lokaal compacte ruimte কী?

$X$ heet lokaal compact als ze Hausdorff is en elk punt een compacte omgeving heeft ($\R^n$; open deelverzamelingen van $\R^n$; discrete ruimten — maar niet $\Q$, zie Oefening 6.9). Elke lokaal compacte ruimte bedt zich in een compacte in: de eenpuntscompactificatie $\hat X = X \cup \{\infty\}$, waarvan de open verzamelingen die van $X$ zijn, samen met de complementen (in $\hat X$) van compacte deelverzamelingen van $X$. De axioma’s gaat men rechtstreeks na; $\hat X$ is compact (een overdekking heeft een lid dat $\infty$ bevat, waarvan het complement compact is en door eindig veel andere leden wordt overdekt) en Hausdorff (scheid $x$ van $\infty$ met een compacte omgeving van $x$ en haar complement). Voorbeeld: $\hat\R \cong S^1$, en $\widehat{\R^n} \cong S^n$ via de stereografische projectie (Oefening 6.11).