Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Bachelor Year 2

14Fourierreeksen

Kan elk periodiek signaal heropgebouwd worden uit pure sinussen en cosinussen? Fouriers stoutmoedige “ja” creëerde een eeuw analyse. Dit hoofdstuk bewijst de twee pijlers binnen MP*-bereik: de stelling van Dirichlet (puntsgewijze reconstructie voor stuksgewijs $C^1$ -functies, via de Dirichlet-kern) en de identiteit van Parseval (de energie van een signaal is de som van de energieën van zijn harmonischen), en oogst de klassieke numerieke reeksen — Basels $\sum 1/n^2 = \pi^2/6$ voorop.

Doorheen zijn functies $2\pi$ -periodiek, stuksgewijs continu, complexwaardig; $\mathcal{C}$ duidt de continue aan.

14.1 Fouriercoëfficiënten

Definitie 14.1

De Fouriercoëfficiënten van $f$ zijn

c_n(f) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,\eu^{-\iu n t}\,\dd t \qquad (n \in \Z),

en de reële-vormcoëfficiënten $a_n = c_n + c_{-n}$ , $b_n = \iu(c_n - c_{-n})$ , zodat de Fourier-deelsommen zijn

S_N(f)(t) = \sum_{n=-N}^{N} c_n(f)\,\eu^{\iu nt} = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N}\bigl(a_n\cos nt + b_n \sin nt\bigr).

Op $\mathcal{C}$ definieer het hermitische inwendig product $\langle f, g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\conj f\,g$ : de exponentialen $e_n(t) = \eu^{\iu nt}$ zijn orthonormaal ( $\langle e_m, e_n\rangle = \delta_{mn}$ , directe berekening), en $c_n(f) = \langle e_n, f\rangle$ : Fourier-analyse is hermitische meetkunde (Hoofdstuk 13) in oneindige dimensie.

Propositie 14.2 (Ongelijkheid van Bessel)

$S_N(f)$ is de orthogonale projectie van $f$ op de ruimte $\mathcal{T}_N$ van trigonometrische veeltermen van graad $\leq N$ , en

\sum_{n=-N}^{N} \abs{c_n(f)}^2 \leq \norm f_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \abs f^2 :

de reeks $\sum \abs{c_n}^2$ convergeert, en $c_n(f) \to 0$ als $\abs n \to \infty$ (Riemann–Lebesgue voor coëfficiënten).

Bewijs. $f - S_N(f)$ is orthogonaal op elke $e_k$ , $\abs k \leq N$ ( $\langle e_k, f - S_N f\rangle = c_k - c_k = 0$ ): $S_Nf$ is de orthogonale projectie op $\mathcal{T}_N = \operatorname{Vect}(e_{-N}, \dots, e_N)$ (projectiestelling van het jaar-1-volume, letterlijk in de hermitische setting). Pythagoras: $\norm f_2^2 = \norm{S_Nf}_2^2 + \norm{f - S_Nf}_2^2 \geq \norm{S_Nf}_2^2 = \sum_{\abs n \leq N} \abs{c_n}^2$ ; laat $N \to \infty$ . ∎

Voorbeeld 14.3 (Beste benadering, gemeten)

Hoe goed benaderen lagere-graads trigonometrische veeltermen de zaagtand $f(t) = t$ (op $\intoo{-\pi}{\pi}$ ) in het kwadratisch gemiddelde? Via Propositie 14.2 is de beste graad- $N$ -benadering precies $S_N(f)$ , met gekwadrateerde fout

\norm{f - S_Nf}_2^2 = \norm f_2^2 - \sum_{\abs n\leq N}\abs{c_n}^2 .

Hier is $\norm f_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\dd t = \frac{\pi^2}{3}$ , en uit $b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$ (Voorbeeld 14.12): $\abs{c_n}^2 + \abs{c_{-n}}^2 = \frac{b_n^2}{2} = \frac{2}{n^2}$ . Dus

\norm{f - S_Nf}_2^2 = \frac{\pi^2}{3} - \sum_{n=1}^{N}\frac{2}{n^2} \qquad\text{: numeriek } 1.29,\ 0.79,\ 0.57,\ 0.44

voor $N = 1, 2, 3, 4$ — dalend, maar langzaam: de staart $\sum_{n>N}\frac2{n^2} \sim \frac2N$ wordt bestuurd door het trage $\frac1n$ -verval van de coëfficiënten, zelf de handtekening van de sprong (Oefening 14.6 achterwaarts gelezen). Slot- inzicht: Parseval verandert benaderingskwaliteit in een staart van een numerieke reeks — en voorspelt, vóór enig plaatje, dat sprongen Fourierreeksen terughoudend laten convergeren.

Methode 14.4 (Fouriercoëfficiënten efficiënt berekenen)

Vóór iets te integreren:

Pariteit: even $f$ heeft $b_n = 0$ , oneven $f$ heeft $a_n = 0$ , en de overlevende integralen herleiden tot $\frac2\pi \int_0^\pi$ — half het werk, tweemaal de betrouwbaarheid.
Trigonometrische veeltermen zijn al klaar: lineariseer producten ( $\cos^3$ , $\sin^2\cos$ , …) en lees de coëfficiënten af (Oefening 14.9); orthonormaliteit maakt elke verdere integratie overbodig.
Complexe exponentialen voor exponentialen: voor factoren $\eu^{at}$ of gedempte oscillaties, bereken $c_n$ direct — één integraal van $\eu^{(a - \iu n)t}$ wint van twee partiële integraties (Oefening 14.10).
Differentieer een bekende ontwikkeling: als $f'$ bekende coëfficiënten heeft en $f$ continu is, herstelt $c_n(f) = \frac{c_n(f')}{\iu n}$ ( $n \neq 0$ ) alles behalve $c_0$ , wat het gemiddelde is — vaak de snelste route, en legitiem precies onder de hypothesen van Stelling 14.10 (1).

14.2 Stelling van Dirichlet

Lemma 14.5 (Dirichlet-kern)

$S_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x + u)\,D_N(u)\,\dd u$ , waar

D_N(u) = \sum_{n=-N}^{N} \eu^{\iu nu} = \frac{\sin\bigl((N + \frac12)u\bigr)}{\sin\frac u2} \quad (u \notin 2\pi\Z), \qquad \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} D_N = 1 .

Bewijs. Steek de definitie van $c_n$ in $S_N$ en verwissel som en integraal (legitiem: de som is eindig):

S_N(f)(x) = \sum_{n=-N}^{N}\Bigl(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,\eu^{-\iu nt}\dd t\Bigr)\eu^{\iu nx} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sum_{n=-N}^{N}\eu^{\iu n(x-t)}\,\dd t ;

substitueer $u = t - x$ en schuif het integratiesegment terug naar $\intcc{-\pi}{\pi}$ via $2\pi$ -periodiciteit van de integrand; het symmetrische indexbereik maakt $\sum_n\eu^{-\iu nu} = D_N(u)$ . De gesloten vorm: geometrische som met verhouding $\eu^{\iu u}$ ,

D_N(u) = \eu^{-\iu Nu}\,\frac{\eu^{\iu(2N+1)u} - 1}{\eu^{\iu u} - 1} = \frac{\eu^{\iu(N + \frac12)u} - \eu^{-\iu(N+\frac12)u}} {\eu^{\iu u/2} - \eu^{-\iu u/2}} ,

wat het sinusuotiënt is. Haar gemiddelde is $1$ : alleen $n = 0$ draagt bij. ∎

Stelling 14.6 (Lemma van Riemann–Lebesgue)

Voor $g$ stuksgewijs continu op een segment, $\int_a^b g(t)\sin(\lambda t + \varphi)\,\dd t \to 0$ als $\lambda \to +\infty$ .

Bewijs. Benader $g$ uniform door stapfuncties (Stelling 10.16 is niet nodig — de elementaire stapfunctiebenadering van stuksgewijs continue functies voldoet) en integreer elke stap expliciet: elk stuk draagt $O\bigl(\frac1\lambda\bigr)$ bij, en de benaderings- fout draagt $\varepsilon(b - a)$ bij. Dit argument is volledig uitgevoerd als de laatste oefening van het integratiehoofdstuk van het jaar-1-volume; voor $C^1$ -stukken kan men in plaats daarvan partieel integreren en begrenzen met $\frac C\lambda$ . ∎

Voorbeeld 14.7 (Hoe snel sterven coëfficiënten?)

Riemann–Lebesgue zegt dat de coëfficiënten naar $0$ neigen; hun snelheid is een gladheidsmeter. Drie specimens uit dit hoofdstuk en zijn oefeningen:

\text{blokgolf: } b_n = \frac{4}{\pi n}\ (n\ \text{oneven}), \qquad \abs t : a_n = \frac{-4}{\pi n^2}\ (n\ \text{oneven}), \qquad \abs{\sin t} : a_{2k} = \frac{-4}{\pi(4k^2-1)} .

Een sprong in $f$ (blokgolf, zaagtand) laat coëfficiënten van orde $\frac1n$ over: geen normale convergentie, Gibbs-overschoot bij de sprongen. Continuïteit met een knik — een sprong alleen in $f'$ — verbetert de orde tot $\frac{1}{n^2}$ : normale convergentie, uniforme reconstructie. In het algemeen kopen $k$ afgeleiden $c_n = O(n^{-k})$ (Oefening 14.6), en omgekeerd dwingt een spectrum dat sneller vervalt dan elke macht $f$ tot $C^\infty$ (term voor term differentiëren, nu legitiem). Slot- inzicht: regulariteit van het signaal en verval van het spectrum zijn dezelfde informatie — een ingenieur leest de ene af van de helling van de andere zonder ooit de functie te tekenen.

Stelling 14.8 (Dirichlet)

Laat $f$ $2\pi$ -periodiek en stuksgewijs $C^1$ zijn. Dan voor elke $x$ ,

S_N(f)(x) \xrightarrow[N \to \infty]{} \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}

(het gemiddelde van de eenzijdige limieten) — in het bijzonder $S_N(f)(x) \to f(x)$ in elk continuïteitspunt.

Bewijs. Via het kernlemma en haar eenheidsgemiddelde, de integraal splitsend in $u > 0$ en $u < 0$ helften (elk van gemiddelde $\frac12$ ):

\begin{align*} S_N(f)(x) - \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2} &= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi} \bigl(f(x+u) - f(x^+)\bigr)D_N(u)\,\dd u\\ &\quad+ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{0}\bigl(f(x+u) - f(x^-)\bigr)D_N(u)\,\dd u . \end{align*}

Behandel de eerste (de tweede is symmetrisch). Schrijf

\bigl(f(x + u) - f(x^+)\bigr)\,D_N(u) = \underbrace{\frac{f(x+u) - f(x^+)}{\sin\frac u2}}_{g(u)}\, \sin\Bigl(\Bigl(N + \frac12\Bigr)u\Bigr) .

De functie $g$ is stuksgewijs continu op $\intoc{0}{\pi}$ en heeft een eindige limiet in $0^+$ : schrijvend

g(u) = \frac{f(x+u) - f(x^+)}{u}\cdot\frac{u}{\sin\frac u2} ,

neigt de eerste factor naar $f'(x^+)$ (eenzijdige differentieerbaarheid, uit stuksgewijs $C^1$ ) en de tweede naar $2$ (de standaardlimiet $\frac{\sin v}{v} \to 1$ in $v = \frac u2$ ): $g(0^+) = 2f'(x^+)$ bestaat. Dus strekt $g$ zich stuksgewijs continu uit tot $\intcc{0}{\pi}$ , en Riemann–Lebesgue (Stelling 14.6) stuurt de integraal naar $0$ . Dit is het hele punt van de hypothese: zonder eenzijdige afgeleiden waait de factor $\frac{1}{\sin(u/2)}$ in $0$ sneller op dan Riemann–Lebesgue kan compenseren, en kan puntsgewijze convergentie oprecht falen voor louter continue $f$ — de kloof die de stelling van Fejér (weekeindprobleem) sluit door middeling. ∎

Voorbeeld 14.9 (Dirichlet bij een sprong)

Voor de zaagtand $f(t) = t$ op $\intoo{-\pi}{\pi}$ (Voorbeeld 14.12 hieronder) springt de periodieke uitbreiding in $t = \pi$ van $f(\pi^-) = \pi$ naar $f(\pi^+) = -\pi$ . Dirichlet belooft de waarde $\frac{\pi + (-\pi)}{2} = 0$ daar, en inderdaad verdwijnt elke term van $\sum \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin nt$ in $t = \pi$ : de reeks convergeert beleefd naar het middelpunt, beide eenzijdige waarden negerend. Het evaluatiepunt naar $t = \frac\pi2$ verplaatsen (een continuïteitspunt) verandert dezelfde reeks in Leibniz’ $\frac\pi4$ . Eén reeks, twee gedragingen — precies de twee clausules van de stelling.

Stelling 14.10 (Normale convergentie voor $C^1$ ; Parseval)

Als $f$ continu is, $2\pi$ -periodiek en stuksgewijs $C^1$ , dan is $c_n(f') = \iu n\,c_n(f)$ , convergeert de Fourierreeks van $f$ normaal op $\R$ , en is haar som $f$ .
(Parseval) Voor elke stuksgewijs continue $2\pi$ -periodieke $f$ :

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs{f}^2 = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \abs{c_n(f)}^2 = \frac{\abs{a_0}^2}{4} + \frac12\sum_{n\geq1} \bigl(\abs{a_n}^2 + \abs{b_n}^2\bigr).$

(Hier bewezen voor $f$ continu stuksgewijs $C^1$ ; in het algemeen toegegeven.)

Bewijs. (1) Partiële integratie op elk $C^1$ -stuk (randtermen cancelen door continuïteit en periodiciteit): $c_n(f') = \iu n c_n(f)$ . Dan, via Cauchy–Schwarz op de twee kwadratisch-sommeerbare families (Propositie 14.2 voor $f'$ ):

\sum_{n \neq 0} \abs{c_n(f)} = \sum_{n\neq0} \frac{\abs{c_n(f')}}{\abs n} \leq \Bigl(\sum \abs{c_n(f')}^2\Bigr)^{1/2} \Bigl(\sum_{n\neq0}\frac{1}{n^2}\Bigr)^{1/2} < \infty :

normale convergentie van de Fourierreeks. Haar som is continu en valt samen met $f$ in elk punt via Dirichlet (Stelling 14.8: $f$ is continu): de reeks convergeert naar $f$ , uniform.

(2) Voor zulke $f$ : $S_N f \to f$ uniform, dus $\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - S_Nf}_\infty \to 0$ , en Pythagoras ( $\norm f_2^2 = \sum_{\abs n \leq N}\abs{c_n}^2 + \norm{f - S_Nf}_2^2$ ) gaat over naar de limiet. De reële vorm is boekhouding met $a_n, b_n$ . ∎

Voorbeeld 14.11 (De $C^1$ -staartgrens, kwantitatief gemaakt)

Het bewijs van Stelling 14.10 (1) verbergt een bruikbare schatting. Voor continue stuksgewijs- $C^1$ $f$ geeft dezelfde Cauchy–Schwarz toegepast op alleen de staart

\sum_{\abs n > N}\abs{c_n(f)} = \sum_{\abs n > N}\frac{\abs{c_n(f')}}{\abs n} \leq \Bigl(\sum_{\abs n > N}\abs{c_n(f')}^2\Bigr)^{\!1/2} \Bigl(\sum_{\abs n>N}\frac{1}{n^2}\Bigr)^{\!1/2} \leq \norm{f'}_2\,\sqrt{\frac{2}{N}} ,

via Bessel voor $f'$ en $\sum_{n>N}n^{-2} \leq \frac1N$ . Dus gehoorzaamt de uniforme fout van de deelsommen

\norm{f - S_Nf}_\infty \leq \sum_{\abs n>N}\abs{c_n(f)} \leq \norm{f'}_2\,\sqrt{\frac2N} .

Voor $f(t) = \abs t$ : $\norm{f'}_2 = 1$ (de afgeleide is $\pm1$ ), dus tien termen reconstrueren $\abs t$ al uniform binnen $\sqrt{0.2} \approx 0.45$ , en $N = 10^4$ binnen $0.015$ . Slotinzicht: één afgeleide koopt de uniforme $\frac{1}{\sqrt N}$ -snelheid; vergeleken met de $\frac1n$ -coëfficiëntenwereld van de blokgolf (helemaal geen uniforme convergentie) krijgt het woordenboek van Voorbeeld 14.7 getallen.

Voorbeeld 14.12 (Basel en vrienden)

Laat $f(t) = t$ op $\intoo{-\pi}{\pi}$ , $2\pi$ -periodiek uitgebreid (een zaagtand, stuksgewijs $C^1$ ). Berekenend, $a_n = 0$ (onevenheid) en

b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t\sin nt\,\dd t = \frac{2(-1)^{n+1}}{n} .

Dirichlet in $t = \frac\pi2$ herstelt Leibniz’ $\frac\pi4 = 1 - \frac13 + \frac15 - \dots$ ; Parseval geeft

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^2\,\dd t = \frac{\pi^2}{3} = \frac12\sum_{n\geq1}\frac{4}{n^2} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\;\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\;}

— Eulers Basel-som, in twee regels. De functie $f(t) = t^2$ levert evenzo $\sum \frac1{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$ (Oefening 14.3).

Voorbeeld 14.13 (Een volledige ontwikkeling met ingebouwde controle: $\abs{\sin t}$ )

De functie $f(t) = \abs{\sin t}$ is continu, even, $\pi$ -periodiek (dus $2\pi$ -periodiek), stuksgewijs $C^1$ . Evenheid doodt de $b_n$ ; $a_0 = \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi} \abs{\sin t}\dd t = \frac4\pi$ ; en voor $n \geq 1$ geeft product-tot-som

a_n = \frac2\pi\int_0^\pi \sin t\cos nt\,\dd t = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\bigl(\sin(1+n)t + \sin(1-n)t\bigr)\dd t = \frac2\pi\cdot\frac{1 + \cos n\pi}{1 - n^2}

voor $n \neq 1$ (en $a_1 = 0$ direct): nul voor oneven $n$ , en $a_{2k} = \frac{-4}{\pi(4k^2-1)}$ . Via Stelling 14.10 (1) is de convergentie normaal, en

\abs{\sin t} = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi} \sum_{k\geq1}\frac{\cos(2kt)}{4k^2 - 1} \qquad (t \in \R) .

Ingebouwde controle in $t = 0$ : de identiteit eist $\sum_{k\geq1}\frac{1}{4k^2-1} = \frac12$ , wat telescoperen bevestigt:

\sum_{k\geq1}\frac{1}{4k^2-1} = \frac12\sum_{k\geq1}\Bigl(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\Bigr) = \frac12 . \checkmark

Slotinzicht: het spectrum van $\abs{\sin}$ leeft alleen op de even frequenties — een sinus gelijkrichten verdubbelt haar frequentie-inhoud, wat is waarom volgolf-gelijkrichters brommen op $100$ of $120$ hertz, tweemaal de netfrequentie.

Voorbeeld 14.14 (Parseval als rekenmachine)

Parseval verandert ontwikkelingen en masse in numerieke reeksen. Pas hem toe op $f(t) = \abs t$ (Oefening 14.2: $a_0 = \pi$ , $a_n = \frac{-4}{\pi n^2}$ voor oneven $n$ , de rest nul):

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^2\,\dd t = \frac{\pi^2}{3} = \frac{a_0^2}{4} + \frac12\sum_{n \text{ oneven}} a_n^2 = \frac{\pi^2}{4} + \frac{8}{\pi^2}\sum_{n\text{ oneven}}\frac{1}{n^4} ,

vandaar

\sum_{n\text{ oneven}}\frac{1}{n^4} = \frac{\pi^2}{8}\Bigl(\frac{\pi^2}{3} - \frac{\pi^2}{4}\Bigr) = \frac{\pi^4}{96} .

Kruiscontrole tegen Oefening 14.3: $\sum\frac1{n^4}$ splitsen in oneven en even delen geeft $\zeta$ -stijl boekhouding $S = S_{\mathrm{oneven}} + \frac{S}{16}$ , dus $S = \frac{16}{15}\cdot\frac{\pi^4}{96} = \frac{\pi^4}{90}$ — precies de waarde daar gevonden via een andere functie. Twee ontwikkelingen, één getal: de consistentie is de isometrie van Parseval aan het werk. Slotinzicht: elke nieuwe Fourier-ontwikkeling is een genererende machine voor reeksidentiteiten; deel II van het weekeindprobleem legt uit waarom de machine zichzelf nooit kan tegenspreken.

De blokgolf (grijs) en de Fourier-deelsommen S_1 (blauw) en S_9 (rood): convergentie in elk continuïteitspunt, maar een hardnekkige 9\%-overschoot bij de sprongen — het Gibbs-fenomeen. Uniforme convergentie faalt precies omdat de limiet discontinu is. — De blokgolf (grijs) en de Fourier-deelsommen $S_1$ (blauw) en $S_9$ (rood): convergentie in elk continuïteitspunt, maar een hardnekkige $\sim 9\%$ -overschoot bij de sprongen — het *Gibbs-fenomeen*. Uniforme convergentie faalt precies omdat de limiet discontinu is.

Voorbeeld 14.15 (Translatie en modulatie)

Twee éénregelsregels genereren vele ontwikkelingen uit één. Voor $a \in \R$ , met substitutie $s = t - a$ :

c_n\bigl(f(\cdot - a)\bigr) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t - a)\eu^{-\iu nt}\dd t = \eu^{-\iu na}\,c_n(f) \qquad\text{(translatie moduleert het spectrum)},

en direct uit de definitie,

c_n\bigl(\eu^{\iu kt}f\bigr) = c_{n-k}(f) \qquad\text{(modulatie translateert het spectrum)}.

Uitgewerkt voorbeeld: de zaagtand verschoven over $\pi$ , $g(t) = f(t - \pi)$ met $f(t) = t$ , heeft $b_n$ -coëfficiënten $(-1)^n\cdot\frac{2(-1)^{n+1}}{n} = -\frac2n$ : de ontwikkeling $g \sim -2\sum\frac{\sin nt}{n}$ van de zaagtand die springt in $0$ in plaats van in $\pi$ — geen integraal herberekend. Slot- inzicht: tijdverschuivingen draaien alleen fasen, nooit amplitudes ( $\abs{c_n}$ is verschuivingsinvariant), wat is waarom energie (Parseval) en convergentieklasse eigenschappen zijn van de vorm van het signaal, niet van waar de klok start.

Opmerking 14.16 (Veelgemaakte valkuilen)

(i) Drie convergenties, drie munteenheden: puntsgewijs (Dirichlet: heeft stuksgewijs $C^1$ nodig, betaalt het middelpunt bij elke sprong — nooit de eenzijdige waarde), uniform (heeft een continue limiet nodig; onmogelijk over een sprong, Gibbs is het zichtbare symptoom), en kwadratisch gemiddelde (Parseval: het meest robuust, blind voor individuele punten). Noem altijd welke je claimt. (ii) Geen termgewijze differentiatie bij default: de zaagtandreeks van Voorbeeld 14.12 term voor term differentiëren levert $\sum 2(-1)^{n+1}\cos nt$ , waarvan de termen niet eens naar $0$ neigen — de overdrachtsstellingen van het functierijenhoofdstuk hebben uniforme convergentie van de afgeleide reeks nodig, die de sprong vernietigt. Eerst gladheid, dan differentiatie (Oefening 14.6 is het woordenboek). (iii) Symmetrische deelsommen: de stelling van Dirichlet betreft $S_N = \sum_{-N}^{N}$ ; herschikken of één kant eerst sommeren kan divergentie in convergentie veranderen en terug. (iv) Normalisatiedrift: conventies verschillen tussen boeken ( $\frac{1}{2\pi}$ of $\frac1\pi$ vooraan, periode $2\pi$ of $1$ ); de betrouwbare invarianten zijn de orthonormaliteitsrelaties — herbereken $\langle e_m, e_n\rangle$ in de conventie ter plaatse vóór een formule te vertrouwen.

Opmerking 14.17 (Waar dit gebruikt wordt)

Parseval is de kiem van de $L^2$ -theorie van Fourierreeksen: het jaar-3-volume voltooit het plaatje (de exponentialen zijn een Hilbert-basis van $L^2$ , en de afbeelding $f \mapsto (c_n)$ is een bijectieve isometrie). Binnen dit volume bewijst het weekeindprobleem de stelling van Fejér — de Cesàro-middelen van de Fourierreeks convergeren uniform voor elke continue periodieke $f$ — die de toegegeven algemene Parseval tot stelling promoveert, de trigonometrische stelling van Weierstrass oplevert, en twee spectaculaire dividenden betaalt: de equidistributiestelling van Weyl en de isoperimetrische ongelijkheid. Toegepaste wiskunde leest dit hoofdstuk dagelijks: spectra van signalen, harmonischen van trillende systemen, en de snelle Fourier-transformatie (de eindige avatar was Oefening 13.10).

Opmerking 14.18 (Perspectieven binnen dit volume)

Drie hoofdstukken conversen met dit. Achterwaarts: het hermitische hoofdstuk leverde de meetkunde (orthonormale families, projecties, Bessel), en het functierijenhoofdstuk de analyse (uniforme convergentie, overdrachtsstellingen, benaderde identiteiten — de Fejér-kern is voor Fourierreeksen wat Bernsteins veeltermen waren voor Weierstrass). Zijwaarts: de randtheorie van het machtreeksenhoofdstuk keert terug via Abel- sommatie, hier gerealiseerd door de Poisson-kern (Oefening 14.12) — de straal $r$ van de schijf speelt de rol van de sommatieparameter. Voorwaarts: het differentiaalvergelijkingenhoofdstuk ontleedt periodieke forcering in harmonischen en voert elk aan de frequentierespons van de oscillator; resonantie gebeurt wanneer een Fourier-modus van de input een eigenfrequentie matcht, wat is waarom zijn weekeindprobleem en dat van dit hoofdstuk twee helften van één verhaal zijn.

De Dirichlet-kern D_8 (blauw) oscilleert en neemt negatieve waarden aan; de Fejér-kern F_8 (rood) is niet-negatief, concentreert zich in 0, en heeft gemiddelde 1: een benaderde identiteit. Positiviteit is precies wat de Dirichlet-kern mist, en wat de stelling van Fejér in het weekeindprobleem onvoorwaardelijk maakt. — De Dirichlet-kern $D_8$ (blauw) oscilleert en neemt negatieve waarden aan; de Fejér-kern $F_8$ (rood) is niet-negatief, concentreert zich in $0$ , en heeft gemiddelde $1$ : een *benaderde identiteit*. Positiviteit is precies wat de Dirichlet-kern mist, en wat de stelling van Fejér in het weekeindprobleem onvoorwaardelijk maakt.

14.3 Oefeningen

Oefening 14.1 ★

Bereken de Fouriercoëfficiënten van de blokgolf ( $f = -1$ op $\intoo{-\pi}{0}$ , $+1$ op $\intoo{0}{\pi}$ ), formuleer de conclusie van Dirichlet in $t = \frac\pi2$ en bij de sprong $t = 0$ , en herstel Leibniz’ reeks.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.1.

Onevenheid doodt de $a_n$ . Voor $n \geq 1$ :

b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \sin nt\,\dd t = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{1 - (-1)^n}{n} = \begin{cases} \frac{4}{\pi n} & n \text{ oneven},\\ 0 & n \text{ even}. \end{cases}

Dus $S(f)(t) = \frac{4}{\pi}\sum_{k\geq0} \frac{\sin\bigl((2k+1)t \bigr)}{2k+1}$ . Dirichlet in $t = \frac\pi2$ (een continuïteitspunt, waarde $1$ ): $\sin\bigl((2k+1)\frac\pi2\bigr) = (-1)^k$ , wat

1 = \frac4\pi \sum_{k\geq0}\frac{(-1)^k}{2k+1} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{k\geq0}\frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{\pi}{4} \quad\text{(Leibniz)}.

Bij de sprong $t = 0$ : de reeks sommeert tot $0 = \frac{f(0^+) + f(0^-)}{2}$ , zoals Dirichlet voorschrijft (elke term verdwijnt: consistent).

Oefening 14.2 ★

Ontwikkel $f(t) = \abs t$ ( $\abs t \leq \pi$ , $2\pi$ -periodiek) in Fourierreeks; rechtvaardig normale convergentie; evalueer in $t = 0$ om $\sum_{k\geq0}\frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$ te krijgen, en herleid Basel daaruit.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.2.

Evenheid doodt de $b_n$ ; $a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\abs t\,\dd t = \pi$ , en voor $n \geq 1$ :

a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi t\cos nt\,\dd t = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{(-1)^n - 1}{n^2} = \begin{cases} -\frac{4}{\pi n^2} & n \text{ oneven},\\ 0 & n \text{ even}, \end{cases}

(één partiële integratie). Dus

\abs t = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\sum_{k\geq0} \frac{\cos\bigl((2k+1)t\bigr)}{(2k+1)^2} ,

met normale convergentie ( $\sum (2k+1)^{-2} < \infty$ ) — zoals Stelling 14.10 (1) voorspelt voor deze continue stuksgewijs- $C^1$ -functie. In $t = 0$ :

0 = \frac\pi2 - \frac4\pi\sum_{k\geq0}\frac{1}{(2k+1)^2} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{k\geq0}\frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{8} .

$\sum \frac{1}{n^2}$ splitsend in oneven en even delen: $S = \frac{\pi^2}{8} + \frac S4$ , dus $S = \frac{\pi^2}{6}$ : Basel opnieuw.

Oefening 14.3 ★

Ontwikkel $f(t) = t^2$ ( $\abs t \leq \pi$ ) en leid af

\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}, \qquad \sum_{n\geq1}\frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90} \quad\text{(Parseval)}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.3.

Evenheid: $b_n = 0$ ; $a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^2 = \frac{2\pi^2}{3}$ ; twee partiële integraties geven $a_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}$ ( $n \geq 1$ ). Dus

t^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n\geq1} \frac{(-1)^n}{n^2}\cos nt \qquad (\abs t \leq \pi),

normaal convergent. In $t = 0$ : $0 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum\frac{(-1)^n}{n^2}$ , d.w.z. $\sum_{n\geq1} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}$ . Parseval:

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^4\,\dd t = \frac{\pi^4}{5} = \frac{a_0^2}{4} + \frac12\sum_{n\geq1} a_n^2 = \frac{\pi^4}{9} + 8\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^4} ,

dus $\sum \frac{1}{n^4} = \frac18\bigl(\frac{\pi^4}{5} - \frac{\pi^4}{9}\bigr) = \frac{\pi^4}{90}$ .

Oefening 14.4 ★★

Laat $f$ continu $2\pi$ -periodiek zijn met $c_n(f) = 0$ voor alle $n$ . Bewijs $f = 0$ (Parseval — voor welke klasse is hij hier bewezen? rechtvaardig dat continuïteit plus stuksgewijs $C^1$ kan worden weggelaten door de algemene Parseval toe te geven, of geef het dichtheidsargument in hoofdlijnen).

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.4.

Als bovendien $f$ stuksgewijs $C^1$ is: Parseval (bewazen) geeft $\norm f_2^2 = \sum\abs{c_n}^2 = 0$ , en strikte positiviteit van de integraal van de continue $\abs f^2$ dwingt $f = 0$ .

Voor louter continue $f$ , geef de algemene Parseval toe: zelfde éénregel- bewijs. (Schets van de dichtheidsroute: Fejér/Weierstrass-achtige trigonometrische benadering toont dat trigonometrische veeltermen $\norm\cdot_2$ -dicht zijn onder continue periodieke functies; aangezien $f \perp$ alle ervan, $\norm f_2^2 = \langle f, f - P\rangle \leq \norm f_2\norm{f - P}_2$ voor benaderingen $P$ , wat $\norm f_2 = 0$ dwingt.)

Oefening 14.5 ★★

Voor $\alpha \notin \Z$ , ontwikkel $f(t) = \cos(\alpha t)$ ( $\abs t \leq \pi$ ) en leid de partiele-breukontwikkeling van de cotangens af:

\pi\cot(\pi\alpha) = \frac{1}{\alpha} + \sum_{n\geq1} \frac{2\alpha}{\alpha^2 - n^2} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.5.

Evenheid: $b_n = 0$ ;

a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi \cos(\alpha t)\cos(nt)\,\dd t = \frac{2}{\pi}\cdot \frac{(-1)^n\,\alpha\sin(\pi\alpha)}{\alpha^2 - n^2}

(product-tot-som, dan integreren; $a_0 = \frac{2\sin(\pi\alpha)}{\pi\alpha}$ ). Dirichlet in $t = \pi$ (een continuïteitspunt van de periodieke uitbreiding, waarvan de eenzijdige waarden overeenkomen door evenheid):

\cos(\pi\alpha) = \frac{\sin(\pi\alpha)}{\pi\alpha} + \sum_{n\geq1} \frac{2\alpha\sin(\pi\alpha)}{\pi(\alpha^2 - n^2)}\,(-1)^n\cos(n\pi) = \frac{\sin(\pi\alpha)}{\pi}\Bigl(\frac{1}{\alpha} + \sum_{n\geq1}\frac{2\alpha}{\alpha^2 - n^2}\Bigr),

via $(-1)^n\cos n\pi = 1$ . Delen door $\sin(\pi\alpha)/\pi$ geeft de cotangensontwikkeling.

Oefening 14.6 ★★

Bewijs dat als $f$ $2\pi$ -periodiek en $C^k$ is met $f^{(k)}$ stuksgewijs continu, dan $c_n(f) = O\bigl(\abs n^{-k}\bigr)$ : gladheid van het signaal $=$ verval van zijn spectrum.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.6.

$c_n(f') = \iu n\,c_n(f)$ itereren ( $k$ keer, partiële integratie over de $C^{k}$ -stukken met matchende randwaarden): $c_n(f^{(k)}) = (\iu n)^k c_n(f)$ . De coëfficiënten van de stuksgewijs continue $f^{(k)}$ zijn begrensd (inderdaad $\to 0$ , Bessel):

\abs{c_n(f)} = \frac{\abs{c_n(f^{(k)})}}{\abs n^k} = O\bigl(\abs n^{-k}\bigr) .

Oefening 14.7 ★★★

(Ongelijkheid van Wirtinger) Laat $f$ $C^1$ , $2\pi$ -periodiek zijn, met $\int_{-\pi}^{\pi} f = 0$ . Bewijs

\int_{-\pi}^{\pi} \abs{f}^2 \leq \int_{-\pi}^{\pi} \abs{f'}^2 ,

met gelijkheid d.e.s.d.a. $f(t) = a\cos t + b\sin t$ . (Parseval op beide kanten; vergelijk $\abs{c_n}^2$ en $n^2\abs{c_n}^2$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.7.

Parseval voor $f$ en voor $f'$ (beide legitiem: $f$ is $C^1$ , $f'$ stuksgewijs continu — inderdaad continu):

\frac{1}{2\pi}\int \abs f^2 = \sum_{n\neq0} \abs{c_n}^2 \quad (c_0 = 0 \text{ door de nulgemiddelde-hypothese}), \qquad \frac{1}{2\pi}\int \abs{f'}^2 = \sum_{n\neq0} n^2\abs{c_n}^2 .

Termgewijs, $n^2\abs{c_n}^2 \geq \abs{c_n}^2$ voor $\abs n \geq 1$ : de ongelijkheid volgt. Gelijkheid dwingt $(n^2 - 1)\abs{c_n}^2 = 0$ voor alle $n$ , d.w.z. $c_n = 0$ voor $\abs n \geq 2$ : $f(t) = c_1\eu^{\iu t} + c_{-1}\eu^{-\iu t} = a\cos t + b\sin t$ (reële vorm); omgekeerd geven zulke $f$ gelijkheid.

Oefening 14.8 ★★★

(De Gibbs-constante) Voor de blokgolf van Oefening 14.1, evalueer de deelsom in $x_N = \frac{\pi}{2N}$ : schrijvend $u_k = \frac{(2k+1)\pi}{2N}$ en $\Delta u = \frac{\pi}{N}$ , toon dat

S_{2N-1}\Bigl(\frac{\pi}{2N}\Bigr) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1} \frac{\sin u_k}{2k+1} = \frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1} \frac{\sin u_k}{u_k}\,\Delta u \xrightarrow[N\to\infty]{} \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\frac{\sin u}{u}\,\dd u \approx 1.179 :

een Riemann-som van $\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\sin u}{u}$ op $\intcc{0}{\pi}$ in middelpunten. Concludeer dat de overschoot voorbij de sprongwaarde $1$ niet verdwijnt als $N \to \infty$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.8.

Uit Oefening 14.1, $S_{2N-1}(x) = \frac4\pi\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin((2k+1)x)}{2k+1}$ . In $x_N = \frac{\pi}{2N}$ , met $u_k = (2k+1)x_N = \frac{(2k+1)\pi}{2N}$ :

S_{2N-1}(x_N) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin u_k}{2k+1} = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin u_k}{u_k}\cdot \frac{u_k}{2k+1} = \frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin u_k}{u_k}\cdot \frac{\pi}{N},

aangezien $\frac{u_k}{2k+1} = \frac{\pi}{2N}$ . De punten $u_k$ zijn de middelpunten van de $N$ deelintervallen van $\intcc{0}{\pi}$ van lengte $\frac{\pi}{N}$ : de som is een middelpunts-Riemann-som van de continue $u \mapsto \frac{\sin u}{u}$ , en convergeert dus naar

\frac{2}{\pi}\int_0^\pi \frac{\sin u}{u}\,\dd u \approx \frac{2}{\pi}\times 1.8519 \approx 1.179 .

De deelsommen bij de sprong overschrijden de waarde $1$ met $\approx 18\%$ van de halfsprong voor altijd: Gibbs’ fenomeen, gekwantificeerd.

Oefening 14.9 ★

Ontwikkel $\cos^3 t$ en $\sin^2 t\,\cos t$ in Fourierreeks (lineariseer; een trigonometrische veelterm is zijn eigen Fourier- reeks, door uniciteit van coëfficiënten). Wat zijn $c_n$ , $a_n$ , $b_n$ voor elk?

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.9.

Uit $\cos 3t = 4\cos^3t - 3\cos t$ :

\cos^3 t = \frac{3\cos t + \cos 3t}{4}, \qquad \sin^2t\,\cos t = \cos t - \cos^3 t = \frac{\cos t - \cos 3t}{4} .

Elk is een trigonometrische veelterm, dus gelijk aan zijn eigen Fourierreeks (uniciteit van coëfficiënten: twee ontwikkelingen zouden verschillen door een trigonometrische veelterm met alle coëfficiënten nul). Voor $\cos^3t$ : $a_1 = \frac34$ , $a_3 = \frac14$ , alle overige $a_n$ en alle $b_n$ nul; $c_{\pm1} = \frac38$ , $c_{\pm3} = \frac18$ . Voor $\sin^2t\cos t$ : $a_1 = \frac14$ , $a_3 = -\frac14$ ; $c_{\pm1} = \frac18$ , $c_{\pm3} = -\frac18$ .

Oefening 14.10 ★★

Laat $a > 0$ en $f(t) = \eu^{at}$ op $\intoc{-\pi}{\pi}$ , $2\pi$ -periodiek uitgebreid. Bereken

c_n(f) = \frac{(-1)^n\sinh(a\pi)}{\pi(a - \iu n)} ,

pas de stelling van Dirichlet toe bij de sprong $t = \pi$ , en leid de partiele-breukontwikkeling van de hyperbolische cotangens af:

\coth(\pi a) = \frac{1}{\pi a} + \sum_{n\geq1} \frac{2a}{\pi(a^2 + n^2)} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.10.

Directe berekening:

c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\eu^{(a - \iu n)t}\dd t = \frac{\eu^{(a-\iu n)\pi} - \eu^{-(a - \iu n)\pi}} {2\pi(a - \iu n)} = \frac{(-1)^n\sinh(a\pi)}{\pi(a - \iu n)} ,

via $\eu^{\pm\iu n\pi} = (-1)^n$ . In $t = \pi$ springt de periodieke uitbreiding van $\eu^{a\pi}$ naar $\eu^{-a\pi}$ ; Dirichlet (symmetrische deelsommen) geeft

\cosh(a\pi) = \sum_{n\in\Z}(-1)^n c_n\, = \frac{\sinh(a\pi)}{\pi}\Bigl(\frac1a + \sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{1}{a - \iu n} + \frac{1}{a + \iu n}\Bigr)\Bigr) = \frac{\sinh(a\pi)}{\pi}\Bigl(\frac1a + \sum_{n\geq1}\frac{2a}{a^2 + n^2}\Bigr) ,

de imaginaire delen van de gepaarde termen cancelen. Deel door $\sinh(a\pi)$ :

\coth(\pi a) = \frac{1}{\pi a} + \sum_{n\geq1}\frac{2a}{\pi(a^2 + n^2)} ,

de hyperbolische tweeling van Oefening 14.5.

Oefening 14.11 ★★

(Convolutie) Voor $f, g$ continu en $2\pi$ -periodiek definieer

(f * g)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x - t)\,g(t)\, \dd t .

Toon dat $f * g = g * f$ , dat $c_n(f*g) = c_n(f)\,c_n(g)$ (om de twee integralen van een continue integrand te verwisselen, vergelijk de twee functies van de bovengrens: beide verdwijnen in het linker eindpunt en hebben dezelfde afgeleide, via continuïteit en differentiatie onder het integraalteken), en dat $S_N(f) = f * D_N$ voor de Dirichlet-kern. (De Fejér-middelen van het weekeindprobleem zijn evenzo convoluties, $\sigma_N(f) = f * F_N$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.11.

Commutativiteit: substitueer $s = x - t$ en gebruik periodiciteit van de integrand. Voor $c_n(f * g)$ is de integrand $(x, t) \mapsto f(x-t)g(t)\eu^{-\iu nx}$ continu; de twee geitereerde integralen komen overeen (beide, als functies van de bovengrens van de buitenste variabele, verdwijnen in het linker eindpunt en hebben dezelfde afgeleide — continuïteit plus Stelling 9.10 rechtvaardigen differentiatie van de geitereerde integraal). Dus

c_n(f*g) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} g(t)\,\eu^{-\iu nt} \Bigl(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x-t)\,\eu^{-\iu n(x-t)}\dd x\Bigr)\dd t = c_n(f)\,c_n(g),

de binnenintegraal is $c_n(f)$ voor elke $t$ (substitutie en periodiciteit). Ten slotte zegt Lemma 14.5 $S_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int f(x+u)D_N(u)\dd u$ ; de substitutie $u \mapsto -t$ en de evenheid van $D_N$ veranderen dit in $(f * D_N)(x)$ .

Oefening 14.12 ★★★

(Poisson-kern: Abel-middelen van Fourierreeksen) Voor $0 \leq r < 1$ stel $P_r(t) = \sum_{n\in\Z} r^{\abs n}\eu^{\iu nt}$ .

Som de twee geometrische reeksen en toon

$P_r(t) = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos t + r^2} > 0, \qquad \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}P_r = 1 .$
Toon dat voor $\delta \leq \abs t \leq \pi$ : $P_r(t) \leq \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\delta + r^2} \to 0$ als $r \to 1^-$ , uniform.
Leid af dat voor elke continue $2\pi$ -periodieke $f$ , de Abel-middelen $(f * P_r)(x) = \sum_n r^{\abs n}c_n(f)\,\eu^{\iu nx}$ uniform naar $f$ convergeren als $r \to 1^-$ — de continu-parameter- broer van de stelling van Fejér, en de Fourier- incarnatie van Abel-sommatie uit het machtreeksen- hoofdstuk.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.12.

Met $w = r\eu^{\iu t}$ :

$P_r(t) = 1 + 2\,\Re\frac{w}{1 - w} = \Re\frac{1 + w}{1 - w} = \frac{1 - \abs w^2}{\abs{1 - w}^2} = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos t + r^2} > 0 .$

Gemiddelde $1$ : termgewijze integratie van de normaal convergente reeks houdt alleen $n = 0$ over.
Voor $\delta \leq \abs t \leq \pi$ : $\cos t \leq \cos\delta$ , dus $P_r(t) \leq \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\delta + r^2}$ , waarvan de noemer neigt naar $2 - 2\cos\delta > 0$ terwijl de teller neigt naar $0$ : uniforme convergentie naar $0$ buiten elke omgeving van $0$ .
Termgewijze integratie (normale convergentie in $t$ ) geeft $(f * P_r)(x) = \sum_n r^{\abs n}c_n(f)\eu^{\iu nx}$ . Het benaderde-identiteit- argument: met gemiddelde $1$ en positiviteit,

$\abs{(f*P_r)(x) - f(x)} \leq \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \abs{f(x-t) - f(x)}\,P_r(t)\,\dd t ,$

splits bij $\abs t = \delta$ : ten hoogste $\varepsilon$ (Heine) plus $2\norm f_\infty\sup_{\delta\leq\abs t\leq\pi}P_r \to \varepsilon$ : uniforme convergentie als $r \to 1^-$ . Dit is Abel-sommatie van de Fourier- reeks — de Fourier-tweeling van de randtheorie van het machtreeksenhoofdstuk.

14.4 Probleem: de stelling van Fejér en haar dividenden

Probleem 14.1

De stelling van Dirichlet heeft $f$ stuksgewijs $C^1$ nodig; voor louter continue $f$ kunnen de deelsommen $S_N(f)$ zich misdragen. Fejérs ontdekking: hun Cesàro-middelen doen dat nooit. De motor is de positiviteit van de Fejér-kern, en de oogst is immens: uniforme trigonometrische benadering (Weierstrass), uniciteit van Fouriercoëfficiënten, Parseval voor elke functie van dit hoofdstuk (het “toegegeven” in Stelling 14.10 verwijderend), de equidistributiestelling van Weyl, en — een eeuw meetkunde bekronend — de isoperimetrische ongelijkheid. Doorheen is $f$ $2\pi$ -periodiek en stuksgewijs continu, en

\sigma_N(f) = \frac{S_0(f) + S_1(f) + \dots + S_{N-1}(f)}{N} .

Deel I — De Fejér-kern.

Toon dat $\sigma_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x+u)\,F_N(u)\,\dd u$ met $F_N = \frac{D_0 + \dots + D_{N-1}}{N}$ , en dat $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F_N = 1$ .
Bewijs de gesloten vorm, voor $u \notin 2\pi\Z$ :

$F_N(u) = \frac{1}{N}\, \frac{\sin^2\bigl(\frac{Nu}{2}\bigr)} {\sin^2\bigl(\frac u2\bigr)} \;\geq\; 0$

(som $\sin\bigl((n+\frac12)u\bigr)$ als het imaginaire deel van een geometrische reeks).
Toon de concentratieschatting: voor $0 < \delta \leq \abs u \leq \pi$ ,

$F_N(u) \leq \frac{1}{N\sin^2\frac\delta2} \xrightarrow[N\to\infty]{} 0 \quad\text{uniform} :$

$(F_N)$ is een positieve benaderde identiteit.
(Stelling van Fejér) Bewijs: als $f$ continu en $2\pi$ -periodiek is, dan $\sigma_N(f) \to f$ uniform op $\R$ (splits de integraal van $\bigl(f(x+u) - f(x)\bigr)F_N(u)$ bij $\abs u = \delta$ ; gebruik Heine en vragen 1–3).
Voor stuksgewijs continue $f$ , toon de puntsgewijze versie $\sigma_N(f)(x) \to \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}$ in elke $x$ , en de uniforme grens $\norm{\sigma_N(f)}_\infty \leq \norm f_\infty$ (positiviteit!).

Deel II — Weierstrass, uniciteit, Parseval.

(Trigonometrische Weierstrass) Leid af: elke continue $2\pi$ -periodieke functie is een uniforme limiet van trigonometrische veeltermen.
(Uniciteit) Leid af: een continue $f$ met $c_n(f) = 0$ voor alle $n$ is identiek nul — twee continue periodieke functies met dezelfde Fouriercoëfficiënten vallen samen (Oefening 14.4, nu zonder toelating).
(Parseval, continu geval) Via de projectie- eigenschap van $S_N$ (Propositie 14.2) en $\sigma_Nf \in \mathcal T_{N-1} \subseteq \mathcal T_N$ , bewijs

$\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_\infty \xrightarrow[N\to\infty]{} 0 ,$

en concludeer de identiteit van Parseval voor elke continue $2\pi$ -periodieke $f$ .
(Parseval, stuksgewijs continu geval) Gegeven $f$ stuksgewijs continu en $\varepsilon > 0$ , construeer een continue periodieke $g$ met $\norm{f - g}_2 \leq \varepsilon$ (vervang $f$ door een affine interpolatie op kleine intervallen rond de sprongen), en leid $\norm{f - S_Nf}_2 \to 0$ af (gebruik Bessel: $\norm{S_Nh}_2 \leq \norm h_2$ ): Parseval geldt in de volle algemeenheid gesteld in Stelling 14.10 — het “toegegeven” is weg.
(Geen Gibbs voor Fejér) Contrasteer met Oefening 14.8: toon dat voor de blokgolf $f$ , $\abs{\sigma_N(f)} \leq 1$ overal, voor elke $N$ — Cesàro-middeling wist de overschoot die $S_N$ achtervolgt. Leg in één zin uit welke eigenschap van $F_N$ verantwoordelijk is.

Deel III — Snelheden.

Bewijs de twee kerngrenzen, voor $0 < \abs u \leq \pi$ :

$F_N(u) \leq N, \qquad F_N(u) \leq \frac{\pi^2}{N u^2}$

(voor de eerste, $\abs{\sin N\theta} \leq N\abs{\sin\theta}$ via inductie; voor de tweede, $\sin\frac u2 \geq \frac{u}{\pi}$ op $\intcc{0}{\pi}$ ).
Leid de eerste-momentschatting af

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs u\,F_N(u)\,\dd u \;\leq\; \frac{C\,\ln N}{N} \qquad (N \geq 2)$

voor een expliciete constante (splits bij $\abs u = \frac1N$ ).
Concludeer: als $f$ $L$ -Lipschitz en $2\pi$ -periodiek is, dan

$\norm{\sigma_N f - f}_\infty \leq \frac{C\,L\ln N}{N} .$
(Saturatie) Bereken $\sigma_N(e_1)$ voor $e_1(t) = \eu^{\iu t}$ en toon $\norm{\sigma_Ne_1 - e_1}_\infty = \frac1N$ : zelfs voor de gladste functies convergeert Fejér niet sneller dan $\frac1N$ — de exacte analoog van de Bernstein-saturatie in het weekeindprobleem van het functierijenhoofdstuk.
(Localisatie) Toon: als $f$ (stuksgewijs continu) verdwijnt op $\intoo{x - \delta}{x + \delta}$ , dan $\sigma_N(f)(x) \to 0$ , hoe wild $f$ elders ook is — convergentie van de middelen in $x$ ziet alleen $f$ bij $x$ .

Deel IV — De equidistributiestelling van Weyl. Een rij $(x_n)_{n\geq1}$ in $\intco{0}{1}$ is equidistribueerd wanneer, voor elk interval $\intcc{a}{b} \subseteq \intcc{0}{1}$ ,

\frac{\#\{n \leq N : x_n \in \intcc ab\}}{N} \xrightarrow[N\to\infty]{} b - a .

Toon dat $(x_n)$ equidistribueerd is zodra $\frac1N\sum_{n\leq N}f(x_n) \to \int_0^1 f$ voor elke continue $1$ -periodieke $f$ (knijp de indicator van $\intcc ab$ tussen twee continue stuksgewijs-affine functies waarvan de integralen $\varepsilon$ verschillen).
(Criterium van Weyl, voldoende) Stel

$\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\eu^{2\iu\pi kx_n} \xrightarrow[N\to\infty]{} 0 \qquad\text{voor elke } k \in \Z\setminus\{0\} .$

Toon $\frac1N\sum f(x_n) \to \int_0^1f$ eerst voor trigonometrische veeltermen, dan voor alle continue $1$ -periodieke $f$ via vraag 6 (getransporteerd naar periode $1$ ): met vraag 16 is $(x_n)$ equidistribueerd.
Laat $\alpha$ irrationaal zijn en $x_n = \{n\alpha\}$ (breukdeel). Begrens de geometrische som

$\Bigl|\sum_{n=1}^{N}\eu^{2\iu\pi kn\alpha}\Bigr| \leq \frac{2}{\abs{1 - \eu^{2\iu\pi k\alpha}}} \qquad (k \neq 0),$

en concludeer de stelling van Weyl: $(\{n\alpha\})$ is equidistribueerd in $\intco{0}{1}$ .
Leid af dat $(\{n\alpha\})$ dicht is in $\intcc{0}{1}$ voor irrationaal $\alpha$ , en leg in één zin uit waarom equidistributie strikt sterker is dan dichtheid.
(Leidende cijfers) Bewijs dat de proportie van gehele getallen $n \leq N$ zodat $2^n$ leidend (decimaal) cijfer $1$ heeft neigt naar $\log_{10}2 \approx 0.301$ (leidend cijfer $1$ betekent $\{n\log_{10}2\} \in \intco{0}{\log_{10}2}$ ; toon dat $\log_{10}2$ irrationaal is).

Deel V — De isoperimetrische ongelijkheid. Laat $\Gamma$ een gesloten eenvoudige $C^1$ -kromme van lengte $L$ zijn die een georiënteerde oppervlakte $A$ insluit, geparametriseerd door geschaalde booglengte: $z(t) = x(t) + \iu y(t)$ , $2\pi$ -periodiek, met $\abs{z'(t)} = \frac{L}{2\pi}$ constant; de ingesloten oppervlakte is

A = \frac12\int_0^{2\pi}\bigl(x\,y' - y\,x'\bigr)\dd t = \frac{1}{2}\,\Im\int_0^{2\pi}\conj{z}\,z'\,\dd t

(hier genomen als definitie van de georiënteerde oppervlakte; het hoofdstuk over meervoudige integralen bewijst dat zij overeenkomt met de intuïtieve, via de formule van Green).

Ontwikkel $z(t) = \sum_{n\in\Z}c_n\eu^{\iu nt}$ (de reeks van een $C^1$ -functie, normaal convergent) en bewijs, via Parseval toegepast op $z'$ :

$\frac{L^2}{2\pi} = \int_0^{2\pi}\abs{z'}^2\dd t = 2\pi\sum_{n\in\Z}n^2\abs{c_n}^2 .$
Bewijs evenzo $A = \pi\sum_{n\in\Z} n\,\abs{c_n}^2$ (Parseval in gepolariseerde vorm: $\frac{1}{2\pi}\int\conj f g = \sum \conj{c_n(f)}c_n(g)$ , toegepast op $f = z$ , $g = z'$ ).
(Hurwitz) Concludeer:

$L^2 - 4\pi A = 4\pi^2\sum_{n\in\Z} (n^2 - n)\abs{c_n}^2 \;\geq\; 0 ,$

met gelijkheid d.e.s.d.a. $z(t) = c_0 + c_1\eu^{\iu t}$ — een cirkel. De isoperimetrische ongelijkheid: onder gesloten krommen van lengte $L$ sluit alleen de cirkel oppervlakte $\frac{L^2}{4\pi}$ in.
Saniteitscontroles: verifieer gelijkheid voor de cirkel van straal $R$ en de strikte ongelijkheid voor het vierkant van zijde $a$ ; leg uit waarom $n^2 - n \geq 0$ voor elk geheel getal $n$ , inclusief de negatieve, en waar de constante snelheid van de parametrisering gebruikt werd.
Synthese. In één zin elk: (i) de enkele eigenschap van $F_N$ waaruit delen I–III voortvloeien, en die $D_N$ mist; (ii) hoe Cesàro-sommatie hier relateert aan het weekeindprobleem van het machtreeksenhoofdstuk (Frobenius); (iii) welk dividend alleen Weierstrass gebruikte (vraag 6) en welk volle Parseval nodig had; (iv) één zin over wat het jaar-3-volume toevoegt ( $L^2$ -volledigheid: Fourierreeksen als Hilbert- basis).

Oplossing

Oplossing van Probleem 14.1.

1. Middelen van Lemma 14.5 over $n = 0, \dots, N-1$ (lineariteit van de integraal) geeft $\sigma_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int f(x+u)F_N(u)\dd u$ ; elke $D_n$ heeft gemiddelde $1$ , dus $F_N$ heeft gemiddelde $1$ .

2. Met $\eu^{\iu u} - 1 = 2\iu\,\eu^{\iu u/2}\sin\frac u2$ :

\sum_{n=0}^{N-1}\sin\Bigl(\Bigl(n + \frac12\Bigr)u\Bigr) = \Im\Bigl[\eu^{\iu u/2}\,\frac{\eu^{\iu Nu} - 1}{\eu^{\iu u} - 1}\Bigr] = \Re\,\frac{1 - \eu^{\iu Nu}}{2\sin\frac u2} = \frac{1 - \cos Nu}{2\sin\frac u2} = \frac{\sin^2\frac{Nu}2}{\sin\frac u2} .

Delen door $N\sin\frac u2$ :

F_N(u) = \frac1N\sum_{n=0}^{N-1} \frac{\sin\bigl((n+\frac12)u\bigr)}{\sin\frac u2} = \frac{1}{N}\, \frac{\sin^2\frac{Nu}{2}}{\sin^2\frac u2} \geq 0 .

3. Op $\delta \leq \abs u \leq \pi$ : $\sin^2\frac u2 \geq \sin^2\frac\delta2$ en $\sin^2\frac{Nu}2 \leq 1$ : $F_N \leq \frac{1}{N\sin^2(\delta/2)} \to 0$ , uniform daar.

4. Via het eenheidsgemiddelde is $\sigma_Nf(x) - f(x) = \frac{1}{2\pi}\int\bigl(f(x+u) - f(x)\bigr)F_N(u)\dd u$ . Gegeven $\varepsilon$ , levert Heine $\delta$ met $\abs{f(x+u) - f(x)} \leq \varepsilon$ voor $\abs u \leq \delta$ , uniform in $x$ . Dan, via $F_N \geq 0$ en haar eenheidsgemiddelde,

\abs{\sigma_Nf(x) - f(x)} \leq \varepsilon + 2\norm f_\infty\cdot\frac{1}{2\pi} \int_{\delta\leq\abs u\leq\pi}F_N \leq \varepsilon + \frac{2\norm f_\infty}{N\sin^2\frac\delta2} \leq 2\varepsilon

voor grote $N$ , uniform in $x$ : stelling van Fejér.

5. $F_N$ is even met gemiddelde $1$ : elke helft $\intcc{0}{\pi}$ , $\intcc{-\pi}{0}$ draagt gemiddelde $\frac12$ . Dan

\sigma_Nf(x) - \frac{f(x^+)+f(x^-)}{2} = \frac{1}{2\pi}\int_0^\pi\bigl(f(x+u) - f(x^+)\bigr)F_N\,\dd u + \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^0\bigl(f(x+u) - f(x^-)\bigr)F_N\,\dd u ;

op elke helft, splits bij $\abs u = \delta$ waar de eenzijdige limiet $\varepsilon$ -dicht is, en laat vraag 3 het verre deel doden: beide integralen neigen naar $0$ . De grens: $F_N \geq 0$ geeft $\abs{\sigma_Nf(x)} \leq \frac{1}{2\pi}\int\abs{f(x+u)}F_N \leq \norm f_\infty$ .

6. Elke $\sigma_N(f)$ is een trigonometrische veelterm (een gemiddelde van de $S_n(f)$ , $n < N$ ), en $\sigma_N(f) \to f$ uniform: de trigonometrische stelling van Weierstrass.

7. $c_n(f) = 0$ voor alle $n$ maakt elke $S_n(f) = 0$ , dus elke $\sigma_N(f) = 0$ ; via Fejér, $f = \lim\sigma_Nf = 0$ . Dit toepassen op een verschil: continue periodieke functies worden bepaald door hun Fouriercoëfficiënten.

8. $S_Nf$ is de orthogonale projectie van $f$ op $\mathcal T_N$ (Propositie 14.2), dus minimaliseert zij $\norm{f - P}_2$ over $P \in \mathcal T_N$ ; aangezien $\sigma_Nf \in \mathcal T_{N-1} \subseteq \mathcal T_N$ :

\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_\infty \to 0

(de middelste ongelijkheid omdat het gemiddelde van $\abs\cdot^2$ ten hoogste de sup gekwadrateerd is). Pythagoras $\norm f_2^2 = \sum_{\abs n\leq N}\abs{c_n}^2 + \norm{f - S_Nf}_2^2$ gaat dan over naar de limiet: Parseval voor elke continue periodieke $f$ .

9. Laat $t_1, \dots, t_p$ de sprongen van $f$ in een periode zijn, $M = \norm f_\infty$ . Voor kleine $\eta$ , definieer $g = f$ buiten de intervallen $\intoo{t_j - \eta}{t_j + \eta}$ en door de affine koorde over elk zulk interval: $g$ is continu, periodiek, $\norm g_\infty \leq M$ , en

\norm{f - g}_2^2 \leq \frac{1}{2\pi}\,p\cdot(2M)^2\cdot2\eta \leq \varepsilon^2

voor $\eta$ klein. Bessel maakt $S_N$ een contractie voor $\norm\cdot_2$ , dus

\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - g}_2 + \norm{g - S_Ng}_2 + \norm{S_N(g - f)}_2 \leq 2\varepsilon + \norm{g - S_Ng}_2 ,

en vraag 8 geeft $\limsup_N\norm{f - S_Nf}_2 \leq 2\varepsilon$ voor elke $\varepsilon$ : $\norm{f - S_Nf}_2 \to 0$ , en Pythagoras levert Parseval voor elke stuksgewijs continue $f$ : het “toegegeven” in Stelling 14.10 is nu een stelling.

10. De blokgolf heeft $\norm f_\infty = 1$ , dus vraag 5 geeft $\abs{\sigma_N(f)} \leq 1$ overal en voor elke $N$ — nooit overschoot — terwijl Oefening 14.8 toont $\sup_xS_{2N-1}(f)(x) \to \approx 1.179$ . De verantwoordelijke eigenschap: $F_N \geq 0$ , dus is $\sigma_Nf(x)$ een gewogen gemiddelde van waarden van $f$ en kan $\intcc{\min f}{\max f}$ nooit verlaten; $D_N$ neemt negatieve waarden aan, dus $S_N$ kan wel.

11. $\abs{\sin N\theta} \leq N\abs{\sin\theta}$ via inductie ( $\abs{\sin(N{+}1)\theta} \leq \abs{\sin N\theta}\abs{\cos\theta} + \abs{\cos N\theta}\abs{\sin\theta} \leq (N+1)\abs{\sin\theta}$ ): met $\theta = \frac u2$ ,

F_N(u) = \frac{\sin^2\frac{Nu}2}{N\sin^2\frac u2} \leq \frac{N^2\sin^2\frac u2}{N\sin^2\frac u2} = N .

Concaviteit van $\sin$ op $\intcc{0}{\frac\pi2}$ geeft $\sin\frac u2 \geq \frac{u}{\pi}$ voor $0 \leq u \leq \pi$ , dus $F_N(u) \leq \frac{1}{N(u/\pi)^2} = \frac{\pi^2}{Nu^2}$ .

12. Via evenheid en de splitsing bij $\frac1N$ :

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs uF_N = \frac1\pi\int_0^\pi uF_N \leq \frac1\pi\Bigl(\int_0^{1/N}uN\,\dd u + \int_{1/N}^{\pi}\frac{\pi^2}{Nu}\,\dd u\Bigr) = \frac{1}{2\pi N} + \frac{\pi\ln(\pi N)}{N} .

Voor $N \geq 2$ : $\ln(\pi N) \leq \bigl(1 + \frac{\ln\pi}{\ln2}\bigr)\ln N \leq 2.66\ln N$ en $\frac{1}{2\pi N} \leq \frac{\ln N}{N}$ , dus is het moment $\leq \frac{9\ln N}{N}$ .

13. Voor $L$ -Lipschitz $f$ :

\abs{\sigma_Nf(x) - f(x)} \leq \frac{1}{2\pi}\int\abs{f(x+u) - f(x)}F_N(u)\dd u \leq L\cdot\frac{1}{2\pi}\int\abs uF_N \leq \frac{9L\ln N}{N},

uniform in $x$ .

14. $c_0(e_1) = 0$ geeft $S_0(e_1) = 0$ , terwijl $S_n(e_1) = e_1$ voor $n \geq 1$ : $\sigma_N(e_1) = \frac{N-1}{N}e_1$ , dus $\norm{\sigma_Ne_1 - e_1}_\infty = \frac1N$ . Zelfs voor dit gehele, bandbegrensde signaal is de snelheid $\frac1N$ : Fejér saturaert, precies zoals Bernsteins operator saturaert op $\frac1n$ (Voronovskaya, in het weekeindprobleem van het functierijenhoofdstuk).

15. Als $f$ verdwijnt op $\intoo{x-\delta}{x+\delta}$ , dan is $\sigma_Nf(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{\delta \leq \abs u \leq \pi}f(x+u)F_N(u)\dd u$ , van absolute waarde ten hoogste $\frac{\norm f_\infty}{N\sin^2(\delta/2)} \to 0$ : de Cesàro- middelen in $x$ zien alleen $f$ bij $x$ .

16. Gegeven $\intcc ab$ en $\varepsilon$ , kies continue $1$ -periodieke stuksgewijs-affine $\varphi^\pm$ met $\varphi^- \leq \mathbf 1_{\intcc ab} \leq \varphi^+$ en $\int_0^1(\varphi^+ - \varphi^-) \leq \varepsilon$ (trapezia met hellingen over intervallen van totale lengte $\varepsilon$ ). Dan

\limsup_N\frac{\#\{n \leq N : x_n \in \intcc ab\}}{N} \leq \lim_N\frac1N\sum_{n\leq N}\varphi^+(x_n) = \int_0^1\varphi^+ \leq b - a + \varepsilon ,

en symmetrisch $\liminf \geq b - a - \varepsilon$ : de proportie neigt naar $b - a$ .

17. Voor $f = \eu^{2\iu\pi k\cdot}$ met $k \neq 0$ geeft de hypothese de limiet $0 = \int_0^1f$ ; voor $k = 0$ zijn beide kanten $1$ ; lineariteit behandelt elke trigonometrische veelterm. Voor continue $1$ -periodieke $f$ en $\varepsilon > 0$ levert vraag 6 (getransporteerd via $t = 2\pi x$ ) een trigonometrische veelterm $P$ met $\norm{f - P}_\infty \leq \varepsilon$ :

\Bigl|\frac1N\sum_{n\leq N}f(x_n) - \int_0^1f\Bigr| \leq 2\varepsilon + \Bigl|\frac1N\sum_{n\leq N}P(x_n) - \int_0^1P\Bigr| \longrightarrow 2\varepsilon .

Met vraag 16: $(x_n)$ is equidistribueerd.

18. Voor $k \neq 0$ en irrationaal $\alpha$ , $w = \eu^{2\iu\pi k\alpha} \neq 1$ :

\Bigl|\sum_{n=1}^{N}w^n\Bigr| = \Bigl|\frac{w(w^N - 1)}{w - 1}\Bigr| \leq \frac{2}{\abs{1 - w}} ,

een grens onafhankelijk van $N$ ; delen door $N$ geeft Weyls criterium, en vraag 17 concludeert: $(\{n\alpha\})$ is equidistribueerd.

19. Elk deelinterval ontvangt asymptotische proportie gelijk aan zijn lengte, in het bijzonder oneindig veel punten: $(\{n\alpha\})$ is dicht. Equidistributie is sterker: een rij kan dicht zijn terwijl hij bijna al zijn tijd in één hoek doorbrengt (dichtheid zegt waar de rij gaat, equidistributie zegt hoe vaak).

20. $2^n$ heeft leidend cijfer $1$ d.e.s.d.a. $10^m \leq 2^n < 2\cdot10^m$ voor enige $m$ , d.w.z. d.e.s.d.a. $\{n\log_{10}2\} \in \intco{0}{\log_{10}2}$ . Irrationaliteit: $\log_{10}2 = \frac pq$ zou $2^q = 10^p = 2^p5^p$ geven, onmogelijk voor $p \geq 1$ door unieke factorisatie. Weyls stelling (vraag 18 met $\alpha = \log_{10}2$ ; het halfopen interval wordt geknepen tussen gesloten van nabije lengtes) geeft de proportie $\log_{10}2 \approx 0.301$ : de eerste cijfers van $2^n$ volgen Benfords wet.

21. $z$ is $C^1$ , dus convergeert haar Fourierreeks normaal met som $z$ (Stelling 14.10 (1)), en $c_n(z') = \iu n\,c_n$ . Aangezien $\abs{z'} = \frac{L}{2\pi}$ constant is,

\int_0^{2\pi}\abs{z'}^2\dd t = 2\pi\Bigl(\frac{L}{2\pi}\Bigr)^{\!2} = \frac{L^2}{2\pi} ,

en Parseval toegepast op de continue $z'$ geeft $\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\abs{z'}^2 = \sum_n\abs{\iu nc_n}^2$ , d.w.z. $\frac{L^2}{2\pi} = 2\pi\sum_n n^2\abs{c_n}^2$ .

22. De gepolariseerde Parseval $\frac{1}{2\pi}\int\conj fg = \sum\conj{c_n(f)}c_n(g)$ volgt uit Parseval toegepast op $f + g$ en $f + \iu g$ (polarisatie-identiteit), beide continu. Met $f = z$ , $g = z'$ :

A = \frac12\,\Im\int_0^{2\pi}\conj z\,z' = \pi\,\Im\sum_n\conj{c_n}(\iu n c_n) = \pi\sum_n n\abs{c_n}^2 .

23. Combinerend vragen 21–22:

L^2 - 4\pi A = 4\pi^2\sum_n n^2\abs{c_n}^2 - 4\pi^2\sum_n n\abs{c_n}^2 = 4\pi^2\sum_{n\in\Z}(n^2 - n)\abs{c_n}^2 \geq 0 ,

aangezien $n^2 - n = n(n-1) \geq 0$ voor elk geheel getal. Gelijkheid dwingt $c_n = 0$ voor alle $n \notin \{0, 1\}$ : $z(t) = c_0 + c_1\eu^{\iu t}$ , een cirkel van middelpunt $c_0$ en straal $\abs{c_1} = \frac{L}{2\pi}$ (constante snelheid). Hurwitz’ bewijs van de isoperimetrische ongelijkheid: $A \leq \frac{L^2}{4\pi}$ , alleen cirkel.

24. Cirkel van straal $R$ : $L = 2\pi R$ , $A = \pi R^2$ : $L^2 = 4\pi^2R^2 = 4\pi A$ : gelijkheid. Vierkant van zijde $a$ : $L^2 = 16a^2 > 4\pi a^2 = 4\pi A$ (want $16 > 4\pi \approx 12.57$ ). Voor negatieve $n$ is $n^2 - n = n(n - 1)$ een product van twee negatieve gehele getallen: positief — dus kosten achterwaarts- wikkelende modi oppervlakte dubbel. Constante snelheid trad in vraag 21, $\int\abs{z'}^2$ converterend tot $\frac{L^2}{2\pi}$ ; voor een niet-constante snelheid geeft Cauchy–Schwarz $\int\abs{z'}^2 \geq \frac{(\int\abs{z'})^2}{2\pi} = \frac{L^2}{2\pi}$ , dus overleeft de ongelijkheid, met de cirkel nog steeds het enige gelijkheids- geval.

25. (i) Alles vloeit uit $F_N \geq 0$ (met eenheids- gemiddelde en concentratie); $D_N$ heeft eenheidsgemiddelde en concentratie van oscillatie maar geen positiviteit, en Gibbs is de prijs. (ii) Cesàro-sommeerbaarheid van de Fourierreeks impliceert haar Abel-sommeerbaarheid met dezelfde som (Frobenius, bewezen in het weekeindprobleem van het machtreeksenhoofdstuk) — de Poisson-kern- route van Oefening 14.12 is precies Abels methode. (iii) Weyls stelling had alleen uniforme benadering nodig (vraag 6); de isoperimetrische ongelijkheid had Parseval zelf nodig (vragen 8, 21–22). (iv) Het jaar-3-volume bewijst volledigheid: de exponentialen vormen een Hilbert-basis van $L^2$ , Parseval wordt een isometrie van Hilbert-ruimten, en de stelling van Fejér wordt de uitspraak dat deze isometrie berekenbaar is via positieve middelen.