Universitaire natuurkunde — jaar 1 · Bachelor Year 1

13Arbeid, energie en potentiële energie

Een fietser stopt met trappen boven aan een heuvel en komt beneden aan met een snelheid die van het hoogteverschil afhangt en niet van de vorm van de weg. Een bungeejumper valt zestig meter en staat een ogenblik stil, precies waar de trek van het koord alle snelheid heeft opgegeten die de val had gegeven. Een waterstofatoom gebonden aan een chlooratoom trilt in een put waarvan de diepte de energie is die het kost om het molecuul uiteen te rukken. In elk geval wordt één getal tussen vormen uitgewisseld — beweging, hoogte, rek, binding — en opgeteld verandert het niet. Dit hoofdstuk bouwt die boekhouding op uit de tweede wet van Newton: arbeid en vermogen, de stelling van de kinetische energie, potentiële energieën voor de krachten die er een toelaten, en het behoud van mechanische energie dat veel dynamicavraagstukken tot algebra van één regel maakt en, via de vorm van een potentiaalput, verklaart welke standen stabiel zijn.

De slinger van de docent: losgelaten vanaf de neus keert de bowlingbal terug tot de neus en niet verder — mechanische energie blijft behouden en wordt nooit overschreden.

13.1 Vermogen en arbeid

Definitie 13.1 (Vermogen en arbeid van een kracht)

Het vermogen van een kracht $\vect F$ die op een punt werkt dat met snelheid $\vect v$ beweegt, is

\mathcal P = \vect F\cdot\vect v \qquad (\text{watt}),

en haar arbeid tussen de tijdstippen $t_1$ en $t_2$ (posities $A$ en $B$ ) is het opgehoopte vermogen,

W_{A\to B} = \int_{t_1}^{t_2}\vect F\cdot\vect v\,\dd t = \int_A^B \vect F\cdot\dd\vect\ell \qquad (\text{joule}),

de som van de elementaire arbeidsbijdragen $\delta W = \vect F\cdot\dd\vect\ell$ langs de elementaire verplaatsingen $\dd\vect\ell = \vect v\,\dd t$ van de baan. De arbeid is positief als de kracht met de beweging mee duwt (drijvend), negatief als zij tegenwerkt (remmend), en nul als zij er loodrecht op staat.

Propositie 13.2 (Arbeid die men tegenkomt)

Constante kracht: $W_{A\to B} = \vect F\cdot\vect{AB}$ , wat de weg ook is. Gewicht: $W = mg(z_A - z_B)$ , met $z$ naar boven geteld.
Veer met veerconstante $k$ , van uitrekking $x_A$ tot $x_B$ : $W = \tfrac12 k(x_A^2 - x_B^2)$ .
Normaalkracht van een vast oppervlak, spankracht van een koord op een lichaam dat er loodrecht op beweegt: $W = 0$ (kracht $\perp$ verplaatsing).
Dynamische wrijving en luchtweerstand: altijd $W < 0$ (de kracht werkt de relatieve beweging tegen), en de arbeid hangt af van de weglengte.

Bewijs. Constante $\vect F$ : $\int\vect F\cdot\dd\vect\ell = \vect F\cdot\int\dd\vect\ell = \vect F\cdot\vect{AB}$ ; met $\vect F = -mg\vect e_z$ is $\vect F\cdot\vect{AB} = -mg(z_B - z_A)$ . Veer: $\vect F\cdot\dd\vect\ell = -kx\,\dd x$ , en $\int_{x_A}^{x_B}-kx\,\dd x = \tfrac12 k(x_A^2 - x_B^2)$ . Wrijving: $\vect T = -\mu N\vect v/v$ , dus $\vect T\cdot\vect v = -\mu Nv < 0$ . ∎

De elementaire arbeid van een kracht langs een kleine verplaatsing van haar aangrijpingspunt: alleen de component van F langs de beweging verricht arbeid. Opgeteld langs de weg van A naar B geeft dat W_A B. — De elementaire arbeid van een kracht langs een kleine verplaatsing van haar aangrijpingspunt: alleen de component van $\vect F$ langs de beweging verricht arbeid. Opgeteld langs de weg van $A$ naar $B$ geeft dat $W_{A\to B}$ .

13.2 De stelling van de kinetische energie

Stelling 13.3 (Stellingen van de kinetische energie en het vermogen)

In een inertiaalstelsel voldoet de kinetische energie $E_k = \tfrac12 mv^2$ van een puntmassa aan

\frac{\dd E_k}{\dd t} = \sum\mathcal P_i = \Big(\sum\vect F_i\Big)\cdot\vect v, \qquad E_k(B) - E_k(A) = \sum_i W_{i,A\to B}:

de verandering van de kinetische energie tussen twee posities is gelijk aan de totale arbeid van alle krachten die onderweg aangrijpen.

Bewijs. Neem het inproduct van de tweede wet van Newton met $\vect v$ : $m\vect a\cdot\vect v = \tfrac{\dd}{\dd t}(\tfrac12 m\vect v\cdot\vect v) = \dd E_k/\dd t$ , terwijl $(\sum\vect F_i)\cdot\vect v = \sum\mathcal P_i$ . Integreer over de tijd. ∎

Voorbeeld 13.4 (Remweg)

Een auto van $1000\,\mathrm{kg}$ bij $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $E_k = 386\,\mathrm{kJ}$ ), geremd door een constante kracht van $7.0\,\mathrm{kN}$ , staat na $d = E_k/F = 55\,\mathrm{m}$ stil: de afstand groeit met het kwadraat van de snelheid. Omdat de grootste remkracht $\mu_smg$ is (Hoofdstuk 12), is de kortste remweg $v^2/2\mu_sg$ , wat de massa van de auto ook is — en hij verdubbelt op een natte weg, waar $\mu_s$ halveert.

13.3 Conservatieve krachten en potentiële energie

Definitie 13.5 (Conservatieve kracht; potentiële energie)

Een kracht heet conservatief als haar arbeid tussen twee punten niet van de gevolgde weg afhangt. Gelijkwaardig: er bestaat een functie van de plaats, de potentiële energie $E_p$ , zodanig dat

W_{A\to B} = E_p(A) - E_p(B) = -\Delta E_p , \qquad \delta W = -\dd E_p ,

waarbij $E_p$ op een additieve constante na is bepaald (een keuze van nulpunt).

Propositie 13.6 (Kracht uit de potentiële energie)

Een conservatieve kracht is af te leiden uit haar potentiële energie:

\vect F = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,E_p = -\frac{\partial E_p}{\partial x}\,\vect e_x - \frac{\partial E_p}{\partial y}\,\vect e_y - \frac{\partial E_p}{\partial z}\,\vect e_z ,

en in één dimensie $F_x = -\dd E_p/\dd x$ : de kracht wijst naar afnemende potentiële energie, “bergafwaarts” op de grafiek van $E_p$ .

Bewijs. $\delta W = F_x\dd x + F_y\dd y + F_z\dd z = -\dd E_p = -(\partial_xE_p\,\dd x + \partial_yE_p\,\dd y + \partial_zE_p\,\dd z)$ voor elke verplaatsing: identificeer de coëfficiënten (de differentiaal van een functie van meerdere variabelen, uit de wiskunde). ∎

Propositie 13.7 (De gebruikelijke potentiële energieën)

Gewicht: $E_p = mgz + \text{const}$ ( $z$ omhoog).
Veer: $E_p = \tfrac12 k(\ell - \ell_0)^2 + \text{const}$ .
Newtoniaanse gravitatie van een massa $M$ : $E_p = -GMm/r + \text{const}$ , waarbij de constante meestal zo wordt gekozen dat $E_p \to 0$ op oneindig.
Elektrostatische kracht op een lading $q$ in een potentiaal $V$ : $E_p = qV$ (Hoofdstuk 27).

Dynamische wrijving en vloeistofweerstand zijn niet conservatief (hun arbeid hangt van de weg af en is altijd negatief).

Bewijs. Elk ervan is af te lezen uit de arbeid in Propositie 13.2: $W = -\Delta E_p$ . Voor de gravitatie is $\vect F = -GMm/r^2\,\vect e_r$ en $\delta W = -GMm\,\dd r/r^2 = -\dd(-GMm/r)$ . ∎

13.4 Mechanische energie

Stelling 13.8 (Mechanische energie)

Zij $E_m = E_k + E_p$ de mechanische energie, waarin $E_p$ de som is van de potentiële energieën van de conservatieve krachten. Dan geldt

\Delta E_m = W_{\text{nc}} ,

de totale arbeid van de niet-conservatieve krachten. Verrichten die geen arbeid (geen wrijving, of dwangkrachten loodrecht op de beweging), dan blijft $E_m$ behouden: de beweging is conservatief.

Bewijs. $\Delta E_k = W_{\text{c}} + W_{\text{nc}} = -\Delta E_p + W_{\text{nc}}$ . ∎

Methode 13.9 (Energie gebruiken)

Vraagt een vraagstuk om een snelheid op een plaats (geen tijd, geen kracht), probeer dan eerst de energie:

som de krachten op; ga na welke arbeid verrichten en welke conservatief zijn;
schrijf $E_m$ op de twee plaatsen op, met een duidelijk nulpunt voor $E_p$ ;
stel ze gelijk (tel $W_{\text{nc}}$ erbij als er wrijving is) en los op naar de onbekende snelheid of plaats.

Energie levert nooit de tijd of de dwangkrachten; daarvoor keer je terug naar de wet van Newton — vaak met de snelheid die de energie zojuist gaf.

Voorbeeld 13.10 (De snelheidswet van de looping)

Op de wrijvingsloze looping van Probleem 11.1 staat de normaalkracht van de baan loodrecht op de beweging en verricht geen arbeid: $E_m$ blijft behouden. Met $z = R(1 - \cos\theta)$ boven de onderkant geldt $\tfrac12 mv^2 + mgR(1 - \cos\theta) = \tfrac12 mv_0^2$ : de snelheidswet $v^2 = v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta)$ die daar werd gebruikt, nu in één regel afgeleid. De kleinste inrijsnelheid $\sqrt{5gR}$ volgt dan uit de voorwaarde bovenin, $v^2 \geq gR$ , uit Voorbeeld 12.16.

Voorbeeld 13.11 (Energie verloren aan wrijving)

Een blok glijdt een helling met hoek $\alpha$ en hoogte $h$ af met dynamische wrijving $\mu_d$ : $W_{\text{nc}} = -\mu_dmg\cos\alpha \times h/\sin\alpha = -\mu_dmgh\cot\alpha$ , dus $\tfrac12 mv^2 = mgh(1 - \mu_d\cot\alpha)$ . Voor $h = 2.0\,\mathrm{m}$ , $\alpha = 30^\circ$ , $\mu_d = 0.20$ : $v = 5.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in plaats van $6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; een derde van de potentiële energie werd warmte.

13.5 Evenwicht, stabiliteit en faseportretten

Propositie 13.12 (Evenwicht en stabiliteit in één dimensie)

Voor een puntmassa die op een as beweegt onder een conservatieve kracht met potentiële energie $E_p(x)$ geldt:

zij is in evenwicht in $x_0$ precies als $F(x_0) = -E_p'(x_0) = 0$ : in de extrema van $E_p$ ;
het evenwicht is stabiel als $E_p$ daar een lokaal minimum heeft ( $E_p''(x_0) > 0$ ): een kleine uitwijking levert een terugdrijvende kracht; labiel in een maximum;
vlak bij een stabiel evenwicht zijn kleine bewegingen harmonisch, met

$\omega_0^2 = \frac{E_p''(x_0)}{m} .$

Bewijs. Taylorformule (wiskunde): $E_p(x) \approx E_p(x_0) + \tfrac12 E_p''(x_0)(x - x_0)^2$ , dus $F \approx -E_p''(x_0)(x - x_0)$ en $m\ddot x = -E_p''(x_0)(x - x_0)$ — een veer met veerconstante $E_p''(x_0)$ . Voor $E_p'' < 0$ is de “veerconstante” negatief: exponentieel weglopen. ∎

Een eendimensionaal potentiaallandschap: minima zijn stabiele evenwichten, het maximum is een labiel evenwicht. Een deeltje met energie E_1 onder de barrière zit gevangen in één put tussen twee keerpunten (waar E_p = E_1, pijlen) en trilt; met E_2 boven de barrière gaat het vrij van de ene put naar de andere. — Een eendimensionaal potentiaallandschap: minima zijn stabiele evenwichten, het maximum is een labiel evenwicht. Een deeltje met energie $E_1$ onder de barrière zit gevangen in één put tussen twee *keerpunten* (waar $E_p = E_1$ , pijlen) en trilt; met $E_2$ boven de barrière gaat het vrij van de ene put naar de andere.

Definitie 13.13 (Keerpunten; gebonden en vrije beweging)

Bij een conservatieve eendimensionale beweging met energie $E_m$ kan het deeltje alleen zijn waar $E_p(x) \leq E_m$ (want $E_k \geq 0$ ); de punten waar $E_p = E_m$ zijn keerpunten, waar de snelheid nul wordt en omkeert. Gevangen tussen twee keerpunten in een potentiaalput is de beweging gebonden en periodiek; kan zij het oneindige bereiken, dan is zij vrij; een potentiaalbarrière hoger dan $E_m$ is niet te passeren.

Definitie 13.14 (Faseportret)

Het faseportret van een eendimensionale beweging is de verzameling krommen die het punt $(x, \dot x)$ in het fasevlak beschrijft. Voor een conservatief systeem is elke kromme een niveaulijn $\tfrac12 m\dot x^2 + E_p(x) = E_m$ : gesloten krommen rond stabiele evenwichten (trillingen), open krommen bij vrije beweging, en, door de labiele evenwichten heen, de separatrices die de twee scheiden. De krommen worden met de klok mee doorlopen ( $\dot x > 0$ betekent toenemende $x$ ) en snijden elkaar nooit.

Faseportret van de wiskundige slinger, 1/2 2 + _02(1 - ) = const. Gesloten krommen (blauw): zwaaien rond het stabiele evenwicht = 0; open krommen (oranje): volledige omwentelingen; ertussen de separatrix (rood) door de labiele evenwichten = ±π, de beweging die de top net haalt. — Faseportret van de wiskundige slinger, $\tfrac12\dot\theta^2 + \omega_0^2(1 - \cos\theta) = \text{const}$ . Gesloten krommen (blauw): zwaaien rond het stabiele evenwicht $\theta = 0$ ; open krommen (oranje): volledige omwentelingen; ertussen de separatrix (rood) door de labiele evenwichten $\theta = \pm\pi$ , de beweging die de top net haalt.

Voorbeeld 13.15 (Het landschap van de slinger)

$E_p = -mg\ell\cos\theta$ : minimum bij $\theta = 0$ , $E_p'' = mg\ell$ , dus $\omega_0^2 = g\ell/(m\ell^2) = g/\ell$ — het resultaat voor kleine trillingen uit Voorbeeld 12.12, nu afgelezen van de kromming van de put; maximum bij $\theta = \pi$ , de omgekeerde slinger, labiel. Bij energie $E_m < mg\ell$ : trilling tussen $\pm\theta_{\max}$ ; bij $E_m > mg\ell$ : zij gaat over de top en draait rond; bij $E_m = mg\ell$ : de separatrix, een oneindig traag naderen van de top.

13.6 Oefeningen

Oefening 13.1 ★

Een kist van $20\,\mathrm{kg}$ wordt in $5.0\,\mathrm{s}$ met constante snelheid $3.0\,\mathrm{m}$ opgetild. Arbeid van de hefkracht, van het gewicht, en geleverd vermogen. Dezelfde kist $3.0\,\mathrm{m}$ over een vloer geduwd met $\mu_d = 0.30$ : arbeid van de wrijving.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.1.

Hefkracht $+mgh = 20 \times 9.81 \times 3.0 = 589\,\mathrm{J}$ ; gewicht $-589\,\mathrm{J}$ ; vermogen $589/5.0 = 118\,\mathrm{W}$ . Wrijving: $-\mu_dmgd = -0.30 \times 196 \times 3.0 = -177\,\mathrm{J}$ .

Oefening 13.2 ★

Kinetische energie van een auto van $1000\,\mathrm{kg}$ bij $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; remweg bij een constante remkracht van $7.0\,\mathrm{kN}$ ; wat gebeurt er met de remweg als de snelheid verdubbelt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.2.

$E_k = \tfrac12 \times 1000 \times 27.8^2 = 386\,\mathrm{kJ}$ ; $d = E_k/F = 55\,\mathrm{m}$ ; $v$ verdubbelen viervoudigt $E_k$ en $d$ : $220\,\mathrm{m}$ .

Oefening 13.3 ★

Een veer met veerconstante $500\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ wordt $10\,\mathrm{cm}$ ingedrukt en losgelaten tegen een balletje van $50\,\mathrm{g}$ op een wrijvingsloze horizontale baan. Opgeslagen energie; snelheid van het balletje.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.3.

$E_p = \tfrac12 \times 500 \times 0.10^2 = 2.5\,\mathrm{J}$ ; $v = \sqrt{2 \times 2.5/0.050} = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Oefening 13.4 ★

Een slinger met lengte $1.0\,\mathrm{m}$ wordt uit rust losgelaten bij $60^\circ$ : snelheid onderin met energie; daarna, met de wet van Newton, de spankracht daar (in eenheden van $mg$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.4.

$\tfrac12 mv^2 = mg\ell(1 - \cos 60^\circ)$ : $v = \sqrt{g\ell} = 3.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Spankracht: $T - mg = mv^2/\ell = mg$ , dus $T = 2mg$ .

Oefening 13.5 ★★

Een blok glijdt uit rust een helling van $30^\circ$ en hoogte $2.0\,\mathrm{m}$ af, met $\mu_d = 0.20$ . Snelheid onderin met de energiestelling; fractie van de aanvankelijke potentiële energie die aan wrijving verloren gaat.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.5.

De wrijving verricht $-\mu_dmg\cos\alpha\,(h/\sin\alpha)$ , dus

\tfrac12 mv^2 = mgh(1 - \mu_d\cot\alpha) = mgh(1 - 0.35),

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 2.0 \times 0.65} = 5.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $35\%$ verloren.

Oefening 13.6 ★★

Toon met $E_p = -GMm/r$ aan dat de snelheid die nodig is om aan de aantrekking van de aarde te ontsnappen vanaf haar oppervlak $v_e = \sqrt{2GM/R}$ is, en bereken haar ( $M = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ , $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ). Wat is de ontsnappingssnelheid van een lichaam met dezelfde dichtheid maar de dubbele straal?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.6.

$E_m = \tfrac12 mv^2 - GMm/R \geq 0$ opdat het lichaam het oneindige bereikt (waar $E_p = 0$ en $v \to 0$ ): $v_e = \sqrt{2GM/R}$ , dus

v_e = \sqrt{\frac{2 \times 6.67\times10^{-11} \times 5.97\times10^{24}}{6.37\times10^6}} = 11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}.

Bij dezelfde dichtheid is $M \propto R^3$ en dus $v_e \propto R$ : $22.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

Oefening 13.7 ★★

Bungee: een springer van $70\,\mathrm{kg}$ , koord met rustlengte $20\,\mathrm{m}$ en veerconstante $50\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ , springt vanuit rust. Bepaal de maximale uitrekking van het koord, de totale valhoogte en de maximale spankracht (in eenheden van het gewicht). Waar is de snelheid het grootst?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.7.

Laagste punt: $mg(\ell_0 + x) = \tfrac12 kx^2$ , $25x^2 - 687x - 13734 = 0$ , $x = 41\,\mathrm{m}$ ; totale valhoogte $61\,\mathrm{m}$ ; $T_{\max} = kx = 2.0\,\mathrm{kN} = 3.0\,mg$ (netto $2\,\mathrm{g}$ omhoog). De snelheid is het grootst waar de netto kracht verdwijnt, $kx = mg$ : $x = 14\,\mathrm{m}$ , $34\,\mathrm{m}$ onder het sprongpunt.

Oefening 13.8 ★★

Een fietser ( $80\,\mathrm{kg}$ met fiets) beklimt een helling van $5\%$ met $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ tegen een weerstand $\tfrac12\rho C_xSv^2$ met $C_xS = 0.50\,\mathrm{m}^{2}$ . Vermogen tegen de zwaartekracht, tegen de weerstand, en in totaal.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.8.

Zwaartekracht: $mgv\sin\alpha = 80 \times 9.81 \times 5.0 \times 0.05 = 196\,\mathrm{W}$ ; weerstand: $\tfrac12\rho C_xSv^3 = 0.5 \times 1.2 \times 0.50 \times 125 = 38\,\mathrm{W}$ ; totaal $234\,\mathrm{W}$ .

Oefening 13.9 ★★

Een deeltje met massa $m$ heeft $E_p(x) = E_0[(x/a)^4 - 2(x/a)^2]$ . Bepaal de evenwichten en hun stabiliteit, de diepte van de putten en de hoekfrequentie van kleine trillingen rond een stabiel evenwicht.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.9.

$E_p' = 4E_0(x^3/a^4 - x/a^2) = 0$ : $x = 0, \pm a$ . $E_p'' = E_0(12x^2/a^4 - 4/a^2)$ : $-4E_0/a^2$ in $0$ (labiel maximum, $E_p = 0$ ), $+8E_0/a^2$ in $\pm a$ (stabiele minima, $E_p = -E_0$ ): putten met diepte $E_0$ ; $\omega_0^2 = 8E_0/ma^2$ .

Oefening 13.10 ★★★

Toon voor de harmonische oscillator $E_p = \tfrac12 kx^2$ aan dat de fasekrommen ellipsen zijn, geef hun halve assen bij energie $E$ , en leg uit waarom zij alle in dezelfde tijd worden doorlopen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.10.

$\tfrac12 m\dot x^2 + \tfrac12 kx^2 = E$ : een ellips met halve assen $x_{\max} = \sqrt{2E/k}$ en $\dot x_{\max} = \sqrt{2E/m}$ . De beweging is harmonisch met periode $2\pi\sqrt{m/k}$ , wat de amplitude ook is (isochronie), zodat elke ellips dezelfde tijd kost.

Oefening 13.11 ★★★

Een klein voorwerp glijdt uit rust vanaf de top van een wrijvingsloze halve bol met straal $R$ . Bepaal met energie en de wet van Newton de hoek met de verticaal waarbij het het oppervlak verlaat, de hoogte en zijn snelheid op dat moment.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.11.

Energie: $v^2 = 2gR(1 - \cos\theta)$ . Radiaal: $mg\cos\theta - N = mv^2/R$ , dus $N = mg(3\cos\theta - 2)$ , nul bij $\cos\theta = 2/3$ ( $\theta = 48^\circ$ ): hoogte $2R/3$ , snelheid $\sqrt{2gR/3}$ .

Oefening 13.12 ★★★

Een auto bij $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ slipt met geblokkeerde wielen in $80\,\mathrm{m}$ tot stilstand. Bepaal $\mu_d$ met energie. Waar bleef de energie? Waarom remt een antiblokkeersysteem (wielen blijven rollen) over een kortere afstand?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.12.

$\tfrac12 mv^2 = \mu_dmgd$ : $\mu_d = 625/(2 \times 9.81 \times 80) = 0.40$ . Warmte in het contact band–wegdek (en een remspoor). Rollende wielen gebruiken statische wrijving, $\mu_s > \mu_d$ : een grotere remkracht, een kortere afstand, en de besturing blijft behouden.

13.7 Probleem: De energieput van een chemische binding

Probleem 13.1

Weekendopgave — twee atomen, één kromme: de potentiële energie van een binding gelezen als een landschap — haar bodem, haar wanden, de kleine trillingen onderin, en de energie die het kost om eruit te klimmen

De wisselwerking van de twee atomen van een tweeatomig molecuul wordt gemodelleerd door de potentiële energie

E_p(r) = \epsilon\left[\left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - 2\left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6}\right],

met $r$ de afstand tussen de kernen. Neem voor waterstofchloride $\epsilon = 4.4\,\mathrm{eV}$ , $\sigma = 0.127\,\mathrm{nm}$ , en laat het lichte waterstofatoom ( $m = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ) bewegen terwijl het zware chloor blijft staan. $1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ ; $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ ; $N_A = 6.02 \times 10^{23}$ .

Deel I — Het landschap.

Geef de limieten van $E_p$ voor $r \to 0$ en $r \to \infty$ , en schets de kromme.
Toon aan dat $E_p$ één minimum heeft, bij $r = \sigma$ , met waarde $-\epsilon$ .
Toon met $u = (\sigma/r)^6$ aan dat $E_p = \epsilon(u^2 - 2u)$ : een parabool in $u$ . Vind het minimum daaruit terug.
Druk de kracht $F(r)$ uit (positief als zij afstoot) en geef haar teken aan weerszijden van $\sigma$ .
Bereken $E_p$ en $F$ bij $r = 1.2\sigma$ (in eV en in nN).
Wat is de dissociatie-energie van het molecuul, in eV en in $\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ ? (Gemeten bindingsenergie van HCl: $431\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ .)
Controleer het stabiliteitscriterium bij $r = \sigma$ : bereken $E_p''(\sigma)$ .

Deel II — Kleine trillingen.

Schrijf de taylorontwikkeling tot tweede orde van $E_p$ rond $\sigma$ op en benoem een effectieve veerconstante $k$ .
Bereken $k$ (in $\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ).
Leid de hoekfrequentie, de frequentie en de golflengte van de trilling af, en haar golfgetal $1/\lambda$ in $\mathrm{cm}^{-1}$ .
De gemeten trilling van HCl ligt bij $2990\,\mathrm{cm}^{-1}$ . Becommentarieer de overeenkomst en wat het model wel goed doet.
Bij $300\,\mathrm{K}$ is de gemiddelde trillingsenergie van de orde $k_BT$ . Schat de trillingsamplitude en vergelijk haar met $\sigma$ .
Leid daaruit de grootste snelheid van het waterstofatoom in die trilling af.

Deel III — Grote trillingen en de uitweg.

Beschrijf het faseportret: welke energieën geven gesloten krommen, welke open krommen, en wat scheidt ze?
Bepaal voor $E_m = -\epsilon/2$ de twee keerpunten (in eenheden van $\sigma$ ).
Toon aan dat hun midden voorbij $\sigma$ ligt, en verklaar waarom verwarmen (de trillingsenergie verhogen) de gemiddelde bindingslengte doet groeien — de oorsprong van de thermische uitzetting.
Is de periode van grote trillingen langer of korter dan $2\pi/\omega_0$ ? Beargumenteer dat uit de vorm van de wanden.
Welke energie moet er vanaf $E_m = -\epsilon/2$ worden toegevoerd om het molecuul te dissociëren? Als zij als kinetische energie van het waterstofatoom bij $r = \sigma$ wordt gegeven, welke snelheid is dat?
Twee atomen die van ver naderen met positieve totale energie kunnen uit zichzelf geen gebonden molecuul vormen. Waarom? Wat is er nodig?

Deel IV — Arbeid, kracht en temperatuur.

Bereken de arbeid van de bindingskracht wanneer $r$ van $2\sigma$ naar $\sigma$ gaat. Is de kracht daar drijvend of remmend?
Bereken de arbeid die een uitwendige agens moet leveren om de binding oneindig langzaam van $\sigma$ tot $1.5\sigma$ uit te rekken.
Bereken $F$ bij $r = 0.9\sigma$ en vergelijk met $r = 1.2\sigma$ : wat zegt de asymmetrie over samendrukken tegenover uitrekken?
Bij welke temperatuur zou $k_BT$ gelijk zijn aan $\epsilon$ ? Waarom dissociëren moleculen in de praktijk bij veel lagere temperaturen?
Een beter model (Morse) verandert de vorm van de wanden maar houdt een minimum bij de bindingslengte. Welke van de bovenstaande resultaten blijven qua methode onveranderd, en welke getallen zouden veranderen?
Vat de drie manieren samen waarop energiemethoden zijn gebruikt: om het evenwicht te vinden, om de trillingsfrequentie te vinden, en om te vinden wat er nodig is om te ontsnappen.

Oplossing

Oplossing van Probleem 13.1.

1. $r \to 0$ : $+\infty$ (de term $r^{-12}$ ); $r \to \infty$ : $0^-$ . Een steile wand, een put, een lange staart.

2. $E_p' = \epsilon[-12\sigma^{12}/r^{13} + 12\sigma^6/r^7] = 0$ precies als $(\sigma/r)^6 = 1$ : $r = \sigma$ , $E_p = \epsilon(1 - 2) = -\epsilon$ .

3. $(\sigma/r)^{12} = u^2$ : $E_p = \epsilon(u^2 - 2u) = \epsilon[(u - 1)^2 - 1]$ , minimaal bij $u = 1$ ( $r = \sigma$ ) met waarde $-\epsilon$ .

4. $F = -E_p' = (12\epsilon/\sigma)[(\sigma/r)^{13} - (\sigma/r)^7]$ : positief (afstotend) voor $r < \sigma$ , negatief (aantrekkend) daarbuiten.

5. $(1/1.2)^6 = 0.335$ , $(1/1.2)^{12} = 0.112$ : $E_p = \epsilon(0.112 - 0.670) = -0.56\epsilon = -2.5\,\mathrm{eV}$ . $(1/1.2)^{13} = 0.0935$ , $(1/1.2)^7 = 0.279$ : $F = (12\epsilon/\sigma)(-0.186) = -2.2\epsilon/\sigma = -2.2 \times 7.0\times10^{-19}/1.27\times10^{-10} = -12\,\mathrm{nN}$ .

6. $\epsilon = 4.4\,\mathrm{eV} = 4.4 \times 96.5 = 425\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ , dicht bij de gemeten $431\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ .

7. $E_p'' = \epsilon[156\sigma^{12}/r^{14} - 84\sigma^6/r^8]$ ; bij $\sigma$ : $72\epsilon/\sigma^2 > 0$ , dus stabiel.

8. $E_p \approx -\epsilon + \tfrac12(72\epsilon/\sigma^2)(r - \sigma)^2$ : $k = 72\epsilon/\sigma^2$ .

9. $k = 72 \times 7.0\times10^{-19}/(1.27\times10^{-10})^2 = 3.1 \times 10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ .

10. $\omega_0 = \sqrt{k/m} = \sqrt{3.1\times10^3/1.67\times10^{-27}} = 1.4 \times 10^{15}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ; $f = 2.2 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; $\lambda = c/f = 1.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $1/\lambda = 7300\,\mathrm{cm}^{-1}$ .

11. Een factor $2.4$ te hoog: de wanden van het model zijn te steil (de kern met $r^{-12}$ is een grove vervanger voor een covalente binding), maar de orde van grootte — een infraroodtrilling bij $10^{14}$ Hz — klopt, en de methode (de kromming van de put) is precies dezelfde als bij betere potentialen.

12. $\tfrac12 kA^2 \approx k_BT$ : $A = \sqrt{2k_BT/k} = \sqrt{8.3\times 10^{-21}/3.1\times10^3} = 1.6 \times 10^{-12}\,\mathrm{m} = 0.013\sigma$ : de binding trilt nauwelijks.

13. $v_{\max} = A\omega_0 = 1.6\times10^{-12} \times 1.4\times10^{15} = 2.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

14. $-\epsilon < E_m < 0$ : gesloten krommen rond $(\sigma, 0)$ — trilling, gebonden; $E_m > 0$ : open krommen — de atomen gaan uiteen; $E_m = 0$ : de separatrix, een atoom dat het oneindige net kan bereiken.

15. $u^2 - 2u = -\tfrac12$ met $u = (\sigma/r)^6$ : $u = 1 \pm 1/\sqrt2 = 1.71$ of $0.293$ ; $r = \sigma u^{-1/6}$ : $0.915\sigma$ en $1.23\sigma$ .

16. Midden $1.07\sigma > \sigma$ : de buitenwand is zachter dan de binnenwand, zodat het atoom meer ruimte buiten doorbrengt; de over de tijd gemiddelde afstand groeit met de energie — verwarmde bindingen worden langer, vaste stoffen zetten uit.

17. Langer: de terugdrijvende kracht aan de zachte buitenkant is zwakker dan de harmonische benadering aanneemt, zodat de terugkeer meer tijd kost.

18. De halve putdiepte is $\epsilon/2 = 2.2\,\mathrm{eV} = 3.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ ; als kinetische energie in $\sigma$ geeft dat $v = \sqrt{2 \times 3.5\times10^{-19}/1.67\times10^{-27}} = 2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

19. Behoud van energie: $E_m > 0$ blijft $> 0$ , de kromme is open, de atomen vliegen na één ontmoeting uiteen. Een derde lichaam (een ander molecuul, een wand, een foton) moet het overschot afvoeren.

20. $W = E_p(2\sigma) - E_p(\sigma) = \epsilon(2^{-12} - 2 \times 2^{-6}) + \epsilon = 0.97\epsilon = 4.3\,\mathrm{eV}$ , positief: de aantrekking trekt het atoom naar binnen, dus drijvend.

21. $W_{\text{ext}} = E_p(1.5\sigma) - E_p(\sigma) = \epsilon(0.0077 - 0.176) + \epsilon = 0.83\epsilon = 3.7\,\mathrm{eV}$ .

22. $(1/0.9)^{13} = 3.93$ , $(1/0.9)^7 = 2.09$ : $F = +22\epsilon/\sigma = +120\,\mathrm{nN}$ , tien keer de aantrekking bij $1.2\sigma$ : een binding $10\%$ samendrukken kost veel meer dan haar $20\%$ uitrekken.

23. $T = \epsilon/k_B = 7.0\times10^{-19}/1.38\times10^{-23} = 5.1 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ . Werkelijke gassen dissociëren ver daaronder, omdat de energieën verdeeld zijn: een deel van de moleculen draagt vele malen $k_BT$ (Hoofdstuk 20).

24. Blijven gelden: het evenwicht in het minimum, $k = E_p''$ in het minimum, dissociatie-energie $=$ diepte, keerpunten uit $E_p = E_m$ , asymmetrie $\Rightarrow$ uitzetting. Veranderen: de waarden van $k$ , van de frequentie en van de keerpunten.

25. Evenwicht: $E_p' = 0$ ; trilling: $\omega_0^2 = E_p''/m$ ; ontsnappen: $E_m$ vergeleken met de rand van de put.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst