Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Bachelor Year 1

20Lineaire afbeeldingen

De afbeeldingen tussen vectorruimten die de moeite waard zijn om te bestuderen, zijn die welke verenigbaar zijn met de structuur: lineaire afbeeldingen. Hun twee fundamentele deelruimten — kern en beeld — meten injectiviteit en surjectiviteit, en in eindige dimensie bindt de dimensiestelling hun groottes samen tot één behoudswet. Projecties en symmetrieën, en vervolgens lineaire vormen en hypervlakken, sluiten het hoofdstuk af.

20.1 Definities en eerste eigenschappen

Definitie 20.1

Zij $E, F$ $K$ -vectorruimten. Een afbeelding $u \colon E \to F$ is lineair wanneer

\forall x, y \in E,\ \forall \lambda \in K, \qquad u(x + \lambda y) = u(x) + \lambda u(y).

Dan geldt $u(0) = 0$ en $u(\sum \lambda_i x_i) = \sum \lambda_i u(x_i)$ . De verzameling $\mathcal{L}(E, F)$ van lineaire afbeeldingen is zelf een vectorruimte; de samenstelling van lineaire afbeeldingen is lineair, en bilineair in het paar. Een endomorfisme is een lineaire $E \to E$ ; een isomorfisme is een bijectieve lineaire afbeelding (haar inverse is dan automatisch lineair); $u^{-1}$ van een isomorfisme, en samenstellingen van isomorfismen, zijn isomorfismen.

Bewijs dat de inverse lineair is. Zij $u$ lineair en bijectief, $y, y' \in F$ en $\lambda \in K$ . Stel $x = u^{-1}(y)$ en $x' = u^{-1}(y')$ . Dan geldt

u\bigl(x + \lambda x'\bigr) = u(x) + \lambda u(x') = y + \lambda y' ,

en door $u^{-1}$ op beide uiteinden toe te passen: $u^{-1}(y + \lambda y') = x + \lambda x' = u^{-1}(y) + \lambda\,u^{-1}(y')$ . Er werd niets over $u^{-1}$ berekend: lineariteit gaat over via de definiërende eigenschap van $u$ alleen — een patroon dat de moeite waard is om te onthouden, aangezien structuur vaak gratis meelift over bijecties. ∎

Propositie 20.2 (Een lineaire afbeelding is bekend op een basis)

Zij $(e_1, \dots, e_n)$ een basis van $E$ en $(v_1, \dots, v_n)$ willekeurige vectoren van $F$ . Er is precies één lineaire afbeelding $u \colon E \to F$ met $u(e_i) = v_i$ voor alle $i$ . Bovendien:

u \text{ injectief} \iff (v_i) \text{ vrij}; \qquad u \text{ surjectief} \iff (v_i) \text{ brengt } F \text{ voort} .

Bewijs. Bestaan/uniciteit: elke $x$ heeft unieke coördinaten $x = \sum \lambda_i e_i$ (Propositie 18.15); lineariteit dwingt $u(x) = \sum \lambda_i v_i$ af, en deze formule definieert inderdaad een lineaire afbeelding.

Injectiviteit: volgens Propositie 20.5 hieronder is $u$ injectief dan en slechts dan als haar kern triviaal is. Nu betekent $u\bigl(\sum\lambda_i e_i\bigr) = 0$ precies $\sum\lambda_i v_i = 0$ . Als $(v_i)$ vrij is, dwingt dit elke $\lambda_i = 0$ af, d.w.z. de kern reduceert tot $0$ : injectief. Als $(v_i)$ gebonden is, produceert een niet-triviale relatie $\sum\lambda_i v_i = 0$ de niet-nulvector $\sum\lambda_i e_i$ in de kern ( $(e_i)$ is vrij): niet injectief. De twee voorwaarden komen term voor term overeen.

Surjectiviteit: het beeld van $u$ is de verzameling van alle $\sum\lambda_i v_i$ , d.w.z. precies $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_n)$ , die gelijk is aan $F$ dan en slechts dan als de familie voortbrengt. ∎

Definitie 20.3 (Kern en beeld)

Voor $u \in \mathcal{L}(E, F)$ :

\ker u = \{x \in E : u(x) = 0\} \subseteq E, \qquad \operatorname{im} u = u(E) \subseteq F ,

beide deelruimten (rechtstreekse verificatie met het criterium).

Methode 20.4 (Kern en beeld, in de praktijk)

Kern: schrijf $u(x) = 0$ als een stelsel in de coördinaten (of coëfficiënten) van $x$ , los op, en parametriseer — de kern komt tevoorschijn met een basis erbij (Methode 19.10). Beeld: het is het opspansel van de beelden van om het even welke voortbrengende familie van $E$ — gewoonlijk een basis, dus $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}\bigl(u(e_1), \dots, u(e_n)\bigr)$ ; elimineer vervolgens overbodige beelden om een basis te verkrijgen. Kortere weg: bereken degene van de twee die het gemakkelijkst is en verkrijg de dimensie van de andere gratis via de dimensiestelling (Stelling 20.7); wanneer een aannemelijke kandidaat-deelruimte voor het beeld bekend is, verheft het vergelijken van dimensies de gemakkelijke inclusie tot een gelijkheid (Stelling 19.14). Beide kortere wegen worden gebruikt in Voorbeeld 20.11 hieronder.

Propositie 20.5

$u$ is injectief $\iff$ $\ker u = \{0\}$ ; $u$ is surjectief $\iff$ $\operatorname{im} u = F$ .

Bewijs. Zoals voor groepen (Propositie 7.11): $u(x) = u(y) \iff u(x - y) = 0 \iff x - y \in \ker u$ . Het tweede punt is de definitie. ∎

20.2 De dimensiestelling

Definitie 20.6

De rang van $u \in \mathcal{L}(E, F)$ (met $E$ eindigdimensionaal) is $\operatorname{rk} u = \dim \operatorname{im} u$ — tevens de rang van de familie $\bigl(u(e_1), \dots, u(e_n)\bigr)$ voor om het even welke basis $(e_i)$ van $E$ .

Stelling 20.7 (Dimensiestelling)

Zij $E$ eindigdimensionaal en $u \in \mathcal{L}(E, F)$ . Dan

\dim E = \dim \ker u + \operatorname{rk} u .

Preciezer: als $S$ een willekeurige complementaire deelruimte van $\ker u$ in $E$ is, dan beperkt $u$ zich tot een isomorfisme van $S$ op $\operatorname{im} u$ .

Bewijs. Zij $S$ zodanig dat $E = \ker u \oplus S$ (Stelling 19.14), en zij $v \colon S \to \operatorname{im} u$ de beperking van $u$ .

$v$ is injectief: $\ker v = S \cap \ker u = \{0\}$ .

$v$ is surjectief: elke $u(x)$ met $x = k + s$ ( $k \in \ker u$ , $s \in S$ ) is gelijk aan $u(s) = v(s)$ .

Dus $v$ is een isomorfisme; een isomorfisme stuurt een basis naar een basis (Propositie 20.2), dus $\dim S = \dim\operatorname{im} u$ , en $\dim E = \dim\ker u + \dim S$ besluit. ∎

Voorbeeld 20.8 (Een afbeelding op specificatie bouwen)

Construeer $u \in \mathcal{L}(\R^3)$ met $\ker u = \operatorname{Vect}(1,1,1)$ en $\operatorname{im} u = \{z = 0\}$ . Eerst een controle: de dimensiestelling eist $1 + 2 = 3$ — consistent, dus een oplossing kan bestaan. Kies een basis aangepast aan de kern, zeg $\bigl((1,1,1),\ e_1,\ e_2\bigr)$ (Voorbeeld 19.7), en schrijf de beelden voor (Propositie 20.2):

u(1,1,1) = 0, \qquad u(e_1) = e_1, \qquad u(e_2) = e_2 .

Dan geldt $\ker u \supseteq \operatorname{Vect}(1,1,1)$ en $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(e_1, e_2) = \{z = 0\}$ ; de dimensiestelling dwingt $\dim\ker u = 1$ af, dus de kern is precies de voorgeschreven rechte. Expliciet, door $(x, y, z) = z(1,1,1) + (x - z)e_1 + (y - z)e_2$ te ontbinden:

u(x, y, z) = (x - z,\ y - z,\ 0).

Het recept veralgemeent: een lineaire afbeelding met voorgeschreven kern $N$ en beeld $I$ bestaat precies wanneer $\dim N + \dim I = \dim E$ — de noodzaak is de dimensiestelling, de voldoendheid is deze constructie.

Gevolg 20.9

Als $\dim E = \dim F$ (eindig), dan geldt voor $u \in \mathcal{L}(E, F)$ :

u \text{ injectief} \iff u \text{ surjectief} \iff u \text{ bijectief}.

In het bijzonder geldt dit voor endomorfismen in eindige dimensie. (Het faalt in oneindige dimensie: op $K[X]$ is de afgeleide surjectief maar niet injectief, en $P \mapsto XP$ is injectief maar niet surjectief.)

Bewijs. Injectief $\iff \dim\ker u = 0 \iff \operatorname{rk} u = \dim E = \dim F \iff \operatorname{im} u = F$ (een deelruimte van volle dimensie is alles, Stelling 19.14) $\iff$ surjectief. ∎

Voorbeeld 20.10 (Interpolatie, structureel)

Fixeer verschillende $x_0, \dots, x_n$ en zij $u \colon \R_n[X] \to \R^{n+1}$ , $P \mapsto (P(x_0), \dots, P(x_n))$ : lineair. Haar kern is $\{P : \deg P \leq n,\ n+1 \text{ wortels}\} = \{0\}$ (Gevolg 8.8). Gelijke dimensies $n + 1$ : $u$ is een isomorfisme — bestaan en uniciteit van de Lagrange-interpolant (Stelling 8.23) in één regel.

Hetzelfde éénregelige patroon behandelt data die waarden en afgeleiden vermengen: $v \colon \R_3[X] \to \R^4$ , $P \mapsto \bigl(P(0), P'(0), P(1), P'(1)\bigr)$ is lineair, en haar kern bestaat uit veeltermen van graad $\leq 3$ met dubbele wortels in $0$ en $1$ , d.w.z. deelbaar door $X^2(X-1)^2$ van graad $4$ : enkel $P = 0$ . Opnieuw gelijke dimensies: elk viertal data $(P(0), P'(0), P(1), P'(1))$ wordt gerealiseerd door precies één derdegraads veelterm — Hermite-interpolatie, toegekend door een kernberekening voordat enige formule wordt opgeschreven (het weekendprobleem van Hoofdstuk 22 ontmoet zijn determinant).

Voorbeeld 20.11 (De dimensiestelling aan het werk: de verschiloperator)

Zij $\Delta \colon \R_n[X] \to \R_n[X]$ , $P \mapsto P(X+1) - P(X)$ : lineair. Kern: als $\Delta P = 0$ , dan $P(0) = P(1) = P(2) = \dots$ , dus $P - P(0)$ heeft oneindig veel wortels en verdwijnt (Gevolg 8.8): $\ker\Delta$ is de rechte van de constanten. Dimensiestelling: $\operatorname{rk}\Delta = (n + 1) - 1 = n$ . Aangezien $\deg \Delta P < \deg P$ voor niet-constante $P$ (de hoogste termen heffen elkaar op), geldt $\operatorname{im}\Delta \subseteq \R_{n-1}[X]$ , die precies dimensie $n$ heeft: de inclusie is een gelijkheid. Conclusie, zonder enige berekening van originelen: elke veelterm $Q$ van graad $\leq n - 1$ is een verschil $Q = P(X+1) - P(X)$ — de discrete primitieve bestaat. (Vergelijk het weekendprobleem van Hoofdstuk 18, waar $\Delta$ expliciet werd geïnverteerd in de binomiaalbasis.)

Voorbeeld 20.12 (Rangboekhouding langs een samenstelling)

Stel op $\R_2[X]$ de afgeleide $D(P) = P'$ (rang $2$ : beeld $\R_1[X]$ , kern de constanten) samen met zichzelf. Dan beeldt $D \circ D = D^2$ af $P \mapsto P''$ , met beeld $\R_0[X]$ : rang $1$ . Vergelijk met de algemene grenzen: de grove geeft $\operatorname{rk} D^2 \leq \min(2, 2) = 2$ ; de exacte formule van Oefening 20.12 verantwoordt het verlies nauwkeurig,

\operatorname{rk} D^2 = \operatorname{rk} D - \dim\bigl(\ker D \cap \operatorname{im} D\bigr) = 2 - 1 = 1 ,

aangezien de constanten (kern van de buitenste $D$ ) binnen $\R_1[X]$ (beeld van de binnenste $D$ ) liggen met dimensie $1$ . Rang gaat precies daar verloren waar de buitenste kern het binnenste beeld overvalt — de zin om te onthouden wanneer samenstellingsrangen zich misdragen.

Voorbeeld 20.13 (Kern en beeld van de Euler-operator)

Zij op $\R_n[X]$ $u(P) = X\,P'$ (lineair: differentiëren en vermenigvuldigen met $X$ zijn dat). Kern: $XP' = 0$ dwingt $P' = 0$ af (een product van veeltermen verdwijnt enkel als een van de factoren dat doet), dus $\ker u$ is de rechte van de constanten. Beeld: op de monoombasis,

u(X^k) = k\,X^{k} \qquad (k = 0, 1, \dots, n),

dus $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(X, 2X^2, \dots, nX^n) = \operatorname{Vect}(X, X^2, \dots, X^n)$ : de veeltermen met nulconstante term. Controleer aan de hand van de dimensiestelling: $\operatorname{rk} u = (n + 1) - 1 = n$ , wat inderdaad de gevonden dimensie is. Twee opmerkingen die de moeite waard zijn om te bewaren. Ten eerste, hier geldt $\operatorname{im} u \oplus \ker u = \R_n[X]$ — maar dat is een gelukkig toeval van deze operator, geen stelling: voor de shift-achtige $v(P) = P'$ op $\R_1[X]$ geldt $\ker v = \operatorname{im} v = \R_0[X]$ en is de som niet direct. Ten tweede zegt de relatie $u(X^k) = kX^k$ dat elk monoom door $u$ enkel herschaald wordt — een basis aangepast aan de afbeelding, de kiem van het eigenwaarde-idee dat ontwikkeld wordt in het volume van Jaar 2.

20.3 Projecties en symmetrieën

Definitie 20.14

Zij $E = F \oplus G$ . De projectie op $F$ langs $G$ beeldt $x = f + g$ (unieke ontbinding) af op $p(x) = f$ ; de bijbehorende symmetrie is $s(x) = f - g$ . Beide zijn lineair, en $s = 2p - \mathrm{id}$ .

Stelling 20.15 (Algebraïsche karakterisering)

Een endomorfisme $p$ is een projectie (op een zekere $F$ langs een zekere $G$ ) dan en slechts dan als $p \circ p = p$ ; dan geldt $F = \operatorname{im} p = \ker(p - \mathrm{id})$ en $G = \ker p$ .
Een endomorfisme $s$ is een symmetrie dan en slechts dan als $s \circ s = \mathrm{id}$ ; dan geldt $E = \ker(s - \mathrm{id}) \oplus \ker(s + \mathrm{id})$ .

Bewijs. (1) Een projectie voldoet aan $p(f + g) = f$ en $p(f) = f$ : $p^2 = p$ . Omgekeerd, zij $p^2 = p$ ; stel $F = \operatorname{im} p$ , $G = \ker p$ . Elke $x$ schrijft $x = p(x) + (x - p(x))$ met $p(x) \in F$ en $p\bigl(x - p(x)\bigr) = p(x) - p^2(x) = 0$ : $E = F + G$ . Als $y \in F \cap G$ : $y = p(z)$ en $p(y) = 0$ , dus $y = p(z) = p^2(z) = p(y) = 0$ : directe som, en $p$ is de projectie op $F$ langs $G$ . Ten slotte op $F$ : $y = p(z)$ geeft $p(y) = y$ , dus $F \subseteq \ker(p - \mathrm{id})$ , en omgekeerd plaatst $p(y) = y$ $y$ in het beeld.

(2) De correspondentie $s = 2p - \mathrm{id}$ , $p = \frac{s + \mathrm{id}}2$ is een bijectie tussen endomorfismen, en daaronder

s^2 = 4p^2 - 4p + \mathrm{id} = \mathrm{id} \iff 4p^2 = 4p \iff p^2 = p :

symmetrieën corresponderen precies met projecties. Vertaling van de deelruimten: $s(x) = x \iff p(x) = x$ , dus $\ker(s - \mathrm{id}) = \operatorname{im} p = F$ ; en $s(x) = -x \iff 2p(x) = 0 \iff x \in \ker p = G$ , dus $\ker(s + \mathrm{id}) = G$ . De directe som $E = F \oplus G$ van punt (1) wordt de aangekondigde ontbinding in de vaste vectoren en de omgekeerde vectoren van $s$ . ∎

Voorbeeld 20.16 (Een projectie en haar symmetrie, expliciet)

Projecteer in $\R^2$ op $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ langs $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ . Ontbind $(x, y) = a(1,1) + b(0,1)$ : de eerste coördinaat geeft $a = x$ , de tweede $b = y - x$ . Bijgevolg

p(x, y) = (x, x), \qquad s(x, y) = 2p(x,y) - (x,y) = (x,\ 2x - y).

Controleer de algebra: $p(p(x,y)) = p(x,x) = (x,x)$ , en $s(s(x,y)) = s(x, 2x - y) = (x, 2x - (2x - y)) = (x, y)$ . Meetkundig is $s$ de “scheve spiegeling” over de rechte $y = x$ in de verticale richting: ze houdt $F$ puntsgewijs vast en keert $G$ om. Hadden we op dezelfde $F$ langs $G' = \operatorname{Vect}(1,-1)$ geprojecteerd, dan zou de formule veranderen in $p'(x,y) = \bigl(\frac{x+y}2, \frac{x+y}2\bigr)$ : een projectie wordt bepaald door haar beeld en haar kern, nooit door het beeld alleen.

De projectie op F = Vect(1,1) langs G = Vect(0,1) en haar symmetrie, op het punt M = (2,\ 0.5): verticaal schuivend raakt M F in p(M) = (2,2) en landt in s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5), even ver boven F (gemeten langs G) als M eronder lag. — De projectie op $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ langs $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ en haar symmetrie, op het punt $M = (2,\ 0.5)$ : verticaal schuivend raakt $M$ $F$ in $p(M) = (2,2)$ en landt in $s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5)$ , even ver boven $F$ (gemeten langs $G$ ) als $M$ eronder lag.

20.4 Lineaire vormen en hypervlakken

Definitie 20.17

Een lineaire vorm op $E$ is een lineaire afbeelding $\varphi \colon E \to K$ . Een hypervlak van $E$ ( $\dim E = n$ ) is een deelruimte van dimensie $n - 1$ .

Voorbeeld 20.18 (Een evaluatievorm en zijn hypervlak)

Op $\R_2[X]$ is de evaluatie $\varphi(P) = P(2)$ een lineaire vorm, niet-nul ( $\varphi(1) = 1$ ). Zijn kern is het hypervlak van veeltermen die in $2$ verdwijnen, d.w.z. (factorstelling, Stelling 8.7) de veelvouden van $X - 2$ binnen $\R_2[X]$ :

\ker\varphi = \operatorname{Vect}\bigl(X - 2,\ X(X - 2)\bigr), \qquad \dim = 2 .

In coördinaten op $(1, X, X^2)$ , $\varphi(a + bX + cX^2) = a + 2b + 4c$ : elke lineaire vorm op een eindigdimensionale ruimte is, zodra een basis is vastgelegd, een vaste lineaire uitdrukking in de coördinaten — vormen zijn “rijvectoren”, zoals Hoofdstuk 21 letterlijk zal maken, en de coëfficiëntenrij hier, $(1, 2, 4)$ , is een Vandermonde-rij: evaluatievormen zijn de manier waarop de interpolatietheorie van het weekendprobleem van Hoofdstuk 22 de lineaire algebra binnenkomt.

Stelling 20.19

De hypervlakken van $E$ zijn precies de kernen van niet-nul lineaire vormen. Twee niet-nul vormen hebben dezelfde kern dan en slechts dan als ze evenredig zijn.

Bewijs. Als $\varphi \neq 0$ : $\operatorname{rk}\varphi = 1$ (beeld een niet-nul deelruimte van $K$ ), dus $\dim\ker\varphi = n - 1$ : een hypervlak. Omgekeerd, zij $H$ een hypervlak, $(e_1, \dots, e_{n-1})$ een basis van $H$ aangevuld met $e_n$ : de vorm “laatste coördinaat” heeft kern $H$ .

Evenredige vormen delen hun kern. Omgekeerd, veronderstel $\ker\varphi = \ker\psi = H$ en kies $a \notin H$ : elke $x$ schrijft $x = h + \lambda a$ (aangezien $E = H \oplus Ka$ ), en

\varphi(x) = \lambda \varphi(a), \qquad \psi(x) = \lambda\psi(a):

dus $\varphi = \frac{\varphi(a)}{\psi(a)}\,\psi$ . ∎

Voorbeeld 20.20

In $K^n$ is een hypervlak een oplossingsverzameling $\{a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = 0\}$ met niet alle $a_i$ nul — de vertrouwde vergelijking van een vlak door de oorsprong in $\R^3$ . In functieruimten definiëren evaluatievormen $P \mapsto P(1)$ of $f \mapsto \int_0^1 f$ hypervlakken van $\R_n[X]$ , van $C(\intcc{0}{1})$ (vgl. Oefening 19.6).

Voorbeeld 20.21 (Eén hypervlak, op drie manieren uitgewerkt)

Neem $\varphi(x, y, z) = x - 2y + 3z$ op $\R^3$ en $H = \ker\varphi$ . Basis: los $x = 2y - 3z$ op:

(2y - 3z,\ y,\ z) = y\,(2, 1, 0) + z\,(-3, 0, 1),

twee vrije vectoren: $\dim H = 2$ , een hypervlak, zoals Stelling 20.19 voorspelt uit $\varphi \neq 0$ . Complementaire rechte: elke vector buiten $H$ brengt er een voort, bijv. $a = (1, 0, 0)$ ( $\varphi(a) = 1 \neq 0$ ); de ontbinding van een willekeurige $v$ is expliciet:

v = \underbrace{\bigl(v - \varphi(v)\,a\bigr)}_{\in\,H} + \underbrace{\varphi(v)\,a}_{\in\,\operatorname{Vect}(a)},

aangezien $\varphi\bigl(v - \varphi(v)a\bigr) = \varphi(v) - \varphi(v)\varphi(a) = 0$ . Evenredigheid: als $\psi(x,y,z) = -2x + 4y - 6z$ , dan geldt $\psi = -2\varphi$ en beide hebben kern $H$ ; omgekeerd is elke vorm die verdwijnt op $H$ een veelvoud van $\varphi$ (Oefening 20.8) — de vergelijking van een hypervlak is uniek op een schaalfactor na, een feit dat voortdurend wordt gebruikt voor vlakken in de meetkunde.

Opmerking 20.22 (Veelvoorkomende valkuilen)

Kern en beeld leven in verschillende ruimten: $\ker u \subseteq E$ , $\operatorname{im} u \subseteq F$ ; de som $\ker u + \operatorname{im} u$ heeft enkel zin voor endomorfismen, en zelfs dan hoeft ze niet direct te zijn ( $u(x, y) = (y, 0)$ heeft $\ker u = \operatorname{im} u$ ; Oefening 20.7 karakteriseert wanneer directheid geldt). $u^2 = 0$ betekent niet $u = 0$ : dezelfde $u(x,y) = (y, 0)$ kwadrateert tot nul zonder te verdwijnen — wat $u^2 = 0$ werkelijk zegt is $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$ (Oefening 20.5). Injectief $\iff$ surjectief vereist gelijke eindige dimensies: op $K[X]$ is de afgeleide surjectief en niet injectief, $P \mapsto XP$ injectief en niet surjectief (Gevolg 20.9); en tussen ruimten van verschillende dimensies is de ene implicatie eenvoudigweg onmogelijk ( $\operatorname{rk} u \leq \min(\dim E, \dim F)$ ). Beelden voorschrijven werkt op een basis, niet op een willekeurige familie: eisen dat $u(1, 0) = a$ , $u(0, 1) = b$ , $u(1, 1) = c$ overbepaalt $u$ tenzij $c = a + b$ ; een lineaire afbeelding is vrij op een basis, geketend overal elders. Rang wordt niet behouden door samenstelling: ze kan enkel dalen, $\operatorname{rk}(vu) \leq \min(\operatorname{rk} u, \operatorname{rk} v)$ (Oefening 20.4), met exact verlies gemeten in Oefening 20.12.

Opmerking 20.23 (Waar deze afbeeldingen naartoe gaan)

Lineaire afbeeldingen staan op het punt matrices te worden: zodra bases zijn vastgelegd, codeert Hoofdstuk 21 elke $u \in \mathcal{L}(E, F)$ door een rechthoekige tabel, en wordt de samenstelling het matrixproduct — de dimensiestelling stuwt dan de theorie van lineaire stelsels in Hoofdstuk 22. Projecties keren terug in Hoofdstuk 23 in hun nuttigste bijzondere geval, de orthogonale projectie, waar de kern loodrecht op het beeld wordt gekozen. Het weekendprobleem hieronder drijft de projectoralgebra zo ver als de gereedschappen van het eerste jaar reiken, tot aan het lemma van Fitting; het volume van Jaar 2 gaat verder met het spoor en met de eigenwaardetheorie, waarvoor projectoren op stabiele deelruimten de basisbouwstenen zijn.

Opmerking 20.24 (Perspectieven binnen Boek 3: de dimensiestelling nog drie keer)

De behoudswet $\dim E = \dim\ker u + \operatorname{rk} u$ zal nog drie keer herlezen worden voor het volume eindigt. In Hoofdstuk 22 wordt ze de vorm van oplossingsverzamelingen: een verenigbaar stelsel met $p$ onbekenden en rang $r$ heeft een oplossingsverzameling van dimensie $p - r$ — kerndimensie in vermomming. In Hoofdstuk 23 splitst ze orthogonaal, $\dim F + \dim F^\perp = \dim E$ , en drijft ze elke afstandsberekening aan. In het weekendprobleem van Hoofdstuk 25 is ze de boekhouder van de kleinste kwadraten: $n$ waarnemingen, $2$ gefitte parameters, $n - 2$ residuele dimensies, en de pythagoreïsche identiteit $\norm b^2 = \norm p^2 + \norm{b - p}^2$ is de euclidische schaduw van de dimensiestelling. Eén stelling, vier gedaanten.

20.5 Oefeningen

Oefening 20.1 ★

Welke afbeeldingen zijn lineair?

$\R^2 \to \R^2$ , $(x, y) \mapsto (x + y, x - 2y)$ ;
$\R^2 \to \R$ , $(x, y) \mapsto xy$ ;
$\R[X] \to \R[X]$ , $P \mapsto P' + XP$ ;
$\mathcal{F}(\R,\R) \to \R$ , $f \mapsto f(3)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.1.

(1) Lineair: de coördinaten zijn lineaire uitdrukkingen. (2) Niet lineair: $u(2(1,1)) = 4 \neq 2 = 2u(1,1)$ . (3) Lineair: differentiëren en vermenigvuldigen met $X$ zijn dat, en sommen van lineaire afbeeldingen zijn dat. (4) Lineair: evaluatie respecteert de puntsgewijze bewerkingen.

Oefening 20.2 ★

Zij $u \colon \R^3 \to \R^3$ , $(x,y,z) \mapsto (x + y - z,\; 2x + y + z,\; 3x + 2y)$ . Bepaal $\ker u$ (basis, dimensie), $\operatorname{rk} u$ , en een basis van $\operatorname{im} u$ . Is $u$ injectief? surjectief?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.2.

Kern: los $x + y - z = 0$ , $2x + y + z = 0$ , $3x + 2y = 0$ op. Uit de derde, $y = -\frac{3x}{2}$ ; de eerste geeft $z = x + y = -\frac x2$ ; controle in de tweede: $2x - \frac{3x}{2} - \frac x2 = 0$ : voldaan. Dus $\ker u = \operatorname{Vect}\bigl((2, -3, -1)\bigr)$ (door $x = 2$ te nemen), dimensie $1$ .

Dimensiestelling: $\operatorname{rk} u = 3 - 1 = 2$ . Beeld: opgespannen door de beelden van de canonieke basis, $u(e_1) = (1,2,3)$ , $u(e_2) = (1,1,2)$ , $u(e_3) = (-1,1,0)$ ; de eerste twee zijn vrij, en de rang is $2$ : basis $\bigl((1,2,3), (1,1,2)\bigr)$ .

Niet injectief ( $\ker \neq \{0\}$ ), niet surjectief (rang $2 < 3$ ): consistent met Gevolg 20.9.

Oefening 20.3 ★

Zij $u \colon \R_n[X] \to \R_n[X]$ , $P \mapsto P - P'$ . Bewijs dat $u$ een isomorfisme is: eerst via $\ker u$ , en daarna door de inverse te tonen (beschouw $P + P' + P'' + \dots$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.3.

Kern: $P = P'$ dwingt $\deg P = \deg P'$ af tenzij $P = 0$ ; maar $\deg P' < \deg P$ voor $P \neq 0$ : dus $\ker u = \{0\}$ , en $u$ , een injectief endomorfisme van de eindigdimensionale $\R_n[X]$ , is een isomorfisme (Gevolg 20.9).

Inverse: zij $v(P) = P + P' + P'' + \dots + P^{(n)}$ (een eindige som op $\R_n[X]$ ). Dan

v\bigl(u(P)\bigr) = \sum_{k=0}^{n} (P - P')^{(k)} = \sum_{k=0}^{n} P^{(k)} - \sum_{k=0}^{n} P^{(k+1)} = P - P^{(n+1)} = P ,

telescoperend, aangezien $P^{(n+1)} = 0$ . Dus $v = u^{-1}$ .

Oefening 20.4 ★

Zij $u \in \mathcal{L}(E, F)$ en $v \in \mathcal{L}(F, G)$ , ruimten eindigdimensionaal. Bewijs:

\operatorname{rk}(v \circ u) \leq \min\bigl(\operatorname{rk} u,\ \operatorname{rk} v\bigr).

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.4.

$\operatorname{im}(v \circ u) = v(\operatorname{im} u) \subseteq \operatorname{im} v$ : rang $\leq \operatorname{rk} v$ . En $v$ beperkt tot $\operatorname{im} u$ heeft beeld $\operatorname{im}(vu)$ met de dimensiestelling binnen $\operatorname{im} u$ : $\operatorname{rk}(vu) \leq \dim\operatorname{im} u = \operatorname{rk} u$ .

Oefening 20.5 ★★

Zij $u$ een endomorfisme van $E$ (eindigdimensionaal) met $u^2 = 0$ . Bewijs dat $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$ , dus $\operatorname{rk} u \leq \frac{\dim E}{2}$ . Geef voor $E = \R^2$ een voorbeeld met gelijkheid.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.5.

$u^2 = 0$ betekent $u(u(x)) = 0$ voor alle $x$ : elke $u(x)$ ligt in $\ker u$ , d.w.z. $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$ . Dan geeft de dimensiestelling:

\dim E = \dim\ker u + \operatorname{rk} u \geq 2\operatorname{rk} u .

Voorbeeld met gelijkheid in $\R^2$ : $u(x, y) = (y, 0)$ : $u^2 = 0$ , $\operatorname{rk} u = 1 = \frac{\dim E}{2}$ .

Oefening 20.6 ★★

Zij $p, q$ projecties van $E$ met $p \circ q = q \circ p$ . Bewijs dat $p \circ q$ een projectie is, met

\operatorname{im}(pq) = \operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q , \qquad \ker (pq) = \ker p + \ker q .

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.6.

$(pq)^2 = pqpq = ppqq = pq$ (commutatie): een projectie (Stelling 20.15).

Beeld: $\operatorname{im}(pq) \subseteq \operatorname{im} p$ , en $= \operatorname{im}(qp) \subseteq \operatorname{im} q$ : bevat in de doorsnede. Omgekeerd, als $x \in \operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q$ , dan $p(x) = x$ en $q(x) = x$ (vaste punten karakteriseren het beeld van een projectie), dus $pq(x) = x$ : $x \in \operatorname{im}(pq)$ .

Kern: $\ker p \subseteq \ker(qp) = \ker(pq)$ en evenzo $\ker q \subseteq \ker(pq)$ : de som is bevat. Omgekeerd, zij $pq(x) = 0$ , en schrijf

x = \underbrace{q(x)}_{\in\, \ker p} + \underbrace{(x - q(x))}_{\in\, \ker q} :

de eerste term voldoet aan $p(q(x)) = 0$ , dus ligt hij in $\ker p$ ; de tweede ligt in $\ker q$ aangezien $q(x - q(x)) = q(x) - q^2(x) = 0$ . Bijgevolg $x \in \ker p + \ker q$ .

Oefening 20.7 ★★

Zij $u \in \mathcal{L}(E)$ , $E$ eindigdimensionaal. Bewijs de equivalentie van:

$E = \ker u \oplus \operatorname{im} u$ ;
$\ker u = \ker u^2$ ;
$\operatorname{im} u = \operatorname{im} u^2$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.7.

Merk eerst de algemene inclusies op $\ker u \subseteq \ker u^2$ en $\operatorname{im} u^2 \subseteq \operatorname{im} u$ , en via de dimensiestelling, (2) $\iff$ (3) (gelijke kernen $\iff$ gelijke rangen $\iff$ gelijke beelden, gegeven de inclusies).

(1 $\Rightarrow$ 2): zij $u^2(x) = 0$ ; dan $u(x) \in \ker u \cap \operatorname{im} u = \{0\}$ , dus $x \in \ker u$ .

(2 $\Rightarrow$ 1): via Grassmann en de dimensiestelling, $\dim(\ker u + \operatorname{im} u) = \dim\ker u + \operatorname{rk} u - \dim(\ker u \cap \operatorname{im} u) = \dim E - \dim(\ker u \cap \operatorname{im} u)$ : de som is $E$ dan en slechts dan als de doorsnede $\{0\}$ is. Zij $y \in \ker u \cap \operatorname{im} u$ : $y = u(x)$ en $u(y) = 0$ , dus $u^2(x) = 0$ , dus (via (2)) $u(x) = 0$ : $y = 0$ . Bijgevolg $E = \ker u \oplus \operatorname{im} u$ .

Oefening 20.8 ★★

Zij $\varphi, \psi$ lineaire vormen op $E$ met $\ker\varphi \subseteq \ker\psi$ . Bewijs $\psi = \lambda\varphi$ voor een zekere $\lambda \in K$ (met inbegrip van de gedegenereerde gevallen).

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.8.

Als $\varphi = 0$ : dan dwingt $\ker\varphi = E \subseteq \ker\psi$ $\psi = 0 = 0\cdot\varphi$ af. Als $\varphi \neq 0$ : $\ker\varphi$ is een hypervlak; kies $a \notin \ker\varphi$ . Stel $\lambda = \frac{\psi(a)}{\varphi(a)}$ . De vorm $\psi - \lambda\varphi$ verdwijnt op $\ker\varphi$ (beide doen dat, via de inclusie) en in $a$ : hij verdwijnt op $\ker\varphi \oplus Ka = E$ . Dus $\psi = \lambda\varphi$ .

Oefening 20.9 ★★★

Zij $u \in \mathcal{L}(E)$ met $\dim E = n$ , en veronderstel $u^n = 0$ maar $u^{n-1} \neq 0$ (een maximaal nilpotent endomorfisme). Kies $x$ met $u^{n-1}(x) \neq 0$ ; bewijs dat $\bigl(x, u(x), \dots, u^{n-1}(x)\bigr)$ een basis van $E$ is. (Pas machten van $u$ toe op een nulcombinatie, beginnend met $u^{n-1}$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.9.

Veronderstel $\lambda_0 x + \lambda_1 u(x) + \dots + \lambda_{n-1} u^{n-1}(x) = 0$ . Pas $u^{n-1}$ toe: alle termen met een factor $u^{\geq n}$ verdwijnen, waarbij $\lambda_0 u^{n-1}(x) = 0$ overblijft, dus $\lambda_0 = 0$ . Pas $u^{n-2}$ toe op de resterende relatie: $\lambda_1 u^{n-1}(x) = 0$ , dus $\lambda_1 = 0$ ; enzovoort. De familie is vrij; aangezien ze grootte $n = \dim E$ heeft, is ze een basis (Propositie 19.8). (In deze basis werkt $u$ als een shift — het model van maximale nilpotentie.)

Oefening 20.10 ★★★

Zij $f \in \mathcal{L}(\R^n)$ met $f \circ f = -\mathrm{id}$ .

Bewijs dat $f$ een isomorfisme is en dat geen enkele $x \neq 0$ voldoet aan $f(x) = \lambda x$ met $\lambda \in \R$ .
Bewijs dat $n$ even is. Hint: kies $x_1 \neq 0$ ; toon aan dat $\operatorname{Vect}(x_1, f(x_1))$ een vlak is dat stabiel is onder $f$ ; kies $x_2$ erbuiten en herhaal, waarbij je aantoont dat $\bigl(x_1, f(x_1), x_2, f(x_2), \dots\bigr)$ vrij blijft.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.10.

$f \circ f = -\mathrm{id}$ is bijectief, dus $f$ is dat (Propositie 1.26 aangepast: $f$ heeft de tweezijdige inverse $-f$ ). Als $f(x) = \lambda x$ met $x \neq 0$ : door $f$ toe te passen, $-x = \lambda^2 x$ , dus $\lambda^2 = -1$ : onmogelijk in $\R$ .
Bouw de familie gulzig op. Neem $x_1 \neq 0$ : $(x_1, f(x_1))$ is vrij via (1). Als $\operatorname{Vect}$ van de huidige familie $\bigl(x_1, f(x_1), \dots, x_k, f(x_k)\bigr)$ , noem het $V_k$ — een deelruimte stabiel onder $f$ (elke voortbrenger beeldt af op een andere voortbrenger of zijn tegengestelde: $f(f(x_i)) = -x_i$ ) — niet heel $E$ is, kies $x_{k+1} \notin V_k$ . Bewering: de vergrote familie is vrij. Veronderstel $\alpha x_{k+1} + \beta f(x_{k+1}) + v = 0$ met $v \in V_k$ en $(\alpha, \beta) \neq (0,0)$ . Pas $f$ toe: $\alpha f(x_{k+1}) - \beta x_{k+1} + f(v) = 0$ met $f(v) \in V_k$ . Elimineer $f(x_{k+1})$ tussen de twee relaties (vermenigvuldig de eerste met $\alpha$ , de tweede met $-\beta$ , en tel op):

$(\alpha^2 + \beta^2)\, x_{k+1} \in V_k ,$

en $\alpha^2 + \beta^2 \neq 0$ dwingt $x_{k+1} \in V_k$ af: tegenspraak. Dus de constructie gaat verder, waarbij ze vectoren twee per twee toevoegt, tot $V_k = E$ : de uiteindelijke familie is een basis van even grootte, en $n$ is even.

Oefening 20.11 ★★

Zij $u, v \in \mathcal{L}(E, F)$ , ruimten eindigdimensionaal. Bewijs de tweezijdige grens

\abs{\operatorname{rk} u - \operatorname{rk} v} \;\leq\; \operatorname{rk}(u + v) \;\leq\; \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v .

(Vergelijk voor de bovengrens $\operatorname{im}(u+v)$ met $\operatorname{im} u + \operatorname{im} v$ ; pas voor de ondergrens de bovengrens op een slimme manier toe.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.11.

Bovengrens: voor elke $x$ , $(u + v)(x) = u(x) + v(x) \in \operatorname{im} u + \operatorname{im} v$ , dus

\operatorname{rk}(u + v) \leq \dim(\operatorname{im} u + \operatorname{im} v) \leq \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v

(Grassmann, Stelling 19.18). Ondergrens: pas de bovengrens toe op het paar $(u + v, -v)$ , waarvan de som $u$ is:

\operatorname{rk} u \leq \operatorname{rk}(u + v) + \operatorname{rk}(-v) = \operatorname{rk}(u + v) + \operatorname{rk} v,

dus $\operatorname{rk} u - \operatorname{rk} v \leq \operatorname{rk}(u+v)$ ; door $u$ en $v$ te verwisselen krijgt men de absolute waarde.

Oefening 20.12 ★★★

(Ongelijkheid van Frobenius) Zij $u \in \mathcal{L}(E, F)$ , $w \in \mathcal{L}(F, G)$ en $v \in \mathcal{L}(G, H)$ , alle ruimten eindigdimensionaal. Bewijs de exacte formule

\operatorname{rk}(v \circ w) = \operatorname{rk} w - \dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im} w\bigr),

en leid de ongelijkheid van Frobenius af

\operatorname{rk}(v \circ w) + \operatorname{rk}(w \circ u) \;\leq\; \operatorname{rk} w + \operatorname{rk}(v \circ w \circ u) .

Ga na dat het geval $w = \mathrm{id}_F$ de ongelijkheid van Sylvester is, in matrixvorm bewezen in Oefening 21.10.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.12.

Exacte formule. Zij $v'$ de beperking van $v$ tot de deelruimte $\operatorname{im} w$ . Haar beeld is $v(w(F)) = \operatorname{im}(v \circ w)$ , en haar kern is $\ker v \cap \operatorname{im} w$ . Dimensiestelling voor $v'$ op de ruimte $\operatorname{im} w$ :

\operatorname{rk} w = \dim\operatorname{im} w = \operatorname{rk}(v \circ w) + \dim(\ker v \cap \operatorname{im} w) .

Frobenius. Pas de exacte formule tweemaal toe, op $w$ en op $w \circ u$ :

\operatorname{rk} w - \operatorname{rk}(vw) = \dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im} w\bigr), \qquad \operatorname{rk}(wu) - \operatorname{rk}(vwu) = \dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im}(wu)\bigr) .

Aangezien $\operatorname{im}(w \circ u) \subseteq \operatorname{im} w$ , is de tweede doorsnede bevat in de eerste, en is haar dimensie niet groter:

\operatorname{rk}(wu) - \operatorname{rk}(vwu) \;\leq\; \operatorname{rk} w - \operatorname{rk}(vw) ,

wat zich herschikt tot de ongelijkheid van Frobenius. Met $w = \mathrm{id}_F$ (rang $\dim F$ , en $\operatorname{im}\, \mathrm{id}_F = F$ ): $\operatorname{rk} v + \operatorname{rk} u \leq \dim F + \operatorname{rk}(vu)$ , de ongelijkheid van Sylvester — opnieuw bewezen, in matrixvorm, in Oefening 21.10.

20.6 Probleem: projectorrekening en het lemma van Fitting

Probleem 20.1

Projecties zijn de endomorfismen die directe sommen voortbrengen, en omgekeerd: elke identiteit $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ is in het geheim een familie van projectoren die optellen tot de identiteit. Dit probleem ontwikkelt dat woordenboek — de algebra van één projector, van twee, van $k$ — en past vervolgens dezelfde stabilisatie-ideeën toe op een willekeurig endomorfisme en bewijst het lemma van Fitting: elk endomorfisme van een eindigdimensionale ruimte splitst in een nilpotent deel en een inverteerbaar deel. Overal is $E$ een $K$ -vectorruimte van dimensie $n$ , en projector betekent $p \in \mathcal{L}(E)$ met $p^2 = p$ (Stelling 20.15).

Deel I — De algebra rond één projector. Zij $p$ een projector, $p \neq 0$ , $p \neq \mathrm{id}$ .

Toon aan dat $\mathrm{id} - p$ een projector is en identificeer $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p)$ en $\ker(\mathrm{id} - p)$ .
Bereken $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p)^2$ en bepaal alle paren $(\lambda, \mu) \in K^2$ waarvoor $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ een projector is.
Toon aan dat het vlak $\operatorname{Vect}(\mathrm{id}, p)$ van $\mathcal{L}(E)$ stabiel is onder samenstelling, en dat voor elke veelterm $Q \in K[X]$ ,

$Q(p) = Q(0)\,\mathrm{id} + \bigl(Q(1) - Q(0)\bigr)\,p .$
Bepaal voor welke $(\lambda, \mu)$ de afbeelding $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ inverteerbaar is, en geef haar inverse in de vorm $\alpha\,\mathrm{id} + \beta\,p$ . Interpreteer het antwoord via de werking van $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ op $\operatorname{im} p$ en op $\ker p$ .
Zij $p'$ een andere projector met hetzelfde beeld $\operatorname{im} p' = \operatorname{im} p$ . Toon aan dat $p\,p' = p'$ en $p'\,p = p$ . Wat zeggen deze identiteiten over het samenstellen van projecties op dezelfde deelruimte langs verschillende kernen?

Deel II — Twee projectoren. Zij $p, q$ projectoren van $E$ ; neem aan dat de karakteristiek niet $2$ is (waar voor $K = \R, \C$ ).

Veronderstel dat $p + q$ een projector is. Door $(p + q)^2$ te ontwikkelen, toon aan dat $pq + qp = 0$ ; door links met $p$ samen te stellen, en daarna rechts, leid $pq = qp$ af, en besluit $pq = qp = 0$ .
Veronderstel omgekeerd $pq = qp = 0$ . Toon aan dat $p + q$ een projector is, met

$\operatorname{im}(p + q) = \operatorname{im} p \oplus \operatorname{im} q, \qquad \ker(p + q) = \ker p \cap \ker q .$
Toon aan dat $p - q$ een projector is dan en slechts dan als $pq = qp = q$ . (Pas vragen 6–7 toe op $\mathrm{id} - p$ en $q$ .)
Toon de meetkundige betekenis van $pq = qp = q$ : het geldt dan en slechts dan als $\operatorname{im} q \subseteq \operatorname{im} p$ en $\ker p \subseteq \ker q$ . (Men schrijft dan $q \leq p$ : “ $q$ projecteert op minder, langs meer”.)
Zij nu $p, q$ commuterend. Herinner uit Oefening 20.6 dat $pq$ de projector is op $\operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q$ langs $\ker p + \ker q$ . Toon aan dat $r = p + q - pq$ een projector is met

$\operatorname{im} r = \operatorname{im} p + \operatorname{im} q, \qquad \ker r = \ker p \cap \ker q .$

(Beschouw $\mathrm{id} - r = (\mathrm{id} - p)(\mathrm{id} - q)$ .)

Deel III — Ontbindingen van de identiteit.

Zij $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ en, voor $x = x_1 + \dots + x_k$ (unieke ontbinding, $x_i \in F_i$ ), stel $p_i(x) = x_i$ . Toon aan dat elke $p_i$ een projector is, dat $p_i p_j = 0$ voor $i \neq j$ , en dat $p_1 + \dots + p_k = \mathrm{id}$ ; identificeer $\operatorname{im} p_i$ en $\ker p_i$ .
Zij omgekeerd $p_1, \dots, p_k \in \mathcal{L}(E)$ zodanig dat $p_1 + \dots + p_k = \mathrm{id}$ en $p_i p_j = 0$ voor alle $i \neq j$ . Toon aan dat elke $p_i$ een projector is en dat $E = \operatorname{im} p_1 \oplus \dots \oplus \operatorname{im} p_k$ .
Twee projectoren met $p + q = \mathrm{id}$ : toon aan dat $pq = qp = 0$ automatisch geldt.
Drie projectoren met $p + q + r = \mathrm{id}$ : toon aan dat $p + q$ een projector is, en leid uit vraag 6 af dat alle paarsgewijze producten verdwijnen — dus $E = \operatorname{im} p \oplus \operatorname{im} q \oplus \operatorname{im} r$ , zonder enige hypothese op de producten.
Voor $k$ projectoren met $p_1 + \dots + p_k = \mathrm{id}$ : toon eerst dat voor willekeurige deelruimten $\dim (F_1 + \dots + F_k) \leq \dim F_1 + \dots + \dim F_k$ , met gelijkheid dan en slechts dan als de som direct is; toon vervolgens $E = \operatorname{im} p_1 + \dots + \operatorname{im} p_k$ , en bewijs dat als bovendien $\sum_i \operatorname{rk} p_i \leq n$ , de som direct is en $p_i p_j = 0$ voor $i \neq j$ .

Deel IV — Herhaalde kernen: het lemma van Fitting. Zij $u \in \mathcal{L}(E)$ , $\dim E = n$ .

Toon de twee ketens aan, geldig voor elke $k \geq 0$ :

$\ker u^k \subseteq \ker u^{k+1}, \qquad \operatorname{im} u^{k+1} \subseteq \operatorname{im} u^k .$
Toon aan dat als $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ voor een zekere $r$ , dan $\ker u^{k} = \ker u^{r}$ voor alle $k \geq r$ ; formuleer en bewijs de analoge stabilisatie voor beelden.
Leid af dat er een kleinste geheel getal $r$ is met $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ , dat $r \leq n$ , en dat beelden stabiliseren bij dezelfde $r$ .
(Lemma van Fitting) Bewijs dat

$E \;=\; \ker u^{r} \,\oplus\, \operatorname{im} u^{r} .$
Toon aan dat beide deelruimten stabiel zijn onder $u$ , dat de beperking van $u$ tot $\ker u^{r}$ nilpotent is, en dat de beperking van $u$ tot $\operatorname{im} u^{r}$ een isomorfisme van $\operatorname{im} u^{r}$ is: elk endomorfisme is, op een canonieke directe som, “nilpotent plus inverteerbaar”.
Zij $\pi$ de projector op $\ker u^{r}$ langs $\operatorname{im} u^{r}$ . Toon aan dat $\pi \circ u = u \circ \pi$ .

Deel V — Een uitgewerkt geval, en synthese.

Zij $u(x, y, z) = (y, 0, z)$ op $\R^3$ . Bereken $u^2$ en $u^3$ , bepaal de stabilisatie-index $r$ , de deelruimten $\ker u^{r}$ en $\operatorname{im} u^{r}$ , de Fitting-projector $\pi$ , en verifieer op de formules dat $\pi u = u\pi$ en dat $u$ nilpotent is op de ene factor, bijectief op de andere.
Toon de equivalenties: $u$ nilpotent $\iff$ $\ker u^{r} = E$ $\iff$ $\pi = \mathrm{id}$ ; en leid af dat een nilpotent endomorfisme van een $n$ -dimensionale ruimte altijd voldoet aan $u^{n} = 0$ (de nilpotentie-index nooit de dimensie overschrijdt).
(Uniciteit) Veronderstel $E = A \oplus B$ met $A, B$ stabiel onder $u$ , de beperking $u|_A$ nilpotent en $u|_B$ bijectief. Bewijs $A = \ker u^{r}$ en $B = \operatorname{im} u^{r}$ : de Fitting-ontbinding is uniek.
Synthese, in vier zinnen: welk woordenboek Deel III vestigt tussen directe sommen en families van projectoren; waarom vraag 14 geen producthypothesen nodig had terwijl vraag 15 een ranghypothese nodig had (en welk gereedschap van Jaar 2, het spoor, ze verwijdert); in welke zin het lemma van Fitting de gestabiliseerde versie is van Oefening 20.7; en wat de twee factoren van Fitting worden in de eigenwaardetheorie van het volume van Jaar 2. Noem de stelling die in Deel IV bewezen wordt.

Oplossing

Oplossing van Probleem 20.1.

1. $(\mathrm{id} - p)^2 = \mathrm{id} - 2p + p^2 = \mathrm{id} - p$ : een projector. Als $y = x - p(x)$ , dan $p(y) = p(x) - p^2(x) = 0$ , en omgekeerd geeft $x \in \ker p$ $x = (\mathrm{id} - p)(x)$ : $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) = \ker p$ . En $(\mathrm{id} - p)(x) = 0 \iff p(x) = x \iff x \in \operatorname{im} p$ (vaste punten, Stelling 20.15): $\ker(\mathrm{id} - p) = \operatorname{im} p$ .

2. $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)^2 = \lambda^2\,\mathrm{id} + (2\lambda\mu + \mu^2)\,p$ . Het paar $(\mathrm{id}, p)$ is vrij in $\mathcal{L}(E)$ : $p = c\, \mathrm{id}$ zou $c^2 = c$ geven, dus $p = 0$ of $\mathrm{id}$ , uitgesloten. Door coëfficiënten te identificeren is de afbeelding een projector dan en slechts dan als $\lambda^2 = \lambda$ en $2\lambda\mu + \mu^2 = \mu$ . Voor $\lambda = 0$ : $\mu \in \{0, 1\}$ . Voor $\lambda = 1$ : $\mu^2 + \mu = 0$ , $\mu \in \{0, -1\}$ . Precies vier projectoren in het vlak: $0$ , $p$ , $\mathrm{id}$ , $\mathrm{id} - p$ .

3. $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)(\lambda'\,\mathrm{id} + \mu' p) = \lambda\lambda'\,\mathrm{id} + (\lambda\mu' + \mu\lambda' + \mu\mu')\,p$ : het vlak is stabiel onder samenstelling. Aangezien $p^k = p$ voor elke $k \geq 1$ , voor $Q = \sum_k a_k X^k$ :

Q(p) = a_0\,\mathrm{id} + \Bigl(\sum_{k \geq 1} a_k\Bigr) p = Q(0)\,\mathrm{id} + \bigl(Q(1) - Q(0)\bigr)\,p .

4. Op $\operatorname{im} p$ (waar $p$ als de identiteit werkt) vermenigvuldigt $\lambda\,\mathrm{id} + \mu p$ met $\lambda + \mu$ ; op $\ker p$ , met $\lambda$ . Aangezien $E = \operatorname{im} p \oplus \ker p$ , is de afbeelding bijectief dan en slechts dan als $\lambda \neq 0$ en $\lambda + \mu \neq 0$ . Door $\lambda\alpha = 1$ , $\lambda\beta + \mu\alpha + \mu\beta = 0$ op te lossen in de samenstellingsregel van vraag 3:

(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)^{-1} = \frac1\lambda\,\mathrm{id} - \frac{\mu}{\lambda(\lambda + \mu)}\,p ,

waarvan de werking $1/\lambda$ is op $\ker p$ en $1/(\lambda + \mu)$ op $\operatorname{im} p$ , zoals het moet zijn.

5. Schrijf $F = \operatorname{im} p = \operatorname{im} p'$ . Voor elke $x$ , $p'(x) \in F$ en $p$ houdt $F$ puntsgewijs vast: $p(p'(x)) = p'(x)$ , d.w.z. $p\,p' = p'$ ; symmetrisch $p'\,p = p$ . Wanneer twee projecties hun beeld delen, beslist degene die eerst wordt toegepast: haar uitvoer ligt al in $F$ , waar de buitenste projectie als de identiteit werkt en niets verandert.

6. $(p + q)^2 = p^2 + pq + qp + q^2 = (p + q) + pq + qp$ , dus $p + q$ projector dwingt $pq + qp = 0$ af. Stel links samen met $p$ : $pq + pqp = 0$ ; rechts met $p$ : $pqp + qp = 0$ . Door af te trekken, $pq = qp$ ; dan $pq + qp = 2pq = 0$ en de karakteristiek is niet $2$ : $pq = qp = 0$ .

7. Met $pq = qp = 0$ geeft dezelfde ontwikkeling $(p + q)^2 = p + q$ . Beeld: $\operatorname{im}(p + q) \subseteq \operatorname{im} p + \operatorname{im} q$ altijd. Omgekeerd, voor $x \in \operatorname{im} p$ : $q(x) = q(p(x)) = 0$ , dus $(p + q)(x) = p(x) = x$ en $x \in \operatorname{im}(p+q)$ ; evenzo voor $\operatorname{im} q$ . Directheid: $x \in \operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q$ geeft $x = p(x) = p(q(x)) = 0$ . Kern: als $p(x) + q(x) = 0$ , geeft $p$ toepassen $p(x) + p(q(x)) = p(x) = 0$ , en $q$ toepassen geeft $q(x) = 0$ : $\ker(p + q) = \ker p \cap \ker q$ (de omgekeerde inclusie is duidelijk).

8. $p - q$ is een projector dan en slechts dan als $\mathrm{id} - (p - q) = (\mathrm{id} - p) + q$ er een is (vraag 1 tweemaal). Via vragen 6–7 toegepast op de projectoren $\mathrm{id} - p$ en $q$ , geldt dit dan en slechts dan als $(\mathrm{id} - p)q = q(\mathrm{id} - p) = 0$ , d.w.z. dan en slechts dan als $pq = q$ en $qp = q$ .

9. $pq = q$ betekent dat $p$ elke $q(x)$ vasthoudt, d.w.z. $\operatorname{im} q \subseteq \ker(p - \mathrm{id}) = \operatorname{im} p$ . En $qp = q$ betekent dat $q\bigl((\mathrm{id} - p)(x)\bigr) = 0$ voor alle $x$ , d.w.z. $q$ verdwijnt op $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) = \ker p$ : $\ker p \subseteq \ker q$ . Beide stappen zijn equivalenties: de orde $q \leq p$ zegt dat $q$ projecteert op een kleiner beeld, langs een grotere kern.

10. Ontwikkelen, $(\mathrm{id} - p)(\mathrm{id} - q) = \mathrm{id} - p - q + pq = \mathrm{id} - r$ . De projectoren $\mathrm{id} - p$ en $\mathrm{id} - q$ commuteren, dus via Oefening 20.6 is hun product $\mathrm{id} - r$ de projector op $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) \cap \operatorname{im}(\mathrm{id} - q) = \ker p \cap \ker q$ langs $\ker(\mathrm{id} - p) + \ker(\mathrm{id} - q) = \operatorname{im} p + \operatorname{im} q$ . Via vraag 1 is $r = \mathrm{id} - (\mathrm{id} - r)$ dan de projector met $\operatorname{im} r = \operatorname{im} p + \operatorname{im} q$ en $\ker r = \ker p \cap \ker q$ .

11. $p_i$ is welgedefinieerd (uniciteit van de ontbinding) en lineair (de ontbinding van $x + \lambda y$ is de som van de ontbindingen, opnieuw via uniciteit). Voor $x_i \in F_i$ is de ontbinding $x_i$ zelf, dus $p_i(x_i) = x_i$ : $p_i^2 = p_i$ , en $p_j(x_i) = 0$ voor $j \neq i$ : $p_i p_j = 0$ ( $p_j(x) \in F_j$ ). Door de componenten op te tellen, $\sum_i p_i = \mathrm{id}$ . Ten slotte $\operatorname{im} p_i = F_i$ en $\ker p_i = \bigoplus_{j \neq i} F_j$ .

12. $p_i = p_i \circ \mathrm{id} = p_i\sum_j p_j = p_i^2 + \sum_{j \neq i} p_i p_j = p_i^2$ : elke $p_i$ is een projector. Elke $x = \mathrm{id}(x) = \sum_i p_i(x)$ ligt in $\sum_i \operatorname{im} p_i$ : de beelden sommeren tot $E$ . Directheid: veronderstel $y_1 + \dots + y_k = 0$ met $y_i \in \operatorname{im} p_i$ , dus $p_i(y_i) = y_i$ . Pas $p_j$ toe: $p_j (y_i) = p_j p_i (y_i) = 0$ voor $i \neq j$ , dus $0 = p_j\bigl(\sum y_i\bigr) = y_j$ , voor elke $j$ . Bijgevolg $E = \bigoplus_i \operatorname{im} p_i$ .

13. $q = \mathrm{id} - p$ , en vraag 1 geeft $pq = p - p^2 = 0 = qp$ rechtstreeks: voor twee projectoren dwingt optellen tot de identiteit reeds de orthogonaliteit van het paar af.

14. $p + q = \mathrm{id} - r$ met $r$ een projector, en $(\mathrm{id} - r)$ is een projector (vraag 1): dus $p + q$ is een projector, en vraag 6 geeft $pq = qp = 0$ . Via symmetrie ( $q + r = \mathrm{id} - p$ en $p + r = \mathrm{id} - q$ ) verdwijnen alle paarsgewijze producten, en vraag 12 besluit: $E = \operatorname{im} p \oplus \operatorname{im} q \oplus \operatorname{im} r$ , automatisch.

15. Lemma. Via inductie met Grassmann (Stelling 19.18):

\dim(F_1 + \dots + F_k) \leq \dim(F_1 + \dots + F_{k-1}) + \dim F_k \leq \dots \leq \sum_i \dim F_i .

Als het totaal een gelijkheid is, is elke stap dat: $(F_1 + \dots + F_{j-1}) \cap F_j = \{0\}$ voor elke $j$ , en een relatie $y_1 + \dots + y_k = 0$ ( $y_i \in F_i$ ) stort in vanaf rechts: $y_k \in (F_1 + \dots + F_{k-1}) \cap F_k = \{0\}$ , dan $y_{k-1} = 0$ , enz.: de som is direct. Omgekeerd heeft een directe som additieve dimensies (concateneer bases). Toepassing: $x = \sum_i p_i(x)$ toont $E = \sum_i \operatorname{im} p_i$ , dus $n \leq \sum_i \operatorname{rk} p_i$ ; de hypothese geeft gelijkheid, dus directheid. Producten: fixeer $j$ en $y \in \operatorname{im} p_j$ . Dan $y = \sum_i p_i(y)$ met $p_i(y) \in \operatorname{im} p_i$ , terwijl $y = y$ ook een ontbinding is (component $j$ alleen); uniciteit dwingt $p_i(y) = 0$ af voor $i \neq j$ . Toegepast op $y = p_j(x)$ : $p_i p_j = 0$ .

16. Als $u^k(x) = 0$ dan $u^{k+1}(x) = u(0) = 0$ . En $\operatorname{im} u^{k+1} = u^k\bigl(u(E)\bigr) \subseteq u^k(E) = \operatorname{im} u^k$ .

17. Neem aan $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ en zij $x \in \ker u^{r+2}$ : dan $u(x) \in \ker u^{r+1} = \ker u^{r}$ , dus $u^{r+1}(x) = 0$ : $x \in \ker u^{r+1}$ . Met vraag 16, $\ker u^{r+1} = \ker u^{r+2}$ , en via inductie vallen alle latere kernen samen met $\ker u^{r}$ . Voor beelden: de dimensiestelling geeft $\dim\operatorname{im} u^k = n - \dim\ker u^k$ , dus de beelddimensies bevriezen precies wanneer de kerndimensies dat doen, en met de inclusies van vraag 16 betekenen gelijke dimensies gelijke deelruimten (Stelling 19.14).

18. De rij $\bigl(\dim\ker u^k\bigr)_k$ is niet-dalend met waarden in $\intint{0}{n}$ ; ze kan niet strikt $n + 1$ keer stijgen, dus een zekere $\dim\ker u^{r} = \dim\ker u^{r+1}$ met $r \leq n$ , dus $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ (inclusie plus gelijke dimensie). Neem $r$ het kleinst; vraag 17 bevriest alles vanaf $r$ , beelden inbegrepen.

19. Doorsnede: zij $x \in \ker u^{r} \cap \operatorname{im} u^{r}$ , zeg $x = u^{r}(y)$ met $u^{r}(x) = 0$ . Dan $u^{2r}(y) = 0$ , en $\ker u^{2r} = \ker u^{r}$ (vraag 17), dus $x = u^{r}(y) = 0$ . Dimensies: de dimensiestelling voor $u^{r}$ geeft $\dim\ker u^{r} + \dim\operatorname{im} u^{r} = n$ ; met triviale doorsnede maakt Grassmann de som een deelruimte van dimensie $n$ : $E = \ker u^{r} \oplus \operatorname{im} u^{r}$ .

20. Stabiliteit: $u^{r}(u(x)) = u(u^{r}(x)) = 0$ voor $x \in \ker u^{r}$ ; en $u(u^{r}(y)) = u^{r}(u(y)) \in \operatorname{im} u^{r}$ . Op $N = \ker u^{r}$ : $(u|_N)^{r} = 0$ per definitie van $N$ : nilpotent. Op $I = \operatorname{im} u^{r}$ : $\ker(u|_I) = \ker u \cap I \subseteq \ker u^{r} \cap I = \{0\}$ , dus $u|_I$ is een injectief endomorfisme van de eindigdimensionale $I$ , dus bijectief (Gevolg 20.9).

21. Zij $x = a + b$ met $a \in N$ , $b \in I$ . Dan $u(x) = u(a) + u(b)$ met $u(a) \in N$ en $u(b) \in I$ (vraag 20): dit is de ontbinding van $u(x)$ , dus $\pi(u(x)) = u(a) = u(\pi(x))$ : $\pi u = u\pi$ .

22. $u^2(x,y,z) = u(y, 0, z) = (0, 0, z)$ en $u^3(x,y,z) = u(0,0,z) = (0,0,z) = u^2(x,y,z)$ . Kernen: $\ker u = \{y = z = 0\} = \operatorname{Vect}(e_1)$ , $\ker u^2 = \{z = 0\} = \operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ , $\ker u^3 = \ker u^2$ : stabilisatie bij $r = 2$ . Beelden: $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(e_1, e_3)$ , $\operatorname{im} u^2 = \operatorname{Vect}(e_3)$ . Fitting: $\R^3 = \operatorname{Vect}(e_1, e_2) \oplus \operatorname{Vect}(e_3)$ , en $\pi(x, y, z) = (x, y, 0)$ . Controle: $\pi u(x,y,z) = \pi(y, 0, z) = (y, 0, 0)$ en $u\pi(x,y,z) = u(x, y, 0) = (y, 0, 0)$ : gelijk. Op de eerste factor $u(x, y, 0) = (y, 0, 0)$ , waarvan het kwadraat $0$ is: nilpotent; op de tweede $u(0,0,z) = (0,0,z)$ : de identiteit, bijectief.

23. Als $u^m = 0$ dan $\ker u^m = E$ ; aangezien kernen vanaf $r$ bevroren zijn, $\ker u^{r} = \ker u^{\max(m, r)} = E$ . Omgekeerd betekent $\ker u^{r} = E$ dat $u^{r} = 0$ . En $\ker u^{r} = E \iff$ de Fitting-projector is op $E$ langs $\{0\}$ , d.w.z. $\pi = \mathrm{id}$ . Ten slotte geeft $r \leq n$ (vraag 18): elk nilpotent endomorfisme voldoet aan $u^{n} = 0$ — de nilpotentie-index overschrijdt nooit de dimensie.

24. Zij $m$ een nilpotentie-index van $u|_A$ : $A \subseteq \ker u^{m} \subseteq \ker u^{\max(m,r)} = \ker u^{r}$ . Aangezien $u|_B$ bijectief is, $B = u(B) = u^{k}(B) \subseteq \operatorname{im} u^{k}$ voor elke $k$ , in het bijzonder $B \subseteq \operatorname{im} u^{r}$ . Dan

n = \dim A + \dim B \leq \dim\ker u^{r} + \dim\operatorname{im} u^{r} = n :

beide inclusies zijn gelijkheden van dimensies, dus van deelruimten: $A = \ker u^{r}$ , $B = \operatorname{im} u^{r}$ .

25. (i) Deel III is een woordenboek: splitsingen $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ corresponderen precies met families van projectoren met $\sum p_i = \mathrm{id}$ en $p_i p_j = 0$ , waarbij de $F_i$ de beelden zijn. (ii) Voor $k = 3$ zijn de complementen $\mathrm{id} - p_i$ zelf projectoren, wat het argument afsloot met geen extra hypothese; voor algemene $k$ heeft men $\sum_i \operatorname{rk} p_i \leq n$ nodig, een ongelijkheid die het spoor van Jaar 2 gratis geeft ( $\operatorname{tr} p = \operatorname{rk} p$ voor een projector, en sporen sommeren tot $\operatorname{tr} \mathrm{id} = n$ ). (iii) Oefening 20.7 is het lemma van Fitting in het reeds-gestabiliseerde geval $r \leq 1$ ; in het algemeen laat men de kern- en beeldketens bevriezen, wat hoogstens $n$ stappen kost. (iv) In het volume van Jaar 2, toegepast op $u - \lambda\, \mathrm{id}$ , wordt de nilpotente factor de veralgemeende eigenruimte bij $\lambda$ en worden de projectoren van Deel III de spectrale projectoren van de reductietheorie. De stelling van Deel IV is het lemma van Fitting.