Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Bachelor Year 2

13Hermitische vormen

Complexe vectorruimten hebben hun eigen meetkunde van het inproduct, met één wending: lineariteit in de ene veranderlijke, geconjugeerde lineariteit in de andere. De beloning voor het aanvaarden van die wending is een spectraaltheorie die nog schoner is dan de reële — hermitische endomorfismen hebben reële eigenwaarden, unitaire endomorfismen hebben eigenwaarden van modulus $1$ , en beide diagonaliseren in orthonormale basissen. Dit korte hoofdstuk speelt het euclidische programma van Hoofdstuk 12 over $\C$ .

13.1 Hermitische inproducten

Definitie 13.1

Een hermitisch inproduct op een complexe vectorruimte $E$ is een afbeelding $\langle\cdot,\cdot\rangle \colon E \times E \to \C$ die lineair is in de tweede veranderlijke, geconjugeerd symmetrisch ( $\langle y, x\rangle = \conj{\langle x, y\rangle}$ — en dus geconjugeerd lineair in de eerste veranderlijke) en positief definiet ( $\langle x, x\rangle > 0$ voor $x \neq 0$ ). Het standaardvoorbeeld op $\C^n$ :

\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} \conj{x_i}\, y_i ;

op continue functies, $\langle f, g\rangle = \int_a^b \conj f\,g$ . Norm: $\norm x = \sqrt{\langle x,x\rangle}$ ; een eindigdimensionale complexe ruimte die hiermee is uitgerust, heet een hermitische ruimte.

Voorbeeld 13.2 (Eerste berekeningen)

Neem in $\C^2$ de vectoren $x = (1+\iu,\ 2-\iu)$ en $y = (\iu,\ 1)$ . Dan is

\norm x^2 = \abs{1+\iu}^2 + \abs{2-\iu}^2 = 2 + 5 = 7, \qquad \norm y^2 = 1 + 1 = 2,

en, met conjugatie van het eerste argument,

\langle x, y\rangle = \conj{(1+\iu)}\,\iu + \conj{(2-\iu)}\cdot1 = (1-\iu)\iu + (2+\iu) = (\iu + 1) + (2 + \iu) = 3 + 2\iu .

Cauchy–Schwarz klopt: $\abs{\langle x, y\rangle}^2 = 9 + 4 = 13 \leq 14 = \norm x^2\norm y^2$ — dicht bij gelijkheid, omdat $x$ dicht bij een veelvoud van $y$ ligt. Merk ook op dat $\langle y, x\rangle = \conj{3 + 2\iu} = 3 - 2\iu$ : geconjugeerde symmetrie in actie, en de reden waarom $\langle x, x\rangle$ altijd reëel is.

Stelling 13.3 (Cauchy–Schwarz, complex)

$\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x \norm y$ , met gelijkheid dan en slechts dan als $x, y$ lineair afhankelijk zijn; en $\norm\cdot$ is een norm. Bovendien bestaan er orthonormale basissen (Gram–Schmidt verloopt woordelijk hetzelfde), met

x = \sum_i \langle e_i, x\rangle\, e_i, \qquad \norm x^2 = \sum_i \abs{\langle e_i, x\rangle}^2 .

Bewijs. Voor $y \neq 0$ en $t \in \C$ : $0 \leq \norm{x - ty}^2 = \norm x^2 - 2\Re\bigl(\conj t\langle y, x\rangle\bigr) + \abs t^2\norm y^2$ . Kies $t = \frac{\langle y, x\rangle}{\norm y^2}$ :

0 \leq \norm x^2 - \frac{\abs{\langle y, x\rangle}^2}{\norm y^2},

wat de ongelijkheid is; gelijkheid dwingt $x = ty$ af. Driehoeksongelijkheid, volledig:

\norm{x + y}^2 = \norm x^2 + 2\,\Re\langle x, y\rangle + \norm y^2 \leq \norm x^2 + 2\,\abs{\langle x, y\rangle} + \norm y^2 \leq \bigl(\norm x + \norm y\bigr)^2 ,

met $\Re z \leq \abs z$ en vervolgens Cauchy–Schwarz; homogeniteit en scheiding zijn onmiddellijk, dus $\norm\cdot$ is een norm. Gram–Schmidt: als in het reële geval, met de conjugaten op de plaatsen die de definitie voorschrijft (let op de afspraak: onze producten zijn geconjugeerd lineair in de eerste sleuf, zodat de coördinaten $\langle e_i, x\rangle$ zijn; het volgende voorbeeld doorloopt het algoritme eenmaal volledig). ∎

Voorbeeld 13.4 (Complexe Gram–Schmidt, volledig doorlopen)

Orthonormaliseer de basis $v_1 = (1, \iu)$ , $v_2 = (0, 1)$ van $\C^2$ . Eerste vector: $\norm{v_1}^2 = \abs1^2 + \abs\iu^2 = 2$ , dus $e_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$ . Projecteer $v_2$ — met de conjugatie in de eerste sleuf:

\langle e_1, v_2\rangle = \frac{1}{\sqrt2}\bigl(\conj{1}\cdot0 + \conj{\iu}\cdot1\bigr) = \frac{-\iu}{\sqrt2} , \qquad v_2 - \langle e_1, v_2\rangle e_1 = (0,1) + \frac{\iu}{2}\,(1, \iu) = \Bigl(\frac\iu2,\ \frac12\Bigr) .

De norm hiervan is $\sqrt{\frac14 + \frac14} = \frac{1}{\sqrt2}$ : $e_2 = \frac{1}{\sqrt2}(\iu, 1)$ . Controle: $\langle e_1, e_2\rangle = \frac12(\conj1\cdot\iu + \conj\iu\cdot1) = \frac12(\iu - \iu) = 0$ . Coördinaten van $v_2$ in de nieuwe basis: $v_2 = \langle e_1, v_2\rangle e_1 + \langle e_2, v_2\rangle e_2$ met $\langle e_2, v_2\rangle = \frac{1}{\sqrt2}$ — let op de volgorde: $\langle v_2, e_1\rangle$ zou de geconjugeerde coëfficiënt geven. Het inzicht om te onthouden: het algoritme is woordelijk het euclidische; de enige valkuil is waar de conjugatie valt, en het berekenen van $\norm{v_2 - \text{proj}}^2 > 0$ gebruikt stilzwijgend de positiviteit — het axioma dat de hele meetkunde laat werken.

13.2 Adjunct, hermitische en unitaire endomorfismen

Definitie 13.5

De adjunct $u^*$ van $u \in \mathcal{L}(E)$ is gedefinieerd door $\langle u^*(x), y\rangle = \langle x, u(y)\rangle$ ; in een orthonormale basis is $\operatorname{Mat}(u^*) = \conj{A}^{\mathsf T} =: A^{\dagger}$ (de geconjugeerde getransponeerde) — immers, is $B = (b_{ij})$ de matrix van $u^*$ in de orthonormale basis $(e_i)$ , dan is $b_{ij} = \langle e_i, u^*(e_j)\rangle$ , en de definiërende identiteit geeft

\conj{b_{ij}} = \langle u^*(e_j), e_i\rangle = \langle e_j, u(e_i)\rangle = a_{ji} , \qquad\text{dus}\qquad B = \conj{A}^{\mathsf T} .

En $u$ heet hermitisch wanneer $u^* = u$ ( $A^\dagger = A$ ), unitair wanneer $u^*u = \mathrm{id}$ ( $A^\dagger A = I$ : de groep $U(n)$ ), en normaal wanneer $u^*u = uu^*$ .

Propositie 13.6

Eigenwaarden van een hermitisch endomorfisme zijn reëel; eigenwaarden van een unitair endomorfisme hebben modulus $1$ ; in beide gevallen staan de eigenruimten bij verschillende eigenwaarden loodrecht op elkaar.

Bewijs. Hermitisch, $u(x) = \lambda x$ , $x \neq 0$ :

\lambda \norm x^2 = \langle x, u(x)\rangle = \langle u(x), x\rangle = \conj{\langle x, u(x)\rangle} = \conj\lambda\,\norm x^2 ,

dus $\lambda \in \R$ . Unitair: $\norm{u(x)} = \norm x$ (uit $u^*u = \mathrm{id}$ ), dus $\abs\lambda\norm x = \norm x$ . Orthogonaliteit (hermitisch geval): $\lambda\langle x, y\rangle = \langle u(x), y\rangle = \langle x, u(y)\rangle = \mu\langle x, y\rangle$ voor eigenvectoren met reële $\lambda \neq \mu$ . Unitair geval, volledig: voor $u(x) = \lambda x$ , $u(y) = \mu y$ met $\lambda \neq \mu$ (beide van modulus $1$ ) is

\langle x, y\rangle = \langle u(x), u(y)\rangle = \conj\lambda\mu\,\langle x, y\rangle ,

en $\conj\lambda\mu = \frac{\mu}{\lambda} \neq 1$ : de factor is niet $1$ , dus $\langle x, y\rangle = 0$ . ∎

Voorbeeld 13.7 (Een antihermitische matrix, gediagonaliseerd)

$A = \begin{pmatrix} 0 & -2\\ 2 & 0\end{pmatrix}$ voldoet aan $A^\dagger = A^{\mathsf T} = -A$ : antihermitisch (en ook reëel antisymmetrisch — over $\R$ heeft zij helemaal geen eigenwaarden). Karakteristieke veelterm $X^2 + 4$ : eigenwaarden $\pm2\iu$ , zuiver imaginair, zoals Oefening 13.9 in het algemeen voorspelt. Eigenvectoren: $(A - 2\iu I)v = 0$ geeft $v_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$ , en $v_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)$ voor $-2\iu$ ; zij staan loodrecht op elkaar:

\langle v_1, v_2\rangle = \tfrac12\bigl(\conj{1}\cdot1 + \conj{\iu}\cdot(-\iu)\bigr) = \tfrac12(1 - 1) = 0 .

Dus $A = U\operatorname{diag}(2\iu, -2\iu)\,U^\dagger$ met $U = (v_1\ v_2)$ unitair. Het inzicht om te onthouden: $H = -\iu A = \begin{pmatrix} 0 & 2\iu\\ -2\iu & 0\end{pmatrix}$ is hermitisch met het reële spectrum $\{\pm2\}$ en dezelfde eigenvectoren — de bijectie $u \mapsto \iu u$ tussen hermitische en antihermitische endomorfismen (Oefening 13.9), matrix voor matrix gezien; over $\R$ is diezelfde $A$ een draaivermenigvuldiging zonder enige eigenvector, en pas de overgang naar $\C$ onthult haar normaalvorm.

Stelling 13.8 (Hermitische spectraalstelling)

Elk hermitisch endomorfisme van een hermitische ruimte bezit een orthonormale basis van eigenvectoren (met reële eigenwaarden): $A^\dagger = A$ impliceert $A = U D U^{\dagger}$ met $U \in U(n)$ en $D$ reëel diagonaal.

Bewijs. Over $\C$ valt de karakteristieke veelterm in lineaire factoren uiteen: er bestaat een eigenvector $e_1$ (Hoofdstuk 3) — geen compactheidsargument nodig, een voordeel van $\C$ . Normaliseer haar. Haar orthogonale complement $F = e_1^\perp$ is stabiel: voor $x \perp e_1$ is

\langle e_1, u(x)\rangle = \langle u(e_1), x\rangle = \lambda_1\langle e_1, x\rangle = 0

( $\lambda_1$ reëel). De beperking is hermitisch; pas inductie naar de dimensie toe en plak aaneen. In detail: de beperking $u|_F$ is een endomorfisme van de hermitische ruimte $F$ (dimensie $n - 1$ ) met $\langle u|_F(x), y\rangle = \langle x, u|_F(y)\rangle$ , geërfd van $u$ ; de inductiehypothese levert een orthonormale basis $(e_2, \dots, e_n)$ van $F$ uit eigenvectoren, en $(e_1, e_2, \dots, e_n)$ is orthonormaal in $E$ ( $e_1 \perp F$ ) en bestaat uit eigenvectoren van $u$ . Matricieel vertaald: de kolommen van $U$ zijn de $e_i$ , $U^\dagger U = I$ drukt hun orthonormaliteit uit, en $AU = UD$ verzamelt de eigenwaardevergelijkingen, waaruit $A = UDU^\dagger$ met $D$ reëel diagonaal (Propositie 13.6). ∎

Voorbeeld 13.9

$A = \begin{pmatrix} 0 & -\iu\\ \iu & 0\end{pmatrix}$ is hermitisch ( $A^\dagger = A$ ): eigenwaarden uit $\chi_A = X^2 - 1$ : $\pm 1$ (reëel, zoals beloofd), met orthonormale eigenvectoren $\frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)^{\mathsf T}$ en $\frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)^{\mathsf T}$ . (Natuurkundigen kennen $A$ als een Pauli-matrix; dat hermitische spectra reëel zijn, is de reden waarom kwantumobservabelen door hermitische operatoren worden gemodelleerd.)

Voorbeeld 13.10 (Een positief definiete hermitische matrix, uitgewerkt)

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1-\iu\\ 1+\iu & 3\end{pmatrix}$ : hermitisch, want de diagonaal is reëel en de elementen buiten de diagonaal zijn elkaars complex geconjugeerde. Karakteristieke veelterm:

(2-\lambda)(3-\lambda) - \abs{1-\iu}^2 = \lambda^2 - 5\lambda + 4 = (\lambda - 1)(\lambda - 4) :

spectrum $\{1, 4\}$ , reëel en positief — $A$ is positief definiet. Eigenvectoren: voor $\lambda = 4$ geeft het stelsel $(A - 4I)v = 0$ dat $v_4 = (1 - \iu,\ 2)$ (controleer de tweede rij: $(1+\iu)(1-\iu) - 2 = 0$ ); voor $\lambda = 1$ : $v_1 = (1 - \iu,\ -1)$ . Orthogonaliteit, met de conjugatie in de eerste sleuf:

\langle v_4, v_1\rangle = \conj{(1-\iu)}\,(1-\iu) + \conj{2}\,(-1) = 2 - 2 = 0 . \checkmark

Normaliseren ( $\norm{v_4}^2 = 2 + 4 = 6$ , $\norm{v_1}^2 = 2 + 1 = 3$ ) geeft de unitaire $U = \bigl(\frac{v_4}{\sqrt6}\ \frac{v_1}{\sqrt3}\bigr)$ met $A = U\operatorname{diag}(4,1)U^\dagger$ . Het inzicht om te onthouden: de lezing volgens Rayleigh is onmiddellijk — op de eenheidssfeer van $\C^2$ doorloopt $\langle x, Ax\rangle$ precies $\intcc{1}{4}$ , aangenomen in de twee eigenvectoren; dit is de kiem voor $n = 2$ van de theorie van Courant en Fischer die in de weekendopgave wordt opgebouwd. Ga ook buiten de eigenvectoren na dat de vorm reëel is: in $x = (1, \iu)$ is

Ax = \bigl(2 + (1-\iu)\iu,\ (1+\iu) + 3\iu\bigr) = (3 + \iu,\ 1 + 4\iu),

\langle x, Ax\rangle = \conj{1}\,(3+\iu) + \conj{\iu}\,(1+4\iu) = (3 + \iu) + (-\iu)(1 + 4\iu) = 3 + \iu - \iu + 4 = 7 \in \R ,

zoals het bewijsmechanisme van Propositie 13.6 (geconjugeerde symmetrie tegen $A^\dagger = A$ ) voor elke $x$ garandeert.

Voorbeeld 13.11 (Een unitaire matrix gediagonaliseerd)

$U = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ \iu & 1 \end{pmatrix}$ (unitair volgens Oefening 13.2). Haar karakteristieke veelterm is $\bigl(X - \frac{1}{\sqrt2}\bigr)^2 + \frac12$ , met nulpunten

\lambda_\pm = \frac{1 \pm \iu}{\sqrt2} = \eu^{\pm\iu\pi/4},

van modulus $1$ zoals Propositie 13.6 beloofde, en met orthonormale eigenvectoren $\frac{1}{\sqrt2}(1, \pm1)$ . Dus $U = V\operatorname{diag}(\eu^{\iu\pi/4}, \eu^{-\iu\pi/4})V^\dagger$ : in de juiste basis is $U$ een paar vlakke rotaties over $\pm\frac\pi4$ — een reële rotatiematrix heeft geen reële eigenvectoren, maar over $\C$ valt zij uiteen in twee scalairen van modulus $1$ . Het inzicht om te onthouden: hermitische spectra leven op de reële rechte, unitaire spectra op de eenheidscirkel; beide zijn schaduwen van dezelfde normaliteit, en de Cayley-transformatie van Oefening 13.6 beeldt het ene beeld op het andere af.

Voorbeeld 13.12 (De Cayley-transformatie, berekend)

Voer Oefening 13.6 uit op $H = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ (hermitisch, spectrum $\{1, -1\}$ , orthonormale eigenvectoren $\frac{1}{\sqrt2}(1, \pm1)$ ). In de eigenbasis is alles scalair: de transformatie $\lambda \mapsto \frac{\lambda - \iu}{\lambda + \iu}$ zendt

1 \longmapsto \frac{1 - \iu}{1 + \iu} = -\iu, \qquad -1 \longmapsto \frac{-1 - \iu}{-1 + \iu} = \iu ,

(vermenigvuldig met de geconjugeerde van de noemer), dus $U = (H - \iu I)(H + \iu I)^{-1}$ is de unitaire matrix met eigenwaarden $\mp\iu$ op diezelfde eigenvectoren:

U = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\iu & 0\\ 0 & \iu\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -\iu\\ -\iu & 0\end{pmatrix} .

Controle: $U^\dagger U = I$ , en $1 \notin \operatorname{Sp}U = \{\pm\iu\}$ , zoals de theorie belooft. Het inzicht om te onthouden: de reële rechte wordt afgebeeld op de eenheidscirkel zonder het punt $1$ — eigenwaarde voor eigenwaarde is de Cayley-transformatie de möbiusafbeelding $\frac{\lambda-\iu}{\lambda+\iu}$ , en matrices volgen eenvoudigweg hun spectrum.

Opmerking 13.13 (Klassieke valkuilen)

(i) Waar de streep valt: dit boek conjugeert de eerste sleuf, zodat de coördinaten $\langle e_i, x\rangle$ zijn en $\langle\lambda x, y\rangle = \conj\lambda\langle x, y\rangle$ ; veel teksten conjugeren in plaats daarvan de tweede sleuf — vertaal dus voordat je formules vergelijkt, of tekens van $\iu$ gaan stilzwijgend mis. (ii) Complexe polarisatie is sterker: geldt over $\C$ dat $\langle x, u(x)\rangle = 0$ voor alle $x$ , dan is $u = 0$ (werk $x + y$ en $x + \iu y$ uit: zowel het reële als het imaginaire deel van $\langle x, u(y)\rangle$ verdwijnt); over $\R$ faalt dit — de rotatie over $\frac\pi2$ voldoet overal aan $\langle x, u(x)\rangle = 0$ . Bijgevolg dwingt, alleen over $\C$ , de uitspraak “ $\langle x, u(x)\rangle \in \R$ voor alle $x$ ” al af dat $u$ hermitisch is. (iii) Reëel normaal is niet diagonaliseerbaar: de matrix van Voorbeeld 13.7 is normaal maar heeft geen reële eigenwaarde; unitaire diagonalisatie is een stelling over $\C$ , en over $\R$ krijgt men slechts blokreducties. (iv) Unitariteit nagaan: $U^\dagger U = I$ betekent dat de kolommen orthonormaal zijn voor het hermitische product — $UU^{\mathsf T}$ testen, of de conjugatie in de kolomproducten vergeten, zijn de twee klassieke manieren om een verkeerde matrix goed te keuren.

Voorbeeld 13.14 (Isometrieën zijn precies de unitaire afbeeldingen)

Normbehoud lijkt zwakker dan unitariteit, maar over $\C$ is het dat niet: geldt $\norm{u(x)} = \norm x$ voor alle $x$ , dan is $u^*u = \mathrm{id}$ . Immers, $v = u^*u - \mathrm{id}$ is hermitisch en voldoet aan $\langle x, v(x)\rangle = \norm{u(x)}^2 - \norm x^2 = 0$ voor elke $x$ ; volgens de complexe polarisatie (valkuil (ii) hierboven) is een afbeelding met identiek verdwijnende “diagonaal” nul: $v = 0$ . Concreet verloopt de polarisatie als

0 = \langle x + y, v(x+y)\rangle = \langle x, v(y)\rangle + \langle y, v(x)\rangle, \qquad 0 = \langle x + \iu y, v(x + \iu y)\rangle = \iu\langle x, v(y)\rangle - \iu\langle y, v(x)\rangle ,

en de twee regels samen dwingen $\langle x, v(y)\rangle = 0$ af voor alle $x, y$ . Het inzicht om te onthouden: hierdoor kan “unitair” louter door lengten te meten worden nagegaan — starheid die het hoofdstuk over Fourierreeksen zal uitbuiten, waar het behoud van de energie $\norm f_2$ (Parseval) hetzelfde is als het behoud van alle inproducten van coëfficiënten.

Opmerking 13.15 (Vooruitblik binnen dit volume)

De hermitische machinerie die hier wordt gebouwd, wordt vrijwel onmiddellijk verbruikt. Het hoofdstuk over Fourierreeksen is hermitische meetkunde in oneindige dimensie: de exponentiëlen $(e_n)$ vormen een orthonormale familie voor $\langle f, g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int\conj fg$ , de ongelijkheid van Bessel is de projectieschatting uit Stelling 13.3 van dit hoofdstuk, en Parseval is haar gelijkheid in de limiet. De eindige Fouriertransformatie (Oefening 13.10) duikt telkens op wanneer een convolutie gediagonaliseerd moet worden. En de weekendopgave van dit hoofdstuk — Courant–Fischer, Weyl, interlacering — levert de stabiliteit van eigenwaarden waarop het hoofdstuk over differentiaalvergelijkingen zich beroept wanneer het beweert dat kleine verstoringen van een systeem zijn frequenties slechts weinig verplaatsen. Terugkijkend is alles hier de complexe spiegel van het hoofdstuk over kwadratische vormen: houd de twee woordenboeken naast elkaar ( $A^{\mathsf T} \leftrightarrow A^\dagger$ , orthogonaal $\leftrightarrow$ unitair, Rayleigh reëel in beide).

Opmerking 13.16 (Normale endomorfismen)

Over $\C$ luidt de definitieve uitspraak: $u$ is unitair diagonaliseerbaar dan en slechts dan als $u$ normaal is ( $u^*u = uu^*$ ) — waarmee hermitische, unitaire en antihermitische afbeeldingen in één klap gedekt zijn. Het bewijs is een aangename versterking van het argument hierboven (Oefening 13.8). Over $\R$ levert normaliteit daarentegen alleen blokdiagonalisatie op (rotatieblokken): de complexe meetkunde is werkelijk eenvoudiger.

Opmerking 13.17 (Waar dit wordt gebruikt)

De hermitische spectraaltheorie is de wiskunde van de kwantummechanica: observabelen worden gemodelleerd door hermitische operatoren (reële spectra = meetbare waarden), de tijdsevolutie door unitaire operatoren (normbehoud = behoud van waarschijnlijkheid). Binnen dit boek rust het hoofdstuk over Fourierreeksen op de orthonormaliteit van de exponentiëlen — een uitspraak over een hermitisch inproduct — en de diagonalisatie van circulante matrices (Oefening 13.10) is de eindige Fouriertransformatie. De weekendopgave ontwikkelt de variationele rekening van eigenwaarden (Courant–Fischer, Weyl, interlacering), het dagelijks brood van de numerieke wiskunde en de wiskundige fysica; het volume van bachelorjaar 3 breidt haar uit tot compacte zelftoegevoegde operatoren op hilbertruimten.

13.3 Oefeningen

Oefening 13.1 ★

Bereken op $\C^2$ de grootheden $\langle x, y\rangle$ , $\norm x$ , $\norm y$ voor $x = (1, \iu)$ , $y = (\iu, 1)$ ; staan zij loodrecht op elkaar? Geef een orthonormale basis die $\frac{x}{\norm x}$ bevat.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.1.

$\langle x, y\rangle = \conj{1}\cdot\iu + \conj{\iu}\cdot 1 = \iu - \iu = 0$ : orthogonaal. $\norm x = \norm y = \sqrt{1 + 1} = \sqrt2$ . Orthonormale basis: $\bigl(\frac{1}{\sqrt2}(1, \iu),\; \frac{1}{\sqrt2}(\iu, 1)\bigr)$ — het genormaliseerde paar zelf.

Oefening 13.2 ★

Welke zijn hermitisch? Unitair? Normaal?

\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ -\iu & 2 \end{pmatrix}, \qquad \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ \iu & 1\end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.2.

Eerste: gelijk aan haar geconjugeerde getransponeerde (reële diagonaal, en $\conj{\iu} = -\iu$ verwisseld): hermitisch (en dus normaal); niet unitair ( $A^\dagger A \neq I$ : de kolommen hebben geen norm $1$ ).

Tweede: $A^\dagger A = \frac12\begin{pmatrix} 1 & -\iu\\ -\iu & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ \iu & 1\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = I$ : unitair (en dus normaal); niet hermitisch.

Derde: $A^\dagger A = E_{22} \neq E_{11} = AA^\dagger$ : niet normaal (dus noch hermitisch noch unitair) — het standaard nilpotente tegenvoorbeeld.

Oefening 13.3 ★

Bewijs dat een matrix $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ zich op precies één manier laat schrijven als $A = H + \iu K$ met $H, K$ hermitisch (de “reële en imaginaire delen” $H = \frac{A + A^\dagger}{2}$ , $K = \frac{A - A^\dagger}{2\iu}$ ), en dat $A$ normaal is dan en slechts dan als $H$ en $K$ commuteren.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.3.

Eenduidigheid: $A = H + \iu K$ met $H^\dagger = H$ , $K^\dagger = K$ dwingt $A^\dagger = H - \iu K$ af, dus $H = \frac{A + A^\dagger}{2}$ en $K = \frac{A - A^\dagger}{2\iu}$ ; deze formules zijn hermitisch (controle: $\bigl(\frac{A - A^\dagger}{2\iu}\bigr)^\dagger = \frac{A^\dagger - A}{-2\iu} = K$ ) en bouwen $A$ opnieuw op: bestaan.

Normaliteit: $A^\dagger A - AA^\dagger = (H - \iu K)(H + \iu K) - (H + \iu K)(H - \iu K) = 2\iu(HK - KH)$ : dit verdwijnt dan en slechts dan als $HK = KH$ .

Oefening 13.4 ★★

Diagonaliseer in een orthonormale basis: $A = \begin{pmatrix} 2 & \iu\\ -\iu & 2\end{pmatrix}$ , en bereken $A^k$ voor $k \in \N$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.4.

$\chi_A = (X-2)^2 - 1$ : eigenwaarden $3$ en $1$ . Eigenvectoren, door rechtstreekse berekening:

A\begin{pmatrix}1\\ -\iu\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + \iu(-\iu)\\ -\iu + 2(-\iu)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ -3\iu \end{pmatrix} = 3\begin{pmatrix}1\\ -\iu\end{pmatrix}, \qquad A\begin{pmatrix}1\\ \iu\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + \iu\cdot\iu\\ -\iu + 2\iu\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ \iu\end{pmatrix}.

Orthonormale eigenbasis: $u_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)$ (eigenwaarde $3$ ), $u_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$ (eigenwaarde $1$ ); de orthogonaliteit als in Oefening 13.1. Machten, via de spectrale projecties $A^k = 3^k u_1u_1^\dagger + 1^k\, u_2u_2^\dagger$ :

A^k = U\begin{pmatrix} 3^k & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}U^\dagger = \frac{3^k}{2}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ -\iu & 1\end{pmatrix} + \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -\iu\\ \iu & 1\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix} 3^k + 1 & (3^k - 1)\iu\\ -(3^k-1)\iu & 3^k + 1 \end{pmatrix}.

(Controleer $k = 1$ : dit geeft $A$ terug.)

Oefening 13.5 ★★

Bewijs dat $U(n)$ compact is en dat de eigenwaardeafbeelding surjectief is: elke $\lambda$ van modulus $1$ treedt op bij een zekere unitaire matrix. Bewijs dat $\det U \in \mathbb{U}$ (de eenheidscirkel) voor $U \in U(n)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.5.

Compact: gesloten (origineel van $I$ onder de continue afbeelding $U \mapsto U^\dagger U$ ) en begrensd (de kolommen zijn eenheidsvectoren: elementen van modulus $\leq 1$ ) in $\mathcal{M}_n(\C) \simeq \R^{2n^2}$ .

Eigenwaarden: $\operatorname{diag}(\lambda, 1, \dots, 1)$ is unitair voor elke $\abs\lambda = 1$ . Determinant: $\abs{\det U}^2 = \det U^\dagger \det U = \det(U^\dagger U) = 1$ (met $\det A^\dagger = \conj{\det A}$ ): $\det U$ ligt op de eenheidscirkel.

Oefening 13.6 ★★

(Cayley-transformatie) Zij $H$ hermitisch. Bewijs dat $H + \iu I$ inverteerbaar is en dat $U = (H - \iu I)(H + \iu I)^{-1}$ unitair is, met $1 \notin \operatorname{Sp}(U)$ . (Werk spectraal: op een eigenbasis van $H$ is alles scalair.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.6.

Werk volgens de spectraalstelling in een orthonormale eigenbasis van $H$ : alles herleidt tot scalairen $\lambda \in \R$ (de eigenwaarden). $H + \iu I$ heeft eigenwaarden $\lambda + \iu \neq 0$ : inverteerbaar. $U$ heeft eigenwaarden $\mu = \frac{\lambda - \iu}{\lambda + \iu}$ , van modulus $1$ ( $\abs{\lambda - \iu} = \abs{\lambda + \iu}$ voor reële $\lambda$ ): $U^\dagger U = I$ geldt omdat $U$ unitair diagonaliseerbaar is met eigenwaarden van modulus $1$ (zij is diagonaal in de gekozen orthonormale basis). En $\mu = 1$ zou $-\iu = \iu$ afdwingen: onmogelijk, dus $1 \notin \operatorname{Sp} U$ . (De Cayley-transformatie beeldt het hermitische geval af op het unitaire min één punt — de matrixversie van de afbeelding van $\R$ naar de cirkel.)

Oefening 13.7 ★★

Bewijs voor hermitische positief definiete $A$ ( $\langle x, Ax\rangle > 0$ voor $x \neq 0$ ) dat $\operatorname{Sp}(A) \subseteq \intoo{0}{\infty}$ , dat $A = B^2$ voor een hermitische positief definiete $B$ , en dat $\det A > 0$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.7.

Voor een eigenpaar $Ax = \lambda x$ ( $x \neq 0$ ) is $\lambda\norm x^2 = \langle x, Ax\rangle > 0$ , dus $\lambda > 0$ (reëel was zij al, Propositie 13.6). Vierkantswortel: in een spectrale basis is $B = U\operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_i})U^\dagger$ : hermitisch, positief definiet, $B^2 = A$ . Determinant: het product van de positieve eigenwaarden.

Oefening 13.8 ★★★

(Spectraalstelling voor normale endomorfismen) Zij $u$ normaal op een hermitische ruimte.

Bewijs dat $\norm{u(x)} = \norm{u^*(x)}$ voor alle $x$ , en leid af dat $\ker(u - \lambda) = \ker(u^* - \conj\lambda)$ .
Bewijs dat de eigenruimten van $u$ bij verschillende eigenwaarden orthogonaal zijn, en dat het orthogonale complement van een eigenruimte $u$ -stabiel is.
Besluit met inductie dat $u$ unitair diagonaliseerbaar is; en omgekeerd.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.8.

$\norm{u(x)}^2 = \langle u(x), u(x)\rangle = \langle x, u^*u(x)\rangle = \langle x, uu^*(x)\rangle = \norm{u^*(x)}^2$ . Toegepast op de normale $u - \lambda\,\mathrm{id}$ (haar adjunct is $u^* - \conj\lambda$ , en de normaliteit wordt geërfd): $\norm{(u - \lambda)x} = \norm{(u^* - \conj\lambda)x}$ , dus de kernen vallen samen.
Voor eigenvectoren $u(x) = \lambda x$ , $u(y) = \mu y$ ( $\lambda \neq \mu$ ) geeft (1) dat $u^*(x) = \conj\lambda x$ ; dan is

$\lambda\langle y, x\rangle = \langle y, u(x)\rangle = \langle u^*(y), x\rangle = \langle \conj\mu\, y, x\rangle = \mu \langle y, x\rangle ,$

dus $\langle y, x\rangle = 0$ . Stabiliteit van $E_\lambda^\perp$ : voor $x \perp E_\lambda$ en $z \in E_\lambda$ is $\langle z, u(x)\rangle = \langle u^*(z), x\rangle = \langle\conj\lambda z, x\rangle = 0$ .
Inductie naar de dimensie: over $\C$ heeft $u$ een eigenvector $e_1$ (normaliseer haar); haar orthogonale complement is stabiel onder $u$ (volgens (2)) en onder $u^*$ (hetzelfde argument met verwisselde rollen), dus de beperking is normaal: pas inductie toe en plak de orthonormale eigenbasissen aaneen. Omgekeerd voldoet een unitair diagonaliseerbare $u = UDU^\dagger$ aan $u^*u = U\conj D D U^\dagger = U D\conj D U^\dagger = uu^*$ : normaal.

Oefening 13.9 ★

Een endomorfisme heet antihermitisch wanneer $u^* = -u$ . Bewijs dat zijn eigenwaarden zuiver imaginair zijn, dat $u \mapsto \iu u$ een bijectie is van de hermitische naar de antihermitische endomorfismen, en dat antihermitische endomorfismen unitair diagonaliseerbaar zijn (Oefening 13.8).

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.9.

Eigenwaarden: voor $u(x) = \lambda x$ , $x \neq 0$ :

\lambda\norm x^2 = \langle x, u(x)\rangle = \langle u^*(x), x\rangle = -\langle u(x), x\rangle = -\conj{\langle x, u(x)\rangle} = -\conj\lambda\,\norm x^2 ,

dus $\lambda = -\conj\lambda$ : zuiver imaginair. Omdat $(\iu u)^* = -\iu\,u^*$ (de adjunct is geconjugeerd lineair in de scalairen), geeft $u^* = u$ dat $(\iu u)^* = -\iu u$ : de afbeelding $u \mapsto \iu u$ zendt hermitisch naar antihermitisch, met inverse $w \mapsto -\iu w$ : een bijectie. Een antihermitische $u$ voldoet aan $u^*u = -u^2 = uu^*$ : normaal, en dus unitair diagonaliseerbaar volgens Oefening 13.8.

Oefening 13.10 ★★

(De eindige Fouriertransformatie) Zij $S$ de cyclische verschuiving van $\C^n$ : $S(x_0, x_1, \dots, x_{n-1}) = (x_{n-1}, x_0, \dots, x_{n-2})$ , en $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ .

Toon aan dat $S$ unitair is en dat de vectoren $f_k = \frac{1}{\sqrt n}\bigl(1, \omega^k, \omega^{2k}, \dots, \omega^{(n-1)k}\bigr)$ , $0 \leq k < n$ , een orthonormale basis van eigenvectoren vormen: $Sf_k = \omega^{-k} f_k$ .
Leid af dat elke circulante matrix $C = \sum_{j=0}^{n-1} c_jS^j$ normaal is, gediagonaliseerd door dezelfde basis, met eigenwaarden $\widehat c(k) = \sum_j c_j\,\omega^{-jk}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.10.

$S$ permuteert een orthonormale basis: $\norm{Sx} = \norm x$ , dus $S$ is unitair. Indexeren we de coördinaten met $j = 0, \dots, n-1$ modulo $n$ , dan is $(Sx)_j = x_{j-1}$ , dus voor $(f_k)_j = \frac{\omega^{jk}}{\sqrt n}$ :

$(Sf_k)_j = \frac{\omega^{(j-1)k}}{\sqrt n} = \omega^{-k}\,(f_k)_j : \qquad Sf_k = \omega^{-k}f_k .$

Orthonormaliteit: $\langle f_k, f_l\rangle = \frac1n \sum_j \omega^{j(l-k)} = \delta_{kl}$ (de meetkundige som van een niet-triviale eenheidswortel verdwijnt).
$Cf_k = \sum_j c_j S^jf_k = \bigl(\sum_j c_j\omega^{-jk}\bigr)f_k = \widehat c(k)\,f_k$ : elke circulante matrix is diagonaal in de orthonormale Fourierbasis, en dus normaal, met spectrum $\{\widehat c(k)\}$ . (De basisovergang is de discrete Fouriertransformatie: convolutie wordt vermenigvuldiging.)

Oefening 13.11 ★★

Zij $P$ een idempotent ( $P^2 = P$ ) endomorfisme van een hermitische ruimte. Bewijs dat $P$ de orthogonale projectie op $\operatorname{im} P$ is dan en slechts dan als $P^* = P$ . Geef de matrix van de orthogonale projectie op $\C v$ ( $\norm v = 1$ ), en op een deelruimte met orthonormale basis $(v_1, \dots, v_k)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.11.

( $\Leftarrow$ ) Zij $P^2 = P = P^*$ . Elke $v$ splitst als $v = Pv + (v - Pv)$ met $Pv \in \operatorname{im} P$ en $P(v - Pv) = 0$ . De twee stukken zijn orthogonaal: voor alle $x, y$ is

\langle Px, (I - P)y\rangle = \langle x, P(I-P)y\rangle = \langle x, (P - P^2)y\rangle = 0 :

$\ker P \perp \operatorname{im} P$ , dus $P$ is de orthogonale projectie op haar beeld. ( $\Rightarrow$ ) Is $P$ de orthogonale projectie op $F = \operatorname{im}P$ , dan is voor alle $x, y$ $\langle Px, y\rangle = \langle Px, Py\rangle$ (de component $y - Py \perp F$ valt weg) en symmetrisch $\langle x, Py\rangle = \langle Px, Py\rangle$ : dus $\langle Px, y\rangle = \langle x, Py\rangle$ , dat wil zeggen $P^* = P$ . Matrices: op $\C v$ ( $\norm v = 1$ ): $Px = v\,\langle v, x\rangle$ , dat wil zeggen $P = vv^\dagger$ ; op $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ orthonormaal: $P = \sum_i v_iv_i^\dagger$ .

Oefening 13.12 ★★★

(Spectrale projectoren via interpolatie) Zij $A$ hermitisch met verschillende eigenwaarden $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ en eigenruimteontbinding $E = \bigoplus_i E_i$ . Definieer de Lagrange-veeltermen $L_i(X) = \prod_{j\neq i}\frac{X - \lambda_j}{\lambda_i - \lambda_j}$ . Bewijs dat $P_i = L_i(A)$ de orthogonale projectie op $E_i$ is, dat $P_iP_j = 0$ voor $i \neq j$ , dat $\sum_i P_i = I$ en dat $A = \sum_i \lambda_iP_i$ (de spectrale ontbinding); druk $f(A)$ voor een willekeurige veelterm $f$ uit in de $P_i$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.12.

Diagonaliseer $A = U D U^\dagger$ (spectraalstelling), met $D$ diagonaal met elementen uit de $\lambda_i$ . Dan is $P_i = L_i(A) = U L_i(D)U^\dagger$ , en $L_i(D)$ is diagonaal met elementen $L_i(\lambda_j) = \delta_{ij}$ : enen precies op de plaatsen van $E_i$ . Dus $P_i$ is hermitisch ( $L_i$ reëel, $D$ reëel), idempotent, met beeld $E_i$ en kern $\bigoplus_{j\neq i}E_j = E_i^\perp$ (orthogonaliteit van de eigenruimten): de orthogonale projectie op $E_i$ (Oefening 13.11). Disjuncte diagonaalpatronen geven $P_iP_j = 0$ ( $i \neq j$ ); $\sum_i L_i = 1$ (graad $< p$ , waarde $1$ in $p$ punten), dus $\sum P_i = I$ ; en $\sum_i \lambda_iL_i(\lambda_j) = \lambda_j$ geeft $A = \sum \lambda_iP_i$ . Voor een willekeurige veelterm $f$ heeft $f(D)$ de diagonaal $f(\lambda_j)$ , dus

f(A) = \sum_{i=1}^{p} f(\lambda_i)\,P_i :

functies van $A$ worden spectraal berekend — de rekenkunde die het volume van bachelorjaar 3 uitbreidt tot continue $f$ en verder.

13.4 Probleem: Courant–Fischer, Weyl en de rekening met eigenwaarden

Probleem 13.1

De eigenwaarden van een hermitische matrix zijn niet zomaar nulpunten van een veelterm: het zijn oplossingen van optimalisatieproblemen. Dat variationele standpunt — Rayleigh-quotiënten en de min-maxstelling van Courant–Fischer — maakt eigenwaarden vergelijkbaar, stabiel en berekenbaar, en deze opgave oogst haar klassieke gewassen: de verstoringsongelijkheden van Weyl, de interlacering van Cauchy, de spoorongelijkheden van Schur en Ky Fan, de monotonie van de matrixvierkantswortel, en het spectrum van de discrete laplaciaan. Overal zijn $A, B, E$ hermitisch op $E = \C^n$ met eigenwaarden in dalende volgorde opgesomd, $\lambda_1(A) \geq \dots \geq \lambda_n(A)$ , en is $R_A(x) = \frac{\langle x, Ax\rangle}{\langle x, x\rangle}$ voor $x \neq 0$ het Rayleigh-quotiënt.

Deel I — Rayleigh-quotiënten en min-max. Leg een orthonormale eigenbasis $(e_1, \dots, e_n)$ vast met $Ae_i = \lambda_ie_i$ .

Toon aan dat $R_A(x)$ reëel is en dat

$\lambda_n \leq R_A(x) \leq \lambda_1 \qquad (x \neq 0),$

waarbij beide grenzen worden aangenomen: $\lambda_1 = \max R_A$ , $\lambda_n = \min R_A$ .
Toon aan dat de kritieke punten van $R_A$ precies de eigenvectoren van $A$ zijn (werk $t \mapsto R_A(x + tv)$ uit in $t = 0$ voor willekeurige $v$ , en vervang $v$ vervolgens door $\iu v$ ).
Zij $V_k = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k)$ en $W_k = \operatorname{Vect}(e_k, \dots, e_n)$ . Toon aan dat

$\min_{x \in V_k\setminus\{0\}} R_A(x) = \lambda_k = \max_{x \in W_k\setminus\{0\}} R_A(x) .$
Bewijs de stelling van Courant–Fischer: voor $1 \leq k \leq n$ is

$\lambda_k = \max_{\dim V = k}\;\min_{x \in V\setminus\{0\}} R_A(x) = \min_{\dim W = n-k+1}\;\max_{x \in W\setminus\{0\}} R_A(x)$

(voor elke $V$ van dimensie $k$ is $V \cap W_k \neq \{0\}$ volgens Grassmann, dus $\min_V R_A \leq \lambda_k$ ; vraag 3 toont dat de grens wordt aangenomen).
(Monotonie) Schrijf $A \leq B$ wanneer $B - A$ positief semidefiniet is. Leid uit vraag 4 af: uit $A \leq B$ volgt $\lambda_k(A) \leq \lambda_k(B)$ voor elke $k$ .

Deel II — De ongelijkheden van Weyl.

Toon aan dat deelruimten $V, W \subseteq \C^n$ met $\dim V + \dim W > n$ elkaar niet-triviaal snijden, en veralgemeen: $\dim(V_1 \cap V_2 \cap V_3) \geq \dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3 - 2n$ .
Bewijs de ongelijkheid van Weyl: voor $i + j - 1 \leq n$ is

$\lambda_{i+j-1}(A + B) \leq \lambda_i(A) + \lambda_j(B)$

(snijd de deelruimten $W_i(A)$ , $W_j(B)$ en $V_{i+j-1}(A+B)$ uit vraag 3 en tel dimensies).
Definieer $\vertiii{E}_2 = \max_{\norm x = 1}\norm{Ex}$ en toon aan dat $\vertiii E_2 = \max_k\abs{\lambda_k(E)}$ voor hermitische $E$ . Leid de verstoringsstelling van Weyl af:

$\bigl|\lambda_k(A + E) - \lambda_k(A)\bigr| \leq \vertiii{E}_2 \qquad (1 \leq k \leq n) :$

elke eigenwaarde is een $1$ -lipschitzfunctie van de matrix.
(Verstoringen van rang één) Zij $P$ hermitisch positief semidefiniet van rang $1$ . Toon aan dat

$\lambda_k(A) \leq \lambda_k(A + P) \leq \lambda_{k-1}(A) \qquad (2 \leq k \leq n),$

samen met $\lambda_1(A) \leq \lambda_1(A+P)$ : de nieuwe eigenwaarden interlaceren de oude.
Ga vraag 8 numeriek na: $A = \begin{pmatrix} 2 & \iu\\ -\iu & 2\end{pmatrix}$ (Oefening 13.4: spectrum $\{3, 1\}$ ) en $E = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ (spectrum $\{1, -1\}$ ): bereken het spectrum van $A + E$ en beide leden van de ongelijkheid.

Deel III — Interlacering en spoorongelijkheden.

(Interlacering van Cauchy) Zij $B$ de leidende hoofdondermatrix van $A$ van formaat $(n-1)\times(n-1)$ . Bewijs dat

$\lambda_{k+1}(A) \leq \lambda_k(B) \leq \lambda_k(A) \qquad (1 \leq k \leq n-1)$

(beschouw $\C^{n-1} \subseteq \C^n$ ; daarop is $R_B$ de beperking van $R_A$ ; pas Courant–Fischer op beide niveaus toe).
Herhaal: voor een hoofdondermatrix $B$ van formaat $n - m$ geldt $\lambda_{k+m}(A) \leq \lambda_k(B) \leq \lambda_k(A)$ .
(Schur) Zij $d_1 \geq d_2 \geq \dots \geq d_n$ de gesorteerde diagonaalelementen van $A$ . Bewijs voor elke $k$ :

$\sum_{i=1}^{k} d_i \leq \sum_{i=1}^{k}\lambda_i(A),$

met gelijkheid bij $k = n$ (het spoor) (de $k$ gekozen diagonaalelementen vormen een hoofdondermatrix van formaat $k\times k$ ; begrens haar spoor met vraag 12).
(Ky Fan) Bewijs dat

$\sum_{i=1}^{k}\lambda_i(A) = \max\Bigl\{\sum_{i=1}^{k}\langle x_i, Ax_i\rangle : (x_1, \dots, x_k) \text{ orthonormaal}\Bigr\} .$
Ga de vragen 11 en 13 na op

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix} \qquad \bigl(\operatorname{Sp} = \{2 - \sqrt2,\ 2,\ 2+\sqrt2\}\bigr)$

tegenover haar leidende blok van formaat $2\times2$ (spectrum $\{1, 3\}$ ) en haar diagonaal.

Deel IV — De ordening van Loewner. $A \leq B$ betekent nog altijd dat $B - A$ positief semidefiniet is; alle matrices in dit deel zijn hermitisch.

Toon aan: uit $A \leq B$ volgt $a_{ii} \leq b_{ii}$ voor alle $i$ , $\operatorname{tr} A \leq \operatorname{tr} B$ , en $C^\dagger AC \leq C^\dagger BC$ voor elke complexe matrix $C$ .
Toon aan dat kwadrateren niet monotoon is: ga voor

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix},$

na dat $0 \leq A \leq B$ maar $A^2 \not\leq B^2$ .
Bewijs dat de vierkantswortel wel monotoon is: uit $0 \leq A \leq B$ volgt $\sqrt A \leq \sqrt B$ (zij $\mu$ een eigenwaarde van $\sqrt B - \sqrt A$ met eigenvector $v$ van norm $1$ ; bereken $\langle v, (B - A)v\rangle = \mu\bigl(\langle v, \sqrt B\,v\rangle + \langle v, \sqrt A\,v\rangle\bigr)$ en bespreek).
Bewijs dat inverteren antitoon is op positief definiete matrices: uit $0 < A \leq B$ volgt $B^{-1} \leq A^{-1}$ (congrueer met $A^{-1/2}$ om te herleiden tot $I \leq M \Rightarrow M^{-1} \leq I$ , wat in een spectrale basis scalair is).
Zijn $A, B$ positief definiet. Toon aan dat de eigenwaarden van $AB$ (in het algemeen niet hermitisch!) reëel en positief zijn, en dat

$\lambda_{\max}(AB) \leq \lambda_{\max}(A)\,\lambda_{\max}(B)$

(conjugeer met $\sqrt A$ : $AB \sim \sqrt A\,B\sqrt A$ ).

Deel V — De discrete laplaciaan, uitgewerkt. Zij $T_n$ de tridiagonale matrix van formaat $n \times n$ met $2$ op de diagonaal en $-1$ op de twee aangrenzende diagonalen.

Ga met $\theta_k = \frac{k\pi}{n+1}$ na dat de vectoren $v_k = \bigl(\sin(j\theta_k)\bigr)_{1\leq j\leq n}$ voldoen aan $T_nv_k = (2 - 2\cos\theta_k)\,v_k$ (identiteit die een product in een som omzet; controleer de randrijen $j = 1, n$ ). Besluit:

$\operatorname{Sp}(T_n) = \Bigl\{4\sin^2 \frac{k\pi}{2(n+1)} : 1 \leq k \leq n\Bigr\},$

alle enkelvoudig, alle positief: $T_n$ is positief definiet.
(Een potentiaal) Klem voor een reële diagonaalmatrix $D = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$ het spectrum in: voor elke $k$ geldt

$\lambda_k(T_n) + \min_i d_i \;\leq\; \lambda_k(T_n + D) \;\leq\; \lambda_k(T_n) + \max_i d_i .$
Ga de interlacering van Cauchy tussen $T_3$ en $T_2$ expliciet na (spectra $\{2 \pm \sqrt2, 2\}$ en $\{1, 3\}$ ), en interpreteer: $T_2$ is $T_3$ met één uiteinde van het pad verwijderd.
Toon aan dat de extreme eigenwaarden voor $n \to \infty$ voldoen aan

$\lambda_{\min}(T_n) = 4\sin^2\frac{\pi}{2(n+1)} \sim \frac{\pi^2}{(n+1)^2}, \qquad \lambda_{\max}(T_n) \to 4 ,$

zodat het conditiegetal $\kappa_n = \lambda_{\max}/\lambda_{\min}$ groeit als $\frac{4(n+1)^2}{\pi^2}$ : het discretiseren van een tweede afgeleide op een steeds fijner rooster is intrinsiek slecht geconditioneerd.
Synthese. In telkens één zin: (i) waarom de variationele karakterisering, en niet de karakteristieke veelterm, eigenwaarden stabiel maakt (vragen 8–9); (ii) welke vragen alleen $\lambda_1 = \max R_A$ gebruikten en welke de volledige min-max nodig hadden; (iii) wat de ordening van Loewner aan het verhaal toevoegt; (iv) waar deze gereedschappen terugkeren (de numerieke wiskunde van de stijfheidsmatrices uit vraag 24; de kwantumverstoringstheorie; en, in het volume van bachelorjaar 3, het min-maxprincipe voor compacte zelftoegevoegde operatoren).

Oplossing

Oplossing van Probleem 13.1.

1. $\conj{\langle x, Ax\rangle} = \langle Ax, x\rangle = \langle x, A^*x\rangle = \langle x, Ax\rangle$ : reëel. Schrijven we $x = \sum c_ie_i$ , dan is

R_A(x) = \frac{\sum_i\lambda_i\abs{c_i}^2} {\sum_i\abs{c_i}^2} ,

een gewogen gemiddelde van de eigenwaarden: het ligt in $\intcc{\lambda_n}{\lambda_1}$ , met de grenzen aangenomen in $e_1$ en $e_n$ .

2. Werk voor reële $t$ en willekeurige $v$ uit dat $R_A(x + tv) = \frac{N(t)}{D(t)}$ met

N(t) = \langle x, Ax\rangle + 2t\Re\langle v, Ax\rangle + t^2\langle v, Av\rangle, \quad D(t) = \norm x^2 + 2t\Re\langle v, x\rangle + t^2\norm v^2 .

De afgeleide in $t = 0$ is

\frac{2}{\norm x^2}\, \Re\bigl\langle v,\ Ax - R_A(x)\,x\bigr\rangle .

Zij verdwijnt voor alle $v$ dan en slechts dan als $\Re\langle v, w\rangle = 0$ voor alle $v$ , met $w = Ax - R_A(x)x$ ; $v$ door $\iu v$ vervangen doodt ook het imaginaire deel: $w = 0$ , dat wil zeggen $Ax = R_A(x)x$ . De kritieke punten van $R_A$ zijn dus precies de eigenvectoren, met als kritieke waarde de eigenwaarde.

3. Voor $x = \sum_{i\leq k}c_ie_i \in V_k$ is $R_A(x)$ een gewogen gemiddelde van $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ , en dus $\geq \lambda_k$ , met gelijkheid in $e_k$ : $\min_{V_k} R_A = \lambda_k$ . Symmetrisch betreft het gemiddelde op $W_k$ de waarden $\lambda_k, \dots, \lambda_n$ : $\max_{W_k}R_A = \lambda_k$ .

4. Zij $\dim V = k$ . Dan is $\dim V + \dim W_k = n + 1 > n$ , dus er is een eenheidsvector $x \in V \cap W_k$ , en $R_A(x) \leq \lambda_k$ (vraag 3): $\min_{V}R_A \leq \lambda_k$ voor elke zulke $V$ . Omdat $V_k$ de waarde $\lambda_k$ aanneemt, is het max-min gelijk aan $\lambda_k$ . De min-maxformule is hetzelfde argument met omgekeerde rollen ( $\dim W = n - k + 1$ dwingt $W \cap V_k \neq \{0\}$ af, dus $\max_W R_A \geq \lambda_k$ , aangenomen in $W_k$ ).

5. $R_B(x) = R_A(x) + \frac{\langle x, (B-A)x\rangle} {\norm x^2} \geq R_A(x)$ puntsgewijs. Nemen we het minimum over een willekeurige $k$ -dimensionale $V$ en daarna het maximum over $V$ , dan geeft vraag 4 dat $\lambda_k(B) \geq \lambda_k(A)$ .

6. Grassmann: $\dim(V\cap W) = \dim V + \dim W - \dim(V + W) \geq \dim V + \dim W - n > 0$ . Tweemaal toegepast:

\dim(V_1\cap V_2\cap V_3) \geq \dim(V_1\cap V_2) + \dim V_3 - n \geq \dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3 - 2n .

7. De deelruimten $W_i(A)$ , $W_j(B)$ (vraag 3, voor $A$ en $B$ ) en $V_{i+j-1}(A+B)$ hebben dimensies $(n-i+1) + (n-j+1) + (i+j-1) = 2n + 1 > 2n$ : volgens vraag 6 is er een eenheidsvector $x$ in alle drie. Dan is

\lambda_{i+j-1}(A+B) \leq R_{A+B}(x) = R_A(x) + R_B(x) \leq \lambda_i(A) + \lambda_j(B),

de linkerongelijkheid omdat $x \in V_{i+j-1}(A+B)$ (vraag 3), de rechter wegens de twee $W$ ’s.

8. In een spectrale basis van $E$ : $\norm{Ex}^2 = \sum \lambda_k(E)^2\abs{c_k}^2 \leq \max_k\lambda_k(E)^2\,\norm x^2$ , aangenomen in de bijbehorende eigenvector: $\vertiii E_2 = \max_k\abs{\lambda_k(E)}$ . Weyl met $j = 1$ : $\lambda_k(A+E) \leq \lambda_k(A) + \lambda_1(E) \leq \lambda_k(A) + \vertiii E_2$ ; dit toegepast op $(A+E) + (-E)$ geeft $\lambda_k(A) \leq \lambda_k(A+E) + \vertiii E_2$ . Samen: $\abs{\lambda_k(A+E) - \lambda_k(A)} \leq \vertiii E_2$ .

9. Ondergrenzen: $P \geq 0$ en vraag 5. Bovengrens: $P$ heeft rang $1$ , dus $\lambda_2(P) = 0$ ; Weyl met $i = k-1$ , $j = 2$ :

\lambda_k(A + P) \leq \lambda_{k-1}(A) + \lambda_2(P) = \lambda_{k-1}(A) .

10. $A + E = \begin{pmatrix} 2 & 1+\iu\\ 1-\iu & 2\end{pmatrix}$ : karakteristieke veelterm $(2-\lambda)^2 - \abs{1+\iu}^2 = (2-\lambda)^2 - 2$ , spectrum $\{2 + \sqrt2,\ 2 - \sqrt2\}$ . Tegenover $\operatorname{Sp}A = \{3, 1\}$ :

\abs{(2+\sqrt2) - 3} = \abs{(2-\sqrt2) - 1} = \sqrt2 - 1 \approx 0.414 \leq 1 = \vertiii E_2 . \checkmark

11. Beschouw $\C^{n-1} = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_{n-1})$ binnen $\C^n$ (standaardbasis): voor $x$ daarin is $\langle x, Bx\rangle = \langle x, Ax\rangle$ , dus $R_B$ is de beperking van $R_A$ . Bovengrens: het max-min voor $\lambda_k(B)$ loopt over de $k$ -dimensionale deelruimten van $\C^{n-1}$ , een deelfamilie van die van $\C^n$ : $\lambda_k(B) \leq \lambda_k(A)$ . Ondergrens: het min-max voor $\lambda_k(B)$ loopt over deelruimten van $\C^{n-1}$ van dimensie $(n-1)-k+1 = n-k$ ; elk daarvan is ook een deelruimte van $\C^n$ van dimensie $n - (k+1) + 1$ , dus haar maximum is $\geq \lambda_{k+1}(A)$ : $\lambda_k(B) \geq \lambda_{k+1}(A)$ .

12. Verwijder de rijen en kolommen één voor één en rijg vraag 11 aaneen: elke verwijdering verschuift de onderste index met één, wat $\lambda_{k+m}(A) \leq \lambda_k(B) \leq \lambda_k(A)$ geeft.

13. Conjugeren van $A$ met een permutatiematrix (unitair) verandert noch het spectrum noch de multiverzameling van diagonaalelementen: neem dus aan dat $d_1, \dots, d_k$ de leidende posities innemen. De leidende hoofdondermatrix $B$ van formaat $k\times k$ heeft dan $\operatorname{tr} B = \sum_{i\leq k}d_i$ , en haar eigenwaarden voldoen aan $\mu_i(B) \leq \lambda_i(A)$ (vraag 12): sommeren geeft $\sum_{i\leq k}d_i \leq \sum_{i\leq k}\lambda_i(A)$ . Bij $k = n$ zijn beide leden $\operatorname{tr} A$ .

14. De keuze $x_i = e_i$ geeft de waarde $\sum_{i\leq k}\lambda_i$ : het maximum is $\geq$ . Omgekeerd laat een orthonormale familie $(x_1, \dots, x_k)$ zich uitbreiden tot een orthonormale basis, dat wil zeggen tot een unitaire $U$ met de $x_i$ als eerste kolommen; dan is $\sum_i\langle x_i, Ax_i\rangle$ de som van de eerste $k$ diagonaalelementen van $U^\dagger AU$ , die volgens vraag 13 hoogstens de som van haar $k$ grootste eigenwaarden is — namelijk $\sum_{i\leq k}\lambda_i(A)$ . Het maximumprincipe van Ky Fan volgt.

15. Interlacering ( $\operatorname{Sp}A = \{2+\sqrt2, 2, 2-\sqrt2\}$ , $\operatorname{Sp}B = \{3, 1\}$ ):

2 \leq 3 \leq 2 + \sqrt2, \qquad 2 - \sqrt2 \leq 1 \leq 2 . \checkmark

Schur met diagonaal $(2,2,2)$ : $2 \leq 2+\sqrt2$ ; $4 \leq 4 + \sqrt2$ ; $6 = 6$ (het spoor). ✓16. $b_{ii} - a_{ii} = \langle e_i, (B-A)e_i\rangle \geq 0$ ; sommeren geeft de sporen. Voor elke $C$ : $\langle x, C^\dagger(B - A)Cx\rangle = \langle Cx, (B-A)(Cx)\rangle \geq 0$ : $C^\dagger AC \leq C^\dagger BC$ .

17. $A \geq 0$ is duidelijk; $B - A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ is positief semidefiniet (eigenwaarden $2, 0$ ): $A \leq B$ . Maar

B^2 = \begin{pmatrix} 5 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix}, \qquad B^2 - A^2 = \begin{pmatrix} 4 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix}, \qquad \det(B^2 - A^2) = -1 < 0 :

niet positief semidefiniet. Kwadrateren eerbiedigt de ordening van Loewner niet.

18. Zij $S = \sqrt A$ en $T = \sqrt B$ (hermitisch positief semidefiniet; Oefening 13.7 met dezelfde spectrale formule uitgebreid tot het semidefiniete geval). $T - S$ is hermitisch; zij $\mu$ een willekeurige eigenwaarde en $v$ een eigenvector van norm $1$ . Uit $T^2 - S^2 = T(T - S) + (T - S)S$ volgt

0 \leq \langle v, (B - A)v\rangle = \langle Tv, (T-S)v\rangle + \langle (T-S)v, Sv\rangle = \mu\bigl(\langle v, Tv\rangle + \langle v, Sv\rangle\bigr)

( $\mu$ is reëel). Is $\langle v, Tv\rangle + \langle v, Sv\rangle > 0$ , dan is $\mu \geq 0$ . Verdwijnt zij, dan verdwijnen beide niet-negatieve termen; $\langle v, Tv\rangle = \norm{T^{1/2}v}^2 = 0$ dwingt $Tv = 0$ af, en evenzo $Sv = 0$ , dus $\mu v = (T - S)v = 0$ en $\mu = 0$ . Alle eigenwaarden van $T - S$ zijn $\geq 0$ : $\sqrt A \leq \sqrt B$ .

19. Congruentie met $A^{-1/2}$ (vraag 16): $I \leq M := A^{-1/2}BA^{-1/2}$ . Dus zijn alle eigenwaarden van $M$ groter dan of gelijk aan $1$ , en die van $M^{-1}$ liggen in $\intoc{0}{1}$ : $M^{-1} \leq I$ . Maar $M^{-1} = A^{1/2}B^{-1}A^{1/2}$ ; $M^{-1} \leq I$ congrueren met $A^{-1/2}$ geeft $B^{-1} \leq A^{-1}$ .

20. $\sqrt A^{-1}(AB)\sqrt A = \sqrt A\,B\sqrt A$ : dus is $AB$ gelijkvormig met de hermitische positief definiete $\sqrt A\,B\sqrt A$ (definiet: $\langle x, \sqrt AB\sqrt Ax\rangle = \langle \sqrt Ax, B\sqrt Ax\rangle > 0$ ): haar eigenwaarden zijn reëel en positief. Bovendien is

\langle x, \sqrt AB\sqrt Ax\rangle \leq \lambda_{\max}(B)\,\norm{\sqrt Ax}^2 = \lambda_{\max}(B)\,\langle x, Ax\rangle \leq \lambda_{\max}(A)\lambda_{\max}(B)\norm x^2 ,

dus $\lambda_{\max}(AB) = \max R_{\sqrt AB\sqrt A} \leq \lambda_{\max}(A)\lambda_{\max}(B)$ .

21. Met $v_k = (\sin j\theta_k)_j$ en de identiteit $\sin((j-1)\theta) + \sin((j+1)\theta) = 2\sin(j\theta)\cos\theta$ geldt voor $2 \leq j \leq n-1$ :

(T_nv_k)_j = -\sin((j{-}1)\theta_k) + 2\sin(j\theta_k) - \sin((j{+}1)\theta_k) = (2 - 2\cos\theta_k)\sin(j\theta_k) .

Rij $1$ werkt omdat $\sin(0\cdot\theta_k) = 0$ , rij $n$ omdat $\sin((n+1)\theta_k) = \sin(k\pi) = 0$ : de randvoorwaarden selecteren precies $\theta_k = \frac{k\pi}{n+1}$ . Dus $T_nv_k = 4\sin^2\bigl(\frac{k\pi}{2(n+1)}\bigr)v_k$ ; de $n$ waarden zijn verschillend en liggen in $\intoo04$ , en de $v_k \neq 0$ : dit is het hele spectrum, positief, dus $T_n$ is positief definiet.

22. $\min_id_i\,I \leq D \leq \max_id_i\,I$ , dus $T_n + \min_id_i\,I \leq T_n + D \leq T_n + \max_id_i\,I$ (het optellen van $T_n$ bewaart de ordening); vraag 5 en $\lambda_k(T_n + cI) = \lambda_k(T_n) + c$ geven de insluiting.

23. $T_2 = \begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 2\end{pmatrix}$ heeft spectrum $\{3, 1\}$ , en

2 - \sqrt2 \;\leq\; 1 \;\leq\; 2 \;\leq\; 3 \;\leq\; 2 + \sqrt2 :

de interlacering van Cauchy is nagegaan. (Dit zijn dezelfde spectra als in vraag 15: conjugeren met $\operatorname{diag}(1,-1,1)$ verandert het teken buiten de diagonaal.) Lezing via grafen: $T_2$ is de matrix van laplaciaantype van het pad waarvan het laatste punt is geschrapt — een hoofdondermatrix, precies de situatie van vraag 11.

24. De extreme eigenwaarden gedragen zich als

\lambda_{\min}(T_n) = 4\sin^2\frac{\pi}{2(n+1)} \sim \frac{\pi^2}{(n+1)^2}, \qquad \lambda_{\max}(T_n) = 4\cos^2\frac{\pi}{2(n+1)} \longrightarrow 4 .

Bijgevolg is

\kappa_n = \frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} \sim \frac{4(n+1)^2}{\pi^2} :

hoe fijner het rooster, hoe slechter geconditioneerd de discrete tweede afgeleide — een feit dat het ontwerp van de numerieke lineaire algebra stuurt.

25. (i) De nulpunten van de karakteristieke veelterm kunnen bij verstoringen van een algemene matrix wild bewegen, maar de min-maxkarakterisering klemt elke hermitische eigenwaarde tussen expliciete optimalisatiewaarden, wat de $1$ -lipschitzstabiliteit van de vragen 8–9 afdwingt. (ii) De vragen 1, 5 en 16–20 gebruikten alleen de extreme Rayleigh-waarden; Weyl, interlacering, Schur en Ky Fan (vragen 7–14) hadden werkelijk de volledige min-max over deelruimten nodig. (iii) De ordening van Loewner maakt van deze scalaire ongelijkheden een rekenkunde van matrixongelijkheden — met echte valkuilen (vraag 17) en echte stellingen (vragen 18–19). (iv) Deze gereedschappen zijn het dagelijks brood van de numerieke wiskunde (de stijfheidsmatrices van vraag 24), van de kwantumverstoringstheorie (Weyl: de energieniveaus verplaatsen zich hoogstens over de norm van de verstoring) en van het min-maxprincipe voor compacte zelftoegevoegde operatoren in het volume van bachelorjaar 3.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst