Universitaire natuurkunde — jaar 1 · Bachelor Year 1

15Impulsmoment

Een kunstschaatsster die met gestrekte armen tolt trekt ze in en wervelt, zonder dat iemand haar duwt, twee keer zo snel rond. Een deur wijkt voor een vingertop bij de klink en weerstaat een schouder bij het scharnier. Planeten bestrijken gelijke oppervlakken in gelijke tijden — Kepler zag het vier eeuwen geleden, lang voordat iemand kon zeggen waarom. En de maan, getrokken door de getijden die zij opwekt, drijft jaarlijks enkele centimeters van de aarde weg terwijl onze dagen onmerkbaar langer worden. Achter alle vier staat één vectoriële grootheid, het impulsmoment, en één wet: haar veranderingssnelheid is gelijk aan het moment van de krachten. Dit hoofdstuk definieert beide, bewijst de wet voor een puntmassa en voor een systeem, en zet haar aan het werk op slingers, banen en draaiende dingen.

Armen ingetrokken tolt de schaatsster sneller: zonder uitwendig koppel om de verticale as blijft het impulsmoment behouden, en een kleiner traagheidsmoment betekent een grotere hoeksnelheid.

15.1 Moment van een kracht

Definitie 15.1 (Moment om een punt; om een as)

Het moment (of koppel) om een punt $O$ van een kracht $\vect F$ die in $M$ aangrijpt is de vector

\vect{\mathcal M}_O(\vect F) = \vect{OM}\wedge\vect F \qquad (\mathrm{N}\,\mathrm{m}),

loodrecht op het vlak van $\vect{OM}$ en $\vect F$ , met norm $OM\cdot F\sin\alpha = F\,d$ , waarin $d$ — de arm — de afstand is van $O$ tot de werklijn van $\vect F$ . Het moment om een georiënteerde as $\Delta$ (eenheidsvector $\vect e_\Delta$ ) door $O$ is de scalar $\mathcal M_\Delta = \vect{\mathcal M}_O\cdot\vect e_\Delta$ , onafhankelijk van de keuze van $O$ op $\Delta$ ; het verdwijnt als $\vect F$ evenwijdig is aan $\Delta$ of die snijdt. Twee tegengestelde krachten op verschillende werklijnen vormen een krachtenkoppel, waarvan het moment $\vect F\wedge\vect{AB}$ om elk punt hetzelfde is.

Voorbeeld 15.2 (De deur)

Een duw van $20\,\mathrm{N}$ loodrecht op een deur, $0.80\,\mathrm{m}$ van de scharnieren, heeft moment $16\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ om de scharnieras; dezelfde duw op $0.10\,\mathrm{m}$ geeft $2\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ ; langs de deur (werklijn door de scharnieren) nul. De reactie van het scharnier zelf, die de as snijdt, heeft er geen moment om: dat maakt de as de natuurlijke plek om momenten te nemen.

Het moment van F om O: het uitwendig product OM F, met norm F\,d waarin d de afstand is van O tot de werklijn (de arm), gericht loodrecht op de figuur — hier naar de lezer toe. — Het moment van $\vect F$ om $O$ : het uitwendig product $\vect{OM}\wedge\vect F$ , met norm $F\,d$ waarin $d$ de afstand is van $O$ tot de werklijn (de arm), gericht loodrecht op de figuur — hier naar de lezer toe.

15.2 Impulsmoment van een puntmassa

Definitie 15.3 (Impulsmoment)

Het impulsmoment om $O$ van een puntmassa $m$ in $M$ met snelheid $\vect v$ is

\vect L_O = \vect{OM}\wedge m\vect v \qquad (\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}),

en om een as $\Delta$ door $O$ : $L_\Delta = \vect L_O\cdot\vect e_\Delta$ . Voor een beweging in een vlak loodrecht op $\Delta$ geldt, in poolcoördinaten om de as, $L_\Delta = mr^2\dot\theta$ ; voor een cirkel met straal $R$ geldt $L_\Delta = mR^2\omega = mRv$ .

Bewijs. $\vect{OM} = r\vect e_r$ , $\vect v = \dot r\vect e_r + r\dot\theta\vect e_\theta$ : $\vect{OM}\wedge m\vect v = mr^2\dot\theta\,\vect e_r\wedge\vect e_\theta = mr^2\dot\theta\,\vect e_z$ . ∎

Stelling 15.4 (Impulsmomentstelling)

In een inertiaalstelsel geldt, voor een punt $O$ dat in dat stelsel vastligt,

\frac{\dd\vect L_O}{\dd t} = \sum\vect{\mathcal M}_O(\vect F_i), \qquad \frac{\dd L_\Delta}{\dd t} = \sum\mathcal M_\Delta(\vect F_i)

voor een vaste as $\Delta$ . Verdwijnt het totale moment om $O$ , dan blijft $\vect L_O$ behouden.

Bewijs. $\dd(\vect{OM}\wedge m\vect v)/\dd t = \vect v\wedge m\vect v + \vect{OM}\wedge m\vect a = \vect 0 + \vect{OM}\wedge\sum\vect F_i$ , met de tweede wet van Newton ( $O$ vast, zodat $\dd\vect{OM}/\dd t = \vect v$ ). Projecteer op $\vect e_\Delta$ . ∎

Gevolg 15.5 (Centrale krachten: vlakke beweging en de perkenwet)

Een puntmassa die alleen aan een centrale kracht is onderworpen (altijd gericht langs $\vect{OM}$ , naar het vaste centrum $O$ toe of ervandaan), houdt $\vect L_O$ constant. Haar beweging blijft in het vlak door $O$ loodrecht op $\vect L_O$ , en in dat vlak is $r^2\dot\theta = C$ (constant): de voerstraal $\vect{OM}$ bestrijkt oppervlak met de constante perksnelheid

\frac{\dd A}{\dd t} = \frac12 r^2\dot\theta = \frac{L_O}{2m} = \frac{C}{2} .

Bewijs. $\vect{OM}\wedge\vect F = \vect 0$ voor $\vect F \parallel \vect{OM}$ : $\vect L_O$ is constant. Steeds geldt $\vect{OM}\perp\vect L_O$ , vandaar het vlak; $L_O = mr^2\dot\theta$ is constant. Het oppervlak bestreken tijdens $\dd t$ is de driehoek met zijden $\vect{OM}$ en $\vect v\dd t$ : $\dd A = \tfrac12\abs{\vect{OM} \wedge\vect v}\dd t = \tfrac12 r^2\dot\theta\,\dd t$ . ∎

De perkenwet bij een centrale kracht: in gelijke tijden bestrijkt de voerstraal vanuit het centrum O gelijke oppervlakken, zodat de puntmassa snel beweegt dicht bij O en traag ver weg — de tweede wet van Kepler, een gevolg van het behoud van L_O alleen, wat de krachtwet ook is. — De perkenwet bij een centrale kracht: in gelijke tijden bestrijkt de voerstraal vanuit het centrum $O$ gelijke oppervlakken, zodat de puntmassa snel beweegt dicht bij $O$ en traag ver weg — de tweede wet van Kepler, een gevolg van het behoud van $\vect L_O$ alleen, wat de krachtwet ook is.

Voorbeeld 15.6 (De slinger met momenten)

Wiskundige slinger, as $\Delta$ door het draaipunt loodrecht op het zwaaivlak: $L_\Delta = m\ell^2\dot\theta$ ; de spankracht snijdt de as (geen moment), het moment van het gewicht is $-mg\ell\sin\theta$ (arm $\ell\sin\theta$ , terugdrijvend). De stelling geeft $m\ell^2\ddot\theta = -mg\ell\sin\theta$ , de vergelijking van Voorbeeld 12.12 zonder ooit de spankracht op te schrijven — het grote voordeel van momenten: krachten door de as verdwijnen.

Voorbeeld 15.7 (Een puck naar binnen trekken)

Een puck glijdt wrijvingsloos over ijs in een cirkel, gehouden door een koord door een gaatje in het midden; aan het koord wordt getrokken tot de straal halveert. De spankracht is centraal: $L = mr^2\omega$ blijft behouden, dus wordt $\omega$ met $4$ vermenigvuldigd, de snelheid $r\omega$ met $2$ en de kinetische energie met $4$ — de extra energie is de arbeid van het trekken, waar de puck de hele weg naar binnen tegen in werkt. De armen van de schaatsster zijn dezelfde natuurkunde met de massa verdeeld (Oefening 15.4).

15.3 Systemen van punten en rotatie om een vaste as

Stelling 15.8 (Impulsmoment van een systeem)

Voor een systeem van puntmassa’s geldt, met $\vect L_O = \sum_i\vect{OM_i}\wedge m_i\vect v_i$ en $O$ vast in een inertiaalstelsel,

\frac{\dd\vect L_O}{\dd t} = \sum\vect{\mathcal M}_O(\vect F_{\mathrm{ext}}):

alleen de momenten van de uitwendige krachten tellen mee; de inwendige krachten, die de wet van actie en reactie langs de verbindingslijn van de puntmassa’s volgen, dragen niets bij.

Bewijs. Tel de stellingen voor de puntmassa’s op. Voor een inwendig paar is $\vect{OM_i}\wedge\vect F_{j\to i} + \vect{OM_j}\wedge\vect F_{i\to j} = (\vect{OM_i} - \vect{OM_j})\wedge\vect F_{j\to i} = \vect{M_jM_i}\wedge\vect F_{j\to i} = \vect 0$ , want de kracht ligt langs $\vect{M_jM_i}$ . ∎

Propositie 15.9 (Starre rotatie om een vaste as)

Houden de puntmassa’s vaste afstanden $r_i$ tot een as $\Delta$ en draaien zij er allemaal met dezelfde hoeksnelheid $\omega$ omheen (een starre rotatie), dan is

L_\Delta = J_\Delta\,\omega, \qquad J_\Delta = \sum_i m_ir_i^2, \qquad E_k = \tfrac12 J_\Delta\omega^2,

waarin $J_\Delta$ het traagheidsmoment om $\Delta$ is, en luidt de stelling $J_\Delta\dot\omega = \sum\mathcal M_\Delta(\vect F_{\mathrm{ext}})$ .

Bewijs. Elke puntmassa draagt $m_ir_i^2\omega$ bij aan $L_\Delta$ en $\tfrac12 m_i(r_i\omega)^2$ aan $E_k$ . Hoofdstuk 19 breidt dit uit tot continue vaste lichamen. ∎

Voorbeeld 15.10 (De schaatsster)

Met de armen uit heeft het lichaam van een schaatsster $J \approx 4\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ plus twee armen van $3\,\mathrm{kg}$ op $0.8\,\mathrm{m}$ : $J_1 = 4 + 2 \times 3 \times 0.64 = 7.8\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ . Armen in ( $0.2\,\mathrm{m}$ ): $J_2 = 4.2\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ . De reactie van het ijs en het gewicht hebben geen moment om de verticale as: $J\omega$ blijft behouden en het toerental stijgt met $J_1/J_2 = 1.85$ — van $2$ naar $3.7$ omwentelingen per seconde — terwijl de kinetische energie met dezelfde factor stijgt, betaald door de spieren die de armen naar binnen trekken.

Puntmassa’s die star om een as draaien: elke draait op haar eigen cirkel met de gemeenschappelijke

\omega

en draagt

m_ir_i^2\omega

bij aan het impulsmoment om de as. Massa ver van de as telt mee met het kwadraat van haar afstand — de gestrekte armen van de schaatsster.

Opmerking 15.11 (Statica)

Een vast lichaam in rust heeft $\vect L_O = \vect 0$ constant: de uitwendige krachten moeten resultante nul en totaal moment nul om elk punt hebben. De tweede voorwaarde is de hefboomwet van de balans, de wip en de koevoet: een kleine kracht ver van het draaipunt houdt een grote kracht dichtbij in evenwicht.

15.4 Oefeningen

Oefening 15.1 ★

Een kracht van $50\,\mathrm{N}$ op een sleutel $0.30\,\mathrm{m}$ van de moer: moment wanneer de kracht loodrecht op de steel staat; onder $60^\circ$ ermee; en erlangs.

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.1.

$Fd = 50 \times 0.30 = 15\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ ; $Fd\sin 60^\circ = 13\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ ; langs de steel gaat de werklijn door de moer: $0$ .

Oefening 15.2 ★

Impulsmoment van de aarde om de zon (cirkelvormige baan, $r = 1.50 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ , $v = 29.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $m = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ ), en haar perksnelheid.

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.2.

$L = mrv = 5.97\times10^{24} \times 1.50\times10^{11} \times 2.98\times10^4 = 2.7 \times 10^{40}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; $\dd A/\dd t = L/2m = rv/2 = 2.2 \times 10^{15}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ .

Oefening 15.3 ★

Een kegelslinger (koord $1.0\,\mathrm{m}$ , $30^\circ$ met de verticaal, Oefening 12.9). Bereken $L$ om de verticale as door het draaipunt per eenheid massa, en leg uit waarom het behouden blijft hoewel de spankracht van het koord en het gewicht werken.

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.3.

$r = \ell\sin 30^\circ = 0.50\,\mathrm{m}$ , $\omega = 3.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : $L_z/m = r^2\omega = 0.84\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . De werklijn van de spankracht gaat door het draaipunt (moment nul om elke as erdoorheen); het gewicht is evenwijdig aan de verticale as (moment nul daarom): $L_z$ blijft behouden.

Oefening 15.4 ★

De romp van een schaatsster heeft $J = 4.0\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ om de tolas; elke arm ( $3.0\,\mathrm{kg}$ ) wordt behandeld als een punt op $0.80\,\mathrm{m}$ , en daarna op $0.20\,\mathrm{m}$ . Toerental na het intrekken van de armen, uitgaand van $2.0\,$ omwentelingen per seconde; verhouding van de kinetische energieën; waar komt de extra energie vandaan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.4.

$J_1 = 4.0 + 2 \times 3.0 \times 0.64 = 7.8\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ , $J_2 = 4.0 + 2 \times 3.0 \times 0.04 = 4.2\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ; $\omega_2 = \omega_1J_1/J_2 = 1.85\omega_1$ : $3.7\,$ omwentelingen per seconde. Met $E_k = L^2/2J$ is de verhouding $J_1/J_2 = 1.85$ ; de spieren, die de armen naar binnen trekken tegen de middelpuntvliedende neiging in, verrichten de arbeid.

Oefening 15.5 ★★

Leid de slingervergelijking $\ell\ddot\theta + g\sin\theta = 0$ af uit de impulsmomentstelling om de as door het draaipunt, en geef het moment van elke kracht.

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.5.

$L_\Delta = m\ell^2\dot\theta$ ; spankracht: moment nul (snijdt de as); gewicht: $-mg\ell\sin\theta$ (arm $\ell\sin\theta$ , terugdrijvend). $m\ell^2\ddot\theta = -mg\ell\sin\theta$ .

Oefening 15.6 ★★

De afstand van de aarde tot de zon varieert van $1.471 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ (perihelium) tot $1.521 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ (aphelium). Bepaal met de perkenwet de verhouding van haar snelheden in die punten; geef beide snelheden bij een gemiddelde snelheid van $29.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.6.

$r_pv_p = r_av_a$ : $v_p/v_a = r_a/r_p = 1.034$ ; met $(v_p + v_a)/2 \approx 29.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : $v_p = 30.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $v_a = 29.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

Oefening 15.7 ★★

Een puck van $0.20\,\mathrm{kg}$ cirkelt met $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ aan een koord van $0.50\,\mathrm{m}$ door een gaatje; het koord wordt aangetrokken tot de straal $0.25\,\mathrm{m}$ is. Nieuwe snelheid en hoeksnelheid; kinetische energieën vóór en na; verrichte arbeid door het trekken. Waarom kan de spankracht hier arbeid verrichten?

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.7.

$L = mrv$ blijft behouden: $v_2 = v_1r_1/r_2 = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\omega_2 = v_2/r_2 = 16\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ (vanaf $4\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ). $E_1 = 0.40\,\mathrm{J}$ , $E_2 = 1.6\,\mathrm{J}$ : het trekken levert $1.2\,\mathrm{J}$ . De spankracht is radiaal, maar de verplaatsing van de puck heeft nu een radiale component (zij spiraalt naar binnen): de arbeid $\vect T\cdot\dd\vect\ell$ is niet langer nul.

Oefening 15.8 ★★

Een homogene plank van $20\,\mathrm{kg}$ en $4.0\,\mathrm{m}$ lang rust op een draaipunt $1.5\,\mathrm{m}$ van haar linkeruiteinde; een kind van $30\,\mathrm{kg}$ zit op het linkeruiteinde. Waar moet een kind van $45\,\mathrm{kg}$ zitten voor evenwicht? Wat draagt het draaipunt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.8.

Momenten om het draaipunt (lengtes vanaf het draaipunt): kind $30 \times 1.5 = 45$ (links); het gewicht van de plank in haar midden, $0.5$ naar rechts: $20 \times 0.5 = 10$ (rechts); tweede kind op $x$ naar rechts: $45x$ . Evenwicht: $45 = 10 + 45x$ , $x = 0.78\,\mathrm{m}$ . Het draaipunt draagt het totale gewicht, $95 \times 9.81 = 932\,\mathrm{N}$ .

Oefening 15.9 ★★

Een machine van Atwood ( $m_1 = 2.0\,\mathrm{kg}$ , $m_2 = 1.0\,\mathrm{kg}$ ) hangt over een katrol met straal $0.10\,\mathrm{m}$ en traagheidsmoment $0.010\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ waarop het koord niet slipt. Bepaal met de impulsmomentstelling voor de katrol en de wet van Newton voor de massa’s de versnelling en de twee spankrachten. Vergelijk met de massaloze katrol.

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.9.

Massa’s: $m_1a = m_1g - T_1$ , $m_2a = T_2 - m_2g$ ; katrol: $J\dot\omega = (T_1 - T_2)R$ met $a = R\dot\omega$ . Optellen: $a = (m_1 - m_2)g/(m_1 + m_2 + J/R^2) = 9.81/(3.0 + 1.0) = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (tegen $3.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ); $T_1 = m_1(g - a) = 14.7\,\mathrm{N}$ , $T_2 = m_2(g + a) = 12.3\,\mathrm{N}$ — ongelijk, want de katrol heeft een netto moment nodig.

Oefening 15.10 ★★★

Een komeet passeert haar perihelium op $0.50\,\mathrm{AU}$ van de zon met $40\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Wat is, wanneer zij $10\,\mathrm{AU}$ ver is, de component van haar snelheid loodrecht op de voerstraal? Kan de perkenwet haar volledige snelheid geven?

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.10.

$r_1v_1 = r_2v_{\perp 2}$ : $v_{\perp 2} = 40 \times 0.5/10 = 2.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . De perkenwet geeft alleen de loodrechte component; voor de radiale is het behoud van energie nodig (Hoofdstuk 16).

Oefening 15.11 ★★★

Een ster als de zon ( $R = 7.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ , omwentelingstijd $25\,\mathrm{d}$ ) stort in tot een neutronenster met straal $10\,\mathrm{km}$ en behoudt haar massa en impulsmoment ( $J \propto MR^2$ ). Nieuwe periode? Snelheid aan de evenaar? Wat zegt dat laatste over de aanname?

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.11.

$J\omega$ constant met $J \propto R^2$ : $T' = T(R'/R)^2 = 25 \times 86400 \times (10^4/7\times10^8)^2 = 4.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$ . Snelheid aan de evenaar $2\pi R'/T' = 1.4 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , de helft van de lichtsnelheid: de ineenstorting kan niet al het impulsmoment behouden — veel gaat verloren (en de relativiteit komt erbij).

Oefening 15.12 ★★★

Een kraal glijdt zonder wrijving langs een rechte staaf die in een horizontaal vlak met constante $\omega$ om een verticale as door één uiteinde draait. Schrijf $L_z$ van de kraal op; toon aan dat het niet behouden blijft en bereken het moment dat de staaf moet uitoefenen; leid daaruit de dwarse reactie van de staaf op de kraal af.

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.12.

$L_z = mr^2\omega$ , en $r$ verandert: $\dd L_z/\dd t = 2mr\dot r\omega \neq 0$ . Dat moet het moment van de dwarse reactie $N$ van de staaf zijn: $rN = 2mr\dot r\omega$ , dus $N = 2m\dot r\omega$ — de staaf duwt de kraal zijwaarts terwijl zij naar buiten glijdt (de coriolisterm van Hoofdstuk 18).

15.5 Probleem: Waarom de maan wegdrijft

Probleem 15.1

Weekendopgave — de getijden die de maan op de aarde opwekt trekken haar vooruit en de aarde terug: hoe impulsmoment uit onze dagen naar de baan van de maan stroomt, centimeter voor centimeter, en waar de energie blijft

Gegevens: $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{SI}$ ; aarde $M = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ , $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , draaiing $\Omega = 2\pi/(86\,164\,\mathrm{s})$ , traagheidsmoment $J = 0.33\,MR^2$ ; maan $m = 7.35 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$ , baan als cirkelvormig behandeld, $r = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ; laserafstandsmeting naar de maan geeft $\dd r/\dd t = 3.8\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ ; de dag wordt $2.3\,\mathrm{ms}$ per eeuw langer; $1$ eeuw $= 3.16 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$ .

Deel I — De impulsmomenten.

Bereken de hoeksnelheid $\omega$ van de maan in haar baan uit de wet van Newton (cirkelvormige baan), en controleer haar aan de siderische maand van $27.3\,\mathrm{d}$ .
Bereken het baanimpulsmoment van de maan $L_{\text{baan}} = mr^2\omega$ .
Toon aan dat voor een cirkelvormige baan $L_{\text{baan}} = m\sqrt{GMr}$ geldt, en leid $\dd L_{\text{baan}}/\dd r = L_{\text{baan}}/2r$ af.
Bereken het draaiimpulsmoment van de aarde $L_{\text{spin}} = J\Omega$ en vergelijk het met $L_{\text{baan}}$ .
De maan draait één keer per maand om haar as: schat haar draaiimpulsmoment ( $J_m \approx 0.4\,mR_m^2$ , $R_m = 1.74 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ) en verantwoord dat het verwaarloosd wordt.
Welke uitwendige momenten werken er op het stelsel aarde–maan om zijn massamiddelpunt? Beargumenteer dat het totaal $L = L_{\text{spin}} + L_{\text{baan}}$ bij goede benadering behouden blijft.

Deel II — Het getijdenkoppel. De maan wekt op de aarde twee vloedbergen op; omdat de aarde sneller draait dan de maan haar baan doorloopt, sleept de wrijving de vloedbergen over een kleine hoek vooruit ten opzichte van de lijn aarde–maan.

Schets de aarde, de voorste vloedberg en de maan. In welke richting werkt de aantrekking van de maan op de nabije vloedberg, ten opzichte van de draaiing van de aarde?
Leid het teken af van het moment op de draaiing van de aarde: wordt de dag langer of korter?
Welk moment werkt door actie en reactie op de baanbeweging van de maan? Groeit of krimpt $L_{\text{baan}}$ ?
Groeit of krimpt $r$ volgens vraag 3? En de baansnelheid $v = \sqrt{GM/r}$ van de maan?
Los de schijnbare tegenspraak op: de maan wordt vooruit geduwd en beweegt toch trager.
Naar welke eindtoestand streeft deze uitwisseling?

Deel III — De getallen.

Bereken uit het langer worden van de dag de relatieve verandering $\Delta\Omega/\Omega$ per eeuw.
Leid de verandering van $L_{\text{spin}}$ per eeuw af.
Leid de verandering van $L_{\text{baan}}$ per eeuw af.
Reken haar met vraag 3 om in een verandering van $r$ per eeuw en per jaar. Vergelijk met de waarde uit de laserafstandsmeting.
Met welke fractie, en met hoeveel seconden, wordt de siderische maand per eeuw langer ( $T \propto r^{3/2}$ )?
Bereken de verandering van de rotatie-energie van de aarde per eeuw ( $\Delta E = L_{\text{spin}}\Delta\Omega$ tot op eerste orde).
Bereken de verandering van de mechanische baanenergie van de maan, $E_{\text{baan}} = -GMm/2r$ , per eeuw.

Deel IV — De energie.

Toon aan dat de aarde meer energie verliest dan de maan wint, en bereken het verschil per eeuw en het bijbehorende vermogen. Waar blijft het?
Vergelijk dat vermogen met het verbruik van de mensheid, ongeveer $18\,\mathrm{TW}$ , en met de inwendige warmtestroom van de aarde, ongeveer $47\,\mathrm{TW}$ .
In de eindtoestand van vraag 12 zijn dag en maand gelijk: $\Omega = \omega = \sqrt{GM/r^3}$ . Ga met het behoud van $L_{\text{spin}} + L_{\text{baan}}$ na dat $r \approx 5.5 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ daaraan voldoet, en geef de gemeenschappelijke periode in dagen.
Waarom zal die toestand in werkelijkheid nooit worden bereikt? (Denk aan de getijden van de zon.)
De maan keert de aarde al één zijde toe. Verklaar dat met hetzelfde mechanisme, en zeg waarom het de maan als eerste overkwam.
Vat in drie regels samen: wat behouden blijft, wat wordt uitgewisseld, wat wordt gedissipeerd.

Oplossing

Oplossing van Probleem 15.1.

1. $m\omega^2r = GMm/r^2$ : $\omega = \sqrt{GM/r^3} = \sqrt{3.98\times 10^{14}/5.66\times10^{25}} = 2.65 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , periode $2\pi/\omega = 2.37 \times 10^{6}\,\mathrm{s} = 27.4\,\mathrm{d}$ .

2. $L_{\text{baan}} = 7.35\times10^{22} \times 1.475\times10^{17} \times 2.65\times10^{-6} = 2.9 \times 10^{34}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ .

3. $v = \sqrt{GM/r}$ , $L = mrv = m\sqrt{GMr}$ ; $\dd L/\dd r = \tfrac12 m\sqrt{GM/r} = L/2r$ .

4. $J = 0.33 \times 5.97\times10^{24} \times 4.06\times10^{13} = 8.0 \times 10^{37}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ; $\Omega = 7.29 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ; $L_{\text{spin}} = 5.8 \times 10^{33}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , een vijfde van $L_{\text{baan}}$ .

5. $J_m \approx 0.4 \times 7.35\times10^{22} \times 3.0\times10^{12} = 8.9 \times 10^{34}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ , maal $\omega$ : $2.4 \times 10^{29}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , $10^{-5}$ van dat van de baan: verwaarloosbaar.

6. De aantrekking van de zon grijpt aan in het massamiddelpunt van het stelsel (in eerste orde geen moment daarom); haar getijdeneffect op het paar is klein: het totale $L$ blijft behouden met de hier vereiste nauwkeurigheid.

7. De nabije vloedberg, die vóór de lijn aarde–maan uitloopt, wordt door de maan aangetrokken met een kracht waarvan de tangentiële component de draaiing van de aarde tegenwerkt.

8. Een negatief moment op de draaiing: de aarde vertraagt, de dag wordt langer.

9. De vloedberg trekt de maan vooruit: een positief moment op de baan, $L_{\text{baan}}$ groeit.

10. $L_{\text{baan}} \propto \sqrt r$ groeit, dus groeit $r$ ; $v \propto 1/\sqrt r$ neemt af.

11. Het vooruit trekken verricht positieve arbeid en verhoogt de energie van de maan; een hogere baan is een tragere baan: de energie gaat naar hoogte (potentieel), meer dan de kinetische energie die verloren gaat.

12. Getijdenkoppeling van de aarde: dag gelijk aan maand, geen voorlopende vloedberg, geen koppel.

13. $\Delta\Omega/\Omega = -2.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}/86\,164\,\mathrm{s} = -2.7 \times 10^{-8}$ per eeuw.

14. $\Delta L_{\text{spin}} = L_{\text{spin}}\Delta\Omega/\Omega = -1.55 \times 10^{26}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ per eeuw.

15. $\Delta L_{\text{baan}} = +1.55 \times 10^{26}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ per eeuw.

16. $\Delta r = 2r\,\Delta L/L = 2 \times 3.84\times10^8 \times 1.55 \times10^{26}/2.9\times10^{34} = 4.1\,\mathrm{m}$ per eeuw, $4.1\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ : dicht bij de gemeten $3.8\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ (het langer worden van de dag heeft ook een niet-getijdengebonden deel).

17. $\Delta T/T = \tfrac32\Delta r/r = 1.6\times10^{-8}$ : $2.37\times 10^6 \times 1.6\times10^{-8} = 0.04\,\mathrm{s}$ per eeuw.

18. $\Delta E_{\text{rot}} = L_{\text{spin}}\Delta\Omega = 5.8\times10^{33} \times 7.29\times10^{-5} \times (-2.7\times10^{-8}) = -1.1 \times 10^{22}\,\mathrm{J}$ per eeuw.

19. $\Delta E_{\text{baan}} = GMm\Delta r/2r^2 = 2.93\times10^{37} \times 4.1/(2 \times 1.475\times10^{17}) = +4.1 \times 10^{20}\,\mathrm{J}$ per eeuw.

20. Netto $-1.1\times10^{22} + 4\times10^{20} \approx -1.06 \times 10^{22}\,\mathrm{J}$ per eeuw: $3.4\times10^{12}\ \mathrm{W}$ , als warmte gedissipeerd door getijdenwrijving in de oceanen en in de vaste aarde.

21. Een vijfde van het vermogen van de mensheid, een veertiende van de geothermische stroom — een kleine maar blijvende kachel.

22. $L_{\text{tot}} = 3.5\times10^{34}$ . Bij $r = 5.5\times10^8$ : $\omega = \sqrt{GM/r^3} = 1.55 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $J\omega = 1.2\times10^{32}$ , $m\sqrt{GMr} = 7.35\times10^{22} \times 4.68\times10^{11} = 3.44\times10^{34}$ ; som $3.45\times10^{34}$ : consistent. Periode $2\pi/\omega = 4.1 \times 10^{6}\,\mathrm{s} = 47\,\mathrm{d}$ .

23. De getijden van de zon blijven de aarde afremmen tot onder het baantempo van de maan, zodat het koppel aarde–maan dan zou omkeren; bovendien zal de zon allang zijn geëvolueerd (de tijdschaal bedraagt tientallen miljarden jaren).

24. De aarde wekte getijden op de maan op, die haar draaiing afremden tot één zijde naar ons gekeerd bleef; omdat zij lichter is en dicht bij een zwaardere partner staat, ging de koppeling van de maan veel sneller.

25. Behouden: het totale impulsmoment. Uitgewisseld: impulsmoment van de draaiing van de aarde naar de baan van de maan, ongeveer $1.6 \times 10^{26}\,\mathrm{SI}$ per eeuw. Gedissipeerd: mechanische energie, enkele terawatt, als getijdenwarmte.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst