Omgeving, open verzameling কী?

Voorbeeld 12.2

Open intervallen zijn open: voor $x \in \intoo{a}{b}$ neem je $r = \min(x - a,\, b - x) > 0$. Halfrechten $\intoo{a}{+\infty}$ zijn open; $\R$ en $\emptyset$ zijn open (de laatste bij gebrek aan punten). $\intcc{0}{1}$ is niet open: geen enkel interval rond $0$ blijft binnen.

Voorbeeld 12.4 (Openheid waarborgen met expliciete stralen)

Is $U = \{x \in \R : x^2 > 2\}$ open? Ja, en het bewijsstuk laat zich opschrijven: $U = \intoo{-\infty}{-\sqrt2} \cup \intoo{\sqrt2}{+\infty}$, een vereniging van twee open halfrechten, open volgens Propositie 12.3. Je kunt ook punt voor punt redeneren: voor $x \in U$ met $x > \sqrt 2$ neem je $r = x - \sqrt2 > 0$: elke $y \in \intoo{x - r}{x + r}$ voldoet aan $y > \sqrt 2$ en dus $y^2 > 2$; symmetrisch aan de linkerkant. Beide stijlen doen ertoe — de structurele (bouw uit bekende open verzamelingen met verenigingen en eindige doorsneden) schaalt beter, de $\varepsilon$-stijl werkt wanneer er geen structuur zichtbaar is; en Hoofdstuk 13 voegt er een derde en krachtigste aan toe: $U$ is het origineel van de open verzameling $\intoo{2}{+\infty}$ onder de continue $x \mapsto x^2$.

Voorbeeld 12.8

Segmenten $\intcc{a}{b}$, halfrechten $\intco{a}{+\infty}$, eindige verzamelingen en $\Z$ (een convergente rij gehele getallen is uiteindelijk constant) zijn gesloten. $\intoc{0}{1}$ is open noch gesloten (open faalt in $1$; gesloten faalt want $\frac 1n \to 0 \notin$ de verzameling): de meeste verzamelingen zijn geen van beide. $\R$ en $\emptyset$ zijn zowel open als gesloten — en het zijn de enige zulke deelverzamelingen van $\R$ (Oefening 12.9).