Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Bachelor Year 3

8Banachruimten en de fundamentele stellingen

De functionaalanalyse bestudeert oneindigdimensionale genormeerde ruimten via de operatoren en functionalen die erop leven. Haar stichtende ontdekking is dat volledigheid, via de stelling van Baire, sterke uniformiteit afdwingt: puntsgewijs begrensde families operatoren zijn begrensd in norm (Banach–Steinhaus), continue bijecties hebben continue inversen (de open afbeelding), en grafieken sporen continuïteit op (de gesloten grafiek). De andere pijler, Hahn–Banach, heeft helemaal geen volledigheid nodig — alleen het lemma van Zorn — en garandeert dat duale ruimten rijk genoeg zijn om elke vector te zien. Dit hoofdstuk bewijst alle vier de stellingen en toetst ze aan de klassieke rijruimten $\ell^p$ , aan concrete berekeningen van duale ruimten, en aan een werkelijk verrassende toepassing: er bestaan continue $2\pi$ -periodieke functies waarvan de fourierreeks in een punt divergeert — waarmee een vraag die bachelorjaar 2 openliet ontkennend wordt beslecht.

Overal zijn $E, F$ genormeerde ruimten over $K = \R$ of $\C$ ; en banachruimte betekent volledige genormeerde ruimte.

8.1 Begrensde operatoren; rijruimten

Definitie 8.1

$\mathcal L(E, F)$ noteert de ruimte van de begrensde (= continue, bachelorjaar 2) lineaire afbeeldingen, met de operatornorm $\vertiii T = \sup_{\norm x \leq 1}\norm{Tx}$ ; die is submultiplicatief: $\vertiii{ST} \leq \vertiii S\,\vertiii T$ . De duale ruimte is $E' = \mathcal L(E, K)$ .

Propositie 8.2

Is $F$ een banachruimte, dan ook $\mathcal L(E, F)$ ; in het bijzonder is $E'$ altijd een banachruimte.

Bewijs. Zij $(T_n)$ Cauchy voor $\vertiii\cdot$ . Voor elke $x$ is $\norm{T_nx - T_mx} \leq \vertiii{T_n - T_m}\norm x$ : dus is $(T_nx)$ Cauchy in $F$ en convergent; noem de limiet $Tx$ . $T$ is lineair (limieten van lineaire identiteiten); en overgaan tot de limiet in $\norm{T_nx - T_mx} \leq \varepsilon\norm x$ (voor $n, m \geq N$ ) geeft $\norm{T_nx - Tx} \leq \varepsilon\norm x$ : dus $T_n \to T$ in operatornorm, en $\vertiii T \leq \vertiii{T_N} + \varepsilon < \infty$ . ∎

Definitie 8.3

De klassieke rijruimten (over $K$ , geïndexeerd door $\N$ ):

\ell^p = \Bigl\{x = (x_n) : \norm x_p = \Bigl(\sum_n \abs{x_n}^p\Bigr)^{1/p} < \infty\Bigr\}\quad (1 \leq p < \infty),

\ell^\infty = \{x : \norm x_\infty = \sup\abs{x_n} < \infty\},

en $c_0 = \{x : x_n \to 0\}$ met $\norm\cdot_\infty$ . Dat $\norm\cdot_p$ een norm is, volgt uit de ongelijkheid van Minkowski, in het discrete geval precies zo bewezen als in Hoofdstuk 12 (of door de eindigdimensionale ongelijkheid uit bachelorjaar 2 te sommeren). Alle zijn banachruimten, en $c_0$ is een gesloten deelruimte van $\ell^\infty$ (Oefening 8.3).

Eenheidsballen van de p-normen in het vlak, genest naarmate p groeit van 1 (ruit) via 2 (schijf) en 4 (superellips) naar ∈fty (vierkant). De convexiteit van elke bal is de ongelijkheid van Minkowski; en in de hoeken bij p = 1 en p = ∈fty ontaarden strikte convexiteit, de eenduidigheid van beste benaderingen en de gelijkheidsgevallen van tegelijk. — Eenheidsballen van de $p$ -normen in het vlak, genest naarmate $p$ groeit van $1$ (ruit) via $2$ (schijf) en $4$ (superellips) naar $\infty$ (vierkant). De convexiteit van elke bal is de ongelijkheid van Minkowski; en in de hoeken bij $p = 1$ en $p = \infty$ ontaarden strikte convexiteit, de eenduidigheid van beste benaderingen en de gelijkheidsgevallen van Oefening 12.12 tegelijk.

Propositie 8.4 (Neumannreeks)

Zij $E$ een banachruimte en $T \in \mathcal L(E) = \mathcal L(E,E)$ met $\vertiii T < 1$ . Dan is $I - T$ inverteerbaar in $\mathcal L(E)$ , met $(I - T)^{-1} = \sum_{n\geq0}T^n$ (convergent in operatornorm). Bijgevolg is de verzameling inverteerbare operatoren open, en is het inverteren erop continu.

Bewijs. De reeks convergeert absoluut ( $\vertiii{T^n} \leq \vertiii T^n$ , meetkundig) in de banachruimte $\mathcal L(E)$ (Propositie 8.2; Oefening 7.1(b)). Telescoperen geeft $(I - T)\sum_{n \leq N}T^n = I - T^{N+1} \to I$ , en net zo aan de andere kant. Voor de openheid: is $S$ inverteerbaar en $\vertiii{H} < 1/\vertiii{S^{-1}}$ , dan is $S + H = S(I + S^{-1}H)$ met $\vertiii{S^{-1}H} < 1$ : inverteerbaar. Continuïteit van het inverteren: de reeksuitdrukking geeft lokaal $\vertiii{(S+H)^{-1} - S^{-1}} = O(\vertiii H)$ . ∎

Voorbeeld 8.5 (Een vergelijking van Volterra, met Neumann opgelost)

Beschouw op $E = \mathcal C(\intcc01)$ de integraalvergelijking

u(x) = 1 + \lambda\int_0^xu(t)\,\dd t, \qquad\text{dat wil zeggen}\qquad u = \mathbf 1 + \lambda Tu, \quad (Tu)(x) = \int_0^xu .

Hier is $\vertiii T \leq 1$ , dus voor $\abs\lambda < 1$ is de Neumannreeks rechtstreeks van toepassing: $u = (I - \lambda T)^{-1}\mathbf 1 = \sum_n\lambda^nT^n\mathbf 1$ . Berekenen geeft $T^n\mathbf 1 = \frac{x^n}{n!}$ , dus

u(x) = \sum_{n\geq0}\frac{(\lambda x)^n}{n!} = \eu^{\lambda x} ,

zoals differentiëren bevestigt. Sterker nog: $\vertiii{T^n} \leq \frac1{n!}$ (de herhaalde kern krimpt faculteitsgewijs), zodat $\sum\lambda^nT^n$ voor elke $\lambda$ convergeert — de operator $I - \lambda T$ is inverteerbaar voor alle $\lambda \in \C$ , ook al is $\vertiii{\lambda T} \geq 1$ vanaf zeker moment: wat telt is het spectrale afnemen van de machten, niet de eerste norm. Volterra-operatoren dragen dat faculteitsgewijze afnemen in zich (Oefening 7.4(a) buitte precies dat uit), en daarom kennen beginwaardeproblemen nooit de resonantieverschijnselen van randwaardeproblemen (Hoofdstuk 15).

8.2 Hahn–Banach

Stelling 8.6 (Hahn–Banach, analytische vorm)

Zij $E$ een reële vectorruimte, $p \colon E \to \R$ sublineair ( $p(x + y) \leq p(x) + p(y)$ en $p(tx) = tp(x)$ voor $t \geq 0$ ), $F \subseteq E$ een deelruimte en $f \colon F \to \R$ lineair met $f \leq p$ op $F$ . Dan zet $f$ zich voort tot een lineaire $\tilde f \colon E \to \R$ met $\tilde f \leq p$ op $E$ .

Bewijs. Voortzetting in één stap. Zij $x_0 \notin F$ ; we zetten $f$ voort tot $F \oplus \R x_0$ door $\alpha = \tilde f(x_0)$ goed te kiezen: we hebben nodig, voor alle $y \in F$ en $t > 0$ ,

f(y) + t\alpha \leq p(y + tx_0) \quad\text{en}\quad f(y) - t\alpha \leq p(y - tx_0),

wat na deling door $t$ (sublineariteit) neerkomt op

\sup_{v \in F}\ \bigl[f(v) - p(v - x_0)\bigr] \;\leq\; \alpha \;\leq\; \inf_{u \in F}\ \bigl[p(u + x_0) - f(u)\bigr].

Zo’n $\alpha$ bestaat precies wanneer elk linkerlid $\leq$ elk rechterlid is: en inderdaad is $f(v) + f(u) = f(u + v) \leq p(u + v) \leq p(u + x_0) + p(v - x_0)$ , dat wil zeggen $f(v) - p(v - x_0) \leq p(u + x_0) - f(u)$ .

Zorn. Orden de voortzettingen van $f$ die door $p$ gedomineerd worden (paren: deelruimte, functionaal) naar voortzetting; een keten heeft de vereniging als bovengrens; en een maximaal element moet op heel $E$ gedefinieerd zijn, want anders spreekt de voortzetting in één stap de maximaliteit tegen. ∎

Gevolg 8.7

Zij $E$ een genormeerde ruimte ( $K = \R$ of $\C$ ).

Elke $f \in F'$ (met $F$ een deelruimte) zet zich voort tot een $\tilde f \in E'$ met $\norm{\tilde f}_{E'} = \norm f_{F'}$ .
Voor elke $x \neq 0$ is er een $f \in E'$ met $\norm f = 1$ en $f(x) = \norm x$ . In het bijzonder scheidt $E'$ de punten van $E$ , en is $\norm x = \sup_{\norm f \leq 1}\abs{f(x)}$ .
Voor een gesloten deelruimte $F$ en $x \notin F$ is er een $f \in E'$ die op $F$ verdwijnt, met $f(x) = d(x, F)$ en $\norm f \leq 1$ .

Bewijs. (1) Reëel geval: pas Stelling 8.6 toe met $p(x) = \norm f_{F'}\,\norm x$ (sublineair); de voortzetting voldoet aan $\pm\tilde f(x) = \tilde f(\pm x) \leq p(x)$ , dus $\norm{\tilde f} \leq \norm f$ , en $\geq$ is de beperking. Complex geval: zij $u = \operatorname{Re}f$ , een reële functionaal met $\abs u \leq \norm f\norm\cdot$ ; merk op dat $f(x) = u(x) - \iu\,u(\iu x)$ (controleer op reëel en imaginair deel: $\operatorname{Im}f(x) = -\operatorname{Re}f(\iu x)$ ). Zet $u$ reëel-lineair voort met dezelfde grens, en stel $\tilde f(x) = \tilde u(x) - \iu\tilde u(\iu x)$ : die is $\C$ -lineair (rechtstreeks na te gaan op vermenigvuldiging met $\iu$ ) en zet $f$ voort; norm: schrijf voor gegeven $x$ de waarde $\tilde f(x) = r\eu^{\iu\theta}$ , dan is $\abs{\tilde f(x)} = \tilde f(\eu^{-\iu\theta}x) = \tilde u(\eu^{-\iu\theta}x) \leq \norm f\,\norm x$ .

(2) Definieer op $F = Kx$ : $f(tx) = t\norm x$ , van norm $1$ op $F$ ; zet voort met (1). De dualiteitsformule: $\leq$ is duidelijk, en $\geq$ volgt uit deze $f$ .

(3) Definieer op $F \oplus Kx$ : $f(y + tx) = t\,d(x, F)$ ; dan is voor $t \neq 0$ $\norm{y + tx} = \abs t\,\norm{x + y/t} \geq \abs t\,d(x, F) = \abs{f(y + tx)}$ , dus $\norm f \leq 1$ op die deelruimte; zet voort met (1). ∎

Opmerking 8.8

Volgens (2) is de kanonieke afbeelding $J \colon E \to E''$ , $J(x)(f) = f(x)$ , een isometrie (Oefening 8.10): elke genormeerde ruimte zit in haar biduale ruimte. Ruimten waarvoor $J$ surjectief is, heten reflexief; de weekendopgave toont aan dat $\ell^p$ ( $1 < p < \infty$ ) reflexief is en $\ell^1$ niet.

8.3 De trilogie van Baire

Stelling 8.9 (Banach–Steinhaus, uniforme begrensdheid)

Zij $E$ een banachruimte, $F$ genormeerd, en $(T_i)_{i\in I} \subseteq \mathcal L(E, F)$ een familie met $\sup_i \norm{T_ix} < \infty$ voor elke $x \in E$ . Dan is $\sup_i \vertiii{T_i} < \infty$ .

Bewijs. De verzamelingen $F_n = \{x : \sup_i\norm{T_ix} \leq n\}$ zijn gesloten (doorsneden van originelen van gesloten ballen) en overdekken $E$ . Baire (Stelling 7.6) geeft een $n_0$ en een bal $B(x_0, r) \subseteq F_{n_0}$ . Voor $\norm z < r$ is $\norm{T_iz} \leq \norm{T_i(x_0 + z)} + \norm{T_ix_0} \leq 2n_0$ , dus $\vertiii{T_i} \leq 2n_0/r$ voor elke $i$ . ∎

Gevolg 8.10

Is $E$ een banachruimte en convergeren $T_n \in \mathcal L(E,F)$ puntsgewijs ( $T_nx \to Tx$ voor elke $x$ ), dan is $\sup_n \vertiii{T_n} < \infty$ , $T \in \mathcal L(E, F)$ en $\vertiii T \leq \liminf \vertiii{T_n}$ .

Bewijs. Convergente rijen zijn begrensd: puntsgewijze begrensdheid; Banach–Steinhaus begrenst de normen door zekere $M$ ; en dan is $\norm{Tx} = \lim\norm{T_nx} \leq M\norm x$ ( $T$ is lineair als puntsgewijze limiet), en de scherpere grens volgt door in $\norm{T_nx} \leq \vertiii{T_n}\norm x$ tot de $\liminf$ over te gaan. ∎

Stelling 8.11 (Divergente fourierreeksen)

Er bestaan continue $2\pi$ -periodieke functies $f$ waarvan de fourierreeks in $0$ divergeert: $\sup_N\abs{S_N(f)(0)} = \infty$ . Zulke $f$ vormen zelfs een dichte deelverzameling van $\mathcal C(S^1)$ .

Bewijs. Werk in $E = (\mathcal C(S^1), \norm\cdot_\infty)$ , een banachruimte, met de functionalen $\Lambda_N(f) = S_N(f)(0) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,D_N(t)\,\dd t$ (de dirichletkern, bachelorjaar 2). Elke $\Lambda_N$ is continu met

\norm{\Lambda_N} = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\abs{D_N(t)}\,\dd t \;=\; L_N .

( $\leq$ is duidelijk; $\geq$ : neem een continue $f$ met $\norm f_\infty \leq 1$ die $\operatorname{sign}D_N$ benadert — het teken heeft eindig veel sprongen, en elke sprong afvlakken over een interval van lengte $\varepsilon$ verandert de integraal met $O(N\varepsilon)$ .) De lebesgueconstanten $L_N$ gaan naar oneindig:

L_N = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\abs{\sin\bigl((N{+}\tfrac12)t\bigr)}}{\abs{\sin(t/2)}} \,\dd t \geq \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \frac{\abs{\sin\bigl((N{+}\tfrac12)t\bigr)}}{t}\,\dd t = \frac{2}{\pi}\int_0^{(N+\frac12)\pi}\frac{\abs{\sin u}}{u}\,\dd u

(met $\abs{\sin(t/2)} \leq t/2$ op $[0, \pi]$ , en daarna de substitutie $u = (N + \tfrac12)t$ ). Snijden in bogen:

\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\abs{\sin u}}u\,\dd u \geq \frac1{k\pi}\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\abs{\sin u}\,\dd u = \frac{2}{k\pi}, \qquad\text{dus}\qquad L_N \geq \frac{4}{\pi^2}\sum_{k=1}^N\frac1k \xrightarrow[N\to\infty]{} \infty .

Had elke continue $f$ dat $\sup_N \abs{\Lambda_N(f)} < \infty$ , dan dwong Banach–Steinhaus af dat $\sup_N\norm{\Lambda_N} < \infty$ : tegenspraak. Dus heeft een zekere $f$ — zelfs een niet-magere, dichte verzameling $f$ (het complement van $\bigcup_M\{f: \sup_N\abs{\Lambda_Nf}\leq M\}$ , een aftelbare vereniging gesloten verzamelingen die wegens het bovenstaande, toegepast in elke bal, geen inwendige hebben en dus mager is) — dat $\sup_N\abs{S_Nf(0)} = \infty$ . ∎

Stelling 8.12 (Open afbeelding)

Zij $E, F$ banachruimten en $T \in \mathcal L(E, F)$ surjectief. Dan is $T$ open: $T(B_E(0,1)) \supseteq B_F(0, c)$ voor zekere $c > 0$ . Bijgevolg heeft een bijectieve begrensde operator tussen banachruimten een begrensde inverse.

Bewijs. Schrijf $B = B_E(0,1)$ . De surjectiviteit geeft $F = \bigcup_n \overline{T(nB)} = \bigcup_n n\,\overline{T(B)}$ ; Baire (Stelling 7.6) geeft $\overline{T(B)}$ een inwendige: een zekere $B_F(y_0, 4c) \subseteq \overline{T(B)}$ . Hercentreer in $0$ : voor $\norm y < 4c$ zijn zowel $y_0 + y$ als $y_0$ limieten van beelden $Tu_k$ respectievelijk $Tv_k$ met $u_k, v_k \in B$ , dus $y = \lim T(u_k - v_k)$ met $u_k - v_k \in 2B$ : dus $B_F(0, 4c) \subseteq \overline{T(2B)}$ , oftewel $B_F(0, 2c) \subseteq \overline{T(B)}$ .

De afsluiting weghalen (hier komt de volledigheid van $E$ binnen): zij $\norm y < c$ . Kies $x_1 \in \frac12 B$ met $\norm{y - Tx_1} < c/2$ ( $B_F(0,2c) \subseteq \overline{T(B)}$ , met $\frac12$ geschaald); inductief $x_k \in 2^{-k}B$ met $\norm{y - T(x_1 + \dots + x_k)} < c\,2^{-k}$ . De reeks $\sum x_k$ convergeert absoluut in de banachruimte $E$ , naar een $x \in B$ (norm $< \sum 2^{-k} = 1$ ), en $Tx = y$ wegens de continuïteit: dus $B_F(0, c) \subseteq T(B)$ . De openheid van $T$ op willekeurige open verzamelingen volgt door translatie en schaling; en voor het gevolg: dat $T$ open is, betekent dat $T^{-1}$ continu is. ∎

Gevolg 8.13 (Gelijkwaardige normen)

Is een vectorruimte volledig voor twee vergelijkbare normen ( $\norm\cdot_a \leq C\norm\cdot_b$ ), dan zijn de normen gelijkwaardig.

Bewijs. De identiteit $(E, \norm\cdot_b) \to (E, \norm\cdot_a)$ is begrensd en bijectief tussen banachruimten: haar inverse is begrensd. ∎

Stelling 8.14 (Gesloten grafiek)

Zij $E, F$ banachruimten en $T \colon E \to F$ lineair. Is de grafiek $\Gamma = \{(x, Tx)\}$ gesloten in $E \times F$ (dat wil zeggen: uit $x_n \to x$ en $Tx_n \to y$ volgt $y = Tx$ ), dan is $T$ begrensd.

Bewijs. $E \times F$ met $\norm{(x,y)} = \norm x + \norm y$ is een banachruimte; $\Gamma$ , een gesloten deelruimte, is er ook een. De projectie $\pi_E\colon \Gamma \to E$ is begrensd en bijectief, dus is haar inverse $x \mapsto (x, Tx)$ begrensd (Stelling 8.12): $\norm{Tx} \leq \norm{(x, Tx)} \leq C\norm x$ . ∎

Methode 8.15

Wanneer welke stelling. Hahn–Banach: om een functionaal met voorgeschreven gedrag te maken (een vector normeren, op een deelruimte verdwijnen, vanaf een deelruimte voortzetten) — geen volledigheid nodig. Banach–Steinhaus: om puntsgewijze informatie in uniforme grenzen om te zetten — meestal om te tonen dat een limietbewerking continu is, of (contrapositief) om divergentie voor een element te bewijzen, zoals bij de fourierreeksen. Open afbeelding / gesloten grafiek: om continuïteit gratis te krijgen uit algebraïsche bijectiviteit of uit een afsluitingseigenschap van de grafiek — typisch gebruik: twee volledige normen vergelijken, of automatische continuïteit bewijzen. Alle drie de bairestellingen vergen volledigheid van het vertrekpunt; anders zijn er tegenvoorbeelden (Oefening 8.7).

8.4 Duale ruimten, concreet

Stelling 8.16

Isometrisch geldt: $(c_0)' \cong \ell^1$ en $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$ , via de paring $\langle x, y\rangle = \sum_n x_ny_n$ .

Bewijs. We bewijzen $(c_0)' \cong \ell^1$ ; de tweede identificatie is Oefening 8.5. Ken aan $y \in \ell^1$ de functionaal $\Lambda_y(x) = \sum x_ny_n$ toe (voor $x \in c_0$ ): absoluut convergent, met $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm x_\infty\norm y_1$ , dus $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_1$ . Zij omgekeerd $\Lambda \in (c_0)'$ ; stel $y_n = \Lambda(e_n)$ (met $e_n$ de eenheidsrijen). Toets voor elke $N$ op $x^{(N)} = \sum_{n \leq N} \operatorname{sign}(\overline{y_n})\,e_n \in c_0$ (norm $\leq 1$ ; gebruik in het complexe geval de factoren $\bar y_n/\abs{y_n}$ van modulus $1$ ): $\Lambda(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n} \leq \norm\Lambda$ . Dus $y \in \ell^1$ met $\norm y_1 \leq \norm\Lambda$ . Ten slotte is $\Lambda = \Lambda_y$ : beide vallen samen op de $e_n$ en dus op de eindige rijen, die dicht liggen in $c_0$ (afknotten: $\norm{x - \sum_{n \leq N}x_ne_n}_\infty = \sup_{n > N}\abs{x_n} \to 0$ , juist omdat $x_n \to 0$ ); en continue functionalen die op een dichte verzameling samenvallen, zijn gelijk. De correspondentie is lineair, bijectief en isometrisch ( $\norm{\Lambda_y} = \norm y_1$ uit de twee ongelijkheden). ∎

8.5 Oefeningen

Oefening 8.1 ★

Bereken de operatornormen: (a) van de verschuivingen $S(x_1, x_2, \dots) = (0, x_1, x_2, \dots)$ en $S^*(x_1, x_2, \dots) = (x_2, x_3, \dots)$ op $\ell^2$ ; (b) van de vermenigvuldigingsoperator $M_a x = (a_nx_n)$ op $\ell^2$ , voor $a \in \ell^\infty$ ; (c) van de functionaal $\Lambda(f) = \int_0^{1/2}f - \int_{1/2}^1f$ op $\mathcal C(\intcc01)$ — toon aan dat $\norm\Lambda = 1$ en dat de norm niet bereikt wordt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.1.

(a) $\norm{Sx}_2 = \norm x_2$ : $S$ is een isometrie, dus $\vertiii S = 1$ . Voor de achterwaartse verschuiving is $\norm{S^*x}_2^2 = \sum_{n \geq 2}\abs{x_n}^2 \leq \norm x_2^2$ , met gelijkheid voor $x = e_2$ : $\vertiii{S^*} = 1$ .

(b) $\norm{M_ax}_2^2 = \sum\abs{a_n}^2\abs{x_n}^2 \leq \norm a_\infty^2\norm x_2^2$ ; en toetsen op $x = e_n$ geeft $\vertiii{M_a} \geq \abs{a_n}$ voor elke $n$ : $\vertiii{M_a} = \norm a_\infty$ .

(c) $\abs{\Lambda(f)} \leq \int_0^1\abs f \leq \norm f_\infty$ , dus $\norm\Lambda \leq 1$ . Zij voor $\varepsilon > 0$ de functie $f_\varepsilon$ gelijk aan $1$ op $[0, \frac12 - \varepsilon]$ , aan $-1$ op $[\frac12 + \varepsilon, 1]$ , en affien daartussen: dan is $\norm{f_\varepsilon}_\infty = 1$ en $\Lambda(f_\varepsilon) \geq 1 - 2\varepsilon$ , dus $\norm\Lambda = 1$ . Niet bereikt: uit $\Lambda(f) = 1$ met $\norm f_\infty \leq 1$ volgt $\int_0^{1/2}f = \frac12$ en $\int_{1/2}^1 f = -\frac12$ , dat wil zeggen (continuïteit en $\abs f \leq 1$ ) $f \equiv 1$ op $[0, \frac12]$ en $f \equiv -1$ op $[\frac12, 1]$ : tegenspraak in $\frac12$ .

Oefening 8.2 ★

Zij $E$ een banachruimte, $T \in \mathcal L(E)$ inverteerbaar, en $S$ met $\vertiii{S - T} < 1/\vertiii{T^{-1}}$ . Toon aan dat $S$ inverteerbaar is en schat $\vertiii{S^{-1} - T^{-1}}$ . Toepassing: is een lineair stelsel $Tx = b$ oplosbaar met $T$ inverteerbaar, dan blijft het bij een voldoende kleine verstoring van $T$ eenduidig oplosbaar, met een kwantitatieve grens op de verandering van de oplossing.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.2.

Schrijf $S = T\bigl(I - T^{-1}(T - S)\bigr)$ met $\vertiii{T^{-1}(T-S)} \leq \vertiii{T^{-1}}\,\vertiii{T - S} = \theta < 1$ : volgens Propositie 8.4 is $S$ inverteerbaar met $S^{-1} = \sum_{n\geq0}\bigl(T^{-1}(T - S)\bigr)^nT^{-1}$ , waaruit

\vertiii{S^{-1} - T^{-1}} \leq \sum_{n\geq1}\theta^n\,\vertiii{T^{-1}} = \frac{\vertiii{T^{-1}}^2\,\vertiii{T - S}}{1 - \theta}.

Voor het lineaire stelsel: $x_T = T^{-1}b$ en $x_S = S^{-1}b$ verschillen hoogstens die grens maal $\norm b$ — kleine verstoringen van een inverteerbaar stelsel blijven eenduidig oplosbaar, met lipschitz-afhankelijkheid van de oplossing van de operator.

Oefening 8.3 ★★

(a) Bewijs dat $\ell^1$ , $\ell^\infty$ en $c_0$ banachruimten zijn, en dat $c_0$ de afsluiting in $\ell^\infty$ is van de ruimte van de eindige rijen. (b) Toon aan dat $\ell^p \subseteq \ell^q$ met $\norm\cdot_q \leq \norm\cdot_p$ voor $1 \leq p \leq q \leq \infty$ , en dat de inclusie strikt is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.3.

(a) $\ell^1$ : zij $(x^{(k)})$ Cauchy. Elke coördinaat is Cauchy ( $\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n} \leq \norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_1$ ); stel $x_n = \lim_kx^{(k)}_n$ . Bij gegeven $\varepsilon$ is voor $k, l \geq K$ : $\sum_{n \leq N}\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n} \leq \varepsilon$ voor elke $N$ ; laat $l \to \infty$ en dan $N \to \infty$ : $\norm{x^{(k)} - x}_1 \leq \varepsilon$ , en $x = x^{(k)} - (x^{(k)} - x) \in \ell^1$ . $\ell^\infty$ : Cauchy voor $\norm\cdot_\infty$ is uniform Cauchy, en convergeert dus uniform naar een begrensde rij. $c_0$ is gesloten in $\ell^\infty$ : convergeert $x^{(k)} \to x$ uniform met $x^{(k)}_n \to_n 0$ , dan geeft $\abs{x_n} \leq \norm{x - x^{(k)}}_\infty + \abs{x^{(k)}_n}$ dat $\limsup_n\abs{x_n} \leq \varepsilon$ : dus $x \in c_0$ ; en een gesloten deelruimte van een banachruimte is een banachruimte. Eindige rijen: hun afsluiting bevat elke $x \in c_0$ (de afknottingen convergeren: $\sup_{n>N}\abs{x_n} \to 0$ ) en ligt binnen het gesloten $c_0$ .

(b) Neem wegens de homogeniteit $\norm x_p = 1$ : dan is $\abs{x_n} \leq 1$ voor alle $n$ , dus $\abs{x_n}^q \leq \abs{x_n}^p$ en $\norm x_q \leq 1 = \norm x_p$ ; voor $q = \infty$ geldt $\abs{x_n} \leq \norm x_p$ rechtstreeks. Striktheid: $x_n = n^{-\alpha}$ met $\frac1q < \alpha \leq \frac1p$ ligt in $\ell^q \setminus \ell^p$ (riemannreeksen).

Oefening 8.4 ★★

Zij $F \subseteq E$ een gesloten deelruimte en $x \notin F$ . Bewijs met Gevolg 8.7 de dualiteitsformule

d(x, F) = \max\bigl\{\abs{f(x)} : f \in E',\ \norm f \leq 1,\ f\restriction_F = 0\bigr\}

(let op: een maximum). Leid af dat $F = \bigcap\{\ker f : f \in E',\ f\restriction_F = 0\}$ : gesloten deelruimten zijn precies de doorsneden van kernen van functionalen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.4.

( $\leq$ ) Is $\norm f \leq 1$ en $f\restriction_F = 0$ , dan is voor elke $y \in F$ : $\abs{f(x)} = \abs{f(x - y)} \leq \norm{x - y}$ ; neem het infimum. ( $\geq$ , en bereikt) Gevolg 8.7(3) levert een $f$ met $f\restriction_F = 0$ , $\norm f \leq 1$ en $f(x) = d(x, F)$ : het supremum is dus een maximum. Gevolg: $F \subseteq \bigcap\{\ker f : f\restriction_F = 0\}$ is triviaal, en een punt $x \notin F$ wordt door de bovengenoemde functionaal uit de doorsnede uitgesloten ( $f(x) = d(x,F) > 0$ , want $F$ is gesloten).

Oefening 8.5 ★★

Bewijs isometrisch dat $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$ , volgens het schema van Stelling 8.16 (de eindige rijen liggen dicht in $\ell^1$ ). Waar breekt het argument voor $(\ell^\infty)'$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.5.

Voor $y \in \ell^\infty$ is $\abs{\Lambda_y(x)} = \abs{\sum x_ny_n} \leq \norm y_\infty\norm x_1$ , dus $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_\infty$ ; en toetsen op $e_n$ geeft $\abs{y_n} = \abs{\Lambda_y(e_n)} \leq \norm{\Lambda_y}$ : gelijkheid. Stel omgekeerd $y_n = \Lambda(e_n)$ voor $\Lambda \in (\ell^1)'$ : dan is $\abs{y_n} \leq \norm\Lambda$ , dus $y \in \ell^\infty$ ; en $\Lambda$ en $\Lambda_y$ vallen samen op de eindige rijen, die dicht liggen in $\ell^1$ ( $\norm{x - \sum_{n\leq N}x_ne_n}_1 = \sum_{n>N}\abs{x_n} \to 0$ ): dus $\Lambda = \Lambda_y$ . De afbeelding $y \mapsto \Lambda_y$ is lineair, isometrisch en surjectief. Voor $(\ell^\infty)'$ levert hetzelfde begin een rij $y_n = \Lambda(e_n)$ , maar de eindige rijen liggen niet dicht in $\ell^\infty$ (de constante rij $\mathbf 1$ ligt op afstand $1$ van alle), zodat $\Lambda$ niet door de $y_n$ wordt vastgelegd — en inderdaad is $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ (Probleem 8.1).

Oefening 8.6 ★★

Zij $E, F, G$ genormeerd met $E$ een banachruimte, en $B \colon E \times F \to G$ bilineair en in elke veranderlijke afzonderlijk continu. Toon aan dat $B$ (gezamenlijk) continu is: $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x\norm y$ . (Pas Banach–Steinhaus toe op de familie $(B(\cdot, y))_{\norm y \leq 1}$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.6.

Voor elke vaste $x$ is $y \mapsto B(x, y)$ continu en lineair: $\sup_{\norm y \leq 1}\norm{B(x,y)} < \infty$ . Dus is de familie $\{B(\cdot, y) : \norm y \leq 1\} \subseteq \mathcal L(E, G)$ (elk lid continu, wegens de continuïteit in $x$ ) puntsgewijs begrensd op de banachruimte $E$ : Banach–Steinhaus (Stelling 8.9) levert een $C$ met $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x$ voor alle $\norm y \leq 1$ ; en de homogeniteit in $y$ maakt het af: $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x\norm y$ .

Oefening 8.7 ★★

(a) Vergelijk op $E = \mathcal C(\intcc01)$ de normen $\norm\cdot_\infty$ en $\norm\cdot_1$ : de identiteit $(E, \norm\cdot_\infty) \to (E, \norm\cdot_1)$ is begrensd en bijectief, maar haar inverse is onbegrensd. Welke hypothese van Gevolg 8.13 faalt? (b) Geef een discontinue lineaire afbeelding van een dichte deelruimte van $\ell^2$ naar $K$ (bijvoorbeeld op de eindige rijen), en leg uit waarom dat de gesloten-grafiekstelling niet tegenspreekt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.7.

(a) $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$ : de identiteit is begrensd en bijectief. Haar inverse is onbegrensd: $f_n(x) = x^n$ heeft $\norm{f_n}_1 = \frac1{n+1} \to 0$ maar $\norm{f_n}_\infty = 1$ . Geen tegenspraak met Gevolg 8.13: $(\mathcal C(\intcc01), \norm\cdot_1)$ is niet volledig (Oefening 7.1); het gevolg vergt volledigheid aan beide kanten.

(b) Op de ruimte $E_0$ van de eindige rijen (dicht in $\ell^2$ ) is $\varphi(x) = \sum_n n\,x_n$ lineair en onbegrensd ( $\varphi(e_n) = n$ met $\norm{e_n}_2 = 1$ ). De gesloten-grafiekstelling is niet van toepassing: $E_0$ is niet volledig — en $\varphi$ heeft geen continue voortzetting tot $\ell^2$ , wat illustreert dat dichtheid zonder uniforme continuïteit machteloos is (Stelling 7.2).

Oefening 8.8 ★★★

(Hellinger–Toeplitz) Zij $T \colon \ell^2 \to \ell^2$ lineair (overal gedefinieerd) en symmetrisch: $\langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle$ voor alle $x, y$ , met $\langle x, y \rangle = \sum x_n\bar y_n$ . Toon aan dat $T$ begrensd is. (Gesloten grafiek: als $x_k \to x$ en $Tx_k \to z$ , toets dan tegen een willekeurige $y$ .) Moraal: onbegrensde symmetrische operatoren — de hamiltonianen van de kwantummechanica — kunnen nooit op de hele ruimte gedefinieerd worden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.8.

We gaan de hypothese van de gesloten grafiek na. Zij $x_k \to x$ en $Tx_k \to z$ in $\ell^2$ . Dan is voor elke $y$ :

\langle z, y\rangle = \lim_k\langle Tx_k, y\rangle = \lim_k \langle x_k, Ty\rangle = \langle x, Ty\rangle = \langle Tx, y\rangle,

met de continuïteit van het inproduct in elke ingang (Cauchy–Schwarz) en tweemaal de symmetrie. Dus staat $z - Tx$ loodrecht op elke $y$ , en in het bijzonder op zichzelf: $z = Tx$ . De grafiek is gesloten en $\ell^2$ is een banachruimte: dus is $T$ begrensd (Stelling 8.14). Een symmetrische operator die op heel $\ell^2$ gedefinieerd is, is dus automatisch begrensd; werkelijk onbegrensde symmetrische operatoren (plaats, impuls, hamiltonianen) moeten op echte dichte deelruimten leven.

Oefening 8.9 ★★★

(Stelling van Pólya over kwadratuur) Zij voor elke $n$ de regel $\Lambda_n(f) = \sum_{i=0}^{n} w_{i,n}f(x_{i,n})$ een kwadratuurregel op $\mathcal C(\intcc01)$ (met $x_{i,n} \in \intcc01$ en $w_{i,n} \in \R$ ). Toon aan dat $\Lambda_n(f) \to \int_0^1f$ voor elke continue $f$ dan en slechts dan als: (i) $\Lambda_n(P) \to \int_0^1P$ voor elke veelterm $P$ , en (ii) $\sup_n\sum_i\abs{w_{i,n}} < \infty$ . (Bereken $\norm{\Lambda_n}$ ; gebruik Banach–Steinhaus en Weierstrass.) Ga na dat regels met positieve gewichten die exact zijn op de constanten, automatisch aan (ii) voldoen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.9.

Ten eerste is $\norm{\Lambda_n} = \sum_i\abs{w_{i,n}}$ : $\leq$ is de driehoeksongelijkheid; $\geq$ door te toetsen op een stuksgewijs lineaire $f$ met $\norm f_\infty \leq 1$ en $f(x_{i,n}) = \operatorname{sign}(w_{i,n})$ (interpoleer lineair tussen de eindig veel knooppunten; waar knooppunten samenvallen, vallen de tekens samen).

( $\Rightarrow$ ) Puntsgewijze convergentie in elke $f$ geeft (i), en puntsgewijze begrensdheid, dus levert Banach–Steinhaus (Stelling 8.9) op de banachruimte $\mathcal C(\intcc01)$ de uitspraak (ii).

( $\Leftarrow$ ) Zij $M = \sup_n\norm{\Lambda_n} + 1$ . Kies bij gegeven $f$ en $\varepsilon$ een veelterm $P$ met $\norm{f - P}_\infty < \varepsilon/(2M)$ (Gevolg 7.16); dan is

\Bigl|\Lambda_n f - \int_0^1 f\Bigr| \leq \abs{\Lambda_n(f - P)} + \Bigl|\Lambda_nP - \int_0^1P\Bigr| + \Bigl|\int_0^1(P - f)\Bigr| \leq \varepsilon + \Bigl|\Lambda_nP - \int_0^1P\Bigr| \to \varepsilon .

Positieve gewichten met exactheid op de constanten: $\sum_i\abs{w_{i,n}} = \sum_iw_{i,n} = \Lambda_n(\mathbf 1) = \int_0^1 1 = 1$ voor regels die exact zijn op de constanten — (ii) geldt dan met constante $1$ .

Oefening 8.10 ★★

Toon aan dat $J \colon E \to E''$ , $J(x)(f) = f(x)$ , een lineaire isometrie is (gebruik Gevolg 8.7(2)), en dat ze surjectief is wanneer $\dim E < \infty$ . Toon ook aan dat $E$ separabel is zodra $E'$ dat is. (Kies $x_n$ die een dichte rij van $E'$ bijna normeren, en toon aan dat hun gesloten opspansel $E$ is, via Gevolg 8.7(3).)

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.10.

De lineariteit van $J$ is formeel; en $\norm{J(x)} = \sup_{\norm f \leq 1}\abs{f(x)} = \norm x$ volgens Gevolg 8.7(2). Is $\dim E = n$ , dan is $\dim E' = n$ (een basis geeft coördinaatfunctionalen), dus $\dim E'' = n$ , en is de injectieve (isometrische) $J$ surjectief. Separabiliteit: zij $(f_n)$ dicht in $E'$ en kies $\norm{x_n} = 1$ met $\abs{f_n(x_n)} \geq \frac12\norm{f_n}$ . Stel $F = \overline{\operatorname{Vect}}(x_n)$ ; was $F \neq E$ , neem dan een $g \in E'$ met $g \neq 0$ die op $F$ verdwijnt (Gevolg 8.7(3)) en kies $f_{n_k} \to g$ :

\norm{f_{n_k} - g} \geq \abs{(f_{n_k} - g)(x_{n_k})} = \abs{f_{n_k}(x_{n_k})} \geq \tfrac12\norm{f_{n_k}} \geq \tfrac12\bigl(\norm g - \norm{f_{n_k} - g}\bigr),

dus $\norm{f_{n_k} - g} \geq \frac13\norm g > 0$ : tegenspraak. Bijgevolg is $F = E$ , en vormen de combinaties van de $x_n$ met rationale (of $\Q + \iu\Q$ -)coëfficiënten een aftelbare dichte verzameling.

Oefening 8.11 ★★

(Quotiëntruimten) Zij $E$ een banachruimte en $F \subseteq E$ een gesloten deelruimte. Definieer op $E/F$

\norm{\bar x} \;=\; d(x, F) = \inf_{y\in F}\norm{x - y} .

(a) Toon aan dat dit een goed gedefinieerde norm op $E/F$ is (waar komt de geslotenheid van $F$ binnen?), en dat de projectie $\pi \colon E \to E/F$ voldoet aan $\vertiii\pi \leq 1$ en de open eenheidsbal op de open eenheidsbal afbeeldt. (b) Toon aan dat $E/F$ volledig is. (Gebruik het reekscriterium van Oefening 7.1(b): gegeven klassen $\bar x_k$ met $\sum\norm{\bar x_k} < \infty$ , til elke op tot $x_k \in E$ met $\norm{x_k} \leq \norm{\bar x_k} + 2^{-k}$ en sommeer in $E$ .) (c) Bereken: toon voor $E = c$ (de convergente rijen) en $F = c_0$ aan dat $c/c_0 \cong K$ isometrisch, via $\bar x \mapsto \lim_nx_n$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.11.

(a) Goed gedefinieerd: $d(x, F)$ hangt alleen van $\bar x$ af ( $x$ over $F$ verschuiven verandert de afstand niet). De homogeniteit en de driehoeksongelijkheid gaan via het infimum over van $\norm\cdot$ . De scheiding vergt de geslotenheid: $\norm{\bar x} = 0$ betekent $d(x, F) = 0$ , dus $x \in \bar F = F$ , dus $\bar x = 0$ . $\vertiii\pi \leq 1$ : $\norm{\bar x} \leq \norm x$ . Open bal op open bal: is $\norm{\bar x} < 1$ , dan heeft een zekere representant $\norm{x - y} < 1$ ; en omgekeerd is $\pi(B_E(0,1)) \subseteq B_{E/F}(0,1)$ wegens de normongelijkheid — dus is $\pi$ open, het modelgeval van de open-afbeeldingsstelling.

(b) Zij $\sum_k\norm{\bar x_k} < \infty$ en til op met $\norm{x_k} \leq \norm{\bar x_k} + 2^{-k}$ : dan is $\sum\norm{x_k} < \infty$ , dus convergeert $s = \sum_kx_k$ in de banachruimte $E$ (Oefening 7.1(b)), en de continuïteit van $\pi$ geeft $\sum_k\bar x_k = \bar s$ : elke absoluut convergente reeks van $E/F$ convergeert, en dat is gelijkwaardig met volledigheid (dezelfde oefening).

(c) De afbeelding $\lambda(x) = \lim_nx_n$ is lineair van $c$ naar $K$ en verdwijnt precies op $c_0$ , dus induceert ze een lineaire bijectie $c/c_0 \to K$ . Isometrie: $d(x, c_0) = \abs{\lambda(x)}$ — $\leq$ : trek van $x$ de rij $x - \lambda(x)\mathbf 1 \in c_0$ af, zodat $\lambda(x)\mathbf 1$ overblijft, van norm $\abs{\lambda(x)}$ ; $\geq$ : voor $y \in c_0$ is $\norm{x - y}_\infty \geq \limsup_n\abs{x_n - y_n} = \abs{\lambda(x)}$ .

Oefening 8.12 ★★

(Begrensde projecties en gecomplementeerde deelruimten) Zij $E$ een banachruimte en $P \colon E \to E$ lineair met $P^2 = P$ (een algebraïsche projectie), $V = \operatorname{im}P$ en $W = \ker P$ . (a) Stel dat $P$ begrensd is. Toon aan dat $V$ en $W$ gesloten zijn en dat $E = V \oplus W$ met de ontbinding $x = Px + (x - Px)$ . (b) Stel omgekeerd dat $E = V \oplus W$ met $V$ en $W$ beide gesloten, en zij $P$ de projectie op $V$ langs $W$ . Toon aan dat $P$ begrensd is. (Gesloten grafiek: als $x_n \to x$ en $Px_n \to z$ , dan is $z \in V$ en $x_n - Px_n \to x - z \in W$ , en de eenduidigheid van de ontbinding geeft $z = Px$ .) (c) Leid de gelijkwaardigheid af: een deelruimte $V$ laat een begrensde projectie toe dan en slechts dan als ze gesloten is en een gesloten algebraïsch complement heeft — en merk op (zonder bewijs) dat er gesloten deelruimten zonder die eigenschap bestaan ( $c_0$ binnen $\ell^\infty$ is het klassieke voorbeeld): hilbertruimten, waar $V^\perp$ altijd werkt (Hoofdstuk 13), zijn de uitzondering, niet de regel.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.12.

(a) $W = \ker P$ is gesloten (origineel van $0$ onder een continue afbeelding); en $V = \operatorname{im}P = \ker(I - P)$ (immers $Px = x$ precies wanneer $x \in \operatorname{im}P$ , met $P^2 = P$ ), eveneens gesloten. Elke $x$ splitst als $Px + (x - Px)$ met $Px \in V$ en $x - Px \in W$ , en $V \cap W = 0$ (want $x = Px = 0$ ): dus $E = V \oplus W$ .

(b) Het grafiekargument: zij $x_n \to x$ en $Px_n \to z$ . Dan is $z \in V$ ( $V$ gesloten en $Px_n \in V$ ) en $x_n - Px_n \to x - z \in W$ ( $W$ gesloten). Dus $x = z + (x - z)$ met $z \in V$ en $x - z \in W$ ; en de eenduidigheid van de ontbinding geeft $z = Px$ . De grafiek van $P$ is gesloten en $E$ is een banachruimte: dus is $P$ begrensd (Stelling 8.14).

(c) (a) en (b) samen vormen de gelijkwaardigheid. In een hilbertruimte heeft elke gesloten $V$ het gesloten complement $V^\perp$ (Hoofdstuk 13): daar is elke gesloten deelruimte gecomplementeerd. In algemene banachruimten faalt dat — $c_0$ heeft in $\ell^\infty$ geen gesloten complement (de stelling van Phillips, buiten ons gereedschap) — zodat begrensde projecties een voorrecht zijn, en de gesloten-grafiekstelling precies de boekhouding is die meetkundige splitsingen in begrensde operatoren omzet.

8.6 Probleem: de dualiteit van de $\ell^p$ -ruimten

Probleem 8.1

Weekendopgave — $(\ell^p)' = \ell^q$ , reflexiviteit, en het vreemde van $\ell^\infty$

Leg $1 < p < \infty$ vast en zij $q$ de toegevoegde exponent, met $\frac1p + \frac1q = 1$ . De paring is overal $\langle x, y\rangle = \sum_n x_ny_n$ .

Deel I — Hölder en Minkowski voor rijen.

(Ongelijkheid van Young) Toon voor $a, b \geq 0$ aan dat $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ , met de concaviteit van $\log$ of door $t \mapsto \frac{t^p}p + \frac1q - t$ te bestuderen.
(Hölder) Leid af dat $\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x_p\norm y_q$ voor $x \in \ell^p$ en $y \in \ell^q$ ; bepaal het gelijkheidsgeval.
(Minkowski) Leid de driehoeksongelijkheid voor $\norm\cdot_p$ af. (Schrijf $\abs{x_n + y_n}^p \leq \abs{x_n}\,\abs{x_n{+}y_n}^{p-1} + \abs{y_n}\,\abs{x_n{+}y_n}^{p-1}$ en pas Hölder toe op elke term.)
Bewijs dat $\ell^p$ volledig is en dat de eindige rijen er dicht in liggen.

Deel II — De dualiteit $(\ell^p)' = \ell^q$ .

Toon voor $y \in \ell^q$ aan dat $\Lambda_y(x) = \langle x, y\rangle$ een $\Lambda_y \in (\ell^p)'$ definieert met $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_q$ , en, door te toetsen op $x_n = \abs{y_n}^{q-1}\operatorname{sign}(y_n)$ (passend afgeknot en genormaliseerd), dat $\norm{\Lambda_y} = \norm y_q$ .
Stel omgekeerd $y_n = \Lambda(e_n)$ voor een gegeven $\Lambda \in (\ell^p)'$ ; toon aan dat $y \in \ell^q$ met $\norm y_q \leq \norm\Lambda$ (toets op afknottingen zoals in vraag 5 en laat de afknotlengte groeien), en besluit dat $\Lambda = \Lambda_y$ : de afbeelding $y \mapsto \Lambda_y$ is een isometrisch isomorfisme $\ell^q \to (\ell^p)'$ .
Leid af dat $\ell^p$ reflexief is voor $1 < p < \infty$ : door de twee dualiteiten samen te stellen komt elk element van $(\ell^p)''$ uit $\ell^p$ ; ga zorgvuldig na dat de samenstelling de kanonieke $J$ is.

Deel III — $\ell^1$ en $\ell^\infty$ zijn andere beesten.

Toon aan dat $\ell^p$ ( $1 \leq p < \infty$ ) en $c_0$ separabel zijn, maar $\ell^\infty$ niet. (De overaftelbaar vele indicatorrijen van deelverzamelingen van $\N$ liggen paarsgewijs op afstand $1$ .)
Leid uit Oefening 8.10 af dat $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$ maar $(\ell^\infty)' \not\cong \ell^1$ : $\ell^1$ is niet reflexief. (Was $(\ell^\infty)'$ gelijk aan $\ell^1$ , dan was ze separabel en dus $\ell^\infty$ ook.)
(Een banachlimiet, expliciet) Stel op $\ell^\infty_\R$ : $p(x) = \limsup_n \frac{x_1 + \dots + x_n}{n}$ . Toon aan dat $p$ sublineair is, en dat op de deelruimte $c$ van de convergente rijen $\mathrm{LIM}(x) = \lim x$ voldoet aan $\mathrm{LIM} \leq p$ . Zet met Hahn–Banach voort tot $\mathrm{LIM} \colon \ell^\infty_\R \to \R$ en toon aan: $\mathrm{LIM}$ is positief (uit $x \geq 0$ volgt $\mathrm{LIM}(x) \geq 0$ ), verschuivingsinvariant ( $\mathrm{LIM}(x_2, x_3, \dots) = \mathrm{LIM}(x)$ ), zet de limiet voort, en voldoet aan $\liminf x \leq \mathrm{LIM}(x)\leq \limsup x$ .
Toon aan dat zo’n $\mathrm{LIM}$ , opgevat in $(\ell^\infty)'$ , niet van de vorm $\Lambda_y$ is voor enige $y \in \ell^1$ ; besluit opnieuw dat $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ . (Evalueer op de eenheidsrijen $e_n$ , en daarna op de constante rij $1$ .)
Evalueer $\mathrm{LIM}$ op $(0,1,0,1,\dots)$ , en toon aan dat er geen verschuivingsinvariante multiplicatieve voortzetting van de limiet kan bestaan (beschouw $x = (0,1,0,1,\dots)$ en $x\cdot Sx$ , waarbij $S$ de verschuiving is).

Deel IV — Slot: waarom reflexiviteit ertoe doet.

Toon met Gevolg 8.10 en vraag 6 aan dat elke begrensde rij van $\ell^p$ ( $1 < p < \infty$ ) een deelrij $(x^{(k)})$ heeft die zwak convergeert: $\Lambda(x^{(k)})$ convergeert voor elke $\Lambda \in (\ell^p)'$ . (Diagonaalextractie over de aftelbaar veel coördinaten; bepaal de zwakke limiet in $\ell^p$ met de uniforme begrensdheid van de normen en Hölder.) Toon aan de hand van een voorbeeld ( $e_n$ in $\ell^1$ , tegen goed gekozen elementen van $\ell^\infty$ ) aan dat dit in $\ell^1$ faalt: zwakke compactheid is een voorrecht van reflexieve ruimten.

Deel V — De zwakke topologie aan het werk, en de verrassing van Schur. Schrijf $x^{(k)} \rightharpoonup x$ in een genormeerde ruimte $E$ (zwakke convergentie) wanneer $\Lambda(x^{(k)}) \to \Lambda(x)$ voor elke $\Lambda \in E'$ .

Maak de inventaris af: toon isometrisch aan dat $(c_0)' \cong \ell^1$ , volgens het schema van de vragen 5–6 (wat neemt de plaats van de toetsrijen in?). Stel de keten $c_0 \to \ell^1 \to \ell^\infty \to \dots$ van opeenvolgende duale ruimten samen en markeer waar de reflexiviteit faalt.
Toon aan dat elke zwak convergente rij van een banachruimte begrensd is: bekijk de $x^{(k)}$ via de kanonieke inbedding $J$ als functionalen op $E'$ en pas Banach–Steinhaus toe (Stelling 8.9) — op welke banachruimte, en waarom is de volledigheid daar beschikbaar?
Toon aan dat in $\ell^p$ met $1 < p < \infty$ geldt: $x^{(k)} \rightharpoonup x$ dan en slechts dan als $\sup_k\norm{x^{(k)}}_p < \infty$ en $x^{(k)}_n \to x_n$ voor elke coördinaat $n$ (één richting gebruikt Banach–Steinhaus via de kanonieke inbedding; benader voor de andere $y \in \ell^q$ door eindige rijen). Leid af dat $e_k \rightharpoonup 0$ in $\ell^2$ terwijl $\norm{e_k}_2 = 1$ : zwakke limieten kunnen massa verliezen.
Toon aan dat de norm zwak onderhalfcontinu is: uit $x^{(k)} \rightharpoonup x$ volgt $\norm x \leq \liminf_k\,\norm{x^{(k)}}$ (kies een normerende functionaal voor $x$ , Gevolg 8.7).
(Radon–Riesz in $\ell^2$ ) Toon aan dat in $\ell^2$ zwakke convergentie samen met convergentie van de normen normconvergentie impliceert (werk $\norm{x^{(k)} - x}_2^2$ uit). Geef een tegenvoorbeeld voor dezelfde uitspraak zonder de normhypothese.
(Schur, stap 1) Zij $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ in $\ell^1$ en stel, uit het ongerijmde, dat $\norm{x^{(k)}}_1 \geq \delta > 0$ langs een deelrij. Toon eerst aan dat $x^{(k)}_n \to 0$ voor elke $n$ (welke functionalen?), en construeer daarna recursief indices $k_1 < k_2 < \cdots$ en gehele getallen $0 = N_0 < N_1 < N_2 < \cdots$ zodanig dat de massa van $x^{(k_j)}$ zich concentreert op het blok $B_j = \intoc{N_{j-1}}{N_j}$ :

$\sum_{n \in B_j}\bigl|x^{(k_j)}_n\bigr| \geq \norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac\delta{10} .$
(Schur, stap 2) Definieer $y \in \ell^\infty$ door $y_n = \operatorname{sign}\bigl(x^{(k_j)}_n\bigr)$ voor $n \in B_j$ . Toon aan dat $\langle x^{(k_j)}, y\rangle \geq \norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac{2\delta}{10} \geq \frac{8\delta}{10}$ en leid een tegenspraak af met $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ . Besluit de stelling van Schur: in $\ell^1$ convergeren zwak convergente rijen in norm.
Leid af dat $(e_k)$ in $\ell^1$ geen zwak convergente deelrij heeft (haar enige kandidaat-limiet is $0$ , per coördinaat — pas dan Schur toe), waarmee het falen van de zwakke compactheid uit vraag 13 wordt teruggevonden; en los de schijnbare paradox op: in $\ell^1$ vallen zwakke en normconvergentie van rijen samen, en toch verschillen de zwakke en de normtopologie en zijn begrensde verzamelingen nog steeds niet zwak rijcompact — geen tegenspraak, alleen het falen van de reflexiviteit.
(Overzichtstabel) Stel voor $E \in \{c_0,\ \ell^1,\ \ell^p\ (1{<}p{<}\infty),\ \ell^\infty\}$ een tabel op met: de duale ruimte; separabiliteit; reflexiviteit; of begrensde rijen zwak convergente deelrijen toelaten; en één kenmerkende eigenschap van elke ruimte, in één regel verantwoord vanuit dit probleem.

Deel VI — Aanvullingen: dichtstbijzijnde punten, gemiddelde convergentie, de waarde van een banachlimiet.

(Dichtstbijzijnde punten: een dividend van de reflexiviteit) Zij $F$ een gesloten deelruimte van $\ell^p$ ( $1 < p < \infty$ ) en $x \in \ell^p$ . Toon aan dat $d = \operatorname{dist}(x, F)$ bereikt wordt: haal uit een minimaliserende rij een zwak convergente deelrij (vraag 13), houd de zwakke limiet binnen $F$ door met Hahn–Banach een functionaal te bouwen die op $F$ verdwijnt maar niet in een punt daarbuiten, en besluit met vraag 17. Toon daarna aan dat dit voorrecht niet universeel is: bewijs voor $\Lambda(x) = \sum_n2^{-n}x_n$ op $c_0$ dat $\norm\Lambda = 1$ niet op de eenheidsbal bereikt wordt, stel de afstandsformule $\operatorname{dist}(x, \ker\Lambda) = \abs{\Lambda(x)}$ op, en leid af dat geen enkele $x \notin \ker\Lambda$ een dichtstbijzijnd punt in het gesloten hypervlak $\ker\Lambda$ heeft.
(Banach–Saks in $\ell^2$ ) Zij $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ in $\ell^2_{\R}$ met $\norm{x^{(k)}}_2 \leq C$ . Construeer een deelrij $(y_j)$ met $\abs{\langle y_i, y_j\rangle} \leq \frac1j$ voor alle $i < j$ , en leid af dat

$\Bigl\lVert\frac{y_1 + \dots + y_m}m\Bigr\rVert_2^2 \leq \frac{C^2 + 2}m \longrightarrow 0 :$

na extractie convergeren de cesàromiddelen dus in norm. Controleer dat op $(e_k)$ , waarvan de middelen norm $\frac1{\sqrt m}$ hebben: zwakke convergentie, nutteloos voor de rij zelf (vraag 16), wordt normconvergentie voor de gemiddelden.
(De waarde van een banachlimiet) Zij $L$ een willekeurige banachlimiet (vraag 10) en $A_mx = \frac1m(x + Sx + \dots + S^{m-1}x)$ . Toon aan dat $L(A_mx) = L(x)$ en $\liminf A_mx \leq L(x) \leq \limsup A_mx$ ; leid af dat alle banachlimieten op periodieke rijen samenvallen, met als waarde het gemiddelde over een periode — $\frac13$ op $(1, 0, 0, 1, 0, 0, \dots)$ , in overeenstemming met de $\frac12$ uit vraag 12. Toon daarna aan dat die overeenstemming in het algemeen faalt: toon voor de blokrij $x$ die gelijk is aan $1$ op $\intoc{3^{j-1}}{3^j}$ voor even $j$ en $0$ elders, aan dat de cesàromiddelen tussen $\leq \frac13$ en $\geq \frac23$ schommelen, en bouw twee banachlimieten $L_\pm$ met $L_-(x) \leq \frac13 < \frac23 \leq L_+(x)$ (zet voort vanaf $c \oplus \R x$ met de uiterste toegelaten waarden $\pm$ : ga na dat $\Lambda(y + tx) = \lim y + t\,p(x)$ door de sublineaire $p$ van vraag 10 wordt gedomineerd).

Oplossing

Oplossing van Probleem 8.1.

1. Voor $a, b > 0$ geeft de concaviteit van $\log$ : $\log\bigl(\tfrac{a^p}p + \tfrac{b^q}q\bigr) \geq \tfrac1p\log a^p + \tfrac1q\log b^q = \log(ab)$ ; exponentieer. (Is $ab = 0$ , dan is de ongelijkheid triviaal.) Gelijkheid precies wanneer $a^p = b^q$ .

2. We mogen $\norm x_p = \norm y_q = 1$ aannemen (homogeniteit; de nulgevallen zijn triviaal). Dan is

\abs{\langle x, y\rangle} \leq \sum_n\abs{x_n}\abs{y_n} \leq \sum_n\Bigl(\frac{\abs{x_n}^p}p + \frac{\abs{y_n}^q}q\Bigr) = \frac1p + \frac1q = 1 = \norm x_p\norm y_q .

Gelijkheid vergt $\abs{x_n}^p = \abs{y_n}^q$ voor alle $n$ (het gelijkheidsgeval van Young) plus het uitlijnen van de fasen van $x_ny_n$ .

3. $\abs{x_n + y_n}^p \leq \bigl(\abs{x_n} + \abs{y_n}\bigr)\abs{x_n + y_n}^{p-1}$ ; sommeren en Hölder toepassen ( $p$ tegen $q$ , met $(p - 1)q = p$ ) geeft

\norm{x + y}_p^p \leq \bigl(\norm x_p + \norm y_p\bigr)\,\Bigl(\sum_n\abs{x_n + y_n}^{p}\Bigr)^{1/q} = \bigl(\norm x_p + \norm y_p\bigr)\,\norm{x+y}_p^{p/q};

is $\norm{x + y}_p \neq 0$ (anders triviaal), deel dan door $\norm{x+y}_p^{p/q}$ en gebruik $p - \frac pq = 1$ . (Dat $\norm{x+y}_p$ eindig is, komt eerst: $\abs{x_n+y_n}^p \leq 2^p(\abs{x_n}^p + \abs{y_n}^p)$ .)

4. Volledigheid: als voor $\ell^1$ (Oefening 8.3), met coördinaatsgewijze limieten plus de uniforme staartgrens $\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n}^p \leq \varepsilon^p$ , waarbij eerst $l$ en dan $N$ naar oneindig gaat. Dichtheid van de eindige rijen: $\norm{x - \sum_{n\leq N}x_ne_n}_p^p = \sum_{n > N}\abs{x_n}^p \to 0$ .

5. Hölder geeft $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm x_p\norm y_q$ : dus $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_q$ . Toetsen: stel $x^{(N)}_n = \abs{y_n}^{q-1}\overline{\operatorname{sign}}(y_n)$ voor $n \leq N$ en $0$ daarna (met $\operatorname{sign}$ de fase van modulus $1$ , zodat $x_ny_n = \abs{y_n}^q$ ). Dan is $\Lambda_y(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q$ en $\norm{x^{(N)}}_p = \bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^{q}\bigr)^{1/p}$ (want $(q-1)p = q$ ), dus

\norm{\Lambda_y} \geq \Bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\Bigr)^{1 - 1/p} \xrightarrow[N\to\infty]{} \norm y_q .

6. Stel $y_n = \Lambda(e_n)$ . Met dezelfde toetsvectoren is $\sum_{n \leq N}\abs{y_n}^q = \Lambda(x^{(N)}) \leq \norm\Lambda\,\bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/p}$ , waaruit $\bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/q} \leq \norm\Lambda$ voor elke $N$ : dus $y \in \ell^q$ met $\norm y_q \leq \norm\Lambda$ . De functionalen $\Lambda$ en $\Lambda_y$ vallen samen op de dichte eindige rijen (vraag 4): $\Lambda = \Lambda_y$ . Met vraag 5 is $y \mapsto \Lambda_y$ dus een isometrisch isomorfisme $\ell^q \cong (\ell^p)'$ .

7. Zij $\xi \in (\ell^p)''$ . Samengesteld met de isometrie $\ell^q \cong (\ell^p)'$ uit vraag 6 definieert $\xi$ een element van $(\ell^q)'$ , dat (vraag 6 met $p$ en $q$ verwisseld) gelijk is aan $\Lambda_z$ voor een unieke $z \in \ell^p$ : voor elke $y \in \ell^q$ is $\xi(\Lambda_y) = \sum_nz_ny_n$ . Anderzijds is $J(z)(\Lambda_y) = \Lambda_y(z) = \sum_ny_nz_n$ : dezelfde waarde. En omdat elk element van $(\ell^p)'$ een $\Lambda_y$ is, volgt $\xi = J(z)$ : $J$ is surjectief — $\ell^p$ is reflexief.

8. De eindige rijen met rationale ingangen (reëel en imaginair deel) zijn aftelbaar en liggen dicht in $\ell^p$ ( $p < \infty$ ) en in $c_0$ . In $\ell^\infty$ : de familie $\{\mathbf 1_A : A \subseteq \N\}$ is overaftelbaar met $\norm{\mathbf 1_A - \mathbf 1_B}_\infty = 1$ voor $A \neq B$ ; de ballen $B(\mathbf 1_A, \frac12)$ zijn paarsgewijs disjunct, en een dichte verzameling moet elk ervan snijden: er is dus geen aftelbare dichte verzameling.

9. Was $\ell^1$ reflexief, dan was $(\ell^\infty)' \cong ((\ell^1)')' = J(\ell^1)$ separabel (isometrisch beeld van het separabele $\ell^1$ ); en volgens Oefening 8.10 zou de separabiliteit van de duale ruimte $(\ell^\infty)'$ afdwingen dat $\ell^\infty$ separabel is — in strijd met vraag 8. Dus is $\ell^1$ niet reflexief (en is $(\ell^\infty)'$ strikt groter dan $\ell^1$ , zoals vraag 11 concreet maakt).

10. De homogeniteit van $p$ is duidelijk; subadditiviteit: middelen is lineair, en $\limsup(u_n + v_n) \leq \limsup u_n + \limsup v_n$ . Op $c$ : de cesàromiddelen van een convergente rij convergeren naar haar limiet, dus is $p(x) = \lim x = \mathrm{LIM}(x)$ daar; in het bijzonder $\mathrm{LIM} \leq p$ op $c$ . Hahn–Banach (Stelling 8.6) zet $\mathrm{LIM}$ voort tot $\ell^\infty_\R$ met overal $\mathrm{LIM} \leq p$ . Positiviteit: voor $x \geq 0$ is $-\mathrm{LIM}(x) = \mathrm{LIM}(-x) \leq p(-x) = \limsup\text{gem}(-x) \leq 0$ . Verschuivingsinvariantie: de middelen van $x - Sx$ telescoperen tot $\frac{x_1 - x_{n+1}}n \to 0$ , dus $p(\pm(x - Sx)) = 0$ en $\mathrm{LIM}(x - Sx) = 0$ . Grenzen: $\mathrm{LIM}(x) \leq p(x) \leq \limsup x$ (de middelen blijven achter bij de suprema), en dit op $-x$ toepassen geeft de ondergrens.

11. $e_n \in c_0$ , dus $\mathrm{LIM}(e_n) = 0$ voor alle $n$ . Was $\mathrm{LIM} = \Lambda_y$ met $y \in \ell^1$ , dan was $y_n = \Lambda_y(e_n) = 0$ voor alle $n$ , dus $\Lambda_y = 0$ ; maar $\mathrm{LIM}(\mathbf 1) = 1$ . Dus $\mathrm{LIM} \in (\ell^\infty)' \setminus \{\Lambda_y : y \in \ell^1\}$ : opnieuw $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ .

12. Voor $x = (0,1,0,1,\dots)$ is $x + Sx = \mathbf 1$ , dus $2\,\mathrm{LIM}(x) = \mathrm{LIM}(x) + \mathrm{LIM}(Sx) = 1$ en $\mathrm{LIM}(x) = \frac12$ . Was $\varphi$ een verschuivingsinvariante multiplicatieve voortzetting van de limiet, dan geeft $x\cdot Sx = 0$ dat $\varphi(x)\varphi(Sx) = \varphi(x)^2 = 0$ , dus $\varphi(x) = 0$ ; maar $\varphi(x) + \varphi(Sx) = \varphi(\mathbf 1) = 1$ geeft $2\varphi(x) = 1$ : tegenspraak. Middelen en vermenigvuldigen gaan niet samen.

13. Zij $\norm{x^{(k)}}_p \leq M$ . De coördinaten zijn door $M$ begrensd: een diagonaalextractie geeft een deelrij (nog steeds $x^{(k)}$ genoemd) met $x^{(k)}_n \to x_n$ voor elke $n$ . Dan is $x \in \ell^p$ : $\sum_{n\leq N}\abs{x_n}^p = \lim_k\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n}^p \leq M^p$ voor alle $N$ . Zwakke convergentie: voor $y \in \ell^q$ en willekeurige $N$ is

\abs{\Lambda_y(x^{(k)} - x)} \leq \Bigl|\sum_{n \leq N}(x^{(k)}_n - x_n)y_n\Bigr| + 2M\Bigl(\sum_{n>N}\abs{y_n}^q\Bigr)^{1/q},

waarbij de eerste term naar $0$ gaat als $k \to \infty$ (eindig veel coördinaten) en de tweede klein is voor grote $N$ (Hölder op de staart): dus $\Lambda_y(x^{(k)}) \to \Lambda_y(x)$ voor elke $y$ — zwakke convergentie, want elke functionaal is een $\Lambda_y$ (vraag 6). In $\ell^1$ faalt dit: beschouw de begrensde rij $(e_n)$ . Elke deelrij $(e_{n_k})$ convergeert coördinaatsgewijs naar $0$ , dus is $0$ haar enige kandidaat-limiet; maar toetsen tegen $y \in \ell^\infty$ met $y_{n_k} = (-1)^k$ (en $0$ elders) geeft $\Lambda_y(e_{n_k}) = (-1)^k$ , wat divergeert. Er is dus geen zwak convergente deelrij: zwakke rijcompactheid van de ballen kenmerkt de reflexieve wereld.

14. Voor $y \in \ell^1$ is $\Lambda_y(x) = \sum x_ny_n$ gedefinieerd op $c_0$ met $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm x_\infty\norm y_1$ , en toetsen op $x^{(N)} = (\operatorname{sign}y_1, \dots, \operatorname{sign}y_N, 0, \dots) \in c_0$ geeft $\Lambda_y(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n} \to \norm y_1$ : dus $\norm{\Lambda_y} = \norm y_1$ . Stel omgekeerd $y_n = \Lambda(e_n)$ voor $\Lambda \in (c_0)'$ ; dezelfde toetsen geven $\sum_{n \leq N}\abs{y_n} = \Lambda(x^{(N)}) \leq \norm\Lambda$ , dus $y \in \ell^1$ , en $\Lambda = \Lambda_y$ op de dichte eindige rijen en dus overal. De keten van duale ruimten: $(c_0)' = \ell^1$ , $(\ell^1)' = \ell^\infty$ (Oefening 8.10), $(\ell^\infty)' \supsetneq \ell^1$ (vragen 9–11): de reflexiviteit faalt al bij de allereerste stap — $c_0'' = \ell^\infty \neq c_0$ — en herstelt nooit meer.

15. $J x^{(k)} \in E'' = (E')'$ is een familie begrensde functionalen op de banachruimte $E'$ (duale ruimten zijn volledig, Propositie 8.2); en voor elke $\Lambda \in E'$ convergeert de rij $Jx^{(k)}(\Lambda) = \Lambda(x^{(k)})$ en is ze dus begrensd. Banach–Steinhaus op $E'$ geeft $\sup_k\norm{Jx^{(k)}} < \infty$ , en $J$ is isometrisch (Opmerking 8.8): dus $\sup_k\norm{x^{(k)}} < \infty$ .

16. ( $\Rightarrow$ ) De begrensdheid is vraag 15; en de coördinaten zijn de functionalen $\Lambda_{e_n}$ . ( $\Leftarrow$ ) Zij $M = \sup_k\norm{x^{(k)}}_p$ , $y \in \ell^q$ en $\varepsilon > 0$ ; kies $N$ met $\bigl(\sum_{n>N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/q} < \varepsilon$ . Dan is

\abs{\Lambda_y(x^{(k)} - x)} \leq \sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x_n}\,\abs{y_n} + \norm{x^{(k)} - x}_p\,\varepsilon \leq \sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x_n}\abs{y_n} + (M + \norm x_p)\,\varepsilon,

en de eindige som gaat naar $0$ : dus $\limsup \leq (M + \norm x_p)\varepsilon$ voor elke $\varepsilon$ . (Dat $x \in \ell^p$ met $\norm x_p \leq M$ , volgt uit grenzen op eindige stukken in de trant van Fatou: $\sum_{n \leq N}\abs{x_n}^p = \lim_k\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n}^p \leq M^p$ .) Voor $e_k$ in $\ell^2$ : begrensd, coördinaatsgewijs $\to 0$ , dus $e_k \rightharpoonup 0$ , en toch $\norm{e_k} = 1$ : de eenheid massa ontsnapt naar oneindige index, onzichtbaar voor elke vaste functionaal.

17. Neem $\Lambda$ met $\norm\Lambda = 1$ en $\Lambda(x) = \norm x$ (Gevolg 8.7). Dan is $\norm x = \lim\Lambda(x^{(k)}) \leq \liminf\norm\Lambda\,\norm{x^{(k)}} = \liminf\norm{x^{(k)}}$ . (Met $e_k \rightharpoonup 0$ : $0 \leq \liminf 1$ , en de ongelijkheid kan strikt zijn.)

18. In $\ell^2$ is $\norm{x^{(k)} - x}_2^2 = \norm{x^{(k)}}_2^2 - 2\operatorname{Re}\langle x^{(k)}, x\rangle + \norm x_2^2$ (in het reële geval $-2\langle x^{(k)}, x\rangle$ ). Zwakke convergentie toegepast op de functionaal $\Lambda_x$ geeft $\langle x^{(k)}, x\rangle \to \norm x_2^2$ , en de normen convergeren per hypothese: het rechterlid gaat dus naar $\norm x^2 - 2\norm x^2 + \norm x^2 = 0$ . Tegenvoorbeeld zonder normconvergentie: $e_k \rightharpoonup 0$ met $\norm{e_k - 0} = 1 \not\to 0$ .

19. Coördinaatsgewijze convergentie: pas de functionalen $\Lambda_{e_n} \in (\ell^1)' = \ell^\infty$ toe (met $y = e_n$ ). Constructie: zijn $k_{j-1}$ en $N_{j-1}$ gekozen, neem dan $k_j > k_{j-1}$ zo groot dat $\sum_{n \leq N_{j-1}}\abs{x^{(k_j)}_n} < \frac\delta{20}$ (eindig veel coördinaten, elk $\to 0$ ), en daarna $N_j > N_{j-1}$ zo groot dat de staart voldoet aan $\sum_{n > N_j}\abs{x^{(k_j)}_n} < \frac\delta{20}$ (convergentie van de reeks die $\norm{x^{(k_j)}}_1$ definieert). Het blok $B_j = \intoc{N_{j-1}}{N_j}$ draagt dan op $\frac\delta{10}$ na de hele massa van $x^{(k_j)}$ .

20. Met $y$ als gedefinieerd (overal $\abs{y_n} \leq 1$ ):

\langle x^{(k_j)}, y\rangle = \sum_{n \in B_j}\abs{x^{(k_j)}_n} + \sum_{n \notin B_j}x^{(k_j)}_ny_n \geq \Bigl(\norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac\delta{10}\Bigr) - \frac\delta{10} \geq \delta - \frac{2\delta}{10} = \frac{4\delta}5 > 0,

waarbij de middelste ongelijkheid geldt omdat de massa buiten het blok hoogstens $\frac\delta{10}$ is (vraag 19). Maar $y \in \ell^\infty = (\ell^1)'$ en $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ dwingen $\langle x^{(k_j)}, y\rangle \to 0$ af: tegenspraak. Zwak naar nul convergerende rijen van $\ell^1$ convergeren dus in norm naar nul, en door translatie convergeren zwak convergente rijen in norm: de stelling van Schur.

21. Een zwak convergente deelrij van $(e_k)$ zou limiet $0$ hebben (coördinaten), dus volgens Schur $\norm{e_{k_j}}_1 \to 0$ — maar de normen zijn $1$ . Er is dus geen zwak convergente deelrij, zoals in vraag 13 met de hand gevonden. Geen paradox: Schur zegt dat rijen in $\ell^1$ de zwakke en de normtopologie niet kunnen onderscheiden (de topologieën zelf verschillen wel degelijk — zwakke omgevingen zijn nooit normbegrensd), en de zwakke rijcompactheid van de eenheidsbal is een andere, sterkere eigenschap, gelijkwaardig met reflexiviteit (Eberlein–Šmulian, buiten ons gereedschap; het falen hebben we althans bewezen).

22. De inventaris.

$E$	$E'$	sep.	refl.	zwak rijcpt. ballen
$c_0$	$\ell^1$	ja	nee	nee ( $e_1{+}\dots{+}e_k$ )
$\ell^1$	$\ell^\infty$	ja	nee	nee ( $e_k$ , vr. 21)
$\ell^p$	$\ell^q$	ja	ja	ja (vr. 13)
$\ell^\infty$	$\supsetneq\ell^1$	nee	nee	nee

Kenmerken: $c_0$ — haar biduale ruimte is $\ell^\infty$ : de eerste niet-reflexieve stap (vraag 14); $\ell^1$ — de eigenschap van Schur (vraag 20); $\ell^p$ — reflexiviteit en zwakke compactheid (vragen 7 en 13); $\ell^\infty$ — niet-separabel, met banachlimieten: functionalen die geen enkele rij kan voorstellen (vragen 8 en 10–11). Eén familie ruimten, vier verschillende werelden.

23. Zij $(f_k) \subseteq F$ met $\norm{x - f_k} \to d$ . Dan is $\norm{f_k} \leq \norm x + \sup_k\norm{x - f_k}$ : begrensd, dus levert vraag 13 een deelrij $f_{k_j} \rightharpoonup f$ . Was $f \notin F$ , dan is $\delta = \operatorname{dist}(f, F) > 0$ ( $F$ is gesloten); op $F \oplus \R f$ voldoet de lineaire vorm $\lambda(g + tf) = t$ aan $\abs{\lambda(u)} \leq \norm u/\delta$ (want $\norm{g + tf} \geq \abs t\,\delta$ ), en Hahn–Banach zet die voort tot $\Lambda \in (\ell^p)'$ met $\Lambda\restriction_F = 0$ en $\Lambda(f) = 1$ ; maar dan is $0 = \Lambda(f_{k_j}) \to \Lambda(f) = 1$ : tegenspraak. Dus $f \in F$ , en $x - f_{k_j} \rightharpoonup x - f$ geeft met vraag 17

d \leq \norm{x - f} \leq \liminf_j\,\norm{x - f_{k_j}} = d :

de afstand wordt in $f$ bereikt. In $c_0$ : $\abs{\Lambda(x)} \leq \sum_n2^{-n}\abs{x_n} < \norm x_\infty$ voor elke $x \neq 0$ (een nulrij $\neq 0$ kan niet voor alle $n$ aan $\abs{x_n} = \norm x_\infty$ voldoen), terwijl de afgeknotte rijen $(1, \dots, 1, 0, \dots)$ geven $\Lambda = 1 - 2^{-N} \to 1$ : dus $\norm\Lambda = 1$ , nooit bereikt. Afstandsformule: voor $f \in \ker\Lambda$ is $\abs{\Lambda(x)} = \abs{\Lambda(x - f)} \leq \norm{x - f}$ , dus $\operatorname{dist}(x, \ker\Lambda) \geq \abs{\Lambda(x)}$ ; en omgekeerd ligt voor $u$ in de eenheidsbal met $\Lambda(u) \geq 1 - \varepsilon$ de vector $f = x - \frac{\Lambda(x)}{\Lambda(u)}u$ in $\ker\Lambda$ met $\norm{x - f} \leq \frac{\abs{\Lambda(x)}}{1 - \varepsilon}$ : gelijkheid. Werd ze in een $f \in \ker\Lambda$ bereikt, dan voldeed $z = x - f$ aan $\abs{\Lambda(z)} = \abs{\Lambda(x)} = \norm z \neq 0$ , zodat $\Lambda$ haar norm in $z/\norm z$ zou bereiken: onmogelijk. Een gesloten hypervlak van $c_0$ zonder ergens een dichtstbijzijnd punt — de reflexiviteit was geen versiering.

24. Stel $y_1 = x^{(1)}$ . Gegeven $y_1, \dots, y_j$ gaat elke afbeelding $k \mapsto \langle y_i, x^{(k)}\rangle$ naar $0$ ( $y_i \in \ell^2 = (\ell^2)'$ ), dus is er voorbij de vorige index een $k_{j+1}$ met $\abs{\langle y_i, x^{(k_{j+1})}\rangle} \leq \frac1{j+1}$ voor $i = 1, \dots, j$ ; noem die keuze $y_{j+1}$ . Dan is

\Bigl\lVert\sum_{j=1}^my_j\Bigr\rVert_2^2 = \sum_{j=1}^m\norm{y_j}_2^2 + 2\sum_{j=2}^m\sum_{i<j}\langle y_i, y_j\rangle \leq mC^2 + 2\sum_{j=2}^m\frac{j-1}j \leq mC^2 + 2m,

en delen door $m^2$ geeft $\norm{\frac1m\sum_jy_j}_2^2 \leq \frac{C^2 + 2}m \to 0$ . (Voor een zwakke limiet $x \neq 0$ : pas dit toe op $x^{(k)} - x$ .) Op de orthonormale $(e_k)$ is zelfs geen extractie nodig: $\norm{\frac1m(e_1 + \dots + e_m)}_2 = \frac{\sqrt m}m = \frac1{\sqrt m}$ . Middelen zet zwakke convergentie dus om in normconvergentie: de eigenschap van Banach–Saks van $\ell^2$ .

25. $A_mx = \frac1m\sum_{i=0}^{m-1}S^ix$ , dus geven de lineariteit en de verschuivingsinvariantie $L(A_mx) = L(x)$ . Kies voor een begrensde $u$ en $\varepsilon > 0$ een $N$ met $u_n \leq \limsup u + \varepsilon$ voor $n \geq N$ ; de positiviteit toegepast op $(\limsup u + \varepsilon)\mathbf 1 - S^Nu \geq 0$ samen met $L(S^Nu) = L(u)$ geeft $L(u) \leq \limsup u + \varepsilon$ , en symmetrisch $L(u) \geq \liminf u - \varepsilon$ : dus $\liminf A_mx \leq L(x) \leq \limsup A_mx$ voor elke $m$ . Is $x$ $T$ -periodiek, dan is $A_Tx$ de constante rij gelijk aan het periodegemiddelde $\mu$ : dus $L(x) = \mu$ voor elke banachlimiet — $\frac13$ op $(1,0,0,\dots)$ en $\frac12$ op $(0,1,0,1,\dots)$ als in vraag 12. Voor de blokrij: bij $N = 3^j$ met $j$ even bestaat het laatste blok geheel uit enen, dus is het cesàromiddel $\geq \frac{3^j - 3^{j-1}}{3^j} = \frac23$ ; en bij $N = 3^j$ met $j$ oneven liggen alle enen in $\intoc0{3^{j-1}}$ , dus is het middel $\leq \frac13$ . Bijgevolg is $p(x) \geq \frac23$ en $-p(-x) = \liminf_n\frac{x_1 + \dots + x_n}n \leq \frac13$ . Definieer op $M = c \oplus \R x$ : $\Lambda_+(y + tx) = \lim y + t\,p(x)$ . Dominatie door $p$ : voor $t > 0$ geeft de sublineariteit $p(tx) \leq p(y + tx) + p(-y)$ , oftewel $p(y + tx) \geq t\,p(x) + \lim y$ (merk op dat $p(\pm y) = \pm\lim y$ voor $y \in c$ : de cesàromiddelen van een convergente rij convergeren naar haar limiet); voor $t = -s < 0$ geeft $p(y) \leq p(y - sx) + p(sx)$ dat $p(y - sx) \geq \lim y - s\,p(x)$ ; en voor $t = 0$ is er gelijkheid. Dus is $\Lambda_+ \leq p$ op $M$ , en Hahn–Banach zet haar voort tot $L_+ \leq p$ op $\ell^\infty_\R$ , wat precies als in vraag 10 een banachlimiet is (uit de dominatie door $p$ volgen de positiviteit, de verschuivingsinvariantie en de waarde $\lim$ op $c$ ), met $L_+(x) = p(x) \geq \frac23$ . Dezelfde berekening met $\Lambda_-(y + tx) = \lim y - t\,p(-x)$ (met $p(-sx) \leq p(y - sx) + p(-y)$ voor het geval $t = -s < 0$ ) levert een banachlimiet $L_-$ met $L_-(x) = -p(-x) \leq \frac13$ . Twee banachlimieten, één rij, twee waarden: buiten de periodieke (en algemener de bijna convergente) wereld is een banachlimiet een echte keuze.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst

8.1 Begrensde operatoren; rijruimten

8.2 Hahn–Banach

8.3 De trilogie van Baire

8.4 Duale ruimten, concreet

8.5 Oefeningen

8.6 Probleem: de dualiteit van de ℓp\ell^pℓp-ruimten

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

8.6 Probleem: de dualiteit van de $\ell^p$ -ruimten