Universitaire natuurkunde — jaar 1 · Bachelor Year 1

12De bewegingswetten van Newton

Een parachutist stapt uit het vliegtuig en houdt binnen een tiental seconden op met versnellen: bij tweehonderd kilometer per uur duwt de lucht precies even hard terug als de aarde trekt. Een auto neemt een bocht te snel en de banden begeven het; een vrachtwagen op een bergweg kruipt in zijn laagste versnelling, gehouden door dezelfde wrijving die hem op vlak wegdek laat stoppen. De kinematica beschreef bewegingen; de dynamica verklaart ze, met één wet die de versnelling van een lichaam verbindt met de krachten die erop werken. Dit hoofdstuk formuleert de drie wetten van Newton, brengt de krachten in kaart die men op het niveau van dit volume tegenkomt — gewicht, veren, koorden, contact, droge en vloeistofwrijving — en laat zien hoe men van een tekening van de krachten naar een differentiaalvergelijking en haar oplossing gaat.

Het internationale ruimtestation gezien vanaf de vertrekkende spaceshuttle (NASA): alles aan boord valt samen vrij, en daarom lijkt niets aan boord iets te wegen.

12.1 Massa, impuls en de drie wetten

Definitie 12.1 (Massa, impuls, kracht)

Een puntmassa heeft een traagheidsmassa $m > 0$ (kilogram), een maat voor haar weerstand tegen snelheidsveranderingen, onafhankelijk van het stelsel. Haar impuls in een stelsel is

\vect p = m\,\vect v \qquad (\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}).

Een kracht $\vect F$ (newton) is de werking van een ander lichaam op de massa; krachten tellen op als vectoren, en de resultante is hun som $\sum\vect F$ .

Stelling 12.2 (De wetten van Newton)

Traagheidsbeginsel. Er bestaan stelsels, inertiaal (of galileïsch) genoemd, waarin een puntmassa waarop geen kracht werkt, of krachten met resultante nul, in een rechte lijn met constante snelheid beweegt. Elk stelsel dat eenparig rechtlijnig transleert ten opzichte van een inertiaalstelsel is zelf inertiaal.
Impulswet. In een inertiaalstelsel geldt

$\frac{\dd\vect p}{\dd t} = \sum\vect F, \qquad \text{oftewel}\qquad m\,\vect a = \sum\vect F \ \text{ bij constante } m .$
Actie en reactie. Oefent lichaam $A$ de kracht $\vect F_{A\to B}$ uit op lichaam $B$ , dan oefent $B$ de kracht $\vect F_{B\to A} = -\vect F_{A\to B}$ uit op $A$ , langs de verbindingslijn.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 12.3 (Wat de wetten zeggen)

De eerste wet is geen bijzonder geval van de tweede: zij definieert de stelsels waarin de tweede geldt. In de praktijk is een laboratorium op aarde uitstekend inertiaal voor proeven die minuten duren (Hoofdstuk 18 maakt de fout kwantitatief); een stelsel dat aan de zon en de verre sterren vastzit is nog beter. De tweede wet is een vectorvergelijking: drie scalaire vergelijkingen, één per as, en de keuze van de assen (Hoofdstuk 11) is de eerste beslissing van elk vraagstuk. De derde wet geldt op elk moment voor de contact- en zwaartekrachten van dit volume.

Definitie 12.4 (Gesloten systeem; behoud van impuls)

Een gesloten systeem wisselt geen materie uit met de omgeving. Voor een systeem van puntmassa’s vallen de inwendige krachten paarsgewijs weg (derde wet), en voldoet de totale impuls $\vect P = \sum m_i\vect v_i$ aan $\dd\vect P/\dd t = \sum\vect F_{\mathrm{ext}}$ : zij blijft behouden wanneer de uitwendige krachten verdwijnen (Hoofdstuk 19 werkt dit uit).

12.2 De gebruikelijke krachten

Propositie 12.5 (Gewicht en gravitatie)

Dicht bij het aardoppervlak wordt een lichaam met massa $m$ aangetrokken door zijn gewicht $\vect P = m\vect g$ , met $\vect g$ het plaatselijke zwaartekrachtveld, $g \approx 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , naar beneden gericht (bij zeer goede benadering naar het middelpunt). Algemener trekt een massa $M$ op afstand $r$ de massa $m$ aan met $\vect F = -GMm/r^2\,\vect e_r$ (Hoofdstuk 16); aan het oppervlak van een bol met straal $R$ is $g = GM/R^2$ . Let op de eenheid: $\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ en $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ zijn hetzelfde, en daarom vallen alle lichamen gelijk.

Bewijs. De gravitatiewet van Newton wordt aangenomen en in Hoofdstuk 16 verkend; $g = GM/R^2 = 6.67\times10^{-11} \times 5.97\times10^{24}/(6.37\times10^6)^2 = 9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . ∎

Propositie 12.6 (Veer; koord)

Een ideale veer met veerconstante $k$ en rustlengte $\ell_0$ , uitgerekt tot lengte $\ell$ langs de eenheidsvector $\vect u$ die van haar vaste uiteinde naar het lichaam wijst, oefent op dat lichaam de terugdrijvende kracht

\vect F = -k(\ell - \ell_0)\,\vect u \qquad (\text{wet van Hooke}),

uit, naar haar rustlengte toe. Een ideaal koord (massaloos, onrekbaar) oefent een spankracht $\vect T$ in zijn eigen richting uit, trekkend, met dezelfde grootte aan beide uiteinden en overal ertussen (ook over een massaloze, wrijvingsloze katrol).

Bewijs. De wet van Hooke is een empirisch model dat geldt bij kleine vervormingen. Het koord: een massaloos elementje voldoet aan $0 = \vect T_1 + \vect T_2$ uit de tweede wet van Newton, zodat de spankracht onveranderd wordt doorgegeven. ∎

Propositie 12.7 (Contactkrachten: normaalkracht en droge wrijving)

Een vast oppervlak oefent op een lichaam dat het raakt een normaalkracht $\vect N$ uit, loodrecht op het oppervlak en afstotend ( $N \geq 0$ : een oppervlak kan niet trekken), en een tangentiële wrijvingskracht $\vect T$ . De wetten van Coulomb: glijdt het lichaam niet, dan is $\abs{\vect T} \leq \mu_s N$ (de statische wrijving past zich aan wat nodig is, tot die grens); glijdt het met snelheid $\vect v_g$ ten opzichte van het oppervlak, dan is $\vect T = -\mu_d N\,\vect v_g/\abs{\vect v_g}$ (dynamische wrijving, die het glijden tegenwerkt), met $\mu_d \leq \mu_s$ coëfficiënten van de orde $0.1$ tot $1$ afhankelijk van de materialen, onafhankelijk van het contactoppervlak en van de snelheid.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Links: de krachten op een blok op een helling — gewicht, normaalkracht, wrijving langs het oppervlak — en de natuurlijke assen. Rechts: de wetten van Coulomb: in rust houdt de wrijving de aangelegde kracht in evenwicht tot _sN; zodra het glijden begint zakt zij naar _dN en blijft daar. — Links: de krachten op een blok op een helling — gewicht, normaalkracht, wrijving langs het oppervlak — en de natuurlijke assen. Rechts: de wetten van Coulomb: in rust houdt de wrijving de aangelegde kracht in evenwicht tot $\mu_sN$ ; zodra het glijden begint zakt zij naar $\mu_dN$ en blijft daar.

Propositie 12.8 (Vloeistofwrijving)

Een lichaam dat met snelheid $\vect v$ door een stilstaande vloeistof beweegt ondervindt een weerstandskracht tegengesteld aan $\vect v$ : bij lage snelheid (kleine afmeting, stroperige vloeistof) is zij lineair, $\vect F = -\alpha\vect v$ — voor een bol met straal $r$ in een vloeistof met viscositeit $\eta$ is $\alpha = 6\pi\eta r$ (Stokes); bij hoge snelheid (grote, snelle lichamen in lucht of water) is zij kwadratisch,

\vect F = -\tfrac12\,\rho\,C_xS\,v\,\vect v ,

met $\rho$ de dichtheid van de vloeistof, $S$ de doorsnede van het lichaam dwars op de stroming en $C_x$ een dimensieloze weerstandscoëfficiënt ( $0.5$ voor een bol, $0.3$ voor een auto, $1$ voor een vlakke schijf). Het getal van Reynolds $\rho vL/\eta$ (Opmerking 1.10) beslist: lineair onder $1$ , kwadratisch boven ongeveer $1000$ .

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 12.9 (Andere krachten)

De opwaartse kracht (Archimedes) is een resultante van drukkrachten, afgeleid in Hoofdstuk 21; de elektrische en magnetische krachten op een lading zijn het onderwerp van Hoofdstuk 17. Alle krachten van dit hoofdstuk zijn modellen van contact- of veldwisselwerkingen, geldig binnen aangegeven grenzen — de veer van Hooke breekt, de wrijving van Coulomb faalt bij hoge druk, de weerstandskracht van Stokes faalt bij hoge snelheid. Bij elke oplossing hoort de controle dat het gebruikte model van toepassing is.

12.3 Een dynamicavraagstuk oplossen

Methode 12.10 (Van de situatie naar de vergelijking)

Systeem: benoem het lichaam dat als punt wordt behandeld.
Stelsel: benoem het en ga na dat het inertiaal is (of het als zodanig mag gelden binnen de vereiste nauwkeurigheid).
Krachten: som elk lichaam op dat het systeem raakt of aantrekt, en teken elke kracht in een schema (het krachtenschema); er komt niets anders bij.
Coördinaten: kies assen die bij de beweging passen (Methode 11.18) en druk $\vect a$ uit.
Projecteer $m\vect a = \sum\vect F$ op de assen; gebruik de randvoorwaarden (een lichaam op een oppervlak blijft erop: $a_\perp = 0$ ; een koord met vaste lengte: gelijke snelheden aan beide uiteinden).
Los op en controleer: dimensies, grensgevallen, tekens ( $N \geq 0$ , $\abs T \leq \mu_sN$ in rust).

Voorbeeld 12.11 (Blok op een helling)

Een blok met massa $m$ op een vlak met hellingshoek $\alpha$ , coëfficiënten $\mu_s$ en $\mu_d$ . Assen: $x$ langs de helling omlaag, $y$ langs de normaal. Gewicht $(mg\sin\alpha, -mg\cos\alpha)$ , normaalkracht $(0, N)$ , wrijving $(-T, 0)$ als het naar beneden glijdt. Langs $y$ : $N = mg\cos\alpha$ . In rust langs $x$ : $T = mg\sin\alpha \leq \mu_sN = \mu_smg\cos\alpha$ , dus $\tan\alpha \leq \mu_s$ : het blok blijft liggen tot de hoek $\arctan\mu_s$ — een meting van $\mu_s$ waarvoor geen weegschaal nodig is. Glijdend: $ma = mg\sin\alpha - \mu_dmg\cos\alpha$ , dus $a = g(\sin\alpha - \mu_d\cos\alpha)$ , onafhankelijk van $m$ : $3.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ voor $\alpha = 30^\circ$ , $\mu_d = 0.2$ .

Voorbeeld 12.12 (De wiskundige slinger)

Massa $m$ aan een koord met lengte $\ell$ , hoek $\theta$ met de neerwaartse verticaal. Poolcoördinaten in het ophangpunt: $\vect a = -\ell\dot\theta^2\,\vect e_r + \ell\ddot\theta\,\vect e_\theta$ ; krachten: het gewicht $mg(\cos\theta\,\vect e_r - \sin\theta\,\vect e_\theta)$ en de spankracht $-T\vect e_r$ . Langs $\vect e_\theta$ : $m\ell\ddot\theta = -mg\sin\theta$ ,

\ddot\theta + \frac{g}{\ell}\sin\theta = 0 ,

wat voor kleine hoeken ( $\sin\theta \approx \theta$ ) de harmonische vergelijking is met $\omega_0 = \sqrt{g/\ell}$ : periode $T_0 = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ , de $k = 2\pi$ die Voorbeeld 1.8 niet kon leveren. Langs $\vect e_r$ : $T = mg\cos\theta + m\ell\dot\theta^2$ — het koord trekt het hardst onderin, waar de snelheid het grootst is.

Links: de wiskundige slinger, haar twee krachten en de poolbasis waarop de wet van Newton wordt geprojecteerd. Rechts: een lichaam dat vanuit rust valt onder zijn gewicht en een weerstandskracht: de snelheid nadert de eindsnelheid v_∈fty, exponentieel bij lineaire weerstand (= m/), als een tangens hyperbolicus bij kwadratische weerstand (= v_∈fty/g). — Links: de wiskundige slinger, haar twee krachten en de poolbasis waarop de wet van Newton wordt geprojecteerd. Rechts: een lichaam dat vanuit rust valt onder zijn gewicht en een weerstandskracht: de snelheid nadert de eindsnelheid $v_\infty$ , exponentieel bij lineaire weerstand ( $\tau = m/\alpha$ ), als een tangens hyperbolicus bij kwadratische weerstand ( $\tau = v_\infty/g$ ).

Propositie 12.13 (Val met weerstand; eindsnelheid)

Een lichaam met massa $m$ dat vanuit rust valt onder zijn gewicht en een weerstandskracht bereikt een eindsnelheid waarbij de twee elkaar in evenwicht houden. Lineaire weerstand: $m\dot v = mg - \alpha v$ , $v = v_\infty(1 - \eu^{-t/\tau})$ met $v_\infty = mg/\alpha$ , $\tau = m/\alpha$ . Kwadratische weerstand: $m\dot v = mg - \tfrac12\rho C_xSv^2$ , $v = v_\infty\tanh(t/\tau)$ met

v_\infty = \sqrt{\frac{2mg}{\rho C_xS}}, \qquad \tau = \frac{v_\infty}{g} .

Bewijs. Lineair: een vergelijking van de eerste orde, $\tau\dot v + v = v_\infty$ (Stelling 7.2). Kwadratisch: met $u = v/v_\infty$ is $\dot u = (1 - u^2)/\tau$ ; scheiding van variabelen geeft $\int\dd u/(1 - u^2) = \operatorname{artanh}u = t/\tau$ (de rationale breuk $1/(1 - u^2) = \tfrac12[1/(1 - u) + 1/(1 + u)]$ integreert tot $\tfrac12\ln\frac{1 + u}{1 - u}$ ), dus $u = \tanh(t/\tau)$ . ∎

Voorbeeld 12.14 (Twee eindsnelheden)

Een parachutist, $m = 80\,\mathrm{kg}$ , buikwaarts, $C_xS \approx 0.8\,\mathrm{m}^{2}$ in lucht ( $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ): $v_\infty = \sqrt{2 \times 785/(1.2 \times 0.8)} = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , bereikt (tot op $90\%$ ) in ongeveer $1.5\tau = 6\,\mathrm{s}$ . Een mistdruppeltje, $r = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , in het regime van Stokes ( $\eta_{\text{air}} = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ): $v_\infty = mg/6\pi\eta r = 1.2\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ — en daarom blijft mist in de lucht hangen.

12.4 Beweging op een cirkel: dwangkrachten

Propositie 12.15 (De centripetale eis)

Een puntmassa die op een cirkel met straal $R$ met snelheid $v$ beweegt, moet van de resultante van de krachten een component $mv^2/R$ naar het middelpunt ontvangen. Wat die ook levert — de spankracht van een koord, wrijving, de normaalkracht van een verkante weg, de zwaartekracht — het legt de hoogste snelheid of de laagste snelheid vast waarbij de beweging mogelijk is.

Bewijs. De tweede wet van Newton met de frenetversnelling: de normale component van $\sum\vect F$ is gelijk aan $mv^2/\rho$ . ∎

Voorbeeld 12.16 (Drie cirkels)

Vlakke bocht: de wrijving moet $mv^2/R \leq \mu_sN = \mu_smg$ leveren, dus $v \leq \sqrt{\mu_sgR}$ : $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ voor $R = 50\,\mathrm{m}$ , $\mu_s = 0.8$ . Verkante bocht met hoek $\beta$ , zonder wrijving: de normaalkracht $\vect N$ staat loodrecht op het wegdek; verticaal $N\cos\beta = mg$ , horizontaal $N\sin\beta = mv^2/R$ , dus $v^2 = gR\tan\beta$ — de ene snelheid waarbij de bocht zonder enige wrijving wordt genomen. Looping: bovenin, met $\vect N$ omlaag naar het middelpunt gericht, geldt $N + mg = mv^2/R$ , en $N \geq 0$ vraagt $v \geq \sqrt{gR}$ : daaronder verlaat het wagentje de baan (Probleem 11.1 opnieuw, nu verklaard).

Een verkante bocht in dwarsdoorsnede: zonder wrijving moet de normaalkracht van het wegdek de auto zowel dragen als naar het middelpunt duwen; de horizontale component N levert mv2/R, en dat gebeurt bij precies één snelheid, v = √gR. — Een verkante bocht in dwarsdoorsnede: zonder wrijving moet de normaalkracht van het wegdek de auto zowel dragen als naar het middelpunt duwen; de horizontale component $N\sin\beta$ levert $mv^2/R$ , en dat gebeurt bij precies één snelheid, $v = \sqrt{gR\tan\beta}$ .

12.5 Oefeningen

Oefening 12.1 ★

Iemand met een massa van $70\,\mathrm{kg}$ staat op een weegschaal in een lift. Wat wijst de weegschaal aan (in newton en in “kilogram”) wanneer de lift omhoog versnelt met $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , omlaag met $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , met constante snelheid beweegt, en vrij valt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.1.

Aanwijzing van de weegschaal $N = m(g + a)$ met $a$ de opwaartse versnelling: omhoog, $70 \times 11.81 = 827\,\mathrm{N}$ (“ $84\,\mathrm{kg}$ ”); omlaag, $70 \times 7.81 = 547\,\mathrm{N}$ (“ $56\,\mathrm{kg}$ ”); constante snelheid, $687\,\mathrm{N}$ ( $70\,\mathrm{kg}$ ); vrije val, $0$ .

Oefening 12.2 ★

Een blok $m_1 = 2.0\,\mathrm{kg}$ op een wrijvingsloze tafel is met een koord over een wrijvingsloze katrol verbonden met een hangende massa $m_2 = 1.0\,\mathrm{kg}$ . Bepaal de versnelling en de spankracht.

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.2.

Dezelfde versnelling $a$ voor beide (onrekbaar koord): $m_1a = T$ , $m_2a = m_2g - T$ , dus $a = m_2g/(m_1 + m_2) = 3.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $T = m_1a = 6.5\,\mathrm{N}$ .

Oefening 12.3 ★

Een blok glijdt langs een helling van $30^\circ$ met $\mu_d = 0.20$ . Bereken zijn versnelling en zijn snelheid na $5.0\,\mathrm{m}$ vanuit rust. Hangt het antwoord af van zijn massa?

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.3.

$a = g(\sin\alpha - \mu_d\cos\alpha) = 9.81(0.50 - 0.17) = 3.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $v = \sqrt{2 \times 3.2 \times 5.0} = 5.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Nergens een massa te zien.

Oefening 12.4 ★

Een massa van $0.50\,\mathrm{kg}$ hangt aan een veer met veerconstante $200\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ . Bepaal de statische uitrekking; daarna de hoekfrequentie en de periode van haar verticale trillingen rond het evenwicht (toon aan dat de bewegingsvergelijking harmonisch is).

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.4.

$k\Delta\ell = mg$ : $\Delta\ell = 0.50 \times 9.81/200 = 2.5\,\mathrm{cm}$ . Met $x$ de uitwijking uit het evenwicht is $m\ddot x = -kx$ (het gewicht en de statische uitrekking vallen tegen elkaar weg): $\omega_0 = \sqrt{k/m} = 20\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $T = 0.31\,\mathrm{s}$ .

Oefening 12.5 ★★

Een kist staat op een kantelbaar plateau; zij begint te glijden bij $22^\circ$ . Bepaal $\mu_s$ . Een auto op een vlakke weg met $\mu_s = 0.80$ : maximale snelheid in een bocht met straal $50\,\mathrm{m}$ , en op een natte weg met $\mu_s = 0.40$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.5.

$\mu_s = \tan 22^\circ = 0.40$ . Bocht: $v \leq \sqrt{\mu_sgR}$ : $\sqrt{0.8 \times 9.81 \times 50} = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ); nat, $14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ).

Oefening 12.6 ★★

Eindsnelheden: een parachutist ( $m = 80\,\mathrm{kg}$ , $C_xS = 0.70\,\mathrm{m}^{2}$ , $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ); een mistdruppeltje met straal $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ in lucht ( $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ), met de wet van Stokes. Controleer met een getal van Reynolds dat elk regime het juiste is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.6.

Parachutist: $v_\infty = \sqrt{2 \times 785/(1.2 \times 0.70)} = 43\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = \rho vL/\eta \approx 1.2 \times 43 \times 0.5/1.8\times10^{-5} \approx 10^6$ : kwadratisch. Druppeltje: $m = \tfrac43\pi r^3\rho_w = 4.2 \times 10^{-12}\,\mathrm{kg}$ , $v_\infty = mg/6\pi\eta r = 4.1\times10^{-11}/3.4\times10^{-9} = 1.2\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = 1.2 \times 0.012 \times 2\times10^{-5}/1.8\times10^{-5} = 0.02$ : lineair.

Oefening 12.7 ★★

Een slinger met lengte $\ell$ wordt uit rust losgelaten bij $\theta_0 = 60^\circ$ . Gegeven dat haar snelheid onderin $\sqrt{2g\ell(1 - \cos\theta_0)}$ is (energie, volgend hoofdstuk), bepaal de spankracht in het koord onderin in eenheden van $mg$ , en in het loslaatpunt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.7.

Onderin: $v^2 = 2g\ell(1 - \cos 60^\circ) = g\ell$ ; $T = mg + mv^2/\ell = 2mg$ . Loslaatpunt: $v = 0$ , $T = mg\cos\theta_0 = 0.5mg$ .

Oefening 12.8 ★★

Een bocht met straal $200\,\mathrm{m}$ is verkant onder $15^\circ$ . Bij welke snelheid kan zij zonder enige wrijving worden genomen? Wat moet de wrijving doen bij lagere en bij hogere snelheden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.8.

$v = \sqrt{gR\tan\beta} = \sqrt{9.81 \times 200 \times 0.268} = 23\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $82\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ). Langzamer: de auto neigt de helling af te glijden, de wrijving moet omhoog langs de helling wijzen; sneller: de wrijving wijst omlaag om centripetale kracht toe te voegen.

Oefening 12.9 ★★

Een kegelslinger: een massa aan een koord met lengte $\ell = 1.0\,\mathrm{m}$ beschrijft een horizontale cirkel, waarbij het koord $30^\circ$ met de verticaal maakt. Bepaal de hoeksnelheid, de periode en de spankracht (in eenheden van $mg$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.9.

$T\cos\alpha = mg$ , $T\sin\alpha = m\omega^2\ell\sin\alpha$ : $\omega = \sqrt{g/\ell\cos\alpha} = \sqrt{9.81/0.866} = 3.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , periode $1.9\,\mathrm{s}$ ; $T = mg/\cos\alpha = 1.15mg$ .

Oefening 12.10 ★★★

Een auto van $1000\,\mathrm{kg}$ haalt vanuit stilstand $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ in $8.0\,\mathrm{s}$ met constante versnelling. Bepaal de resulterende kracht en de kleinste wrijvingscoëfficiënt tussen aandrijfbanden en wegdek als de aangedreven wielen het hele gewicht dragen. Wat begrenst een sportauto op een natte weg?

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.10.

$a = 27.8/8.0 = 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $F = 3.5\,\mathrm{kN}$ ; uit $F \leq \mu_smg$ volgt $\mu_s \geq a/g = 0.35$ . Op een natte weg begrenst $\mu_s \approx 0.4$ de versnelling rond $0.4g$ , wat de motor ook doet: grip, geen vermogen.

Oefening 12.11 ★★★

Een lichaam valt vanuit rust met lineaire weerstand, $\tau = m/\alpha = 0.50\,\mathrm{s}$ . Schrijf $v(t)$ op en leid de gevallen afstand $z(t)$ af; bereken $v_\infty$ en $z$ na $2.0\,\mathrm{s}$ ; vergelijk met de vrije val.

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.11.

$v = v_\infty(1 - \eu^{-t/\tau})$ , $v_\infty = g\tau = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $z = \int v = v_\infty[t - \tau(1 - \eu^{-t/\tau})]$ . Op $2.0\,\mathrm{s}$ : $4.9 \times (2.0 - 0.5 \times 0.98) = 7.4\,\mathrm{m}$ , tegen $\tfrac12 gt^2 = 20\,\mathrm{m}$ in vacuüm.

Oefening 12.12 ★★★

Een wagentje met massa $m$ rijdt aan de binnenkant van een verticale cirkelvormige looping met straal $R$ (Probleem 11.1). Druk de normaalkracht van de baan uit als functie van de hoek $\theta$ vanaf de onderkant en van de snelheid $v(\theta)$ ; leid de kleinste snelheid bovenin af; bepaal met $v^2 = v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta)$ de kleinste inrijsnelheid en de normaalkracht onderin in dat geval.

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.12.

Radiale projectie (naar het middelpunt): $N - mg\cos\theta = mv^2/R$ , dus $N = m(v^2/R + g\cos\theta)$ . Bovenin ( $\theta = \pi$ ): $N = m(v^2/R - g) \geq 0$ precies als $v \geq \sqrt{gR}$ . Met de snelheidswet is $v_{\text{boven}}^2 = v_0^2 - 4gR \geq gR$ : $v_0 \geq \sqrt{5gR}$ ; onderin is dan $N = m(5g + g) = 6mg$ .

Vrije val met lucht: na een paar seconden houdt de kwadratische weerstandskracht het gewicht in evenwicht en valt de parachutist met een eindsnelheid van bijna 200\, km/ h — de weekendopgave. — Vrije val met lucht: na een paar seconden houdt de kwadratische weerstandskracht het gewicht in evenwicht en valt de parachutist met een eindsnelheid van bijna $200\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — de weekendopgave.

12.6 Probleem: De parachutist

Probleem 12.1

Weekendopgave — van de deur van het vliegtuig tot de grond: vrije val, de lucht die terugduwt, een koepel die te snel opengaat, en de landing — één bewegingswet, twee weerstandswetten

Een parachutist met uitrusting heeft massa $m = 80\,\mathrm{kg}$ . Lucht: $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ . Buikwaarts vallend is $C_xS = 0.80\,\mathrm{m}^{2}$ ; onder de open koepel is $C_xS = 25\,\mathrm{m}^{2}$ . $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $z$ wordt naar beneden geteld vanaf het sprongpunt.

Deel I — Zonder lucht.

Schrijf de tweede wet van Newton op en geef $v(t)$ en $z(t)$ ; bereken beide op $t = 10\,\mathrm{s}$ .
Bereken het gewicht.
De parachutist voelt zich in deze fase “gewichtloos”, hoewel de zwaartekracht volledig werkt. Verklaar dat met de krachten (wat ontbreekt er vergeleken met staan op de grond).
Is het aardse stelsel inertiaal genoeg voor dit vraagstuk? Noem wat er wordt verwaarloosd.

Deel II — Vallen door lucht.

Schrijf de weerstandskracht voor de buikwaartse val op als functie van $v$ .
Schrijf de bewegingsvergelijking voor $v(t)$ op.
Bepaal de eindsnelheid $v_\infty$ (in $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ).
Toon met $u = v/v_\infty$ en $\tau = v_\infty/g$ aan dat $\dd u/\dd t = (1 - u^2)/\tau$ ; bereken $\tau$ .
Los op door scheiding van variabelen en toon aan dat $v = v_\infty\tanh(t/\tau)$ .
Na hoeveel tijd is $v = 0.9v_\infty$ ? En $0.99v_\infty$ ?
Toon aan dat $z(t) = v_\infty\tau\ln\cosh(t/\tau)$ en bereken de gevallen afstand op $t = 10\,\mathrm{s}$ ; vergelijk met deel I.
Schat het getal van Reynolds bij $v_\infty$ met $L = 0.5\,\mathrm{m}$ en verantwoord de kwadratische wet.

Deel III — De koepel gaat open.

Bereken de nieuwe eindsnelheid onder de open koepel.
Als de koepel ogenblikkelijk zou opengaan bij $v = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , hoe groot zou de vertraging dan zijn, in $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ en in $g$ ? Waarom is dat onaanvaardbaar?
Echte koepels gaan in ongeveer $3\,\mathrm{s}$ open. Schat de gemiddelde vertraging en de gemiddelde kracht van het harnas op de parachutist.
Zodra de koepel helemaal open is zakt de snelheid naar de nieuwe $v_\infty$ : wat is de nieuwe tijdconstante $\tau' = v_\infty'/g$ , en wat betekent zij voor het bereiken van de stationaire daling?
Welke kracht oefent het harnas uit bij een stationaire daling? Verantwoord dat met de tweede wet.
Verklaar waarom de eindsnelheid gaat als $1/\sqrt{C_xS}$ : met welke factor zou een koepel met de halve oppervlakte haar verhogen?
Een zwaardere springer ( $100\,\mathrm{kg}$ ) onder dezelfde koepel: welke eindsnelheid?

Deel IV — De landing.

De landingssnelheid is de $v_\infty$ van de koepel. Van welke hoogte zou men zonder lucht moeten springen om met die snelheid de grond te raken?
Een landing op gestrekte benen stopt het lichaam over $0.5\,\mathrm{m}$ ; een rol over $1.5\,\mathrm{m}$ . Schat de gemiddelde vertraging (in $g$ ) en de gemiddelde kracht op de benen in beide gevallen, en trek een conclusie.
Vlak voor het neerkomen trekt de parachutist beide stuurlijnen aan, wat de weerstand van de koepel kortstondig vergroot. Verklaar kwalitatief het effect op de snelheid.

Deel V — Kleine dingen vallen anders.

Een regendruppel met straal $1.0\,\mathrm{mm}$ ( $C_x = 0.5$ ): bereken haar eindsnelheid met de kwadratische wet en controleer het getal van Reynolds.
Een mistdruppeltje met straal $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ : gebruik de wet van Stokes voor $v_\infty$ en ga na dat het getal van Reynolds inderdaad klein is.
Vat samen: één bewegingsvergelijking, twee weerstandsregimes en de drie getallen ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) die bepalen of iets valt als een steen, als een blad of helemaal niet.

Oplossing

Oplossing van Probleem 12.1.

1. $m\dot v = mg$ : $v = gt$ , $z = \tfrac12 gt^2$ ; op $10\,\mathrm{s}$ : $98\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $490\,\mathrm{m}$ .

2. $mg = 785\,\mathrm{N}$ .

3. Op de grond duwt de vloer omhoog met $N = mg$ — die duw is wat men als gewicht voelt. In vrije val is er geen contactkracht: de zwaartekracht werkt op elk deel gelijk en niets drukt.

4. Ja, tot op een fractie van een procent over een minuut; verwaarloosd worden de draaiing van de aarde (middelpuntvliedende en coriolistermen, Hoofdstuk 18) en de wind.

5. $F_d = \tfrac12\rho C_xSv^2 = 0.48\,v^2$ (SI).

6. $m\,\dd v/\dd t = mg - 0.48v^2$ .

7. $v_\infty = \sqrt{mg/0.48} = \sqrt{1635} = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 146\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

8. Deel door $mg$ : $\dd u/\dd t\,(v_\infty/g) = 1 - u^2$ ; $\tau = 40.4/9.81 = 4.1\,\mathrm{s}$ .

9. $\int_0^u\dd u'/(1 - u'^2) = \operatorname{artanh}u = t/\tau$ , dus $u = \tanh(t/\tau)$ .

10. $t = \tau\operatorname{artanh}(0.9) = 1.47\tau = 6.1\,\mathrm{s}$ ; voor $0.99$ : $2.65\tau = 11\,\mathrm{s}$ .

11. $z = \int v_\infty\tanh(t/\tau)\dd t = v_\infty\tau\ln\cosh(t/\tau)$ ; op $10\,\mathrm{s}$ : $166 \times \ln\cosh(2.43) = 166 \times 1.74 = 290\,\mathrm{m}$ , tegen $490\,\mathrm{m}$ .

12. $\mathrm{Re} = 1.2 \times 40 \times 0.5/1.8\times10^{-5} \approx 1.3 \times 10^{6}$ : ver boven $1000$ , dus kwadratisch.

13. $v_\infty' = \sqrt{785/(0.6 \times 25)} = \sqrt{52} = 7.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

14. Weerstand $= 15 \times 1600 = 24\,\mathrm{kN}$ ; $a = (24000 - 785)/80 = 290\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 30g$ : het harnas zou breken, of de springer.

15. Gemiddeld $a \approx (40 - 7)/3 = 11\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 1.1g$ ; kracht van het harnas $\approx m(g + a) \approx 1.7\,\mathrm{kN}$ .

16. $\tau' = 7.2/9.81 = 0.73\,\mathrm{s}$ : binnen enkele seconden na het volledig openen is de daling stationair.

17. $\vect a = \vect 0$ : kracht van het harnas $= mg = 785\,\mathrm{N}$ .

18. Uit het evenwicht $mg = \tfrac12\rho C_xSv^2$ volgt $v \propto (C_xS)^{-1/2}$ : halve oppervlakte, $\sqrt2$ keer de snelheid ( $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ).

19. $v \propto \sqrt m$ : $7.2 \times \sqrt{100/80} = 8.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

20. $h = v^2/2g = 52/19.6 = 2.6\,\mathrm{m}$ : een sprong van de eerste verdieping.

21. $a = v^2/2d$ : $52\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ( $5.3g$ ) over $0.5\,\mathrm{m}$ , kracht $m(g + a) \approx 5\,\mathrm{kN}$ ; $17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ( $1.8g$ ) over $1.5\,\mathrm{m}$ , $2.2\,\mathrm{kN}$ . Rollen dus.

22. Een grotere weerstand (en enige lift) overtreft even het gewicht: de springer vertraagt en komt onder $v_\infty'$ neer.

23. $m = \tfrac43\pi r^3\rho_w = 4.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{kg}$ , $S = \pi r^2 = 3.1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}$ : $v_\infty = \sqrt{2mg/\rho C_xS} = \sqrt{8.2\times10^{-5}/ 1.9\times10^{-6}} = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = 1.2 \times 6.6 \times 2\times10^{-3}/1.8\times10^{-5} \approx 900$ : kwadratisch (ruwweg).

24. $v_\infty = 1.2\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ (Oefening 12.6); $\mathrm{Re} \approx 0.02 \ll 1$ : Stokes geldt, consistent.

25. $m\dot{\vect v} = m\vect g + \vect F_{\text{wr}}$ ; de weerstand is lineair in $v$ voor kleine, trage dingen en kwadratisch voor grote, snelle. De getallen: $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ voor een vallend lichaam, $7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ onder een koepel (of een regendruppel), $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ voor mist — dezelfde wet over vier ordes van grootte.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst