Matemática universitária — Graduação 2 · Bachelor Year 2

13Formas hermitianas

Os espaços vetoriais complexos têm sua própria geometria de produto interno, com uma reviravolta: linearidade em uma variável, linearidade conjugada na outra. A recompensa por aceitar a reviravolta é uma teoria espectral ainda mais limpa que a real — os endomorfismos hermitianos têm autovalores reais, os unitários têm autovalores de módulo um, e os dois diagonalizam em bases ortonormais. Este capítulo curto roda o programa euclidiano do Capítulo 12 sobre $\C$ .

13.1 Produtos internos hermitianos

Definição 13.1

Um produto interno hermitiano num espaço vetorial complexo $E$ é uma aplicação $\langle\cdot,\cdot\rangle \colon E \times E \to \C$ linear na segunda variável, conjugada-simétrica ( $\langle y, x\rangle = \conj{\langle x, y\rangle}$ — logo conjugada-linear na primeira variável) e positiva definida ( $\langle x, x\rangle > 0$ para $x \neq 0$ ). O exemplo padrão em $\C^n$ :

\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} \conj{x_i}\, y_i ;

sobre funções contínuas, $\langle f, g\rangle = \int_a^b \conj f\,g$ . Norma: $\norm x = \sqrt{\langle x,x\rangle}$ ; um espaço complexo de dimensão finita assim munido é um espaço hermitiano.

Exemplo 13.2 (Primeiros cálculos)

Em $\C^2$ , tome $x = (1+\iu,\ 2-\iu)$ e $y = (\iu,\ 1)$ . Então

\norm x^2 = \abs{1+\iu}^2 + \abs{2-\iu}^2 = 2 + 5 = 7, \qquad \norm y^2 = 1 + 1 = 2,

e, conjugando o primeiro argumento,

\langle x, y\rangle = \conj{(1+\iu)}\,\iu + \conj{(2-\iu)}\cdot1 = (1-\iu)\iu + (2+\iu) = (\iu + 1) + (2 + \iu) = 3 + 2\iu .

Cauchy–Schwarz confere: $\abs{\langle x, y\rangle}^2 = 9 + 4 = 13 \leq 14 = \norm x^2\norm y^2$ — perto da igualdade, porque $x$ está perto de ser um múltiplo de $y$ . Note também que $\langle y, x\rangle = \conj{3 + 2\iu} = 3 - 2\iu$ : a simetria conjugada em ação, e a razão pela qual $\langle x, x\rangle$ é sempre real.

Teorema 13.3 (Cauchy–Schwarz, complexa)

$\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x \norm y$ , com igualdade se e somente se $x, y$ são linearmente dependentes; $\norm\cdot$ é uma norma. Além disso, existem bases ortonormais (Gram–Schmidt roda palavra por palavra), com

x = \sum_i \langle e_i, x\rangle\, e_i, \qquad \norm x^2 = \sum_i \abs{\langle e_i, x\rangle}^2 .

Demonstração. Para $y \neq 0$ e $t \in \C$ : $0 \leq \norm{x - ty}^2 = \norm x^2 - 2\Re\bigl(\conj t\langle y, x\rangle\bigr) + \abs t^2\norm y^2$ . Escolha $t = \frac{\langle y, x\rangle}{\norm y^2}$ :

0 \leq \norm x^2 - \frac{\abs{\langle y, x\rangle}^2}{\norm y^2},

que é a desigualdade; a igualdade força $x = ty$ . Desigualdade triangular, por inteiro:

\norm{x + y}^2 = \norm x^2 + 2\,\Re\langle x, y\rangle + \norm y^2 \leq \norm x^2 + 2\,\abs{\langle x, y\rangle} + \norm y^2 \leq \bigl(\norm x + \norm y\bigr)^2 ,

usando $\Re z \leq \abs z$ e depois Cauchy–Schwarz; a homogeneidade e a separação são imediatas, logo $\norm\cdot$ é uma norma. Gram–Schmidt: como no caso real, com os conjugados colocados pela definição (note a convenção: nossos produtos são conjugados-lineares na primeira casa, de modo que as coordenadas são $\langle e_i, x\rangle$ ; o exemplo seguinte roda o algoritmo uma vez por inteiro). ∎

Exemplo 13.4 (Gram–Schmidt complexo, executado por inteiro)

Ortonormalize a base $v_1 = (1, \iu)$ , $v_2 = (0, 1)$ de $\C^2$ . Primeiro vetor: $\norm{v_1}^2 = \abs1^2 + \abs\iu^2 = 2$ , logo $e_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$ . Projete $v_2$ — com o conjugado na primeira casa:

\langle e_1, v_2\rangle = \frac{1}{\sqrt2}\bigl(\conj{1}\cdot0 + \conj{\iu}\cdot1\bigr) = \frac{-\iu}{\sqrt2} , \qquad v_2 - \langle e_1, v_2\rangle e_1 = (0,1) + \frac{\iu}{2}\,(1, \iu) = \Bigl(\frac\iu2,\ \frac12\Bigr) .

Sua norma é $\sqrt{\frac14 + \frac14} = \frac{1}{\sqrt2}$ : $e_2 = \frac{1}{\sqrt2}(\iu, 1)$ . Verificação: $\langle e_1, e_2\rangle = \frac12(\conj1\cdot\iu + \conj\iu\cdot1) = \frac12(\iu - \iu) = 0$ . Coordenadas de $v_2$ na nova base: $v_2 = \langle e_1, v_2\rangle e_1 + \langle e_2, v_2\rangle e_2$ com $\langle e_2, v_2\rangle = \frac{1}{\sqrt2}$ — atenção à ordem: $\langle v_2, e_1\rangle$ daria o coeficiente conjugado. Lição final: o algoritmo é o euclidiano palavra por palavra; a única armadilha é onde cai a conjugação, e calcular $\norm{v_2 - \text{proj}}^2 > 0$ usa silenciosamente a positividade — o axioma que faz toda a geometria funcionar.

13.2 Adjunto, endomorfismos hermitianos e unitários

Definição 13.5

O adjunto $u^*$ de $u \in \mathcal{L}(E)$ define-se por $\langle u^*(x), y\rangle = \langle x, u(y)\rangle$ ; numa base ortonormal, $\operatorname{Mat}(u^*) = \conj{A}^{\mathsf T} =: A^{\dagger}$ (transposta conjugada) — de fato, se $B = (b_{ij})$ é a matriz de $u^*$ na base ortonormal $(e_i)$ , então $b_{ij} = \langle e_i, u^*(e_j)\rangle$ , e a identidade de definição dá

\conj{b_{ij}} = \langle u^*(e_j), e_i\rangle = \langle e_j, u(e_i)\rangle = a_{ji} , \qquad\text{logo}\qquad B = \conj{A}^{\mathsf T} .

$u$ é hermitiano quando $u^* = u$ ( $A^\dagger = A$ ), unitário quando $u^*u = \mathrm{id}$ ( $A^\dagger A = I$ : o grupo $U(n)$ ), normal quando $u^*u = uu^*$ .

Proposição 13.6

Os autovalores de um endomorfismo hermitiano são reais; os autovalores de um endomorfismo unitário têm módulo $1$ ; nos dois casos, os autoespaços de autovalores distintos são ortogonais.

Demonstração. Hermitiano, $u(x) = \lambda x$ , $x \neq 0$ :

\lambda \norm x^2 = \langle x, u(x)\rangle = \langle u(x), x\rangle = \conj{\langle x, u(x)\rangle} = \conj\lambda\,\norm x^2 ,

logo $\lambda \in \R$ . Unitário: $\norm{u(x)} = \norm x$ (de $u^*u = \mathrm{id}$ ), logo $\abs\lambda\norm x = \norm x$ . Ortogonalidade (caso hermitiano): $\lambda\langle x, y\rangle = \langle u(x), y\rangle = \langle x, u(y)\rangle = \mu\langle x, y\rangle$ para autovetores com $\lambda \neq \mu$ reais. Caso unitário, por inteiro: para $u(x) = \lambda x$ , $u(y) = \mu y$ com $\lambda \neq \mu$ (ambos de módulo um),

\langle x, y\rangle = \langle u(x), u(y)\rangle = \conj\lambda\mu\,\langle x, y\rangle ,

e $\conj\lambda\mu = \frac{\mu}{\lambda} \neq 1$ : o fator não é $1$ , logo $\langle x, y\rangle = 0$ . ∎

Exemplo 13.7 (Uma matriz anti-hermitiana, diagonalizada)

$A = \begin{pmatrix} 0 & -2\\ 2 & 0\end{pmatrix}$ satisfaz $A^\dagger = A^{\mathsf T} = -A$ : anti-hermitiana (e também real antissimétrica — sobre $\R$ ela não tem autovalor algum). Polinômio característico $X^2 + 4$ : autovalores $\pm2\iu$ , puramente imaginários, como o Exercício 13.9 prevê em geral. Autovetores: $(A - 2\iu I)v = 0$ dá $v_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$ , e $v_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)$ para $-2\iu$ ; eles são ortogonais:

\langle v_1, v_2\rangle = \tfrac12\bigl(\conj{1}\cdot1 + \conj{\iu}\cdot(-\iu)\bigr) = \tfrac12(1 - 1) = 0 .

Assim $A = U\operatorname{diag}(2\iu, -2\iu)\,U^\dagger$ com $U = (v_1\ v_2)$ unitária. Lição final: $H = -\iu A = \begin{pmatrix} 0 & 2\iu\\ -2\iu & 0\end{pmatrix}$ é hermitiana com o espectro real $\{\pm2\}$ e os mesmos autovetores — a bijeção $u \mapsto \iu u$ entre endomorfismos hermitianos e anti-hermitianos (Exercício 13.9), vista matriz a matriz; sobre $\R$ a mesma $A$ é uma rotação com escala sem autovetor algum, e só a passagem a $\C$ revela sua forma normal.

Teorema 13.8 (Teorema espectral hermitiano)

Todo endomorfismo hermitiano de um espaço hermitiano tem base ortonormal de autovetores (com autovalores reais): $A^\dagger = A$ implica $A = U D U^{\dagger}$ com $U \in U(n)$ e $D$ diagonal real.

Demonstração. Sobre $\C$ , o polinômio característico se decompõe: existe um autovetor $e_1$ (Capítulo 3) — nenhum argumento de compacidade necessário, vantagem de $\C$ . Normalize-o. Seu complemento ortogonal $F = e_1^\perp$ é estável: para $x \perp e_1$ ,

\langle e_1, u(x)\rangle = \langle u(e_1), x\rangle = \lambda_1\langle e_1, x\rangle = 0

( $\lambda_1$ real). A restrição é hermitiana; faça indução sobre a dimensão e concatene. Em detalhe: a restrição $u|_F$ é um endomorfismo do espaço hermitiano $F$ (dimensão $n - 1$ ) com $\langle u|_F(x), y\rangle = \langle x, u|_F(y)\rangle$ herdado de $u$ ; a hipótese de indução fornece uma base ortonormal $(e_2, \dots, e_n)$ de $F$ de autovetores, e $(e_1, e_2, \dots, e_n)$ é ortonormal em $E$ ( $e_1 \perp F$ ) e formada de autovetores de $u$ . Tradução matricial: as colunas de $U$ são os $e_i$ , $U^\dagger U = I$ exprime sua ortonormalidade, e $AU = UD$ reúne as equações de autovalor, donde $A = UDU^\dagger$ com $D$ diagonal real (Proposição 13.6). ∎

Exemplo 13.9

$A = \begin{pmatrix} 0 & -\iu\\ \iu & 0\end{pmatrix}$ é hermitiana ( $A^\dagger = A$ ): autovalores a partir de $\chi_A = X^2 - 1$ : $\pm 1$ (reais, como prometido), com autovetores ortonormais $\frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)^{\mathsf T}$ e $\frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)^{\mathsf T}$ . (Os físicos conhecem $A$ como matriz de Pauli; a realidade dos espectros hermitianos é o motivo pelo qual os observáveis quânticos são modelados por operadores hermitianos.)

Exemplo 13.10 (Uma matriz hermitiana positiva definida, trabalhada)

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1-\iu\\ 1+\iu & 3\end{pmatrix}$ : hermitiana, pois a diagonal é real e as entradas fora da diagonal são conjugadas. Polinômio característico:

(2-\lambda)(3-\lambda) - \abs{1-\iu}^2 = \lambda^2 - 5\lambda + 4 = (\lambda - 1)(\lambda - 4) :

espectro $\{1, 4\}$ , real e positivo — $A$ é positiva definida. Autovetores: para $\lambda = 4$ , o sistema $(A - 4I)v = 0$ dá $v_4 = (1 - \iu,\ 2)$ (confira a segunda linha: $(1+\iu)(1-\iu) - 2 = 0$ ); para $\lambda = 1$ , $v_1 = (1 - \iu,\ -1)$ . Ortogonalidade, com o conjugado na primeira casa:

\langle v_4, v_1\rangle = \conj{(1-\iu)}\,(1-\iu) + \conj{2}\,(-1) = 2 - 2 = 0 . \checkmark

Normalizando ( $\norm{v_4}^2 = 2 + 4 = 6$ , $\norm{v_1}^2 = 2 + 1 = 3$ ) obtém-se a unitária $U = \bigl(\frac{v_4}{\sqrt6}\ \frac{v_1}{\sqrt3}\bigr)$ com $A = U\operatorname{diag}(4,1)U^\dagger$ . Lição final: a leitura de Rayleigh é imediata — na esfera unitária de $\C^2$ , $\langle x, Ax\rangle$ percorre $\intcc{1}{4}$ , atingido nos dois autovetores; esse é o germe em $n = 2$ da teoria de Courant–Fischer construída no problema de fim de semana. Confira por amostragem que a forma é real fora dos autovetores também: em $x = (1, \iu)$ ,

Ax = \bigl(2 + (1-\iu)\iu,\ (1+\iu) + 3\iu\bigr) = (3 + \iu,\ 1 + 4\iu),

\langle x, Ax\rangle = \conj{1}\,(3+\iu) + \conj{\iu}\,(1+4\iu) = (3 + \iu) + (-\iu)(1 + 4\iu) = 3 + \iu - \iu + 4 = 7 \in \R ,

como o mecanismo de demonstração da Proposição 13.6 (simetria conjugada contra $A^\dagger = A$ ) garante para todo $x$ .

Exemplo 13.11 (Uma matriz unitária diagonalizada)

$U = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ \iu & 1 \end{pmatrix}$ (unitária por Exercício 13.2). Seu polinômio característico é $\bigl(X - \frac{1}{\sqrt2}\bigr)^2 + \frac12$ , com raízes

\lambda_\pm = \frac{1 \pm \iu}{\sqrt2} = \eu^{\pm\iu\pi/4},

de módulo um, como a Proposição 13.6 prometeu, e autovetores ortonormais $\frac{1}{\sqrt2}(1, \pm1)$ . Assim $U = V\operatorname{diag}(\eu^{\iu\pi/4}, \eu^{-\iu\pi/4})V^\dagger$ : na base certa, $U$ é um par de rotações planas de $\pm\frac\pi4$ — uma matriz de rotação real não tem autovetor real algum, mas sobre $\C$ ela se separa em dois escalares de módulo um. Lição final: os espectros hermitianos vivem na reta real, os unitários no círculo unitário; ambos são sombras da mesma normalidade, e a transformada de Cayley do Exercício 13.6 leva um retrato no outro.

Exemplo 13.12 (A transformada de Cayley, calculada)

Rode o Exercício 13.6 em $H = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ (hermitiana, espectro $\{1, -1\}$ , autovetores ortonormais $\frac{1}{\sqrt2}(1, \pm1)$ ). Na base de autovetores tudo é escalar: a transformada $\lambda \mapsto \frac{\lambda - \iu}{\lambda + \iu}$ leva

1 \longmapsto \frac{1 - \iu}{1 + \iu} = -\iu, \qquad -1 \longmapsto \frac{-1 - \iu}{-1 + \iu} = \iu ,

(multiplique pelo conjugado do denominador), de modo que $U = (H - \iu I)(H + \iu I)^{-1}$ é a unitária de autovalores $\mp\iu$ nesses mesmos autovetores:

U = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\iu & 0\\ 0 & \iu\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -\iu\\ -\iu & 0\end{pmatrix} .

Verificação: $U^\dagger U = I$ e $1 \notin \operatorname{Sp}U = \{\pm\iu\}$ , como a teoria promete. Lição final: a reta real é levada sobre o círculo unitário menos o ponto $1$ — autovalor por autovalor, a transformada de Cayley é a aplicação de Möbius $\frac{\lambda-\iu}{\lambda+\iu}$ , e as matrizes apenas seguem seus espectros.

Observação 13.13 (Armadilhas comuns)

(i) Onde cai a barra: este livro conjuga a primeira casa, de modo que as coordenadas são $\langle e_i, x\rangle$ e $\langle\lambda x, y\rangle = \conj\lambda\langle x, y\rangle$ ; muitos textos conjugam a segunda casa — traduza antes de comparar fórmulas, ou os sinais de $\iu$ ficam errados em silêncio. (ii) A polarização complexa é mais forte: sobre $\C$ , se $\langle x, u(x)\rangle = 0$ para todo $x$ , então $u = 0$ (desenvolva $x + y$ e $x + \iu y$ : tanto a parte real quanto a imaginária de $\langle x, u(y)\rangle$ se anulam); sobre $\R$ isso falha — a rotação de $\frac\pi2$ satisfaz $\langle x, u(x)\rangle = 0$ em toda parte. Por consequência, apenas sobre $\C$ , “ $\langle x, u(x)\rangle \in \R$ para todo $x$ ” já força $u$ hermitiano. (iii) Normal real não é diagonalizável: a matriz de Exemplo 13.7 é normal mas não tem autovalor real; a diagonalização unitária é um teorema sobre $\C$ , e sobre $\R$ só se obtêm reduções por blocos. (iv) Verificar a unitariedade: $U^\dagger U = I$ significa que as colunas são ortonormais para o produto hermitiano — testar $UU^{\mathsf T}$ , ou esquecer a conjugação nos produtos de colunas, são os dois modos clássicos de certificar uma matriz errada.

Exemplo 13.14 (As isometrias são exatamente as unitárias)

Preservar a norma parece mais fraco que ser unitário, mas sobre $\C$ não é: se $\norm{u(x)} = \norm x$ para todo $x$ , então $u^*u = \mathrm{id}$ . De fato, $v = u^*u - \mathrm{id}$ é hermitiano e satisfaz $\langle x, v(x)\rangle = \norm{u(x)}^2 - \norm x^2 = 0$ para todo $x$ ; pela polarização complexa (armadilha (ii) acima), uma aplicação com “diagonal” identicamente nula é nula: $v = 0$ . Concretamente, a polarização roda

0 = \langle x + y, v(x+y)\rangle = \langle x, v(y)\rangle + \langle y, v(x)\rangle, \qquad 0 = \langle x + \iu y, v(x + \iu y)\rangle = \iu\langle x, v(y)\rangle - \iu\langle y, v(x)\rangle ,

e as duas linhas juntas forçam $\langle x, v(y)\rangle = 0$ para todos $x, y$ . Lição final: é por isso que “unitário” pode ser verificado só medindo comprimentos — uma rigidez que o capítulo de Fourier vai explorar, em que preservar a energia $\norm f_2$ (Parseval) é o mesmo que preservar todos os produtos internos de coeficientes.

Observação 13.15 (Perspectivas dentro deste volume)

A maquinaria hermitiana aqui construída é consumida quase imediatamente. O capítulo de Fourier é geometria hermitiana em dimensão infinita: as exponenciais $(e_n)$ são uma família ortonormal para $\langle f, g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int\conj fg$ , a desigualdade de Bessel é a estimativa de projeção do Teorema 13.3 deste capítulo, e Parseval é sua igualdade limite. A transformada de Fourier finita (Exercício 13.10) reaparece sempre que a convolução tem de ser diagonalizada. E o problema de fim de semana deste capítulo — Courant–Fischer, Weyl, entrelaçamento — fornece a estabilidade dos autovalores que o capítulo de equações diferenciais invoca ao afirmar que pequenas perturbações de um sistema movem suas frequências apenas ligeiramente. Para trás, tudo aqui é o espelho complexo do capítulo de formas quadráticas: mantenha os dois dicionários lado a lado ( $A^{\mathsf T} \leftrightarrow A^\dagger$ , ortogonal $\leftrightarrow$ unitário, Rayleigh real nos dois).

Observação 13.16 (Endomorfismos normais)

Sobre $\C$ o enunciado definitivo é: $u$ é unitariamente diagonalizável se e somente se é normal ( $u^*u = uu^*$ ) — cobrindo de uma vez as aplicações hermitianas, unitárias e anti-hermitianas. A demonstração é um reforço agradável do argumento acima (Exercício 13.8). Sobre $\R$ , em contraste, a normalidade só compra a diagonalização por blocos (blocos de rotação): a geometria complexa é genuinamente mais simples.

Observação 13.17 (Onde isso é usado)

A teoria espectral hermitiana é a matemática da mecânica quântica: os observáveis são modelados por operadores hermitianos (espectros reais = valores mensuráveis), a evolução temporal por operadores unitários (preservação da norma = conservação da probabilidade). Dentro deste livro, o capítulo de Fourier repousa sobre a ortonormalidade das exponenciais — um enunciado sobre produto interno hermitiano — e a diagonalização das matrizes circulantes (Exercício 13.10) é a transformada de Fourier finita. O problema de fim de semana desenvolve o cálculo variacional dos autovalores (Courant–Fischer, Weyl, entrelaçamento), o pão de cada dia da análise numérica e da física matemática; o volume do terceiro ano de graduação o estende a operadores autoadjuntos compactos em espaços de Hilbert.

13.3 Exercícios

Exercício 13.1 ★

Em $\C^2$ : calcule $\langle x, y\rangle$ , $\norm x$ , $\norm y$ para $x = (1, \iu)$ , $y = (\iu, 1)$ ; eles são ortogonais? Dê uma base ortonormal que contenha $\frac{x}{\norm x}$ .

Solução

Solução de Exercício 13.1.

$\langle x, y\rangle = \conj{1}\cdot\iu + \conj{\iu}\cdot 1 = \iu - \iu = 0$ : ortogonais. $\norm x = \norm y = \sqrt{1 + 1} = \sqrt2$ . Base ortonormal: $\bigl(\frac{1}{\sqrt2}(1, \iu),\; \frac{1}{\sqrt2}(\iu, 1)\bigr)$ — o próprio par normalizado.

Exercício 13.2 ★

Quais são hermitianas? unitárias? normais?

\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ -\iu & 2 \end{pmatrix}, \qquad \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ \iu & 1\end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

Solução

Solução de Exercício 13.2.

Primeira: é igual à sua transposta conjugada (diagonal real, $\conj{\iu} = -\iu$ trocados): hermitiana (logo normal); não unitária ( $A^\dagger A \neq I$ : colunas não unitárias).

Segunda: $A^\dagger A = \frac12\begin{pmatrix} 1 & -\iu\\ -\iu & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ \iu & 1\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = I$ : unitária (logo normal); não hermitiana.

Terceira: $A^\dagger A = E_{22} \neq E_{11} = AA^\dagger$ : não normal (logo nem hermitiana nem unitária) — o contraexemplo nilpotente padrão.

Exercício 13.3 ★

Prove que uma matriz $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ se escreve de modo único $A = H + \iu K$ com $H, K$ hermitianas (as “partes real e imaginária” $H = \frac{A + A^\dagger}{2}$ , $K = \frac{A - A^\dagger}{2\iu}$ ), e que $A$ é normal se e somente se $H$ e $K$ comutam.

Solução

Solução de Exercício 13.3.

Unicidade: $A = H + \iu K$ com $H^\dagger = H$ , $K^\dagger = K$ força $A^\dagger = H - \iu K$ , logo $H = \frac{A + A^\dagger}{2}$ , $K = \frac{A - A^\dagger}{2\iu}$ ; essas fórmulas são hermitianas (confira: $\bigl(\frac{A - A^\dagger}{2\iu}\bigr)^\dagger = \frac{ A^\dagger - A}{-2\iu} = K$ ) e reconstroem $A$ : existência.

Normalidade: $A^\dagger A - AA^\dagger = (H - \iu K)(H + \iu K) - (H + \iu K)(H - \iu K) = 2\iu(HK - KH)$ : isso se anula se e somente se $HK = KH$ .

Exercício 13.4 ★★

Diagonalize numa base ortonormal: $A = \begin{pmatrix} 2 & \iu\\ -\iu & 2\end{pmatrix}$ , e calcule $A^k$ para $k \in \N$ .

Solução

Solução de Exercício 13.4.

$\chi_A = (X-2)^2 - 1$ : autovalores $3$ e $1$ . Autovetores, por cálculo direto:

A\begin{pmatrix}1\\ -\iu\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + \iu(-\iu)\\ -\iu + 2(-\iu)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ -3\iu \end{pmatrix} = 3\begin{pmatrix}1\\ -\iu\end{pmatrix}, \qquad A\begin{pmatrix}1\\ \iu\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + \iu\cdot\iu\\ -\iu + 2\iu\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ \iu\end{pmatrix}.

Base ortonormal de autovetores: $u_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)$ (autovalor $3$ ), $u_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$ (autovalor $1$ ); ortogonalidade como no Exercício 13.1. Potências, via as projeções espectrais $A^k = 3^k u_1u_1^\dagger + 1^k\, u_2u_2^\dagger$ :

A^k = U\begin{pmatrix} 3^k & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}U^\dagger = \frac{3^k}{2}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ -\iu & 1\end{pmatrix} + \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -\iu\\ \iu & 1\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix} 3^k + 1 & (3^k - 1)\iu\\ -(3^k-1)\iu & 3^k + 1 \end{pmatrix}.

(Confira $k = 1$ : recupera $A$ .)

Exercício 13.5 ★★

Prove que $U(n)$ é compacto e que a aplicação autovalor é sobrejetiva: todo $\lambda$ de módulo um aparece para alguma matriz unitária. Prove que $\det U \in \mathbb{U}$ (o círculo unitário) para $U \in U(n)$ .

Solução

Solução de Exercício 13.5.

Compacto: fechado (imagem inversa de $I$ pela aplicação contínua $U \mapsto U^\dagger U$ ) e limitado (as colunas são vetores unitários: entradas de módulo $\leq 1$ ) em $\mathcal{M}_n(\C) \simeq \R^{2n^2}$ .

Autovalores: $\operatorname{diag}(\lambda, 1, \dots, 1)$ é unitária para todo $\abs\lambda = 1$ . Determinante: $\abs{\det U}^2 = \det U^\dagger \det U = \det(U^\dagger U) = 1$ (usando $\det A^\dagger = \conj{\det A}$ ): $\det U$ está no círculo unitário.

Exercício 13.6 ★★

(Transformada de Cayley) Seja $H$ hermitiana. Prove que $H + \iu I$ é invertível e que $U = (H - \iu I)(H + \iu I)^{-1}$ é unitária, com $1 \notin \operatorname{Sp}(U)$ . (Trabalhe espectralmente: numa base de autovetores de $H$ , tudo é escalar.)

Solução

Solução de Exercício 13.6.

Pelo teorema espectral, trabalhe numa base ortonormal de autovetores de $H$ : tudo se reduz a escalares $\lambda \in \R$ (os autovalores). $H + \iu I$ tem autovalores $\lambda + \iu \neq 0$ : invertível. $U$ tem autovalores $\mu = \frac{\lambda - \iu}{\lambda + \iu}$ , de módulo $1$ ( $\abs{\lambda - \iu} = \abs{\lambda + \iu}$ para $\lambda$ real): $U^\dagger U = I$ vale, pois $U$ é unitariamente diagonalizável com autovalores de módulo um (ela é diagonal na base ortonormal escolhida). E $\mu = 1$ forçaria $-\iu = \iu$ : impossível, logo $1 \notin \operatorname{Sp} U$ . (A transformada de Cayley leva as hermitianas nas unitárias menos um ponto — a versão matricial da aplicação de $\R$ no círculo.)

Exercício 13.7 ★★

Para $A$ hermitiana positiva definida ( $\langle x, Ax\rangle > 0$ para $x \neq 0$ ), prove que $\operatorname{Sp}(A) \subseteq \intoo{0}{\infty}$ , que $A = B^2$ para uma $B$ hermitiana positiva definida e que $\det A > 0$ .

Solução

Solução de Exercício 13.7.

Para um par próprio $Ax = \lambda x$ ( $x \neq 0$ ): $\lambda\norm x^2 = \langle x, Ax\rangle > 0$ , logo $\lambda > 0$ (já real, Proposição 13.6). Raiz quadrada: numa base espectral, $B = U\operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_i})U^\dagger$ : hermitiana, positiva definida, $B^2 = A$ . Determinante: produto dos autovalores positivos.

Exercício 13.8 ★★★

(Teorema espectral para endomorfismos normais) Seja $u$ normal num espaço hermitiano.

Prove que $\norm{u(x)} = \norm{u^*(x)}$ para todo $x$ e deduza que $\ker(u - \lambda) = \ker(u^* - \conj\lambda)$ .
Prove que os autoespaços de $u$ de autovalores distintos são ortogonais e que o complemento ortogonal de um autoespaço é estável por $u$ .
Conclua por indução que $u$ é unitariamente diagonalizável; e reciprocamente.

Solução

Solução de Exercício 13.8.

$\norm{u(x)}^2 = \langle u(x), u(x)\rangle = \langle x, u^*u(x)\rangle = \langle x, uu^*(x)\rangle = \norm{u^*(x)}^2$ . Aplicando isso ao normal $u - \lambda\,\mathrm{id}$ (seu adjunto é $u^* - \conj\lambda$ , e a normalidade é herdada): $\norm{(u - \lambda)x} = \norm{(u^* - \conj\lambda)x}$ , logo os núcleos coincidem.
Para autovetores $u(x) = \lambda x$ , $u(y) = \mu y$ ( $\lambda \neq \mu$ ): usando (1), $u^*(x) = \conj\lambda x$ ; então

$\lambda\langle y, x\rangle = \langle y, u(x)\rangle = \langle u^*(y), x\rangle = \langle \conj\mu\, y, x\rangle = \mu \langle y, x\rangle ,$

logo $\langle y, x\rangle = 0$ . Estabilidade de $E_\lambda^\perp$ : para $x \perp E_\lambda$ e $z \in E_\lambda$ , $\langle z, u(x)\rangle = \langle u^*(z), x\rangle = \langle\conj\lambda z, x\rangle = 0$ .
Indução sobre a dimensão: sobre $\C$ , $u$ tem um autovetor $e_1$ (normalize); seu complemento ortogonal é estável por $u$ (por (2)) e por $u^*$ (mesmo argumento com os papéis trocados), de modo que a restrição é normal: faça indução e concatene bases ortonormais de autovetores. Reciprocamente, uma $u = UDU^\dagger$ unitariamente diagonalizável satisfaz $u^*u = U\conj D D U^\dagger = U D\conj D U^\dagger = uu^*$ : normal.

Exercício 13.9 ★

Um endomorfismo é anti-hermitiano quando $u^* = -u$ . Prove que seus autovalores são puramente imaginários, que $u \mapsto \iu u$ é uma bijeção dos endomorfismos hermitianos nos anti-hermitianos e que os endomorfismos anti-hermitianos são unitariamente diagonalizáveis (Exercício 13.8).

Solução

Solução de Exercício 13.9.

Autovalores: para $u(x) = \lambda x$ , $x \neq 0$ :

\lambda\norm x^2 = \langle x, u(x)\rangle = \langle u^*(x), x\rangle = -\langle u(x), x\rangle = -\conj{\langle x, u(x)\rangle} = -\conj\lambda\,\norm x^2 ,

logo $\lambda = -\conj\lambda$ : puramente imaginário. Como $(\iu u)^* = -\iu\,u^*$ (o adjunto é conjugado-linear nos escalares), $u^* = u$ dá $(\iu u)^* = -\iu u$ : a aplicação $u \mapsto \iu u$ leva as hermitianas nas anti-hermitianas, com inversa $w \mapsto -\iu w$ : uma bijeção. Uma $u$ anti-hermitiana satisfaz $u^*u = -u^2 = uu^*$ : normal, logo unitariamente diagonalizável pelo Exercício 13.8.

Exercício 13.10 ★★

(A transformada de Fourier finita) Seja $S$ o deslocamento cíclico de $\C^n$ : $S(x_0, x_1, \dots, x_{n-1}) = (x_{n-1}, x_0, \dots, x_{n-2})$ , e $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ .

Mostre que $S$ é unitário e que os vetores $f_k = \frac{1}{\sqrt n}\bigl(1, \omega^k, \omega^{2k}, \dots, \omega^{(n-1)k}\bigr)$ , $0 \leq k < n$ , formam uma base ortonormal de autovetores: $Sf_k = \omega^{-k} f_k$ .
Deduza que toda matriz circulante $C = \sum_{j=0}^{n-1} c_jS^j$ é normal, diagonalizada pela mesma base, com autovalores $\widehat c(k) = \sum_j c_j\,\omega^{-jk}$ .

Solução

Solução de Exercício 13.10.

$S$ permuta uma base ortonormal: $\norm{Sx} = \norm x$ , logo $S$ é unitário. Indexando as coordenadas por $j = 0, \dots, n-1$ módulo $n$ : $(Sx)_j = x_{j-1}$ , de modo que, para $(f_k)_j = \frac{\omega^{jk}}{\sqrt n}$ :

$(Sf_k)_j = \frac{\omega^{(j-1)k}}{\sqrt n} = \omega^{-k}\,(f_k)_j : \qquad Sf_k = \omega^{-k}f_k .$

Ortonormalidade: $\langle f_k, f_l\rangle = \frac1n \sum_j \omega^{j(l-k)} = \delta_{kl}$ (a soma geométrica de uma raiz da unidade não trivial se anula).
$Cf_k = \sum_j c_j S^jf_k = \bigl(\sum_j c_j\omega^{-jk}\bigr)f_k = \widehat c(k)\,f_k$ : toda circulante é diagonal na base ortonormal de Fourier, logo normal, com espectro $\{\widehat c(k)\}$ . (A mudança de base é a transformada de Fourier discreta: a convolução vira multiplicação.)

Exercício 13.11 ★★

Seja $P$ um endomorfismo idempotente ( $P^2 = P$ ) de um espaço hermitiano. Prove que $P$ é a projeção ortogonal sobre $\operatorname{im} P$ se e somente se $P^* = P$ . Dê a matriz da projeção ortogonal sobre $\C v$ ( $\norm v = 1$ ) e sobre um subespaço de base ortonormal $(v_1, \dots, v_k)$ .

Solução

Solução de Exercício 13.11.

( $\Leftarrow$ ) Seja $P^2 = P = P^*$ . Todo $v$ se separa em $v = Pv + (v - Pv)$ com $Pv \in \operatorname{im} P$ e $P(v - Pv) = 0$ . As duas peças são ortogonais: para todo $x, y$ ,

\langle Px, (I - P)y\rangle = \langle x, P(I-P)y\rangle = \langle x, (P - P^2)y\rangle = 0 :

$\ker P \perp \operatorname{im} P$ , logo $P$ é a projeção ortogonal sobre sua imagem. ( $\Rightarrow$ ) Se $P$ é a projeção ortogonal sobre $F = \operatorname{im}P$ : para todos $x, y$ , $\langle Px, y\rangle = \langle Px, Py\rangle$ (a componente $y - Py \perp F$ cai) e simetricamente $\langle x, Py\rangle = \langle Px, Py\rangle$ : $\langle Px, y\rangle = \langle x, Py\rangle$ , isto é, $P^* = P$ . Matrizes: sobre $\C v$ ( $\norm v = 1$ ): $Px = v\,\langle v, x\rangle$ , isto é, $P = vv^\dagger$ ; sobre $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ ortonormais: $P = \sum_i v_iv_i^\dagger$ .

Exercício 13.12 ★★★

(Projetores espectrais por interpolação) Seja $A$ hermitiana com autovalores distintos $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ e decomposição em autoespaços $E = \bigoplus_i E_i$ . Defina os polinômios de Lagrange $L_i(X) = \prod_{j\neq i}\frac{X - \lambda_j}{\lambda_i - \lambda_j}$ . Prove que $P_i = L_i(A)$ é a projeção ortogonal sobre $E_i$ , que $P_iP_j = 0$ para $i \neq j$ , $\sum_i P_i = I$ e $A = \sum_i \lambda_iP_i$ (a decomposição espectral); exprima $f(A)$ para um polinômio $f$ qualquer em termos dos $P_i$ .

Solução

Solução de Exercício 13.12.

Diagonalize $A = U D U^\dagger$ (teorema espectral), $D$ diagonal com entradas entre os $\lambda_i$ . Então $P_i = L_i(A) = U L_i(D)U^\dagger$ , e $L_i(D)$ é diagonal com entradas $L_i(\lambda_j) = \delta_{ij}$ : uns exatamente nas casas de $E_i$ . Assim $P_i$ é hermitiana ( $L_i$ real, $D$ real), idempotente, de imagem $E_i$ e núcleo $\bigoplus_{j\neq i}E_j = E_i^\perp$ (ortogonalidade dos autoespaços): a projeção ortogonal sobre $E_i$ (Exercício 13.11). Padrões diagonais disjuntos dão $P_iP_j = 0$ ( $i \neq j$ ); $\sum_i L_i = 1$ (grau $< p$ , valor $1$ em $p$ pontos), logo $\sum P_i = I$ ; e $\sum_i \lambda_iL_i(\lambda_j) = \lambda_j$ dá $A = \sum \lambda_iP_i$ . Para qualquer polinômio $f$ : $f(D)$ tem diagonal $f(\lambda_j)$ , logo

f(A) = \sum_{i=1}^{p} f(\lambda_i)\,P_i :

as funções de $A$ são calculadas espectralmente — o cálculo que o volume do terceiro ano de graduação estende a $f$ contínuas e além.

13.4 Problema: Courant–Fischer, Weyl e o cálculo dos autovalores

Problema 13.1

Os autovalores de uma matriz hermitiana não são apenas raízes de um polinômio: são soluções de problemas de otimização. Esse ponto de vista variacional — os quocientes de Rayleigh e o teorema mín-máx de Courant–Fischer — torna os autovalores comparáveis, estáveis e calculáveis, e este problema colhe suas safras clássicas: as desigualdades de perturbação de Weyl, o entrelaçamento de Cauchy, as desigualdades de traço de Schur e de Ky Fan, a monotonicidade da raiz quadrada de matrizes e o espectro do laplaciano discreto. Em todo o problema, $A, B, E$ são hermitianas em $E = \C^n$ com autovalores listados em ordem decrescente $\lambda_1(A) \geq \dots \geq \lambda_n(A)$ , e $R_A(x) = \frac{\langle x, Ax\rangle}{\langle x, x\rangle}$ , para $x \neq 0$ , é o quociente de Rayleigh.

Parte I — Quocientes de Rayleigh e mín-máx. Fixe uma base ortonormal de autovetores $(e_1, \dots, e_n)$ , $Ae_i = \lambda_ie_i$ .

Mostre que $R_A(x)$ é real e que

$\lambda_n \leq R_A(x) \leq \lambda_1 \qquad (x \neq 0),$

com as duas cotas atingidas: $\lambda_1 = \max R_A$ , $\lambda_n = \min R_A$ .
Mostre que os pontos críticos de $R_A$ são exatamente os autovetores de $A$ (desenvolva $t \mapsto R_A(x + tv)$ em $t = 0$ para $v$ arbitrário e depois substitua $v$ por $\iu v$ ).
Sejam $V_k = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k)$ e $W_k = \operatorname{Vect}(e_k, \dots, e_n)$ . Mostre que

$\min_{x \in V_k\setminus\{0\}} R_A(x) = \lambda_k = \max_{x \in W_k\setminus\{0\}} R_A(x) .$
Demonstre o teorema de Courant–Fischer: para $1 \leq k \leq n$ ,

$\lambda_k = \max_{\dim V = k}\;\min_{x \in V\setminus\{0\}} R_A(x) = \min_{\dim W = n-k+1}\;\max_{x \in W\setminus\{0\}} R_A(x)$

(para qualquer $V$ de dimensão $k$ : $V \cap W_k \neq \{0\}$ por Grassmann, logo $\min_V R_A \leq \lambda_k$ ; a questão 3 mostra que a cota é atingida).
(Monotonicidade) Escreva $A \leq B$ quando $B - A$ é positiva semidefinida. Deduza da questão 4: $A \leq B$ implica $\lambda_k(A) \leq \lambda_k(B)$ para todo $k$ .

Parte II — As desigualdades de Weyl.

Mostre que subespaços $V, W \subseteq \C^n$ com $\dim V + \dim W > n$ se intersectam não trivialmente, e generalize: $\dim(V_1 \cap V_2 \cap V_3) \geq \dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3 - 2n$ .
Demonstre a desigualdade de Weyl: para $i + j - 1 \leq n$ ,

$\lambda_{i+j-1}(A + B) \leq \lambda_i(A) + \lambda_j(B)$

(intersecte os subespaços $W_i(A)$ , $W_j(B)$ e $V_{i+j-1}(A+B)$ da questão 3 e conte as dimensões).
Defina $\vertiii{E}_2 = \max_{\norm x = 1}\norm{Ex}$ e mostre que $\vertiii E_2 = \max_k\abs{\lambda_k(E)}$ para $E$ hermitianas. Deduza o teorema de perturbação de Weyl:

$\bigl|\lambda_k(A + E) - \lambda_k(A)\bigr| \leq \vertiii{E}_2 \qquad (1 \leq k \leq n) :$

cada autovalor é função $1$ -lipschitziana da matriz.
(Perturbações de posto um) Seja $P$ hermitiana positiva semidefinida de posto $1$ . Mostre que

$\lambda_k(A) \leq \lambda_k(A + P) \leq \lambda_{k-1}(A) \qquad (2 \leq k \leq n),$

junto com $\lambda_1(A) \leq \lambda_1(A+P)$ : os novos autovalores entrelaçam os antigos.
Confira a questão 8 numericamente: $A = \begin{pmatrix} 2 & \iu\\ -\iu & 2\end{pmatrix}$ (Exercício 13.4: espectro $\{3, 1\}$ ) e $E = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ (espectro $\{1, -1\}$ ): calcule o espectro de $A + E$ e os dois lados da desigualdade.

Parte III — Entrelaçamento e desigualdades de traço.

(Entrelaçamento de Cauchy) Seja $B$ a submatriz principal dominante $(n-1) \times(n-1)$ de $A$ . Prove que

$\lambda_{k+1}(A) \leq \lambda_k(B) \leq \lambda_k(A) \qquad (1 \leq k \leq n-1)$

(veja $\C^{n-1} \subseteq \C^n$ ; nele, $R_B$ é a restrição de $R_A$ ; aplique Courant–Fischer nos dois níveis).
Itere: para uma submatriz principal $B$ de tamanho $n - m$ , $\lambda_{k+m}(A) \leq \lambda_k(B) \leq \lambda_k(A)$ .
(Schur) Sejam $d_1 \geq d_2 \geq \dots \geq d_n$ as entradas diagonais de $A$ , ordenadas. Prove, para todo $k$ :

$\sum_{i=1}^{k} d_i \leq \sum_{i=1}^{k}\lambda_i(A),$

com igualdade em $k = n$ (o traço) (as $k$ entradas diagonais escolhidas formam uma submatriz principal $k\times k$ ; majore seu traço pela questão 12).
(Ky Fan) Prove que

$\sum_{i=1}^{k}\lambda_i(A) = \max\Bigl\{\sum_{i=1}^{k}\langle x_i, Ax_i\rangle : (x_1, \dots, x_k) \text{ ortonormal}\Bigr\} .$
Verifique as questões 11 e 13 em

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix} \qquad \bigl(\operatorname{Sp} = \{2 - \sqrt2,\ 2,\ 2+\sqrt2\}\bigr)$

contra seu bloco dominante $2\times2$ (espectro $\{1, 3\}$ ) e contra sua diagonal.

Parte IV — A ordem de Loewner. $A \leq B$ continua significando $B - A$ positiva semidefinida; todas as matrizes desta parte são hermitianas.

Mostre: $A \leq B$ implica $a_{ii} \leq b_{ii}$ para todos $i$ , $\operatorname{tr} A \leq \operatorname{tr} B$ , e $C^\dagger AC \leq C^\dagger BC$ para toda matriz complexa $C$ .
Mostre que elevar ao quadrado não é monótono: para

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix},$

verifique que $0 \leq A \leq B$ mas $A^2 \not\leq B^2$ .
Prove que a raiz quadrada é monótona: $0 \leq A \leq B$ implica $\sqrt A \leq \sqrt B$ (seja $\mu$ um autovalor de $\sqrt B - \sqrt A$ com autovetor unitário $v$ ; calcule $\langle v, (B - A)v\rangle = \mu\bigl(\langle v, \sqrt B\,v\rangle + \langle v, \sqrt A\,v\rangle\bigr)$ e discuta).
Prove que a inversão é antítona nas matrizes positivas definidas: $0 < A \leq B$ implica $B^{-1} \leq A^{-1}$ (faça a congruência por $A^{-1/2}$ para reduzir a $I \leq M \Rightarrow M^{-1} \leq I$ , que é escalar numa base espectral).
Sejam $A, B$ positivas definidas. Mostre que os autovalores de $AB$ (não hermitiana em geral!) são reais e positivos, e que

$\lambda_{\max}(AB) \leq \lambda_{\max}(A)\,\lambda_{\max}(B)$

(conjugue por $\sqrt A$ : $AB \sim \sqrt A\,B\sqrt A$ ).

Parte V — O laplaciano discreto, trabalhado. Seja $T_n$ a matriz tridiagonal $n \times n$ com $2$ na diagonal e $-1$ nas duas diagonais adjacentes.

Com $\theta_k = \frac{k\pi}{n+1}$ , verifique que os vetores $v_k = \bigl(\sin(j\theta_k)\bigr)_{1\leq j\leq n}$ satisfazem $T_nv_k = (2 - 2\cos\theta_k)\,v_k$ (identidade produto-soma; confira as linhas de bordo $j = 1, n$ ). Conclua:

$\operatorname{Sp}(T_n) = \Bigl\{4\sin^2 \frac{k\pi}{2(n+1)} : 1 \leq k \leq n\Bigr\},$

todos simples, todos positivos: $T_n$ é positiva definida.
(Um potencial) Para uma diagonal real $D = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$ , enquadre o espectro: para todo $k$ ,

$\lambda_k(T_n) + \min_i d_i \;\leq\; \lambda_k(T_n + D) \;\leq\; \lambda_k(T_n) + \max_i d_i .$
Verifique explicitamente o entrelaçamento de Cauchy entre $T_3$ e $T_2$ (espectros $\{2 \pm \sqrt2, 2\}$ e $\{1, 3\}$ ) e interprete: $T_2$ é $T_3$ com uma extremidade do caminho removida.
Mostre que os autovalores extremos satisfazem, quando $n \to \infty$ :

$\lambda_{\min}(T_n) = 4\sin^2\frac{\pi}{2(n+1)} \sim \frac{\pi^2}{(n+1)^2}, \qquad \lambda_{\max}(T_n) \to 4 ,$

de modo que o número de condicionamento $\kappa_n = \lambda_{\max}/\lambda_{\min}$ cresce como $\frac{4(n+1)^2}{\pi^2}$ : discretizar uma segunda derivada numa malha cada vez mais fina é intrinsecamente mal condicionado.
Síntese. Uma frase para cada: (i) por que a caracterização variacional, e não o polinômio característico, é o que torna os autovalores estáveis (questões 8–9); (ii) quais questões usaram apenas o $\lambda_1 = \max R_A$ e quais precisaram do mín-máx completo; (iii) o que a ordem de Loewner acrescenta à história; (iv) onde essas ferramentas reaparecem (análise numérica das matrizes de rigidez da questão 24; teoria quântica de perturbações; e, no volume do terceiro ano de graduação, o princípio mín-máx para operadores autoadjuntos compactos).

Solução

Solução de Problema 13.1.

1. $\conj{\langle x, Ax\rangle} = \langle Ax, x\rangle = \langle x, A^*x\rangle = \langle x, Ax\rangle$ : real. Escrevendo $x = \sum c_ie_i$ :

R_A(x) = \frac{\sum_i\lambda_i\abs{c_i}^2} {\sum_i\abs{c_i}^2} ,

uma média ponderada dos autovalores: ela está em $\intcc{\lambda_n}{\lambda_1}$ , com as cotas atingidas em $e_1$ e $e_n$ .

2. Para $t$ real e qualquer $v$ , desenvolva $R_A(x + tv) = \frac{N(t)}{D(t)}$ com

N(t) = \langle x, Ax\rangle + 2t\Re\langle v, Ax\rangle + t^2\langle v, Av\rangle, \quad D(t) = \norm x^2 + 2t\Re\langle v, x\rangle + t^2\norm v^2 .

A derivada em $t = 0$ é

\frac{2}{\norm x^2}\, \Re\bigl\langle v,\ Ax - R_A(x)\,x\bigr\rangle .

Ela se anula para todo $v$ se e somente se $\Re\langle v, w\rangle = 0$ para todo $v$ , em que $w = Ax - R_A(x)x$ ; substituir $v$ por $\iu v$ mata também a parte imaginária: $w = 0$ , isto é, $Ax = R_A(x)x$ . Os pontos críticos de $R_A$ são exatamente os autovetores, com valor crítico igual ao autovalor.

3. Para $x = \sum_{i\leq k}c_ie_i \in V_k$ : $R_A(x)$ é uma média ponderada de $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ , logo $\geq \lambda_k$ , com igualdade em $e_k$ : $\min_{V_k} R_A = \lambda_k$ . Simetricamente, em $W_k$ a média envolve $\lambda_k, \dots, \lambda_n$ : $\max_{W_k}R_A = \lambda_k$ .

4. Seja $\dim V = k$ . Então $\dim V + \dim W_k = n + 1 > n$ , de modo que existe um unitário $x \in V \cap W_k$ , e $R_A(x) \leq \lambda_k$ (questão 3): $\min_{V}R_A \leq \lambda_k$ para todo tal $V$ . Como $V_k$ atinge $\lambda_k$ , o máx-mín é igual a $\lambda_k$ . A fórmula mín-máx é o mesmo argumento com os papéis invertidos ( $\dim W = n - k + 1$ força $W \cap V_k \neq \{0\}$ , logo $\max_W R_A \geq \lambda_k$ , atingido em $W_k$ ).

5. $R_B(x) = R_A(x) + \frac{\langle x, (B-A)x\rangle}{\norm x^2} \geq R_A(x)$ pontualmente. Tomando $\min$ sobre qualquer $V$ de dimensão $k$ e depois $\max$ sobre $V$ : $\lambda_k(B) \geq \lambda_k(A)$ pela questão 4.

6. Grassmann: $\dim(V\cap W) = \dim V + \dim W - \dim(V + W) \geq \dim V + \dim W - n > 0$ . Aplicando isso duas vezes:

\dim(V_1\cap V_2\cap V_3) \geq \dim(V_1\cap V_2) + \dim V_3 - n \geq \dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3 - 2n .

7. Os subespaços $W_i(A)$ , $W_j(B)$ (questão 3, para $A$ e $B$ ) e $V_{i+j-1}(A+B)$ têm dimensões $(n-i+1) + (n-j+1) + (i+j-1) = 2n + 1 > 2n$ : pela questão 6 existe um vetor unitário $x$ nos três. Então

\lambda_{i+j-1}(A+B) \leq R_{A+B}(x) = R_A(x) + R_B(x) \leq \lambda_i(A) + \lambda_j(B),

a desigualdade da esquerda porque $x \in V_{i+j-1}(A+B)$ (questão 3), a da direita pelos dois $W$ .

8. Numa base espectral de $E$ : $\norm{Ex}^2 = \sum \lambda_k(E)^2\abs{c_k}^2 \leq \max_k\lambda_k(E)^2\,\norm x^2$ , atingido no autovetor correspondente: $\vertiii E_2 = \max_k\abs{\lambda_k(E)}$ . Weyl com $j = 1$ : $\lambda_k(A+E) \leq \lambda_k(A) + \lambda_1(E) \leq \lambda_k(A) + \vertiii E_2$ ; aplicando isso a $(A+E) + (-E)$ : $\lambda_k(A) \leq \lambda_k(A+E) + \vertiii E_2$ . Juntando: $\abs{\lambda_k(A+E) - \lambda_k(A)} \leq \vertiii E_2$ .

9. Cotas inferiores: $P \geq 0$ e questão 5. Superior: $P$ tem posto $1$ , logo $\lambda_2(P) = 0$ ; Weyl com $i = k-1$ , $j = 2$ :

\lambda_k(A + P) \leq \lambda_{k-1}(A) + \lambda_2(P) = \lambda_{k-1}(A) .

10. $A + E = \begin{pmatrix} 2 & 1+\iu\\ 1-\iu & 2\end{pmatrix}$ : polinômio característico $(2-\lambda)^2 - \abs{1+\iu}^2 = (2-\lambda)^2 - 2$ , espectro $\{2 + \sqrt2,\ 2 - \sqrt2\}$ . Contra $\operatorname{Sp}A = \{3, 1\}$ :

\abs{(2+\sqrt2) - 3} = \abs{(2-\sqrt2) - 1} = \sqrt2 - 1 \approx 0.414 \leq 1 = \vertiii E_2 . \checkmark

11. Veja $\C^{n-1} = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_{n-1})$ dentro de $\C^n$ (base padrão): para $x$ aí, $\langle x, Bx\rangle = \langle x, Ax\rangle$ , de modo que $R_B$ é a restrição de $R_A$ . Cota superior: o máx-mín de $\lambda_k (B)$ percorre subespaços de dimensão $k$ de $\C^{n-1}$ , uma subfamília dos de $\C^n$ : $\lambda_k(B) \leq \lambda_k(A)$ . Cota inferior: o mín-máx de $\lambda_k(B)$ percorre subespaços de $\C^{n-1}$ de dimensão $(n-1)-k+1 = n-k$ ; cada um é também subespaço de $\C^n$ de dimensão $n - (k+1) + 1$ , logo seu máximo é $\geq \lambda_{k+1}(A)$ : $\lambda_k(B) \geq \lambda_{k+1}(A)$ .

12. Retire as linhas e colunas uma a uma e encadeie a questão 11: cada retirada desloca o índice inferior de um, dando $\lambda_{k+m}(A) \leq \lambda_k(B) \leq \lambda_k(A)$ .

13. Conjugar $A$ por uma matriz de permutação (unitária) não muda nem o espectro nem o multiconjunto das entradas diagonais: suponha que $d_1, \dots, d_k$ ocupem as posições iniciais. A submatriz principal dominante $k\times k$ $B$ tem então $\operatorname{tr} B = \sum_{i\leq k}d_i$ , e seus autovalores satisfazem $\mu_i(B) \leq \lambda_i(A)$ (questão 12): somando, $\sum_{i\leq k}d_i \leq \sum_{i\leq k}\lambda_i(A)$ . Em $k = n$ os dois lados valem $\operatorname{tr} A$ .

14. Tomar $x_i = e_i$ dá o valor $\sum_{i\leq k}\lambda_i$ : o máximo é $\geq$ . Reciprocamente, uma família ortonormal $(x_1, \dots, x_k)$ estende-se a uma base ortonormal, isto é, a uma $U$ unitária com primeiras colunas $x_i$ ; então $\sum_i\langle x_i, Ax_i\rangle$ é a soma das primeiras $k$ entradas diagonais de $U^\dagger AU$ , que, pela questão 13, é no máximo a soma de seus $k$ maiores autovalores — a saber, $\sum_{i\leq k}\lambda_i(A)$ . Segue o princípio do máximo de Ky Fan.

15. Entrelaçamento ( $\operatorname{Sp}A = \{2+\sqrt2, 2, 2-\sqrt2\}$ , $\operatorname{Sp}B = \{3, 1\}$ ):

2 \leq 3 \leq 2 + \sqrt2, \qquad 2 - \sqrt2 \leq 1 \leq 2 . \checkmark

Schur com diagonal $(2,2,2)$ : $2 \leq 2+\sqrt2$ ; $4 \leq 4 + \sqrt2$ ; $6 = 6$ (traço). ✓16. $b_{ii} - a_{ii} = \langle e_i, (B-A)e_i\rangle \geq 0$ ; somando obtêm-se os traços. Para qualquer $C$ : $\langle x, C^\dagger(B - A)Cx\rangle = \langle Cx, (B-A)(Cx)\rangle \geq 0$ : $C^\dagger AC \leq C^\dagger BC$ .

17. $A \geq 0$ é claro; $B - A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ é positiva semidefinida (autovalores $2, 0$ ): $A \leq B$ . Mas

B^2 = \begin{pmatrix} 5 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix}, \qquad B^2 - A^2 = \begin{pmatrix} 4 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix}, \qquad \det(B^2 - A^2) = -1 < 0 :

não é positiva semidefinida. Elevar ao quadrado não respeita a ordem de Loewner.

18. Sejam $S = \sqrt A$ , $T = \sqrt B$ (hermitianas positivas semidefinidas, Exercício 13.7 estendida ao caso semidefinido pela mesma fórmula espectral). $T - S$ é hermitiana; seja $\mu$ um autovalor qualquer e $v$ um autovetor unitário. De $T^2 - S^2 = T(T - S) + (T - S)S$ :

0 \leq \langle v, (B - A)v\rangle = \langle Tv, (T-S)v\rangle + \langle (T-S)v, Sv\rangle = \mu\bigl(\langle v, Tv\rangle + \langle v, Sv\rangle\bigr)

( $\mu$ é real). Se $\langle v, Tv\rangle + \langle v, Sv\rangle > 0$ , então $\mu \geq 0$ . Se ela se anula, os dois termos não negativos se anulam; $\langle v, Tv\rangle = \norm{T^{1/2}v}^2 = 0$ força $Tv = 0$ , e do mesmo modo $Sv = 0$ , logo $\mu v = (T - S)v = 0$ e $\mu = 0$ . Todos os autovalores de $T - S$ são $\geq 0$ : $\sqrt A \leq \sqrt B$ .

19. Congruência por $A^{-1/2}$ (questão 16): $I \leq M := A^{-1/2}BA^{-1/2}$ . Logo todos os autovalores de $M$ são $\geq 1$ , e portanto os de $M^{-1}$ estão em $\intoc{0}{1}$ : $M^{-1} \leq I$ . Mas $M^{-1} = A^{1/2}B^{-1}A^{1/2}$ ; fazer a congruência de $M^{-1} \leq I$ por $A^{-1/2}$ dá $B^{-1} \leq A^{-1}$ .

20. $\sqrt A^{-1}(AB)\sqrt A = \sqrt A\,B\sqrt A$ : assim $AB$ é semelhante à hermitiana positiva definida $\sqrt A\,B\sqrt A$ (definida: $\langle x, \sqrt AB\sqrt Ax\rangle = \langle \sqrt Ax, B\sqrt Ax\rangle > 0$ ): seus autovalores são reais e positivos. Além disso,

\langle x, \sqrt AB\sqrt Ax\rangle \leq \lambda_{\max}(B)\,\norm{\sqrt Ax}^2 = \lambda_{\max}(B)\,\langle x, Ax\rangle \leq \lambda_{\max}(A)\lambda_{\max}(B)\norm x^2 ,

logo $\lambda_{\max}(AB) = \max R_{\sqrt AB\sqrt A} \leq \lambda_{\max}(A)\lambda_{\max}(B)$ .

21. Com $v_k = (\sin j\theta_k)_j$ e a identidade $\sin((j-1)\theta) + \sin((j+1)\theta) = 2\sin(j\theta)\cos\theta$ : para $2 \leq j \leq n-1$ ,

(T_nv_k)_j = -\sin((j{-}1)\theta_k) + 2\sin(j\theta_k) - \sin((j{+}1)\theta_k) = (2 - 2\cos\theta_k)\sin(j\theta_k) .

A linha $1$ funciona porque $\sin(0\cdot\theta_k) = 0$ , e a linha $n$ porque $\sin((n+1)\theta_k) = \sin(k\pi) = 0$ : as condições de bordo selecionam exatamente $\theta_k = \frac{k\pi}{n+1}$ . Logo $T_nv_k = 4\sin^2\bigl(\frac{k\pi}{2(n+1)}\bigr)v_k$ ; os $n$ valores são distintos em $\intoo04$ e os $v_k \neq 0$ : esse é todo o espectro, positivo, de modo que $T_n$ é positiva definida.

22. $\min_id_i\,I \leq D \leq \max_id_i\,I$ , logo $T_n + \min_id_i\,I \leq T_n + D \leq T_n + \max_id_i\,I$ (somar $T_n$ preserva a ordem); a questão 5 e o $\lambda_k(T_n + cI) = \lambda_k(T_n) + c$ dão o enquadramento.

23. $T_2 = \begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 2\end{pmatrix}$ tem espectro $\{3, 1\}$ , e

2 - \sqrt2 \;\leq\; 1 \;\leq\; 2 \;\leq\; 3 \;\leq\; 2 + \sqrt2 :

entrelaçamento de Cauchy, verificado. (São os mesmos espectros da questão 15: conjugar por $\operatorname{diag}(1,-1,1)$ inverte o sinal fora da diagonal.) Leitura em grafos: $T_2$ é a matriz do tipo laplaciano do caminho com o último vértice removido — uma submatriz principal, exatamente a situação da questão 11.

24. Os autovalores extremos comportam-se como

\lambda_{\min}(T_n) = 4\sin^2\frac{\pi}{2(n+1)} \sim \frac{\pi^2}{(n+1)^2}, \qquad \lambda_{\max}(T_n) = 4\cos^2\frac{\pi}{2(n+1)} \longrightarrow 4 .

Logo

\kappa_n = \frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} \sim \frac{4(n+1)^2}{\pi^2} :

quanto mais fina a malha, pior condicionada a segunda derivada discreta — um fato que orienta o projeto da álgebra linear numérica.

25. (i) As raízes do polinômio característico podem se mover descontroladamente sob perturbações de uma matriz geral, mas a caracterização mín-máx prende cada autovalor hermitiano entre valores explícitos de otimização, forçando a estabilidade $1$ -lipschitziana das questões 8–9. (ii) As questões 1, 5 e 16–20 usaram apenas os valores extremos de Rayleigh; Weyl, entrelaçamento, Schur e Ky Fan (questões 7–14) precisaram genuinamente do mín-máx completo sobre subespaços. (iii) A ordem de Loewner transforma essas desigualdades escalares num cálculo de desigualdades matriciais — com armadilhas reais (questão 17) e teoremas reais (questões 18–19). (iv) Essas ferramentas são o pão de cada dia da análise numérica (as matrizes de rigidez da questão 24), da teoria quântica de perturbações (Weyl: os níveis de energia se movem no máximo pela norma da perturbação) e do princípio mín-máx do volume do terceiro ano de graduação para operadores autoadjuntos compactos.

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