Álgebra কী?

Exemplo 1.34 (Um morfismo de avaliação e seu núcleo)

Tome $A = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ e a avaliação $\varepsilon_A \colon \R[X] \to \mathcal{M}_2(\R)$, $P \mapsto P(A)$. Como $A^2 = 0$,

(só sobrevivem os termos constante e linear de $P$). Logo $\ker\varepsilon_A = \{P : P(0) = P'(0) = 0\} = X^2\,\R[X]$: um ideal principal, exatamente como prevê o Teorema 1.26, gerado pelo polinômio mônico $X^2$ de menor grau no núcleo — o polinômio minimal de $A$, estrela do Capítulo 3. A imagem é a álgebra comutativa de dimensão dois $\{aI + bA\}$: os morfismos de avaliação encolhem o espaço $\R[X]$, de dimensão infinita, sobre álgebras pequenas e calculáveis.