Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Bachelor Year 2

14Fourierreeksen

Kan elk periodiek signaal uit zuivere sinussen en cosinussen worden heropgebouwd? Fouriers vermetele “ja” bracht een eeuw analyse voort. Dit hoofdstuk bewijst de twee pijlers die op dit niveau bereikbaar zijn: de stelling van Dirichlet (puntsgewijze reconstructie voor stuksgewijs $C^1$ -functies, via de Dirichlet-kern) en de identiteit van Parseval (de energie van een signaal is de som van de energieën van zijn harmonischen), en oogst de klassieke numerieke reeksen — de som van Basel $\sum 1/n^2 = \pi^2/6$ voorop.

Overal zijn de functies $2\pi$ -periodiek, stuksgewijs continu en complexwaardig; $\mathcal{C}$ duidt de continue functies aan.

14.1 Fouriercoëfficiënten

Definitie 14.1

De Fouriercoëfficiënten van $f$ zijn

c_n(f) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,\eu^{-\iu n t}\,\dd t \qquad (n \in \Z),

en de coëfficiënten in reële vorm zijn $a_n = c_n + c_{-n}$ , $b_n = \iu(c_n - c_{-n})$ , zodat de Fourierpartiaalsommen gegeven worden door

S_N(f)(t) = \sum_{n=-N}^{N} c_n(f)\,\eu^{\iu nt} = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N}\bigl(a_n\cos nt + b_n \sin nt\bigr).

Definieer op $\mathcal{C}$ het hermitische inproduct $\langle f, g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\conj f\,g$ : de exponentiëlen $e_n(t) = \eu^{\iu nt}$ zijn orthonormaal ( $\langle e_m, e_n\rangle = \delta_{mn}$ , rechtstreekse berekening), en $c_n(f) = \langle e_n, f\rangle$ : Fourieranalyse is hermitische meetkunde (Hoofdstuk 13) in oneindige dimensie.

Propositie 14.2 (Ongelijkheid van Bessel)

$S_N(f)$ is de orthogonale projectie van $f$ op de ruimte $\mathcal{T}_N$ van de trigonometrische veeltermen van graad $\leq N$ , en

\sum_{n=-N}^{N} \abs{c_n(f)}^2 \leq \norm f_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \abs f^2 :

de reeks $\sum \abs{c_n}^2$ convergeert, en $c_n(f) \to 0$ als $\abs n \to \infty$ (Riemann–Lebesgue voor coëfficiënten).

Bewijs. $f - S_N(f)$ staat loodrecht op elke $e_k$ met $\abs k \leq N$ ( $\langle e_k, f - S_N f\rangle = c_k - c_k = 0$ ): $S_Nf$ is de orthogonale projectie op $\mathcal{T}_N = \operatorname{Vect}(e_{-N}, \dots, e_N)$ (de projectiestelling uit het volume van bachelorjaar 1, woordelijk in het hermitische kader). Pythagoras: $\norm f_2^2 = \norm{S_Nf}_2^2 + \norm{f - S_Nf}_2^2 \geq \norm{S_Nf}_2^2 = \sum_{\abs n \leq N} \abs{c_n}^2$ ; laat $N \to \infty$ . ∎

Voorbeeld 14.3 (Beste benadering, gemeten)

Hoe goed benaderen trigonometrische veeltermen van lage graad de zaagtand $f(t) = t$ (op $\intoo{-\pi}{\pi}$ ) in kwadratisch gemiddelde? Volgens Propositie 14.2 is de beste benadering van graad $N$ juist $S_N(f)$ , met kwadratische fout

\norm{f - S_Nf}_2^2 = \norm f_2^2 - \sum_{\abs n\leq N}\abs{c_n}^2 .

Hier is $\norm f_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\dd t = \frac{\pi^2}{3}$ , en uit $b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$ (Voorbeeld 14.12) volgt $\abs{c_n}^2 + \abs{c_{-n}}^2 = \frac{b_n^2}{2} = \frac{2}{n^2}$ . Dus

\norm{f - S_Nf}_2^2 = \frac{\pi^2}{3} - \sum_{n=1}^{N}\frac{2}{n^2} \qquad\text{: numeriek } 1.29,\ 0.79,\ 0.57,\ 0.44

voor $N = 1, 2, 3, 4$ — dalend, maar traag: de staart $\sum_{n>N}\frac2{n^2} \sim \frac2N$ wordt bestuurd door het trage verval $\frac1n$ van de coëfficiënten, dat zelf het handschrift van de sprong is (Oefening 14.6 achterstevoren gelezen). Het inzicht om te onthouden: Parseval maakt van de kwaliteit van een benadering de staart van een numerieke reeks — en voorspelt, nog vóór enige tekening, dat sprongen Fourierreeksen met tegenzin doen convergeren.

Methode 14.4 (Fouriercoëfficiënten efficiënt berekenen)

Vóór je ook maar iets integreert:

Pariteit: een even $f$ heeft $b_n = 0$ , een oneven $f$ heeft $a_n = 0$ , en de overblijvende integralen herleiden tot $\frac2\pi \int_0^\pi$ — half zoveel werk, dubbel zo betrouwbaar.
Trigonometrische veeltermen zijn al klaar: lineariseer producten ( $\cos^3$ , $\sin^2\cos$ , …) en lees de coëfficiënten af (Oefening 14.9); de orthonormaliteit maakt elke verdere integratie overbodig.
Complexe exponentiëlen voor exponentiëlen: voor factoren $\eu^{at}$ of gedempte trillingen bereken je $c_n$ rechtstreeks — één integraal van $\eu^{(a - \iu n)t}$ verslaat twee partiële integraties (Oefening 14.10).
Differentieer een bekende ontwikkeling: zijn de coëfficiënten van $f'$ bekend en is $f$ continu, dan geeft $c_n(f) = \frac{c_n(f')}{\iu n}$ ( $n \neq 0$ ) alles behalve $c_0$ , dat het gemiddelde is — vaak de snelste weg, en precies onder de hypothesen van Stelling 14.10 (1) geoorloofd.

14.2 De stelling van Dirichlet

Lemma 14.5 (Dirichlet-kern)

$S_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x + u)\,D_N(u)\,\dd u$ , waarbij

D_N(u) = \sum_{n=-N}^{N} \eu^{\iu nu} = \frac{\sin\bigl((N + \frac12)u\bigr)}{\sin\frac u2} \quad (u \notin 2\pi\Z), \qquad \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} D_N = 1 .

Bewijs. Vul de definitie van $c_n$ in $S_N$ in en verwissel som en integraal (geoorloofd: de som is eindig):

S_N(f)(x) = \sum_{n=-N}^{N}\Bigl(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,\eu^{-\iu nt}\dd t\Bigr)\eu^{\iu nx} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sum_{n=-N}^{N}\eu^{\iu n(x-t)}\,\dd t ;

substitueer $u = t - x$ en schuif het integratiesegment over $2\pi$ terug naar $\intcc{-\pi}{\pi}$ dankzij de $2\pi$ -periodiciteit van de integrand; het symmetrische indexbereik maakt $\sum_n\eu^{-\iu nu} = D_N(u)$ . De gesloten vorm: meetkundige som met reden $\eu^{\iu u}$ ,

D_N(u) = \eu^{-\iu Nu}\,\frac{\eu^{\iu(2N+1)u} - 1}{\eu^{\iu u} - 1} = \frac{\eu^{\iu(N + \frac12)u} - \eu^{-\iu(N+\frac12)u}} {\eu^{\iu u/2} - \eu^{-\iu u/2}} ,

wat het sinusquotiënt is. Haar gemiddelde is $1$ : alleen $n = 0$ draagt bij. ∎

Stelling 14.6 (Lemma van Riemann–Lebesgue)

Voor stuksgewijs continue $g$ op een segment geldt $\int_a^b g(t)\sin(\lambda t + \varphi)\,\dd t \to 0$ als $\lambda \to +\infty$ .

Bewijs. Benader $g$ uniform door trapfuncties (Stelling 10.16 is niet nodig — de elementaire benadering van stuksgewijs continue functies door trapfuncties volstaat) en integreer elke trap expliciet: elk stuk draagt $O\bigl(\frac1\lambda\bigr)$ bij, en de benaderingsfout draagt $\varepsilon(b - a)$ bij. Dit argument werd volledig uitgevoerd als laatste oefening van het integratiehoofdstuk in het volume van bachelorjaar 1; voor $C^1$ -stukken kan men in plaats daarvan partieel integreren en door $\frac C\lambda$ begrenzen. ∎

Voorbeeld 14.7 (Hoe snel sterven de coëfficiënten?)

Riemann–Lebesgue zegt dat de coëfficiënten naar $0$ streven; hun snelheid is een gladheidsmeter. Drie exemplaren uit dit hoofdstuk en zijn oefeningen:

\text{blokgolf: } b_n = \frac{4}{\pi n}\ (n\ \text{oneven}), \qquad \abs t : a_n = \frac{-4}{\pi n^2}\ (n\ \text{oneven}), \qquad \abs{\sin t} : a_{2k} = \frac{-4}{\pi(4k^2-1)} .

Een sprong in $f$ (blokgolf, zaagtand) laat coëfficiënten van de orde $\frac1n$ na: geen normale convergentie, en een Gibbs-overshoot bij de sprongen. Continuïteit met een knik — een sprong in alleen $f'$ — verbetert de orde tot $\frac{1}{n^2}$ : normale convergentie, uniforme reconstructie. In het algemeen kopen $k$ afgeleiden $c_n = O(n^{-k})$ (Oefening 14.6), en omgekeerd dwingt een spectrum dat sneller dan elke macht vervalt af dat $f$ van klasse $C^\infty$ is (differentieer nu wél geoorloofd term voor term). Het inzicht om te onthouden: de regelmaat van het signaal en het verval van het spectrum zijn dezelfde informatie — een ingenieur leest de ene af van de helling van de andere, zonder de functie ooit te tekenen.

Stelling 14.8 (Dirichlet)

Zij $f$ $2\pi$ -periodiek en stuksgewijs $C^1$ . Dan geldt voor elke $x$

S_N(f)(x) \xrightarrow[N \to \infty]{} \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}

(het gemiddelde van de eenzijdige limieten) — in het bijzonder $S_N(f)(x) \to f(x)$ in elk continuïteitspunt.

Bewijs. Volgens het kernlemma en zijn gemiddelde $1$ , waarbij de integraal in de helften $u > 0$ en $u < 0$ wordt gesplitst (elk met gemiddelde $\frac12$ ):

\begin{align*} S_N(f)(x) - \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2} &= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi} \bigl(f(x+u) - f(x^+)\bigr)D_N(u)\,\dd u\\ &\quad+ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{0}\bigl(f(x+u) - f(x^-)\bigr)D_N(u)\,\dd u . \end{align*}

Behandel de eerste (de tweede is symmetrisch). Schrijf

\bigl(f(x + u) - f(x^+)\bigr)\,D_N(u) = \underbrace{\frac{f(x+u) - f(x^+)}{\sin\frac u2}}_{g(u)}\, \sin\Bigl(\Bigl(N + \frac12\Bigr)u\Bigr) .

De functie $g$ is stuksgewijs continu op $\intoc{0}{\pi}$ en heeft een eindige limiet in $0^+$ : schrijven we

g(u) = \frac{f(x+u) - f(x^+)}{u}\cdot\frac{u}{\sin\frac u2} ,

dan streeft de eerste factor naar $f'(x^+)$ (eenzijdige differentieerbaarheid, uit stuksgewijs $C^1$ ) en de tweede naar $2$ (de standaardlimiet $\frac{\sin v}{v} \to 1$ met $v = \frac u2$ ): $g(0^+) = 2f'(x^+)$ bestaat. Dus laat $g$ zich stuksgewijs continu uitbreiden tot $\intcc{0}{\pi}$ , en Riemann–Lebesgue (Stelling 14.6) stuurt de integraal naar $0$ . Dat is precies waar de hypothese voor dient: zonder eenzijdige afgeleiden explodeert de factor $\frac{1}{\sin(u/2)}$ in $0$ sneller dan Riemann–Lebesgue kan compenseren, en kan de puntsgewijze convergentie werkelijk falen voor louter continue $f$ — de kloof die de stelling van Fejér (weekendopgave) door middelen dicht. ∎

Voorbeeld 14.9 (Dirichlet in een sprong)

Voor de zaagtand $f(t) = t$ op $\intoo{-\pi}{\pi}$ (Voorbeeld 14.12 hieronder) springt de periodieke uitbreiding in $t = \pi$ van $f(\pi^-) = \pi$ naar $f(\pi^+) = -\pi$ . Dirichlet belooft daar de waarde $\frac{\pi + (-\pi)}{2} = 0$ , en inderdaad verdwijnt elke term van $\sum \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin nt$ in $t = \pi$ : de reeks convergeert beleefd naar het middelpunt en negeert beide eenzijdige waarden. Verplaatsen we het evaluatiepunt naar $t = \frac\pi2$ (een continuïteitspunt), dan maakt dezelfde reeks er Leibniz’ $\frac\pi4$ van. Eén reeks, twee gedragingen — precies de twee uitspraken van de stelling.

Stelling 14.10 (Normale convergentie voor $C^1$ ; Parseval)

Is $f$ continu, $2\pi$ -periodiek en stuksgewijs $C^1$ , dan is $c_n(f') = \iu n\,c_n(f)$ , convergeert de Fourierreeks van $f$ normaal op $\R$ , en is haar som $f$ .
(Parseval) Voor elke stuksgewijs continue $2\pi$ -periodieke $f$ :

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs{f}^2 = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \abs{c_n(f)}^2 = \frac{\abs{a_0}^2}{4} + \frac12\sum_{n\geq1} \bigl(\abs{a_n}^2 + \abs{b_n}^2\bigr).$

(Hier bewezen voor continue, stuksgewijs $C^1$ -functies $f$ ; in het algemeen aangenomen.)

Bewijs. (1) Partiële integratie op elk $C^1$ -stuk (de randtermen heffen elkaar op wegens continuïteit en periodiciteit): $c_n(f') = \iu n c_n(f)$ . Vervolgens, met Cauchy–Schwarz op de twee kwadratisch sommeerbare families (Propositie 14.2 voor $f'$ ):

\sum_{n \neq 0} \abs{c_n(f)} = \sum_{n\neq0} \frac{\abs{c_n(f')}}{\abs n} \leq \Bigl(\sum \abs{c_n(f')}^2\Bigr)^{1/2} \Bigl(\sum_{n\neq0}\frac{1}{n^2}\Bigr)^{1/2} < \infty :

normale convergentie van de Fourierreeks. Haar som is continu en valt volgens Dirichlet in elk punt met $f$ samen (Stelling 14.8: $f$ is continu): de reeks convergeert uniform naar $f$ .

(2) Voor zulke $f$ : $S_N f \to f$ uniform, dus $\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - S_Nf}_\infty \to 0$ , en Pythagoras ( $\norm f_2^2 = \sum_{\abs n \leq N}\abs{c_n}^2 + \norm{f - S_Nf}_2^2$ ) gaat over in de limiet. De reële vorm is boekhouding met $a_n, b_n$ . ∎

Voorbeeld 14.11 (De $C^1$ -staartschatting, kwantitatief gemaakt)

Het bewijs van Stelling 14.10 (1) verbergt een bruikbare schatting. Voor continue, stuksgewijs $C^1$ -functies $f$ geeft dezelfde ongelijkheid van Cauchy–Schwarz, alleen op de staart toegepast,

\sum_{\abs n > N}\abs{c_n(f)} = \sum_{\abs n > N}\frac{\abs{c_n(f')}}{\abs n} \leq \Bigl(\sum_{\abs n > N}\abs{c_n(f')}^2\Bigr)^{\!1/2} \Bigl(\sum_{\abs n>N}\frac{1}{n^2}\Bigr)^{\!1/2} \leq \norm{f'}_2\,\sqrt{\frac{2}{N}} ,

met Bessel voor $f'$ en $\sum_{n>N}n^{-2} \leq \frac1N$ . De uniforme fout van de partiaalsommen voldoet dus aan

\norm{f - S_Nf}_\infty \leq \sum_{\abs n>N}\abs{c_n(f)} \leq \norm{f'}_2\,\sqrt{\frac2N} .

Voor $f(t) = \abs t$ is $\norm{f'}_2 = 1$ (de afgeleide is $\pm1$ ), zodat tien termen $\abs t$ al uniform tot op $\sqrt{0.2} \approx 0.45$ reconstrueren, en $N = 10^4$ tot op $0.015$ . Het inzicht om te onthouden: één afgeleide koopt het uniforme tempo $\frac{1}{\sqrt N}$ ; vergeleken met de wereld van coëfficiënten $\frac1n$ van de blokgolf (helemaal geen uniforme convergentie) krijgt het woordenboek van Voorbeeld 14.7 zo getallen.

Voorbeeld 14.12 (Basel en vrienden)

Zij $f(t) = t$ op $\intoo{-\pi}{\pi}$ , $2\pi$ -periodiek uitgebreid (een zaagtand, stuksgewijs $C^1$ ). Rekenwerk geeft $a_n = 0$ (oneven zijn) en

b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t\sin nt\,\dd t = \frac{2(-1)^{n+1}}{n} .

Dirichlet in $t = \frac\pi2$ levert Leibniz’ $\frac\pi4 = 1 - \frac13 + \frac15 - \dots$ op; Parseval geeft

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^2\,\dd t = \frac{\pi^2}{3} = \frac12\sum_{n\geq1}\frac{4}{n^2} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\;\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\;}

— Eulers som van Basel, in twee regels. De functie $f(t) = t^2$ levert op dezelfde manier $\sum \frac1{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$ op (Oefening 14.3).

Voorbeeld 14.13 (Een volledige ontwikkeling met ingebouwde controle: $\abs{\sin t}$ )

De functie $f(t) = \abs{\sin t}$ is continu, even, $\pi$ -periodiek (en dus $2\pi$ -periodiek) en stuksgewijs $C^1$ . Het even zijn doodt de $b_n$ ; $a_0 = \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi} \abs{\sin t}\dd t = \frac4\pi$ ; en voor $n \geq 1$ geeft de omzetting van een product in een som

a_n = \frac2\pi\int_0^\pi \sin t\cos nt\,\dd t = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\bigl(\sin(1+n)t + \sin(1-n)t\bigr)\dd t = \frac2\pi\cdot\frac{1 + \cos n\pi}{1 - n^2}

voor $n \neq 1$ (en $a_1 = 0$ rechtstreeks): nul voor oneven $n$ , en $a_{2k} = \frac{-4}{\pi(4k^2-1)}$ . Volgens Stelling 14.10 (1) is de convergentie normaal, en geldt

\abs{\sin t} = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi} \sum_{k\geq1}\frac{\cos(2kt)}{4k^2 - 1} \qquad (t \in \R) .

Ingebouwde controle in $t = 0$ : de identiteit eist dat $\sum_{k\geq1}\frac{1}{4k^2-1} = \frac12$ , wat een telescopische som bevestigt:

\sum_{k\geq1}\frac{1}{4k^2-1} = \frac12\sum_{k\geq1}\Bigl(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\Bigr) = \frac12 . \checkmark

Het inzicht om te onthouden: het spectrum van $\abs{\sin}$ leeft uitsluitend op de even frequenties — een sinus gelijkrichten verdubbelt zijn frequentie-inhoud, en daarom brommen dubbelfasige gelijkrichters op $100$ of $120$ hertz, tweemaal de netfrequentie.

Voorbeeld 14.14 (Parseval als rekenmachine)

Parseval maakt van ontwikkelingen bij de vleet numerieke reeksen. Pas haar toe op $f(t) = \abs t$ (Oefening 14.2: $a_0 = \pi$ , $a_n = \frac{-4}{\pi n^2}$ voor oneven $n$ , de rest nul):

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^2\,\dd t = \frac{\pi^2}{3} = \frac{a_0^2}{4} + \frac12\sum_{n \text{ oneven}} a_n^2 = \frac{\pi^2}{4} + \frac{8}{\pi^2}\sum_{n\text{ oneven}}\frac{1}{n^4} ,

waaruit

\sum_{n\text{ oneven}}\frac{1}{n^4} = \frac{\pi^2}{8}\Bigl(\frac{\pi^2}{3} - \frac{\pi^2}{4}\Bigr) = \frac{\pi^4}{96} .

Kruiscontrole met Oefening 14.3: $\sum\frac1{n^4}$ in oneven en even delen splitsen geeft de boekhouding $S = S_{\mathrm{oneven}} + \frac{S}{16}$ in $\zeta$ -stijl, dus $S = \frac{16}{15}\cdot\frac{\pi^4}{96} = \frac{\pi^4}{90}$ — precies de waarde die daar met een andere functie werd gevonden. Twee ontwikkelingen, één getal: die overeenstemming is de isometrie van Parseval aan het werk. Het inzicht om te onthouden: elke nieuwe Fourierontwikkeling is een machine die reeksidentiteiten voortbrengt; Deel II van de weekendopgave legt uit waarom de machine zichzelf nooit kan tegenspreken.

De blokgolf (grijs) en de Fourierpartiaalsommen S_1 (blauw) en S_9 (rood): convergentie in elk continuïteitspunt, maar een blijvende overshoot van 9\% nabij de sprongen — het Gibbs-fenomeen. Uniforme convergentie faalt precies omdat de limiet discontinu is. — De blokgolf (grijs) en de Fourierpartiaalsommen $S_1$ (blauw) en $S_9$ (rood): convergentie in elk continuïteitspunt, maar een blijvende overshoot van $\sim 9\%$ nabij de sprongen — het *Gibbs-fenomeen*. Uniforme convergentie faalt precies omdat de limiet discontinu is.

Voorbeeld 14.15 (Translatie en modulatie)

Twee regels van één regel lang brengen uit één ontwikkeling vele andere voort. Voor $a \in \R$ geeft de substitutie $s = t - a$

c_n\bigl(f(\cdot - a)\bigr) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t - a)\eu^{-\iu nt}\dd t = \eu^{-\iu na}\,c_n(f) \qquad\text{(translatie moduleert het spectrum)},

en rechtstreeks uit de definitie

c_n\bigl(\eu^{\iu kt}f\bigr) = c_{n-k}(f) \qquad\text{(modulatie transleert het spectrum)}.

Uitgewerkt geval: de over $\pi$ verschoven zaagtand $g(t) = f(t - \pi)$ met $f(t) = t$ heeft $b_n$ -coëfficiënten $(-1)^n\cdot\frac{2(-1)^{n+1}}{n} = -\frac2n$ : de ontwikkeling $g \sim -2\sum\frac{\sin nt}{n}$ van de zaagtand die in $0$ springt in plaats van in $\pi$ — zonder één integraal opnieuw te berekenen. Het inzicht om te onthouden: tijdsverschuivingen draaien alleen aan fasen, nooit aan amplituden ( $\abs{c_n}$ is invariant onder verschuiving), en daarom zijn energie (Parseval) en convergentieklasse eigenschappen van de vorm van het signaal, niet van waar de klok begint.

Opmerking 14.16 (Klassieke valkuilen)

(i) Drie convergenties, drie munteenheden: puntsgewijs (Dirichlet: vereist stuksgewijs $C^1$ , betaalt in elke sprong het middelpunt — nooit een eenzijdige waarde), uniform (vereist een continue limiet; onmogelijk over een sprong heen, en Gibbs is het zichtbare symptoom) en in kwadratisch gemiddelde (Parseval: het robuustst, blind voor afzonderlijke punten). Noem altijd welke je beweert. (ii) Geen termsgewijze differentiatie als vanzelf: de zaagtandreeks van Voorbeeld 14.12 term voor term differentiëren levert $\sum 2(-1)^{n+1}\cos nt$ op, waarvan de termen niet eens naar $0$ streven — de overdrachtsstellingen van het hoofdstuk over rijen en reeksen van functies eisen uniforme convergentie van de afgeleide reeks, en die vernietigt de sprong. Eerst gladheid, dan differentiëren (Oefening 14.6 is het woordenboek). (iii) Symmetrische partiaalsommen: de stelling van Dirichlet betreft $S_N = \sum_{-N}^{N}$ ; herschikken of eerst één kant sommeren kan divergentie in convergentie veranderen en terug. (iv) Verschuivende normalisatie: de afspraken verschillen van boek tot boek ( $\frac{1}{2\pi}$ of $\frac1\pi$ ervoor, periode $2\pi$ of $1$ ); de betrouwbare invarianten zijn de orthonormaliteitsrelaties — herbereken $\langle e_m, e_n\rangle$ in de afspraak die voorligt voordat je een formule vertrouwt.

Opmerking 14.17 (Waar dit wordt gebruikt)

Parseval is de kiem van de $L^2$ -theorie van de Fourierreeksen: het volume van bachelorjaar 3 maakt het beeld af (de exponentiëlen vormen een hilbertbasis van $L^2$ , en de afbeelding $f \mapsto (c_n)$ is een bijectieve isometrie). Binnen dit volume bewijst de weekendopgave de stelling van Fejér — de Cesàro-gemiddelden van de Fourierreeks convergeren uniform voor elke continue periodieke $f$ — die de aangenomen algemene Parseval tot stelling verheft, de trigonometrische stelling van Weierstrass oplevert en twee spectaculaire dividenden uitkeert: de gelijkverdelingsstelling van Weyl en de isoperimetrische ongelijkheid. De toegepaste wiskunde leest dit hoofdstuk dagelijks: spectra van signalen, harmonischen van trillende systemen en de snelle Fouriertransformatie (de eindige gedaante was Oefening 13.10).

Opmerking 14.18 (Vooruitblik binnen dit volume)

Drie hoofdstukken voeren een gesprek met dit hoofdstuk. Terugkijkend: het hermitische hoofdstuk leverde de meetkunde (orthonormale families, projecties, Bessel), en het hoofdstuk over rijen en reeksen van functies de analyse (uniforme convergentie, overdrachtsstellingen, benaderende eenheden — de kern van Fejér verhoudt zich tot de Fourierreeksen als de veeltermen van Bernstein zich tot Weierstrass verhielden). Zijwaarts: de randtheorie van het hoofdstuk over machtreeksen keert terug via Abelsommatie, hier verwezenlijkt door de Poisson-kern (Oefening 14.12) — waarbij de straal $r$ van de schijf de rol van de sommatieparameter speelt. Vooruit: het hoofdstuk over differentiaalvergelijkingen ontbindt een periodieke aandrijving in harmonischen en voert elk daarvan aan de frequentierespons van de oscillator; resonantie treedt op wanneer een Fouriermode van de ingang met een eigenfrequentie samenvalt, en daarom zijn zijn weekendopgave en die van dit hoofdstuk twee helften van één verhaal.

De Dirichlet-kern D_8 (blauw) oscilleert en neemt negatieve waarden aan; de kern F_8 van Fejér (rood) is niet-negatief, concentreert zich in 0 en heeft gemiddelde 1: een benaderende eenheid. Positiviteit is precies wat de Dirichlet-kern mist, en wat de stelling van Fejér in de weekendopgave onvoorwaardelijk maakt. — De Dirichlet-kern $D_8$ (blauw) oscilleert en neemt negatieve waarden aan; de kern $F_8$ van Fejér (rood) is niet-negatief, concentreert zich in $0$ en heeft gemiddelde $1$ : een *benaderende eenheid*. Positiviteit is precies wat de Dirichlet-kern mist, en wat de stelling van Fejér in de weekendopgave onvoorwaardelijk maakt.

14.3 Oefeningen

Oefening 14.1 ★

Bereken de Fouriercoëfficiënten van de blokgolf ( $f = -1$ op $\intoo{-\pi}{0}$ , $+1$ op $\intoo{0}{\pi}$ ), formuleer het besluit van Dirichlet in $t = \frac\pi2$ en in de sprong $t = 0$ , en vind de reeks van Leibniz terug.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.1.

Het oneven zijn doodt de $a_n$ . Voor $n \geq 1$ :

b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \sin nt\,\dd t = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{1 - (-1)^n}{n} = \begin{cases} \frac{4}{\pi n} & n \text{ oneven},\\ 0 & n \text{ even}. \end{cases}

Dus $S(f)(t) = \frac{4}{\pi}\sum_{k\geq0} \frac{\sin\bigl((2k+1)t \bigr)}{2k+1}$ . Dirichlet in $t = \frac\pi2$ (een continuïteitspunt, waarde $1$ ): $\sin\bigl((2k+1)\frac\pi2\bigr) = (-1)^k$ , wat geeft

1 = \frac4\pi \sum_{k\geq0}\frac{(-1)^k}{2k+1} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{k\geq0}\frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{\pi}{4} \quad\text{(Leibniz)}.

In de sprong $t = 0$ : de reeks sommeert tot $0 = \frac{f(0^+) + f(0^-)}{2}$ , zoals Dirichlet voorschrijft (elke term verdwijnt: dat klopt).

Oefening 14.2 ★

Ontwikkel $f(t) = \abs t$ ( $\abs t \leq \pi$ , $2\pi$ -periodiek) in Fourierreeks; verantwoord de normale convergentie; evalueer in $t = 0$ om $\sum_{k\geq0}\frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$ te verkrijgen, en leid daaruit Basel opnieuw af.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.2.

Het even zijn doodt de $b_n$ ; $a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\abs t\,\dd t = \pi$ , en voor $n \geq 1$ :

a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi t\cos nt\,\dd t = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{(-1)^n - 1}{n^2} = \begin{cases} -\frac{4}{\pi n^2} & n \text{ oneven},\\ 0 & n \text{ even}, \end{cases}

(één partiële integratie). Bijgevolg is

\abs t = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\sum_{k\geq0} \frac{\cos\bigl((2k+1)t\bigr)}{(2k+1)^2} ,

met normale convergentie ( $\sum (2k+1)^{-2} < \infty$ ) — zoals Stelling 14.10 (1) voor deze continue, stuksgewijs $C^1$ -functie voorspelt. In $t = 0$ :

0 = \frac\pi2 - \frac4\pi\sum_{k\geq0}\frac{1}{(2k+1)^2} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{k\geq0}\frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{8} .

$\sum \frac{1}{n^2}$ in oneven en even delen splitsen geeft $S = \frac{\pi^2}{8} + \frac S4$ , dus $S = \frac{\pi^2}{6}$ : opnieuw Basel.

Oefening 14.3 ★

Ontwikkel $f(t) = t^2$ ( $\abs t \leq \pi$ ) en leid af dat

\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}, \qquad \sum_{n\geq1}\frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90} \quad\text{(Parseval)}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.3.

Even zijn: $b_n = 0$ ; $a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^2 = \frac{2\pi^2}{3}$ ; twee partiële integraties geven $a_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}$ ( $n \geq 1$ ). Bijgevolg is

t^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n\geq1} \frac{(-1)^n}{n^2}\cos nt \qquad (\abs t \leq \pi),

normaal convergent. In $t = 0$ : $0 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum\frac{(-1)^n}{n^2}$ , dat wil zeggen $\sum_{n\geq1} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}$ . Parseval:

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^4\,\dd t = \frac{\pi^4}{5} = \frac{a_0^2}{4} + \frac12\sum_{n\geq1} a_n^2 = \frac{\pi^4}{9} + 8\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^4} ,

dus $\sum \frac{1}{n^4} = \frac18\bigl(\frac{\pi^4}{5} - \frac{\pi^4}{9}\bigr) = \frac{\pi^4}{90}$ .

Oefening 14.4 ★★

Zij $f$ continu en $2\pi$ -periodiek met $c_n(f) = 0$ voor alle $n$ . Bewijs dat $f = 0$ (Parseval — voor welke klasse is zij hier bewezen? verantwoord dat continuïteit plus stuksgewijs $C^1$ mag vervallen door de algemene Parseval aan te nemen, of geef het dichtheidsargument in grote lijnen).

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.4.

Is $f$ bovendien stuksgewijs $C^1$ , dan geeft Parseval (bewezen) dat $\norm f_2^2 = \sum\abs{c_n}^2 = 0$ , en de strikte positiviteit van de integraal van de continue $\abs f^2$ dwingt $f = 0$ af.

Voor louter continue $f$ neemt men de algemene Parseval aan: hetzelfde bewijs van één regel. (Grote lijnen van de weg via dichtheid: trigonometrische benadering van het type Fejér–Weierstrass toont dat de trigonometrische veeltermen $\norm\cdot_2$ -dicht liggen in de continue periodieke functies; omdat $f$ loodrecht staat op alle, is $\norm f_2^2 = \langle f, f - P\rangle \leq \norm f_2\norm{f - P}_2$ voor benaderingen $P$ , wat $\norm f_2 = 0$ afdwingt.)

Oefening 14.5 ★★

Ontwikkel voor $\alpha \notin \Z$ de functie $f(t) = \cos(\alpha t)$ ( $\abs t \leq \pi$ ) en leid de splitsing in partieelbreuken van de cotangens af:

\pi\cot(\pi\alpha) = \frac{1}{\alpha} + \sum_{n\geq1} \frac{2\alpha}{\alpha^2 - n^2} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.5.

Even zijn: $b_n = 0$ ;

a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi \cos(\alpha t)\cos(nt)\,\dd t = \frac{2}{\pi}\cdot \frac{(-1)^n\,\alpha\sin(\pi\alpha)}{\alpha^2 - n^2}

(product in som omzetten, dan integreren; $a_0 = \frac{2\sin(\pi\alpha)}{\pi\alpha}$ ). Dirichlet in $t = \pi$ (een continuïteitspunt van de periodieke uitbreiding, waarvan de eenzijdige waarden wegens het even zijn samenvallen):

\cos(\pi\alpha) = \frac{\sin(\pi\alpha)}{\pi\alpha} + \sum_{n\geq1} \frac{2\alpha\sin(\pi\alpha)}{\pi(\alpha^2 - n^2)}\,(-1)^n\cos(n\pi) = \frac{\sin(\pi\alpha)}{\pi}\Bigl(\frac{1}{\alpha} + \sum_{n\geq1}\frac{2\alpha}{\alpha^2 - n^2}\Bigr),

met $(-1)^n\cos n\pi = 1$ . Delen door $\sin(\pi\alpha)/\pi$ geeft de ontwikkeling van de cotangens.

Oefening 14.6 ★★

Bewijs dat als $f$ $2\pi$ -periodiek en van klasse $C^k$ is met $f^{(k)}$ stuksgewijs continu, dan $c_n(f) = O\bigl(\abs n^{-k}\bigr)$ : gladheid van het signaal $=$ verval van zijn spectrum.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.6.

Door $c_n(f') = \iu n\,c_n(f)$ $k$ maal te herhalen (partiële integratie over de $C^{k}$ -stukken, met passende randwaarden): $c_n(f^{(k)}) = (\iu n)^k c_n(f)$ . De coëfficiënten van de stuksgewijs continue $f^{(k)}$ zijn begrensd (streven zelfs naar $0$ , Bessel):

\abs{c_n(f)} = \frac{\abs{c_n(f^{(k)})}}{\abs n^k} = O\bigl(\abs n^{-k}\bigr) .

Oefening 14.7 ★★★

(Ongelijkheid van Wirtinger) Zij $f$ van klasse $C^1$ , $2\pi$ -periodiek, met $\int_{-\pi}^{\pi} f = 0$ . Bewijs dat

\int_{-\pi}^{\pi} \abs{f}^2 \leq \int_{-\pi}^{\pi} \abs{f'}^2 ,

met gelijkheid dan en slechts dan als $f(t) = a\cos t + b\sin t$ . (Parseval op beide leden; vergelijk $\abs{c_n}^2$ en $n^2\abs{c_n}^2$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.7.

Parseval voor $f$ en voor $f'$ (beide geoorloofd: $f$ is van klasse $C^1$ en $f'$ stuksgewijs continu — zelfs continu):

\frac{1}{2\pi}\int \abs f^2 = \sum_{n\neq0} \abs{c_n}^2 \quad (c_0 = 0 \text{ wegens het nulgemiddelde}), \qquad \frac{1}{2\pi}\int \abs{f'}^2 = \sum_{n\neq0} n^2\abs{c_n}^2 .

Term voor term is $n^2\abs{c_n}^2 \geq \abs{c_n}^2$ voor $\abs n \geq 1$ : de ongelijkheid volgt. Gelijkheid dwingt $(n^2 - 1)\abs{c_n}^2 = 0$ af voor alle $n$ , dat wil zeggen $c_n = 0$ voor $\abs n \geq 2$ : $f(t) = c_1\eu^{\iu t} + c_{-1}\eu^{-\iu t} = a\cos t + b\sin t$ (reële vorm); omgekeerd geven zulke $f$ gelijkheid.

Oefening 14.8 ★★★

(De constante van Gibbs) Evalueer voor de blokgolf van Oefening 14.1 de partiaalsom in $x_N = \frac{\pi}{2N}$ : toon aan, met $u_k = \frac{(2k+1)\pi}{2N}$ en $\Delta u = \frac{\pi}{N}$ , dat

S_{2N-1}\Bigl(\frac{\pi}{2N}\Bigr) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1} \frac{\sin u_k}{2k+1} = \frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1} \frac{\sin u_k}{u_k}\,\Delta u \xrightarrow[N\to\infty]{} \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\frac{\sin u}{u}\,\dd u \approx 1.179 :

een Riemannsom van $\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\sin u}{u}$ op $\intcc{0}{\pi}$ in de middelpunten. Besluit dat de overshoot boven de sprongwaarde $1$ niet verdwijnt als $N \to \infty$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.8.

Volgens Oefening 14.1 is $S_{2N-1}(x) = \frac4\pi\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin((2k+1)x)}{2k+1}$ . In $x_N = \frac{\pi}{2N}$ , met $u_k = (2k+1)x_N = \frac{(2k+1)\pi}{2N}$ :

S_{2N-1}(x_N) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin u_k}{2k+1} = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin u_k}{u_k}\cdot \frac{u_k}{2k+1} = \frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin u_k}{u_k}\cdot \frac{\pi}{N},

want $\frac{u_k}{2k+1} = \frac{\pi}{2N}$ . De punten $u_k$ zijn de middelpunten van de $N$ deelintervallen van $\intcc{0}{\pi}$ met lengte $\frac{\pi}{N}$ : de som is een Riemannsom in de middelpunten van de continue functie $u \mapsto \frac{\sin u}{u}$ , en convergeert dus naar

\frac{2}{\pi}\int_0^\pi \frac{\sin u}{u}\,\dd u \approx \frac{2}{\pi}\times 1.8519 \approx 1.179 .

De partiaalsommen nabij de sprong schieten voor altijd $\approx 18\%$ van de halve sprong boven de waarde $1$ uit: het fenomeen van Gibbs, gekwantificeerd.

Oefening 14.9 ★

Ontwikkel $\cos^3 t$ en $\sin^2 t\,\cos t$ in Fourierreeks (lineariseer; een trigonometrische veelterm is haar eigen Fourierreeks, wegens de eenduidigheid van de coëfficiënten). Wat zijn $c_n$ , $a_n$ en $b_n$ in elk geval?

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.9.

Uit $\cos 3t = 4\cos^3t - 3\cos t$ :

\cos^3 t = \frac{3\cos t + \cos 3t}{4}, \qquad \sin^2t\,\cos t = \cos t - \cos^3 t = \frac{\cos t - \cos 3t}{4} .

Elk is een trigonometrische veelterm en dus gelijk aan haar eigen Fourierreeks (eenduidigheid van de coëfficiënten: twee ontwikkelingen zouden verschillen met een trigonometrische veelterm waarvan alle coëfficiënten nul zijn). Voor $\cos^3t$ : $a_1 = \frac34$ , $a_3 = \frac14$ , alle andere $a_n$ en alle $b_n$ nul; $c_{\pm1} = \frac38$ , $c_{\pm3} = \frac18$ . Voor $\sin^2t\cos t$ : $a_1 = \frac14$ , $a_3 = -\frac14$ ; $c_{\pm1} = \frac18$ , $c_{\pm3} = -\frac18$ .

Oefening 14.10 ★★

Zij $a > 0$ en $f(t) = \eu^{at}$ op $\intoc{-\pi}{\pi}$ , $2\pi$ -periodiek uitgebreid. Bereken

c_n(f) = \frac{(-1)^n\sinh(a\pi)}{\pi(a - \iu n)} ,

pas de stelling van Dirichlet toe in de sprong $t = \pi$ , en leid de splitsing in partieelbreuken van de hyperbolische cotangens af:

\coth(\pi a) = \frac{1}{\pi a} + \sum_{n\geq1} \frac{2a}{\pi(a^2 + n^2)} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.10.

Rechtstreekse berekening:

c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\eu^{(a - \iu n)t}\dd t = \frac{\eu^{(a-\iu n)\pi} - \eu^{-(a - \iu n)\pi}} {2\pi(a - \iu n)} = \frac{(-1)^n\sinh(a\pi)}{\pi(a - \iu n)} ,

met $\eu^{\pm\iu n\pi} = (-1)^n$ . In $t = \pi$ springt de periodieke uitbreiding van $\eu^{a\pi}$ naar $\eu^{-a\pi}$ ; Dirichlet (symmetrische partiaalsommen) geeft

\cosh(a\pi) = \sum_{n\in\Z}(-1)^n c_n\, = \frac{\sinh(a\pi)}{\pi}\Bigl(\frac1a + \sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{1}{a - \iu n} + \frac{1}{a + \iu n}\Bigr)\Bigr) = \frac{\sinh(a\pi)}{\pi}\Bigl(\frac1a + \sum_{n\geq1}\frac{2a}{a^2 + n^2}\Bigr) ,

waarbij de imaginaire delen van de gepaarde termen wegvallen. Deel door $\sinh(a\pi)$ :

\coth(\pi a) = \frac{1}{\pi a} + \sum_{n\geq1}\frac{2a}{\pi(a^2 + n^2)} ,

de hyperbolische tweelingzus van Oefening 14.5.

Oefening 14.11 ★★

(Convolutie) Definieer voor continue, $2\pi$ -periodieke $f, g$

(f * g)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x - t)\,g(t)\, \dd t .

Toon aan dat $f * g = g * f$ , dat $c_n(f*g) = c_n(f)\,c_n(g)$ (om de twee integralen van een continue integrand te verwisselen, vergelijk de twee functies van de bovengrens: beide verdwijnen in het linkerrandpunt en hebben dezelfde afgeleide, wegens continuïteit en differentiatie onder het integraalteken), en dat $S_N(f) = f * D_N$ voor de Dirichlet-kern. (De Fejér-gemiddelden van de weekendopgave zijn eveneens convoluties, $\sigma_N(f) = f * F_N$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.11.

Commutativiteit: substitueer $s = x - t$ en gebruik de periodiciteit van de integrand. Voor $c_n(f * g)$ is de integrand $(x, t) \mapsto f(x-t)g(t)\eu^{-\iu nx}$ continu; de twee herhaalde integralen stemmen overeen (beide verdwijnen, als functies van de bovengrens van de buitenste veranderlijke, in het linkerrandpunt en hebben dezelfde afgeleide — continuïteit plus Stelling 9.10 rechtvaardigen het differentiëren van de herhaalde integraal). Bijgevolg is

c_n(f*g) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} g(t)\,\eu^{-\iu nt} \Bigl(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x-t)\,\eu^{-\iu n(x-t)}\dd x\Bigr)\dd t = c_n(f)\,c_n(g),

waarbij de binnenste integraal voor elke $t$ gelijk is aan $c_n(f)$ (substitutie en periodiciteit). Ten slotte zegt Lemma 14.5 dat $S_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int f(x+u)D_N(u)\dd u$ ; de substitutie $u \mapsto -t$ en het even zijn van $D_N$ maken daar $(f * D_N)(x)$ van.

Oefening 14.12 ★★★

(Poisson-kern: Abelgemiddelden van Fourierreeksen) Zet voor $0 \leq r < 1$ de functie $P_r(t) = \sum_{n\in\Z} r^{\abs n}\eu^{\iu nt}$ .

Sommeer de twee meetkundige reeksen en toon aan dat

$P_r(t) = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos t + r^2} > 0, \qquad \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}P_r = 1 .$
Toon aan dat voor $\delta \leq \abs t \leq \pi$ geldt $P_r(t) \leq \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\delta + r^2} \to 0$ als $r \to 1^-$ , uniform.
Leid af dat voor elke continue, $2\pi$ -periodieke $f$ de Abelgemiddelden $(f * P_r)(x) = \sum_n r^{\abs n}c_n(f)\,\eu^{\iu nx}$ uniform naar $f$ convergeren als $r \to 1^-$ — de zusterversie met continue parameter van de stelling van Fejér, en de Fouriergedaante van de Abelsommatie uit het hoofdstuk over machtreeksen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.12.

Met $w = r\eu^{\iu t}$ :

$P_r(t) = 1 + 2\,\Re\frac{w}{1 - w} = \Re\frac{1 + w}{1 - w} = \frac{1 - \abs w^2}{\abs{1 - w}^2} = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos t + r^2} > 0 .$

Gemiddelde $1$ : termsgewijze integratie van de normaal convergente reeks houdt alleen $n = 0$ over.
Voor $\delta \leq \abs t \leq \pi$ is $\cos t \leq \cos\delta$ , dus $P_r(t) \leq \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\delta + r^2}$ , waarvan de noemer naar $2 - 2\cos\delta > 0$ streeft terwijl de teller naar $0$ streeft: uniforme convergentie naar $0$ buiten elke omgeving van $0$ .
Termsgewijze integratie (normale convergentie in $t$ ) geeft $(f * P_r)(x) = \sum_n r^{\abs n}c_n(f)\eu^{\iu nx}$ . Het argument met de benaderende eenheid: met gemiddelde $1$ en positiviteit is

$\abs{(f*P_r)(x) - f(x)} \leq \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \abs{f(x-t) - f(x)}\,P_r(t)\,\dd t ,$

gesplitst bij $\abs t = \delta$ : hoogstens $\varepsilon$ (Heine) plus $2\norm f_\infty\sup_{\delta\leq\abs t\leq\pi}P_r \to \varepsilon$ : uniforme convergentie als $r \to 1^-$ . Dit is Abelsommatie van de Fourierreeks — de Fouriertweelingzus van de randtheorie uit het hoofdstuk over machtreeksen.

14.4 Probleem: de stelling van Fejér en haar dividenden

Probleem 14.1

De stelling van Dirichlet heeft $f$ stuksgewijs $C^1$ nodig; voor louter continue $f$ kunnen de partiaalsommen $S_N(f)$ zich misdragen. Fejérs ontdekking: hun Cesàro-gemiddelden nooit. De motor is de positiviteit van de kern van Fejér, en de oogst is enorm: uniforme trigonometrische benadering (Weierstrass), eenduidigheid van de Fouriercoëfficiënten, Parseval voor elke functie van dit hoofdstuk (waarmee het “aangenomen” in Stelling 14.10 verdwijnt), de gelijkverdelingsstelling van Weyl, en — als kroon op een eeuw meetkunde — de isoperimetrische ongelijkheid. Overal is $f$ $2\pi$ -periodiek en stuksgewijs continu, en

\sigma_N(f) = \frac{S_0(f) + S_1(f) + \dots + S_{N-1}(f)}{N} .

Deel I — De kern van Fejér.

Toon aan dat $\sigma_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x+u)\,F_N(u)\,\dd u$ met $F_N = \frac{D_0 + \dots + D_{N-1}}{N}$ , en dat $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F_N = 1$ .
Bewijs de gesloten vorm, voor $u \notin 2\pi\Z$ :

$F_N(u) = \frac{1}{N}\, \frac{\sin^2\bigl(\frac{Nu}{2}\bigr)} {\sin^2\bigl(\frac u2\bigr)} \;\geq\; 0$

(sommeer $\sin\bigl((n+\frac12)u\bigr)$ als het imaginaire deel van een meetkundige reeks).
Toon de concentratieschatting aan: voor $0 < \delta \leq \abs u \leq \pi$ is

$F_N(u) \leq \frac{1}{N\sin^2\frac\delta2} \xrightarrow[N\to\infty]{} 0 \quad\text{uniform} :$

$(F_N)$ is een positieve benaderende eenheid.
(Stelling van Fejér) Bewijs: is $f$ continu en $2\pi$ -periodiek, dan $\sigma_N(f) \to f$ uniform op $\R$ (splits de integraal van $\bigl(f(x+u) - f(x)\bigr)F_N(u)$ bij $\abs u = \delta$ ; gebruik Heine en de vragen 1–3).
Toon voor stuksgewijs continue $f$ de puntsgewijze versie $\sigma_N(f)(x) \to \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}$ in elke $x$ aan, en de uniforme grens $\norm{\sigma_N(f)}_\infty \leq \norm f_\infty$ (positiviteit!).

Deel II — Weierstrass, eenduidigheid, Parseval.

(Trigonometrische Weierstrass) Leid af: elke continue $2\pi$ -periodieke functie is een uniforme limiet van trigonometrische veeltermen.
(Eenduidigheid) Leid af: een continue $f$ met $c_n(f) = 0$ voor alle $n$ is identiek nul — twee continue periodieke functies met dezelfde Fouriercoëfficiënten vallen samen (Oefening 14.4, nu zonder iets aan te nemen).
(Parseval, continu geval) Bewijs met de projectie-eigenschap van $S_N$ (Propositie 14.2) en $\sigma_Nf \in \mathcal T_{N-1} \subseteq \mathcal T_N$ dat

$\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_\infty \xrightarrow[N\to\infty]{} 0 ,$

en besluit tot de identiteit van Parseval voor elke continue $2\pi$ -periodieke $f$ .
(Parseval, stuksgewijs continu geval) Construeer, gegeven stuksgewijs continue $f$ en $\varepsilon > 0$ , een continue periodieke $g$ met $\norm{f - g}_2 \leq \varepsilon$ (vervang $f$ door een affiene interpolatie op piepkleine intervallen rond de sprongen), en leid af dat $\norm{f - S_Nf}_2 \to 0$ (gebruik Bessel: $\norm{S_Nh}_2 \leq \norm h_2$ ): Parseval geldt in de volle algemeenheid van Stelling 14.10 — het “aangenomen” is verdwenen.
(Geen Gibbs bij Fejér) Zet dit af tegen Oefening 14.8: toon aan dat voor de blokgolf $f$ geldt $\abs{\sigma_N(f)} \leq 1$ overal en voor elke $N$ — middelen volgens Cesàro wist de overshoot uit die $S_N$ achtervolgt. Leg in één zin uit welke eigenschap van $F_N$ hiervoor verantwoordelijk is.

Deel III — Snelheden.

Bewijs de twee grenzen voor de kern, voor $0 < \abs u \leq \pi$ :

$F_N(u) \leq N, \qquad F_N(u) \leq \frac{\pi^2}{N u^2}$

(voor de eerste: $\abs{\sin N\theta} \leq N\abs{\sin\theta}$ met inductie; voor de tweede: $\sin\frac u2 \geq \frac{u}{\pi}$ op $\intcc{0}{\pi}$ ).
Leid de schatting van het eerste moment af,

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs u\,F_N(u)\,\dd u \;\leq\; \frac{C\,\ln N}{N} \qquad (N \geq 2)$

voor een expliciete constante (splits bij $\abs u = \frac1N$ ).
Besluit: is $f$ $L$ -lipschitz en $2\pi$ -periodiek, dan is

$\norm{\sigma_N f - f}_\infty \leq \frac{C\,L\ln N}{N} .$
(Verzadiging) Bereken $\sigma_N(e_1)$ voor $e_1(t) = \eu^{\iu t}$ en toon aan dat $\norm{\sigma_Ne_1 - e_1}_\infty = \frac1N$ : zelfs voor de gladste functies convergeert Fejér niet sneller dan $\frac1N$ — het exacte analogon van de verzadiging van Bernstein in de weekendopgave van het hoofdstuk over rijen en reeksen van functies.
(Lokalisatie) Toon aan: verdwijnt $f$ (stuksgewijs continu) op $\intoo{x - \delta}{x + \delta}$ , dan is $\sigma_N(f)(x) \to 0$ , hoe wild $f$ elders ook is — de convergentie van de gemiddelden in $x$ ziet alleen $f$ nabij $x$ .

Deel IV — De gelijkverdelingsstelling van Weyl. Een rij $(x_n)_{n\geq1}$ in $\intco{0}{1}$ heet gelijkverdeeld wanneer voor elk interval $\intcc{a}{b} \subseteq \intcc{0}{1}$ geldt

\frac{\#\{n \leq N : x_n \in \intcc ab\}}{N} \xrightarrow[N\to\infty]{} b - a .

Toon aan dat $(x_n)$ gelijkverdeeld is zodra $\frac1N\sum_{n\leq N}f(x_n) \to \int_0^1 f$ voor elke continue $1$ -periodieke $f$ (klem de indicator van $\intcc ab$ tussen twee continue, stuksgewijs affiene functies waarvan de integralen $\varepsilon$ verschillen).
(Criterium van Weyl, voldoende voorwaarde) Neem aan dat

$\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\eu^{2\iu\pi kx_n} \xrightarrow[N\to\infty]{} 0 \qquad\text{voor elke } k \in \Z\setminus\{0\} .$

Toon aan dat $\frac1N\sum f(x_n) \to \int_0^1f$ , eerst voor trigonometrische veeltermen, dan voor alle continue $1$ -periodieke $f$ dankzij vraag 6 (overgezet naar periode $1$ ): met vraag 16 is $(x_n)$ gelijkverdeeld.
Zij $\alpha$ irrationaal en $x_n = \{n\alpha\}$ (het gebroken deel). Begrens de meetkundige som

$\Bigl|\sum_{n=1}^{N}\eu^{2\iu\pi kn\alpha}\Bigr| \leq \frac{2}{\abs{1 - \eu^{2\iu\pi k\alpha}}} \qquad (k \neq 0),$

en besluit tot de stelling van Weyl: $(\{n\alpha\})$ is gelijkverdeeld in $\intco{0}{1}$ .
Leid af dat $(\{n\alpha\})$ dicht ligt in $\intcc{0}{1}$ voor irrationale $\alpha$ , en leg in één zin uit waarom gelijkverdeling strikt sterker is dan dichtheid.
(Begincijfers) Bewijs dat het aandeel van de gehele getallen $n \leq N$ waarvoor $2^n$ als eerste (decimale) cijfer een $1$ heeft, naar $\log_{10}2 \approx 0.301$ streeft (begincijfer $1$ betekent $\{n\log_{10}2\} \in \intco{0}{\log_{10}2}$ ; toon aan dat $\log_{10}2$ irrationaal is).

Deel V — De isoperimetrische ongelijkheid. Zij $\Gamma$ een gesloten enkelvoudige $C^1$ -kromme van lengte $L$ die een georiënteerde oppervlakte $A$ omsluit, geparametriseerd naar geschaalde booglengte: $z(t) = x(t) + \iu y(t)$ , $2\pi$ -periodiek, met $\abs{z'(t)} = \frac{L}{2\pi}$ constant; de omsloten oppervlakte is

A = \frac12\int_0^{2\pi}\bigl(x\,y' - y\,x'\bigr)\dd t = \frac{1}{2}\,\Im\int_0^{2\pi}\conj{z}\,z'\,\dd t

(hier als definitie van de georiënteerde oppervlakte genomen; het hoofdstuk over meervoudige integralen bewijst dat zij met de intuïtieve overeenstemt, via de formule van Green).

Ontwikkel $z(t) = \sum_{n\in\Z}c_n\eu^{\iu nt}$ (de reeks van een $C^1$ -functie, normaal convergent) en bewijs met Parseval toegepast op $z'$ :

$\frac{L^2}{2\pi} = \int_0^{2\pi}\abs{z'}^2\dd t = 2\pi\sum_{n\in\Z}n^2\abs{c_n}^2 .$
Bewijs evenzo dat $A = \pi\sum_{n\in\Z} n\,\abs{c_n}^2$ (Parseval in gepolariseerde vorm: $\frac{1}{2\pi}\int\conj f g = \sum \conj{c_n(f)}c_n(g)$ , toegepast op $f = z$ , $g = z'$ ).
(Hurwitz) Besluit:

$L^2 - 4\pi A = 4\pi^2\sum_{n\in\Z} (n^2 - n)\abs{c_n}^2 \;\geq\; 0 ,$

met gelijkheid dan en slechts dan als $z(t) = c_0 + c_1\eu^{\iu t}$ — een cirkel. De isoperimetrische ongelijkheid: van alle gesloten krommen van lengte $L$ omsluit alleen de cirkel de oppervlakte $\frac{L^2}{4\pi}$ .
Verstandscontroles: ga de gelijkheid na voor de cirkel met straal $R$ en de strikte ongelijkheid voor het vierkant met zijde $a$ ; leg uit waarom $n^2 - n \geq 0$ voor elk geheel getal $n$ , ook de negatieve, en waar de constante snelheid van de parametrisering werd gebruikt.
Synthese. In telkens één zin: (i) de ene eigenschap van $F_N$ waaruit de Delen I–III voortvloeien en die $D_N$ mist; (ii) hoe de sommatie volgens Cesàro hier samenhangt met de weekendopgave van het hoofdstuk over machtreeksen (Frobenius); (iii) welk dividend alleen Weierstrass (vraag 6) gebruikte en welk de volledige Parseval nodig had; (iv) één zin over wat het volume van bachelorjaar 3 toevoegt (de volledigheid van $L^2$ : Fourierreeksen als hilbertbasis).

Oplossing

Oplossing van Probleem 14.1.

1. Lemma 14.5 middelen over $n = 0, \dots, N-1$ (lineariteit van de integraal) geeft $\sigma_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int f(x+u)F_N(u)\dd u$ ; elke $D_n$ heeft gemiddelde $1$ , dus $F_N$ heeft gemiddelde $1$ .

2. Met $\eu^{\iu u} - 1 = 2\iu\,\eu^{\iu u/2}\sin\frac u2$ :

\sum_{n=0}^{N-1}\sin\Bigl(\Bigl(n + \frac12\Bigr)u\Bigr) = \Im\Bigl[\eu^{\iu u/2}\,\frac{\eu^{\iu Nu} - 1}{\eu^{\iu u} - 1}\Bigr] = \Re\,\frac{1 - \eu^{\iu Nu}}{2\sin\frac u2} = \frac{1 - \cos Nu}{2\sin\frac u2} = \frac{\sin^2\frac{Nu}2}{\sin\frac u2} .

Delen door $N\sin\frac u2$ :

F_N(u) = \frac1N\sum_{n=0}^{N-1} \frac{\sin\bigl((n+\frac12)u\bigr)}{\sin\frac u2} = \frac{1}{N}\, \frac{\sin^2\frac{Nu}{2}}{\sin^2\frac u2} \geq 0 .

3. Op $\delta \leq \abs u \leq \pi$ is $\sin^2\frac u2 \geq \sin^2\frac\delta2$ en $\sin^2\frac{Nu}2 \leq 1$ : $F_N \leq \frac{1}{N\sin^2(\delta/2)} \to 0$ , daar uniform.

4. Wegens het gemiddelde $1$ is $\sigma_Nf(x) - f(x) = \frac{1}{2\pi}\int\bigl(f(x+u) - f(x)\bigr)F_N(u)\dd u$ . Gegeven $\varepsilon$ levert Heine een $\delta$ met $\abs{f(x+u) - f(x)} \leq \varepsilon$ voor $\abs u \leq \delta$ , uniform in $x$ . Dan geldt, met $F_N \geq 0$ en haar gemiddelde $1$ ,

\abs{\sigma_Nf(x) - f(x)} \leq \varepsilon + 2\norm f_\infty\cdot\frac{1}{2\pi} \int_{\delta\leq\abs u\leq\pi}F_N \leq \varepsilon + \frac{2\norm f_\infty}{N\sin^2\frac\delta2} \leq 2\varepsilon

voor grote $N$ , uniform in $x$ : de stelling van Fejér.

5. $F_N$ is even met gemiddelde $1$ : elke helft $\intcc{0}{\pi}$ , $\intcc{-\pi}{0}$ draagt gemiddelde $\frac12$ . Dan is

\sigma_Nf(x) - \frac{f(x^+)+f(x^-)}{2} = \frac{1}{2\pi}\int_0^\pi\bigl(f(x+u) - f(x^+)\bigr)F_N\,\dd u + \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^0\bigl(f(x+u) - f(x^-)\bigr)F_N\,\dd u ;

splits op elke helft bij $\abs u = \delta$ , waar de eenzijdige limiet $\varepsilon$ -dichtbij ligt, en laat vraag 3 het verre stuk doden: beide integralen streven naar $0$ . De grens: $F_N \geq 0$ geeft $\abs{\sigma_Nf(x)} \leq \frac{1}{2\pi}\int\abs{f(x+u)}F_N \leq \norm f_\infty$ .

6. Elke $\sigma_N(f)$ is een trigonometrische veelterm (een gemiddelde van de $S_n(f)$ , $n < N$ ), en $\sigma_N(f) \to f$ uniform: de trigonometrische stelling van Weierstrass.

7. $c_n(f) = 0$ voor alle $n$ maakt elke $S_n(f) = 0$ , en dus elke $\sigma_N(f) = 0$ ; volgens Fejér is $f = \lim\sigma_Nf = 0$ . Toegepast op een verschil: continue periodieke functies worden door hun Fouriercoëfficiënten vastgelegd.

8. $S_Nf$ is de orthogonale projectie van $f$ op $\mathcal T_N$ (Propositie 14.2) en minimaliseert dus $\norm{f - P}_2$ over $P \in \mathcal T_N$ ; omdat $\sigma_Nf \in \mathcal T_{N-1} \subseteq \mathcal T_N$ :

\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_\infty \to 0

(de middelste ongelijkheid omdat het gemiddelde van $\abs\cdot^2$ hoogstens het kwadraat van het supremum is). Pythagoras $\norm f_2^2 = \sum_{\abs n\leq N}\abs{c_n}^2 + \norm{f - S_Nf}_2^2$ gaat dan over in de limiet: Parseval voor elke continue periodieke $f$ .

9. Zij $t_1, \dots, t_p$ de sprongen van $f$ in één periode en $M = \norm f_\infty$ . Definieer voor kleine $\eta$ de functie $g$ als $f$ buiten de intervallen $\intoo{t_j - \eta}{t_j + \eta}$ en als de affiene koorde over elk zulk interval: $g$ is continu en periodiek, $\norm g_\infty \leq M$ , en

\norm{f - g}_2^2 \leq \frac{1}{2\pi}\,p\cdot(2M)^2\cdot2\eta \leq \varepsilon^2

voor kleine $\eta$ . Bessel maakt van $S_N$ een contractie voor $\norm\cdot_2$ , dus

\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - g}_2 + \norm{g - S_Ng}_2 + \norm{S_N(g - f)}_2 \leq 2\varepsilon + \norm{g - S_Ng}_2 ,

en vraag 8 geeft $\limsup_N\norm{f - S_Nf}_2 \leq 2\varepsilon$ voor elke $\varepsilon$ : $\norm{f - S_Nf}_2 \to 0$ , en Pythagoras levert Parseval voor elke stuksgewijs continue $f$ : het “aangenomen” in Stelling 14.10 is nu een stelling.

10. De blokgolf heeft $\norm f_\infty = 1$ , dus vraag 5 geeft $\abs{\sigma_N(f)} \leq 1$ overal en voor elke $N$ — nooit een overshoot — terwijl Oefening 14.8 toont dat $\sup_xS_{2N-1}(f)(x) \to \approx 1.179$ . De ene verantwoordelijke eigenschap: $F_N \geq 0$ , zodat $\sigma_Nf(x)$ een gewogen gemiddelde van waarden van $f$ is en $\intcc{\min f}{\max f}$ nooit kan verlaten; $D_N$ neemt negatieve waarden aan, en $S_N$ kan dat dus wel.

11. $\abs{\sin N\theta} \leq N\abs{\sin\theta}$ met inductie ( $\abs{\sin(N{+}1)\theta} \leq \abs{\sin N\theta}\abs{\cos\theta} + \abs{\cos N\theta}\abs{\sin\theta} \leq (N+1)\abs{\sin\theta}$ ): met $\theta = \frac u2$ is

F_N(u) = \frac{\sin^2\frac{Nu}2}{N\sin^2\frac u2} \leq \frac{N^2\sin^2\frac u2}{N\sin^2\frac u2} = N .

De concaviteit van $\sin$ op $\intcc{0}{\frac\pi2}$ geeft $\sin\frac u2 \geq \frac{u}{\pi}$ voor $0 \leq u \leq \pi$ , dus $F_N(u) \leq \frac{1}{N(u/\pi)^2} = \frac{\pi^2}{Nu^2}$ .

12. Wegens het even zijn en de splitsing bij $\frac1N$ :

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs uF_N = \frac1\pi\int_0^\pi uF_N \leq \frac1\pi\Bigl(\int_0^{1/N}uN\,\dd u + \int_{1/N}^{\pi}\frac{\pi^2}{Nu}\,\dd u\Bigr) = \frac{1}{2\pi N} + \frac{\pi\ln(\pi N)}{N} .

Voor $N \geq 2$ : $\ln(\pi N) \leq \bigl(1 + \frac{\ln\pi}{\ln2}\bigr)\ln N \leq 2.66\ln N$ en $\frac{1}{2\pi N} \leq \frac{\ln N}{N}$ , dus het moment is $\leq \frac{9\ln N}{N}$ .

13. Voor $L$ -lipschitzfuncties $f$ :

\abs{\sigma_Nf(x) - f(x)} \leq \frac{1}{2\pi}\int\abs{f(x+u) - f(x)}F_N(u)\dd u \leq L\cdot\frac{1}{2\pi}\int\abs uF_N \leq \frac{9L\ln N}{N},

uniform in $x$ .

14. $c_0(e_1) = 0$ geeft $S_0(e_1) = 0$ , terwijl $S_n(e_1) = e_1$ voor $n \geq 1$ : $\sigma_N(e_1) = \frac{N-1}{N}e_1$ , dus $\norm{\sigma_Ne_1 - e_1}_\infty = \frac1N$ . Zelfs voor dit gehele, in bandbreedte begrensde signaal is het tempo $\frac1N$ : Fejér verzadigt, precies zoals de operator van Bernstein bij $\frac1n$ verzadigt (Voronovskaja, in de weekendopgave van het hoofdstuk over rijen en reeksen van functies).

15. Verdwijnt $f$ op $\intoo{x-\delta}{x+\delta}$ , dan is $\sigma_Nf(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{\delta \leq \abs u \leq \pi}f(x+u)F_N(u)\dd u$ , met absolute waarde hoogstens $\frac{\norm f_\infty}{N\sin^2(\delta/2)} \to 0$ : de Cesàro-gemiddelden in $x$ zien alleen $f$ nabij $x$ .

16. Kies, gegeven $\intcc ab$ en $\varepsilon$ , continue $1$ -periodieke, stuksgewijs affiene functies $\varphi^\pm$ met $\varphi^- \leq \mathbf 1_{\intcc ab} \leq \varphi^+$ en $\int_0^1(\varphi^+ - \varphi^-) \leq \varepsilon$ (trapezia met hellingen over intervallen van totale lengte $\varepsilon$ ). Dan is

\limsup_N\frac{\#\{n \leq N : x_n \in \intcc ab\}}{N} \leq \lim_N\frac1N\sum_{n\leq N}\varphi^+(x_n) = \int_0^1\varphi^+ \leq b - a + \varepsilon ,

en symmetrisch $\liminf \geq b - a - \varepsilon$ : het aandeel streeft naar $b - a$ .

17. Voor $f = \eu^{2\iu\pi k\cdot}$ met $k \neq 0$ geeft de hypothese de limiet $0 = \int_0^1f$ ; voor $k = 0$ zijn beide leden $1$ ; lineariteit handelt elke trigonometrische veelterm af. Voor continue $1$ -periodieke $f$ en $\varepsilon > 0$ levert vraag 6 (overgezet met $t = 2\pi x$ ) een trigonometrische veelterm $P$ met $\norm{f - P}_\infty \leq \varepsilon$ :

\Bigl|\frac1N\sum_{n\leq N}f(x_n) - \int_0^1f\Bigr| \leq 2\varepsilon + \Bigl|\frac1N\sum_{n\leq N}P(x_n) - \int_0^1P\Bigr| \longrightarrow 2\varepsilon .

Met vraag 16: $(x_n)$ is gelijkverdeeld.

18. Voor $k \neq 0$ en irrationale $\alpha$ is $w = \eu^{2\iu\pi k\alpha} \neq 1$ :

\Bigl|\sum_{n=1}^{N}w^n\Bigr| = \Bigl|\frac{w(w^N - 1)}{w - 1}\Bigr| \leq \frac{2}{\abs{1 - w}} ,

een grens onafhankelijk van $N$ ; delen door $N$ geeft het criterium van Weyl, en vraag 17 besluit: $(\{n\alpha\})$ is gelijkverdeeld.

19. Elk deelinterval ontvangt een asymptotisch aandeel gelijk aan zijn lengte, en in het bijzonder oneindig veel punten: $(\{n\alpha\})$ ligt dicht. Gelijkverdeling is sterker: een rij kan dicht liggen en toch bijna al haar tijd in één hoek doorbrengen (dichtheid zegt waar de rij komt, gelijkverdeling zegt hoe vaak).

20. $2^n$ heeft begincijfer $1$ dan en slechts dan als $10^m \leq 2^n < 2\cdot10^m$ voor een zekere $m$ , dat wil zeggen dan en slechts dan als $\{n\log_{10}2\} \in \intco{0}{\log_{10}2}$ . Irrationaliteit: $\log_{10}2 = \frac pq$ zou $2^q = 10^p = 2^p5^p$ geven, wat wegens de eenduidige ontbinding in priemfactoren onmogelijk is voor $p \geq 1$ . De stelling van Weyl (vraag 18 met $\alpha = \log_{10}2$ ; het halfopen interval wordt tussen gesloten intervallen van nabije lengten geklemd) geeft het aandeel $\log_{10}2 \approx 0.301$ : de begincijfers van $2^n$ volgen de wet van Benford.

21. $z$ is van klasse $C^1$ , dus haar Fourierreeks convergeert normaal met som $z$ (Stelling 14.10 (1)), en $c_n(z') = \iu n\,c_n$ . Omdat $\abs{z'} = \frac{L}{2\pi}$ constant is, geldt

\int_0^{2\pi}\abs{z'}^2\dd t = 2\pi\Bigl(\frac{L}{2\pi}\Bigr)^{\!2} = \frac{L^2}{2\pi} ,

en Parseval toegepast op de continue $z'$ geeft $\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\abs{z'}^2 = \sum_n\abs{\iu nc_n}^2$ , dat wil zeggen $\frac{L^2}{2\pi} = 2\pi\sum_n n^2\abs{c_n}^2$ .

22. De gepolariseerde Parseval $\frac{1}{2\pi}\int\conj fg = \sum\conj{c_n(f)}c_n(g)$ volgt uit Parseval toegepast op $f + g$ en $f + \iu g$ (polarisatie-identiteit), beide continu. Met $f = z$ , $g = z'$ :

A = \frac12\,\Im\int_0^{2\pi}\conj z\,z' = \pi\,\Im\sum_n\conj{c_n}(\iu n c_n) = \pi\sum_n n\abs{c_n}^2 .

23. De vragen 21–22 samen:

L^2 - 4\pi A = 4\pi^2\sum_n n^2\abs{c_n}^2 - 4\pi^2\sum_n n\abs{c_n}^2 = 4\pi^2\sum_{n\in\Z}(n^2 - n)\abs{c_n}^2 \geq 0 ,

want $n^2 - n = n(n-1) \geq 0$ voor elk geheel getal. Gelijkheid dwingt $c_n = 0$ af voor alle $n \notin \{0, 1\}$ : $z(t) = c_0 + c_1\eu^{\iu t}$ , een cirkel met middelpunt $c_0$ en straal $\abs{c_1} = \frac{L}{2\pi}$ (constante snelheid). Hurwitz’ bewijs van de isoperimetrische ongelijkheid: $A \leq \frac{L^2}{4\pi}$ , en alleen de cirkel.

24. Cirkel met straal $R$ : $L = 2\pi R$ , $A = \pi R^2$ : $L^2 = 4\pi^2R^2 = 4\pi A$ : gelijkheid. Vierkant met zijde $a$ : $L^2 = 16a^2 > 4\pi a^2 = 4\pi A$ (want $16 > 4\pi \approx 12.57$ ). Voor negatieve $n$ is $n^2 - n = n(n - 1)$ een product van twee negatieve gehele getallen: positief — achterwaarts windende modi kosten dus dubbel oppervlakte. De constante snelheid kwam binnen bij vraag 21, waar $\int\abs{z'}^2$ tot $\frac{L^2}{2\pi}$ werd omgezet; bij niet-constante snelheid geeft Cauchy–Schwarz dat $\int\abs{z'}^2 \geq \frac{(\int\abs{z'})^2}{2\pi} = \frac{L^2}{2\pi}$ , zodat de ongelijkheid overeind blijft, met de cirkel nog altijd als enig geval van gelijkheid.

25. (i) Alles vloeit voort uit $F_N \geq 0$ (samen met gemiddelde $1$ en concentratie); $D_N$ heeft gemiddelde $1$ en concentratie van oscillatie, maar geen positiviteit, en Gibbs is de prijs. (ii) Cesàro-sommeerbaarheid van de Fourierreeks impliceert haar Abelsommeerbaarheid met dezelfde som (Frobenius, bewezen in de weekendopgave van het hoofdstuk over machtreeksen) — de weg via de Poisson-kern van Oefening 14.12 is precies de methode van Abel. (iii) De stelling van Weyl had alleen uniforme benadering nodig (vraag 6); de isoperimetrische ongelijkheid had Parseval zelf nodig (vragen 8, 21–22). (iv) Het volume van bachelorjaar 3 bewijst de volledigheid: de exponentiëlen vormen een hilbertbasis van $L^2$ , Parseval wordt een isometrie van hilbertruimten, en de stelling van Fejér wordt de uitspraak dat die isometrie met positieve gemiddelden berekenbaar is.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Fouriercoëfficiënten

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst