Universitaire natuurkunde — jaar 3 · Bachelor Year 3

12Spin en stelsels met twee niveaus

In 1922 stuurden Stern en Gerlach een bundel zilveratomen door een scheve magneet, in de verwachting van ofwel geen afbuiging ofwel een doorlopende veeg. De bundel splitste keurig in tweeën. Geen enkel baanimpulsmoment kan dat: $2l + 1$ is altijd oneven. De atomen kondigden een nieuw, zuiver kwantummechanisch bezit aan — de spin, een intrinsiek impulsmoment met $j = \tfrac12$ , de halftallige trede die de algebra van Hoofdstuk 10 gereed hield en die banen nooit konden gebruiken. De spin verdubbelt elke elektrontoestand (en voltooit zo de telling achter het periodiek systeem), draagt het magnetisme van ijzer en van het proton, en is het zuiverste stelsel met twee niveaus dat de natuur biedt: de natuurkunde van dit hoofdstuk drijft de MRI-scanner in elk ziekenhuis aan, de cesiumklok die de seconde definieert, het gefluister op eenentwintig centimeter waarmee sterrenstelsels in kaart worden gebracht, en de qubit.

12.1 De proef die haar vond

Voorbeeld 12.1 (Stern–Gerlach)

Een magnetisch moment $\vect\mu$ in een inhomogeen veld voelt de kracht $F_z = \mu_z\,\partial B_z/\partial z$ : de afbuiging meet $\mu_z$ . Klassieke verwachting: willekeurig gerichte momenten, een doorlopende waaier. Kwantumverwachting voor baanmomenten: $2l + 1$ vlekken — één, drie, vijf, altijd oneven. Waargenomen voor zilver (en voor waterstof): twee vlekken, symmetrisch, niets ertussen. De gemeten component neemt precies twee waarden aan — de handtekening van $j = \tfrac12$ , banen verboden, en de rechtstreekse vertoning van de kwantisering: het toestel is een meetinstrument voor één spincomponent, en de bundel splitst in haar twee eigenwaarden.

De proef van Stern en Gerlach: een inhomogeen veld trekt tegengestelde momenten naar tegengestelde kanten en maakt van de magneet een meetinstrument voor één spincomponent. Zilveratomen landen in twee vlekken — een tweewaardige observabele, op heterdaad betrapt.

Definitie 12.2 (Spin een half)

Het elektron (en het proton, het neutron, de quarks) draagt een intrinsiek impulsmoment met $j = \tfrac12$ : een tweedimensionale toestandsruimte opgespannen door $\ket\uparrow, \ket\downarrow$ (eigentoestanden van $\hat S_z$ met $\pm\hbar/2$ ), waarop

\hat{\vect S} = \frac\hbar2\,\hat{\vect\sigma} , \qquad \sigma_x = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} ,\; \sigma_y = \begin{pmatrix}0&-\iu\\\iu&0\end{pmatrix} ,\; \sigma_z = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}

— de paulimatrices, die de algebra van het impulsmoment in haar kleinst mogelijke huis verwezenlijken. Een algemene toestand $\alpha\ket\uparrow + \beta\ket\downarrow$ is een spinor. Het magnetische moment van het elektron is

\hat{\vect\mu} = -g\,\frac{\mu_{\text{B}}}{\hbar}\,\hat{\vect S} , \qquad g \approx 2 :

tweemaal het baantempo per eenheid impulsmoment — de anomalie die Einstein en De Haas hadden gemeten (Oefening 10.12) en die de vergelijking van Dirac later zou voorspellen. Spin is geen rotatie van iets: geen straal en geen “tollende bal” houdt stand bij nadere beschouwing — zij is intrinsiek, net als lading.

Voorbeeld 12.3 (Gekoppelde stern-gerlachfilters)

Selecteer de bundel met $S_z = +\hbar/2$ en meet $S_z$ opnieuw: alle atomen antwoorden $+$ . Meet in plaats daarvan $S_x$ : half om half — de toestand $\ket\uparrow$ is de superpositie $(\ket{+x} + \ket{-x})/\sqrt2$ . Houd nu de bundel met $S_x = +$ en meet nog eens $S_z$ : opnieuw half om half — de meting van $S_x$ wiste de eerder scherpe $S_z$ . Drie magneten volstaan om onverenigbaarheid, ineenstorting en de regel van Born te tonen; deze keten is Voorbeeld 8.7, uitgevoerd met atomen.

12.2 De blochbol

Propositie 12.4 (Spin langs een willekeurige as)

Voor de eenheidsrichting $\vect n = (\sin\theta\cos\varphi, \sin\theta\sin\varphi, \cos\theta)$ heeft de operator $\vect n\cdot\hat{\vect\sigma}$ de eigenwaarden $\pm1$ , met

\ket{+\vect n} = \cos\tfrac\theta2\,\ket\uparrow + \eu^{\iu\varphi}\sin\tfrac\theta2\,\ket\downarrow .

Elke zuivere spinor is $\ket{+\vect n}$ voor precies één richting: de toestandsruimte beeldt af op een bol — de blochbol — met orthogonale toestanden op antipoden (let op de halve hoeken: tegengestelde richtingen, niet loodrechte, zijn orthogonaal). Rotaties van de bol zijn precies de evoluties die een magneetveld voortbrengt: de meetkunde van elke qubitbewerking die ooit is uitgevoerd.

Gedeeltelijk bewijs. Diagonaliseer de $2\times2$ -matrix $\vect n\cdot\vect\sigma = \begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\,\eu^{-\iu\varphi}\\ \sin\theta\,\eu^{\iu\varphi} & -\cos\theta\end{pmatrix}$ : spoor $0$ , determinant $-1$ , eigenwaarden $\pm1$ ; de gegeven spinor is door invullen na te gaan (identiteiten voor halve hoeken). Antipoden: $\theta \to \pi - \theta$ , $\varphi \to \varphi + \pi$ geeft $\braket{+\vect n'}{+\vect n} = 0$ . ∎

De blochbol: elke toestand met spin 1/2 is een punt; de polen zijn ,, de evenaar bevat hun gelijke superposities, en orthogonale toestanden liggen op antipoden. Magneetvelden draaien de bol — het bedieningspaneel van de qubit. — De blochbol: elke toestand met spin $\tfrac12$ is een punt; de polen zijn $\ket\uparrow, \ket\downarrow$ , de evenaar bevat hun gelijke superposities, en orthogonale toestanden liggen op antipoden. Magneetvelden draaien de bol — het bedieningspaneel van de qubit.

12.3 Spin in een veld: precessie en resonantie

Propositie 12.5 (Larmorprecessie)

In een statisch veld $\vect B_0 = B_0\vect e_z$ splitst de hamiltoniaan $\hat H = -\hat{\vect\mu}\cdot\vect B_0$ de twee niveaus met $\hbar\omega_0$ en laat zij de gemiddelde spin om het veld precederen:

\frac{\dd\langle\hat{\vect S}\rangle}{\dd t} = \gamma\,\langle\hat{\vect S}\rangle\wedge\vect B_0 , \qquad \omega_0 = |\gamma|B_0 ,

met de gyromagnetische verhouding $\gamma$ ( $\mu = \gamma S$ ). De blochvector draait om $z$ met $\omega_0$ , terwijl zijn hoek met het veld bevroren blijft — precies het klassieke tolbeeld, hier exact omdat de commutatoren lineair zijn. Voor het elektron: $28\,\mathrm{GHz}/\mathrm{T}$ ; voor het proton (moment $2.79$ kernmagnetons): $\gamma_p/2\pi = 42.6\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$ — de kentekenplaat van elke MRI-machine.

Bewijs. Pas Propositie 8.12 toe met $\hat H = -\gamma B_0\hat S_z$ : de commutatoren geven $\dd\langle\hat S_x\rangle/\dd t = -\gamma B_0\langle\hat S_y\rangle$ , $\dd\langle\hat S_y\rangle/\dd t = +\gamma B_0\langle\hat S_x\rangle$ en $\dd\langle\hat S_z\rangle/\dd t = 0$ , die zich tot het aangegeven uitproduct laten samenvoegen. ∎

Propositie 12.6 (Magnetische resonantie)

Voeg een klein veld $B_1$ toe dat in het dwarsvlak met frequentie $\omega$ ronddraait. In het meedraaiende stelsel is $B_0$ effectief tot $(\omega_0 - \omega)/|\gamma|$ teruggebracht; op resonantie ( $\omega = \omega_0$ ) blijft alleen $B_1$ over, en precedeert de spin erom met de rabifrequentie $\Omega_1 = |\gamma|B_1$ : beginnend vanuit $\ket\uparrow$ is de kans dat zij is omgeklapt

\mathcal P_\downarrow(t) = \sin^2\Big(\frac{\Omega_1t}{2}\Big) .

Een puls met duur $\pi/\Omega_1$ (een “ $\pi$ -puls”) keert de spin om; de helft ervan (een “ $\pi/2$ -puls”) legt haar in het evenaarsvlak, waar zij met $\omega_0$ precedeert en, door inductie volgens Faraday, haar frequentie in elke nabije spoel uitzendt. Buiten resonantie stort de klapamplitude in als $\Omega_1^2/[\Omega_1^2 + (\omega - \omega_0)^2]$ : de reactie is scherp selectief — een resonantie — en dat is wat spins adresseerbaar maakt, soort voor soort en, met een veldgradiënt, plaats voor plaats (Probleem 12.1).

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Links: rabi-oscillaties — op resonantie klapt de spin volledig en periodiek om; ontstemd slechts gedeeltelijk en sneller. Rechts: tussen de pulsen precedeert de gemiddelde spin om B_0 met de larmorfrequentie en straalt zij haar toon de ontvangstspoel in. — Links: rabi-oscillaties — op resonantie klapt de spin volledig en periodiek om; ontstemd slechts gedeeltelijk en sneller. Rechts: tussen de pulsen precedeert de gemiddelde spin om $\vect B_0$ met de larmorfrequentie en straalt zij haar toon de ontvangstspoel in.

Voorbeeld 12.7 (Hyperfijnstructuur en de 21 cm-lijn)

In de grondtoestand van waterstof wisselwerken de spins van het elektron en het proton via hun magnetische momenten: de vier spintoestanden splitsen in een triplet en een singlet die slechts $\Delta E = 5.9\,\text{µ}\mathrm{eV}$ uit elkaar liggen — de hyperfijnsplitsing, $\nu = 1420\,\mathrm{MHz}$ , $\lambda = 21\,\mathrm{cm}$ . De overgang is absurd traag (één omklap per tien miljoen jaar), maar de Melkweg bevat $10^{66}$ waterstofatomen: de 21 cm-lijn is helder genoeg om de spiraalarmen, de kromming van de schijf en — via haar dopplerverschuivingen — de vlakke rotatiekrommen in kaart te hebben gebracht die voor donkere materie pleiten. Dezelfde natuurkunde splitst in de grondtoestand van cesium de niveaus met precies $9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz}$ : sinds 1967 is de definitie van de seconde een uitgetelde hyperfijne spinomklap (Oefening 12.12).

Methode 12.8 (Ambacht met twee niveaus)

(1) Schrijf elke hamiltoniaan met twee niveaus in paulimatrices: $\hat H = \epsilon_0\mathbb 1 + \vect h\cdot\hat{\vect\sigma}$ — dan precedeert de blochvector om $\vect h$ met $2|\vect h|/\hbar$ ; al het overige is meetkunde. (2) Eigentoestanden langs $\vect n$ : gebruik halve hoeken. (3) Resonantievraagstukken: ga naar het meedraaiende stelsel; op resonantie blijft alleen $B_1$ over. (4) Pulsen: $\pi/2$ om een precessiesignaal te starten, $\pi$ om om te keren (en om te herfocusseren — de spin-echo). (5) Energieschalen: $\mu_{\text{B}}B$ voor elektronen ( $58\,\text{µ}\mathrm{eV}/\mathrm{T}$ ), drie ordes minder voor kernen — radiofrequenties, spectroscopie zonder kelvins.

Een MRI-scanner: een supergeleidend veld lijnt de protonspins van het lichaam uit, radiopulsen kantelen ze, en hun larmorprecessie wordt spoel voor spoel teruggelezen — de natuurkunde met twee niveaus van dit hoofdstuk, die een knie in beeld brengt.

12.4 Opgaven

Oefening 12.1 ★

(a) Ga $\sigma_x^2 = \sigma_y^2 = \sigma_z^2 = \mathbb 1$ en $\sigma_x\sigma_y = \iu\sigma_z$ na. (b) Leid $[\hat S_x, \hat S_y] = \iu\hbar\hat S_z$ af: de algebra van het impulsmoment in dimensie twee. (c) Toon aan dat $\hat S^2 = \tfrac34\hbar^2\,\mathbb 1$ en ga $j(j+1)$ na voor $j = \tfrac12$ . (d) Toon aan dat elke hermitische $2\times2$ -matrix een reële combinatie van $\mathbb 1$ en de drie $\sigma_i$ is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.1.

(a) Rechtstreeks vermenigvuldigen. (b) $[\hat S_x, \hat S_y] = (\hbar/2)^2\,2\iu\sigma_z = \iu\hbar\hat S_z$ . (c) $\hat S^2 = (\hbar/2)^2 \times 3\,\mathbb 1 = \tfrac34\hbar^2$ : inderdaad $\tfrac12\cdot\tfrac32\hbar^2$ . (d) $\{\mathbb 1, \sigma_x, \sigma_y, \sigma_z\}$ spannen de vier reële dimensies van de hermitische $2\times2$ -matrices op ( $a + \vect b\cdot\vect\sigma$ met reële $a, \vect b$ ).

Oefening 12.2 ★

(a) Bepaal de genormeerde eigentoestanden van $\sigma_x$ en $\sigma_y$ . (b) Een spin bereid in $\ket{+x}$ wordt langs $z$ gemeten: welke kansen op de uitkomsten? (c) En langs $y$ ? (d) Toets beide aan het blochbeeld (welke hoeken $\theta, \varphi$ ?).

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.2.

(a) $\ket{\pm x} = (\ket\uparrow \pm \ket\downarrow)/\sqrt2$ ; $\ket{\pm y} = (\ket\uparrow \pm \iu\ket\downarrow)/\sqrt2$ . (b) Half om half. (c) Opnieuw half om half: $|\braket{\pm y}{+x}|^2 = |1 \mp \iu|^2/4 = \tfrac12$ . (d) $\ket{+x}$ : op de evenaar bij $\varphi = 0$ ; meten langs $z$ of $y$ projecteert op polen die $90^\circ$ verderop liggen — altijd $\cos^2(45^\circ) = \tfrac12$ .

Oefening 12.3 ★

Drie gekoppelde stern-gerlachmagneten, met assen $z$ , dan $\vect n$ onder een hoek $\theta$ in het $xz$ -vlak, en dan weer $z$ ; telkens wordt de bundel $+$ behouden. (a) De kans om de tweede magneet te overleven. (b) De kans om alle drie te overleven. (c) Reken dit uit bij $\theta = 90^\circ$ en vergelijk met Voorbeeld 12.3. (d) Voor welke $\theta$ is de overleving door drie magneten maximaal, en wat weerklinkt het antwoord uit Oefening 8.5?

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.3.

(a) $\cos^2(\theta/2)$ . (b) $\cos^2(\theta/2) \times \cos^2(\theta/2) = \cos^4(\theta/2)$ . (c) $\theta = 90^\circ$ : $(\tfrac12)^2 = \tfrac14$ , het getal van de polarisatorketen. (d) Triviaal $\theta = 0$ ; de echte les is dat zachte tussenmetingen het minst kosten — de limiet van kleine stappen uit Oefening 8.5, waar vele kleine rotaties de toestand met verwaarloosbaar verlies doorlaten.

Oefening 12.4 ★

Bereken de niveausplitsing $2|\mu|B$ en de resonantiefrequentie in een veld van $1\,\mathrm{T}$ voor (a) het elektron ( $g = 2$ ); (b) het proton ( $\mu_p = 2.79\,\mu_{\text{N}}$ , $\mu_{\text{N}} = e\hbar/2m_{\text{p}}$ ); (c) vergelijk beide met $k_{\text{B}}T$ bij $300\,\mathrm{K}$ : hoe gepolariseerd zijn elektron- en kernspins bij kamertemperatuur? (d) Welke banden van het spectrum bewonen ESR en NMR daardoor?

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.4.

(a) $2\mu_{\text{B}}B = 116\,\text{µ}\mathrm{eV}$ : $\nu = 28\,\mathrm{GHz}$ . (b) $2 \times 2.79\,\mu_{\text{N}}B = 0.18\,\text{µ}\mathrm{eV}$ : $\nu = 42.6\,\mathrm{MHz}$ . (c) Tegen $k_{\text{B}}T = 25.9\,\mathrm{meV}$ : elektronpolarisatie $\sim2 \times 10^{-3}$ , protonpolarisatie $\sim3 \times 10^{-6}$ — thermische spinensembles zijn vrijwel volmaakt door elkaar geschud. (d) ESR: microgolven; NMR: radio — drie ordes van grootte uiteen, één natuurkunde.

Oefening 12.5 ★★

Leid de larmorprecessie af: bereken met $\hat H = -\gamma B_0\hat S_z$ (a) $\dd\langle\hat S_x\rangle/\dd t$ , $\dd\langle\hat S_y\rangle/\dd t$ en $\dd\langle\hat S_z\rangle/\dd t$ uit de commutatoren; (b) los $\langle\hat{\vect S}\rangle(t)$ op met de beginspin langs $x$ ; (c) toon aan dat $\|\langle\hat{\vect S}\rangle\|$ en de hoek met $\vect B_0$ constanten zijn; (d) waarom beschrijven het beeld van de energie-eigentoestanden (twee stationaire niveaus) en het precessiebeeld (een draaiende vector) dezelfde natuurkunde — welke toestand precedeert er?

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.5.

(a) $\dd\langle\hat S_x\rangle/\dd t = -\gamma B_0\langle\hat S_y\rangle$ , $\dd\langle\hat S_y\rangle/\dd t = \gamma B_0\langle\hat S_x\rangle$ , $\dd\langle\hat S_z\rangle/\dd t = 0$ . (b) $\langle\hat S_x\rangle = \tfrac\hbar2\cos\omega_0t$ , $\langle\hat S_y\rangle = \tfrac\hbar2\sin\omega_0t$ (het teken volgt dat van $\gamma$ ). (c) Beide blijken meteen uit (b). (d) De toestand is een superpositie van de twee energie-eigentoestanden; haar relatieve fase loopt met $\omega_0$ op, en die draaiende fase is de precessie — stationaire niveaus en draaiende vector zijn de twee lezingen van één evolutie met twee niveaus.

Oefening 12.6 ★★

(a) Ga na dat $\ket{+\vect n}$ uit Propositie 12.4 de beweerde eigenvector is. (b) Toon aan dat antipodale toestanden orthogonaal zijn. (c) Waar op de bol liggen de eigentoestanden van $\sigma_x$ en $\sigma_y$ ? (d) Een qubitpoort “NIET” beeldt $\ket\uparrow \leftrightarrow \ket\downarrow$ af: welke rotatie van de bol is dat, en welke puls uit Propositie 12.6 voert haar uit?

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.6.

(a) Invullen en de identiteiten voor halve hoeken gebruiken. (b) $\cos\tfrac\theta2\cos\tfrac{\pi-\theta}2 + \eu^{\iu\pi}\sin\tfrac\theta2\sin\tfrac{\pi-\theta}2 = \cos\tfrac\theta2\sin\tfrac\theta2 - \sin\tfrac\theta2\cos\tfrac\theta2 = 0$ . (c) Op de evenaar, bij $\varphi = 0, \pi$ ( $\sigma_x$ ) en $\varphi = \pm\pi/2$ ( $\sigma_y$ ). (d) Een rotatie over $180^\circ$ om een willekeurige evenaarsas — de $\pi$ -puls van de magnetische resonantie is de NIET-poort van de qubit.

Oefening 12.7 ★★

Het meedraaiende stelsel, eerlijk. Met $\hat H(t) = -\gamma(B_0\hat S_z + B_1[\hat S_x\cos\omega t - \hat S_y\sin\omega t])$ : (a) leg uit waarom overgaan op het stelsel dat met $\omega$ om $z$ draait $B_0$ door $B_0 - \omega/\gamma$ vervangt en $B_1$ bevriest; (b) beschrijf op resonantie de beweging van de blochvector in het meedraaiende stelsel; (c) leid de duur van een $\pi$ -puls af voor een proton met $B_1 = 10\,\text{µ}\mathrm{T}$ ; (d) schets wat een waarnemer in het laboratoriumstelsel tijdens die puls ziet (twee geneste rotaties).

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.7.

(a) In het meedraaiende stelsel staat de aandrijving stil, terwijl de rotatie van het stelsel $\omega/\gamma$ van het effectieve statische veld aftrekt (dezelfde boekhouding als een schijnkracht in een draaiend stelsel). (b) Alleen $B_1$ overleeft: de blochvector precedeert om de (vaste) dwarse as van $B_1$ met $\Omega_1 = |\gamma|B_1$ — gestaag omklappen. (c) $t_\pi = \pi/\gamma B_1 = 1/(2 \times 42.58\,\text{ MHz/T} \times 10\,\text{µ}\mathrm{T}) = 1.2\,\mathrm{ms}$ . (d) Een snelle spiraal die de kegel toeknijpt: precessie met $128\,\mathrm{MHz}$ om $z$ , langzaam omlaag nutatend met $426\,\mathrm{Hz}$ — een kurkentrekker van duizend windingen, van pool tot pool.

Oefening 12.8 ★★

De 21 cm-lijn. (a) Ga na dat $\Delta E = 5.9\,\text{µ}\mathrm{eV}$ een $\nu = 1420\,\mathrm{MHz}$ en $\lambda = 21.1\,\mathrm{cm}$ geeft. (b) De aangeslagen toestand leeft $10^{7}\,\mathrm{yr}$ : welke lijnbreedte is dat, en waarom zijn de waargenomen breedten ( $\sim$ kHz en meer) zuiver dopplers? (c) De rand van de schijf van een sterrenstelsel wijkt met $220\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ terug ten opzichte van haar centrum: bereken de frequentiespanne van haar 21 cm-profiel. (d) Waarom spoort de 21 cm-lijn neutraal atomair gas op, waar CO (Probleem 10.1) moleculair gas opspoort — en waarom hebben astronomen beide nodig?

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.8.

(a) $\nu = \Delta E/h = 5.9 \times 10^{-6}/4.14 \times 10^{-15} = 1.42 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz}$ ; $\lambda = c/\nu = 21.1\,\mathrm{cm}$ . (b) $\Delta \nu \sim 1/2\pi\tau \sim 10^{-15}\,\mathrm{Hz}$ : volstrekt verwaarloosbaar — elke waargenomen breedte is beweging. (c) $\Delta\nu = \nu\,(2v/c) = 1420\,\text{MHz} \times 1.5 \times 10^{-3} \approx 2\,\mathrm{MHz}$ : het dubbelgehoornde profiel van een draaiende schijf. (d) De 21 cm-lijn spreekt overal waar waterstof atomair is (warm, ijl); CO spreekt waar waterstof zich tot onzichtbare H $_2$ heeft gepaard (koud, dicht): samen inventariseren zij het hele interstellaire medium van een sterrenstelsel.

Oefening 12.9 ★★

De stikstof van het ammoniakmolecuul tunnelt door het vlak van de H $_3$ : de twee “paraplu”configuraties mengen tot symmetrische en antisymmetrische toestanden die met $\Delta E = 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ zijn gesplitst (het inversiedoublet van het volume van jaar 2). (a) Rechtvaardig het behandelen van ammoniak als stelsel met twee niveaus. (b) De overgangsfrequentie en de golflengte. (c) In de maser (1954) versterken op toestand geselecteerde moleculen die een resonante holte doorkruisen die microgolf: aan welke bezettingsvoorwaarde moet de binnenkomende bundel voldoen, en hoe verschilt die van de thermische? (d) Wat toonde de ammoniakmaser drie jaar vóór de optische laser van het volume van jaar 2 aan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.9.

(a) Twee configuraties, door tunneling gekoppeld: bij lage energie is de ruimte tweedimensionaal — ammoniak is een spin $\tfrac12$ in vermomming. (b) $\nu = \Delta E/h = 24\,\mathrm{GHz}$ , $\lambda = 1.25\,\mathrm{cm}$ . (c) De bundel moet aankomen met de bovenste toestand overbezet (geselecteerd door elektrostatische afbuiging) — bezettingsinversie, thermisch onbereikbaar, want Boltzmann bevoordeelt altijd het lagere niveau. (d) Gestimuleerde versterking door bezettingsinversie — het werkingsbeginsel van de laser, eerst op microgolffrequenties aangetoond.

Oefening 12.10 ★★★

Spin-baankoppeling, geschat. In het ruststelsel van het elektron draait de kern eromheen: het elektron zit in een magneetveld $B_{\text {int}}$ . (a) Neem uit Oefening 11.10(d) de waarde $B_{\text{int}} \sim 10\,\mathrm{T}$ voor waterstof bij $n = 2$ en schat de niveauverschuiving $\mu_{\text{B}}B_{\text{int}}$ : vergelijk met de schaal van de fijnstructuur uit Oefening 11.11. (b) De D-lijn van natrium is met $0.6\,\mathrm{nm}$ gesplitst bij $589\,\mathrm{nm}$ : zet dat om in meV en in een inwendig veld. (c) Waarom groeit de splitsing steil met $Z$ (het inwendige veld schaalt ruwweg als $Z^4$ gedeeld door $n^3$ )? (d) De toestanden worden geëtiketteerd met de totale $j = l \pm \tfrac12$ : tel de toestanden van een $p$ -niveau en ga na dat er geen zoekraakte.

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.10.

(a) $\mu_{\text{B}} \times 10\,\mathrm{T} = 0.58\,\mathrm{meV}$ — de schaal $\alpha^2E_{\text{I}} \approx 0.7\,\mathrm{meV}$ uit Oefening 11.11: de fijnstructuur is de spin die het bewegingsveld ontmoet. (b) $\Delta E = hc\,\Delta\lambda/ \lambda^2 = 2.1\,\mathrm{meV}$ : een inwendig veld $\Delta E/2\mu_{ \text{B}} \approx 18\,\mathrm{T}$ . (c) Het inwendige veld groeit als $Z^4$ (de kernlading tot de derde in het veld, en nog eens in de baanstraal): zware atomen hebben een fijnstructuur die met een zakspectroscoop te zien is. (d) $j = \tfrac32$ : vier toestanden; $j = \tfrac12$ : twee — zes in totaal, precies $2 \times (2l + 1)$ voor $l = 1$ .

Oefening 12.11 ★★★

Twee spins samen. Voor twee deeltjes met spin $\tfrac12$ is de totale spin $\hat{\vect S} = \hat{\vect S}_1 + \hat{\vect S}_2$ . (a) Toon aan dat de vier producttoestanden zich herordenen tot een triplet ( $S = 1$ : $\ket{\uparrow\uparrow}$ , $(\ket{\uparrow\downarrow} + \ket{\downarrow\uparrow})/\sqrt2$ , $\ket{\downarrow\downarrow}$ ) en een singlet ( $S = 0$ : $(\ket{\uparrow\downarrow} - \ket{\downarrow\uparrow})/\sqrt2$ ) — ga de tellingen van $S_z$ na en, voor de twee middelste toestanden, de werking van $\hat S^2$ (gebruik $\hat S^2 = \hat S_1^2 + \hat S_2^2 + 2\hat{\vect S}_1\cdot\hat{\vect S}_2$ en $\hat{\vect S}_1\cdot\hat{\vect S}_2 = \tfrac12(\hat S_{1+}\hat S_{2-} + \hat S_{1-}\hat S_{2+}) + \hat S_{1z}\hat S_{2z}$ ). (b) Welke van de vier is verstrengeld — niet als product te schrijven? (c) Het hyperfijne paar van waterstof (Voorbeeld 12.7) is precies dit triplet en singlet: welk van beide ligt hoger in energie, gegeven dat de lijn op 21 cm wordt uitgezonden? (d) De spins van de singlet zijn langs elke as volmaakt anticorrelerend: meet er één langs een willekeurige $\vect n$ en de andere antwoordt tegengesteld. Waarom draagt die correlatie, hoe treffend ook, geen enkel signaal over?

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.11.

(a) De tellingen van $S_z$ : $+\hbar, 0, 0, -\hbar$ ; $\hat S^2$ (via de ladderidentiteit) laten werken op de symmetrische combinatie geeft $2\hbar^2$ ( $S = 1$ ), op de antisymmetrische $0$ ( $S = 0$ ). (b) Alleen de singlet (en de middelste triplettoestand) is niet als product te schrijven — de singlet is het maximaal verstrengelde paar. (c) Uitzenden betekent dat het triplet hoger ligt: de configuratie met evenwijdige spins is de energierijkste, met $5.9\,\text{µ}\mathrm{eV}$ . (d) Elke waarnemer ziet op zichzelf volmaakt willekeurige uitkomsten; de correlatie verschijnt pas wanneer de twee lijsten bijeen worden gebracht — geen enkele lokale statistiek verandert, dus plant er niets zich voort (het argument van Opmerking 8.8).

Oefening 12.12 ★★★

De klok die de seconde definieert. De hyperfijnsplitsing van de grondtoestand van cesium bedraagt precies $9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz}$ (volgens de definitie van de seconde). In een fonteinklok krijgen de atomen een $\pi/2$ -puls, vliegen zij $T = 0.5\,\mathrm{s}$ vrij door en krijgen zij een tweede $\pi/2$ -puls; de overgedragen fractie oscilleert als $\cos^2(\pi\,\delta\,T)$ met ontstemming $\delta$ (ramseyfranjes — neem dit aan). (a) Leg in blochtaal uit wat elke $\pi/2$ -puls en de vrije vlucht doen. (b) De breedte van de centrale franje. (c) Als de signaal-ruisverhouding toelaat het franjemidden op $10^4$ te bepalen, welke relatieve frequentienauwkeurigheid volgt daaruit? (d) Waarom verslaan optische klokken (overgangen op petahertz) klokken op microgolven bij een gelijk vermogen om franjes te splitsen — en ruwweg met welke factor?

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.12.

(a) De eerste $\pi/2$ legt de blochvector op de evenaar; gedurende $T$ precedeert hij met de eigen $\nu_0$ van het atoom terwijl de lokale oscillator met $\nu$ draait: het opgehoopte hoekverschil is $2\pi\delta T$ ; de tweede $\pi/2$ zet die fase om in een bezetting — een interferometer in de tijd. (b) $\Delta\delta \sim 1/2T = 1\,\mathrm{Hz}$ . (c) $10^{-4}\,\mathrm{Hz}/9.19 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz} \approx 10^{-14}$ — een seconde per drie miljoen jaar. (d) Dezelfde absolute franjesplitsing op een draaggolf die $10^5$ keer hoger ligt wint $10^5$ aan relatieve nauwkeurigheid: vandaar optische klokken met strontium en ytterbium op $10^{-18}$ , en een aanstaande herdefinitie van de seconde.

12.5 Vraagstuk: In het lichaam kijken

Probleem 12.1

Weekendvraagstuk — beeldvorming met magnetische resonantie, van spin tot scan

Twee derde van een mens is water; elk watermolecuul draagt twee protonen, elk een magneetje met spin $\tfrac12$ . Zet iemand in een sterk veld, kietel de protonen op hun larmorfrequentie en luister: dat is beeldvorming met magnetische resonantie, spinfysica als geneeskunde. Gegevens: $\gamma_{\text{p}}/2\pi = 42.58\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$ ; $B_0 = 3.0\,\mathrm{T}$ ; protondichtheid van weefsel $n \approx 6.6 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; $k_{\text{B}}T$ bij $310\,\mathrm{K}$ is $26.7\,\mathrm{meV}$ ; $h = 4.14 \times 10^{-15}\,\mathrm{eV}\,\mathrm{s}$ .

Deel I — Spins in de magneet.

Bereken de larmorfrequentie bij $3.0\,\mathrm{T}$ en de fotonenergie $h\nu$ in eV.
Bereken het bezettingsverschil tussen de twee protonniveaus, $\Delta n/n \approx h\nu/2k_{\text{B}}T$ .
Alleen dat overschot — delen per miljoen — levert signaal: hoeveel “bruikbare” protonen per kubieke centimeter weefsel?
Waarom is de thermische polarisatie hier zo zwak, terwijl de bundel van Stern en Gerlach volledig splitste? (Wat meet elke proef: eigenwaarden van één atoom, of een thermisch gemiddelde?)
Wat doet het verdubbelen van $B_0$ met het signaal (twee effecten: de polarisatie en de geïnduceerde spanning bij hogere frequentie)? Waarom betalen ziekenhuizen voor grotere magneten?
De magneet is supergeleidend en staat altijd aan: waarom is een losse stalen zuurstoffles in de ruimte een dodelijk projectiel (welke kracht uit Voorbeeld 12.1 grijpt erop aan)?

Deel II — Pulsen en echo’s.

Een dwarsspoel legt $B_1 = 10\,\text{µ}\mathrm{T}$ op resonantie aan: bereken de rabifrequentie en de duur van de pulsen $\pi/2$ en $\pi$ .
Wat doet de magnetisatie na de $\pi/2$ -puls, en wat induceert de wet van Faraday in de ontvangstspoel (bij welke frequentie)?
Het dwarssignaal dooft uit met tijdconstante $T_2$ (de spins lopen uit fase in elkaars velden en in plaatselijke inhomogeniteiten); de longitudinale magnetisatie groeit terug met $T_1$ (er stroomt energie naar het weefsel). Typische waarden: $T_1 \approx 1\,\mathrm{s}$ , $T_2 \approx 0.1\,\mathrm{s}$ . Waarom kan de coherentietijd de relaxatietijd van de energie nooit veel overtreffen (wat doet elke omklap met energie-uitwisseling met de fase)?
De spin-echo: na de $\pi/2$ -puls en een vertraging $\tau$ volgt een $\pi$ -puls, en op $2\tau$ lijnen de uit fase gelopen spins zich weer uit en keert het signaal terug. Leg de truc uit met hardlopers op een baan die worden omgekeerd.
Welk verval maakt de echo ongedaan — het uit fase lopen door statische veldinhomogeniteiten of dat door fluctuerende moleculaire velden — en waarom alleen dat ene?
Verschillende weefsels hebben verschillende $T_1$ en $T_2$ (vet: korte $T_1$ ; water en vocht: lange; veel tumoren: langere $T_2$ dan hun gastweefsel). In één zin: hoe maakt het timen van de pulsreeks van relaxatietijden een contrast in het beeld?

Deel III — Van signaal naar beeld.

Leg er een gradiënt $G = 40\,\mathrm{mT}/\mathrm{m}$ langs $z$ overheen: de larmorfrequentie wordt plaatsafhankelijk. Bereken $\dd\nu/\dd z$ in kHz per millimeter.
Welke plak van het lichaam slaat een gevormde RF-puls aan die alleen de band $\nu_0 \pm 1\,\mathrm{kHz}$ bevat? (Plakselectie.)
Bij het uitlezen laat een gradiënt langs $x$ elke kolom van de plak haar eigen frequentie uitzenden: welke wiskundige bewerking maakt van het ontvangen tijdsignaal een ruimtelijk profiel (denk aan de fouriergereedschapskist van het volume van jaar 2)?
Schat de totale informatie van een scan: een beeld van $256 \times 256$ op 12 bits, en waarom het regel voor regel opnemen (één echo per regel, herhalingstijd $\sim T_1$ ) een scan minuten laat duren.
De patiënt hoort luid gebonk: wat bonkt daar mechanisch (denk aan de gradiëntspoelen die in het veld van $3\,\mathrm{T}$ schakelen — welke kracht)?
Röntgenbeeldvorming zet elektronendichtheid tegen elkaar af; MRI zet protondichtheid én relaxatie tegen elkaar af: waarom is MRI het middel bij uitstek voor zacht weefsel en de hersenen, en welke ioniserende dosis levert zij?

Deel IV — De andere baantjes van de spin.

Scheikundigen voeren dezelfde proef uit met een resolutie van $10\,\mathrm{ppm}$ : de elektronenwolken schermen elke kern een beetje af en verschuiven haar resonantie (de “chemische verschuiving”). Waarom maakt dit van NMR een moleculaire vingerafdruk?
Functionele MRI brengt het denken in kaart: gedeoxygeneerd hemoglobine is paramagnetisch en verkort de plaatselijke $T_2^*$ . Volg de keten van neurale activiteit tot helderheid in het beeld.
Dezelfde larmorfysica met het moment van het elektron loopt bij $3\,\mathrm{T}$ op $84\,\mathrm{GHz}$ : waarom is elektronresonantie in een mens nutteloos maar kostbaar voor het bestuderen van radicalen en defecten?
Vergelijk de fotonenergie uit punt 1 met typische bindingsenergieën in moleculen: rechtvaardig het woord “niet-ioniserend” en zet het af tegen een röntgenfoton van $60\,\mathrm{keV}$ .
De polarisatie van tien ppm is op te voeren: met laser gepolariseerd xenongas haalt een polarisatie van de orde één en wordt ingeademd om de luchtruimten van de longen af te beelden. Met welke factor stijgt het signaal per kern ruwweg, en waarom maakt de lage dichtheid van het gas de truc toch noodzakelijk?
Eén enkele elektronspin in een siliciumval die op een transistor lijkt wordt inmiddels uitgelezen en als qubit aangedreven met precies de pulsen van dit hoofdstuk: noem de twee eigenschappen van de spin (de grootte van haar hilbertruimte; de zwakte van haar koppeling aan ruis) die haar aanbevelen.
Vat het genoemde resultaat samen: een spinprecessie van $128\,\mathrm{MHz}$ , een thermische polarisatie van tien delen per miljoen, twee relaxatieklokken en drie veldgradiënten volstaan om een levend brein in plakken te fotograferen — de twee vlekken van Stern en Gerlach, uitgegroeid tot een ziekenhuis.

Oplossing

Oplossing van Probleem 12.1.

1. $\nu = 42.58 \times 3.0 = 127.7\,\mathrm{MHz}$ ; $h\nu = 5.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ . 2. $\Delta n/n = h\nu/2k_{\text{B}}T = 5.3 \times 10^{-7}/(2 \times 0.0267) \approx 10^{-5}$ : tien delen per miljoen. 3. $6.6 \times 10^{22}\,\mathrm{cm}^{-3} \times 10^{-5} \approx 7 \times 10^{17}$ protonen die signaal dragen per kubieke centimeter — zwak per spin, machtig in aantal. 4. Stern en Gerlach maten elk atoom en splitsten het naar eigenwaarde; MRI luistert naar een thermisch gemiddelde van $10^{23}$ spins, en Boltzmann houdt dat gemiddelde binnen microvolts van nul. 5. De polarisatie is $\propto B_0$ en de geïnduceerde spanning $\propto \omega \propto B_0$ : het signaal ruwweg $\propto B_0^2$ — het pleidooi voor $3\,\mathrm{T}$ boven $1.5\,\mathrm{T}$ , en voor de onderzoeksmachines van $7\,\mathrm{T}$ . 6. Een ferromagneet voelt in de strooigradiënt $F = \mu\,\partial B/\partial z$ , opgeschaald naar kilogrammen ijzer: honderden newton die in een deuropening verschijnen — de reden voor de afscherming en de controlelijsten. 7. $\nu_1 = \gamma B_1/2\pi = 426\,\mathrm{Hz}$ : een $\pi/2$ -puls duurt $0.59\,\mathrm{ms}$ , een $\pi$ -puls $1.2\,\mathrm{ms}$ . 8. Zij precedeert in het dwarsvlak met $127.7\,\mathrm{MHz}$ ; de flux van de draaiende magnetisatie door de spoel induceert (Faraday) een radiospanning bij precies die frequentie — het ruwe MR-signaal. 9. Elke omklap met energie-uitwisseling maakt ook de fase van de omgeklapte spin willekeurig: wat $T_1$ veroorzaakt draagt bij aan $T_2$ , en het uit fase lopen heeft daarnaast eigen kanalen — de coherentie sterft het eerst. 10. Op $\tau$ keert elke loper om: de snelste, die het verst voorop liggen, hebben nu het verst terug te lopen; op $2\tau$ passeren zij alle gelijk de startlijn — het uit fase lopen spoelt terug en de echo klinkt. 11. Alleen het statische deel: een spin die een constante (zij het verkeerde) frequentie hield doorloopt haar fase exact terug; fluctuerende moleculaire velden veranderen tussen de twee helften en spoelen niet terug — hun verval is de ware, weefselspecifieke $T_2$ . 12. Meet vroeg en vaak (korte TR, korte TE) en de korte $T_1$ van vet schittert; wacht lang en echo laat, en vochten met lange $T_2$ gloeien: de klokinstellingen van de reeks kiezen welke relaxatieconstante het beeld schildert. 13. $\dd\nu/\dd z = 42.58\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T} \times 0.04\,\mathrm{T}/\mathrm{m} = 1.7\,\mathrm{kHz}/\mathrm{mm}$ . 14. De plak waar de plaatselijke larmorfrequentie binnen de band valt: dikte $2\,\mathrm{kHz}/1.7\,\mathrm{kHz}/\mathrm{mm} \approx 1.2\,\mathrm{mm}$ — een geselecteerde snede. 15. Een fouriertransformatie: de frequentie etiketteert de plaats, dus is het spectrum van de echo de projectie van de plak. 16. $256^2 \times 12 \approx 100\,\mathrm{kB}$ ; bij één gecodeerde regel per herhalingstijd van de orde $T_1$ kosten $256$ regels minuten — vandaar het verzoek aan de patiënt om stil te liggen. 17. De gradiëntspoelen voeren geschakelde stromen op de schaal van kiloampère binnen $3\,\mathrm{T}$ : de laplacekracht ramt ze bij elke schakeling tegen hun bevestiging — de mitrailleursoundtrack van elke scan. 18. Röntgenstralen zetten de elektronendichtheid in schaduw — bot tegen lucht — en zetten een ioniserende dosis af; MRI leest de protondichtheid en twee relaxatieklokken, die tussen zachte weefsels rijk verschillen: hersenen, kraakbeen en tumoren, voor röntgen allemaal gelijk, zijn voor spins onderscheiden, en dat bij nul ioniserende dosis. 19. Elke chemische omgeving schermt haar proton met enkele delen per miljoen af: de protonen van een molecuul melden zich als een opgeloste kam van verschoven lijnen — structuurbepaling in een buisje. 20. Activiteit verhoogt de plaatselijke bloedstroom en zuurstofvoorziening; het paramagnetische deoxyhemoglobine wordt verdund; de plaatselijke $T_2^*$ wordt langer; het voxel wordt seconden na de gedachte helderder. 21. Bij $84\,\mathrm{GHz}$ is weefsel ondoorzichtig (millimetermicrogolven dringen de huid nauwelijks binnen) en duurt de elektronrelaxatie microseconden — hopeloos in vivo, maar volmaakt om radicalen en defecten in materialen te tellen en voor dosimetrie. 22. $5 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ tegen bindingen van eV: tien miljoen keer te zwak om iets te breken — niet-ioniserend; één röntgenfoton van $60\,\mathrm{keV}$ draagt $10^{11}$ keer meer. 23. Van $10^{-5}$ naar de orde één: een winst van $\sim10^5$ per kern — nodig omdat het ingeademde gas duizenden keren ijler is dan de protonen van water. 24. Een spin $\tfrac12$ is een volmaakt stelsel met twee niveaus (geen lekniveaus), en zij koppelt slechts zwak aan ladingsruis, via magnetische momenten: lange coherentie in een industrieel materiaal. 25. Een precessie van $128\,\mathrm{MHz}$ , een polarisatie van $10^{-5}$ , twee relaxatieklokken en drie gradiënten: spinfysica die een levend brein plak voor plak fotografeert, bij nul ioniserende dosis — de twee zilveren vlekken van 1922, uitgegroeid tot een ziekenhuisafdeling.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Spin een half

Bekijk alle 431 begrippen in de begrippenlijst