Matemática universitária — Graduação 2 · Bachelor Year 2

14Séries de Fourier

Todo sinal periódico pode ser reconstruído a partir de senos e cossenos puros? O audacioso “sim” de Fourier criou um século de análise. Este capítulo demonstra os dois pilares ao alcance deste nível: o teorema de Dirichlet (reconstrução pontual para funções $C^1$ por partes, via o núcleo de Dirichlet) e a identidade de Parseval (a energia de um sinal é a soma das energias de seus harmônicos), e colhe as séries numéricas clássicas — o $\sum 1/n^2 = \pi^2/6$ de Basileia à frente de todas.

Em todo o capítulo, as funções são $2\pi$ -periódicas, contínuas por partes e com valores complexos; $\mathcal{C}$ designa as contínuas.

14.1 Coeficientes de Fourier

Definição 14.1

Os coeficientes de Fourier de $f$ são

c_n(f) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,\eu^{-\iu n t}\,\dd t \qquad (n \in \Z),

e os coeficientes na forma real $a_n = c_n + c_{-n}$ , $b_n = \iu(c_n - c_{-n})$ , de modo que as somas parciais de Fourier são

S_N(f)(t) = \sum_{n=-N}^{N} c_n(f)\,\eu^{\iu nt} = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N}\bigl(a_n\cos nt + b_n \sin nt\bigr).

Em $\mathcal{C}$ , defina o produto interno hermitiano $\langle f, g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\conj f\,g$ : as exponenciais $e_n(t) = \eu^{\iu nt}$ são ortonormais ( $\langle e_m, e_n\rangle = \delta_{mn}$ , cálculo direto), e $c_n(f) = \langle e_n, f\rangle$ : a análise de Fourier é geometria hermitiana (Capítulo 13) em dimensão infinita.

Proposição 14.2 (Desigualdade de Bessel)

$S_N(f)$ é a projeção ortogonal de $f$ sobre o espaço $\mathcal{T}_N$ dos polinômios trigonométricos de grau $\leq N$ , e

\sum_{n=-N}^{N} \abs{c_n(f)}^2 \leq \norm f_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \abs f^2 :

a série $\sum \abs{c_n}^2$ converge, e $c_n(f) \to 0$ quando $\abs n \to \infty$ (Riemann–Lebesgue para coeficientes).

Demonstração. $f - S_N(f)$ é ortogonal a cada $e_k$ , $\abs k \leq N$ ( $\langle e_k, f - S_N f\rangle = c_k - c_k = 0$ ): $S_Nf$ é a projeção ortogonal sobre $\mathcal{T}_N = \operatorname{Vect}(e_{-N}, \dots, e_N)$ (o teorema da projeção do volume do primeiro ano de graduação, palavra por palavra no contexto hermitiano). Pitágoras: $\norm f_2^2 = \norm{S_Nf}_2^2 + \norm{f - S_Nf}_2^2 \geq \norm{S_Nf}_2^2 = \sum_{\abs n \leq N} \abs{c_n}^2$ ; faça $N \to \infty$ . ∎

Exemplo 14.3 (Melhor aproximação, medida)

Quão bem os polinômios trigonométricos de grau baixo aproximam a dente de serra $f(t) = t$ (em $\intoo{-\pi}{\pi}$ ) na média quadrática? Pela Proposição 14.2, a melhor aproximação de grau $N$ é $S_N(f)$ , com erro quadrático

\norm{f - S_Nf}_2^2 = \norm f_2^2 - \sum_{\abs n\leq N}\abs{c_n}^2 .

Aqui $\norm f_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\dd t = \frac{\pi^2}{3}$ e, de $b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$ (Exemplo 14.12): $\abs{c_n}^2 + \abs{c_{-n}}^2 = \frac{b_n^2}{2} = \frac{2}{n^2}$ . Logo

\norm{f - S_Nf}_2^2 = \frac{\pi^2}{3} - \sum_{n=1}^{N}\frac{2}{n^2} \qquad\text{: numericamente } 1.29,\ 0.79,\ 0.57,\ 0.44

para $N = 1, 2, 3, 4$ — decrescente, mas devagar: a cauda $\sum_{n>N}\frac2{n^2} \sim \frac2N$ é governada pelo decaimento lento $\frac1n$ dos coeficientes, que é ele próprio a assinatura do salto (o Exercício 14.6 lido ao contrário). Lição final: Parseval transforma a qualidade da aproximação numa cauda de série numérica — e prevê, antes de qualquer figura, que saltos fazem as séries de Fourier convergirem a contragosto.

Método 14.4 (Calcular coeficientes de Fourier com eficiência)

Antes de integrar seja o que for:

Paridade: $f$ par tem $b_n = 0$ , $f$ ímpar tem $a_n = 0$ , e as integrais sobreviventes se reduzem a $\frac2\pi \int_0^\pi$ — metade do trabalho, o dobro de confiabilidade.
Os polinômios trigonométricos já estão prontos: linearize produtos ( $\cos^3$ , $\sin^2\cos$ , …) e leia os coeficientes (Exercício 14.9); a ortonormalidade torna qualquer integração adicional redundante.
Exponenciais complexas para exponenciais: para fatores $\eu^{at}$ ou oscilações amortecidas, calcule $c_n$ diretamente — uma integral de $\eu^{(a - \iu n)t}$ vence duas integrações por partes (Exercício 14.10).
Derive um desenvolvimento conhecido: se $f'$ tem coeficientes conhecidos e $f$ é contínua, $c_n(f) = \frac{c_n(f')}{\iu n}$ ( $n \neq 0$ ) recupera tudo exceto $c_0$ , que é a média — muitas vezes a rota mais rápida, e legítima exatamente sob as hipóteses do Teorema 14.10 (1).

14.2 O teorema de Dirichlet

Lema 14.5 (Núcleo de Dirichlet)

$S_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x + u)\,D_N(u)\,\dd u$ , em que

D_N(u) = \sum_{n=-N}^{N} \eu^{\iu nu} = \frac{\sin\bigl((N + \frac12)u\bigr)}{\sin\frac u2} \quad (u \notin 2\pi\Z), \qquad \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} D_N = 1 .

Demonstração. Insira a definição de $c_n$ em $S_N$ e troque a soma com a integral (legítimo: a soma é finita):

S_N(f)(x) = \sum_{n=-N}^{N}\Bigl(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,\eu^{-\iu nt}\dd t\Bigr)\eu^{\iu nx} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sum_{n=-N}^{N}\eu^{\iu n(x-t)}\,\dd t ;

substitua $u = t - x$ e desloque o segmento de integração de volta a $\intcc{-\pi}{\pi}$ pela $2\pi$ -periodicidade do integrando; o intervalo simétrico de índices faz $\sum_n\eu^{-\iu nu} = D_N(u)$ . A forma fechada: soma geométrica de razão $\eu^{\iu u}$ ,

D_N(u) = \eu^{-\iu Nu}\,\frac{\eu^{\iu(2N+1)u} - 1}{\eu^{\iu u} - 1} = \frac{\eu^{\iu(N + \frac12)u} - \eu^{-\iu(N+\frac12)u}} {\eu^{\iu u/2} - \eu^{-\iu u/2}} ,

que é o quociente de senos. Sua média vale $1$ : só $n = 0$ contribui. ∎

Teorema 14.6 (Lema de Riemann–Lebesgue)

Para $g$ contínua por partes num segmento, $\int_a^b g(t)\sin(\lambda t + \varphi)\,\dd t \to 0$ quando $\lambda \to +\infty$ .

Demonstração. Aproxime $g$ uniformemente por funções escada (o Teorema 10.16 não é necessário — a aproximação elementar por funções escada de funções contínuas por partes basta) e integre cada degrau explicitamente: cada peça contribui com $O\bigl(\frac1\lambda\bigr)$ , e o erro de aproximação contribui com $\varepsilon(b - a)$ . Esse argumento foi executado por inteiro como exercício final do capítulo de integração do volume do primeiro ano de graduação; para peças $C^1$ pode-se, em vez disso, integrar por partes e majorar por $\frac C\lambda$ . ∎

Exemplo 14.7 (Com que rapidez morrem os coeficientes?)

Riemann–Lebesgue diz que os coeficientes tendem a $0$ ; sua velocidade é um medidor de suavidade. Três espécimes deste capítulo e de seus exercícios:

\text{onda quadrada: } b_n = \frac{4}{\pi n}\ (n\ \text{ímpar}), \qquad \abs t : a_n = \frac{-4}{\pi n^2}\ (n\ \text{ímpar}), \qquad \abs{\sin t} : a_{2k} = \frac{-4}{\pi(4k^2-1)} .

Um salto em $f$ (onda quadrada, dente de serra) deixa coeficientes de ordem $\frac1n$ : sem convergência normal, com ultrapassagem de Gibbs nos saltos. A continuidade com um bico — um salto apenas em $f'$ — melhora a ordem para $\frac{1}{n^2}$ : convergência normal, reconstrução uniforme. Em geral $k$ derivadas compram $c_n = O(n^{-k})$ (Exercício 14.6) e, reciprocamente, um espectro que decai mais depressa que toda potência força $f$ a ser $C^\infty$ (derive termo a termo, agora legitimamente). Lição final: a regularidade do sinal e o decaimento do espectro são a mesma informação — um engenheiro lê uma na inclinação da outra sem nunca traçar a função.

Teorema 14.8 (Dirichlet)

Seja $f$ $2\pi$ -periódica e $C^1$ por partes. Então, para todo $x$ ,

S_N(f)(x) \xrightarrow[N \to \infty]{} \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}

(a média dos limites laterais) — em particular, $S_N(f)(x) \to f(x)$ em todo ponto de continuidade.

Demonstração. Pelo lema do núcleo e por sua média unitária, separando a integral nas metades $u > 0$ e $u < 0$ (cada uma de média $\frac12$ ):

\begin{align*} S_N(f)(x) - \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2} &= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi} \bigl(f(x+u) - f(x^+)\bigr)D_N(u)\,\dd u\\ &\quad+ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{0}\bigl(f(x+u) - f(x^-)\bigr)D_N(u)\,\dd u . \end{align*}

Trate a primeira (a segunda é simétrica). Escreva

\bigl(f(x + u) - f(x^+)\bigr)\,D_N(u) = \underbrace{\frac{f(x+u) - f(x^+)}{\sin\frac u2}}_{g(u)}\, \sin\Bigl(\Bigl(N + \frac12\Bigr)u\Bigr) .

A função $g$ é contínua por partes em $\intoc{0}{\pi}$ e tem limite finito em $0^+$ : escrevendo

g(u) = \frac{f(x+u) - f(x^+)}{u}\cdot\frac{u}{\sin\frac u2} ,

o primeiro fator tende a $f'(x^+)$ (derivabilidade lateral, vinda de ser $C^1$ por partes) e o segundo a $2$ (o limite padrão $\frac{\sin v}{v} \to 1$ em $v = \frac u2$ ): $g(0^+) = 2f'(x^+)$ existe. Assim $g$ estende-se continuamente por partes a $\intcc{0}{\pi}$ , e Riemann–Lebesgue (Teorema 14.6) manda a integral para $0$ . Esse é o ponto todo da hipótese: sem derivadas laterais, o fator $\frac{1}{\sin(u/2)}$ explode em $0$ mais depressa do que Riemann–Lebesgue consegue compensar, e a convergência pontual pode falhar de verdade para $f$ meramente contínua — a lacuna que o teorema de Fejér (problema de fim de semana) fecha promediando. ∎

Exemplo 14.9 (Dirichlet num salto)

Para a dente de serra $f(t) = t$ em $\intoo{-\pi}{\pi}$ (Exemplo 14.12 adiante), a extensão periódica salta em $t = \pi$ de $f(\pi^-) = \pi$ a $f(\pi^+) = -\pi$ . Dirichlet promete o valor $\frac{\pi + (-\pi)}{2} = 0$ aí, e de fato todo termo de $\sum \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin nt$ se anula em $t = \pi$ : a série converge educadamente para o ponto médio, ignorando os dois valores laterais. Mover o ponto de avaliação para $t = \frac\pi2$ (um ponto de continuidade) transforma a mesma série na $\frac\pi4$ de Leibniz. Uma série, dois comportamentos — exatamente as duas cláusulas do teorema.

Teorema 14.10 (Convergência normal para $C^1$ ; Parseval)

Se $f$ é contínua, $2\pi$ -periódica e $C^1$ por partes, então $c_n(f') = \iu n\,c_n(f)$ , a série de Fourier de $f$ converge normalmente em $\R$ , e sua soma é $f$ .
(Parseval) Para toda $f$ $2\pi$ -periódica contínua por partes:

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs{f}^2 = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \abs{c_n(f)}^2 = \frac{\abs{a_0}^2}{4} + \frac12\sum_{n\geq1} \bigl(\abs{a_n}^2 + \abs{b_n}^2\bigr).$

(Demonstrado aqui para $f$ contínua e $C^1$ por partes; admitido em geral.)

Demonstração. (1) Integração por partes em cada peça $C^1$ (os termos de bordo se cancelam pela continuidade e pela periodicidade): $c_n(f') = \iu n c_n(f)$ . Então, por Cauchy–Schwarz nas duas famílias quadraticamente somáveis (Proposição 14.2 para $f'$ ):

\sum_{n \neq 0} \abs{c_n(f)} = \sum_{n\neq0} \frac{\abs{c_n(f')}}{\abs n} \leq \Bigl(\sum \abs{c_n(f')}^2\Bigr)^{1/2} \Bigl(\sum_{n\neq0}\frac{1}{n^2}\Bigr)^{1/2} < \infty :

convergência normal da série de Fourier. Sua soma é contínua e coincide com $f$ em todo ponto por Dirichlet (Teorema 14.8: $f$ é contínua): a série converge para $f$ , uniformemente.

(2) Para tal $f$ : $S_N f \to f$ uniformemente, logo $\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - S_Nf}_\infty \to 0$ , e Pitágoras ( $\norm f_2^2 = \sum_{\abs n \leq N}\abs{c_n}^2 + \norm{f - S_Nf}_2^2$ ) passa ao limite. A forma real é contabilidade com $a_n, b_n$ . ∎

Exemplo 14.11 (A cota da cauda em $C^1$ , tornada quantitativa)

A demonstração do Teorema 14.10 (1) esconde uma estimativa utilizável. Para $f$ contínua e $C^1$ por partes, a mesma Cauchy–Schwarz aplicada apenas à cauda dá

\sum_{\abs n > N}\abs{c_n(f)} = \sum_{\abs n > N}\frac{\abs{c_n(f')}}{\abs n} \leq \Bigl(\sum_{\abs n > N}\abs{c_n(f')}^2\Bigr)^{\!1/2} \Bigl(\sum_{\abs n>N}\frac{1}{n^2}\Bigr)^{\!1/2} \leq \norm{f'}_2\,\sqrt{\frac{2}{N}} ,

usando Bessel para $f'$ e $\sum_{n>N}n^{-2} \leq \frac1N$ . Assim o erro uniforme das somas parciais obedece a

\norm{f - S_Nf}_\infty \leq \sum_{\abs n>N}\abs{c_n(f)} \leq \norm{f'}_2\,\sqrt{\frac2N} .

Para $f(t) = \abs t$ : $\norm{f'}_2 = 1$ (a derivada é $\pm1$ ), de modo que dez termos já reconstroem $\abs t$ uniformemente a menos de $\sqrt{0.2} \approx 0.45$ , e $N = 10^4$ a menos de $0.015$ . Lição final: uma derivada compra a taxa uniforme $\frac{1}{\sqrt N}$ ; comparando com o mundo de coeficientes $\frac1n$ da onda quadrada (sem convergência uniforme alguma), o dicionário do Exemplo 14.7 ganha números.

Exemplo 14.12 (Basileia e companhia)

Seja $f(t) = t$ em $\intoo{-\pi}{\pi}$ , estendida $2\pi$ -periodicamente (uma dente de serra, $C^1$ por partes). Calculando, $a_n = 0$ (imparidade) e

b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t\sin nt\,\dd t = \frac{2(-1)^{n+1}}{n} .

Dirichlet em $t = \frac\pi2$ recupera a série $\frac\pi4 = 1 - \frac13 + \frac15 - \dots$ de Leibniz; Parseval dá

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^2\,\dd t = \frac{\pi^2}{3} = \frac12\sum_{n\geq1}\frac{4}{n^2} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\;\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\;}

— a soma de Basileia de Euler, em duas linhas. A função $f(t) = t^2$ fornece igualmente $\sum \frac1{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$ (Exercício 14.3).

Exemplo 14.13 (Um desenvolvimento completo com verificação embutida: $\abs{\sin t}$ )

A função $f(t) = \abs{\sin t}$ é contínua, par, $\pi$ -periódica (logo $2\pi$ -periódica) e $C^1$ por partes. A paridade mata os $b_n$ ; $a_0 = \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi} \abs{\sin t}\dd t = \frac4\pi$ ; e, para $n \geq 1$ , a fórmula produto-soma dá

a_n = \frac2\pi\int_0^\pi \sin t\cos nt\,\dd t = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\bigl(\sin(1+n)t + \sin(1-n)t\bigr)\dd t = \frac2\pi\cdot\frac{1 + \cos n\pi}{1 - n^2}

para $n \neq 1$ (e $a_1 = 0$ diretamente): zero para $n$ ímpar, e $a_{2k} = \frac{-4}{\pi(4k^2-1)}$ . Pelo Teorema 14.10 (1) a convergência é normal, e

\abs{\sin t} = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi} \sum_{k\geq1}\frac{\cos(2kt)}{4k^2 - 1} \qquad (t \in \R) .

Verificação embutida em $t = 0$ : a identidade exige que $\sum_{k\geq1}\frac{1}{4k^2-1} = \frac12$ , o que a telescopagem confirma:

\sum_{k\geq1}\frac{1}{4k^2-1} = \frac12\sum_{k\geq1}\Bigl(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\Bigr) = \frac12 . \checkmark

Lição final: o espectro de $\abs{\sin}$ vive apenas nas frequências pares — retificar um seno dobra seu conteúdo de frequência, e é por isso que os retificadores de onda completa zumbem a $100$ ou $120$ hertz, o dobro da frequência da rede.

Exemplo 14.14 (Parseval como dispositivo de cálculo)

Parseval transforma desenvolvimentos em séries numéricas no atacado. Aplique-a a $f(t) = \abs t$ (Exercício 14.2: $a_0 = \pi$ , $a_n = \frac{-4}{\pi n^2}$ para $n$ ímpar, o resto nulo):

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^2\,\dd t = \frac{\pi^2}{3} = \frac{a_0^2}{4} + \frac12\sum_{n \text{ ímpar}} a_n^2 = \frac{\pi^2}{4} + \frac{8}{\pi^2}\sum_{n\text{ ímpar}}\frac{1}{n^4} ,

donde

\sum_{n\text{ ímpar}}\frac{1}{n^4} = \frac{\pi^2}{8}\Bigl(\frac{\pi^2}{3} - \frac{\pi^2}{4}\Bigr) = \frac{\pi^4}{96} .

Confira contra o Exercício 14.3: separando $\sum\frac1{n^4}$ em partes ímpar e par obtém-se a contabilidade ao estilo $\zeta$ $S = S_{\mathrm{odd}} + \frac{S}{16}$ , logo $S = \frac{16}{15}\cdot\frac{\pi^4}{96} = \frac{\pi^4}{90}$ — exatamente o valor achado lá por uma função diferente. Dois desenvolvimentos, um número: a coerência é a isometria de Parseval em ação. Lição final: cada novo desenvolvimento de Fourier é uma máquina geradora de identidades entre séries; a Parte II do problema de fim de semana explica por que a máquina nunca pode contradizer a si mesma.

A onda quadrada (em cinza) e as somas parciais de Fourier S_1 (azul) e S_9 (vermelho): convergência em todo ponto de continuidade, mas uma ultrapassagem persistente de 9\% perto dos saltos — o fenômeno de Gibbs. A convergência uniforme falha exatamente porque o limite é descontínuo. — A onda quadrada (em cinza) e as somas parciais de Fourier $S_1$ (azul) e $S_9$ (vermelho): convergência em todo ponto de continuidade, mas uma ultrapassagem persistente de $\sim 9\%$ perto dos saltos — o *fenômeno de Gibbs*. A convergência uniforme falha exatamente porque o limite é descontínuo.

Exemplo 14.15 (Translação e modulação)

Duas regras de uma linha geram muitos desenvolvimentos a partir de um. Para $a \in \R$ , substituindo $s = t - a$ :

c_n\bigl(f(\cdot - a)\bigr) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t - a)\eu^{-\iu nt}\dd t = \eu^{-\iu na}\,c_n(f) \qquad\text{(a translação modula o espectro)},

e, diretamente da definição,

c_n\bigl(\eu^{\iu kt}f\bigr) = c_{n-k}(f) \qquad\text{(a modulação translada o espectro)}.

Instância trabalhada: a dente de serra deslocada de $\pi$ , $g(t) = f(t - \pi)$ com $f(t) = t$ , tem coeficientes $b_n$ iguais a $(-1)^n\cdot\frac{2(-1)^{n+1}}{n} = -\frac2n$ : o desenvolvimento $g \sim -2\sum\frac{\sin nt}{n}$ da dente de serra que salta em $0$ em vez de em $\pi$ — sem recalcular integral alguma. Lição final: deslocamentos no tempo só giram fases, nunca amplitudes ( $\abs{c_n}$ é invariante por deslocamento), e é por isso que a energia (Parseval) e a classe de convergência são propriedades da forma do sinal, e não de onde o relógio começa.

Observação 14.16 (Armadilhas comuns)

(i) Três convergências, três moedas: a pontual (Dirichlet: precisa de $C^1$ por partes, paga o ponto médio em cada salto — nunca o valor lateral), a uniforme (precisa de um limite contínuo; impossível através de um salto, sendo Gibbs o sintoma visível) e a em média quadrática (Parseval: a mais robusta, cega a pontos individuais). Diga sempre qual delas você está afirmando. (ii) Nada de derivar termo a termo por padrão: derivar a série da dente de serra do Exemplo 14.12 termo a termo produz $\sum 2(-1)^{n+1}\cos nt$ , cujos termos nem sequer tendem a $0$ — os teoremas de transferência do capítulo de sequências de funções precisam da convergência uniforme da série derivada, que o salto destrói. Suavidade primeiro, derivação depois (o Exercício 14.6 é o dicionário). (iii) Somas parciais simétricas: o teorema de Dirichlet trata de $S_N = \sum_{-N}^{N}$ ; reordenar ou somar primeiro um dos lados pode transformar divergência em convergência e vice-versa. (iv) Deriva de normalização: as convenções diferem entre livros ( $\frac{1}{2\pi}$ ou $\frac1\pi$ na frente, período $2\pi$ ou $1$ ); os invariantes confiáveis são as relações de ortonormalidade — recalcule $\langle e_m, e_n\rangle$ na convenção em uso antes de confiar em qualquer fórmula.

Observação 14.17 (Onde isso é usado)

Parseval é o germe da teoria $L^2$ das séries de Fourier: o volume do terceiro ano de graduação completa o quadro (as exponenciais são uma base hilbertiana de $L^2$ , e a aplicação $f \mapsto (c_n)$ é uma isometria bijetiva). Dentro deste volume, o problema de fim de semana demonstra o teorema de Fejér — as médias de Cesàro da série de Fourier convergem uniformemente para toda $f$ periódica contínua — o que eleva a Parseval geral admitida a teorema, fornece o teorema de Weierstrass trigonométrico e paga dois dividendos espetaculares: o teorema de equidistribuição de Weyl e a desigualdade isoperimétrica. A matemática aplicada lê este capítulo diariamente: espectros de sinais, harmônicos de sistemas vibrantes e a transformada rápida de Fourier (o avatar finito foi o Exercício 13.10).

Observação 14.18 (Perspectivas dentro deste volume)

Três capítulos conversam com este. Para trás: o capítulo hermitiano forneceu a geometria (famílias ortonormais, projeções, Bessel), e o capítulo de sequências de funções, a análise (convergência uniforme, teoremas de transferência, identidades aproximadas — o núcleo de Fejér está para as séries de Fourier assim como os polinômios de Bernstein estavam para Weierstrass). De lado: a teoria de fronteira do capítulo de séries de potências volta pela transformação de Abel, aqui realizada pelo núcleo de Poisson (Exercício 14.12) — com o raio $r$ do disco fazendo o papel do parâmetro de somação. Para a frente: o capítulo de equações diferenciais decompõe o forçamento periódico em harmônicos e alimenta cada um à resposta em frequência do oscilador; a ressonância acontece quando um modo de Fourier da entrada casa com uma frequência natural, e é por isso que o problema de fim de semana daquele capítulo e o deste são duas metades de uma só história.

O núcleo de Dirichlet D_8 (azul) oscila e assume valores negativos; o núcleo de Fejér F_8 (vermelho) é não negativo, concentra-se em 0 e tem média 1: uma identidade aproximada. A positividade é exatamente o que falta ao núcleo de Dirichlet e o que torna incondicional o teorema de Fejér no problema de fim de semana. — O núcleo de Dirichlet $D_8$ (azul) oscila e assume valores negativos; o núcleo de Fejér $F_8$ (vermelho) é não negativo, concentra-se em $0$ e tem média $1$ : uma *identidade aproximada*. A positividade é exatamente o que falta ao núcleo de Dirichlet e o que torna incondicional o teorema de Fejér no problema de fim de semana.

14.3 Exercícios

Exercício 14.1 ★

Calcule os coeficientes de Fourier da onda quadrada ( $f = -1$ em $\intoo{-\pi}{0}$ , $+1$ em $\intoo{0}{\pi}$ ), enuncie a conclusão de Dirichlet em $t = \frac\pi2$ e no salto $t = 0$ , e recupere a série de Leibniz.

Solução

Solução de Exercício 14.1.

A imparidade mata os $a_n$ . Para $n \geq 1$ :

b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \sin nt\,\dd t = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{1 - (-1)^n}{n} = \begin{cases} \frac{4}{\pi n} & n \text{ ímpar},\\ 0 & n \text{ par}. \end{cases}

Assim $S(f)(t) = \frac{4}{\pi}\sum_{k\geq0} \frac{\sin\bigl((2k+1)t \bigr)}{2k+1}$ . Dirichlet em $t = \frac\pi2$ (um ponto de continuidade, valor $1$ ): $\sin\bigl((2k+1)\frac\pi2\bigr) = (-1)^k$ , dando

1 = \frac4\pi \sum_{k\geq0}\frac{(-1)^k}{2k+1} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{k\geq0}\frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{\pi}{4} \quad\text{(Leibniz)}.

No salto $t = 0$ : a série soma $0 = \frac{f(0^+) + f(0^-)}{2}$ , como Dirichlet prescreve (todo termo se anula: coerente).

Exercício 14.2 ★

Desenvolva $f(t) = \abs t$ ( $\abs t \leq \pi$ , $2\pi$ -periódica) em série de Fourier; justifique a convergência normal; avalie em $t = 0$ para obter $\sum_{k\geq0}\frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$ e redemonstre Basileia a partir disso.

Solução

Solução de Exercício 14.2.

A paridade mata os $b_n$ ; $a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\abs t\,\dd t = \pi$ e, para $n \geq 1$ :

a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi t\cos nt\,\dd t = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{(-1)^n - 1}{n^2} = \begin{cases} -\frac{4}{\pi n^2} & n \text{ ímpar},\\ 0 & n \text{ par}, \end{cases}

(uma integração por partes). Logo

\abs t = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\sum_{k\geq0} \frac{\cos\bigl((2k+1)t\bigr)}{(2k+1)^2} ,

com convergência normal ( $\sum (2k+1)^{-2} < \infty$ ) — como o Teorema 14.10 (1) prevê para essa função contínua e $C^1$ por partes. Em $t = 0$ :

0 = \frac\pi2 - \frac4\pi\sum_{k\geq0}\frac{1}{(2k+1)^2} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{k\geq0}\frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{8} .

Separando $\sum \frac{1}{n^2}$ em partes ímpar e par: $S = \frac{\pi^2}{8} + \frac S4$ , logo $S = \frac{\pi^2}{6}$ : Basileia de novo.

Exercício 14.3 ★

Desenvolva $f(t) = t^2$ ( $\abs t \leq \pi$ ) e deduza

\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}, \qquad \sum_{n\geq1}\frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90} \quad\text{(Parseval)}.

Solução

Solução de Exercício 14.3.

Paridade: $b_n = 0$ ; $a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^2 = \frac{2\pi^2}{3}$ ; duas integrações por partes dão $a_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}$ ( $n \geq 1$ ). Logo

t^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n\geq1} \frac{(-1)^n}{n^2}\cos nt \qquad (\abs t \leq \pi),

normalmente convergente. Em $t = 0$ : $0 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum\frac{(-1)^n}{n^2}$ , isto é, $\sum_{n\geq1} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}$ . Parseval:

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^4\,\dd t = \frac{\pi^4}{5} = \frac{a_0^2}{4} + \frac12\sum_{n\geq1} a_n^2 = \frac{\pi^4}{9} + 8\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^4} ,

logo $\sum \frac{1}{n^4} = \frac18\bigl(\frac{\pi^4}{5} - \frac{\pi^4}{9}\bigr) = \frac{\pi^4}{90}$ .

Exercício 14.4 ★★

Seja $f$ contínua $2\pi$ -periódica com $c_n(f) = 0$ para todo $n$ . Prove que $f = 0$ (Parseval — para qual classe ela está demonstrada aqui? justifique que a continuidade mais $C^1$ por partes podem ser dispensadas admitindo a Parseval geral, ou dê o argumento de densidade em esboço).

Solução

Solução de Exercício 14.4.

Se, além disso, $f$ é $C^1$ por partes: Parseval (demonstrada) dá $\norm f_2^2 = \sum\abs{c_n}^2 = 0$ , e a positividade estrita da integral da função contínua $\abs f^2$ força $f = 0$ .

Para $f$ meramente contínua, admita a Parseval geral: mesma demonstração de uma linha. (Esboço do caminho por densidade: a aproximação trigonométrica do tipo Fejér/Weierstrass mostra que os polinômios trigonométricos são $\norm\cdot_2$ -densos entre as funções periódicas contínuas; como $f \perp$ todos eles, $\norm f_2^2 = \langle f, f - P\rangle \leq \norm f_2\norm{f - P}_2$ para aproximantes $P$ , forçando $\norm f_2 = 0$ .)

Exercício 14.5 ★★

Para $\alpha \notin \Z$ , desenvolva $f(t) = \cos(\alpha t)$ ( $\abs t \leq \pi$ ) e deduza a decomposição em frações parciais da cotangente:

\pi\cot(\pi\alpha) = \frac{1}{\alpha} + \sum_{n\geq1} \frac{2\alpha}{\alpha^2 - n^2} .

Solução

Solução de Exercício 14.5.

Paridade: $b_n = 0$ ;

a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi \cos(\alpha t)\cos(nt)\,\dd t = \frac{2}{\pi}\cdot \frac{(-1)^n\,\alpha\sin(\pi\alpha)}{\alpha^2 - n^2}

(produto-soma e depois integre; $a_0 = \frac{2\sin(\pi\alpha)}{\pi\alpha}$ ). Dirichlet em $t = \pi$ (um ponto de continuidade da extensão periódica, cujos valores laterais coincidem por paridade):

\cos(\pi\alpha) = \frac{\sin(\pi\alpha)}{\pi\alpha} + \sum_{n\geq1} \frac{2\alpha\sin(\pi\alpha)}{\pi(\alpha^2 - n^2)}\,(-1)^n\cos(n\pi) = \frac{\sin(\pi\alpha)}{\pi}\Bigl(\frac{1}{\alpha} + \sum_{n\geq1}\frac{2\alpha}{\alpha^2 - n^2}\Bigr),

usando $(-1)^n\cos n\pi = 1$ . Dividir por $\sin(\pi\alpha)/\pi$ dá o desenvolvimento da cotangente.

Exercício 14.6 ★★

Prove que, se $f$ é $2\pi$ -periódica e $C^k$ com $f^{(k)}$ contínua por partes, então $c_n(f) = O\bigl(\abs n^{-k}\bigr)$ : a suavidade do sinal $=$ o decaimento de seu espectro.

Solução

Solução de Exercício 14.6.

Iterando $c_n(f') = \iu n\,c_n(f)$ ( $k$ vezes, integração por partes através das peças $C^{k}$ com valores de bordo coincidentes): $c_n(f^{(k)}) = (\iu n)^k c_n(f)$ . Os coeficientes da função contínua por partes $f^{(k)}$ são limitados (de fato $\to 0$ , Bessel):

\abs{c_n(f)} = \frac{\abs{c_n(f^{(k)})}}{\abs n^k} = O\bigl(\abs n^{-k}\bigr) .

Exercício 14.7 ★★★

(Desigualdade de Wirtinger) Seja $f$ de classe $C^1$ , $2\pi$ -periódica, com $\int_{-\pi}^{\pi} f = 0$ . Prove que

\int_{-\pi}^{\pi} \abs{f}^2 \leq \int_{-\pi}^{\pi} \abs{f'}^2 ,

com igualdade se e somente se $f(t) = a\cos t + b\sin t$ . (Parseval nos dois lados; compare $\abs{c_n}^2$ e $n^2\abs{c_n}^2$ .)

Solução

Solução de Exercício 14.7.

Parseval para $f$ e para $f'$ (as duas legítimas: $f$ é $C^1$ , $f'$ é contínua por partes — de fato contínua):

\frac{1}{2\pi}\int \abs f^2 = \sum_{n\neq0} \abs{c_n}^2 \quad (c_0 = 0 \text{ pela hipótese de média nula}), \qquad \frac{1}{2\pi}\int \abs{f'}^2 = \sum_{n\neq0} n^2\abs{c_n}^2 .

Termo a termo, $n^2\abs{c_n}^2 \geq \abs{c_n}^2$ para $\abs n \geq 1$ : segue a desigualdade. A igualdade força $(n^2 - 1)\abs{c_n}^2 = 0$ para todo $n$ , isto é, $c_n = 0$ para $\abs n \geq 2$ : $f(t) = c_1\eu^{\iu t} + c_{-1}\eu^{-\iu t} = a\cos t + b\sin t$ (forma real); reciprocamente, tais $f$ dão a igualdade.

Exercício 14.8 ★★★

(A constante de Gibbs) Para a onda quadrada do Exercício 14.1, avalie a soma parcial em $x_N = \frac{\pi}{2N}$ : escrevendo $u_k = \frac{(2k+1)\pi}{2N}$ e $\Delta u = \frac{\pi}{N}$ , mostre que

S_{2N-1}\Bigl(\frac{\pi}{2N}\Bigr) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1} \frac{\sin u_k}{2k+1} = \frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1} \frac{\sin u_k}{u_k}\,\Delta u \xrightarrow[N\to\infty]{} \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\frac{\sin u}{u}\,\dd u \approx 1.179 :

uma soma de Riemann de $\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\sin u}{u}$ em $\intcc{0}{\pi}$ nos pontos médios. Conclua que a ultrapassagem além do valor do salto $1$ não desaparece quando $N \to \infty$ .

Solução

Solução de Exercício 14.8.

De Exercício 14.1, $S_{2N-1}(x) = \frac4\pi\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin((2k+1)x)}{2k+1}$ . Em $x_N = \frac{\pi}{2N}$ , com $u_k = (2k+1)x_N = \frac{(2k+1)\pi}{2N}$ :

S_{2N-1}(x_N) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin u_k}{2k+1} = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin u_k}{u_k}\cdot \frac{u_k}{2k+1} = \frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin u_k}{u_k}\cdot \frac{\pi}{N},

pois $\frac{u_k}{2k+1} = \frac{\pi}{2N}$ . Os pontos $u_k$ são os pontos médios dos $N$ subintervalos de $\intcc{0}{\pi}$ de comprimento $\frac{\pi}{N}$ : a soma é uma soma de Riemann por pontos médios da função contínua $u \mapsto \frac{\sin u}{u}$ , logo converge para

\frac{2}{\pi}\int_0^\pi \frac{\sin u}{u}\,\dd u \approx \frac{2}{\pi}\times 1.8519 \approx 1.179 .

As somas parciais perto do salto ultrapassam o valor $1$ em $\approx 18\%$ do meio salto para sempre: o fenômeno de Gibbs, quantificado.

Exercício 14.9 ★

Desenvolva $\cos^3 t$ e $\sin^2 t\,\cos t$ em série de Fourier (linearize; um polinômio trigonométrico é sua própria série de Fourier, pela unicidade dos coeficientes). Quais são $c_n$ , $a_n$ , $b_n$ para cada uma?

Solução

Solução de Exercício 14.9.

De $\cos 3t = 4\cos^3t - 3\cos t$ :

\cos^3 t = \frac{3\cos t + \cos 3t}{4}, \qquad \sin^2t\,\cos t = \cos t - \cos^3 t = \frac{\cos t - \cos 3t}{4} .

Cada uma é um polinômio trigonométrico, logo igual à sua própria série de Fourier (unicidade dos coeficientes: dois desenvolvimentos difeririam por um polinômio trigonométrico com todos os coeficientes nulos). Para $\cos^3t$ : $a_1 = \frac34$ , $a_3 = \frac14$ , todos os demais $a_n$ e todos os $b_n$ nulos; $c_{\pm1} = \frac38$ , $c_{\pm3} = \frac18$ . Para $\sin^2t\cos t$ : $a_1 = \frac14$ , $a_3 = -\frac14$ ; $c_{\pm1} = \frac18$ , $c_{\pm3} = -\frac18$ .

Exercício 14.10 ★★

Sejam $a > 0$ e $f(t) = \eu^{at}$ em $\intoc{-\pi}{\pi}$ , estendida $2\pi$ -periodicamente. Calcule

c_n(f) = \frac{(-1)^n\sinh(a\pi)}{\pi(a - \iu n)} ,

aplique o teorema de Dirichlet no salto $t = \pi$ e deduza a decomposição em frações parciais da cotangente hiperbólica:

\coth(\pi a) = \frac{1}{\pi a} + \sum_{n\geq1} \frac{2a}{\pi(a^2 + n^2)} .

Solução

Solução de Exercício 14.10.

Cálculo direto:

c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\eu^{(a - \iu n)t}\dd t = \frac{\eu^{(a-\iu n)\pi} - \eu^{-(a - \iu n)\pi}} {2\pi(a - \iu n)} = \frac{(-1)^n\sinh(a\pi)}{\pi(a - \iu n)} ,

usando $\eu^{\pm\iu n\pi} = (-1)^n$ . Em $t = \pi$ a extensão periódica salta de $\eu^{a\pi}$ para $\eu^{-a\pi}$ ; Dirichlet (somas parciais simétricas) dá

\cosh(a\pi) = \sum_{n\in\Z}(-1)^n c_n\, = \frac{\sinh(a\pi)}{\pi}\Bigl(\frac1a + \sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{1}{a - \iu n} + \frac{1}{a + \iu n}\Bigr)\Bigr) = \frac{\sinh(a\pi)}{\pi}\Bigl(\frac1a + \sum_{n\geq1}\frac{2a}{a^2 + n^2}\Bigr) ,

cancelando-se as partes imaginárias dos termos emparelhados. Divida por $\sinh(a\pi)$ :

\coth(\pi a) = \frac{1}{\pi a} + \sum_{n\geq1}\frac{2a}{\pi(a^2 + n^2)} ,

a gêmea hiperbólica do Exercício 14.5.

Exercício 14.11 ★★

(Convolução) Para $f, g$ contínuas e $2\pi$ -periódicas, defina

(f * g)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x - t)\,g(t)\, \dd t .

Mostre que $f * g = g * f$ , que $c_n(f*g) = c_n(f)\,c_n(g)$ (para trocar as duas integrais de um integrando contínuo, compare as duas funções do limite superior: ambas se anulam na extremidade esquerda e têm a mesma derivada, pela continuidade e pela derivação sob o sinal de integral), e que $S_N(f) = f * D_N$ para o núcleo de Dirichlet. (As médias de Fejér do problema de fim de semana também são convoluções, $\sigma_N(f) = f * F_N$ .)

Solução

Solução de Exercício 14.11.

Comutatividade: substitua $s = x - t$ e use a periodicidade do integrando. Para $c_n(f * g)$ , o integrando $(x, t) \mapsto f(x-t)g(t)\eu^{-\iu nx}$ é contínuo; as duas integrais iteradas coincidem (ambas, como funções do limite superior da variável externa, se anulam na extremidade esquerda e têm a mesma derivada — a continuidade mais o Teorema 9.10 justificam derivar a integral iterada). Logo

c_n(f*g) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} g(t)\,\eu^{-\iu nt} \Bigl(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x-t)\,\eu^{-\iu n(x-t)}\dd x\Bigr)\dd t = c_n(f)\,c_n(g),

sendo a integral interna igual a $c_n(f)$ para todo $t$ (substituição e periodicidade). Por fim, Lema 14.5 diz que $S_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int f(x+u)D_N(u)\dd u$ ; a substituição $u \mapsto -t$ e a paridade de $D_N$ transformam isso em $(f * D_N)(x)$ .

Exercício 14.12 ★★★

(Núcleo de Poisson: médias de Abel das séries de Fourier) Para $0 \leq r < 1$ ponha $P_r(t) = \sum_{n\in\Z} r^{\abs n}\eu^{\iu nt}$ .

Some as duas séries geométricas e mostre que

$P_r(t) = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos t + r^2} > 0, \qquad \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}P_r = 1 .$
Mostre que, para $\delta \leq \abs t \leq \pi$ : $P_r(t) \leq \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\delta + r^2} \to 0$ quando $r \to 1^-$ , uniformemente.
Deduza que, para toda $f$ contínua $2\pi$ -periódica, as médias de Abel $(f * P_r)(x) = \sum_n r^{\abs n}c_n(f)\,\eu^{\iu nx}$ convergem para $f$ uniformemente quando $r \to 1^-$ — a irmã com parâmetro contínuo do teorema de Fejér, e a encarnação de Fourier da transformação de Abel do capítulo de séries de potências.

Solução

Solução de Exercício 14.12.

Com $w = r\eu^{\iu t}$ :

$P_r(t) = 1 + 2\,\Re\frac{w}{1 - w} = \Re\frac{1 + w}{1 - w} = \frac{1 - \abs w^2}{\abs{1 - w}^2} = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos t + r^2} > 0 .$

Média $1$ : a integração termo a termo da série normalmente convergente retém apenas $n = 0$ .
Para $\delta \leq \abs t \leq \pi$ : $\cos t \leq \cos\delta$ , logo $P_r(t) \leq \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\delta + r^2}$ , cujo denominador tende a $2 - 2\cos\delta > 0$ enquanto o numerador tende a $0$ : convergência uniforme para $0$ fora de qualquer vizinhança de $0$ .
A integração termo a termo (convergência normal em $t$ ) dá $(f * P_r)(x) = \sum_n r^{\abs n}c_n(f)\eu^{\iu nx}$ . O argumento da identidade aproximada: com média $1$ e positividade,

$\abs{(f*P_r)(x) - f(x)} \leq \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \abs{f(x-t) - f(x)}\,P_r(t)\,\dd t ,$

separe em $\abs t = \delta$ : no máximo $\varepsilon$ (Heine) mais $2\norm f_\infty\sup_{\delta\leq\abs t\leq\pi}P_r \to \varepsilon$ : convergência uniforme quando $r \to 1^-$ . Essa é a transformação de Abel da série de Fourier — a gêmea de Fourier da teoria de fronteira do capítulo de séries de potências.

14.4 Problema: o teorema de Fejér e seus dividendos

Problema 14.1

O teorema de Dirichlet precisa de $f$ $C^1$ por partes; para $f$ meramente contínua, as somas parciais $S_N(f)$ podem se comportar mal. A descoberta de Fejér: suas médias de Cesàro nunca se comportam. O motor é a positividade do núcleo de Fejér, e a colheita é imensa: aproximação trigonométrica uniforme (Weierstrass), unicidade dos coeficientes de Fourier, Parseval para toda função deste capítulo (removendo o “admitido” do Teorema 14.10), o teorema de equidistribuição de Weyl e — coroando um século de geometria — a desigualdade isoperimétrica. Em todo o problema, $f$ é $2\pi$ -periódica e contínua por partes, e

\sigma_N(f) = \frac{S_0(f) + S_1(f) + \dots + S_{N-1}(f)}{N} .

Parte I — O núcleo de Fejér.

Mostre que $\sigma_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x+u)\,F_N(u)\,\dd u$ com $F_N = \frac{D_0 + \dots + D_{N-1}}{N}$ , e que $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F_N = 1$ .
Demonstre a forma fechada, para $u \notin 2\pi\Z$ :

$F_N(u) = \frac{1}{N}\, \frac{\sin^2\bigl(\frac{Nu}{2}\bigr)} {\sin^2\bigl(\frac u2\bigr)} \;\geq\; 0$

(some $\sin\bigl((n+\frac12)u\bigr)$ como a parte imaginária de uma série geométrica).
Mostre a estimativa de concentração: para $0 < \delta \leq \abs u \leq \pi$ ,

$F_N(u) \leq \frac{1}{N\sin^2\frac\delta2} \xrightarrow[N\to\infty]{} 0 \quad\text{uniformemente} :$

$(F_N)$ é uma identidade aproximada positiva.
(Teorema de Fejér) Prove: se $f$ é contínua e $2\pi$ -periódica, então $\sigma_N(f) \to f$ uniformemente em $\R$ (separe a integral de $\bigl(f(x+u) - f(x)\bigr)F_N(u)$ em $\abs u = \delta$ ; use Heine e as questões 1–3).
Para $f$ contínua por partes, mostre a versão pontual $\sigma_N(f)(x) \to \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}$ em todo $x$ , e a cota uniforme $\norm{\sigma_N(f)}_\infty \leq \norm f_\infty$ (positividade!).

Parte II — Weierstrass, unicidade, Parseval.

(Weierstrass trigonométrico) Deduza: toda função contínua $2\pi$ -periódica é limite uniforme de polinômios trigonométricos.
(Unicidade) Deduza: uma $f$ contínua com $c_n(f) = 0$ para todo $n$ é identicamente nula — duas funções periódicas contínuas com os mesmos coeficientes de Fourier coincidem (Exercício 14.4, agora sem admissão alguma).
(Parseval, caso contínuo) Usando a propriedade de projeção de $S_N$ (Proposição 14.2) e $\sigma_Nf \in \mathcal T_{N-1} \subseteq \mathcal T_N$ , prove que

$\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_\infty \xrightarrow[N\to\infty]{} 0 ,$

e conclua a identidade de Parseval para toda $f$ contínua $2\pi$ -periódica.
(Parseval, caso contínuo por partes) Dada $f$ contínua por partes e $\varepsilon > 0$ , construa uma $g$ periódica contínua com $\norm{f - g}_2 \leq \varepsilon$ (substitua $f$ por uma interpolação afim em intervalos minúsculos em torno dos saltos) e deduza $\norm{f - S_Nf}_2 \to 0$ (use Bessel: $\norm{S_Nh}_2 \leq \norm h_2$ ): Parseval vale na generalidade plena enunciada no Teorema 14.10 — o “admitido” acabou.
(Sem Gibbs para Fejér) Contraste com o Exercício 14.8: mostre que, para a onda quadrada $f$ , $\abs{\sigma_N(f)} \leq 1$ em toda parte, para todo $N$ — a promediação de Cesàro apaga a ultrapassagem que assombra $S_N$ . Explique em uma frase qual propriedade de $F_N$ é a responsável.

Parte III — Taxas.

Demonstre as duas cotas do núcleo, para $0 < \abs u \leq \pi$ :

$F_N(u) \leq N, \qquad F_N(u) \leq \frac{\pi^2}{N u^2}$

(para a primeira, $\abs{\sin N\theta} \leq N\abs{\sin\theta}$ por indução; para a segunda, $\sin\frac u2 \geq \frac{u}{\pi}$ em $\intcc{0}{\pi}$ ).
Deduza a estimativa do primeiro momento

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs u\,F_N(u)\,\dd u \;\leq\; \frac{C\,\ln N}{N} \qquad (N \geq 2)$

para uma constante explícita (separe em $\abs u = \frac1N$ ).
Conclua: se $f$ é $L$ -lipschitziana e $2\pi$ -periódica, então

$\norm{\sigma_N f - f}_\infty \leq \frac{C\,L\ln N}{N} .$
(Saturação) Calcule $\sigma_N(e_1)$ para $e_1(t) = \eu^{\iu t}$ e mostre que $\norm{\sigma_Ne_1 - e_1}_\infty = \frac1N$ : mesmo para as funções mais suaves, Fejér não converge mais depressa que $\frac1N$ — o análogo exato da saturação de Bernstein no problema de fim de semana do capítulo de sequências de funções.
(Localização) Mostre: se $f$ (contínua por partes) se anula em $\intoo{x - \delta}{x + \delta}$ , então $\sigma_N(f)(x) \to 0$ , por mais selvagem que $f$ seja fora dali — a convergência das médias em $x$ só enxerga $f$ perto de $x$ .

Parte IV — O teorema de equidistribuição de Weyl. Uma sequência $(x_n)_{n\geq1}$ em $\intco{0}{1}$ é equidistribuída quando, para todo intervalo $\intcc{a}{b} \subseteq \intcc{0}{1}$ ,

\frac{\#\{n \leq N : x_n \in \intcc ab\}}{N} \xrightarrow[N\to\infty]{} b - a .

Mostre que $(x_n)$ é equidistribuída assim que $\frac1N\sum_{n\leq N}f(x_n) \to \int_0^1 f$ para toda $f$ contínua $1$ -periódica (comprima a indicadora de $\intcc ab$ entre duas funções afins por partes contínuas cujas integrais diferem de $\varepsilon$ ).
(Critério de Weyl, suficiência) Suponha

$\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\eu^{2\iu\pi kx_n} \xrightarrow[N\to\infty]{} 0 \qquad\text{para todo } k \in \Z\setminus\{0\} .$

Mostre $\frac1N\sum f(x_n) \to \int_0^1f$ primeiro para polinômios trigonométricos e depois para toda $f$ contínua $1$ -periódica pela questão 6 (transportada para o período $1$ ): com a questão 16, $(x_n)$ é equidistribuída.
Seja $\alpha$ irracional e $x_n = \{n\alpha\}$ (parte fracionária). Majore a soma geométrica

$\Bigl|\sum_{n=1}^{N}\eu^{2\iu\pi kn\alpha}\Bigr| \leq \frac{2}{\abs{1 - \eu^{2\iu\pi k\alpha}}} \qquad (k \neq 0),$

e conclua o teorema de Weyl: $(\{n\alpha\})$ é equidistribuída em $\intco{0}{1}$ .
Deduza que $(\{n\alpha\})$ é denso em $\intcc{0}{1}$ para $\alpha$ irracional, e explique em uma frase por que a equidistribuição é estritamente mais forte que a densidade.
(Primeiros algarismos) Prove que a proporção de inteiros $n \leq N$ tais que $2^n$ tem primeiro algarismo (decimal) $1$ tende a $\log_{10}2 \approx 0.301$ (primeiro algarismo $1$ significa $\{n\log_{10}2\} \in \intco{0}{\log_{10}2}$ ; mostre que $\log_{10}2$ é irracional).

Parte V — A desigualdade isoperimétrica. Seja $\Gamma$ uma curva fechada simples $C^1$ de comprimento $L$ que encerra uma área com sinal $A$ , parametrizada por comprimento de arco reescalado: $z(t) = x(t) + \iu y(t)$ , $2\pi$ -periódica, com $\abs{z'(t)} = \frac{L}{2\pi}$ constante; a área encerrada é

A = \frac12\int_0^{2\pi}\bigl(x\,y' - y\,x'\bigr)\dd t = \frac{1}{2}\,\Im\int_0^{2\pi}\conj{z}\,z'\,\dd t

(tomada aqui como definição da área com sinal; o capítulo sobre integrais múltiplas demonstra que ela coincide com a intuitiva, via a fórmula de Green).

Desenvolva $z(t) = \sum_{n\in\Z}c_n\eu^{\iu nt}$ (a série de uma função $C^1$ , normalmente convergente) e prove, por Parseval aplicada a $z'$ :

$\frac{L^2}{2\pi} = \int_0^{2\pi}\abs{z'}^2\dd t = 2\pi\sum_{n\in\Z}n^2\abs{c_n}^2 .$
Prove igualmente que $A = \pi\sum_{n\in\Z} n\,\abs{c_n}^2$ (Parseval em sua forma polarizada: $\frac{1}{2\pi}\int\conj f g = \sum \conj{c_n(f)}c_n(g)$ , aplicada a $f = z$ , $g = z'$ ).
(Hurwitz) Conclua:

$L^2 - 4\pi A = 4\pi^2\sum_{n\in\Z} (n^2 - n)\abs{c_n}^2 \;\geq\; 0 ,$

com igualdade se e somente se $z(t) = c_0 + c_1\eu^{\iu t}$ — um círculo. A desigualdade isoperimétrica: entre as curvas fechadas de comprimento $L$ , só o círculo encerra área $\frac{L^2}{4\pi}$ .
Verificações de bom senso: confira a igualdade para o círculo de raio $R$ e a desigualdade estrita para o quadrado de lado $a$ ; explique por que $n^2 - n \geq 0$ para todo inteiro $n$ , inclusive os negativos, e onde a velocidade constante da parametrização foi usada.
Síntese. Uma frase para cada: (i) a única propriedade de $F_N$ da qual fluem as Partes I–III e que falta a $D_N$ ; (ii) como a somação de Cesàro aqui se relaciona com o problema de fim de semana do capítulo de séries de potências (Frobenius); (iii) qual dividendo usou apenas Weierstrass (questão 6) e qual precisou da Parseval completa; (iv) uma frase sobre o que o volume do terceiro ano de graduação acrescenta (a completude de $L^2$ : as séries de Fourier como base hilbertiana).

Solução

Solução de Problema 14.1.

1. Promediar Lema 14.5 sobre $n = 0, \dots, N-1$ (linearidade da integral) dá $\sigma_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int f(x+u)F_N(u)\dd u$ ; cada $D_n$ tem média $1$ , logo $F_N$ tem média $1$ .

2. Com $\eu^{\iu u} - 1 = 2\iu\,\eu^{\iu u/2}\sin\frac u2$ :

\sum_{n=0}^{N-1}\sin\Bigl(\Bigl(n + \frac12\Bigr)u\Bigr) = \Im\Bigl[\eu^{\iu u/2}\,\frac{\eu^{\iu Nu} - 1}{\eu^{\iu u} - 1}\Bigr] = \Re\,\frac{1 - \eu^{\iu Nu}}{2\sin\frac u2} = \frac{1 - \cos Nu}{2\sin\frac u2} = \frac{\sin^2\frac{Nu}2}{\sin\frac u2} .

Dividindo por $N\sin\frac u2$ :

F_N(u) = \frac1N\sum_{n=0}^{N-1} \frac{\sin\bigl((n+\frac12)u\bigr)}{\sin\frac u2} = \frac{1}{N}\, \frac{\sin^2\frac{Nu}{2}}{\sin^2\frac u2} \geq 0 .

3. Em $\delta \leq \abs u \leq \pi$ : $\sin^2\frac u2 \geq \sin^2\frac\delta2$ e $\sin^2\frac{Nu}2 \leq 1$ : $F_N \leq \frac{1}{N\sin^2(\delta/2)} \to 0$ , uniformemente aí.

4. Pela média unitária, $\sigma_Nf(x) - f(x) = \frac{1}{2\pi}\int\bigl(f(x+u) - f(x)\bigr)F_N(u)\dd u$ . Dado $\varepsilon$ , Heine fornece $\delta$ com $\abs{f(x+u) - f(x)} \leq \varepsilon$ para $\abs u \leq \delta$ , uniformemente em $x$ . Então, usando $F_N \geq 0$ e sua média unitária,

\abs{\sigma_Nf(x) - f(x)} \leq \varepsilon + 2\norm f_\infty\cdot\frac{1}{2\pi} \int_{\delta\leq\abs u\leq\pi}F_N \leq \varepsilon + \frac{2\norm f_\infty}{N\sin^2\frac\delta2} \leq 2\varepsilon

para $N$ grande, uniformemente em $x$ : o teorema de Fejér.

5. $F_N$ é par de média $1$ : cada metade $\intcc{0}{\pi}$ , $\intcc{-\pi}{0}$ carrega média $\frac12$ . Então

\sigma_Nf(x) - \frac{f(x^+)+f(x^-)}{2} = \frac{1}{2\pi}\int_0^\pi\bigl(f(x+u) - f(x^+)\bigr)F_N\,\dd u + \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^0\bigl(f(x+u) - f(x^-)\bigr)F_N\,\dd u ;

em cada metade, separe em $\abs u = \delta$ , onde o limite lateral está a menos de $\varepsilon$ , e deixe a questão 3 matar a parte distante: as duas integrais tendem a $0$ . A cota: $F_N \geq 0$ dá $\abs{\sigma_Nf(x)} \leq \frac{1}{2\pi}\int\abs{f(x+u)}F_N \leq \norm f_\infty$ .

6. Cada $\sigma_N(f)$ é um polinômio trigonométrico (uma média das $S_n(f)$ , $n < N$ ), e $\sigma_N(f) \to f$ uniformemente: o teorema de Weierstrass trigonométrico.

7. $c_n(f) = 0$ para todo $n$ torna todo $S_n(f) = 0$ , logo todo $\sigma_N(f) = 0$ ; por Fejér, $f = \lim\sigma_Nf = 0$ . Aplicando isso a uma diferença: as funções periódicas contínuas são determinadas por seus coeficientes de Fourier.

8. $S_Nf$ é a projeção ortogonal de $f$ sobre $\mathcal T_N$ (Proposição 14.2), logo minimiza $\norm{f - P}_2$ em $P \in \mathcal T_N$ ; como $\sigma_Nf \in \mathcal T_{N-1} \subseteq \mathcal T_N$ :

\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_\infty \to 0

(a desigualdade do meio porque a média de $\abs\cdot^2$ é no máximo o quadrado do sup). Pitágoras $\norm f_2^2 = \sum_{\abs n\leq N}\abs{c_n}^2 + \norm{f - S_Nf}_2^2$ passa então ao limite: Parseval para toda $f$ periódica contínua.

9. Sejam $t_1, \dots, t_p$ os saltos de $f$ num período, $M = \norm f_\infty$ . Para $\eta$ pequeno, defina $g = f$ fora dos intervalos $\intoo{t_j - \eta}{t_j + \eta}$ e pela corda afim em cada um desses intervalos: $g$ é contínua, periódica, $\norm g_\infty \leq M$ , e

\norm{f - g}_2^2 \leq \frac{1}{2\pi}\,p\cdot(2M)^2\cdot2\eta \leq \varepsilon^2

para $\eta$ pequeno. Bessel torna $S_N$ uma contração para $\norm\cdot_2$ , logo

\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - g}_2 + \norm{g - S_Ng}_2 + \norm{S_N(g - f)}_2 \leq 2\varepsilon + \norm{g - S_Ng}_2 ,

e a questão 8 dá $\limsup_N\norm{f - S_Nf}_2 \leq 2\varepsilon$ para todo $\varepsilon$ : $\norm{f - S_Nf}_2 \to 0$ , e Pitágoras fornece Parseval para toda $f$ contínua por partes: o “admitido” do Teorema 14.10 é agora um teorema.

10. A onda quadrada tem $\norm f_\infty = 1$ , de modo que a questão 5 dá $\abs{\sigma_N(f)} \leq 1$ em toda parte e para todo $N$ — sem ultrapassagem alguma — enquanto o Exercício 14.8 mostra que $\sup_xS_{2N-1}(f)(x) \to \approx 1.179$ . A propriedade responsável: $F_N \geq 0$ , de modo que $\sigma_Nf(x)$ é uma média ponderada de valores de $f$ e nunca pode sair de $\intcc{\min f}{\max f}$ ; $D_N$ assume valores negativos, logo $S_N$ pode.

11. $\abs{\sin N\theta} \leq N\abs{\sin\theta}$ por indução ( $\abs{\sin(N{+}1)\theta} \leq \abs{\sin N\theta}\abs{\cos\theta} + \abs{\cos N\theta}\abs{\sin\theta} \leq (N+1)\abs{\sin\theta}$ ): com $\theta = \frac u2$ ,

F_N(u) = \frac{\sin^2\frac{Nu}2}{N\sin^2\frac u2} \leq \frac{N^2\sin^2\frac u2}{N\sin^2\frac u2} = N .

A concavidade de $\sin$ em $\intcc{0}{\frac\pi2}$ dá $\sin\frac u2 \geq \frac{u}{\pi}$ para $0 \leq u \leq \pi$ , logo $F_N(u) \leq \frac{1}{N(u/\pi)^2} = \frac{\pi^2}{Nu^2}$ .

12. Pela paridade e pela separação em $\frac1N$ :

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs uF_N = \frac1\pi\int_0^\pi uF_N \leq \frac1\pi\Bigl(\int_0^{1/N}uN\,\dd u + \int_{1/N}^{\pi}\frac{\pi^2}{Nu}\,\dd u\Bigr) = \frac{1}{2\pi N} + \frac{\pi\ln(\pi N)}{N} .

Para $N \geq 2$ : $\ln(\pi N) \leq \bigl(1 + \frac{\ln\pi}{\ln2}\bigr)\ln N \leq 2.66\ln N$ e $\frac{1}{2\pi N} \leq \frac{\ln N}{N}$ , de modo que o momento é $\leq \frac{9\ln N}{N}$ .

13. Para $f$ $L$ -lipschitziana:

\abs{\sigma_Nf(x) - f(x)} \leq \frac{1}{2\pi}\int\abs{f(x+u) - f(x)}F_N(u)\dd u \leq L\cdot\frac{1}{2\pi}\int\abs uF_N \leq \frac{9L\ln N}{N},

uniformemente em $x$ .

14. $c_0(e_1) = 0$ dá $S_0(e_1) = 0$ , enquanto $S_n(e_1) = e_1$ para $n \geq 1$ : $\sigma_N(e_1) = \frac{N-1}{N}e_1$ , logo $\norm{\sigma_Ne_1 - e_1}_\infty = \frac1N$ . Mesmo para esse sinal inteiro e de banda limitada, a taxa é $\frac1N$ : Fejér satura, exatamente como o operador de Bernstein satura em $\frac1n$ (Voronovskaya, no problema de fim de semana do capítulo de sequências de funções).

15. Se $f$ se anula em $\intoo{x-\delta}{x+\delta}$ , então $\sigma_Nf(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{\delta \leq \abs u \leq \pi}f(x+u)F_N(u)\dd u$ , de valor absoluto no máximo $\frac{\norm f_\infty}{N\sin^2(\delta/2)} \to 0$ : as médias de Cesàro em $x$ só enxergam $f$ perto de $x$ .

16. Dados $\intcc ab$ e $\varepsilon$ , escolha funções afins por partes $\varphi^\pm$ , contínuas e $1$ -periódicas, com $\varphi^- \leq \mathbf 1_{\intcc ab} \leq \varphi^+$ e $\int_0^1(\varphi^+ - \varphi^-) \leq \varepsilon$ (trapézios com rampas em intervalos de comprimento total $\varepsilon$ ). Então

\limsup_N\frac{\#\{n \leq N : x_n \in \intcc ab\}}{N} \leq \lim_N\frac1N\sum_{n\leq N}\varphi^+(x_n) = \int_0^1\varphi^+ \leq b - a + \varepsilon ,

e simetricamente $\liminf \geq b - a - \varepsilon$ : a proporção tende a $b - a$ .

17. Para $f = \eu^{2\iu\pi k\cdot}$ com $k \neq 0$ , a hipótese dá o limite $0 = \int_0^1f$ ; para $k = 0$ os dois lados valem $1$ ; a linearidade cuida de todo polinômio trigonométrico. Para $f$ contínua $1$ -periódica e $\varepsilon > 0$ , a questão 6 (transportada por $t = 2\pi x$ ) fornece um polinômio trigonométrico $P$ com $\norm{f - P}_\infty \leq \varepsilon$ :

\Bigl|\frac1N\sum_{n\leq N}f(x_n) - \int_0^1f\Bigr| \leq 2\varepsilon + \Bigl|\frac1N\sum_{n\leq N}P(x_n) - \int_0^1P\Bigr| \longrightarrow 2\varepsilon .

Com a questão 16: $(x_n)$ é equidistribuída.

18. Para $k \neq 0$ e $\alpha$ irracional, $w = \eu^{2\iu\pi k\alpha} \neq 1$ :

\Bigl|\sum_{n=1}^{N}w^n\Bigr| = \Bigl|\frac{w(w^N - 1)}{w - 1}\Bigr| \leq \frac{2}{\abs{1 - w}} ,

uma cota independente de $N$ ; dividir por $N$ dá o critério de Weyl, e a questão 17 conclui: $(\{n\alpha\})$ é equidistribuída.

19. Todo subintervalo recebe proporção assintótica igual a seu comprimento, em particular infinitos pontos: $(\{n\alpha\})$ é denso. A equidistribuição é mais forte: uma sequência pode ser densa e ainda assim passar quase todo o tempo num canto (a densidade diz aonde a sequência vai, a equidistribuição diz com que frequência).

20. $2^n$ tem primeiro algarismo $1$ se e somente se $10^m \leq 2^n < 2\cdot10^m$ para algum $m$ , isto é, se e somente se $\{n\log_{10}2\} \in \intco{0}{\log_{10}2}$ . Irracionalidade: $\log_{10}2 = \frac pq$ daria $2^q = 10^p = 2^p5^p$ , impossível para $p \geq 1$ pela unicidade da fatoração. O teorema de Weyl (questão 18 com $\alpha = \log_{10}2$ ; o intervalo semiaberto é comprimido entre fechados de comprimentos próximos) dá a proporção $\log_{10}2 \approx 0.301$ : os primeiros algarismos de $2^n$ seguem a lei de Benford.

21. $z$ é $C^1$ , logo sua série de Fourier converge normalmente com soma $z$ (Teorema 14.10 (1)), e $c_n(z') = \iu n\,c_n$ . Como $\abs{z'} = \frac{L}{2\pi}$ é constante,

\int_0^{2\pi}\abs{z'}^2\dd t = 2\pi\Bigl(\frac{L}{2\pi}\Bigr)^{\!2} = \frac{L^2}{2\pi} ,

e Parseval aplicada à contínua $z'$ dá $\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\abs{z'}^2 = \sum_n\abs{\iu nc_n}^2$ , isto é, $\frac{L^2}{2\pi} = 2\pi\sum_n n^2\abs{c_n}^2$ .

22. A Parseval polarizada $\frac{1}{2\pi}\int\conj fg = \sum\conj{c_n(f)}c_n(g)$ decorre de Parseval aplicada a $f + g$ e $f + \iu g$ (identidade de polarização), ambas contínuas. Com $f = z$ , $g = z'$ :

A = \frac12\,\Im\int_0^{2\pi}\conj z\,z' = \pi\,\Im\sum_n\conj{c_n}(\iu n c_n) = \pi\sum_n n\abs{c_n}^2 .

23. Combinando as questões 21–22:

L^2 - 4\pi A = 4\pi^2\sum_n n^2\abs{c_n}^2 - 4\pi^2\sum_n n\abs{c_n}^2 = 4\pi^2\sum_{n\in\Z}(n^2 - n)\abs{c_n}^2 \geq 0 ,

pois $n^2 - n = n(n-1) \geq 0$ para todo inteiro. A igualdade força $c_n = 0$ para todo $n \notin \{0, 1\}$ : $z(t) = c_0 + c_1\eu^{\iu t}$ , um círculo de centro $c_0$ e raio $\abs{c_1} = \frac{L}{2\pi}$ (velocidade constante). A demonstração de Hurwitz da desigualdade isoperimétrica: $A \leq \frac{L^2}{4\pi}$ , só o círculo.

24. Círculo de raio $R$ : $L = 2\pi R$ , $A = \pi R^2$ : $L^2 = 4\pi^2R^2 = 4\pi A$ : igualdade. Quadrado de lado $a$ : $L^2 = 16a^2 > 4\pi a^2 = 4\pi A$ (pois $16 > 4\pi \approx 12.57$ ). Para $n$ negativo, $n^2 - n = n(n - 1)$ é um produto de dois inteiros negativos: positivo — de modo que os modos que enrolam para trás custam área duas vezes. A velocidade constante entrou na questão 21, convertendo $\int\abs{z'}^2$ em $\frac{L^2}{2\pi}$ ; para uma velocidade não constante, Cauchy–Schwarz dá $\int\abs{z'}^2 \geq \frac{(\int\abs{z'})^2}{2\pi} = \frac{L^2}{2\pi}$ , de modo que a desigualdade sobrevive, com o círculo ainda como único caso de igualdade.

25. (i) Tudo flui de $F_N \geq 0$ (com média unitária e concentração); $D_N$ tem média unitária e concentração de oscilação, mas não positividade, e Gibbs é o preço. (ii) A somabilidade de Cesàro da série de Fourier implica sua somabilidade de Abel com a mesma soma (Frobenius, demonstrado no problema de fim de semana do capítulo de séries de potências) — o caminho pelo núcleo de Poisson do Exercício 14.12 é exatamente o método de Abel. (iii) O teorema de Weyl precisou apenas da aproximação uniforme (questão 6); a desigualdade isoperimétrica precisou da própria Parseval (questões 8, 21–22). (iv) O volume do terceiro ano de graduação demonstra a completude: as exponenciais formam uma base hilbertiana de $L^2$ , Parseval torna-se uma isometria de espaços de Hilbert, e o teorema de Fejér torna-se o enunciado de que essa isometria é calculável por médias positivas.