogonale projectie is op $F = \operatorname{im}P$ : voor alle $x, y$ , $\langle Px, y\rangle = \langle Px, Py\rangle$ (de component $y - Py \perp F$ valt weg) en symmetrisch $\langle x, Py\rangle = \langle Px, Py\rangle$ : $\langle Px, y\rangle = \langle x, Py\rangle$ , d.w.z. $P^* = P$ . Matrices: op $\C v$ ( $\norm v = 1$ ): $Px = v\,\langle v, x\rangle$ , d.w.z. $P = vv^\dagger$ ; op $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ orthonormaal: $P = \sum_i v_iv_i^\dagger$ .

Oefening 13.12 ★★★

(Spectrale projectoren via interpolatie) Laat $A$ hermitisch zijn met onderscheiden eigenwaarden $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ en eigenruimte-ontbinding $E = \bigoplus_i E_i$ . Definieer de Lagrange-veeltermen $L_i(X) = \prod_{j\neq i}\frac{X - \lambda_j}{\lambda_i - \lambda_j}$ . Bewijs dat $P_i = L_i(A)$ de orthogonale projectie is op $E_i$ , dat $P_iP_j = 0$ voor $i \neq j$ , $\sum_i P_i = I$ , en $A = \sum_i \lambda_iP_i$ (de spectrale ontbinding); druk $f(A)$ voor willekeurige veelterm $f$ uit in termen van de $P_i$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.12.

Diagonaliseer $A = U D U^\dagger$ (spectraalstelling), $D$ diagonaal met ingangen onder de $\lambda_i$ . Dan $P_i = L_i(A) = U L_i(D)U^\dagger$ , en $L_i(D)$ is diagonaal met ingangen $L_i(\lambda_j) = \delta_{ij}$ : enen precies in de slots van $E_i$ . Dus is $P_i$ hermitisch ( $L_i$ reëel, $D$ reëel), idempotent, met beeld $E_i$ en kern $\bigoplus_{j\neq i}E_j = E_i^\perp$ (orthogonaliteit van eigenruimten): de orthogonale projectie op $E_i$ (Oefening 13.11). Disjuncte diagonale patronen geven $P_iP_j = 0$ ( $i \neq j$ ); $\sum_i L_i = 1$ (graad $< p$ , waarde $1$ in $p$ punten), dus $\sum P_i = I$ ; en $\sum_i \lambda_iL_i(\lambda_j) = \lambda_j$ geeft $A = \sum \lambda_iP_i$ . Voor willekeurige veelterm $f$ : $f(D)$ heeft diagonaal $f(\lambda_j)$ , dus

f(A) = \sum_{i=1}^{p} f(\lambda_i)\,P_i :

functies van $A$ worden spectraal berekend — de calculus die het jaar-3-volume uitbreidt tot continue $f$ en verder.

13.4 Probleem: Courant–Fischer, Weyl en de calculus van eigenwaarden

Probleem 13.1

De eigenwaarden van een hermitische matrix zijn niet alleen wortels van een veelterm: zij zijn oplossingen van optimalisatieproblemen. Dat variationele gezichtspunt — Rayleigh-quotiënten en de min-max-stelling van Courant–Fischer — maakt eigenwaarden vergelijkbaar, stabiel en berekenbaar, en dit probleem oogst zijn klassieke vruchten: storingsongelijkheden van Weyl, Cauchy-interlacing, de spoorongelijkheden van Schur en Ky Fan, de monotonie van de matrixvierkantswortel, en het spectrum van de discrete Laplace-operator. Doorheen is $A, B, E$ hermitisch op $E = \C^n$ met eigenwaarden genoteerd in dalende volgorde $\lambda_1(A) \geq \dots \geq \lambda_n(A)$ , en $R_A(x) = \frac{\langle x, Ax\rangle}{\langle x, x\rangle}$ voor $x \neq 0$ is het Rayleigh-quotiënt.

Deel I — Rayleigh-quotiënten en min-max. Fixeer een orthonormale eigenbasis $(e_1, \dots, e_n)$ , $Ae_i = \lambda_ie_i$ .

Toon dat $R_A(x)$ reëel is, en dat

$\lambda_n \leq R_A(x) \leq \lambda_1 \qquad (x \neq 0),$

beide grenzen bereikt: $\lambda_1 = \max R_A$ , $\lambda_n = \min R_A$ .
Toon dat de kritieke punten van $R_A$ precies de eigenvectoren van $A$ zijn (werk $t \mapsto R_A(x + tv)$ uit in $t = 0$ voor willekeurige $v$ , vervang dan $v$ door $\iu v$ ).
Laat $V_k = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k)$ en $W_k = \operatorname{Vect}(e_k, \dots, e_n)$ . Toon

$\min_{x \in V_k\setminus\{0\}} R_A(x) = \lambda_k = \max_{x \in W_k\setminus\{0\}} R_A(x) .$
Bewijs de stelling van Courant–Fischer: voor $1 \leq k \leq n$ ,

$\lambda_k = \max_{\dim V = k}\;\min_{x \in V\setminus\{0\}} R_A(x) = \min_{\dim W = n-k+1}\;\max_{x \in W\setminus\{0\}} R_A(x)$

(voor elke $V$ van dimensie $k$ : $V \cap W_k \neq \{0\}$ via Grassmann, dus $\min_V R_A \leq \lambda_k$ ; vraag 3 toont dat de grens bereikt wordt).
(Monotonie) Schrijf $A \leq B$ wanneer $B - A$ positief semi-definiet is. Leid uit vraag 4 af: $A \leq B$ impliceert $\lambda_k(A) \leq \lambda_k(B)$ voor elke $k$ .

Deel II — De ongelijkheden van Weyl.

Toon dat deelruimten $V, W \subseteq \C^n$ met $\dim V + \dim W > n$ niet-triviaal snijden, en veralgemeen: $\dim(V_1 \cap V_2 \cap V_3) \geq \dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3 - 2n$ .
Bewijs de ongelijkheid van Weyl: voor $i + j - 1 \leq n$ ,

$\lambda_{i+j-1}(A + B) \leq \lambda_i(A) + \lambda_j(B)$

(snijd de deelruimten $W_i(A)$ , $W_j(B)$ en $V_{i+j-1}(A+B)$ van vraag 3 en tel dimensies).
Definieer $\vertiii{E}_2 = \max_{\norm x = 1}\norm{Ex}$ en toon $\vertiii E_2 = \max_k\abs{\lambda_k(E)}$ voor hermitische $E$ . Leid de storingsstelling van Weyl af:

$\bigl|\lambda_k(A + E) - \lambda_k(A)\bigr| \leq \vertiii{E}_2 \qquad (1 \leq k \leq n) :$

elke eigenwaarde is een $1$ -Lipschitz-functie van de matrix.
(Rang-één-storingen) Laat $P$ hermitisch positief semi-definiet van rang $1$ zijn. Toon

$\lambda_k(A) \leq \lambda_k(A + P) \leq \lambda_{k-1}(A) \qquad (2 \leq k \leq n),$

samen met $\lambda_1(A) \leq \lambda_1(A+P)$ : de nieuwe eigenwaarden interlacen de oude.
Controleer vraag 8 numeriek: $A = \begin{pmatrix} 2 & \iu\\ -\iu & 2\end{pmatrix}$ (Oefening 13.4: spectrum $\{3, 1\}$ ) en $E = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ (spectrum $\{1, -1\}$ ): bereken het spectrum van $A + E$ en beide kanten van de ongelijkheid.

Deel III — Interlacing en spoor- ongelijkheden.

(Cauchy-interlacing) Laat $B$ de leidende $(n-1) \times(n-1)$ principale submatrix van $A$ zijn. Bewijs

$\lambda_{k+1}(A) \leq \lambda_k(B) \leq \lambda_k(A) \qquad (1 \leq k \leq n-1)$

(bekijk $\C^{n-1} \subseteq \C^n$ ; daarop is $R_B$ de restrictie van $R_A$ ; pas Courant–Fischer toe op beide niveaus).
Itereer: voor een principale submatrix $B$ van grootte $n - m$ , $\lambda_{k+m}(A) \leq \lambda_k(B) \leq \lambda_k(A)$ .
(Schur) Laat $d_1 \geq d_2 \geq \dots \geq d_n$ de diagonale ingangen van $A$ zijn, gesorteerd. Bewijs, voor elke $k$ :

$\sum_{i=1}^{k} d_i \leq \sum_{i=1}^{k}\lambda_i(A),$

met gelijkheid in $k = n$ (het spoor) (de $k$ gekozen diagonale ingangen vormen een principale $k\times k$ -submatrix; begrens haar spoor via vraag 12).
(Ky Fan) Bewijs

$\sum_{i=1}^{k}\lambda_i(A) = \max\Bigl\{\sum_{i=1}^{k}\langle x_i, Ax_i\rangle : (x_1, \dots, x_k) \text{ orthonormaal}\Bigr\} .$
Verifieer vragen 11 en 13 op

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix} \qquad \bigl(\operatorname{Sp} = \{2 - \sqrt2,\ 2,\ 2+\sqrt2\}\bigr)$

tegen haar leidende $2\times2$ -blok (spectrum $\{1, 3\}$ ) en haar diagonaal.

Deel IV — De Loewner-orde. $A \leq B$ betekent nog steeds $B - A$ positief semi-definiet; alle matrices in dit deel zijn hermitisch.

Toon: $A \leq B$ impliceert $a_{ii} \leq b_{ii}$ voor alle $i$ , $\operatorname{tr} A \leq \operatorname{tr} B$ , en $C^\dagger AC \leq C^\dagger BC$ voor elke complexe matrix $C$ .
Toon dat kwadrateren niet monotoon is: voor

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix},$

controleer $0 \leq A \leq B$ maar $A^2 \not\leq B^2$ .
Bewijs dat de vierkantswortel wel monotoon is: $0 \leq A \leq B$ impliceert $\sqrt A \leq \sqrt B$ (laat $\mu$ een eigenwaarde van $\sqrt B - \sqrt A$ zijn met eenheids- eigenvector $v$ ; bereken $\langle v, (B - A)v\rangle = \mu\bigl(\langle v, \sqrt B\,v\rangle + \langle v, \sqrt A\,v\rangle\bigr)$ en discussieer).
Bewijs dat inverteren antitonoon is op positief definiete matrices: $0 < A \leq B$ impliceert $B^{-1} \leq A^{-1}$ (congruentie via $A^{-1/2}$ om te herleiden tot $I \leq M \Rightarrow M^{-1} \leq I$ , wat scalair is in een spectraalbasis).
Laat $A, B$ positief definiet zijn. Toon dat de eigenwaarden van $AB$ (niet hermitisch in het algemeen!) reëel en positief zijn, en dat

$\lambda_{\max}(AB) \leq \lambda_{\max}(A)\,\lambda_{\max}(B)$

(conjugeren met $\sqrt A$ : $AB \sim \sqrt A\,B\sqrt A$ ).

Deel V — De discrete Laplace-operator, uitgewerkt. Laat $T_n$ de $n \times n$ tridiagonale matrix zijn met $2$ op de diagonaal en $-1$ op de twee aangrenzende diagonalen.

Met $\theta_k = \frac{k\pi}{n+1}$ , verifieer dat de vectoren $v_k = \bigl(\sin(j\theta_k)\bigr)_{1\leq j\leq n}$ voldoen aan $T_nv_k = (2 - 2\cos\theta_k)\,v_k$ (product-tot-som-identiteit; controleer de randrijen $j = 1, n$ ). Concludeer:

$\operatorname{Sp}(T_n) = \Bigl\{4\sin^2 \frac{k\pi}{2(n+1)} : 1 \leq k \leq n\Bigr\},$

alle enkelvoudig, alle positief: $T_n$ is positief definiet.
(Een potentiaal) Voor een reële diagonaal $D = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$ , sandwich het spectrum: voor elke $k$ ,

$\lambda_k(T_n) + \min_i d_i \;\leq\; \lambda_k(T_n + D) \;\leq\; \lambda_k(T_n) + \max_i d_i .$
Controleer Cauchy-interlacing tussen $T_3$ en $T_2$ expliciet (spectra $\{2 \pm \sqrt2, 2\}$ en $\{1, 3\}$ ), en interpreteer: $T_2$ is $T_3$ met één eindpunt van het pad verwijderd.
Toon dat de extreme eigenwaarden, als $n \to \infty$ , voldoen aan:

$\lambda_{\min}(T_n) = 4\sin^2\frac{\pi}{2(n+1)} \sim \frac{\pi^2}{(n+1)^2}, \qquad \lambda_{\max}(T_n) \to 4 ,$

dus het conditioneringsgetal $\kappa_n = \lambda_{\max}/\lambda_{\min}$ groeit als $\frac{4(n+1)^2}{\pi^2}$ : een tweede afgeleide discretiseren op een steeds fijnere grid is intrinsiek slecht geconditioneerd.
Synthese. In één zin elk: (i) waarom de variationele karakterisering, niet de karakteristieke veelterm, eigenwaarden stabiel maakt (vragen 8–9); (ii) welke vragen alleen $\lambda_1 = \max R_A$ gebruikten en welke de volledige min-max nodig hadden; (iii) wat de Loewner-orde toevoegt aan het verhaal; (iv) waar deze gereedschappen terugkeren (numerieke analyse van de stijfheidsmatrices van vraag 24; kwantum- storingstheorie; en, in het jaar-3-volume, het min-max-principe voor compacte zelftoegevoegde operatoren).

Oplossing

Oplossing van Probleem 13.1.

1. $\conj{\langle x, Ax\rangle} = \langle Ax, x\rangle = \langle x, A^*x\rangle = \langle x, Ax\rangle$ : reëel. Schrijvend $x = \sum c_ie_i$ :

R_A(x) = \frac{\sum_i\lambda_i\abs{c_i}^2} {\sum_i\abs{c_i}^2} ,

een gewogen gemiddelde van de eigenwaarden: het ligt in $\intcc{\lambda_n}{\lambda_1}$ , met de grenzen bereikt in $e_1$ en $e_n$ .

2. Voor reële $t$ en willekeurige $v$ , werk $R_A(x + tv) = \frac{N(t)}{D(t)}$ uit met

N(t) = \langle x, Ax\rangle + 2t\Re\langle v, Ax\rangle + t^2\langle v, Av\rangle, \quad D(t) = \norm x^2 + 2t\Re\langle v, x\rangle + t^2\norm v^2 .

De afgeleide in $t = 0$ is

\frac{2}{\norm x^2}\, \Re\bigl\langle v,\ Ax - R_A(x)\,x\bigr\rangle .

Zij verdwijnt voor alle $v$ d.e.s.d.a. $\Re\langle v, w\rangle = 0$ voor alle $v$ , waar $w = Ax - R_A(x)x$ ; $v$ vervangen door $\iu v$ doodt ook het imaginaire deel: $w = 0$ , d.w.z. $Ax = R_A(x)x$ . Kritieke punten van $R_A$ zijn precies eigenvectoren, met kritieke waarde de eigenwaarde.

3. Voor $x = \sum_{i\leq k}c_ie_i \in V_k$ : $R_A(x)$ is een gewogen gemiddelde van $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ , dus $\geq \lambda_k$ , met gelijkheid in $e_k$ : $\min_{V_k} R_A = \lambda_k$ . Symmetrisch op $W_k$ betrekt het gemiddelde $\lambda_k, \dots, \lambda_n$ : $\max_{W_k}R_A = \lambda_k$ .

4. Laat $\dim V = k$ . Dan $\dim V + \dim W_k = n + 1 > n$ , dus is er een eenheids- $x \in V \cap W_k$ , en $R_A(x) \leq \lambda_k$ (vraag 3): $\min_{V}R_A \leq \lambda_k$ voor elke zulke $V$ . Aangezien $V_k$ $\lambda_k$ bereikt, is de max-min gelijk aan $\lambda_k$ . De min-max-formule is hetzelfde argument met de rollen omgekeerd ( $\dim W = n - k + 1$ dwingt $W \cap V_k \neq \{0\}$ , dus $\max_W R_A \geq \lambda_k$ , bereikt in $W_k$ ).

5. $R_B(x) = R_A(x) + \frac{\langle x, (B-A)x\rangle}{\norm x^2} \geq R_A(x)$ puntsgewijs. Neem $\min$ over elke $k$ -dimensionale $V$ en dan $\max$ over $V$ : $\lambda_k(B) \geq \lambda_k(A)$ via vraag 4.

6. Grassmann: $\dim(V\cap W) = \dim V + \dim W - \dim(V + W) \geq \dim V + \dim W - n > 0$ . Dit tweemaal toepassend:

\dim(V_1\cap V_2\cap V_3) \geq \dim(V_1\cap V_2) + \dim V_3 - n \geq \dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3 - 2n .

7. De deelruimten $W_i(A)$ , $W_j(B)$ (vraag 3, voor $A$ en $B$ ) en $V_{i+j-1}(A+B)$ hebben dimensies $(n-i+1) + (n-j+1) + (i+j-1) = 2n + 1 > 2n$ : via vraag 6 is er een eenheids- vector $x$ in alle drie. Dan

\lambda_{i+j-1}(A+B) \leq R_{A+B}(x) = R_A(x) + R_B(x) \leq \lambda_i(A) + \lambda_j(B),

de linker ongelijkheid omdat $x \in V_{i+j-1}(A+B)$ (vraag 3), de rechter via de twee $W$ ’s.

8. In een spectraalbasis van $E$ : $\norm{Ex}^2 = \sum \lambda_k(E)^2\abs{c_k}^2 \leq \max_k\lambda_k(E)^2\,\norm x^2$ , bereikt in de bijbehorende eigenvector: $\vertiii E_2 = \max_k\abs{\lambda_k(E)}$ . Weyl met $j = 1$ : $\lambda_k(A+E) \leq \lambda_k(A) + \lambda_1(E) \leq \lambda_k(A) + \vertiii E_2$ ; dit toepassen op $(A+E) + (-E)$ : $\lambda_k(A) \leq \lambda_k(A+E) + \vertiii E_2$ . Samen: $\abs{\lambda_k(A+E) - \lambda_k(A)} \leq \vertiii E_2$ .

9. Ondergrenzen: $P \geq 0$ en vraag 5. Boven: $P$ heeft rang $1$ , dus $\lambda_2(P) = 0$ ; Weyl met $i = k-1$ , $j = 2$ :

\lambda_k(A + P) \leq \lambda_{k-1}(A) + \lambda_2(P) = \lambda_{k-1}(A) .

10. $A + E = \begin{pmatrix} 2 & 1+\iu\\ 1-\iu & 2\end{pmatrix}$ : karakteristieke veelterm $(2-\lambda)^2 - \abs{1+\iu}^2 = (2-\lambda)^2 - 2$ , spectrum $\{2 + \sqrt2,\ 2 - \sqrt2\}$ . Tegen $\operatorname{Sp}A = \{3, 1\}$ :

\abs{(2+\sqrt2) - 3} = \abs{(2-\sqrt2) - 1} = \sqrt2 - 1 \approx 0.414 \leq 1 = \vertiii E_2 . \checkmark

11. Bekijk $\C^{n-1} = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_{n-1})$ binnen $\C^n$ (standaardbasis): voor $x$ daar is $\langle x, Bx\rangle = \langle x, Ax\rangle$ , dus is $R_B$ de restrictie van $R_A$ . Bovengrens: de max-min voor $\lambda_k (B)$ loopt over $k$ -dimensionale deelruimten van $\C^{n-1}$ , een subfamilie van die van $\C^n$ : $\lambda_k(B) \leq \lambda_k(A)$ . Ondergrens: de min-max voor $\lambda_k(B)$ loopt over deelruimten van $\C^{n-1}$ van dimensie $(n-1)-k+1 = n-k$ ; elk is ook een deelruimte van $\C^n$ van dimensie $n - (k+1) + 1$ , dus is haar max $\geq \lambda_{k+1}(A)$ : $\lambda_k(B) \geq \lambda_{k+1}(A)$ .

12. Verwijder de rijen/kolommen één voor één en ketting vraag 11: elke verwijdering verschuift de onderindex met één, wat $\lambda_{k+m}(A) \leq \lambda_k(B) \leq \lambda_k(A)$ geeft.

13. Conjugeren van $A$ met een permutatiematrix (unitair) verandert noch het spectrum noch de multiset van diagonale ingangen: neem aan $d_1, \dots, d_k$ bezetten de leidende posities. De leidende $k\times k$ principale submatrix $B$ heeft dan $\operatorname{tr} B = \sum_{i\leq k}d_i$ , en haar eigenwaarden voldoen aan $\mu_i(B) \leq \lambda_i(A)$ (vraag 12): sommerend, $\sum_{i\leq k}d_i \leq \sum_{i\leq k}\lambda_i(A)$ . In $k = n$ zijn beide kanten $\operatorname{tr} A$ .

14. Nemen van $x_i = e_i$ geeft de waarde $\sum_{i\leq k}\lambda_i$ : de max is $\geq$ . Omgekeerd strekt een orthonormale familie $(x_1, \dots, x_k)$ zich uit tot een orthonormale basis, d.w.z. tot een unitaire $U$ met eerste kolommen $x_i$ ; dan is $\sum_i\langle x_i, Ax_i\rangle$ de som van de eerste $k$ diagonale ingangen van $U^\dagger AU$ , die via vraag 13 ten hoogste de som van haar $k$ grootste eigenwaarden is — namelijk $\sum_{i\leq k}\lambda_i(A)$ . Het maximumprincipe van Ky Fan volgt.

15. Interlacing ( $\operatorname{Sp}A = \{2+\sqrt2, 2, 2-\sqrt2\}$ , $\operatorname{Sp}B = \{3, 1\}$ ):

2 \leq 3 \leq 2 + \sqrt2, \qquad 2 - \sqrt2 \leq 1 \leq 2 . \checkmark

Schur met diagonaal $(2,2,2)$ : $2 \leq 2+\sqrt2$ ; $4 \leq 4 + \sqrt2$ ; $6 = 6$ (spoor). ✓16. $b_{ii} - a_{ii} = \langle e_i, (B-A)e_i\rangle \geq 0$ ; sommeren geeft de sporen. Voor elke $C$ : $\langle x, C^\dagger(B - A)Cx\rangle = \langle Cx, (B-A)(Cx)\rangle \geq 0$ : $C^\dagger AC \leq C^\dagger BC$ .

17. $A \geq 0$ duidelijk; $B - A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ is positief semi-definiet (eigenwaarden $2, 0$ ): $A \leq B$ . Maar

B^2 = \begin{pmatrix} 5 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix}, \qquad B^2 - A^2 = \begin{pmatrix} 4 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix}, \qquad \det(B^2 - A^2) = -1 < 0 :

niet positief semi-definiet. Kwadrateren respecteert de Loewner-orde niet.

18. Laat $S = \sqrt A$ , $T = \sqrt B$ (hermitisch positief semi-definiet, Oefening 13.7 uitgebreid tot semi-definiet via dezelfde spectrale formule). $T - S$ is hermitisch; laat $\mu$ een willekeurige eigenwaarde zijn, $v$ een eenheids- eigenvector. Uit $T^2 - S^2 = T(T - S) + (T - S)S$ :

0 \leq \langle v, (B - A)v\rangle = \langle Tv, (T-S)v\rangle + \langle (T-S)v, Sv\rangle = \mu\bigl(\langle v, Tv\rangle + \langle v, Sv\rangle\bigr)

( $\mu$ is reëel). Als $\langle v, Tv\rangle + \langle v, Sv\rangle > 0$ , dan $\mu \geq 0$ . Als het verdwijnt, verdwijnen beide niet-negatieve termen; $\langle v, Tv\rangle = \norm{T^{1/2}v}^2 = 0$ dwingt $Tv = 0$ , evenzo $Sv = 0$ , dus $\mu v = (T - S)v = 0$ en $\mu = 0$ . Alle eigenwaarden van $T - S$ zijn $\geq 0$ : $\sqrt A \leq \sqrt B$ .

19. Congruentie via $A^{-1/2}$ (vraag 16): $I \leq M := A^{-1/2}BA^{-1/2}$ . Dus zijn alle eigenwaarden van $M$ $\geq 1$ , vandaar liggen die van $M^{-1}$ in $\intoc{0}{1}$ : $M^{-1} \leq I$ . Maar $M^{-1} = A^{1/2}B^{-1}A^{1/2}$ ; $M^{-1} \leq I$ congrueren met $A^{-1/2}$ geeft $B^{-1} \leq A^{-1}$ .

20. $\sqrt A^{-1}(AB)\sqrt A = \sqrt A\,B\sqrt A$ : dus is $AB$ similar met de hermitische positief definiete $\sqrt A\,B\sqrt A$ (definiet: $\langle x, \sqrt AB\sqrt Ax\rangle = \langle \sqrt Ax, B\sqrt Ax\rangle > 0$ ): haar eigenwaarden zijn reëel en positief. Bovendien

\langle x, \sqrt AB\sqrt Ax\rangle \leq \lambda_{\max}(B)\,\norm{\sqrt Ax}^2 = \lambda_{\max}(B)\,\langle x, Ax\rangle \leq \lambda_{\max}(A)\lambda_{\max}(B)\norm x^2 ,

dus $\lambda_{\max}(AB) = \max R_{\sqrt AB\sqrt A} \leq \lambda_{\max}(A)\lambda_{\max}(B)$ .

21. Met $v_k = (\sin j\theta_k)_j$ en de identiteit $\sin((j-1)\theta) + \sin((j+1)\theta) = 2\sin(j\theta)\cos\theta$ : voor $2 \leq j \leq n-1$ ,

(T_nv_k)_j = -\sin((j{-}1)\theta_k) + 2\sin(j\theta_k) - \sin((j{+}1)\theta_k) = (2 - 2\cos\theta_k)\sin(j\theta_k) .

Rij $1$ werkt omdat $\sin(0\cdot\theta_k) = 0$ , rij $n$ omdat $\sin((n+1)\theta_k) = \sin(k\pi) = 0$ : de rand- voorwaarden selecteren precies $\theta_k = \frac{k\pi}{n+1}$ . Dus $T_nv_k = 4\sin^2\bigl(\frac{k\pi}{2(n+1)}\bigr)v_k$ ; de $n$ waarden zijn onderscheiden in $\intoo04$ en de $v_k \neq 0$ : dit is het hele spectrum, positief, dus $T_n$ is positief definiet.

22. $\min_id_i\,I \leq D \leq \max_id_i\,I$ , dus $T_n + \min_id_i\,I \leq T_n + D \leq T_n + \max_id_i\,I$ ( $T_n$ optellen behoudt de orde); vraag 5 en $\lambda_k(T_n + cI) = \lambda_k(T_n) + c$ geven de sandwich.

23. $T_2 = \begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 2\end{pmatrix}$ heeft spectrum $\{3, 1\}$ , en

2 - \sqrt2 \;\leq\; 1 \;\leq\; 2 \;\leq\; 3 \;\leq\; 2 + \sqrt2 :

Cauchy-interlacing, geverifieerd. (Dit zijn dezelfde spectra als in vraag 15: conjugeren met $\operatorname{diag}(1,-1,1)$ keert het teken van de off-diagonaal om.) Graaflezing: $T_2$ is de Laplace-achtige matrix van het pad met de laatste vertex verwijderd — een principale submatrix, precies de situatie van vraag 11.

24. De extreme eigenwaarden gedragen zich als

\lambda_{\min}(T_n) = 4\sin^2\frac{\pi}{2(n+1)} \sim \frac{\pi^2}{(n+1)^2}, \qquad \lambda_{\max}(T_n) = 4\cos^2\frac{\pi}{2(n+1)} \longrightarrow 4 .

Dus

\kappa_n = \frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} \sim \frac{4(n+1)^2}{\pi^2} :

hoe fijner de grid, hoe slechter geconditioneerd de discrete tweede afgeleide — een feit dat het ontwerp van numerieke lineaire algebra stuurt.

25. (i) Wortels van de karakteristieke veelterm kunnen wild bewegen onder storingen van een algemene matrix, maar de min-max-karakterisering pinnet elke hermitische eigenwaarde tussen expliciete optimalisatiewaarden, wat de $1$ -Lipschitz- stabiliteit van vragen 8–9 dwingt. (ii) Vragen 1, 5, 16–20 gebruikten alleen de extreme Rayleigh-waarden; Weyl, interlacing, Schur en Ky Fan (vragen 7–14) hadden oprecht de volle min-max over deelruimten nodig. (iii) De Loewner-orde verandert deze scalaire ongelijkheden in een calculus van matrixongelijkheden — met echte vallen (vraag 17) en echte stellingen (vragen 18–19). (iv) Deze gereedschappen zijn het dagelijks brood van numerieke analyse (stijfheidsmatrices van vraag 24), van kwantumstorings- theorie (Weyl: energieniveaus bewegen ten hoogste met de norm van de storing), en van het min-max-principe van het jaar-3-volume voor compacte zelftoegevoegde operatoren.