Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Bachelor Year 3

8Banachruimten en de fundamentele stellingen

De functionaalanalyse bestudeert oneindigdimensionale genormeerde ruimten via de operatoren en functionalen die erop leven. Haar stichtende ontdekking is dat volledigheid, via de stelling van Baire, sterke uniformiteit afdwingt: puntsgewijs begrensde families van operatoren zijn normbegrensd (Banach–Steinhaus), continue bijecties hebben continue inversen (open afbeelding), en grafieken detecteren continuïteit (gesloten grafiek). De andere pijler, Hahn–Banach, heeft helemaal geen volledigheid nodig — alleen het lemma van Zorn — en garandeert dat duale ruimten rijk genoeg zijn om elke vector te zien. Dit hoofdstuk bewijst alle vier stellingen en test ze op de klassieke rijenruimten $\ell^p$ , op concrete duale berekeningen, en op een werkelijk verrassende toepassing: er bestaan continue $2\pi$ -periodieke functies waarvan de Fourierreeks in een punt divergeert — een negatieve oplossing van een vraag die Jaar 2 openliet.

Doorheen zijn $E, F$ genormeerde ruimten over $K = \R$ of $\C$ ; Banachruimte betekent volledige genormeerde ruimte.

8.1 Begrensde operatoren; rijenruimten

Definitie 8.1

$\mathcal L(E, F)$ duidt de ruimte van begrensde (= continue, Jaar 2) lineaire afbeeldingen aan met de operatornorm $\vertiii T = \sup_{\norm x \leq 1}\norm{Tx}$ ; zij is submultiplicatief: $\vertiii{ST} \leq \vertiii S\,\vertiii T$ . De duale is $E' = \mathcal L(E, K)$ .

Propositie 8.2

Als $F$ een Banachruimte is, is $\mathcal L(E, F)$ dat ook; in het bijzonder is $E'$ altijd een Banachruimte.

Bewijs. Zij $(T_n)$ Cauchy voor $\vertiii\cdot$ . Voor elke $x$ is $\norm{T_nx - T_mx} \leq \vertiii{T_n - T_m}\norm x$ : $(T_nx)$ is Cauchy in $F$ , convergent; noem de limiet $Tx$ . $T$ is lineair (limieten van lineaire identiteiten); overgang naar de limiet in $\norm{T_nx - T_mx} \leq \varepsilon\norm x$ ( $n, m \geq N$ ) geeft $\norm{T_nx - Tx} \leq \varepsilon\norm x$ : $T_n \to T$ in operatornorm, en $\vertiii T \leq \vertiii{T_N} + \varepsilon < \infty$ . ∎

Definitie 8.3

De klassieke rijenruimten (over $K$ , geïndexeerd door $\N$ ):

\ell^p = \Bigl\{x = (x_n) : \norm x_p = \Bigl(\sum_n \abs{x_n}^p\Bigr)^{1/p} < \infty\Bigr\}\quad (1 \leq p < \infty),

\ell^\infty = \{x : \norm x_\infty = \sup\abs{x_n} < \infty\},

en $c_0 = \{x : x_n \to 0\}$ met $\norm\cdot_\infty$ . Dat $\norm\cdot_p$ een norm is volgt uit de ongelijkheid van Minkowski, bewezen in het discrete geval precies zoals in Hoofdstuk 12 (of door de eindigdimensionale ongelijkheid van Jaar 2 te sommeren). Alle zijn Banachruimten, en $c_0$ is een gesloten deelruimte van $\ell^\infty$ (Oefening 8.3).

Eenheidsbollen van de p-normen in het vlak, genest naarmate p groeit van 1 (ruit) via 2 (schijf) en 4 (superellips) tot ∈fty (vierkant). Convexiteit van elke bol is de ongelijkheid van Minkowski; de hoeken bij p = 1 en p = ∈fty zijn waar strikte convexiteit, uniciteit van beste benaderingen, en de gelijkheidsgevallen van allemaal tegelijk degenereren. — Eenheidsbollen van de $p$ -normen in het vlak, genest naarmate $p$ groeit van $1$ (ruit) via $2$ (schijf) en $4$ (superellips) tot $\infty$ (vierkant). Convexiteit van elke bol is de ongelijkheid van Minkowski; de hoeken bij $p = 1$ en $p = \infty$ zijn waar strikte convexiteit, uniciteit van beste benaderingen, en de gelijkheidsgevallen van Oefening 12.12 allemaal tegelijk degenereren.

Propositie 8.4 (Neumannreeks)

Zij $E$ Banach en $T \in \mathcal L(E) = \mathcal L(E,E)$ met $\vertiii T < 1$ . Dan is $I - T$ inverteerbaar in $\mathcal L(E)$ , met $(I - T)^{-1} = \sum_{n\geq0}T^n$ (convergent in operatornorm). Bijgevolg is de verzameling inverteerbare operatoren open, en is inversie continu erop.

Bewijs. De reeks convergeert absoluut ( $\vertiii{T^n} \leq \vertiii T^n$ , meetkundig) in de Banach $\mathcal L(E)$ (Propositie 8.2; Oefening 7.1(b)). Telescoperend, $(I - T)\sum_{n \leq N}T^n = I - T^{N+1} \to I$ , en evenzo aan de andere kant. Voor openheid: als $S$ inverteerbaar is en $\vertiii{H} < 1/\vertiii{S^{-1}}$ , dan $S + H = S(I + S^{-1}H)$ met $\vertiii{S^{-1}H} < 1$ : inverteerbaar. Continuïteit van inversie: de reeksuitdrukking geeft $\vertiii{(S+H)^{-1} - S^{-1}} = O(\vertiii H)$ lokaal. ∎

Voorbeeld 8.5 (Een Volterra-vergelijking, opgelost door Neumann)

Op $E = \mathcal C(\intcc01)$ , beschouw de integraalvergelijking

u(x) = 1 + \lambda\int_0^xu(t)\,\dd t, \qquad\text{d.w.z.}\qquad u = \mathbf 1 + \lambda Tu, \quad (Tu)(x) = \int_0^xu .

Hier $\vertiii T \leq 1$ , dus voor $\abs\lambda < 1$ past de Neumannreeks rechtstreeks: $u = (I - \lambda T)^{-1}\mathbf 1 = \sum_n\lambda^nT^n\mathbf 1$ . Berekenend, $T^n\mathbf 1 = \frac{x^n}{n!}$ , dus

u(x) = \sum_{n\geq0}\frac{(\lambda x)^n}{n!} = \eu^{\lambda x} ,

zoals differentiatie bevestigt. Beter: $\vertiii{T^n} \leq \frac1{n!}$ (de geïtereerde kern krimpt factorieel), dus $\sum\lambda^nT^n$ convergeert voor elke $\lambda$ — de operator $I - \lambda T$ is inverteerbaar voor alle $\lambda \in \C$ , ook al $\vertiii{\lambda T} \geq 1$ uiteindelijk: wat telt is het spectraal verval van de machten, niet de eerste norm. Volterra-operatoren hebben dit factorieel verval ingebouwd (Oefening 7.4(a) exploiteerde precies dit), daarom lijden beginwaardeproblemen nooit onder de resonantiefenomenen van randwaardeproblemen (Hoofdstuk 15).

8.2 Hahn–Banach

Stelling 8.6 (Hahn–Banach, analytische vorm)

Zij $E$ een reële vectorruimte, $p \colon E \to \R$ sublineair ( $p(x + y) \leq p(x) + p(y)$ en $p(tx) = tp(x)$ voor $t \geq 0$ ), $F \subseteq E$ een deelruimte en $f \colon F \to \R$ lineair met $f \leq p$ op $F$ . Dan breidt $f$ uit tot een lineaire $\tilde f \colon E \to \R$ met $\tilde f \leq p$ op $E$ .

Bewijs. Eénstapsuitbreiding. Zij $x_0 \notin F$ ; we breiden $f$ uit tot $F \oplus \R x_0$ door $\alpha = \tilde f(x_0)$ correct te kiezen: we hebben, voor alle $y \in F$ , $t > 0$ , nodig

f(y) + t\alpha \leq p(y + tx_0) \quad\text{en}\quad f(y) - t\alpha \leq p(y - tx_0),

wat na deling door $t$ (sublineariteit) reduceert tot

\sup_{v \in F}\ \bigl[f(v) - p(v - x_0)\bigr] \;\leq\; \alpha \;\leq\; \inf_{u \in F}\ \bigl[p(u + x_0) - f(u)\bigr].

Zulk $\alpha$ bestaat desda elk linkerlid $\leq$ elk rechterlid is: inderdaad $f(v) + f(u) = f(u + v) \leq p(u + v) \leq p(u + x_0) + p(v - x_0)$ , d.w.z. $f(v) - p(v - x_0) \leq p(u + x_0) - f(u)$ .

Zorn. Orden de uitbreidingen van $f$ gedomineerd door $p$ (paren: deelruimte, functionaal) door uitbreiding; een keten heeft de unie als bovengrens; een maximaal element moet op heel $E$ gedefinieerd zijn, anders spreekt de éénstapsuitbreiding de maximaliteit tegen. ∎

Gevolg 8.7

Zij $E$ een genormeerde ruimte ( $K = \R$ of $\C$ ).

Elke $f \in F'$ ( $F$ een deelruimte) breidt uit tot $\tilde f \in E'$ met $\norm{\tilde f}_{E'} = \norm f_{F'}$ .
Voor elke $x \neq 0$ is er $f \in E'$ met $\norm f = 1$ en $f(x) = \norm x$ . In het bijzonder scheidt $E'$ de punten van $E$ , en $\norm x = \sup_{\norm f \leq 1}\abs{f(x)}$ .
Voor een gesloten deelruimte $F$ en $x \notin F$ is er $f \in E'$ die verdwijnt op $F$ met $f(x) = d(x, F)$ en $\norm f \leq 1$ .

Bewijs. (1) Reëel geval: pas Stelling 8.6 toe met $p(x) = \norm f_{F'}\,\norm x$ (sublineair); de uitbreiding voldoet $\pm\tilde f(x) = \tilde f(\pm x) \leq p(x)$ , dus $\norm{\tilde f} \leq \norm f$ , en $\geq$ is restrictie. Complex geval: zij $u = \operatorname{Re}f$ , een reële functionaal met $\abs u \leq \norm f\norm\cdot$ ; noteer $f(x) = u(x) - \iu\,u(\iu x)$ (controleer op reële en imaginaire delen: $\operatorname{Im}f(x) = -\operatorname{Re}f(\iu x)$ ). Breid $u$ reëel-lineair uit met dezelfde grens, en zet $\tilde f(x) = \tilde u(x) - \iu\tilde u(\iu x)$ : $\C$ -lineair (rechtstreekse controle op vermenigvuldiging met $\iu$ ), breidt $f$ uit; norm: voor gegeven $x$ schrijf $\tilde f(x) = r\eu^{\iu\theta}$ , dan $\abs{\tilde f(x)} = \tilde f(\eu^{-\iu\theta}x) = \tilde u(\eu^{-\iu\theta}x) \leq \norm f\,\norm x$ .

(2) Op $F = Kx$ definieer $f(tx) = t\norm x$ : norm $1$ op $F$ ; breid uit met (1). De dualiteitsformule: $\leq$ is duidelijk, $\geq$ door deze $f$ .

(3) Op $F \oplus Kx$ definieer $f(y + tx) = t\,d(x, F)$ ; dan voor $t \neq 0$ , $\norm{y + tx} = \abs t\,\norm{x + y/t} \geq \abs t\,d(x, F) = \abs{f(y + tx)}$ : $\norm f \leq 1$ op de deelruimte; breid uit met (1). ∎

Opmerking 8.8

Door (2) is de canonieke afbeelding $J \colon E \to E''$ , $J(x)(f) = f(x)$ , een isometrie (Oefening 8.10): elke genormeerde ruimte zit in haar biduale. Ruimten met $J$ surjectief heten reflexief; het weekendprobleem toont dat $\ell^p$ ( $1 < p < \infty$ ) reflexief is terwijl $\ell^1$ dat niet is.

8.3 De Baire-trilogie

Stelling 8.9 (Banach–Steinhaus, uniforme begrensdheid)

Zij $E$ een Banachruimte, $F$ genormeerd, en $(T_i)_{i\in I} \subseteq \mathcal L(E, F)$ een familie met $\sup_i \norm{T_ix} < \infty$ voor elke $x \in E$ . Dan $\sup_i \vertiii{T_i} < \infty$ .

Bewijs. De verzamelingen $F_n = \{x : \sup_i\norm{T_ix} \leq n\}$ zijn gesloten (doorsneden van originelen van gesloten bollen) en overdekken $E$ . Baire (Stelling 7.6) geeft $n_0$ en een bol $B(x_0, r) \subseteq F_{n_0}$ . Voor $\norm z < r$ : $\norm{T_iz} \leq \norm{T_i(x_0 + z)} + \norm{T_ix_0} \leq 2n_0$ , dus $\vertiii{T_i} \leq 2n_0/r$ voor elke $i$ . ∎

Gevolg 8.10

Als $E$ Banach is en $T_n \in \mathcal L(E,F)$ puntsgewijs convergeren ( $T_nx \to Tx$ voor elke $x$ ), dan $\sup_n \vertiii{T_n} < \infty$ , $T \in \mathcal L(E, F)$ , en $\vertiii T \leq \liminf \vertiii{T_n}$ .

Bewijs. Convergente rijen zijn begrensd: puntsgewijze begrensdheid; Banach–Steinhaus begrenst de normen door enige $M$ ; dan $\norm{Tx} = \lim\norm{T_nx} \leq M\norm x$ ( $T$ is lineair als puntsgewijze limiet), en de scherpere grens door overgang naar $\liminf$ in $\norm{T_nx} \leq \vertiii{T_n}\norm x$ . ∎

Stelling 8.11 (Divergerende Fourierreeksen)

Er bestaan continue $2\pi$ -periodieke functies $f$ waarvan de Fourierreeks in $0$ divergeert: $\sup_N\abs{S_N(f)(0)} = \infty$ . Sterker, zulke $f$ vormen een dichte deelverzameling van $\mathcal C(S^1)$ .

Bewijs. Werk in $E = (\mathcal C(S^1), \norm\cdot_\infty)$ , een Banachruimte, met de functionalen $\Lambda_N(f) = S_N(f)(0) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,D_N(t)\,\dd t$ (Dirichletkern, Jaar 2). Elke $\Lambda_N$ is continu met

\norm{\Lambda_N} = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\abs{D_N(t)}\,\dd t \;=\; L_N .

( $\leq$ is duidelijk; $\geq$ : neem $f$ continu, $\norm f_\infty \leq 1$ , benaderend $\operatorname{sign}D_N$ — het teken heeft eindig veel sprongen; gladstrijken van elke sprong op een interval van lengte $\varepsilon$ verandert de integraal met $O(N\varepsilon)$ .) De Lebesgueconstanten $L_N$ neigen naar oneindig:

L_N = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\abs{\sin\bigl((N{+}\tfrac12)t\bigr)}}{\abs{\sin(t/2)}} \,\dd t \geq \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \frac{\abs{\sin\bigl((N{+}\tfrac12)t\bigr)}}{t}\,\dd t = \frac{2}{\pi}\int_0^{(N+\frac12)\pi}\frac{\abs{\sin u}}{u}\,\dd u

(gebruik $\abs{\sin(t/2)} \leq t/2$ op $[0, \pi]$ , dan substitutie $u = (N + \tfrac12)t$ ). Snijdend in bogen:

\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\abs{\sin u}}u\,\dd u \geq \frac1{k\pi}\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\abs{\sin u}\,\dd u = \frac{2}{k\pi}, \qquad\text{dus}\qquad L_N \geq \frac{4}{\pi^2}\sum_{k=1}^N\frac1k \xrightarrow[N\to\infty]{} \infty .

Als elke continue $f$ $\sup_N \abs{\Lambda_N(f)} < \infty$ had, zou Banach–Steinhaus $\sup_N\norm{\Lambda_N} < \infty$ forceren: tegenspraak. Dus enige $f$ — in feite een niet-magere, dichte verzameling van $f$ (het complement van $\bigcup_M\{f: \sup_N\abs{\Lambda_Nf}\leq M\}$ , een aftelbare unie van gesloten verzamelingen die, zonder inwendige door het bovenstaande toegepast in elke bol, mager is) — heeft $\sup_N\abs{S_Nf(0)} = \infty$ . ∎

Stelling 8.12 (Open afbeelding)

Zij $E, F$ Banachruimten en $T \in \mathcal L(E, F)$ surjectief. Dan is $T$ open: $T(B_E(0,1)) \supseteq B_F(0, c)$ voor enige $c > 0$ . Bijgevolg heeft een bijectieve begrensde operator tussen Banachruimten een begrensde inverse.

Bewijs. Schrijf $B = B_E(0,1)$ . Surjectiviteit geeft $F = \bigcup_n \overline{T(nB)} = \bigcup_n n\,\overline{T(B)}$ ; Baire (Stelling 7.6) geeft inwendige aan $\overline{T(B)}$ : enige $B_F(y_0, 4c) \subseteq \overline{T(B)}$ . Hercentreer in $0$ : voor $\norm y < 4c$ zijn zowel $y_0 + y$ als $y_0$ limieten van beelden $Tu_k$ , $Tv_k$ met $u_k, v_k \in B$ , dus $y = \lim T(u_k - v_k)$ met $u_k - v_k \in 2B$ : $B_F(0, 4c) \subseteq \overline{T(2B)}$ , d.w.z. $B_F(0, 2c) \subseteq \overline{T(B)}$ .

De afsluiting verwijderen (hier komt volledigheid van $E$ binnen): zij $\norm y < c$ . Kies $x_1 \in \frac12 B$ met $\norm{y - Tx_1} < c/2$ ( $B_F(0,2c) \subseteq \overline{T(B)}$ geschaald met $\frac12$ ); inductief $x_k \in 2^{-k}B$ met $\norm{y - T(x_1 + \dots + x_k)} < c\,2^{-k}$ . De reeks $\sum x_k$ convergeert absoluut in de Banach $E$ , naar $x \in B$ (norm $< \sum 2^{-k} = 1$ ), en $Tx = y$ door continuïteit: $B_F(0, c) \subseteq T(B)$ . Openheid van $T$ op willekeurige opens volgt door translatie en schaling; voor het corollarium betekent openheid van $T$ dat $T^{-1}$ continu is. ∎

Gevolg 8.13 (Equivalente normen)

Als een vectorruimte volledig is voor twee vergelijkbare normen ( $\norm\cdot_a \leq C\norm\cdot_b$ ), zijn de normen equivalent.

Bewijs. De identiteit $(E, \norm\cdot_b) \to (E, \norm\cdot_a)$ is begrensd en bijectief tussen Banachruimten: haar inverse is begrensd. ∎

Stelling 8.14 (Gesloten grafiek)

Zij $E, F$ Banach en $T \colon E \to F$ lineair. Als de grafiek $\Gamma = \{(x, Tx)\}$ gesloten is in $E \times F$ (d.w.z. $x_n \to x$ en $Tx_n \to y$ impliceert $y = Tx$ ), dan is $T$ begrensd.

Bewijs. $E \times F$ met $\norm{(x,y)} = \norm x + \norm y$ is Banach; $\Gamma$ , een gesloten deelruimte, is Banach. De projectie $\pi_E\colon \Gamma \to E$ is begrensd en bijectief, dus haar inverse $x \mapsto (x, Tx)$ is begrensd (Stelling 8.12): $\norm{Tx} \leq \norm{(x, Tx)} \leq C\norm x$ . ∎

Methode 8.15

Wanneer welke stelling te grijpen. Hahn–Banach: om een functionaal met voorgeschreven gedrag te produceren (een vector normeren, verdwijnen op een deelruimte, uitbreiden van een deelruimte) — geen volledigheid nodig. Banach–Steinhaus: om puntsgewijze informatie om te zetten in uniforme grenzen — typisch om te tonen dat een limietoperatie continu is, of (contrapositief) om divergentie voor enig element te bewijzen, zoals voor Fourierreeksen. Open afbeelding / gesloten grafiek: om continuïteit gratis te krijgen uit algebraïsche bijectiviteit of uit een afsluitingseigenschap van de grafiek — typisch gebruik: twee volledige normen vergelijken, of automatische continuïteit bewijzen. Alle drie Baire-stellingen eisen volledigheid van de bron; tegenvoorbeelden anders (Oefening 8.7).

8.4 Duale ruimten, concreet

Stelling 8.16

Isometrisch: $(c_0)' \cong \ell^1$ en $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$ , via de paring $\langle x, y\rangle = \sum_n x_ny_n$ .

Bewijs. We bewijzen $(c_0)' \cong \ell^1$ ; de tweede identificatie is Oefening 8.5. Aan $y \in \ell^1$ associeer $\Lambda_y(x) = \sum x_ny_n$ ( $x \in c_0$ ): absoluut convergent, met $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm x_\infty\norm y_1$ , dus $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_1$ . Omgekeerd zij $\Lambda \in (c_0)'$ ; zet $y_n = \Lambda(e_n)$ ( $e_n$ de eenheidsrijen). Voor elke $N$ , test $x^{(N)} = \sum_{n \leq N} \operatorname{sign}(\overline{y_n})\,e_n \in c_0$ (norm $\leq 1$ ; in het complexe geval unimodulaire factoren $\bar y_n/\abs{y_n}$ ): $\Lambda(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n} \leq \norm\Lambda$ . Dus $y \in \ell^1$ met $\norm y_1 \leq \norm\Lambda$ . Tenslotte $\Lambda = \Lambda_y$ : beide stemmen overeen op de $e_n$ , dus op eindige rijen, dicht in $c_0$ (afkapping: $\norm{x - \sum_{n \leq N}x_ne_n}_\infty = \sup_{n > N}\abs{x_n} \to 0$ precies omdat $x_n \to 0$ ); continue functionalen die op een dichte verzameling overeenstemmen zijn gelijk. De correspondentie is lineair, bijectief, en isometrisch ( $\norm{\Lambda_y} = \norm y_1$ uit de twee ongelijkheden). ∎

8.5 Oefeningen

Oefening 8.1 ★

Bereken de operatornormen: (a) de shifts $S(x_1, x_2, \dots) = (0, x_1, x_2, \dots)$ en $S^*(x_1, x_2, \dots) = (x_2, x_3, \dots)$ op $\ell^2$ ; (b) de vermenigvuldigingsoperator $M_a x = (a_nx_n)$ op $\ell^2$ , voor $a \in \ell^\infty$ ; (c) de functionaal $\Lambda(f) = \int_0^{1/2}f - \int_{1/2}^1f$ op $\mathcal C(\intcc01)$ — toon $\norm\Lambda = 1$ en dat de norm niet bereikt wordt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.1.

(a) $\norm{Sx}_2 = \norm x_2$ : $S$ is een isometrie, $\vertiii S = 1$ . Voor de achterwaartse shift: $\norm{S^*x}_2^2 = \sum_{n \geq 2}\abs{x_n}^2 \leq \norm x_2^2$ , met gelijkheid voor $x = e_2$ : $\vertiii{S^*} = 1$ .

(b) $\norm{M_ax}_2^2 = \sum\abs{a_n}^2\abs{x_n}^2 \leq \norm a_\infty^2\norm x_2^2$ ; testen op $x = e_n$ geeft $\vertiii{M_a} \geq \abs{a_n}$ voor elke $n$ : $\vertiii{M_a} = \norm a_\infty$ .

(c) $\abs{\Lambda(f)} \leq \int_0^1\abs f \leq \norm f_\infty$ : $\norm\Lambda \leq 1$ . Voor $\varepsilon > 0$ zij $f_\varepsilon$ $1$ op $[0, \frac12 - \varepsilon]$ , $-1$ op $[\frac12 + \varepsilon, 1]$ , affien daartussen: $\norm{f_\varepsilon}_\infty = 1$ en $\Lambda(f_\varepsilon) \geq 1 - 2\varepsilon$ : $\norm\Lambda = 1$ . Niet bereikt: $\Lambda(f) = 1$ met $\norm f_\infty \leq 1$ forceert $\int_0^{1/2}f = \frac12$ en $\int_{1/2}^1 f = -\frac12$ , d.w.z. (continuïteit, $\abs f \leq 1$ ) $f \equiv 1$ op $[0, \frac12]$ en $f \equiv -1$ op $[\frac12, 1]$ : tegenspraak in $\frac12$ .

Oefening 8.2 ★

Zij $E$ Banach, $T \in \mathcal L(E)$ inverteerbaar, en $S$ met $\vertiii{S - T} < 1/\vertiii{T^{-1}}$ . Toon dat $S$ inverteerbaar is en schat $\vertiii{S^{-1} - T^{-1}}$ . Toepassing: als een lineair stelsel $Tx = b$ oplosbaar is met $T$ inverteerbaar, houdt een voldoende kleine perturbatie van $T$ het uniek oplosbaar, met een kwantitatieve grens op de verandering van de oplossing.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.2.

Schrijf $S = T\bigl(I - T^{-1}(T - S)\bigr)$ met $\vertiii{T^{-1}(T-S)} \leq \vertiii{T^{-1}}\,\vertiii{T - S} = \theta < 1$ : door Propositie 8.4 is $S$ inverteerbaar met $S^{-1} = \sum_{n\geq0}\bigl(T^{-1}(T - S)\bigr)^nT^{-1}$ , vandaar

\vertiii{S^{-1} - T^{-1}} \leq \sum_{n\geq1}\theta^n\,\vertiii{T^{-1}} = \frac{\vertiii{T^{-1}}^2\,\vertiii{T - S}}{1 - \theta}.

Voor het lineaire stelsel: $x_T = T^{-1}b$ en $x_S = S^{-1}b$ verschillen met hoogstens die grens maal $\norm b$ — kleine perturbaties van een inverteerbaar stelsel blijven uniek oplosbaar, met Lipschitz-afhankelijkheid van de oplossing van de operator.

Oefening 8.3 ★★

(a) Bewijs dat $\ell^1$ , $\ell^\infty$ en $c_0$ Banachruimten zijn, en dat $c_0$ de afsluiting in $\ell^\infty$ is van de ruimte van eindige rijen. (b) Toon $\ell^p \subseteq \ell^q$ met $\norm\cdot_q \leq \norm\cdot_p$ voor $1 \leq p \leq q \leq \infty$ , en dat de inclusie strikt is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.3.

(a) $\ell^1$ : zij $(x^{(k)})$ Cauchy. Elke coördinaat is Cauchy ( $\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n} \leq \norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_1$ ): zij $x_n = \lim_kx^{(k)}_n$ . Gegeven $\varepsilon$ , voor $k, l \geq K$ : $\sum_{n \leq N}\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n} \leq \varepsilon$ voor elke $N$ ; laat $l \to \infty$ , dan $N \to \infty$ : $\norm{x^{(k)} - x}_1 \leq \varepsilon$ , en $x = x^{(k)} - (x^{(k)} - x) \in \ell^1$ . $\ell^\infty$ : Cauchy voor $\norm\cdot_\infty$ is uniform Cauchy: convergeert uniform naar een begrensde rij. $c_0$ is gesloten in $\ell^\infty$ : als $x^{(k)} \to x$ uniform met $x^{(k)}_n \to_n 0$ , dan $\abs{x_n} \leq \norm{x - x^{(k)}}_\infty + \abs{x^{(k)}_n}$ geeft $\limsup_n\abs{x_n} \leq \varepsilon$ : $x \in c_0$ ; een gesloten deelruimte van een Banachruimte is Banach. Eindige rijen: hun afsluiting bevat elke $x \in c_0$ (afkappingen convergeren: $\sup_{n>N}\abs{x_n} \to 0$ ) en is bevat in de gesloten $c_0$ .

(b) Door homogeniteit neem $\norm x_p = 1$ aan: dan $\abs{x_n} \leq 1$ voor alle $n$ , dus $\abs{x_n}^q \leq \abs{x_n}^p$ en $\norm x_q \leq 1 = \norm x_p$ ; voor $q = \infty$ , $\abs{x_n} \leq \norm x_p$ rechtstreeks. Striktheid: $x_n = n^{-\alpha}$ met $\frac1q < \alpha \leq \frac1p$ ligt in $\ell^q \setminus \ell^p$ (Riemann-reeks).

Oefening 8.4 ★★

Zij $F \subseteq E$ een gesloten deelruimte en $x \notin F$ . Met Gevolg 8.7, bewijs de dualiteitsformule

d(x, F) = \max\bigl\{\abs{f(x)} : f \in E',\ \norm f \leq 1,\ f\restriction_F = 0\bigr\}

(noteer: een maximum). Leid af dat $F = \bigcap\{\ker f : f \in E',\ f\restriction_F = 0\}$ : gesloten deelruimten zijn precies de doorsneden van kernen van functionalen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.4.

( $\leq$ ) Als $\norm f \leq 1$ en $f\restriction_F = 0$ : voor elke $y \in F$ , $\abs{f(x)} = \abs{f(x - y)} \leq \norm{x - y}$ ; neem het infimum. ( $\geq$ , bereikt) Gevolg 8.7(3) produceert $f$ met $f\restriction_F = 0$ , $\norm f \leq 1$ , $f(x) = d(x, F)$ : het supremum is een maximum. Gevolg: $F \subseteq \bigcap\{\ker f : f\restriction_F = 0\}$ triviaal, en een punt $x \notin F$ wordt uit de doorsnede uitgesloten door de functionaal hierboven ( $f(x) = d(x,F) > 0$ , $F$ gesloten zijnd).

Oefening 8.5 ★★

Bewijs $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$ isometrisch, volgens het schema van Stelling 8.16 (eindige rijen zijn dicht in $\ell^1$ ). Waar breekt het argument voor $(\ell^\infty)'$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.5.

Voor $y \in \ell^\infty$ : $\abs{\Lambda_y(x)} = \abs{\sum x_ny_n} \leq \norm y_\infty\norm x_1$ , dus $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_\infty$ ; testen op $e_n$ : $\abs{y_n} = \abs{\Lambda_y(e_n)} \leq \norm{\Lambda_y}$ : gelijkheid. Omgekeerd, gegeven $\Lambda \in (\ell^1)'$ , zet $y_n = \Lambda(e_n)$ : $\abs{y_n} \leq \norm\Lambda$ , dus $y \in \ell^\infty$ ; $\Lambda$ en $\Lambda_y$ stemmen overeen op eindige rijen, die dicht zijn in $\ell^1$ ( $\norm{x - \sum_{n\leq N}x_ne_n}_1 = \sum_{n>N}\abs{x_n} \to 0$ ): $\Lambda = \Lambda_y$ . De afbeelding $y \mapsto \Lambda_y$ is lineair, isometrisch, op. Voor $(\ell^\infty)'$ produceert dezelfde start een rij $y_n = \Lambda(e_n)$ , maar eindige rijen zijn niet dicht in $\ell^\infty$ (de constante rij $\mathbf 1$ ligt op afstand $1$ van alle), dus is $\Lambda$ niet bepaald door de $y_n$ — en inderdaad $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ (Probleem 8.1).

Oefening 8.6 ★★

Zij $E, F, G$ genormeerd met $E$ Banach, en $B \colon E \times F \to G$ bilineair, continu in elke variabele afzonderlijk. Toon dat $B$ (gezamenlijk) continu is: $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x\norm y$ . (Pas Banach–Steinhaus toe op de familie $(B(\cdot, y))_{\norm y \leq 1}$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.6.

Voor vaste $x$ is $y \mapsto B(x, y)$ continu lineair: $\sup_{\norm y \leq 1}\norm{B(x,y)} < \infty$ . Dus is de familie $\{B(\cdot, y) : \norm y \leq 1\} \subseteq \mathcal L(E, G)$ (elk lid continu, door continuïteit in $x$ ) puntsgewijs begrensd op de Banachruimte $E$ : Banach–Steinhaus (Stelling 8.9) levert $C$ met $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x$ voor alle $\norm y \leq 1$ ; homogeniteit in $y$ voltooit: $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x\norm y$ .

Oefening 8.7 ★★

(a) Op $E = \mathcal C(\intcc01)$ , vergelijk $\norm\cdot_\infty$ en $\norm\cdot_1$ : de identiteit $(E, \norm\cdot_\infty) \to (E, \norm\cdot_1)$ is begrensd en bijectief maar haar inverse is onbegrensd. Welke hypothese van Gevolg 8.13 faalt? (b) Vertoon een discontinue lineaire afbeelding van een dichte deelruimte van $\ell^2$ naar $K$ (bijv. op eindige rijen), en leg uit waarom dit de gesloten-grafiekstelling niet tegenspreekt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.7.

(a) $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$ : de identiteit is begrensd, en bijectief. Haar inverse is onbegrensd: $f_n(x) = x^n$ heeft $\norm{f_n}_1 = \frac1{n+1} \to 0$ maar $\norm{f_n}_\infty = 1$ . Geen tegenspraak met Gevolg 8.13: $(\mathcal C(\intcc01), \norm\cdot_1)$ is niet volledig (Oefening 7.1); het corollarium eist volledigheid aan beide kanten.

(b) Op de ruimte $E_0$ van eindige rijen (dicht in $\ell^2$ ), is $\varphi(x) = \sum_n n\,x_n$ lineair en onbegrensd ( $\varphi(e_n) = n$ met $\norm{e_n}_2 = 1$ ). De gesloten-grafiekstelling past niet toe: $E_0$ is niet volledig — en $\varphi$ heeft geen continue uitbreiding tot $\ell^2$ , wat illustreert dat dichtheid zonder uniforme continuïteit machteloos is (Stelling 7.2).

Oefening 8.8 ★★★

(Hellinger–Toeplitz) Zij $T \colon \ell^2 \to \ell^2$ lineair (overal gedefinieerd) en symmetrisch: $\langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle$ voor alle $x, y$ , waarbij $\langle x, y \rangle = \sum x_n\bar y_n$ . Toon dat $T$ begrensd is. (Gesloten grafiek: als $x_k \to x$ en $Tx_k \to z$ , test tegen willekeurige $y$ .) Moraal: onbegrensde symmetrische operatoren — de Hamiltonianen van de kwantummechanica — kunnen nooit op de hele ruimte gedefinieerd zijn.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.8.

We verifiëren de gesloten-grafiek-hypothese. Zij $x_k \to x$ en $Tx_k \to z$ in $\ell^2$ . Voor elke $y$ :

\langle z, y\rangle = \lim_k\langle Tx_k, y\rangle = \lim_k \langle x_k, Ty\rangle = \langle x, Ty\rangle = \langle Tx, y\rangle,

met continuïteit van het inproduct in elk slot (Cauchy–Schwarz) en symmetrie tweemaal. Dus is $z - Tx$ orthogonaal op elke $y$ , in het bijzonder op zichzelf: $z = Tx$ . De grafiek is gesloten en $\ell^2$ is Banach: $T$ is begrensd (Stelling 8.14). Dus is een symmetrische operator gedefinieerd op heel $\ell^2$ automatisch begrensd; echt onbegrensde symmetrische operatoren (positie, impuls, Hamiltonianen) moeten op eigenlijke dichte deelruimten leven.

Oefening 8.9 ★★★

(Stelling van Pólya over kwadratuur) Voor elke $n$ , zij $\Lambda_n(f) = \sum_{i=0}^{n} w_{i,n}f(x_{i,n})$ een kwadratuurregel op $\mathcal C(\intcc01)$ ( $x_{i,n} \in \intcc01$ , $w_{i,n} \in \R$ ). Toon dat $\Lambda_n(f) \to \int_0^1f$ voor elke continue $f$ desda: (i) $\Lambda_n(P) \to \int_0^1P$ voor elk polynoom $P$ , en (ii) $\sup_n\sum_i\abs{w_{i,n}} < \infty$ . (Bereken $\norm{\Lambda_n}$ ; gebruik Banach–Steinhaus en Weierstrass.) Controleer dat regels met positieve gewichten exact op constanten (ii) automatisch vervullen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.9.

Eerst, $\norm{\Lambda_n} = \sum_i\abs{w_{i,n}}$ : $\leq$ is de driehoeksongelijkheid; $\geq$ door te testen met een stuksgewijs lineaire $f$ met $\norm f_\infty \leq 1$ en $f(x_{i,n}) = \operatorname{sign}(w_{i,n})$ (lineair interpoleren tussen de eindig veel knopen; waar knopen samenvallen stemmen de tekens overeen).

( $\Rightarrow$ ) Puntsgewijze convergentie in elke $f$ impliceert (i), en puntsgewijze begrensdheid, dus Banach–Steinhaus (Stelling 8.9) op de Banach $\mathcal C(\intcc01)$ geeft (ii).

( $\Leftarrow$ ) Zij $M = \sup_n\norm{\Lambda_n} + 1$ . Gegeven $f$ en $\varepsilon$ , kies een polynoom $P$ met $\norm{f - P}_\infty < \varepsilon/(2M)$ (Gevolg 7.16); dan

\Bigl|\Lambda_n f - \int_0^1 f\Bigr| \leq \abs{\Lambda_n(f - P)} + \Bigl|\Lambda_nP - \int_0^1P\Bigr| + \Bigl|\int_0^1(P - f)\Bigr| \leq \varepsilon + \Bigl|\Lambda_nP - \int_0^1P\Bigr| \to \varepsilon .

Positieve gewichten, exactheid op constanten: $\sum_i\abs{w_{i,n}} = \sum_iw_{i,n} = \Lambda_n(\mathbf 1) = \int_0^1 1 = 1$ voor regels exact op constanten — (ii) houdt met constante $1$ .

Oefening 8.10 ★★

Toon dat $J \colon E \to E''$ , $J(x)(f) = f(x)$ , een lineaire isometrie is (gebruik Gevolg 8.7(2)), en dat zij surjectief is wanneer $\dim E < \infty$ . Toon ook dat als $E'$ separabel is, $E$ dat ook is. (Kies $x_n$ die een dichte rij van $E'$ bijna normeren en toon dat hun gesloten opsanning $E$ is, via Gevolg 8.7(3).)

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.10.

Lineariteit van $J$ is formeel; $\norm{J(x)} = \sup_{\norm f \leq 1}\abs{f(x)} = \norm x$ door Gevolg 8.7(2). Als $\dim E = n$ : $\dim E' = n$ (een basis geeft coördinaatfunctionalen), dus $\dim E'' = n$ , en de injectieve (isometrische) $J$ is op. Separabiliteit: zij $(f_n)$ dicht in $E'$ en kies $\norm{x_n} = 1$ met $\abs{f_n(x_n)} \geq \frac12\norm{f_n}$ . Zij $F = \overline{\operatorname{Vect}}(x_n)$ ; als $F \neq E$ , neem $g \in E'$ , $g \neq 0$ , verdwijnend op $F$ (Gevolg 8.7(3)); kies $f_{n_k} \to g$ :

\norm{f_{n_k} - g} \geq \abs{(f_{n_k} - g)(x_{n_k})} = \abs{f_{n_k}(x_{n_k})} \geq \tfrac12\norm{f_{n_k}} \geq \tfrac12\bigl(\norm g - \norm{f_{n_k} - g}\bigr),

dus $\norm{f_{n_k} - g} \geq \frac13\norm g > 0$ : tegenspraak. Dus $F = E$ , en rationale (of $\Q + \iu\Q$ ) combinaties van de $x_n$ vormen een aftelbare dichte verzameling.

Oefening 8.11 ★★

(Quotiëntruimten) Zij $E$ een Banachruimte en $F \subseteq E$ een gesloten deelruimte. Op $E/F$ definieer

\norm{\bar x} \;=\; d(x, F) = \inf_{y\in F}\norm{x - y} .

(a) Toon dat dit een welgedefinieerde norm is op $E/F$ (waar komt geslotenheid van $F$ binnen?), en dat de projectie $\pi \colon E \to E/F$ $\vertiii\pi \leq 1$ heeft en de open eenheidsbol op de open eenheidsbol afbeeldt. (b) Toon dat $E/F$ volledig is. (Gebruik het reeks-criterium van Oefening 7.1(b): gegeven klassen $\bar x_k$ met $\sum\norm{\bar x_k} < \infty$ , til elke op naar $x_k \in E$ met $\norm{x_k} \leq \norm{\bar x_k} + 2^{-k}$ en sommeer in $E$ .) (c) Bereken: voor $E = c$ (convergente rijen) en $F = c_0$ , toon $c/c_0 \cong K$ isometrisch via $\bar x \mapsto \lim_nx_n$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.11.

(a) Welgedefinieerd: $d(x, F)$ hangt alleen van $\bar x$ af (translatie van $x$ met $F$ verandert de afstand niet). Homogeniteit en driehoeksongelijkheid gaan van $\norm\cdot$ door het infimum. Scheiding eist geslotenheid: $\norm{\bar x} = 0$ betekent $d(x, F) = 0$ , d.w.z. $x \in \bar F = F$ , d.w.z. $\bar x = 0$ . $\vertiii\pi \leq 1$ : $\norm{\bar x} \leq \norm x$ . Open bol op open bol: als $\norm{\bar x} < 1$ , heeft enige representant $\norm{x - y} < 1$ ; omgekeerd $\pi(B_E(0,1)) \subseteq B_{E/F}(0,1)$ door de normongelijkheid — dus is $\pi$ open, het modelgeval van de open-afbeeldingsstelling.

(b) Zij $\sum_k\norm{\bar x_k} < \infty$ en til op met $\norm{x_k} \leq \norm{\bar x_k} + 2^{-k}$ : dan $\sum\norm{x_k} < \infty$ , dus convergeert $s = \sum_kx_k$ in de Banach $E$ (Oefening 7.1(b)), en continuïteit van $\pi$ geeft $\sum_k\bar x_k = \bar s$ : elke absoluut convergente reeks van $E/F$ convergeert, wat equivalent is met volledigheid (zelfde oefening).

(c) De afbeelding $\lambda(x) = \lim_nx_n$ is lineair $c \to K$ , verdwijnt precies op $c_0$ , induceert dus een lineaire bijectie $c/c_0 \to K$ . Isometrie: $d(x, c_0) = \abs{\lambda(x)}$ — $\leq$ : trek van $x$ de rij $x - \lambda(x)\mathbf 1 \in c_0$ af, latend $\lambda(x)\mathbf 1$ van norm $\abs{\lambda(x)}$ ; $\geq$ : voor $y \in c_0$ , $\norm{x - y}_\infty \geq \limsup_n\abs{x_n - y_n} = \abs{\lambda(x)}$ .

Oefening 8.12 ★★

(Begrensde projecties en gecomplementeerde deelruimten) Zij $E$ een Banachruimte en $P \colon E \to E$ lineair met $P^2 = P$ (een algebraïsche projectie), $V = \operatorname{im}P$ , $W = \ker P$ . (a) Veronderstel $P$ begrensd. Toon dat $V$ en $W$ gesloten zijn en $E = V \oplus W$ met de ontbinding $x = Px + (x - Px)$ . (b) Omgekeerd, veronderstel $E = V \oplus W$ met beide $V, W$ gesloten, en zij $P$ de projectie op $V$ langs $W$ . Toon dat $P$ begrensd is. (Gesloten grafiek: als $x_n \to x$ en $Px_n \to z$ , dan $z \in V$ , $x_n - Px_n \to x - z \in W$ , en uniciteit van de ontbinding identificeert $z = Px$ .) (c) Leid de equivalentie af: een deelruimte $V$ laat een begrensde projectie toe desda zij gesloten is en een gesloten algebraïsch complement heeft — en noteer (zonder bewijs) dat gesloten deelruimten zonder deze eigenschap bestaan ( $c_0$ binnen $\ell^\infty$ is het klassieke voorbeeld): Hilbertruimten, waar $V^\perp$ altijd werkt (Hoofdstuk 13), zijn de uitzondering, niet de regel.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.12.

(a) $W = \ker P$ is gesloten (origineel van $0$ onder een continue afbeelding); $V = \operatorname{im}P = \ker(I - P)$ (inderdaad $Px = x$ desda $x \in \operatorname{im}P$ , met $P^2 = P$ ), evenzo gesloten. Elke $x$ splitst als $Px + (x - Px)$ met $Px \in V$ , $x - Px \in W$ , en $V \cap W = 0$ ( $x = Px = 0$ ): $E = V \oplus W$ .

(b) Het grafiekargument: zij $x_n \to x$ en $Px_n \to z$ . Dan $z \in V$ ( $V$ gesloten, $Px_n \in V$ ) en $x_n - Px_n \to x - z \in W$ ( $W$ gesloten). Dus $x = z + (x - z)$ met $z \in V$ , $x - z \in W$ ; door uniciteit van de ontbinding, $z = Px$ . De grafiek van $P$ is gesloten, $E$ is Banach: $P$ is begrensd (Stelling 8.14).

(c) (a) en (b) samen zijn de equivalentie. In een Hilbertruimte heeft elke gesloten $V$ het gesloten complement $V^\perp$ (Hoofdstuk 13): elke gesloten deelruimte is gecomplementeerd. In algemene Banachruimten faalt dit — $c_0$ heeft geen gesloten complement in $\ell^\infty$ (stelling van Phillips, voorbij onze middelen) — dus zijn begrensde projecties een privilege, en is de gesloten-grafiekstelling precies de boekhouding die geometrische splitsingen omzet in begrensde operatoren.

8.6 Probleem: de dualiteit van de $\ell^p$ -ruimten

Probleem 8.1

Weekendprobleem — $(\ell^p)' = \ell^q$ , reflexiviteit, en de vreemdheid van $\ell^\infty$

Fixeer $1 < p < \infty$ en zij $q$ de geconjugeerde exponent, $\frac1p + \frac1q = 1$ . De paring doorheen is $\langle x, y\rangle = \sum_n x_ny_n$ .

Deel I — Hölder en Minkowski voor rijen.

(Ongelijkheid van Young) Voor $a, b \geq 0$ toon $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ , met concaafheid van $\log$ of door $t \mapsto \frac{t^p}p + \frac1q - t$ te bestuderen.
(Hölder) Leid af: $\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x_p\norm y_q$ voor $x \in \ell^p$ , $y \in \ell^q$ ; identificeer het gelijkheidsgeval.
(Minkowski) Leid de driehoeksongelijkheid voor $\norm\cdot_p$ af. (Schrijf $\abs{x_n + y_n}^p \leq \abs{x_n}\,\abs{x_n{+}y_n}^{p-1} + \abs{y_n}\,\abs{x_n{+}y_n}^{p-1}$ en pas Hölder toe op elke term.)
Bewijs dat $\ell^p$ volledig is en dat de eindige rijen er dicht in liggen.

Deel II — De dualiteit $(\ell^p)' = \ell^q$ .

Voor $y \in \ell^q$ , toon dat $\Lambda_y(x) = \langle x, y\rangle$ $\Lambda_y \in (\ell^p)'$ definieert met $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_q$ , en, testend op $x_n = \abs{y_n}^{q-1}\operatorname{sign}(y_n)$ (passend afgekapt en genormaliseerd), dat $\norm{\Lambda_y} = \norm y_q$ .
Omgekeerd, gegeven $\Lambda \in (\ell^p)'$ , zet $y_n = \Lambda(e_n)$ ; toon $y \in \ell^q$ met $\norm y_q \leq \norm\Lambda$ (test op afkappingen zoals in vraag 5 en laat de afkappingslengte groeien), en concludeer $\Lambda = \Lambda_y$ : de afbeelding $y \mapsto \Lambda_y$ is een isometrisch isomorfisme $\ell^q \to (\ell^p)'$ .
Leid af dat $\ell^p$ reflexief is voor $1 < p < \infty$ : de twee dualiteiten samenstellend, komt elk element van $(\ell^p)''$ van $\ell^p$ ; verifieer zorgvuldig dat de samenstelling de canonieke $J$ is.

Deel III — $\ell^1$ en $\ell^\infty$ zijn andere dieren.

Toon dat $\ell^p$ ( $1 \leq p < \infty$ ) en $c_0$ separabel zijn, maar $\ell^\infty$ niet. (De overaftelbaar vele indicatorrijen van deelverzamelingen van $\N$ liggen paarsgewijs op afstand $1$ .)
Leid uit Oefening 8.10 af dat $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$ maar $(\ell^\infty)' \not\cong \ell^1$ : $\ell^1$ is niet reflexief. (Als $(\ell^\infty)'$ $\ell^1$ was, zou zij separabel zijn, wat $\ell^\infty$ separabel forceert.)
(Een Banachlimiet, expliciet) Op $\ell^\infty_\R$ , zij $p(x) = \limsup_n \frac{x_1 + \dots + x_n}{n}$ . Toon dat $p$ sublineair is, en dat op de deelruimte $c$ van convergente rijen, $\mathrm{LIM}(x) = \lim x$ voldoet aan $\mathrm{LIM} \leq p$ . Breid uit met Hahn–Banach tot $\mathrm{LIM} \colon \ell^\infty_\R \to \R$ en toon: $\mathrm{LIM}$ is positief ( $x \geq 0 \Rightarrow \mathrm{LIM}(x) \geq 0$ ), shift-invariant ( $\mathrm{LIM}(x_2, x_3, \dots) = \mathrm{LIM}(x)$ ), breidt de limiet uit, en voldoet $\liminf x \leq \mathrm{LIM}(x)\leq \limsup x$ .
Toon dat zulk $\mathrm{LIM}$ , bekeken in $(\ell^\infty)'$ , niet van de vorm $\Lambda_y$ is voor enige $y \in \ell^1$ ; concludeer opnieuw $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ . (Evalueer op de eenheidsrijen $e_n$ , dan op de constante rij $1$ .)
Evalueer $\mathrm{LIM}$ op $(0,1,0,1,\dots)$ , en toon dat geen shift-invariante multiplicatieve uitbreiding van de limiet kan bestaan (beschouw $x = (0,1,0,1,\dots)$ en $x\cdot Sx$ waarbij $S$ de shift is).

Deel IV — Epiloog: waarom reflexiviteit telt.

Met Gevolg 8.10 en vraag 6, toon dat elke begrensde rij van $\ell^p$ ( $1 < p < \infty$ ) een deelrij $(x^{(k)})$ heeft die zwak convergeert: $\Lambda(x^{(k)})$ convergeert voor elke $\Lambda \in (\ell^p)'$ . (Diagonaalextractie op de aftelbaar vele coördinaten; identificeer de zwakke limiet in $\ell^p$ met uniforme begrensdheid van normen en Hölder.) Toon met voorbeeld ( $e_n$ in $\ell^1$ , tegen welgekozen elementen van $\ell^\infty$ ) dat dit faalt in $\ell^1$ : zwakke compactheid is een privilege van reflexieve ruimten.

Deel V — De zwakke topologie aan het werk, en de verrassing van Schur. Schrijf $x^{(k)} \rightharpoonup x$ in een genormeerde ruimte $E$ (zwakke convergentie) wanneer $\Lambda(x^{(k)}) \to \Lambda(x)$ voor elke $\Lambda \in E'$ .

Voltooi de census: toon $(c_0)' \cong \ell^1$ isometrisch, volgens het schema van vragen 5–6 (wat vervangt de testrijen?). Verzamel de keten $c_0 \to \ell^1 \to \ell^\infty \to \dots$ van opeenvolgende dualen en markeer waar reflexiviteit faalt.
Toon dat elke zwak convergente rij van een Banachruimte begrensd is: bekijk de $x^{(k)}$ via de canonieke embedding $J$ als functionalen op $E'$ en pas Banach–Steinhaus toe (Stelling 8.9) — op welke Banachruimte, en waarom is volledigheid daar beschikbaar?
Toon dat in $\ell^p$ , $1 < p < \infty$ : $x^{(k)} \rightharpoonup x$ desda $\sup_k\norm{x^{(k)}}_p < \infty$ en $x^{(k)}_n \to x_n$ voor elke coördinaat $n$ (één richting gebruikt Banach–Steinhaus via de canonieke embedding; voor de andere, benader $y \in \ell^q$ door eindige rijen). Leid af $e_k \rightharpoonup 0$ in $\ell^2$ terwijl $\norm{e_k}_2 = 1$ : zwakke limieten kunnen massa verliezen.
Toon dat de norm zwak onderhalfcontinu is: $x^{(k)} \rightharpoonup x$ impliceert $\norm x \leq \liminf_k\,\norm{x^{(k)}}$ (kies een normerende functionaal voor $x$ , Gevolg 8.7).
(Radon–Riesz in $\ell^2$ ) Toon dat in $\ell^2$ zwakke convergentie samen met convergentie van normen normconvergentie impliceert (ontwikkel $\norm{x^{(k)} - x}_2^2$ ). Geef een tegenvoorbeeld voor dezelfde uitspraak zonder de normhypothese.
(Schur, stap 1) Zij $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ in $\ell^1$ en veronderstel, voor tegenspraak, $\norm{x^{(k)}}_1 \geq \delta > 0$ langs een deelrij. Toon eerst dat $x^{(k)}_n \to 0$ voor elke $n$ (welke functionalen?), en construeer recursief indices $k_1 < k_2 < \cdots$ en gehele $0 = N_0 < N_1 < N_2 < \cdots$ zodat de massa van $x^{(k_j)}$ zich concentreert op het blok $B_j = \intoc{N_{j-1}}{N_j}$ :

$\sum_{n \in B_j}\bigl|x^{(k_j)}_n\bigr| \geq \norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac\delta{10} .$
(Schur, stap 2) Definieer $y \in \ell^\infty$ door $y_n = \operatorname{sign}\bigl(x^{(k_j)}_n\bigr)$ voor $n \in B_j$ . Toon $\langle x^{(k_j)}, y\rangle \geq \norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac{2\delta}{10} \geq \frac{8\delta}{10}$ en leid een tegenspraak af met $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ . Concludeer de stelling van Schur: in $\ell^1$ convergeren zwak convergente rijen in norm.
Leid af dat $(e_k)$ geen zwak convergente deelrij in $\ell^1$ heeft (haar enige kandidaatlimiet is $0$ , coördinaatsgewijs — pas dan Schur toe), en herwin de mislukking van zwakke compactheid van vraag 13; en los de schijnbare paradox op: in $\ell^1$ vallen zwakke en normconvergentie van rijen samen, toch verschillen de zwakke en norm-topologieën en falen begrensde verzamelingen nog steeds om zwak sequentieel compact te zijn — geen tegenspraak, alleen het falen van reflexiviteit.
(Synthesetabel) Voor $E \in \{c_0,\ \ell^1,\ \ell^p\ (1{<}p{<}\infty),\ \ell^\infty\}$ , tabuleer: de duale; separabiliteit; reflexiviteit; of begrensde rijen zwak convergente deelrijen toelaten; en één handtekeningseigenschap van elke ruimte, gerechtvaardigd in één regel uit dit probleem.

Deel VI — Complementen: dichtstbijzijnde punten, gemiddelde convergentie, de waarde van een Banachlimiet.

(Dichtstbijzijnde punten: een dividend van reflexiviteit) Zij $F$ een gesloten deelruimte van $\ell^p$ ( $1 < p < \infty$ ) en $x \in \ell^p$ . Toon dat $d = \operatorname{dist}(x, F)$ bereikt wordt: extraheer uit een minimaliserende rij een zwak convergente deelrij (vraag 13), houd de zwakke limiet binnen $F$ door, via Hahn–Banach, een functionaal te bouwen die op $F$ verdwijnt maar niet in een punt erbuiten, en concludeer met vraag 17. Toon dan dat het privilege niet universeel is: in $c_0$ , voor $\Lambda(x) = \sum_n2^{-n}x_n$ , bewijs dat $\norm\Lambda = 1$ niet bereikt wordt op de eenheidsbol, stel de afstandsformule $\operatorname{dist}(x, \ker\Lambda) = \abs{\Lambda(x)}$ vast, en leid af dat geen $x \notin \ker\Lambda$ een dichtstbijzijnd punt in het gesloten hypervlak $\ker\Lambda$ heeft.
(Banach–Saks in $\ell^2$ ) Zij $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ in $\ell^2_{\R}$ met $\norm{x^{(k)}}_2 \leq C$ . Construeer een deelrij $(y_j)$ met $\abs{\langle y_i, y_j\rangle} \leq \frac1j$ voor alle $i < j$ , en leid af

$\Bigl\lVert\frac{y_1 + \dots + y_m}m\Bigr\rVert_2^2 \leq \frac{C^2 + 2}m \longrightarrow 0 :$

na extractie convergeren de Cesàro-middelen in norm. Controleer op $(e_k)$ , wiens middelen norm $\frac1{\sqrt m}$ hebben: zwakke convergentie, nutteloos voor de rij zelf (vraag 16), wordt normconvergentie voor gemiddelden.
(De waarde van een Banachlimiet) Zij $L$ enige Banachlimiet (vraag 10) en $A_mx = \frac1m(x + Sx + \dots + S^{m-1}x)$ . Toon $L(A_mx) = L(x)$ en $\liminf A_mx \leq L(x) \leq \limsup A_mx$ ; leid af dat alle Banachlimieten overeenstemmen op periodieke rijen, met waarde het gemiddelde over een periode — $\frac13$ op $(1, 0, 0, 1, 0, 0, \dots)$ , consistent met $\frac12$ van vraag 12. Toon dan dat overeenstemming in het algemeen faalt: voor de blokrij $x$ gelijk aan $1$ op $\intoc{3^{j-1}}{3^j}$ voor even $j$ en $0$ elders, toon dat de Cesàro- middelen oscilleren tussen $\leq \frac13$ en $\geq \frac23$ , en bouw twee Banachlimieten $L_\pm$ met $L_-(x) \leq \frac13 < \frac23 \leq L_+(x)$ (breid uit van $c \oplus \R x$ met de extreme toelaatbare waarden $\pm$ : controleer dat $\Lambda(y + tx) = \lim y + t\,p(x)$ gedomineerd wordt door de sublineaire $p$ van vraag 10).

Oplossing

Oplossing van Probleem 8.1.

1. Voor $a, b > 0$ : door concaafheid van $\log$ , $\log\bigl(\tfrac{a^p}p + \tfrac{b^q}q\bigr) \geq \tfrac1p\log a^p + \tfrac1q\log b^q = \log(ab)$ ; exponentieer. (Als $ab = 0$ is de ongelijkheid triviaal.) Gelijkheid desda $a^p = b^q$ .

2. We mogen $\norm x_p = \norm y_q = 1$ aannemen (homogeniteit; nulgevallen triviaal). Dan

\abs{\langle x, y\rangle} \leq \sum_n\abs{x_n}\abs{y_n} \leq \sum_n\Bigl(\frac{\abs{x_n}^p}p + \frac{\abs{y_n}^q}q\Bigr) = \frac1p + \frac1q = 1 = \norm x_p\norm y_q .

Gelijkheid eist $\abs{x_n}^p = \abs{y_n}^q$ voor alle $n$ (gelijkheidsgeval van Young) en uitlijning van de fasen van $x_ny_n$ .

3. $\abs{x_n + y_n}^p \leq \bigl(\abs{x_n} + \abs{y_n}\bigr)\abs{x_n + y_n}^{p-1}$ ; sommerend en Hölder toepassend ( $p$ tegen $q$ , noteren $(p - 1)q = p$ ):

\norm{x + y}_p^p \leq \bigl(\norm x_p + \norm y_p\bigr)\,\Bigl(\sum_n\abs{x_n + y_n}^{p}\Bigr)^{1/q} = \bigl(\norm x_p + \norm y_p\bigr)\,\norm{x+y}_p^{p/q};

als $\norm{x + y}_p \neq 0$ (anders triviaal), deel door $\norm{x+y}_p^{p/q}$ en gebruik $p - \frac pq = 1$ . (Eindigheid van $\norm{x+y}_p$ eerst: $\abs{x_n+y_n}^p \leq 2^p(\abs{x_n}^p + \abs{y_n}^p)$ .)

4. Volledigheid: zoals voor $\ell^1$ (Oefening 8.3), coördinaatsgewijze limieten plus de uniforme staartgrens $\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n}^p \leq \varepsilon^p$ , $l$ dan $N$ naar oneindig latend. Dichtheid van eindige rijen: $\norm{x - \sum_{n\leq N}x_ne_n}_p^p = \sum_{n > N}\abs{x_n}^p \to 0$ .

5. Hölder geeft $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm x_p\norm y_q$ : $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_q$ . Testen: zij $x^{(N)}_n = \abs{y_n}^{q-1}\overline{\operatorname{sign}}(y_n)$ voor $n \leq N$ , $0$ daarna (met $\operatorname{sign}$ de unimodulaire fase, zodat $x_ny_n = \abs{y_n}^q$ ). Dan $\Lambda_y(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q$ en $\norm{x^{(N)}}_p = \bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^{q}\bigr)^{1/p}$ (want $(q-1)p = q$ ), dus

\norm{\Lambda_y} \geq \Bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\Bigr)^{1 - 1/p} \xrightarrow[N\to\infty]{} \norm y_q .

6. Zet $y_n = \Lambda(e_n)$ . Met dezelfde testvectoren, $\sum_{n \leq N}\abs{y_n}^q = \Lambda(x^{(N)}) \leq \norm\Lambda\,\bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/p}$ , vandaar $\bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/q} \leq \norm\Lambda$ voor elke $N$ : $y \in \ell^q$ , $\norm y_q \leq \norm\Lambda$ . De functionalen $\Lambda$ en $\Lambda_y$ stemmen overeen op de dichte eindige rijen (vraag 4): $\Lambda = \Lambda_y$ . Met vraag 5 is $y \mapsto \Lambda_y$ een isometrisch isomorfisme $\ell^q \cong (\ell^p)'$ .

7. Zij $\xi \in (\ell^p)''$ . Samenstellend met de isometrie $\ell^q \cong (\ell^p)'$ van vraag 6, definieert $\xi$ een element van $(\ell^q)'$ , dat (vraag 6 met $p, q$ verwisseld) $\Lambda_z$ is voor unieke $z \in \ell^p$ : voor elke $y \in \ell^q$ , $\xi(\Lambda_y) = \sum_nz_ny_n$ . Anderzijds $J(z)(\Lambda_y) = \Lambda_y(z) = \sum_ny_nz_n$ : dezelfde waarde. Omdat elk element van $(\ell^p)'$ enige $\Lambda_y$ is, $\xi = J(z)$ : $J$ is op — $\ell^p$ is reflexief.

8. Eindige rijen met rationale (reële en imaginaire) entries zijn aftelbaar en dicht in $\ell^p$ ( $p < \infty$ ) en in $c_0$ . In $\ell^\infty$ : de familie $\{\mathbf 1_A : A \subseteq \N\}$ is overaftelbaar met $\norm{\mathbf 1_A - \mathbf 1_B}_\infty = 1$ voor $A \neq B$ ; de bollen $B(\mathbf 1_A, \frac12)$ zijn paarsgewijs disjunct, en een dichte verzameling moet elk snijden: geen aftelbare dichte verzameling bestaat.

9. Als $\ell^1$ reflexief was, zou $(\ell^\infty)' \cong ((\ell^1)')' = J(\ell^1)$ separabel zijn (isometrisch beeld van de separabele $\ell^1$ ); door Oefening 8.10 zou separabiliteit van de duale $(\ell^\infty)'$ $\ell^\infty$ separabel forceren — in tegenspraak met vraag 8. Dus is $\ell^1$ niet reflexief (en $(\ell^\infty)'$ is strikt groter dan $\ell^1$ , zoals vraag 11 concreet maakt).

10. Homogeniteit van $p$ is duidelijk; subadditiviteit: middelen zijn lineair, en $\limsup(u_n + v_n) \leq \limsup u_n + \limsup v_n$ . Op $c$ : de Cesàro-middelen van een convergente rij convergeren naar haar limiet, dus $p(x) = \lim x = \mathrm{LIM}(x)$ daar; in het bijzonder $\mathrm{LIM} \leq p$ op $c$ . Hahn–Banach (Stelling 8.6) breidt $\mathrm{LIM}$ uit tot $\ell^\infty_\R$ met $\mathrm{LIM} \leq p$ globaal. Positiviteit: voor $x \geq 0$ , $-\mathrm{LIM}(x) = \mathrm{LIM}(-x) \leq p(-x) = \limsup\text{avg}(-x) \leq 0$ . Shift-invariantie: de middelen van $x - Sx$ telescoperen tot $\frac{x_1 - x_{n+1}}n \to 0$ , dus $p(\pm(x - Sx)) = 0$ en $\mathrm{LIM}(x - Sx) = 0$ . Grenzen: $\mathrm{LIM}(x) \leq p(x) \leq \limsup x$ (middelen lopen achter op sups), en dit op $-x$ toepassen geeft de ondergrens.

11. $e_n \in c_0$ , dus $\mathrm{LIM}(e_n) = 0$ voor alle $n$ . Als $\mathrm{LIM} = \Lambda_y$ met $y \in \ell^1$ , dan $y_n = \Lambda_y(e_n) = 0$ voor alle $n$ : $\Lambda_y = 0$ ; maar $\mathrm{LIM}(\mathbf 1) = 1$ . Dus $\mathrm{LIM} \in (\ell^\infty)' \setminus \{\Lambda_y : y \in \ell^1\}$ : $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ , opnieuw.

12. Voor $x = (0,1,0,1,\dots)$ : $x + Sx = \mathbf 1$ , dus $2\,\mathrm{LIM}(x) = \mathrm{LIM}(x) + \mathrm{LIM}(Sx) = 1$ : $\mathrm{LIM}(x) = \frac12$ . Als $\varphi$ een shift-invariante multiplicatieve uitbreiding van de limiet was: $x\cdot Sx = 0$ geeft $\varphi(x)\varphi(Sx) = \varphi(x)^2 = 0$ , dus $\varphi(x) = 0$ ; maar $\varphi(x) + \varphi(Sx) = \varphi(\mathbf 1) = 1$ geeft $2\varphi(x) = 1$ : tegenspraak. Middelen en vermenigvuldiging kunnen niet samenleven.

13. Zij $\norm{x^{(k)}}_p \leq M$ . Coördinaten zijn begrensd door $M$ : een diagonaalextractie geeft een deelrij (nog $x^{(k)}$ genoemd) met $x^{(k)}_n \to x_n$ voor elke $n$ . Dan $x \in \ell^p$ : $\sum_{n\leq N}\abs{x_n}^p = \lim_k\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n}^p \leq M^p$ voor alle $N$ . Zwakke convergentie: voor $y \in \ell^q$ en $N$ willekeurig,

\abs{\Lambda_y(x^{(k)} - x)} \leq \Bigl|\sum_{n \leq N}(x^{(k)}_n - x_n)y_n\Bigr| + 2M\Bigl(\sum_{n>N}\abs{y_n}^q\Bigr)^{1/q},

waarbij de eerste term naar $0$ neigt als $k \to \infty$ (eindig veel coördinaten) en de tweede klein is voor $N$ groot (Hölder op de staart): $\Lambda_y(x^{(k)}) \to \Lambda_y(x)$ voor elke $y$ — zwakke convergentie, omdat elke functionaal een $\Lambda_y$ is (vraag 6). In $\ell^1$ faalt dit: beschouw $(e_n)$ , begrensd. Elke deelrij $(e_{n_k})$ convergeert coördinaatsgewijs naar $0$ , dus is haar enige zwakke limietkandidaat $0$ ; maar testen tegen $y \in \ell^\infty$ gedefinieerd door $y_{n_k} = (-1)^k$ (en $0$ elders), $\Lambda_y(e_{n_k}) = (-1)^k$ divergeert. Geen zwak convergente deelrij: zwakke sequentiële compactheid van bollen karakteriseert de reflexieve wereld.

14. Voor $y \in \ell^1$ is $\Lambda_y(x) = \sum x_ny_n$ gedefinieerd op $c_0$ met $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm x_\infty\norm y_1$ , en testen op $x^{(N)} = (\operatorname{sign}y_1, \dots, \operatorname{sign}y_N, 0, \dots) \in c_0$ geeft $\Lambda_y(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n} \to \norm y_1$ : $\norm{\Lambda_y} = \norm y_1$ . Omgekeerd, voor $\Lambda \in (c_0)'$ zet $y_n = \Lambda(e_n)$ ; dezelfde tests geven $\sum_{n \leq N}\abs{y_n} = \Lambda(x^{(N)}) \leq \norm\Lambda$ , dus $y \in \ell^1$ , en $\Lambda = \Lambda_y$ op de dichte eindige rijen, dus overal. De keten van dualen: $(c_0)' = \ell^1$ , $(\ell^1)' = \ell^\infty$ (Oefening 8.10), $(\ell^\infty)' \supsetneq \ell^1$ (vragen 9–11): reflexiviteit faalt al bij de allereerste stap — $c_0'' = \ell^\infty \neq c_0$ — en herstelt nooit.

15. $J x^{(k)} \in E'' = (E')'$ is een familie begrensde functionalen op de Banachruimte $E'$ (dualen zijn volledig, Propositie 8.2); voor elke $\Lambda \in E'$ convergeert de rij $Jx^{(k)}(\Lambda) = \Lambda(x^{(k)})$ , is dus begrensd. Banach–Steinhaus op $E'$ geeft $\sup_k\norm{Jx^{(k)}} < \infty$ , en $J$ is isometrisch (Opmerking 8.8): $\sup_k\norm{x^{(k)}} < \infty$ .

16. ( $\Rightarrow$ ) Begrensdheid is vraag 15; coördinaten zijn de functionalen $\Lambda_{e_n}$ . ( $\Leftarrow$ ) Zij $M = \sup_k\norm{x^{(k)}}_p$ , $y \in \ell^q$ , $\varepsilon > 0$ ; kies $N$ met $\bigl(\sum_{n>N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/q} < \varepsilon$ . Dan

\abs{\Lambda_y(x^{(k)} - x)} \leq \sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x_n}\,\abs{y_n} + \norm{x^{(k)} - x}_p\,\varepsilon \leq \sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x_n}\abs{y_n} + (M + \norm x_p)\,\varepsilon,

en de eindige som neigt naar $0$ : $\limsup \leq (M + \norm x_p)\varepsilon$ voor elke $\varepsilon$ . (Dat $x \in \ell^p$ met $\norm x_p \leq M$ volgt uit Fatou-stijl eindige-sectie-grenzen: $\sum_{n \leq N}\abs{x_n}^p = \lim_k\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n}^p \leq M^p$ .) Voor $e_k$ in $\ell^2$ : begrensd, coördinaatsgewijs $\to 0$ , dus $e_k \rightharpoonup 0$ , toch $\norm{e_k} = 1$ : de eenheid massa ontsnapt naar oneindige index, onzichtbaar voor elke vaste functionaal.

17. Neem $\Lambda$ met $\norm\Lambda = 1$ en $\Lambda(x) = \norm x$ (Gevolg 8.7). Dan $\norm x = \lim\Lambda(x^{(k)}) \leq \liminf\norm\Lambda\,\norm{x^{(k)}} = \liminf\norm{x^{(k)}}$ . (Met $e_k \rightharpoonup 0$ : $0 \leq \liminf 1$ , en de ongelijkheid kan strikt zijn.)

18. In $\ell^2$ , $\norm{x^{(k)} - x}_2^2 = \norm{x^{(k)}}_2^2 - 2\operatorname{Re}\langle x^{(k)}, x\rangle + \norm x_2^2$ (reëel geval: $-2\langle x^{(k)}, x\rangle$ ). Zwakke convergentie toegepast op de functionaal $\Lambda_x$ geeft $\langle x^{(k)}, x\rangle \to \norm x_2^2$ , en de normen convergeren door hypothese: de rechterkant neigt naar $\norm x^2 - 2\norm x^2 + \norm x^2 = 0$ . Tegenvoorbeeld zonder normconvergentie: $e_k \rightharpoonup 0$ , $\norm{e_k - 0} = 1 \not\to 0$ .

19. Coördinaatconvergentie: pas de functionalen $\Lambda_{e_n} \in (\ell^1)' = \ell^\infty$ toe ( $y = e_n$ ). Constructie: na keuze van $k_{j-1}, N_{j-1}$ , kies $k_j > k_{j-1}$ zo groot dat $\sum_{n \leq N_{j-1}}\abs{x^{(k_j)}_n} < \frac\delta{20}$ (eindig veel coördinaten, elk $\to 0$ ), dan $N_j > N_{j-1}$ zo groot dat de staart $\sum_{n > N_j}\abs{x^{(k_j)}_n} < \frac\delta{20}$ voldoet (convergentie van de reeks die $\norm{x^{(k_j)}}_1$ definieert). Het blok $B_j = \intoc{N_{j-1}}{N_j}$ draagt dan alles behalve $\frac\delta{10}$ van de massa van $x^{(k_j)}$ .

20. Met $y$ zoals gedefinieerd ( $\abs{y_n} \leq 1$ overal):

\langle x^{(k_j)}, y\rangle = \sum_{n \in B_j}\abs{x^{(k_j)}_n} + \sum_{n \notin B_j}x^{(k_j)}_ny_n \geq \Bigl(\norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac\delta{10}\Bigr) - \frac\delta{10} \geq \delta - \frac{2\delta}{10} = \frac{4\delta}5 > 0,

de middelste ongelijkheid omdat de massa buiten het blok hoogstens $\frac\delta{10}$ is (vraag 19). Maar $y \in \ell^\infty = (\ell^1)'$ en $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ forceren $\langle x^{(k_j)}, y\rangle \to 0$ : tegenspraak. Dus zijn zwak-nullrijen van $\ell^1$ norm-null, en door translatie convergeren zwak convergente rijen in norm: de stelling van Schur.

21. Een zwak convergente deelrij van $(e_k)$ zou limiet $0$ hebben (coördinaten), dus door Schur $\norm{e_{k_j}}_1 \to 0$ — maar de normen zijn $1$ . Dus bestaat er geen zwak convergente deelrij, zoals met de hand in vraag 13 gevonden. Geen paradox: Schur zegt dat rijen de zwakke van de normtopologie in $\ell^1$ niet kunnen onderscheiden (de topologieën zelf verschillen — zwakke omgevingen zijn nooit normbegrensd), en zwakke sequentiële compactheid van de eenheidsbol is een andere, sterkere eigenschap, equivalent met reflexiviteit (Eberlein–Šmulian, voorbij onze middelen; het falen, althans, hebben we bewezen).

22. De census.

$E$	$E'$	sep.	refl.	zwak seq. cpt. bollen
$c_0$	$\ell^1$	ja	nee	nee ( $e_1{+}\dots{+}e_k$ )
$\ell^1$	$\ell^\infty$	ja	nee	nee ( $e_k$ , v. 21)
$\ell^p$	$\ell^q$	ja	ja	ja (v. 13)
$\ell^\infty$	$\supsetneq\ell^1$	nee	nee	nee

Handtekeningen: $c_0$ — haar biduale is $\ell^\infty$ : de eerste niet-reflexieve stap (vraag 14); $\ell^1$ — Schur-eigenschap (vraag 20); $\ell^p$ — reflexiviteit en zwakke compactheid (vragen 7, 13); $\ell^\infty$ — niet-separabiliteit en Banachlimieten: functionalen die geen rij kan voorstellen (vragen 8, 10–11). Eén familie ruimten, vier verschillende werelden.

23. Zij $(f_k) \subseteq F$ met $\norm{x - f_k} \to d$ . Dan $\norm{f_k} \leq \norm x + \sup_k\norm{x - f_k}$ : begrensd, dus door vraag 13 een deelrij $f_{k_j} \rightharpoonup f$ . Als $f \notin F$ , dan $\delta = \operatorname{dist}(f, F) > 0$ ( $F$ gesloten); op $F \oplus \R f$ voldoet de lineaire vorm $\lambda(g + tf) = t$ aan $\abs{\lambda(u)} \leq \norm u/\delta$ (omdat $\norm{g + tf} \geq \abs t\,\delta$ ), en Hahn–Banach breidt haar uit tot $\Lambda \in (\ell^p)'$ met $\Lambda\restriction_F = 0$ , $\Lambda(f) = 1$ ; maar dan $0 = \Lambda(f_{k_j}) \to \Lambda(f) = 1$ : tegenspraak. Dus $f \in F$ , en $x - f_{k_j} \rightharpoonup x - f$ geeft, door vraag 17,

d \leq \norm{x - f} \leq \liminf_j\,\norm{x - f_{k_j}} = d :

de afstand wordt bereikt in $f$ . In $c_0$ : $\abs{\Lambda(x)} \leq \sum_n2^{-n}\abs{x_n} < \norm x_\infty$ voor elke $x \neq 0$ (een niet-nul-nullrij kan niet $\abs{x_n} = \norm x_\infty$ voor alle $n$ voldoen), terwijl de afgekaptten $(1, \dots, 1, 0, \dots)$ $\Lambda = 1 - 2^{-N} \to 1$ geven: dus $\norm\Lambda = 1$ , nooit bereikt. Afstandsformule: voor $f \in \ker\Lambda$ , $\abs{\Lambda(x)} = \abs{\Lambda(x - f)} \leq \norm{x - f}$ , dus $\operatorname{dist}(x, \ker\Lambda) \geq \abs{\Lambda(x)}$ ; omgekeerd, voor $u$ in de eenheidsbol met $\Lambda(u) \geq 1 - \varepsilon$ , ligt de vector $f = x - \frac{\Lambda(x)}{\Lambda(u)}u$ in $\ker\Lambda$ met $\norm{x - f} \leq \frac{\abs{\Lambda(x)}}{1 - \varepsilon}$ : gelijkheid. Als enige $f \in \ker\Lambda$ haar bereikte, zou $z = x - f$ voldoen $\abs{\Lambda(z)} = \abs{\Lambda(x)} = \norm z \neq 0$ , dus zou $\Lambda$ haar norm bereiken in $z/\norm z$ : onmogelijk. Een gesloten hypervlak van $c_0$ zonder dichtstbijzijnde punten ergens — reflexiviteit was niet decoratief.

24. Zet $y_1 = x^{(1)}$ . Gegeven $y_1, \dots, y_j$ , neigt elke afbeelding $k \mapsto \langle y_i, x^{(k)}\rangle$ naar $0$ ( $y_i \in \ell^2 = (\ell^2)'$ ), dus is er $k_{j+1}$ voorbij de vorige index met $\abs{\langle y_i, x^{(k_{j+1})}\rangle} \leq \frac1{j+1}$ voor $i = 1, \dots, j$ ; noem de keuze $y_{j+1}$ . Dan

\Bigl\lVert\sum_{j=1}^my_j\Bigr\rVert_2^2 = \sum_{j=1}^m\norm{y_j}_2^2 + 2\sum_{j=2}^m\sum_{i<j}\langle y_i, y_j\rangle \leq mC^2 + 2\sum_{j=2}^m\frac{j-1}j \leq mC^2 + 2m,

en delend door $m^2$ : $\norm{\frac1m\sum_jy_j}_2^2 \leq \frac{C^2 + 2}m \to 0$ . (Voor een zwakke limiet $x \neq 0$ , pas dit toe op $x^{(k)} - x$ .) Op de orthonormale $(e_k)$ is zelfs geen extractie nodig: $\norm{\frac1m(e_1 + \dots + e_m)}_2 = \frac{\sqrt m}m = \frac1{\sqrt m}$ . Middelen zetten zwakke convergentie om in normconvergentie: de Banach–Saks-eigenschap van $\ell^2$ .

25. $A_mx = \frac1m\sum_{i=0}^{m-1}S^ix$ , dus geven lineariteit en shift-invariantie $L(A_mx) = L(x)$ . Voor elke begrensde $u$ en $\varepsilon > 0$ , kies $N$ met $u_n \leq \limsup u + \varepsilon$ voor $n \geq N$ ; positiviteit toegepast op $(\limsup u + \varepsilon)\mathbf 1 - S^Nu \geq 0$ en $L(S^Nu) = L(u)$ geven $L(u) \leq \limsup u + \varepsilon$ , en symmetrisch $L(u) \geq \liminf u - \varepsilon$ : dus $\liminf A_mx \leq L(x) \leq \limsup A_mx$ voor elke $m$ . Als $x$ $T$ -periodiek is, is $A_Tx$ de constante rij gelijk aan het periodemiddel $\mu$ : $L(x) = \mu$ voor elke Banachlimiet — $\frac13$ op $(1,0,0,\dots)$ , $\frac12$ op $(0,1,0,1,\dots)$ zoals in vraag 12. Voor de blokrij: in $N = 3^j$ met $j$ even is het laatste blok geheel enen, dus is het Cesàro-middel $\geq \frac{3^j - 3^{j-1}}{3^j} = \frac23$ ; in $N = 3^j$ met $j$ oneven zitten alle enen in $\intoc0{3^{j-1}}$ , dus is het middel $\leq \frac13$ . Dus $p(x) \geq \frac23$ en $-p(-x) = \liminf_n\frac{x_1 + \dots + x_n}n \leq \frac13$ . Op $M = c \oplus \R x$ definieer $\Lambda_+(y + tx) = \lim y + t\,p(x)$ . Domineren door $p$ : voor $t > 0$ geeft sublineariteit $p(tx) \leq p(y + tx) + p(-y)$ , d.w.z. $p(y + tx) \geq t\,p(x) + \lim y$ (noteer $p(\pm y) = \pm\lim y$ voor $y \in c$ : Cesàro-middelen van een convergente rij convergeren naar haar limiet); voor $t = -s < 0$ , $p(y) \leq p(y - sx) + p(sx)$ geeft $p(y - sx) \geq \lim y - s\,p(x)$ ; voor $t = 0$ is er gelijkheid. Dus $\Lambda_+ \leq p$ op $M$ , en Hahn–Banach breidt haar uit tot $L_+ \leq p$ op $\ell^\infty_\R$ , die een Banachlimiet is precies als in vraag 10 (domineren door $p$ levert positiviteit, shift-invariantie, en de waarde $\lim$ op $c$ ), met $L_+(x) = p(x) \geq \frac23$ . Dezelfde berekening met $\Lambda_-(y + tx) = \lim y - t\,p(-x)$ (gebruik $p(-sx) \leq p(y - sx) + p(-y)$ voor het geval $t = -s < 0$ ) levert een Banachlimiet $L_-$ met $L_-(x) = -p(-x) \leq \frac13$ . Twee Banachlimieten, één rij, twee waarden: buiten de periodieke (en, algemener, bijna convergente) wereld is een Banachlimiet een echte keuze.

8.1 Begrensde operatoren; rijenruimten

8.2 Hahn–Banach

8.3 De Baire-trilogie

8.4 Duale ruimten, concreet

8.5 Oefeningen

8.6 Probleem: de dualiteit van de ℓp\ell^pℓp-ruimten

8.6 Probleem: de dualiteit van de $\ell^p$ -ruimten