Wat is Kern en beeld?

Voorbeeld 20.8 (Een afbeelding op bestelling bouwen)

Construeer $u \in \mathcal{L}(\R^3)$ met $\ker u = \operatorname{Vect}(1,1,1)$ en $\operatorname{im} u = \{z = 0\}$. Eerst een controle: de dimensiestelling eist $1 + 2 = 3$ — consistent, dus er mag een oplossing bestaan. Kies een basis die aan de kern is aangepast, zeg $\bigl((1,1,1),\ e_1,\ e_2\bigr)$ (Voorbeeld 19.7), en schrijf de beelden voor (Propositie 20.2):

Dan is $\ker u \supseteq \operatorname{Vect}(1,1,1)$ en $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(e_1, e_2) = \{z = 0\}$; de dimensiestelling dwingt $\dim\ker u = 1$ af, dus is de kern precies de voorgeschreven rechte. Expliciet, met de ontbinding $(x, y, z) = z(1,1,1) + (x - z)e_1 + (y - z)e_2$:

Het recept veralgemeent: een lineaire afbeelding met voorgeschreven kern $N$ en beeld $I$ bestaat precies wanneer $\dim N + \dim I = \dim E$ — de noodzaak is de dimensiestelling, de voldoendheid deze constructie.

Voorbeeld 20.10 (Interpolatie, structureel)

Leg verschillende $x_0, \dots, x_n$ vast en zij $u \colon \R_n[X] \to \R^{n+1}$, $P \mapsto (P(x_0), \dots, P(x_n))$: lineair. Haar kern is $\{P : \deg P \leq n,\ n+1 \text{ wortels}\} = \{0\}$ (Gevolg 8.8). Gelijke dimensies $n + 1$: $u$ is een isomorfisme — het bestaan en de eenduidigheid van de interpolant van Lagrange (Stelling 8.23) in één regel.

Hetzelfde patroon van één regel behandelt gegevens die waarden en afgeleiden mengen: $v \colon \R_3[X] \to \R^4$, $P \mapsto \bigl(P(0), P'(0), P(1), P'(1)\bigr)$ is lineair, en haar kern bestaat uit veeltermen van graad $\leq 3$ met dubbele wortels in $0$ en $1$, dus deelbaar door $X^2(X-1)^2$ van graad $4$: alleen $P = 0$. Opnieuw gelijke dimensies: elk viertal gegevens $(P(0), P'(0), P(1), P'(1))$ wordt door precies één derdegraads veelterm gerealiseerd — de interpolatie van Hermite, verleend door een kernberekening nog vóór er een formule wordt geschreven (de weekendopgave van Hoofdstuk 22 ontmoet haar determinant).

Voorbeeld 20.11 (De dimensiestelling aan het werk: de differentieoperator)

Zij $\Delta \colon \R_n[X] \to \R_n[X]$, $P \mapsto P(X+1) - P(X)$: lineair. Kern: is $\Delta P = 0$, dan is $P(0) = P(1) = P(2) = \dots$, dus heeft $P - P(0)$ oneindig veel wortels en is het nul (Gevolg 8.8): $\ker\Delta$ is de rechte van de constanten. Dimensiestelling: $\operatorname{rk}\Delta = (n + 1) - 1 = n$. Omdat $\deg \Delta P < \deg P$ voor niet-constante $P$ (de koptermen heffen elkaar op), is $\operatorname{im}\Delta \subseteq \R_{n-1}[X]$, wat precies dimensie $n$ heeft: de insluiting is een gelijkheid. Besluit, zonder enige berekening van origineelverzamelingen: elke veelterm $Q$ van graad $\leq n - 1$ is een verschil $Q = P(X+1) - P(X)$ — de discrete primitieve bestaat. (Vergelijk de weekendopgave van Hoofdstuk 18, waar $\Delta$ expliciet in de binomiale basis werd geïnverteerd.)