Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Bachelor Year 1

20Lineaire afbeeldingen

De afbeeldingen tussen vectorruimten die de moeite van het bestuderen waard zijn, zijn die welke met de structuur verenigbaar zijn: de lineaire afbeeldingen. Hun twee fundamentele deelruimten — kern en beeld — meten de injectiviteit en de surjectiviteit, en in eindige dimensie bindt de dimensiestelling hun omvang tot één behoudswet. Projecties en symmetrieën, en daarna lineaire vormen en hypervlakken, sluiten het hoofdstuk af.

20.1 Definities en eerste eigenschappen

Definitie 20.1

Zij $E, F$ $K$ -vectorruimten. Een afbeelding $u \colon E \to F$ heet lineair wanneer

\forall x, y \in E,\ \forall \lambda \in K, \qquad u(x + \lambda y) = u(x) + \lambda u(y).

Dan is $u(0) = 0$ en $u(\sum \lambda_i x_i) = \sum \lambda_i u(x_i)$ . De verzameling $\mathcal{L}(E, F)$ van de lineaire afbeeldingen is zelf een vectorruimte; de samenstelling van lineaire afbeeldingen is lineair, en bilineair in het paar. Een endomorfisme is een lineaire $E \to E$ ; een isomorfisme is een bijectieve lineaire afbeelding (haar inverse is dan automatisch lineair); de $u^{-1}$ van een isomorfisme en samenstellingen van isomorfismen zijn isomorfismen.

Bewijs dat de inverse lineair is. Zij $u$ lineair en bijectief, $y, y' \in F$ en $\lambda \in K$ . Stel $x = u^{-1}(y)$ en $x' = u^{-1}(y')$ . Dan is

u\bigl(x + \lambda x'\bigr) = u(x) + \lambda u(x') = y + \lambda y' ,

en toepassing van $u^{-1}$ op beide uiteinden geeft $u^{-1}(y + \lambda y') = x + \lambda x' = u^{-1}(y) + \lambda\,u^{-1}(y')$ . Er werd niets over $u^{-1}$ berekend: de lineariteit reist mee langs de definiërende eigenschap van $u$ alleen — een patroon dat het onthouden waard is, want structuur lift vaak gratis mee met bijecties. ∎

Propositie 20.2 (Een lineaire afbeelding is bekend op een basis)

Zij $(e_1, \dots, e_n)$ een basis van $E$ en $(v_1, \dots, v_n)$ willekeurige vectoren van $F$ . Er is precies één lineaire afbeelding $u \colon E \to F$ met $u(e_i) = v_i$ voor alle $i$ . Bovendien:

u \text{ injectief} \iff (v_i) \text{ vrij}; \qquad u \text{ surjectief} \iff (v_i) \text{ brengt } F \text{ voort} .

Bewijs. Bestaan en eenduidigheid: elke $x$ heeft eenduidige coördinaten $x = \sum \lambda_i e_i$ (Propositie 18.15); de lineariteit dwingt $u(x) = \sum \lambda_i v_i$ af, en die formule definieert inderdaad een lineaire afbeelding.

Injectiviteit: volgens Propositie 20.5 hieronder is $u$ injectief dan en slechts dan als haar kern triviaal is. Nu betekent $u\bigl(\sum\lambda_i e_i\bigr) = 0$ precies dat $\sum\lambda_i v_i = 0$ . Is $(v_i)$ vrij, dan dwingt dit elke $\lambda_i = 0$ af, dat wil zeggen dat de kern tot $0$ herleidt: injectief. Is $(v_i)$ afhankelijk, dan levert een niet-triviale betrekking $\sum\lambda_i v_i = 0$ de vector $\sum\lambda_i e_i$ ongelijk aan nul in de kern ( $(e_i)$ is vrij): niet injectief. De twee voorwaarden komen term voor term overeen.

Surjectiviteit: het beeld van $u$ is de verzameling van alle $\sum\lambda_i v_i$ , dat wil zeggen precies $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_n)$ , en dat is gelijk aan $F$ dan en slechts dan als de familie voortbrengt. ∎

Definitie 20.3 (Kern en beeld)

Voor $u \in \mathcal{L}(E, F)$ :

\ker u = \{x \in E : u(x) = 0\} \subseteq E, \qquad \operatorname{im} u = u(E) \subseteq F ,

beide deelruimten (rechtstreekse verificatie met het criterium).

Methode 20.4 (Kern en beeld, in de praktijk)

Kern: schrijf $u(x) = 0$ als een stelsel voor de coördinaten (of coëfficiënten) van $x$ , los het op en parametriseer — de kern komt met een basis eraan vast (Methode 19.10). Beeld: het is het opspansel van de beelden van elke voortbrengende familie van $E$ — gewoonlijk een basis, dus $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}\bigl(u(e_1), \dots, u(e_n)\bigr)$ ; verwijder daarna de overtollige beelden om er een basis uit te halen. Kortere weg: bereken welke van de twee het gemakkelijkst is en krijg de dimensie van de andere gratis via de dimensiestelling (Stelling 20.7); is er een aannemelijke kandidaat-deelruimte voor het beeld bekend, dan tilt het vergelijken van de dimensies de gemakkelijke insluiting op tot een gelijkheid (Stelling 19.14). Beide kortere wegen worden hieronder in Voorbeeld 20.11 gebruikt.

Propositie 20.5

$u$ is injectief $\iff$ $\ker u = \{0\}$ ; $u$ is surjectief $\iff$ $\operatorname{im} u = F$ .

Bewijs. Zoals voor groepen (Propositie 7.11): $u(x) = u(y) \iff u(x - y) = 0 \iff x - y \in \ker u$ . Het tweede punt is de definitie. ∎

20.2 De dimensiestelling

Definitie 20.6

De rang van $u \in \mathcal{L}(E, F)$ (met $E$ eindigdimensionaal) is $\operatorname{rk} u = \dim \operatorname{im} u$ — tevens de rang van de familie $\bigl(u(e_1), \dots, u(e_n)\bigr)$ voor elke basis $(e_i)$ van $E$ .

Stelling 20.7 (Dimensiestelling)

Zij $E$ eindigdimensionaal en $u \in \mathcal{L}(E, F)$ . Dan geldt

\dim E = \dim \ker u + \operatorname{rk} u .

Preciezer: is $S$ een willekeurige complementaire deelruimte van $\ker u$ in $E$ , dan beperkt $u$ zich tot een isomorfisme van $S$ op $\operatorname{im} u$ .

Bewijs. Zij $S$ zo dat $E = \ker u \oplus S$ (Stelling 19.14), en zij $v \colon S \to \operatorname{im} u$ de beperking van $u$ .

$v$ is injectief: $\ker v = S \cap \ker u = \{0\}$ .

$v$ is surjectief: elke $u(x)$ met $x = k + s$ ( $k \in \ker u$ , $s \in S$ ) is gelijk aan $u(s) = v(s)$ .

Dus is $v$ een isomorfisme; een isomorfisme stuurt een basis naar een basis (Propositie 20.2), dus $\dim S = \dim\operatorname{im} u$ , en $\dim E = \dim\ker u + \dim S$ besluit. ∎

Voorbeeld 20.8 (Een afbeelding op bestelling bouwen)

Construeer $u \in \mathcal{L}(\R^3)$ met $\ker u = \operatorname{Vect}(1,1,1)$ en $\operatorname{im} u = \{z = 0\}$ . Eerst een controle: de dimensiestelling eist $1 + 2 = 3$ — consistent, dus er mag een oplossing bestaan. Kies een basis die aan de kern is aangepast, zeg $\bigl((1,1,1),\ e_1,\ e_2\bigr)$ (Voorbeeld 19.7), en schrijf de beelden voor (Propositie 20.2):

u(1,1,1) = 0, \qquad u(e_1) = e_1, \qquad u(e_2) = e_2 .

Dan is $\ker u \supseteq \operatorname{Vect}(1,1,1)$ en $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(e_1, e_2) = \{z = 0\}$ ; de dimensiestelling dwingt $\dim\ker u = 1$ af, dus is de kern precies de voorgeschreven rechte. Expliciet, met de ontbinding $(x, y, z) = z(1,1,1) + (x - z)e_1 + (y - z)e_2$ :

u(x, y, z) = (x - z,\ y - z,\ 0).

Het recept veralgemeent: een lineaire afbeelding met voorgeschreven kern $N$ en beeld $I$ bestaat precies wanneer $\dim N + \dim I = \dim E$ — de noodzaak is de dimensiestelling, de voldoendheid deze constructie.

Gevolg 20.9

Is $\dim E = \dim F$ (eindig), dan geldt voor $u \in \mathcal{L}(E, F)$ :

u \text{ injectief} \iff u \text{ surjectief} \iff u \text{ bijectief}.

In het bijzonder geldt dit voor endomorfismen in eindige dimensie. (In oneindige dimensie faalt het: op $K[X]$ is de afgeleide surjectief maar niet injectief, en is $P \mapsto XP$ injectief maar niet surjectief.)

Bewijs. Injectief $\iff \dim\ker u = 0 \iff \operatorname{rk} u = \dim E = \dim F \iff \operatorname{im} u = F$ (een deelruimte van volle dimensie is alles, Stelling 19.14) $\iff$ surjectief. ∎

Voorbeeld 20.10 (Interpolatie, structureel)

Leg verschillende $x_0, \dots, x_n$ vast en zij $u \colon \R_n[X] \to \R^{n+1}$ , $P \mapsto (P(x_0), \dots, P(x_n))$ : lineair. Haar kern is $\{P : \deg P \leq n,\ n+1 \text{ wortels}\} = \{0\}$ (Gevolg 8.8). Gelijke dimensies $n + 1$ : $u$ is een isomorfisme — het bestaan en de eenduidigheid van de interpolant van Lagrange (Stelling 8.23) in één regel.

Hetzelfde patroon van één regel behandelt gegevens die waarden en afgeleiden mengen: $v \colon \R_3[X] \to \R^4$ , $P \mapsto \bigl(P(0), P'(0), P(1), P'(1)\bigr)$ is lineair, en haar kern bestaat uit veeltermen van graad $\leq 3$ met dubbele wortels in $0$ en $1$ , dus deelbaar door $X^2(X-1)^2$ van graad $4$ : alleen $P = 0$ . Opnieuw gelijke dimensies: elk viertal gegevens $(P(0), P'(0), P(1), P'(1))$ wordt door precies één derdegraads veelterm gerealiseerd — de interpolatie van Hermite, verleend door een kernberekening nog vóór er een formule wordt geschreven (de weekendopgave van Hoofdstuk 22 ontmoet haar determinant).

Voorbeeld 20.11 (De dimensiestelling aan het werk: de differentieoperator)

Zij $\Delta \colon \R_n[X] \to \R_n[X]$ , $P \mapsto P(X+1) - P(X)$ : lineair. Kern: is $\Delta P = 0$ , dan is $P(0) = P(1) = P(2) = \dots$ , dus heeft $P - P(0)$ oneindig veel wortels en is het nul (Gevolg 8.8): $\ker\Delta$ is de rechte van de constanten. Dimensiestelling: $\operatorname{rk}\Delta = (n + 1) - 1 = n$ . Omdat $\deg \Delta P < \deg P$ voor niet-constante $P$ (de koptermen heffen elkaar op), is $\operatorname{im}\Delta \subseteq \R_{n-1}[X]$ , wat precies dimensie $n$ heeft: de insluiting is een gelijkheid. Besluit, zonder enige berekening van origineelverzamelingen: elke veelterm $Q$ van graad $\leq n - 1$ is een verschil $Q = P(X+1) - P(X)$ — de discrete primitieve bestaat. (Vergelijk de weekendopgave van Hoofdstuk 18, waar $\Delta$ expliciet in de binomiale basis werd geïnverteerd.)

Voorbeeld 20.12 (Rangboekhouding langs een samenstelling)

Stel op $\R_2[X]$ de afgeleide $D(P) = P'$ (rang $2$ : beeld $\R_1[X]$ , kern de constanten) met zichzelf samen. Dan beeldt $D \circ D = D^2$ af volgens $P \mapsto P''$ , met beeld $\R_0[X]$ : rang $1$ . Vergelijk met de algemene grenzen: de grove geeft $\operatorname{rk} D^2 \leq \min(2, 2) = 2$ ; de exacte formule van Oefening 20.12 verantwoordt het verlies precies,

\operatorname{rk} D^2 = \operatorname{rk} D - \dim\bigl(\ker D \cap \operatorname{im} D\bigr) = 2 - 1 = 1 ,

omdat de constanten (de kern van de buitenste $D$ ) binnen $\R_1[X]$ liggen (het beeld van de binnenste $D$ ) met dimensie $1$ . Rang gaat precies daar verloren waar de buitenste kern het binnenste beeld in een hinderlaag lokt — de zin om te onthouden wanneer rangen van samenstellingen zich misdragen.

Voorbeeld 20.13 (Kern en beeld van de operator van Euler)

Zij op $\R_n[X]$ $u(P) = X\,P'$ (lineair: afleiden en vermenigvuldigen met $X$ zijn dat). Kern: $XP' = 0$ dwingt $P' = 0$ af (een product van veeltermen wordt alleen nul als een factor dat doet), dus is $\ker u$ de rechte van de constanten. Beeld: op de monomiale basis is

u(X^k) = k\,X^{k} \qquad (k = 0, 1, \dots, n),

dus $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(X, 2X^2, \dots, nX^n) = \operatorname{Vect}(X, X^2, \dots, X^n)$ : de veeltermen met constante term nul. Toets met de dimensiestelling: $\operatorname{rk} u = (n + 1) - 1 = n$ , wat inderdaad de gevonden dimensie is. Twee opmerkingen zijn het bewaren waard. Ten eerste is hier $\operatorname{im} u \oplus \ker u = \R_n[X]$ — maar dat is een gelukkig toeval van deze operator, geen stelling: voor de verschuivingsachtige $v(P) = P'$ op $\R_1[X]$ is $\ker v = \operatorname{im} v = \R_0[X]$ en is de som niet direct. Ten tweede zegt de betrekking $u(X^k) = kX^k$ dat elk monoom door $u$ slechts wordt herschaald — een basis die aan de afbeelding is aangepast, de kiem van het idee van de eigenwaarde dat in het volume van bachelorjaar 2 wordt ontwikkeld.

20.3 Projecties en symmetrieën

Definitie 20.14

Zij $E = F \oplus G$ . De projectie op $F$ langs $G$ beeldt $x = f + g$ (eenduidige ontbinding) af op $p(x) = f$ ; de bijbehorende symmetrie is $s(x) = f - g$ . Beide zijn lineair, en $s = 2p - \mathrm{id}$ .

Stelling 20.15 (Algebraïsche karakterisering)

Een endomorfisme $p$ is een projectie (op zekere $F$ langs zekere $G$ ) dan en slechts dan als $p \circ p = p$ ; dan is $F = \operatorname{im} p = \ker(p - \mathrm{id})$ en $G = \ker p$ .
Een endomorfisme $s$ is een symmetrie dan en slechts dan als $s \circ s = \mathrm{id}$ ; dan is $E = \ker(s - \mathrm{id}) \oplus \ker(s + \mathrm{id})$ .

Bewijs. (1) Een projectie voldoet aan $p(f + g) = f$ en $p(f) = f$ : $p^2 = p$ . Omgekeerd, zij $p^2 = p$ ; stel $F = \operatorname{im} p$ en $G = \ker p$ . Elke $x$ schrijft zich als $x = p(x) + (x - p(x))$ met $p(x) \in F$ en $p\bigl(x - p(x)\bigr) = p(x) - p^2(x) = 0$ : $E = F + G$ . Is $y \in F \cap G$ , dan is $y = p(z)$ en $p(y) = 0$ , dus $y = p(z) = p^2(z) = p(y) = 0$ : een directe som, en $p$ is de projectie op $F$ langs $G$ . Ten slotte op $F$ : uit $y = p(z)$ volgt $p(y) = y$ , dus $F \subseteq \ker(p - \mathrm{id})$ , en omgekeerd plaatst $p(y) = y$ de $y$ in het beeld.

(2) De correspondentie $s = 2p - \mathrm{id}$ , $p = \frac{s + \mathrm{id}}2$ is een bijectie tussen endomorfismen, en daaronder geldt

s^2 = 4p^2 - 4p + \mathrm{id} = \mathrm{id} \iff 4p^2 = 4p \iff p^2 = p :

symmetrieën corresponderen precies met projecties. De vertaling van de deelruimten: $s(x) = x \iff p(x) = x$ , dus $\ker(s - \mathrm{id}) = \operatorname{im} p = F$ ; en $s(x) = -x \iff 2p(x) = 0 \iff x \in \ker p = G$ , dus $\ker(s + \mathrm{id}) = G$ . De directe som $E = F \oplus G$ uit punt (1) wordt de aangekondigde ontbinding in de vaste vectoren en de omgekeerde vectoren van $s$ . ∎

Voorbeeld 20.16 (Een projectie en haar symmetrie, expliciet)

Projecteer in $\R^2$ op $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ langs $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ . Ontbind $(x, y) = a(1,1) + b(0,1)$ : de eerste coördinaat geeft $a = x$ , de tweede $b = y - x$ . Bijgevolg

p(x, y) = (x, x), \qquad s(x, y) = 2p(x,y) - (x,y) = (x,\ 2x - y).

Controleer de algebra: $p(p(x,y)) = p(x,x) = (x,x)$ , en $s(s(x,y)) = s(x, 2x - y) = (x, 2x - (2x - y)) = (x, y)$ . Meetkundig is $s$ de “schuine spiegeling” in de rechte $y = x$ volgens de verticale richting: zij houdt $F$ puntsgewijs vast en keert $G$ om. Hadden we op dezelfde $F$ geprojecteerd maar langs $G' = \operatorname{Vect}(1,-1)$ , dan zou de formule veranderen in $p'(x,y) = \bigl(\frac{x+y}2, \frac{x+y}2\bigr)$ : een projectie wordt bepaald door haar beeld en haar kern, nooit door het beeld alleen.

De projectie op F = Vect(1,1) langs G = Vect(0,1) en haar symmetrie, op het punt M = (2,\ 0.5): verticaal glijdend raakt M de rechte F in p(M) = (2,2) en landt hij in s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5), even ver boven F (gemeten langs G) als M eronder lag. — De projectie op $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ langs $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ en haar symmetrie, op het punt $M = (2,\ 0.5)$ : verticaal glijdend raakt $M$ de rechte $F$ in $p(M) = (2,2)$ en landt hij in $s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5)$ , even ver boven $F$ (gemeten langs $G$ ) als $M$ eronder lag.

20.4 Lineaire vormen en hypervlakken

Definitie 20.17

Een lineaire vorm op $E$ is een lineaire afbeelding $\varphi \colon E \to K$ . Een hypervlak van $E$ ( $\dim E = n$ ) is een deelruimte van dimensie $n - 1$ .

Voorbeeld 20.18 (Een evaluatievorm en haar hypervlak)

Op $\R_2[X]$ is de evaluatie $\varphi(P) = P(2)$ een lineaire vorm, ongelijk aan nul ( $\varphi(1) = 1$ ). Haar kern is het hypervlak van de veeltermen die in $2$ nul worden, dat wil zeggen (factorstelling, Stelling 8.7) de veelvouden van $X - 2$ binnen $\R_2[X]$ :

\ker\varphi = \operatorname{Vect}\bigl(X - 2,\ X(X - 2)\bigr), \qquad \dim = 2 .

In coördinaten op $(1, X, X^2)$ is $\varphi(a + bX + cX^2) = a + 2b + 4c$ : elke lineaire vorm op een eindigdimensionale ruimte is, zodra een basis is vastgelegd, een vaste lineaire uitdrukking in de coördinaten — vormen zijn “rijvectoren”, zoals Hoofdstuk 21 letterlijk zal maken, en de rij coëfficiënten hier, $(1, 2, 4)$ , is een rij van Vandermonde: evaluatievormen zijn de manier waarop de interpolatietheorie van de weekendopgave van Hoofdstuk 22 de lineaire algebra binnenkomt.

Stelling 20.19

De hypervlakken van $E$ zijn precies de kernen van lineaire vormen ongelijk aan nul. Twee zulke vormen hebben dezelfde kern dan en slechts dan als zij evenredig zijn.

Bewijs. Is $\varphi \neq 0$ , dan is $\operatorname{rk}\varphi = 1$ (het beeld is een deelruimte van $K$ ongelijk aan nul), dus $\dim\ker\varphi = n - 1$ : een hypervlak. Omgekeerd, zij $H$ een hypervlak, $(e_1, \dots, e_{n-1})$ een basis van $H$ aangevuld met $e_n$ : de vorm “laatste coördinaat” heeft kern $H$ .

Evenredige vormen delen hun kern. Omgekeerd, stel $\ker\varphi = \ker\psi = H$ en kies $a \notin H$ : elke $x$ schrijft zich als $x = h + \lambda a$ (want $E = H \oplus Ka$ ), en

\varphi(x) = \lambda \varphi(a), \qquad \psi(x) = \lambda\psi(a):

dus $\varphi = \frac{\varphi(a)}{\psi(a)}\,\psi$ . ∎

Voorbeeld 20.20

In $K^n$ is een hypervlak een oplossingsverzameling $\{a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = 0\}$ met niet alle $a_i$ nul — de vertrouwde vergelijking van een vlak door de oorsprong in $\R^3$ . In functieruimten definiëren evaluatievormen $P \mapsto P(1)$ of $f \mapsto \int_0^1 f$ hypervlakken van $\R_n[X]$ en van $C(\intcc{0}{1})$ (vergelijk Oefening 19.6).

Voorbeeld 20.21 (Eén hypervlak, op drie manieren behandeld)

Neem $\varphi(x, y, z) = x - 2y + 3z$ op $\R^3$ en $H = \ker\varphi$ . Basis: los $x = 2y - 3z$ op:

(2y - 3z,\ y,\ z) = y\,(2, 1, 0) + z\,(-3, 0, 1),

twee vrije vectoren: $\dim H = 2$ , een hypervlak, zoals Stelling 20.19 uit $\varphi \neq 0$ voorspelt. Complementaire rechte: elke vector buiten $H$ spant er een op, bijvoorbeeld $a = (1, 0, 0)$ ( $\varphi(a) = 1 \neq 0$ ); de ontbinding van een willekeurige $v$ is expliciet:

v = \underbrace{\bigl(v - \varphi(v)\,a\bigr)}_{\in\,H} + \underbrace{\varphi(v)\,a}_{\in\,\operatorname{Vect}(a)},

want $\varphi\bigl(v - \varphi(v)a\bigr) = \varphi(v) - \varphi(v)\varphi(a) = 0$ . Evenredigheid: is $\psi(x,y,z) = -2x + 4y - 6z$ , dan is $\psi = -2\varphi$ en hebben beide de kern $H$ ; omgekeerd is elke vorm die op $H$ nul wordt een veelvoud van $\varphi$ (Oefening 20.8) — de vergelijking van een hypervlak is op een schaalfactor na eenduidig, een feit dat voor vlakken in de meetkunde voortdurend wordt gebruikt.

Opmerking 20.22 (Veelgemaakte fouten)

Kern en beeld leven in verschillende ruimten: $\ker u \subseteq E$ , $\operatorname{im} u \subseteq F$ ; de som $\ker u + \operatorname{im} u$ heeft alleen zin voor endomorfismen, en zelfs dan hoeft zij niet direct te zijn ( $u(x, y) = (y, 0)$ heeft $\ker u = \operatorname{im} u$ ; Oefening 20.7 karakteriseert wanneer de directheid geldt). $u^2 = 0$ betekent niet $u = 0$ : dezelfde $u(x,y) = (y, 0)$ kwadrateert tot nul zonder zelf nul te zijn — wat $u^2 = 0$ werkelijk zegt, is $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$ (Oefening 20.5). Injectief $\iff$ surjectief vereist gelijke eindige dimensies: op $K[X]$ is de afgeleide surjectief en niet injectief, en is $P \mapsto XP$ injectief en niet surjectief (Gevolg 20.9); en tussen ruimten van verschillende dimensie is één implicatie eenvoudigweg onmogelijk ( $\operatorname{rk} u \leq \min(\dim E, \dim F)$ ). Beelden voorschrijven werkt op een basis, niet op een willekeurige familie: eisen dat $u(1, 0) = a$ , $u(0, 1) = b$ , $u(1, 1) = c$ overbepaalt $u$ tenzij $c = a + b$ ; een lineaire afbeelding is vrij op een basis en overal elders geketend. Rang blijft niet behouden onder samenstelling: zij kan alleen dalen, $\operatorname{rk}(vu) \leq \min(\operatorname{rk} u, \operatorname{rk} v)$ (Oefening 20.4), met het exacte verlies gemeten in Oefening 20.12.

Opmerking 20.23 (Waar deze afbeeldingen heen gaan)

Lineaire afbeeldingen staan op het punt matrices te worden: zodra bases zijn vastgelegd, codeert Hoofdstuk 21 elke $u \in \mathcal{L}(E, F)$ met een rechthoekige tabel, en wordt de samenstelling het matrixproduct — de dimensiestelling drijft dan de theorie van de lineaire stelsels in Hoofdstuk 22 aan. Projecties keren terug in Hoofdstuk 23 in hun nuttigste bijzondere geval, de orthogonale projectie, waar de kern loodrecht op het beeld wordt gekozen. De weekendopgave hieronder drijft de algebra van de projectoren zo ver als het gereedschap van het eerste jaar reikt, tot het lemma van Fitting; het volume van bachelorjaar 2 gaat verder met het spoor en met de theorie van de eigenwaarden, waarvoor projectoren op stabiele deelruimten de basisbouwstenen zijn.

Opmerking 20.24 (Vooruitzichten binnen boek 3: de dimensiestelling nog drie keer)

De behoudswet $\dim E = \dim\ker u + \operatorname{rk} u$ zal vóór het einde van het volume nog drie keer worden herlezen. In Hoofdstuk 22 wordt zij de gedaante van de oplossingsverzamelingen: een verenigbaar stelsel met $p$ onbekenden en rang $r$ heeft een oplossingsverzameling van dimensie $p - r$ — de dimensie van een kern in vermomming. In Hoofdstuk 23 splitst zij orthogonaal, $\dim F + \dim F^\perp = \dim E$ , en drijft zij elke afstandsberekening aan. In de weekendopgave van Hoofdstuk 25 is zij de boekhouder van de kleinste kwadraten: $n$ waarnemingen, $2$ aangepaste parameters, $n - 2$ dimensies rest, en de identiteit van Pythagoras $\norm b^2 = \norm p^2 + \norm{b - p}^2$ is de euclidische schaduw van de dimensiestelling. Eén stelling, vier kostuums.

20.5 Oefeningen

Oefening 20.1 ★

Welke afbeeldingen zijn lineair?

$\R^2 \to \R^2$ , $(x, y) \mapsto (x + y, x - 2y)$ ;
$\R^2 \to \R$ , $(x, y) \mapsto xy$ ;
$\R[X] \to \R[X]$ , $P \mapsto P' + XP$ ;
$\mathcal{F}(\R,\R) \to \R$ , $f \mapsto f(3)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.1.

(1) Lineair: coördinaten zijn lineaire uitdrukkingen. (2) Niet lineair: $u(2(1,1)) = 4 \neq 2 = 2u(1,1)$ . (3) Lineair: afleiden en vermenigvuldigen met $X$ zijn dat, en sommen van lineaire afbeeldingen ook. (4) Lineair: de evaluatie respecteert de puntsgewijze bewerkingen.

Oefening 20.2 ★

Zij $u \colon \R^3 \to \R^3$ , $(x,y,z) \mapsto (x + y - z,\; 2x + y + z,\; 3x + 2y)$ . Bepaal $\ker u$ (basis, dimensie), $\operatorname{rk} u$ , en een basis van $\operatorname{im} u$ . Is $u$ injectief? Surjectief?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.2.

Kern: los $x + y - z = 0$ , $2x + y + z = 0$ , $3x + 2y = 0$ op. Uit de derde volgt $y = -\frac{3x}{2}$ ; de eerste geeft $z = x + y = -\frac x2$ ; controle in de tweede: $2x - \frac{3x}{2} - \frac x2 = 0$ : voldaan. Dus $\ker u = \operatorname{Vect}\bigl((2, -3, -1)\bigr)$ (met $x = 2$ ), van dimensie $1$ .

Dimensiestelling: $\operatorname{rk} u = 3 - 1 = 2$ . Beeld: opgespannen door de beelden van de canonieke basis, $u(e_1) = (1,2,3)$ , $u(e_2) = (1,1,2)$ , $u(e_3) = (-1,1,0)$ ; de eerste twee zijn vrij, en de rang is $2$ : basis $\bigl((1,2,3), (1,1,2)\bigr)$ .

Niet injectief ( $\ker \neq \{0\}$ ), niet surjectief (rang $2 < 3$ ): in overeenstemming met Gevolg 20.9.

Oefening 20.3 ★

Zij $u \colon \R_n[X] \to \R_n[X]$ , $P \mapsto P - P'$ . Bewijs dat $u$ een isomorfisme is: één keer via $\ker u$ , één keer door de inverse te geven (beschouw $P + P' + P'' + \dots$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.3.

Kern: $P = P'$ dwingt $\deg P = \deg P'$ af tenzij $P = 0$ ; maar $\deg P' < \deg P$ voor $P \neq 0$ : dus $\ker u = \{0\}$ , en $u$ , een injectief endomorfisme van het eindigdimensionale $\R_n[X]$ , is een isomorfisme (Gevolg 20.9).

Inverse: zij $v(P) = P + P' + P'' + \dots + P^{(n)}$ (een eindige som op $\R_n[X]$ ). Dan is

v\bigl(u(P)\bigr) = \sum_{k=0}^{n} (P - P')^{(k)} = \sum_{k=0}^{n} P^{(k)} - \sum_{k=0}^{n} P^{(k+1)} = P - P^{(n+1)} = P ,

telescoperend, want $P^{(n+1)} = 0$ . Dus $v = u^{-1}$ .

Oefening 20.4 ★

Zij $u \in \mathcal{L}(E, F)$ en $v \in \mathcal{L}(F, G)$ , met eindigdimensionale ruimten. Bewijs:

\operatorname{rk}(v \circ u) \leq \min\bigl(\operatorname{rk} u,\ \operatorname{rk} v\bigr).

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.4.

$\operatorname{im}(v \circ u) = v(\operatorname{im} u) \subseteq \operatorname{im} v$ : de rang is $\leq \operatorname{rk} v$ . En $v$ beperkt tot $\operatorname{im} u$ heeft als beeld $\operatorname{im}(vu)$ , waarop de dimensiestelling binnen $\operatorname{im} u$ geeft: $\operatorname{rk}(vu) \leq \dim\operatorname{im} u = \operatorname{rk} u$ .

Oefening 20.5 ★★

Zij $u$ een endomorfisme van $E$ (eindigdimensionaal) met $u^2 = 0$ . Bewijs dat $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$ , en dus $\operatorname{rk} u \leq \frac{\dim E}{2}$ . Geef voor $E = \R^2$ een voorbeeld met gelijkheid.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.5.

$u^2 = 0$ betekent $u(u(x)) = 0$ voor alle $x$ : elke $u(x)$ ligt in $\ker u$ , dat wil zeggen $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$ . Dan geeft de dimensiestelling

\dim E = \dim\ker u + \operatorname{rk} u \geq 2\operatorname{rk} u .

Voorbeeld met gelijkheid in $\R^2$ : $u(x, y) = (y, 0)$ : $u^2 = 0$ , $\operatorname{rk} u = 1 = \frac{\dim E}{2}$ .

Oefening 20.6 ★★

Zij $p, q$ projecties van $E$ met $p \circ q = q \circ p$ . Bewijs dat $p \circ q$ een projectie is, met

\operatorname{im}(pq) = \operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q , \qquad \ker (pq) = \ker p + \ker q .

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.6.

$(pq)^2 = pqpq = ppqq = pq$ (commutatie): een projectie (Stelling 20.15).

Beeld: $\operatorname{im}(pq) \subseteq \operatorname{im} p$ , en $= \operatorname{im}(qp) \subseteq \operatorname{im} q$ : bevat in de doorsnede. Omgekeerd, is $x \in \operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q$ , dan is $p(x) = x$ en $q(x) = x$ (de vaste punten karakteriseren het beeld van een projectie), dus $pq(x) = x$ : $x \in \operatorname{im}(pq)$ .

Kern: $\ker p \subseteq \ker(qp) = \ker(pq)$ en evenzo $\ker q \subseteq \ker(pq)$ : de som is erin bevat. Omgekeerd, zij $pq(x) = 0$ , en schrijf

x = \underbrace{q(x)}_{\in\, \ker p} + \underbrace{(x - q(x))}_{\in\, \ker q} :

de eerste term voldoet aan $p(q(x)) = 0$ en ligt dus in $\ker p$ ; de tweede ligt in $\ker q$ omdat $q(x - q(x)) = q(x) - q^2(x) = 0$ . Bijgevolg $x \in \ker p + \ker q$ .

Oefening 20.7 ★★

Zij $u \in \mathcal{L}(E)$ met $E$ eindigdimensionaal. Bewijs de equivalentie van:

$E = \ker u \oplus \operatorname{im} u$ ;
$\ker u = \ker u^2$ ;
$\operatorname{im} u = \operatorname{im} u^2$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.7.

Merk eerst de algemene insluitingen $\ker u \subseteq \ker u^2$ en $\operatorname{im} u^2 \subseteq \operatorname{im} u$ op, en dat volgens de dimensiestelling (2) $\iff$ (3) (gelijke kernen $\iff$ gelijke rangen $\iff$ gelijke beelden, gegeven de insluitingen).

(1 $\Rightarrow$ 2): zij $u^2(x) = 0$ ; dan is $u(x) \in \ker u \cap \operatorname{im} u = \{0\}$ , dus $x \in \ker u$ .

(2 $\Rightarrow$ 1): volgens Grassmann en de dimensiestelling is $\dim(\ker u + \operatorname{im} u) = \dim\ker u + \operatorname{rk} u - \dim(\ker u \cap \operatorname{im} u) = \dim E - \dim(\ker u \cap \operatorname{im} u)$ : de som is $E$ dan en slechts dan als de doorsnede $\{0\}$ is. Zij $y \in \ker u \cap \operatorname{im} u$ : $y = u(x)$ en $u(y) = 0$ , dus $u^2(x) = 0$ , dus (wegens (2)) $u(x) = 0$ : $y = 0$ . Bijgevolg $E = \ker u \oplus \operatorname{im} u$ .

Oefening 20.8 ★★

Zij $\varphi, \psi$ lineaire vormen op $E$ met $\ker\varphi \subseteq \ker\psi$ . Bewijs dat $\psi = \lambda\varphi$ voor een zekere $\lambda \in K$ (met inbegrip van de ontaarde gevallen).

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.8.

Is $\varphi = 0$ , dan dwingt $\ker\varphi = E \subseteq \ker\psi$ af dat $\psi = 0 = 0\cdot\varphi$ . Is $\varphi \neq 0$ , dan is $\ker\varphi$ een hypervlak; kies $a \notin \ker\varphi$ . Stel $\lambda = \frac{\psi(a)}{\varphi(a)}$ . De vorm $\psi - \lambda\varphi$ wordt nul op $\ker\varphi$ (beide worden dat, wegens de insluiting) en in $a$ : zij wordt nul op $\ker\varphi \oplus Ka = E$ . Dus $\psi = \lambda\varphi$ .

Oefening 20.9 ★★★

Zij $u \in \mathcal{L}(E)$ met $\dim E = n$ , en stel $u^n = 0$ maar $u^{n-1} \neq 0$ (een maximaal nilpotent endomorfisme). Kies $x$ met $u^{n-1}(x) \neq 0$ ; bewijs dat $\bigl(x, u(x), \dots, u^{n-1}(x)\bigr)$ een basis van $E$ is. (Pas machten van $u$ toe op een nulcombinatie, te beginnen met $u^{n-1}$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.9.

Stel $\lambda_0 x + \lambda_1 u(x) + \dots + \lambda_{n-1} u^{n-1}(x) = 0$ . Pas $u^{n-1}$ toe: alle termen met een factor $u^{\geq n}$ sterven, zodat $\lambda_0 u^{n-1}(x) = 0$ overblijft, dus $\lambda_0 = 0$ . Pas $u^{n-2}$ toe op de overgebleven betrekking: $\lambda_1 u^{n-1}(x) = 0$ , dus $\lambda_1 = 0$ ; enzovoort. De familie is vrij; met $n = \dim E$ elementen is zij een basis (Propositie 19.8). (In die basis werkt $u$ als een verschuiving — het model van de maximale nilpotentie.)

Oefening 20.10 ★★★

Zij $f \in \mathcal{L}(\R^n)$ met $f \circ f = -\mathrm{id}$ .

Bewijs dat $f$ een isomorfisme is en dat geen enkele $x \neq 0$ voldoet aan $f(x) = \lambda x$ met $\lambda \in \R$ .
Bewijs dat $n$ even is. Aanwijzing: kies $x_1 \neq 0$ ; toon aan dat $\operatorname{Vect}(x_1, f(x_1))$ een vlak is dat onder $f$ stabiel is; kies $x_2$ daarbuiten en herhaal, waarbij je bewijst dat $\bigl(x_1, f(x_1), x_2, f(x_2), \dots\bigr)$ vrij blijft.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.10.

$f \circ f = -\mathrm{id}$ is bijectief, dus $f$ ook (Propositie 1.26, aangepast: $f$ heeft de tweezijdige inverse $-f$ ). Is $f(x) = \lambda x$ met $x \neq 0$ , dan geeft toepassing van $f$ dat $-x = \lambda^2 x$ , dus $\lambda^2 = -1$ : onmogelijk in $\R$ .
Bouw de familie gulzig op. Neem $x_1 \neq 0$ : $(x_1, f(x_1))$ is vrij volgens (1). Is het opspansel van de huidige familie $\bigl(x_1, f(x_1), \dots, x_k, f(x_k)\bigr)$ , noem het $V_k$ — een deelruimte die onder $f$ stabiel is (elke voortbrenger wordt op een andere voortbrenger of diens tegengestelde afgebeeld: $f(f(x_i)) = -x_i$ ) — niet heel $E$ , kies dan $x_{k+1} \notin V_k$ . Bewering: de vergrote familie is vrij. Stel $\alpha x_{k+1} + \beta f(x_{k+1}) + v = 0$ met $v \in V_k$ en $(\alpha, \beta) \neq (0,0)$ . Pas $f$ toe: $\alpha f(x_{k+1}) - \beta x_{k+1} + f(v) = 0$ met $f(v) \in V_k$ . Elimineer $f(x_{k+1})$ tussen beide betrekkingen (vermenigvuldig de eerste met $\alpha$ , de tweede met $-\beta$ , en tel op):

$(\alpha^2 + \beta^2)\, x_{k+1} \in V_k ,$

en $\alpha^2 + \beta^2 \neq 0$ dwingt $x_{k+1} \in V_k$ af: tegenspraak. De constructie gaat dus door en voegt telkens twee vectoren toe, totdat $V_k = E$ : de uiteindelijke familie is een basis van even omvang, en $n$ is even.

Oefening 20.11 ★★

Zij $u, v \in \mathcal{L}(E, F)$ , met eindigdimensionale ruimten. Bewijs de tweezijdige grens

\abs{\operatorname{rk} u - \operatorname{rk} v} \;\leq\; \operatorname{rk}(u + v) \;\leq\; \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v .

(Vergelijk voor de bovengrens $\operatorname{im}(u+v)$ met $\operatorname{im} u + \operatorname{im} v$ ; pas voor de ondergrens de bovengrens listig toe.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.11.

Bovengrens: voor elke $x$ is $(u + v)(x) = u(x) + v(x) \in \operatorname{im} u + \operatorname{im} v$ , dus

\operatorname{rk}(u + v) \leq \dim(\operatorname{im} u + \operatorname{im} v) \leq \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v

(Grassmann, Stelling 19.18). Ondergrens: pas de bovengrens toe op het paar $(u + v, -v)$ , waarvan de som $u$ is:

\operatorname{rk} u \leq \operatorname{rk}(u + v) + \operatorname{rk}(-v) = \operatorname{rk}(u + v) + \operatorname{rk} v,

dus $\operatorname{rk} u - \operatorname{rk} v \leq \operatorname{rk}(u+v)$ ; verwisseling van $u$ en $v$ geeft de absolute waarde.

Oefening 20.12 ★★★

(Ongelijkheid van Frobenius) Zij $u \in \mathcal{L}(E, F)$ , $w \in \mathcal{L}(F, G)$ en $v \in \mathcal{L}(G, H)$ , met alle ruimten eindigdimensionaal. Bewijs de exacte formule

\operatorname{rk}(v \circ w) = \operatorname{rk} w - \dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im} w\bigr),

en leid de ongelijkheid van Frobenius af:

\operatorname{rk}(v \circ w) + \operatorname{rk}(w \circ u) \;\leq\; \operatorname{rk} w + \operatorname{rk}(v \circ w \circ u) .

Ga na dat het geval $w = \mathrm{id}_F$ de ongelijkheid van Sylvester is, die in matrixvorm wordt bewezen in Oefening 21.10.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.12.

Exacte formule. Zij $v'$ de beperking van $v$ tot de deelruimte $\operatorname{im} w$ . Haar beeld is $v(w(F)) = \operatorname{im}(v \circ w)$ , en haar kern is $\ker v \cap \operatorname{im} w$ . De dimensiestelling voor $v'$ op de ruimte $\operatorname{im} w$ geeft

\operatorname{rk} w = \dim\operatorname{im} w = \operatorname{rk}(v \circ w) + \dim(\ker v \cap \operatorname{im} w) .

Frobenius. Pas de exacte formule twee keer toe, op $w$ en op $w \circ u$ :

\operatorname{rk} w - \operatorname{rk}(vw) = \dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im} w\bigr), \qquad \operatorname{rk}(wu) - \operatorname{rk}(vwu) = \dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im}(wu)\bigr) .

Omdat $\operatorname{im}(w \circ u) \subseteq \operatorname{im} w$ , is de tweede doorsnede in de eerste bevat en is haar dimensie niet groter:

\operatorname{rk}(wu) - \operatorname{rk}(vwu) \;\leq\; \operatorname{rk} w - \operatorname{rk}(vw) ,

wat zich herschikt tot de ongelijkheid van Frobenius. Met $w = \mathrm{id}_F$ (rang $\dim F$ , en $\operatorname{im}\, \mathrm{id}_F = F$ ): $\operatorname{rk} v + \operatorname{rk} u \leq \dim F + \operatorname{rk}(vu)$ , de ongelijkheid van Sylvester — opnieuw bewezen, in matrixvorm, in Oefening 21.10.

20.6 Opgave: rekenen met projectoren en het lemma van Fitting

Probleem 20.1

Projecties zijn de endomorfismen die directe sommen voortbrengen, en omgekeerd: elke identiteit $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ is heimelijk een familie projectoren die tot de identiteit sommeert. Deze opgave ontwikkelt dat woordenboek — de algebra van één projector, van twee, van $k$ — en past daarna dezelfde ideeën over stabilisatie toe op een willekeurig endomorfisme, met als resultaat het lemma van Fitting: elk endomorfisme van een eindigdimensionale ruimte splitst in een nilpotent deel en een inverteerbaar deel. Overal is $E$ een $K$ -vectorruimte van dimensie $n$ , en betekent projector een $p \in \mathcal{L}(E)$ met $p^2 = p$ (Stelling 20.15).

Deel I — De algebra rond één projector. Zij $p$ een projector met $p \neq 0$ en $p \neq \mathrm{id}$ .

Toon aan dat $\mathrm{id} - p$ een projector is en identificeer $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p)$ en $\ker(\mathrm{id} - p)$ .
Bereken $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p)^2$ en bepaal alle paren $(\lambda, \mu) \in K^2$ waarvoor $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ een projector is.
Toon aan dat het vlak $\operatorname{Vect}(\mathrm{id}, p)$ van $\mathcal{L}(E)$ stabiel is onder samenstelling, en dat voor elke veelterm $Q \in K[X]$

$Q(p) = Q(0)\,\mathrm{id} + \bigl(Q(1) - Q(0)\bigr)\,p .$
Bepaal voor welke $(\lambda, \mu)$ de afbeelding $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ inverteerbaar is, en geef haar inverse in de vorm $\alpha\,\mathrm{id} + \beta\,p$ . Interpreteer het antwoord via de werking van $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ op $\operatorname{im} p$ en op $\ker p$ .
Zij $p'$ een andere projector met hetzelfde beeld $\operatorname{im} p' = \operatorname{im} p$ . Toon aan dat $p\,p' = p'$ en $p'\,p = p$ . Wat zeggen deze identiteiten over het samenstellen van projecties op dezelfde deelruimte langs verschillende kernen?

Deel II — Twee projectoren. Zij $p, q$ projectoren van $E$ ; neem aan dat de karakteristiek niet $2$ is (waar voor $K = \R, \C$ ).

Stel dat $p + q$ een projector is. Toon door $(p + q)^2$ uit te werken aan dat $pq + qp = 0$ ; leid, door links en daarna rechts met $p$ samen te stellen, af dat $pq = qp$ , en besluit dat $pq = qp = 0$ .
Stel omgekeerd dat $pq = qp = 0$ . Toon aan dat $p + q$ een projector is, met

$\operatorname{im}(p + q) = \operatorname{im} p \oplus \operatorname{im} q, \qquad \ker(p + q) = \ker p \cap \ker q .$
Toon aan dat $p - q$ een projector is dan en slechts dan als $pq = qp = q$ . (Pas de vragen 6–7 toe op $\mathrm{id} - p$ en $q$ .)
Toon de meetkundige betekenis van $pq = qp = q$ : die geldt dan en slechts dan als $\operatorname{im} q \subseteq \operatorname{im} p$ en $\ker p \subseteq \ker q$ . (Men schrijft dan $q \leq p$ : “ $q$ projecteert op minder, langs meer”.)
Zij nu $p, q$ commuterend. Herinner uit Oefening 20.6 dat $pq$ de projector is op $\operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q$ langs $\ker p + \ker q$ . Toon aan dat $r = p + q - pq$ een projector is met

$\operatorname{im} r = \operatorname{im} p + \operatorname{im} q, \qquad \ker r = \ker p \cap \ker q .$

(Beschouw $\mathrm{id} - r = (\mathrm{id} - p)(\mathrm{id} - q)$ .)

Deel III — Ontbindingen van de identiteit.

Zij $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ en stel, voor $x = x_1 + \dots + x_k$ (eenduidige ontbinding, $x_i \in F_i$ ), $p_i(x) = x_i$ . Toon aan dat elke $p_i$ een projector is, dat $p_i p_j = 0$ voor $i \neq j$ , en dat $p_1 + \dots + p_k = \mathrm{id}$ ; identificeer $\operatorname{im} p_i$ en $\ker p_i$ .
Zij omgekeerd $p_1, \dots, p_k \in \mathcal{L}(E)$ met $p_1 + \dots + p_k = \mathrm{id}$ en $p_i p_j = 0$ voor alle $i \neq j$ . Toon aan dat elke $p_i$ een projector is en dat $E = \operatorname{im} p_1 \oplus \dots \oplus \operatorname{im} p_k$ .
Twee projectoren met $p + q = \mathrm{id}$ : toon aan dat $pq = qp = 0$ automatisch geldt.
Drie projectoren met $p + q + r = \mathrm{id}$ : toon aan dat $p + q$ een projector is, en leid met vraag 6 af dat alle paarsgewijze producten nul zijn — en dus $E = \operatorname{im} p \oplus \operatorname{im} q \oplus \operatorname{im} r$ , zonder enige hypothese over de producten.
Voor $k$ projectoren met $p_1 + \dots + p_k = \mathrm{id}$ : toon eerst aan dat voor willekeurige deelruimten $\dim (F_1 + \dots + F_k) \leq \dim F_1 + \dots + \dim F_k$ , met gelijkheid dan en slechts dan als de som direct is; toon daarna aan dat $E = \operatorname{im} p_1 + \dots + \operatorname{im} p_k$ , en bewijs dat als bovendien $\sum_i \operatorname{rk} p_i \leq n$ , de som direct is en $p_i p_j = 0$ voor $i \neq j$ .

Deel IV — Herhaalde kernen: het lemma van Fitting. Zij $u \in \mathcal{L}(E)$ , $\dim E = n$ .

Toon de twee ketens aan, geldig voor elke $k \geq 0$ :

$\ker u^k \subseteq \ker u^{k+1}, \qquad \operatorname{im} u^{k+1} \subseteq \operatorname{im} u^k .$
Toon aan dat als $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ voor zekere $r$ , dan $\ker u^{k} = \ker u^{r}$ voor alle $k \geq r$ ; formuleer en bewijs de overeenkomstige stabilisatie voor de beelden.
Leid af dat er een kleinste geheel getal $r$ is met $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ , dat $r \leq n$ , en dat de beelden bij dezelfde $r$ stabiliseren.
(Lemma van Fitting) Bewijs dat

$E \;=\; \ker u^{r} \,\oplus\, \operatorname{im} u^{r} .$
Toon aan dat beide deelruimten stabiel zijn onder $u$ , dat de beperking van $u$ tot $\ker u^{r}$ nilpotent is, en dat de beperking van $u$ tot $\operatorname{im} u^{r}$ een isomorfisme van $\operatorname{im} u^{r}$ is: elk endomorfisme is, op een canonieke directe som, “nilpotent plus inverteerbaar”.
Zij $\pi$ de projector op $\ker u^{r}$ langs $\operatorname{im} u^{r}$ . Toon aan dat $\pi \circ u = u \circ \pi$ .

Deel V — Een uitgewerkt geval, en synthese.

Zij $u(x, y, z) = (y, 0, z)$ op $\R^3$ . Bereken $u^2$ en $u^3$ , bepaal de stabilisatie-index $r$ , de deelruimten $\ker u^{r}$ en $\operatorname{im} u^{r}$ , de Fitting-projector $\pi$ , en ga aan de formules na dat $\pi u = u\pi$ en dat $u$ nilpotent is op de ene factor en bijectief op de andere.
Toon de equivalenties aan: $u$ nilpotent $\iff$ $\ker u^{r} = E$ $\iff$ $\pi = \mathrm{id}$ ; en leid af dat een nilpotent endomorfisme van een $n$ -dimensionale ruimte altijd voldoet aan $u^{n} = 0$ (de nilpotentie-index overtreft de dimensie nooit).
(Eenduidigheid) Stel $E = A \oplus B$ met $A, B$ stabiel onder $u$ , met $u|_A$ nilpotent en $u|_B$ bijectief. Bewijs dat $A = \ker u^{r}$ en $B = \operatorname{im} u^{r}$ : de ontbinding van Fitting is eenduidig.
Synthese, in vier zinnen: welk woordenboek deel III legt tussen directe sommen en families projectoren; waarom vraag 14 geen hypothesen over producten nodig had terwijl vraag 15 een hypothese over de rang nodig had (en welk gereedschap van bachelorjaar 2, het spoor, die verwijdert); in welke zin het lemma van Fitting de gestabiliseerde versie van Oefening 20.7 is; en wat de twee factoren van Fitting worden in de theorie van de eigenwaarden van het volume van bachelorjaar 2. Benoem de stelling die in deel IV is bewezen.

Oplossing

Oplossing van Probleem 20.1.

1. $(\mathrm{id} - p)^2 = \mathrm{id} - 2p + p^2 = \mathrm{id} - p$ : een projector. Is $y = x - p(x)$ , dan is $p(y) = p(x) - p^2(x) = 0$ , en omgekeerd geeft $x \in \ker p$ dat $x = (\mathrm{id} - p)(x)$ : $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) = \ker p$ . En $(\mathrm{id} - p)(x) = 0 \iff p(x) = x \iff x \in \operatorname{im} p$ (vaste punten, Stelling 20.15): $\ker(\mathrm{id} - p) = \operatorname{im} p$ .

2. $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)^2 = \lambda^2\,\mathrm{id} + (2\lambda\mu + \mu^2)\,p$ . Het paar $(\mathrm{id}, p)$ is vrij in $\mathcal{L}(E)$ : uit $p = c\, \mathrm{id}$ zou $c^2 = c$ volgen, dus $p = 0$ of $\mathrm{id}$ , wat is uitgesloten. Door de coëfficiënten te identificeren is de afbeelding een projector dan en slechts dan als $\lambda^2 = \lambda$ en $2\lambda\mu + \mu^2 = \mu$ . Voor $\lambda = 0$ : $\mu \in \{0, 1\}$ . Voor $\lambda = 1$ : $\mu^2 + \mu = 0$ , dus $\mu \in \{0, -1\}$ . Precies vier projectoren in het vlak: $0$ , $p$ , $\mathrm{id}$ , $\mathrm{id} - p$ .

3. $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)(\lambda'\,\mathrm{id} + \mu' p) = \lambda\lambda'\,\mathrm{id} + (\lambda\mu' + \mu\lambda' + \mu\mu')\,p$ : het vlak is stabiel onder samenstelling. Omdat $p^k = p$ voor elke $k \geq 1$ , is voor $Q = \sum_k a_k X^k$

Q(p) = a_0\,\mathrm{id} + \Bigl(\sum_{k \geq 1} a_k\Bigr) p = Q(0)\,\mathrm{id} + \bigl(Q(1) - Q(0)\bigr)\,p .

4. Op $\operatorname{im} p$ (waar $p$ als de identiteit werkt) vermenigvuldigt $\lambda\,\mathrm{id} + \mu p$ met $\lambda + \mu$ ; op $\ker p$ met $\lambda$ . Omdat $E = \operatorname{im} p \oplus \ker p$ , is de afbeelding bijectief dan en slechts dan als $\lambda \neq 0$ en $\lambda + \mu \neq 0$ . Oplossen van $\lambda\alpha = 1$ en $\lambda\beta + \mu\alpha + \mu\beta = 0$ in de samenstellingsregel van vraag 3 geeft

(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)^{-1} = \frac1\lambda\,\mathrm{id} - \frac{\mu}{\lambda(\lambda + \mu)}\,p ,

waarvan de werking $1/\lambda$ is op $\ker p$ en $1/(\lambda + \mu)$ op $\operatorname{im} p$ , zoals het moet.

5. Schrijf $F = \operatorname{im} p = \operatorname{im} p'$ . Voor elke $x$ is $p'(x) \in F$ en houdt $p$ de ruimte $F$ puntsgewijs vast: $p(p'(x)) = p'(x)$ , dus $p\,p' = p'$ ; symmetrisch $p'\,p = p$ . Delen twee projecties hun beeld, dan beslist degene die eerst wordt toegepast: haar uitvoer ligt al in $F$ , waar de buitenste projectie als de identiteit werkt en niets verandert.

6. $(p + q)^2 = p^2 + pq + qp + q^2 = (p + q) + pq + qp$ , dus dwingt “ $p + q$ is een projector” af dat $pq + qp = 0$ . Stel links met $p$ samen: $pq + pqp = 0$ ; rechts met $p$ : $pqp + qp = 0$ . Aftrekken geeft $pq = qp$ ; dan is $pq + qp = 2pq = 0$ en is de karakteristiek niet $2$ : $pq = qp = 0$ .

7. Met $pq = qp = 0$ geeft dezelfde uitwerking $(p + q)^2 = p + q$ . Beeld: $\operatorname{im}(p + q) \subseteq \operatorname{im} p + \operatorname{im} q$ geldt altijd. Omgekeerd is voor $x \in \operatorname{im} p$ : $q(x) = q(p(x)) = 0$ , dus $(p + q)(x) = p(x) = x$ en $x \in \operatorname{im}(p+q)$ ; net zo voor $\operatorname{im} q$ . Directheid: $x \in \operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q$ geeft $x = p(x) = p(q(x)) = 0$ . Kern: is $p(x) + q(x) = 0$ , dan geeft toepassing van $p$ dat $p(x) + p(q(x)) = p(x) = 0$ , en toepassing van $q$ dat $q(x) = 0$ : $\ker(p + q) = \ker p \cap \ker q$ (de omgekeerde insluiting is duidelijk).

8. $p - q$ is een projector dan en slechts dan als $\mathrm{id} - (p - q) = (\mathrm{id} - p) + q$ er een is (twee keer vraag 1). Volgens de vragen 6–7, toegepast op de projectoren $\mathrm{id} - p$ en $q$ , geldt dit dan en slechts dan als $(\mathrm{id} - p)q = q(\mathrm{id} - p) = 0$ , dat wil zeggen dan en slechts dan als $pq = q$ en $qp = q$ .

9. $pq = q$ betekent dat $p$ elke $q(x)$ vasthoudt, dat wil zeggen $\operatorname{im} q \subseteq \ker(p - \mathrm{id}) = \operatorname{im} p$ . En $qp = q$ betekent dat $q\bigl((\mathrm{id} - p)(x)\bigr) = 0$ voor alle $x$ , dat wil zeggen dat $q$ nul wordt op $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) = \ker p$ : $\ker p \subseteq \ker q$ . Beide stappen zijn equivalenties: de ordening $q \leq p$ zegt dat $q$ op een kleiner beeld projecteert, langs een grotere kern.

10. Uitwerken geeft $(\mathrm{id} - p)(\mathrm{id} - q) = \mathrm{id} - p - q + pq = \mathrm{id} - r$ . De projectoren $\mathrm{id} - p$ en $\mathrm{id} - q$ commuteren, dus is hun product $\mathrm{id} - r$ volgens Oefening 20.6 de projector op $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) \cap \operatorname{im}(\mathrm{id} - q) = \ker p \cap \ker q$ langs $\ker(\mathrm{id} - p) + \ker(\mathrm{id} - q) = \operatorname{im} p + \operatorname{im} q$ . Volgens vraag 1 is $r = \mathrm{id} - (\mathrm{id} - r)$ dan de projector met $\operatorname{im} r = \operatorname{im} p + \operatorname{im} q$ en $\ker r = \ker p \cap \ker q$ .

11. $p_i$ is welgedefinieerd (eenduidigheid van de ontbinding) en lineair (de ontbinding van $x + \lambda y$ is de som van de ontbindingen, opnieuw wegens de eenduidigheid). Voor $x_i \in F_i$ is de ontbinding $x_i$ zelf, dus $p_i(x_i) = x_i$ : $p_i^2 = p_i$ , en $p_j(x_i) = 0$ voor $j \neq i$ : $p_i p_j = 0$ (want $p_j(x) \in F_j$ ). Optelling van de componenten geeft $\sum_i p_i = \mathrm{id}$ . Ten slotte is $\operatorname{im} p_i = F_i$ en $\ker p_i = \bigoplus_{j \neq i} F_j$ .

12. $p_i = p_i \circ \mathrm{id} = p_i\sum_j p_j = p_i^2 + \sum_{j \neq i} p_i p_j = p_i^2$ : elke $p_i$ is een projector. Elke $x = \mathrm{id}(x) = \sum_i p_i(x)$ ligt in $\sum_i \operatorname{im} p_i$ : de beelden sommeren tot $E$ . Directheid: stel $y_1 + \dots + y_k = 0$ met $y_i \in \operatorname{im} p_i$ , zodat $p_i(y_i) = y_i$ . Pas $p_j$ toe: $p_j(y_i) = p_j p_i (y_i) = 0$ voor $i \neq j$ , dus $0 = p_j\bigl(\sum y_i\bigr) = y_j$ , voor elke $j$ . Bijgevolg $E = \bigoplus_i \operatorname{im} p_i$ .

13. $q = \mathrm{id} - p$ , en vraag 1 geeft rechtstreeks $pq = p - p^2 = 0 = qp$ : voor twee projectoren dwingt het sommeren tot de identiteit de orthogonaliteit van het paar al af.

14. $p + q = \mathrm{id} - r$ met $r$ een projector, en $(\mathrm{id} - r)$ is een projector (vraag 1): dus is $p + q$ een projector, en geeft vraag 6 dat $pq = qp = 0$ . Uit symmetrie ( $q + r = \mathrm{id} - p$ en $p + r = \mathrm{id} - q$ ) worden alle paarsgewijze producten nul, en besluit vraag 12: $E = \operatorname{im} p \oplus \operatorname{im} q \oplus \operatorname{im} r$ , automatisch.

15. Lemma. Met inductie en Grassmann (Stelling 19.18):

\dim(F_1 + \dots + F_k) \leq \dim(F_1 + \dots + F_{k-1}) + \dim F_k \leq \dots \leq \sum_i \dim F_i .

Is het totaal een gelijkheid, dan is elke stap dat: $(F_1 + \dots + F_{j-1}) \cap F_j = \{0\}$ voor elke $j$ , en een betrekking $y_1 + \dots + y_k = 0$ ( $y_i \in F_i$ ) stort van rechts in: $y_k \in (F_1 + \dots + F_{k-1}) \cap F_k = \{0\}$ , dan $y_{k-1} = 0$ , enzovoort: de som is direct. Omgekeerd heeft een directe som optelbare dimensies (schakel de bases aaneen). Toepassing: $x = \sum_i p_i(x)$ toont $E = \sum_i \operatorname{im} p_i$ , dus $n \leq \sum_i \operatorname{rk} p_i$ ; de hypothese geeft gelijkheid, en dus directheid. Producten: leg $j$ vast en zij $y \in \operatorname{im} p_j$ . Dan is $y = \sum_i p_i(y)$ met $p_i(y) \in \operatorname{im} p_i$ , terwijl $y = y$ ook een ontbinding is (component $j$ alleen); de eenduidigheid dwingt $p_i(y) = 0$ af voor $i \neq j$ . Toegepast op $y = p_j(x)$ : $p_i p_j = 0$ .

16. Is $u^k(x) = 0$ , dan is $u^{k+1}(x) = u(0) = 0$ . En $\operatorname{im} u^{k+1} = u^k\bigl(u(E)\bigr) \subseteq u^k(E) = \operatorname{im} u^k$ .

17. Neem aan dat $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ en zij $x \in \ker u^{r+2}$ : dan is $u(x) \in \ker u^{r+1} = \ker u^{r}$ , dus $u^{r+1}(x) = 0$ : $x \in \ker u^{r+1}$ . Met vraag 16 volgt $\ker u^{r+1} = \ker u^{r+2}$ , en met inductie vallen alle latere kernen samen met $\ker u^{r}$ . Voor de beelden: de dimensiestelling geeft $\dim\operatorname{im} u^k = n - \dim\ker u^k$ , dus bevriezen de dimensies van de beelden precies wanneer die van de kernen dat doen, en met de insluitingen van vraag 16 betekenen gelijke dimensies gelijke deelruimten (Stelling 19.14).

18. De rij $\bigl(\dim\ker u^k\bigr)_k$ is stijgend met waarden in $\intint{0}{n}$ ; zij kan niet $n + 1$ keer strikt stijgen, dus is voor zekere $r \leq n$ $\dim\ker u^{r} = \dim\ker u^{r+1}$ , en dus $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ (insluiting plus gelijke dimensie). Neem $r$ minimaal; vraag 17 bevriest alles vanaf $r$ , de beelden inbegrepen.

19. Doorsnede: zij $x \in \ker u^{r} \cap \operatorname{im} u^{r}$ , zeg $x = u^{r}(y)$ met $u^{r}(x) = 0$ . Dan is $u^{2r}(y) = 0$ , en $\ker u^{2r} = \ker u^{r}$ (vraag 17), dus $x = u^{r}(y) = 0$ . Dimensies: de dimensiestelling voor $u^{r}$ geeft $\dim\ker u^{r} + \dim\operatorname{im} u^{r} = n$ ; met de triviale doorsnede maakt Grassmann de som tot een deelruimte van dimensie $n$ : $E = \ker u^{r} \oplus \operatorname{im} u^{r}$ .

20. Stabiliteit: $u^{r}(u(x)) = u(u^{r}(x)) = 0$ voor $x \in \ker u^{r}$ ; en $u(u^{r}(y)) = u^{r}(u(y)) \in \operatorname{im} u^{r}$ . Op $N = \ker u^{r}$ is $(u|_N)^{r} = 0$ per definitie van $N$ : nilpotent. Op $I = \operatorname{im} u^{r}$ is $\ker(u|_I) = \ker u \cap I \subseteq \ker u^{r} \cap I = \{0\}$ , dus is $u|_I$ een injectief endomorfisme van het eindigdimensionale $I$ , en bijgevolg bijectief (Gevolg 20.9).

21. Zij $x = a + b$ met $a \in N$ en $b \in I$ . Dan is $u(x) = u(a) + u(b)$ met $u(a) \in N$ en $u(b) \in I$ (vraag 20): dat is de ontbinding van $u(x)$ , dus $\pi(u(x)) = u(a) = u(\pi(x))$ : $\pi u = u\pi$ .

22. $u^2(x,y,z) = u(y, 0, z) = (0, 0, z)$ en $u^3(x,y,z) = u(0,0,z) = (0,0,z) = u^2(x,y,z)$ . Kernen: $\ker u = \{y = z = 0\} = \operatorname{Vect}(e_1)$ , $\ker u^2 = \{z = 0\} = \operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ , $\ker u^3 = \ker u^2$ : stabilisatie bij $r = 2$ . Beelden: $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(e_1, e_3)$ , $\operatorname{im} u^2 = \operatorname{Vect}(e_3)$ . Fitting: $\R^3 = \operatorname{Vect}(e_1, e_2) \oplus \operatorname{Vect}(e_3)$ , en $\pi(x, y, z) = (x, y, 0)$ . Controle: $\pi u(x,y,z) = \pi(y, 0, z) = (y, 0, 0)$ en $u\pi(x,y,z) = u(x, y, 0) = (y, 0, 0)$ : gelijk. Op de eerste factor is $u(x, y, 0) = (y, 0, 0)$ , waarvan het kwadraat $0$ is: nilpotent; op de tweede is $u(0,0,z) = (0,0,z)$ : de identiteit, bijectief.

23. Is $u^m = 0$ , dan is $\ker u^m = E$ ; omdat de kernen vanaf $r$ bevroren zijn, is $\ker u^{r} = \ker u^{\max(m, r)} = E$ . Omgekeerd betekent $\ker u^{r} = E$ dat $u^{r} = 0$ . En $\ker u^{r} = E \iff$ de Fitting-projector projecteert op $E$ langs $\{0\}$ , dat wil zeggen $\pi = \mathrm{id}$ . Ten slotte geeft $r \leq n$ (vraag 18): elk nilpotent endomorfisme voldoet aan $u^{n} = 0$ — de nilpotentie-index overtreft de dimensie nooit.

24. Zij $m$ een nilpotentie-index van $u|_A$ : $A \subseteq \ker u^{m} \subseteq \ker u^{\max(m,r)} = \ker u^{r}$ . Omdat $u|_B$ bijectief is, is $B = u(B) = u^{k}(B) \subseteq \operatorname{im} u^{k}$ voor elke $k$ , in het bijzonder $B \subseteq \operatorname{im} u^{r}$ . Dan is

n = \dim A + \dim B \leq \dim\ker u^{r} + \dim\operatorname{im} u^{r} = n :

beide insluitingen zijn gelijkheden van dimensies, en dus van deelruimten: $A = \ker u^{r}$ en $B = \operatorname{im} u^{r}$ .

25. (i) Deel III is een woordenboek: splitsingen $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ corresponderen precies met families projectoren met $\sum p_i = \mathrm{id}$ en $p_i p_j = 0$ , waarbij de $F_i$ de beelden zijn. (ii) Voor $k = 3$ zijn de complementen $\mathrm{id} - p_i$ zelf projectoren, wat het argument zonder extra hypothese sloot; voor algemene $k$ heeft men $\sum_i \operatorname{rk} p_i \leq n$ nodig, een ongelijkheid die het spoor uit bachelorjaar 2 gratis levert ( $\operatorname{tr} p = \operatorname{rk} p$ voor een projector, en sporen tellen op tot $\operatorname{tr} \mathrm{id} = n$ ). (iii) Oefening 20.7 is het lemma van Fitting in het reeds gestabiliseerde geval $r \leq 1$ ; in het algemeen laat men de ketens van kernen en beelden bevriezen, wat hoogstens $n$ stappen kost. (iv) In het volume van bachelorjaar 2 wordt, toegepast op $u - \lambda\,\mathrm{id}$ , de nilpotente factor de veralgemeende eigenruimte bij $\lambda$ , en worden de projectoren van deel III de spectrale projectoren van de reductietheorie. De stelling van deel IV is het lemma van Fitting.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst