Matemática universitária — Graduação 1 · Bachelor Year 1

25Funções de Duas Variáveis

O ano termina com um primeiro passeio pela dimensão superior: funções $f(x, y)$ de duas variáveis reais. Tudo se generaliza — limites, continuidade, derivadas, extremos —, mas cada noção ganha uma reviravolta: os limites podem ser abordados por todas as direções ao mesmo tempo, as derivadas separam-se em parciais, e o gradiente aponta o caminho para cima. A teoria completa (diferenciais, $\R^n$ geral, subvariedades) pertence ao segundo ano; aqui instalamos o vocabulário e os primeiros teoremas honestos.

25.1 O plano $\R^2$ ; continuidade

Definição 25.1

Em $\R^2$ , use a norma euclidiana $\norm{(x,y)} = \sqrt{x^2 + y^2}$ (o Capítulo 23). As bolas abertas, as vizinhanças e os subconjuntos abertos de $\R^2$ definem-se exatamente como no Capítulo 12, com bolas no lugar de intervalos. Uma função $f \colon U \to \R$ ( $U \subseteq \R^2$ aberto) é contínua em $a \in U$ quando

\forall\varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0, \quad \norm{X - a} \leq \delta \implies \abs{f(X) - f(a)} \leq \varepsilon,

com a mesma caracterização sequencial que em uma variável. Somas, produtos, quocientes e composições com funções contínuas de uma variável preservam a continuidade; as aplicações coordenadas são contínuas, logo os polinômios em $(x,y)$ também o são.

Exemplo 25.2 (A majoração polar, o modo limpo de demonstrar um limite)

Mostre que $f(x, y) = \dfrac{x^2y^2}{x^2 + y^2}$ (com $f(0,0) = 0$ ) é contínua na origem. Em coordenadas polares $x = \rho\cos\theta$ , $y = \rho\sin\theta$ :

\abs{f} = \frac{\rho^4\cos^2\theta\sin^2\theta}{\rho^2} = \rho^2\,(\cos\theta\sin\theta)^2 \leq \frac{\rho^2}{4} \xrightarrow[\rho \to 0]{} 0 ,

uma cota independente de $\theta$ : qualquer que seja a direção de aproximação, os valores são espremidos até $0$ . Essa uniformidade em $\theta$ é todo o ponto — uma cota como $\abs g = \abs{\cos\theta\sin\theta}$ (sem nenhum $\rho$ restante) nada demonstra, e de fato esse $g$ é a armadilha radial descontínua do exemplo seguinte.

Exemplo 25.3 (A armadilha radial)

Seja $f(x, y) = \dfrac{xy}{x^2 + y^2}$ para $(x,y) \neq (0,0)$ , $f(0, 0) = 0$ . Ao longo de cada eixo, $f = 0 \to 0$ ; mas ao longo da diagonal $y = x$ , $f(x, x) = \frac12 \not\to 0$ . Nenhum limite na origem: aproximar-se por todas as retas, e até encontrar o mesmo limite ao longo de cada uma, não basta (aqui os limites ao longo das retas discordam; exemplos piores concordam ao longo de todas as retas e ainda assim falham ao longo de uma parábola, o Exercício 25.3). A continuidade em cada variável separadamente não implica a continuidade.

25.2 Derivadas parciais

Definição 25.4

As derivadas parciais de $f$ em $(a, b)$ são as derivadas de uma variável ao longo dos eixos:

\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h, b) - f(a,b)}{h}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) = \lim_{k \to 0} \frac{f(a, b + k) - f(a,b)}{k}.

$f$ é de classe $C^1$ em $U$ quando ambas existem e são contínuas em $U$ . O gradiente é $\nabla f(a,b) = \bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\, \frac{\partial f}{\partial y}\bigr)(a,b)$ .

Teorema 25.5 ( $C^1$ implica um plano tangente)

Seja $f$ de classe $C^1$ em $U$ e $(a,b) \in U$ . Então, quando $(h, k) \to (0,0)$ :

f(a + h, b + k) = f(a, b) + h\,\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) + k\,\frac{\partial f}{\partial y}(a,b) + o\bigl(\norm{(h,k)}\bigr) .

Em particular, $f$ é contínua, e o gráfico $z = f(x,y)$ tem em cada ponto o plano tangente que a fórmula fornece.

Exemplo 25.6 (Aproximação linear em ação)

Estime $f(1.02,\ 0.99)$ para $f(x, y) = x^3y^2$ . Em $(1, 1)$ : $f = 1$ , $\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2 = 3$ , $\frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y = 2$ , logo o Teorema 25.5 dá

f(1.02,\ 0.99) \approx 1 + 3\,(0.02) + 2\,(-0.01) = 1.04 ,

contra o valor verdadeiro $1.02^3 \times 0.99^2 = 1.04006\dots$ — o erro é de segunda ordem nos incrementos, como o $o(\norm{(h,k)})$ promete. O plano tangente ao gráfico em $(1, 1, 1)$ é $z = 1 + 3(x - 1) + 2(y - 1)$ , a equação implícita na estimativa.

Demonstração. Mova uma coordenada de cada vez:

f(a+h, b+k) - f(a,b) = \bigl[f(a+h, b+k) - f(a, b+k)\bigr] + \bigl[f(a, b+k) - f(a,b)\bigr].

Pelo teorema do valor médio de uma variável (o Teorema 14.9), o primeiro colchete é $h\, \frac{\partial f}{\partial x}(a + \theta h,\, b + k)$ para algum $\theta \in \intoo{0}{1}$ , e o segundo é $k\,\frac{\partial f}{\partial y}(a,\, b + \theta' k)$ . A continuidade das parciais em $(a,b)$ permite escrever cada uma como (valor em $(a,b)$ ) $+$ (erro $\to 0$ ); o erro total é $h\,\varepsilon_1 + k\,\varepsilon_2 = o(\norm{(h,k)})$ , pois $\abs h, \abs k \leq \norm{(h,k)}$ . ∎

Teorema 25.7 (Regra da cadeia)

Seja $f$ de classe $C^1$ em $U$ e $t \mapsto (x(t), y(t))$ de classe $C^1$ de um intervalo em $U$ . Então $g(t) = f\bigl(x(t), y(t)\bigr)$ é de classe $C^1$ , com

g'(t) = x'(t)\,\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(x(t),y(t)\bigr) + y'(t)\,\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(x(t),y(t)\bigr) = \bigl\langle \nabla f,\ (x', y')\bigr\rangle .

Demonstração. Aplique o Teorema 25.5 em $(x(t), y(t))$ com $(h, k) = (x(t+s) - x(t),\, y(t+s) - y(t))$ : quando $s \to 0$ , a derivabilidade em uma variável dá $h = s\,x'(t) + o(s)$ e $k = s\,y'(t) + o(s)$ , logo $\norm{(h, k)} = O(s)$ e

g(t+s) - g(t) = h\,\frac{\partial f}{\partial x} + k\,\frac{\partial f}{\partial y} + o\bigl(\norm{(h,k)}\bigr) = s\,\Bigl(x'\,\frac{\partial f}{\partial x} + y'\,\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr) + o(s) ,

absorvendo o erro final tanto os $o(s)$ de $h$ e de $k$ (multiplicados pelos valores fixos das parciais) quanto o $o(O(s))$ da estimativa do plano tangente. Divida por $s$ e faça $s \to 0$ . A continuidade de $g'$ decorre da de todos os ingredientes. ∎

Exemplo 25.8 (A regra da cadeia, verificada dos dois modos)

Sejam $f(x, y) = x^2 y$ e $g(t) = f(t, t^2)$ . Diretamente: $g(t) = t^2\cdot t^2 = t^4$ , logo $g'(t) = 4t^3$ . Pela regra da cadeia: $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$ e $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2$ , avaliadas ao longo da curva $(t, t^2)$ :

g'(t) = 1\cdot 2t\cdot t^2 + 2t\cdot t^2 = 2t^3 + 2t^3 = 4t^3 .

Os dois cálculos concordam, e a separação é significativa: $2t^3$ do crescimento vem de mover-se para a direita através da inclinação em $x$ , e $2t^3$ de mover-se para cima através da inclinação em $y$ . Em curvas onde não existe forma fechada para $g$ , só o segundo cálculo sobrevive — é esse o ponto do teorema.

Observação 25.9 (Ler o gradiente)

Ao longo de uma direção unitária $u$ , a regra da cadeia aplicada a $t \mapsto f(a + tu)$ dá a derivada direcional $\langle \nabla f(a), u\rangle$ : máxima quando $u$ aponta ao longo de $\nabla f(a)$ (por Cauchy–Schwarz, o Teorema 23.4). O gradiente é a direção de subida mais íngreme, e é ortogonal às curvas de nível $\{f = c\}$ (derive $f$ ao longo de uma curva traçada num conjunto de nível: a regra da cadeia dá $\langle\nabla f,\, \text{tangente}\rangle = 0$ ).

Exemplo 25.10 (Curvas de nível e gradientes, numa só função)

Tome $f(x, y) = x^2 - y^2$ . Os seus conjuntos de nível: $\{f = c\}$ é uma hipérbole aberta para a esquerda e para a direita se $c > 0$ , e para cima e para baixo se $c < 0$ , e o par de retas cruzadas $y = \pm x$ para $c = 0$ — o mapa de contornos de um colo de montanha, com o ponto de sela na origem, onde as duas retas de nível zero se cruzam. Gradiente: $\nabla f = (2x, -2y)$ . No ponto $(2, 1)$ (no nível $c = 3$ ): $\nabla f = (4, -2)$ , ao passo que o vetor tangente da curva de nível, parametrizada perto desse ponto por $\bigl(t, \sqrt{t^2 - 3}\bigr)$ , é $\bigl(1, \frac{t}{\sqrt{t^2 - 3}}\bigr) = (1, 2)$ em $t = 2$ — e de fato

\langle (4, -2),\ (1, 2)\rangle = 4 - 4 = 0 :

gradiente perpendicular ao contorno, apontando para valores mais altos de $f$ (aqui: afastando-se do eixo $y$ ). Mais duas leituras: o gradiente anula-se exatamente na sela, onde o mapa de contornos se estrangula; e a reta tangente à curva de nível em $(2,1)$ é $4(x - 2) - 2(y - 1) = 0$ , isto é, $2x - y = 3$ — a equação “ $\langle \nabla f,\ M - M_0\rangle = 0$ ” que generaliza a tangente à elipse do Exercício 24.11.

Teorema 25.11 (Schwarz)

Se $f$ é de classe $C^2$ (as parciais das parciais existem e são contínuas), então

\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} .

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

25.3 Extremos locais

Método 25.12 (Estudos de extremos, organizados)

Resolva $\nabla f = 0$ por completo. Fatore cada parcial sempre que possível (produtos de fatores lineares dividem o sistema em casos transparentes, como no Exemplo 25.16 abaixo); um caso esquecido é um ponto crítico esquecido.
Classifique cada ponto com os dados de Monge $r, s, t$ — recalculados em cada ponto, nunca uma vez por todas.
Se $rt - s^2 = 0$ , examine $f$ diretamente ao longo de curvas bem escolhidas pelo ponto (primeiro retas, depois parábolas), caçando ou dois sinais (nenhum extremo) ou um sinal fixo com um argumento que cubra todas as direções.
Recue para o quadro global: verifique o comportamento no infinito (um mínimo local pode não ser global) e, se o domínio não for aberto, trate a sua fronteira separadamente (o Exercício 25.12) — o teorema dos pontos críticos só enxerga pontos interiores.

Teorema 25.13 (Pontos críticos)

Se $f$ (de classe $C^1$ no aberto $U$ ) tem um extremo local em $(a,b) \in U$ , então $\nabla f(a,b) = (0,0)$ : o ponto é crítico.

Demonstração. As funções de uma variável $x \mapsto f(x, b)$ e $y \mapsto f(a, y)$ têm extremos locais interiores em $a$ e em $b$ , respectivamente: a Proposição 14.7 mata as duas parciais. ∎

Método 25.14 (Teste de segunda ordem (notação de Monge))

Num ponto crítico de uma função de classe $C^2$ , ponha

r = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \qquad s = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}, \qquad t = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \qquad (\text{valores no ponto}).

Se $rt - s^2 > 0$ : extremo local — mínimo se $r > 0$ , máximo se $r < 0$ ;
se $rt - s^2 < 0$ : nenhum extremo (um ponto de sela);
se $rt - s^2 = 0$ : o teste é mudo; examine diretamente.

(A justificativa — uma expansão de Taylor–Young na ordem $2$ e o estudo do sinal da forma quadrática $r h^2 + 2shk + tk^2$ — é feita no segundo ano; o teste é usado aqui como ferramenta de trabalho.)

Exemplo 25.15

$f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$ . Pontos críticos: $\nabla f = (3x^2 - 3y,\; 3y^2 - 3x) = 0$ dá $y = x^2$ e $x = y^2$ , logo $x = x^4$ : $x \in \{0, 1\}$ : os pontos $(0,0)$ e $(1,1)$ .

Derivadas segundas: $r = 6x$ , $s = -3$ , $t = 6y$ . Em $(0,0)$ : $rt - s^2 = -9 < 0$ : sela. Em $(1,1)$ : $rt - s^2 = 36 - 9 > 0$ , $r = 6 > 0$ : mínimo local, $f(1,1) = -1$ . (Não global: $f(x, 0) = x^3 \to -\infty$ .)

Exemplo 25.16 (Um estudo de quatro pontos, por extenso)

$f(x, y) = xy\,(3 - x - y) = 3xy - x^2y - xy^2$ . Gradiente:

\frac{\partial f}{\partial x} = y\,(3 - 2x - y), \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = x\,(3 - x - 2y).

Pontos críticos: se $y = 0$ , a segunda equação dá $x \in \{0, 3\}$ ; se $x = 0$ , a primeira dá $y \in \{0, 3\}$ ; se $xy \neq 0$ , resolva $2x + y = 3$ , $x + 2y = 3$ : $x = y = 1$ . Quatro pontos: $(0,0)$ , $(3,0)$ , $(0,3)$ , $(1,1)$ . Derivadas segundas: $r = -2y$ , $s = 3 - 2x - 2y$ , $t = -2x$ .

$(1,1)$ : $r = -2$ , $s = -1$ , $t = -2$ : $rt - s^2 = 3 > 0$ , $r < 0$ : máximo local, $f(1,1) = 1$ .
$(0,0)$ : $r = t = 0$ , $s = 3$ : $rt - s^2 = -9 < 0$ : sela; do mesmo modo $(3, 0)$ ( $s = -3$ ) e $(0, 3)$ : três selas.

O máximo é apenas local: $f(-T, -T) = T^2(3 + 2T) \to +\infty$ . Verificação de simetria: $f(x, y) = f(y, x)$ , e de fato o conjunto crítico e a classificação são simétricos em $x \leftrightarrow y$ . Interpretação: entre os retângulos com folga $x, y \geq 0$ , $x + y \leq 3$ , o produto $xy(3 - x - y)$ das três “partes” de $3$ é máximo quando as partes são iguais — uma sombra em duas variáveis do princípio das médias aritmética e geométrica.

As duas curvas f = 0 para f = x3 + y3 - 3xy intersectam-se nos pontos críticos (0,0) (sela) e (1,1) (mínimo local). — As duas curvas $\nabla f = 0$ para $f = x^3 + y^3 - 3xy$ intersectam-se nos pontos críticos $(0,0)$ (sela) e $(1,1)$ (mínimo local).

Observação 25.17 (Armadilhas comuns)

As derivadas parciais podem existir num ponto de descontinuidade: a armadilha radial $g(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$ do Exemplo 25.3 tem $\frac{\partial g}{\partial x}(0,0) = \frac{\partial g}{\partial y}(0,0) = 0$ (as duas restrições aos eixos anulam-se identicamente), e no entanto $g$ não tem limite na origem — as parciais sondam apenas duas direções, ao passo que a continuidade precisa de todas; só a hipótese $C^1$ restaura a ordem (o Teorema 25.5). Limites ao longo de retas nunca bastam: a função do Exercício 25.3 tem limite $0$ ao longo de toda reta e ainda assim não tem limite — tente sempre parábolas (ou cotas polares válidas uniformemente em $\theta$ ). Crítico é necessário, não suficiente: as selas abundam (três dos quatro pontos do Exemplo 25.16); e o teorema vale apenas em conjuntos abertos — num disco fechado, os extremos podem ficar na fronteira com gradiente não nulo (o Exercício 25.12). O caso mudo $rt - s^2 = 0$ é genuinamente mudo: $x^4 + y^4$ (mínimo) e $x^3 + y^3$ (nenhum dos dois) têm ambos $r = s = t = 0$ na origem; só um estudo direto de sinal decide (o Exercício 25.6, função $h$ ). O gradiente é ortogonal às curvas de nível, e não paralelo a elas: para seguir uma linha de contorno, mova-se perpendicularmente a $\nabla f$ ; para subir o mais rápido possível, mova-se ao longo dele — misturar os dois inverte a geometria de todo mapa de contornos.

Observação 25.18 (Para onde levam as duas variáveis)

Este capítulo é uma porta. O gradiente e a regra da cadeia estendem-se palavra por palavra a $n$ variáveis no volume do segundo ano de graduação, onde o $o(\norm{(h,k)})$ do Teorema 25.5 torna-se a diferencial e o teste de Monge é demonstrado por completo via a fórmula de Taylor de ordem dois e as formas quadráticas. O caso particular que pode ser resolvido neste ano — as funções quadráticas, para as quais a expansão de segunda ordem é exata — é o assunto do problema de fim de semana, e acontece de ser o caso que move o ajuste de dados do mundo inteiro: a regressão por mínimos quadrados. Os extremos com restrição (o Exercício 25.5 foi uma prévia) tornam-se os multiplicadores de Lagrange no segundo ano; as funções harmônicas (o Exercício 25.7) voltam na análise complexa do volume do terceiro ano de graduação.

Observação 25.19 (Perspectivas dentro do Livro 3: o ano, fechado)

Este capítulo é o lugar em que as duas metades do volume se cumprimentam. A metade de análise forneceu as suas ferramentas uma derivada de cada vez: o teorema do valor médio conduz o Teorema 25.5, as expansões de Taylor conduzem os testes de extremo, e os $\varepsilon$ do Capítulo 12 voltaram com bolas em vez de intervalos. A metade de álgebra forneceu a geometria: o gradiente é lido através do produto interno do Capítulo 23 (Cauchy–Schwarz faz dele a direção mais íngreme), os dados de Monge $(r, s, t)$ formam uma matriz simétrica do Capítulo 21 com o teste de determinante do Capítulo 22, e o problema de fim de semana executa uma projeção ortogonal sobre vetores de dados. Até as curvas do Capítulo 24 voltam como conjuntos de nível. Um leitor capaz de reconstruir por que cada uma dessas cinco passagens de bastão funciona terá, na prática, revisado o ano inteiro — que é o verdadeiro propósito deste capítulo final.

Os mínimos quadrados numa só figura: quatro pontos de dados, a reta de regressão y = 1.4x - 0.1, e os resíduos verticais (tracejados) cujos quadrados a reta minimiza — total 0.2, o menor alcançável. O problema de fim de semana calcula esta reta, demonstra que ela é o minimizador único, e identifica a construção inteira com uma projeção ortogonal em ℝ4. — Os mínimos quadrados numa só figura: quatro pontos de dados, a reta de regressão $y = 1.4x - 0.1$ , e os resíduos verticais (tracejados) cujos quadrados a reta minimiza — total $0.2$ , o menor alcançável. O problema de fim de semana calcula esta reta, demonstra que ela é o minimizador único, e identifica a construção inteira com uma projeção ortogonal em $\R^4$ .

25.4 Exercícios

Exercício 25.1 ★

Calcule as derivadas parciais: $f(x,y) = x^2 y + \eu^{xy}$ ; $\;g(x,y) = \ln(x^2 + y^2)$ (em $\R^2\setminus\{0\}$ ); $\;h(x,y) = \arctan\frac yx$ (em $x > 0$ ).

Solução

Solução de Exercício 25.1.

$\dfrac{\partial f}{\partial x} = 2xy + y\,\eu^{xy}$ , $\dfrac{\partial f}{\partial y} = x^2 + x\,\eu^{xy}$ .

$\dfrac{\partial g}{\partial x} = \dfrac{2x}{x^2+y^2}$ , $\dfrac{\partial g}{\partial y} = \dfrac{2y}{x^2+y^2}$ .

$\dfrac{\partial h}{\partial x} = \dfrac{-y/x^2}{1 + y^2/x^2} = \dfrac{-y}{x^2+y^2}$ , $\dfrac{\partial h}{\partial y} = \dfrac{x}{x^2+y^2}$ .

Exercício 25.2 ★

Estude a continuidade em $(0,0)$ (com valor $0$ ali) de:

f(x,y) = \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}, \qquad g(x,y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}, \qquad h(x,y) = \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}.

(As coordenadas polares $x = \rho\cos\theta$ , $y = \rho\sin\theta$ ajudam: majore por uma função só de $\rho$ quando for possível.)

Solução

Solução de Exercício 25.2.

Em coordenadas polares ( $\rho \to 0$ ):

$\abs{f} = \dfrac{\rho^3\abs{\cos^2\theta\sin\theta}}{\rho^2} \leq \rho \to 0$ : contínua.

$g = \cos\theta\sin\theta$ : independente de $\rho$ , tomando valores diferentes ao longo de raios diferentes (cf. o Exemplo 25.3): nenhum limite, não contínua.

$\abs h \leq \dfrac{\rho^3(\abs{\cos^3\theta} + \abs{\sin^3\theta})}{\rho^2} \leq 2\rho \to 0$ : contínua.

Exercício 25.3 ★★

Seja $f(x,y) = \dfrac{x^2 y}{x^4 + y^2}$ ( $f(0,0) = 0$ ). Demonstre que $f$ tem limite $0$ na origem ao longo de toda reta, mas que $f\bigl(x, x^2\bigr) = \frac12$ : $f$ não é contínua em $(0,0)$ .

Solução

Solução de Exercício 25.3.

Ao longo de $y = mx$ : $f(x, mx) = \dfrac{m x^3}{x^4 + m^2 x^2} = \dfrac{mx}{x^2 + m^2} \to 0$ (para $m \neq 0$ ; ao longo de $y = 0$ e do eixo $y$ , $f = 0$ ). Logo todo limite ao longo de uma reta é $0$ . Mas na parábola $y = x^2$ :

f(x, x^2) = \frac{x^4}{x^4 + x^4} = \frac12 :

a sequência $\bigl(\frac1n, \frac{1}{n^2}\bigr) \to (0,0)$ tem $f \to \frac12 \neq 0$ . Não contínua: as retas não bastam para testar limites de duas variáveis.

Exercício 25.4 ★

Verifique à mão o teorema de Schwarz em $f(x, y) = x^3 y^2 + \sin(xy)$ .

Solução

Solução de Exercício 25.4.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2 + y\cos(xy)$ ; então

\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} = 6x^2 y + \cos(xy) - xy\sin(xy) .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3 y + x\cos(xy)$ ; então

\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} = 6x^2 y + \cos(xy) - xy\sin(xy) :

iguais, como Schwarz promete.

Exercício 25.5 ★★

Seja $f$ de classe $C^1$ em $\R^2$ e $g(t) = f(\cos t, \sin t)$ . Exprima $g'(t)$ pela regra da cadeia. Deduza que $f$ restrita ao círculo unitário atinge extremos em pontos onde $\nabla f$ é paralelo ao vetor radial.

Solução

Solução de Exercício 25.5.

Pelo Teorema 25.7 com $(x, y) = (\cos t, \sin t)$ :

g'(t) = -\sin t\,\frac{\partial f}{\partial x}(\cos t, \sin t) + \cos t\,\frac{\partial f}{\partial y}(\cos t, \sin t) = \bigl\langle \nabla f,\ (-\sin t, \cos t)\bigr\rangle .

Num extremo de $g$ , $g'(t) = 0$ : $\nabla f$ é ortogonal ao vetor tangente $(-\sin t, \cos t)$ do círculo, logo paralelo ao vetor radial $(\cos t, \sin t)$ (no plano, o complemento ortogonal de um vetor unitário é a reta que ele gera, tomada perpendicularmente). Esta é a instância mais simples de um multiplicador de Lagrange.

Exercício 25.6 ★★

Encontre e classifique os pontos críticos de:

f(x, y) = x^2 + xy + y^2 - 3x, \qquad g(x, y) = x^2 - y^2 + 4y, \qquad h(x, y) = x^4 + y^4 - 2(x - y)^2 .

(Para $h$ , o teste do determinante é mudo na origem: examine $h(x, x)$ e $h(x, -x)$ .)

Solução

Solução de Exercício 25.6.

$f$ : $\nabla f = (2x + y - 3,\; x + 2y) = 0$ : $y = -\frac x2$ e $2x - \frac x2 = 3$ : $x = 2$ , $y = -1$ . Segunda ordem: $r = 2$ , $s = 1$ , $t = 2$ : $rt - s^2 = 3 > 0$ , $r > 0$ : mínimo local (e de fato global — quadrática) em $(2, -1)$ , valor $f(2,-1) = -3$ .

$g$ : $\nabla g = (2x,\; -2y + 4) = 0$ : ponto $(0, 2)$ ; $r = 2$ , $s = 0$ , $t = -2$ : $rt - s^2 = -4 < 0$ : sela.

$h$ : $\nabla h = \bigl(4x^3 - 4(x - y),\; 4y^3 + 4(x-y)\bigr) = 0$ . Somando: $x^3 + y^3 = 0$ , logo $y = -x$ ; substituindo: $4x^3 - 8x = 0$ : $x \in \{0, \pm\sqrt2\}$ . Pontos críticos: $(0,0)$ , $(\sqrt2, -\sqrt2)$ , $(-\sqrt2, \sqrt2)$ . Em $(\pm\sqrt2, \mp\sqrt2)$ : $r = 12x^2 - 4 = 20$ , $s = 4$ , $t = 20$ : $rt - s^2 > 0$ , $r > 0$ : mínimos locais (valor $h = 4 + 4 - 16 = -8$ ). Em $(0,0)$ : $r = t = -4$ , $s = 4$ : $rt - s^2 = 0$ : mudo. Examine: $h(x, x) = 2x^4 > 0$ e $h(x, -x) = 2x^4 - 8x^2 < 0$ para $x \neq 0$ pequeno: os dois sinais em toda vizinhança — nenhum extremo na origem.

Exercício 25.7 ★★

Uma função $f$ é harmônica quando $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$ . Verifique que $x^2 - y^2$ , $xy$ , $\eu^x\cos y$ e $\ln(x^2 + y^2)$ (fora da origem) são harmônicas.

Solução

Solução de Exercício 25.7.

$x^2 - y^2$ : parciais segundas $2$ e $-2$ : soma $0$ . $xy$ : as duas parciais segundas puras se anulam. $\eu^x\cos y$ : $\frac{\partial^2}{\partial x^2} = \eu^x\cos y$ , $\frac{\partial^2}{\partial y^2} = -\eu^x\cos y$ : soma $0$ . $\ln(x^2+y^2)$ : pelo Exercício 25.1,

\frac{\partial^2}{\partial x^2}\ln(x^2+y^2) = \frac{2(x^2+y^2) - 4x^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{2(y^2 - x^2)}{(x^2+y^2)^2},

e a versão em $y$ é a sua oposta: soma $0$ .

Exercício 25.8 ★★★

Encontre o ponto do plano $\{x + 2y - z = 4\} \subseteq \R^3$ mais próximo da origem, de duas maneiras: por projeção ortogonal (o Capítulo 23), e minimizando a função de duas variáveis $f(x, y) = x^2 + y^2 + (x + 2y - 4)^2$ obtida eliminando $z$ .

Solução

Solução de Exercício 25.8.

Projeção: o plano $P$ tem normal $n = (1, 2, -1)$ e passa por $A = (4, 0, 0)$ . O ponto mais próximo da origem é $O$ projetado: $p = O + \frac{\langle A - O, n\rangle}{\norm n^2}\,n = \frac{4}{6}(1,2,-1) = \bigl(\frac23, \frac43, -\frac23\bigr)$ , à distância $\frac{4}{\sqrt 6}$ . (Fórmula: a distância da origem ao plano $\langle X, n \rangle = c$ é $\frac{\abs c}{\norm n}$ , com $c = 4$ .)

Minimização: $f(x,y) = x^2 + y^2 + (x + 2y - 4)^2$ . Escrevendo $w = x + 2y - 4$ para o último fator:

\nabla f = \bigl(2x + 2w,\; 2y + 4w\bigr) = 0 \iff x = -w \text{ e } y = -2w .

Substituindo na definição de $w$ : $w = -w - 4w - 4$ , logo $w = -\frac23$ , o que dá $x = \frac23$ , $y = \frac43$ e $z = w = -\frac23$ . O mesmo ponto obtido pela projeção, à distância $\sqrt{\frac49 + \frac{16}{9} + \frac49} = \frac{2\sqrt 6}{3} = \frac{4}{\sqrt6}$ ; é um mínimo, pois $f \to \infty$ no infinito (uma quadrática definida positiva mais termos lineares).

Exercício 25.9 ★★★

(O laplaciano em coordenadas polares, primeiro contato) Seja $f$ de classe $C^2$ em $\R^2 \setminus \{0\}$ e radial: $f(x, y) = \varphi\bigl(\sqrt{x^2+y^2}\bigr)$ , com $\varphi$ de classe $C^2$ em $\intoo{0}{+\infty}$ . Demonstre que

\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \varphi''(\rho) + \frac{\varphi'(\rho)}{\rho}, \qquad \rho = \sqrt{x^2 + y^2},

e encontre todas as funções harmônicas radiais no plano perfurado.

Solução

Solução de Exercício 25.9.

Com $\rho = \sqrt{x^2+y^2}$ : $\frac{\partial \rho}{\partial x} = \frac{x}{\rho}$ , logo

\frac{\partial f}{\partial x} = \varphi'(\rho)\,\frac{x}{\rho}, \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \varphi''(\rho)\,\frac{x^2}{\rho^2} + \varphi'(\rho)\,\Bigl(\frac{1}{\rho} - \frac{x^2}{\rho^3}\Bigr),

(regras do quociente e da cadeia). Somando a expressão simétrica em $y$ : os termos em $\varphi''$ juntam $\frac{x^2 + y^2}{\rho^2} = 1$ , e os termos em $\varphi'$ juntam $\frac{2}{\rho} - \frac{x^2 + y^2}{\rho^3} = \frac{1}{\rho}$ :

\Delta f = \varphi'' + \frac{\varphi'}{\rho} .

Harmônicas radiais: resolva $\varphi'' + \frac{\varphi'}{\rho} = 0$ : a equação de primeira ordem $u' + \frac u\rho = 0$ para $u = \varphi'$ dá $u = \frac{c}{\rho}$ (o Teorema 5.2), e depois $\varphi = c\ln\rho + d$ . As funções harmônicas radiais são $c\,\ln\sqrt{x^2 + y^2} + d$ — o potencial logarítmico do Exercício 25.7 e as constantes, nada mais.

Exercício 25.10 ★★

Dê a equação do plano tangente ao gráfico $z = xy$ no ponto $(1, 1, 1)$ . Encontre em seguida todos os pontos do gráfico de $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$ em que o plano tangente é horizontal, e relacione a resposta com o Exemplo 25.15.

Solução

Solução de Exercício 25.10.

Para $z = xy$ em $(1,1)$ : parciais $y = 1$ e $x = 1$ , plano tangente $z = 1 + (x - 1) + (y - 1) = x + y - 1$ . Plano tangente horizontal significa que as duas parciais se anulam, isto é, $\nabla f = 0$ : pelo Exemplo 25.15, exatamente os pontos críticos $(0, 0)$ e $(1, 1)$ , com planos horizontais $z = 0$ e $z = -1$ . “Plano tangente horizontal” e “ponto crítico” são a mesma noção, vista no gráfico e na fórmula.

Exercício 25.11 ★★

Seja $f$ de classe $C^1$ em $\R^2$ .

Se $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ em toda parte, demonstre que $f(x, y)$ depende apenas de $y$ .
Encontre todas as soluções de classe $C^1$ da equação $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y}$ em $\R^2$ . (Ponha $g(u, v) = f\bigl(\frac{u+v}2, \frac{u-v}2\bigr)$ e calcule $\frac{\partial g}{\partial v}$ pela regra da cadeia.)

Solução

Solução de Exercício 25.11.

Para $y$ fixo, a função de uma variável $x \mapsto f(x,y)$ tem derivada nula em $\R$ , logo é constante (o Teorema 14.9): $f(x, y) = f(0, y)$ para todo $x$ : $f$ depende apenas de $y$ .
Seja $g(u, v) = f\bigl(\frac{u+v}2, \frac{u-v}2\bigr)$ . Pela regra da cadeia (o Teorema 25.7, aplicado na variável $v$ com $u$ congelado):

$\frac{\partial g}{\partial v} = \frac12\,\frac{\partial f}{\partial x} - \frac12\,\frac{\partial f}{\partial y} = 0 .$

Por (1), $g$ depende apenas de $u$ : $g(u, v) = \varphi(u)$ com $\varphi$ de classe $C^1$ , e invertendo a mudança de variáveis ( $u = x + y$ , $v = x - y$ ),

$f(x, y) = \varphi(x + y).$

Reciprocamente, toda $f$ desse tipo satisfaz $f_x = f_y = \varphi'$ : as soluções são exatamente as funções de classe $C^1$ de $x + y$ .

Exercício 25.12 ★★★

Encontre o máximo e o mínimo globais de $f(x, y) = xy$ no disco fechado $x^2 + y^2 \leq 1$ . (Admita o teorema dos valores extremos em duas variáveis: uma função contínua no disco fechado atinge os seus limites — demonstrado no volume do segundo ano de graduação. Trate o disco aberto por pontos críticos e o círculo de fronteira pela parametrização do Exercício 25.5.)

Solução

Solução de Exercício 25.12.

No disco aberto, um extremo seria crítico: $\nabla f = (y, x) = 0$ apenas em $(0,0)$ , onde $f = 0$ ; ali há uma sela ( $f(\pm \varepsilon, \pm\varepsilon) = \varepsilon^2 > 0 > -\varepsilon^2 = f(\pm\varepsilon, \mp\varepsilon)$ ), logo nenhum extremo. Pelo teorema dos valores extremos admitido, os limites são atingidos, necessariamente no círculo de fronteira. Ali, com o Exercício 25.5,

f(\cos t, \sin t) = \cos t\sin t = \frac{\sin 2t}{2} \in \intcc{-\tfrac12}{\tfrac12},

com máximo $\frac12$ em $t = \frac\pi4, \frac{5\pi}4$ (pontos $\pm\frac{1}{\sqrt2}(1,1)$ ) e mínimo $-\frac12$ em $t = \frac{3\pi}4, \frac{7\pi}4$ (pontos $\pm\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$ ). Máximo global $\frac12$ , mínimo global $-\frac12$ .

25.5 Problema: mínimos quadrados e a reta de regressão

Problema 25.1

Dados $n$ pontos, qual reta passa “mais perto” de todos eles? Legendre e Gauss responderam: a reta que minimiza a soma dos erros verticais ao quadrado — porque essa minimização é exatamente resolúvel pela álgebra linear. Este problema primeiro demonstra honestamente o teste de Monge do Método 25.14 para funções quadráticas (o único caso em que a expansão de segunda ordem é exata), e depois constrói as equações normais, a reta de regressão e o coeficiente de correlação sobre a geometria euclidiana do Capítulo 23.

Parte I — Funções quadráticas: o teste de Monge, demonstrado. Fixe reais $r, s, t$ e seja $q(h, k) = r h^2 + 2s hk + t k^2$ .

Suponha $r \neq 0$ . Estabeleça a forma com quadrado completado

$q(h, k) = r\Bigl(h + \frac{s}{r}k\Bigr)^{\!2} + \frac{rt - s^2}{r}\,k^2 ,$

e deduza: se $rt - s^2 > 0$ , $q$ tem o sinal estrito de $r$ fora da origem; se $rt - s^2 < 0$ , $q$ assume os dois sinais.
Resolva os casos restantes: $r = 0$ , $t \neq 0$ (simétrico); e $r = t = 0$ ( $q = 2shk$ ). Conclua: $q$ assume os dois sinais se e somente se $rt - s^2 < 0$ , e $q$ anula-se apenas na origem se e somente se $rt - s^2 > 0$ .
Seja agora $f(x, y) = \frac12\bigl(r x^2 + 2s xy + t y^2\bigr) + \beta x + \gamma y + \delta$ uma função quadrática com um ponto crítico $X_0 = (a, b)$ . Demonstre a expansão exata

$f(X_0 + (h,k)) = f(X_0) + \tfrac12\,q(h, k) \qquad (\text{sem resto}),$

e deduza a classificação de Monge para funções quadráticas: mínimo global estrito se $rt - s^2 > 0$ , $r > 0$ ; máximo global estrito se $rt - s^2 > 0$ , $r < 0$ ; sela se $rt - s^2 < 0$ .
Suponha $rt - s^2 > 0$ e $r > 0$ (logo também $t > 0$ ). Demonstre a cota explícita de coercividade

$q(h, k) \geq c\,(h^2 + k^2), \qquad c = \frac{rt - s^2}{r + t} > 0 .$

(Mostre que a forma quadrática $q - c(h^2 + k^2)$ , de coeficientes $r - c$ , $s$ , $t - c$ , ainda tem dados de teste de discriminante não negativos.)
Deduza que uma função quadrática com parte quadrática definida positiva tende a $+\infty$ quando $\norm{(x,y)} \to \infty$ , e portanto tem um único minimizador global: o seu ponto crítico. Contraste com o Exemplo 25.15, em que um mínimo local de uma função não quadrática não era global.

Parte II — As equações normais. Sejam $C_1, C_2, b \in \R^n$ (produto interno canônico), e

f(u, v) = \norm{u\,C_1 + v\,C_2 - b}^2 .

Desenvolva $f$ e mostre que ela é uma função quadrática de $(u, v)$ com coeficientes de parte quadrática $r = 2\norm{C_1}^2$ , $s = 2\langle C_1, C_2\rangle$ , $t = 2\norm{C_2}^2$ .
Mostre que $rt - s^2 > 0$ se e somente se $(C_1, C_2)$ é livre (o caso de igualdade de Cauchy–Schwarz, o Teorema 23.4); suponha isso daqui em diante.
Mostre que as equações críticas $\nabla f = 0$ são as equações normais

$\begin{pmatrix} \norm{C_1}^2 & \langle C_1, C_2\rangle\\ \langle C_1, C_2\rangle & \norm{C_2}^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u\\ v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \langle C_1, b\rangle\\ \langle C_2, b\rangle\end{pmatrix}$

— a matriz de Gram do Exercício 23.11 à esquerda — e que elas dizem exatamente: $b - (uC_1 + vC_2) \perp C_1, C_2$ . Conclua, com a Parte I e o Teorema 23.10: o minimizador único dá $p = uC_1 + vC_2 =$ , a projeção ortogonal de $b$ sobre $\operatorname{Vect}(C_1, C_2)$ .
Mostre que o valor mínimo é $\norm{b}^2 - \langle p, b\rangle = \norm{b - p}^2$ , e desenhe a figura pitagórica.

Parte III — A reta de regressão. Pontos de dados $(x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$ , com nem todos os $x_i$ iguais. Minimize

E(\alpha, \beta) = \sum_{i=1}^{n}\bigl(y_i - \alpha - \beta x_i\bigr)^2 .

Escreva $\bar x = \frac1n\sum x_i$ , $\bar y = \frac1n\sum y_i$ , $v_x = \frac1n\sum x_i^2 - \bar x^2$ , $v_y = \frac1n\sum y_i^2 - \bar y^2$ , $c_{xy} = \frac1n\sum x_i y_i - \bar x\bar y$ .

Reconheça a Parte II com $C_1 = (1, \dots, 1)$ , $C_2 = (x_1, \dots, x_n)$ , $b = (y_1, \dots, y_n)$ , e escreva as equações normais

$n\alpha + \Bigl(\sum x_i\Bigr)\beta = \sum y_i, \qquad \Bigl(\sum x_i\Bigr)\alpha + \Bigl(\sum x_i^2\Bigr)\beta = \sum x_i y_i .$
Resolva-as:

$\beta = \frac{c_{xy}}{v_x}, \qquad \alpha = \bar y - \beta\,\bar x ,$

e observe que a reta de regressão $y = \alpha + \beta x$ passa pelo ponto médio $(\bar x, \bar y)$ .
Verifique que $v_x > 0$ exatamente quando os $x_i$ não são todos iguais, e case isto com a questão 7.
Demonstre que o erro mínimo é

$E_{\min} = n\Bigl(v_y - \frac{c_{xy}^2}{v_x}\Bigr) = n\,v_y\,(1 - \rho^2), \qquad \rho = \frac{c_{xy}}{\sqrt{v_x v_y}} \quad (v_y \neq 0).$

Deduza $\abs\rho \leq 1$ , com $\abs\rho = 1$ se e somente se os dados estão perfeitamente alinhados.
Exemplo trabalhado: para os dados $(0,0)$ , $(1,1)$ , $(2,3)$ , $(3,4)$ , calcule $\bar x, \bar y, v_x, c_{xy}$ , a reta de regressão, os quatro resíduos e $E_{\min}$ .
Demonstre que os resíduos $\varepsilon_i = y_i - \alpha - \beta x_i$ da reta ótima satisfazem $\sum_i \varepsilon_i = 0$ e $\sum_i x_i\varepsilon_i = 0$ , e interprete ambos via ortogonalidade.

Parte IV — Variações e aplicações.

(Melhor constante) Mostre que a constante $\alpha$ que minimiza $\sum_i (y_i - \alpha)^2$ é a média $\bar y$ , e que o valor mínimo é $n\,v_y$ : a variância mede o fracasso dos dados em serem constantes.
(Reta pela origem) Mostre que a inclinação que minimiza $\sum_i (y_i - \beta x_i)^2$ é $\beta_0 = \frac{\sum x_iy_i}{\sum x_i^2}$ , e dê uma condição sobre os dados para que $\beta_0$ coincida com a inclinação $c_{xy}/v_x$ da questão 11.
(Distância a uma reta, de novo) Para um ponto $M$ e a reta $D$ por $P_0$ dirigida pelo vetor unitário $w$ , minimize $g(\tau) = \norm{P_0 + \tau w - M}^2$ e deduza $d(M, D)^2 = \norm{M - P_0}^2 - \langle M - P_0, w\rangle^2$ ; recupere a fórmula $d = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ para a reta $ax + by + c = 0$ no plano.
(Análise da variância) Demonstre a decomposição $v_y = \beta^2 v_x + \frac{E_{\min}}n$ : a variância dos $y_i$ separa-se na parte explicada pela reta mais a variância residual.
(Ajuste parabólico) Para ajustar $y = a + bx + cx^2$ , mostre que as equações normais são o sistema $3 \times 3$ com a matriz de momentos

$\begin{pmatrix} n & \sum x_i & \sum x_i^2\\ \sum x_i & \sum x_i^2 & \sum x_i^3\\ \sum x_i^2 & \sum x_i^3 & \sum x_i^4 \end{pmatrix},$

uma matriz de Gram, invertível assim que três dos $x_i$ são distintos (liberdade de $(1, X, X^2)$ amostrada nos dados, o Exercício 23.11; compare com as matrizes de momentos do problema de fim de semana do Capítulo 22).

Parte V — Robustez, e síntese.

Classifique os pontos críticos das três funções quadráticas

$x^2 + xy + y^2, \qquad x^2 + 3xy + y^2, \qquad x^2 + 2xy + y^2 ,$

pela Parte I, tratando à mão o terceiro caso, degenerado (onde o mínimo é atingido?).
(Experimento com ponto atípico) Acrescente o ponto $(10, 0)$ aos dados da questão 14 e recalcule a inclinação $\beta$ . O que aconteceu, e por que o erro ao quadrado é tão sensível a um único ponto distante?
(Mínimos quadrados ponderados) Dados pesos $w_i > 0$ , minimize $\sum_i w_i(y_i - \alpha - \beta x_i)^2$ : mostre que a solução é dada pelas mesmas fórmulas da questão 11 com médias, variância e covariância ponderadas (defina-as).
Mostre que, para a reta ótima, $E_{\min} = 0$ força todos os pontos a estarem exatamente sobre ela, e conecte com o caso de igualdade $\abs\rho = 1$ da questão 13; teste nos dados alinhados $(1,1), (2,3), (3,5)$ .
Síntese, em quatro frases: por que as funções quadráticas são a única classe em que o teste de segunda ordem deste capítulo não precisa de nenhum teorema admitido; como as equações normais identificam a minimização analítica com a projeção ortogonal do Capítulo 23; o que o coeficiente de correlação mede e qual desigualdade o limita; e quais peças dos Capítulos 18–23 (bases, matrizes de Gram e de momentos, projeções) reapareceram. Nomeie o método e as equações estudados nas Partes II–III.

Solução

Solução de Problema 25.1.

1. Desenvolvendo o lado direito:

r\Bigl(h + \frac srk\Bigr)^{\!2} + \frac{rt - s^2}{r}k^2 = rh^2 + 2shk + \frac{s^2}{r}k^2 + \frac{rt - s^2}{r}k^2 = q(h,k) .

Se $rt - s^2 > 0$ : os dois quadrados carregam o sinal do fator $r$ , e $q(h,k) = 0$ força $k = 0$ e depois $h = 0$ : sinal estrito de $r$ fora da origem. Se $rt - s^2 < 0$ : $q(1, 0) = r$ , ao passo que $q\bigl(-\frac sr, 1\bigr) = \frac{rt - s^2}{r}$ tem o sinal oposto: ocorrem os dois sinais.

2. Se $r = 0 \neq t$ , troque os papéis de $h$ e de $k$ (o quadrado completado em $k$ ), com as mesmas conclusões; note que $rt - s^2 = -s^2 < 0$ assim que $s \neq 0$ , e de fato $q = 2shk + tk^2$ assume então os dois sinais ( $k$ pequeno diante de $h$ ). Se $r = t = 0$ : $q = 2shk$ , os dois sinais se e somente se $s \neq 0$ , isto é, se e somente se $rt - s^2 = -s^2 < 0$ . Resumo: $q$ assume os dois sinais $\iff rt - s^2 < 0$ ; $q$ anula-se apenas na origem (definida) $\iff rt - s^2 > 0$ (o que força $r \neq 0$ , pois $r = 0$ dá $q(1,0) = 0$ ).

3. Com $f_x = rx + sy + \beta$ e $f_y = sx + ty + \gamma$ , o desenvolvimento direto dá

f(a + h, b + k) = f(a, b) + h\,f_x(a,b) + k\,f_y(a,b) + \tfrac12 q(h, k),

sem termos de ordem superior (a função é um polinômio de grau $2$ ). Num ponto crítico a parte linear se anula: $f(X_0 + H) - f(X_0) = \frac12 q(H)$ exatamente, de modo que o estudo de sinal das questões 1–2 classifica: mínimo global estrito ( $rt - s^2 > 0$ , $r > 0$ ), máximo global estrito ( $rt - s^2 > 0$ , $r < 0$ ), e sela — os dois sinais em toda vizinhança — quando $rt - s^2 < 0$ . Isto demonstra o Método 25.14 para funções quadráticas.

4. A forma $q - c(h^2 + k^2)$ tem dados $r - c$ , $s$ , $t - c$ . Com $c = \frac{rt - s^2}{r + t}$ (note que $t > 0$ , pois $rt > s^2 \geq 0$ e $r > 0$ ):

(r - c)(t - c) - s^2 = rt - s^2 - c(r + t) + c^2 = c^2 \geq 0,

e $r - c \geq 0$ ( $c \leq r \iff rt - s^2 \leq r^2 + rt$ , verdadeiro). Se $r - c > 0$ , o quadrado completado da questão 1 mostra que $q - c(h^2 + k^2) \geq 0$ ; se $r - c = 0$ , então $s = 0$ (de $-s^2 = -c^2 \leq \dots$ , que força a quantidade exibida a ser $\geq 0$ com primeiro fator $0$ ) e a forma é $(t - c)k^2 \geq 0$ . Nos dois casos, $q(h,k) \geq c(h^2 + k^2)$ .

5. Pelas questões 3–4, $f(X) = f(X_0) + \frac12 q(X - X_0) \geq f(X_0) + \frac c2\norm{X - X_0}^2 \to +\infty$ quando $\norm X \to \infty$ : $f$ é coerciva, e a desigualdade é estrita para $X \neq X_0$ : o ponto crítico é o minimizador global único. Para a cúbica $f = x^3 + y^3 - 3xy$ do Exemplo 25.15, nenhuma conclusão desse tipo vale: $f(x,0) = x^3 \to -\infty$ , e o mínimo local em $(1,1)$ não é global — o que falhou foi a exatidão da expansão quadrática.

6. Desenvolvendo a norma ao quadrado:

f(u,v) = u^2\norm{C_1}^2 + 2uv\,\langle C_1, C_2\rangle + v^2\norm{C_2}^2 - 2u\,\langle C_1, b\rangle - 2v\,\langle C_2, b\rangle + \norm b^2 ,

uma função quadrática de $(u, v)$ cuja parte quadrática é $\frac12(ru^2 + 2suv + tv^2)$ , com $r = 2\norm{C_1}^2$ , $s = 2\langle C_1, C_2\rangle$ , $t = 2\norm{C_2}^2$ .

7. $rt - s^2 = 4\bigl(\norm{C_1}^2\norm{C_2}^2 - \langle C_1, C_2\rangle^2\bigr) \geq 0$ por Cauchy–Schwarz (o Teorema 23.4), com igualdade exatamente quando $C_1, C_2$ são proporcionais (ou um deles é nulo), isto é, quando o par é linearmente dependente. Logo $rt - s^2 > 0 \iff (C_1, C_2)$ livre.

8. $\nabla f = 0$ lê-se

\norm{C_1}^2 u + \langle C_1, C_2\rangle v = \langle C_1, b\rangle, \qquad \langle C_1, C_2\rangle u + \norm{C_2}^2 v = \langle C_2, b\rangle,

as equações normais, com a matriz de Gram à esquerda; elas dizem $\langle uC_1 + vC_2 - b,\ C_i\rangle = 0$ para $i = 1, 2$ , isto é, $b - p \perp \operatorname{Vect}(C_1, C_2)$ para $p = uC_1 + vC_2$ . Pela Parte I (questões 3 e 5), o único ponto crítico é o minimizador global único, e pelo Teorema 23.10 a caracterização “ $p \in F$ , $b - p \perp F$ ” identifica $p$ como a projeção ortogonal de $b$ sobre $F = \operatorname{Vect}(C_1, C_2)$ .

9. $\norm{b - p}^2 = \norm b^2 - 2\langle b, p\rangle + \norm p^2$ , e $\langle p, b - p\rangle = 0$ dá $\norm p^2 = \langle p, b\rangle$ : o mínimo é igual a $\norm b^2 - \langle p, b\rangle$ . Pitágoras: $\norm b^2 = \norm p^2 + \norm{b - p}^2$ — o vetor de dados separa-se na sua parte explicada $p$ e na sua parte residual $b - p$ , ortogonais entre si.

10. $E(\alpha, \beta) = \norm{\alpha C_1 + \beta C_2 - b}^2$ com os $C_1, C_2, b$ indicados; as equações normais da questão 8 são, entrada a entrada,

n\alpha + \Bigl(\sum x_i\Bigr)\beta = \sum y_i, \qquad \Bigl(\sum x_i\Bigr)\alpha + \Bigl(\sum x_i^2\Bigr)\beta = \sum x_i y_i .

11. Dividindo por $n$ : $\alpha + \beta\bar x = \bar y$ e $\alpha\bar x + \beta\bigl(v_x + \bar x^2\bigr) = c_{xy} + \bar x\bar y$ . Substituindo $\alpha = \bar y - \beta\bar x$ na segunda: $\beta v_x = c_{xy}$ , logo

\beta = \frac{c_{xy}}{v_x}, \qquad \alpha = \bar y - \beta\bar x ,

e a primeira equação diz precisamente que $(\bar x, \bar y)$ está sobre a reta.

12. $v_x = \frac1n\sum(x_i - \bar x)^2 \geq 0$ , nulo se e somente se todo $x_i$ é igual a $\bar x$ . E $rt - s^2 = 4\bigl(n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2\bigr) = 4n^2 v_x$ : a condição de liberdade da questão 7 é $v_x > 0$ , isto é, os $x_i$ não todos iguais.

13. Com $\alpha = \bar y - \beta\bar x$ , centre os dados ( $\tilde x_i = x_i - \bar x$ , $\tilde y_i = y_i - \bar y$ ):

E(\alpha, \beta) = \sum_i(\tilde y_i - \beta\tilde x_i)^2 = n\,v_y - 2\beta\,n\,c_{xy} + \beta^2 n\,v_x ,

minimizado em $\beta = c_{xy}/v_x$ , com valor $E_{\min} = n\bigl(v_y - \frac{c_{xy}^2}{v_x}\bigr) = n v_y(1 - \rho^2)$ . Como $E_{\min} \geq 0$ e $v_y > 0$ : $\rho^2 \leq 1$ , e $\abs\rho = 1$ se e somente se $E_{\min} = 0$ , isto é, se e somente se todo resíduo se anula: os pontos estão exatamente sobre a reta.

14. $n = 4$ : $\bar x = \frac64 = 1.5$ , $\bar y = 2$ , $\sum x_i^2 = 14$ , logo $v_x = 3.5 - 2.25 = 1.25$ , $\sum x_iy_i = 0 + 1 + 6 + 12 = 19$ , logo $c_{xy} = 4.75 - 3 = 1.75$ . Logo

\beta = \frac{1.75}{1.25} = 1.4, \qquad \alpha = 2 - 1.4\times1.5 = -0.1 : \qquad y = 1.4\,x - 0.1 .

Valores ajustados $-0.1,\ 1.3,\ 2.7,\ 4.1$ ; resíduos $0.1,\ -0.3,\ 0.3,\ -0.1$ ; $E_{\min} = 0.01 + 0.09 + 0.09 + 0.01 = 0.2$ (verificação: $v_y = \frac{26}4 - 4 = 2.5$ e $4(2.5 - \frac{1.75^2}{1.25}) = 4(2.5 - 2.45) = 0.2$ ).

15. As duas equações normais da questão 10 são exatamente $\sum_i\varepsilon_i = 0$ e $\sum_i x_i\varepsilon_i = 0$ : o vetor dos resíduos é ortogonal a $C_1 = (1, \dots, 1)$ e a $C_2 = (x_i)$ — a todo o espaço do modelo. Em particular, a reta ótima equilibra sempre os seus erros: eles somam zero.

16. $\frac{\dd}{\dd\alpha}\sum(y_i - \alpha)^2 = -2\sum(y_i - \alpha) = 0$ dá $\alpha = \bar y$ (e a derivada segunda $2n > 0$ faz dele o mínimo global, sendo a função uma quadrática coerciva em uma variável). Valor mínimo $\sum(y_i - \bar y)^2 = n v_y$ : a variância é o erro quadrático irredutível de um modelo constante.

17. $\frac{\dd}{\dd\beta}\sum(y_i - \beta x_i)^2 = -2\sum x_i(y_i - \beta x_i) = 0$ dá $\beta_0 = \frac{\sum x_iy_i}{\sum x_i^2}$ . Escrevendo as duas inclinações em quantidades centradas: $\beta_0 = \frac{c_{xy} + \bar x\bar y}{v_x + \bar x^2}$ é igual a $\frac{c_{xy}}{v_x}$ se e somente se $c_{xy}\bar x^2 = \bar x\bar y\,v_x$ , isto é, se e somente se $\bar x = 0$ (abscissas centradas) ou $\bar y = \beta\bar x$ — o que significa $\alpha = 0$ : a reta de regressão completa já passa pela origem.

18. $g(\tau) = \norm{M - P_0}^2 - 2\tau\langle M - P_0, w\rangle + \tau^2$ é mínima em $\tau^* = \langle M - P_0, w\rangle$ , com valor $d(M,D)^2 = \norm{M - P_0}^2 - \langle M - P_0, w\rangle^2$ . No plano, complete $w$ numa base ortonormal $(w, n)$ com $n = \frac{(a, b)}{\sqrt{a^2+b^2}}$ (normal unitária de $D$ ): então $\norm{M - P_0}^2 = \langle M - P_0, w\rangle^2 + \langle M - P_0, n\rangle^2$ , logo $d(M, D) = \abs{\langle M - P_0, n\rangle}$ , e com $aP_{0x} + bP_{0y} = -c$ :

d = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}} .

19. De $E_{\min}/n = v_y - \frac{c_{xy}^2}{v_x}$ e $\beta^2 v_x = \frac{c_{xy}^2}{v_x}$ :

v_y = \beta^2 v_x + \frac{E_{\min}}n :

variância total $=$ variância ao longo da reta ajustada $+$ variância residual. (Dividindo por $v_y$ : $1 = \rho^2 + (1 - \rho^2)$ , e a parcela da variância “explicada” pela reta é $\rho^2$ .)

20. O espaço do modelo é $\operatorname{Vect}\bigl(C_1, C_2, C_3\bigr)$ com $C_1 = (1)$ , $C_2 = (x_i)$ , $C_3 = (x_i^2)$ ; minimizar $\norm{aC_1 + bC_2 + cC_3 - b}^2$ leva, exatamente como na questão 8, ao sistema de Gram $3\times3$ , cuja matriz tem entradas $\langle C_i, C_j\rangle = \sum_k x_k^{\,i+j-2}$ : a matriz de momentos exibida. Ela é invertível se e somente se $(C_1, C_2, C_3)$ é livre (o Exercício 23.11); uma relação $a + bx_k + cx_k^2 = 0$ para todo $k$ faz de cada $x_k$ uma raiz de um mesmo polinômio de grau $\leq 2$ , o que é impossível com três valores distintos a não ser que $a = b = c = 0$ . Compare com as matrizes de momentos do problema de fim de semana do Capítulo 22, em que os seus determinantes eram quadrados de valores de Vandermonde.

21. Primeira: $r = 2, s = 1, t = 2$ , $rt - s^2 = 3 > 0$ , $r > 0$ : mínimo global estrito na origem. Segunda: $r = 2, s = 3, t = 2$ , $rt - s^2 = -5 < 0$ : sela. Terceira: $r = s = t = 2$ , $rt - s^2 = 0$ : degenerada — mas $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2 \geq 0$ anula-se em toda a reta $y = -x$ : um mínimo global (não estrito) atingido ao longo de uma reta, invisível para o teste do determinante.

22. Novas somas ( $n = 5$ ): $\bar x = 3.2$ , $\bar y = 1.6$ , $\sum x_iy_i = 19$ , logo $c_{xy} = 3.8 - 5.12 = -1.32$ , $\sum x_i^2 = 114$ , logo $v_x = 22.8 - 10.24 = 12.56$ . Nova inclinação:

\beta = \frac{-1.32}{12.56} \approx -0.105 :

um único ponto transformou uma tendência claramente crescente ( $\beta = 1.4$ ) numa ligeiramente decrescente. O erro quadrático cobra um resíduo $\varepsilon^2$ , de modo que um único ponto distante — $\abs{x_{i} - \bar x}$ grande e resíduo grande — domina tanto $c_{xy}$ quanto $v_x$ : os mínimos quadrados são eficientes, mas não robustos.

23. Ponha $W = \sum w_i$ e defina $\bar x_w = \frac1W\sum w_ix_i$ , $\bar y_w$ analogamente, $v_x^w = \frac1W\sum w_ix_i^2 - \bar x_w^2$ , $c^w_{xy} = \frac1W\sum w_ix_iy_i - \bar x_w\bar y_w$ . A aplicação $\langle u, v\rangle_w = \sum_i w_iu_iv_i$ é um produto interno em $\R^n$ ( $w_i > 0$ dá a definição positiva), logo a Parte II aplica-se palavra por palavra e as equações normais dividem-se por $W$ em

\alpha + \beta\bar x_w = \bar y_w, \qquad \alpha\bar x_w + \beta(v^w_x + \bar x_w^2) = c^w_{xy} + \bar x_w\bar y_w ,

donde $\beta = c^w_{xy}/v^w_x$ e $\alpha = \bar y_w - \beta\bar x_w$ : as mesmas fórmulas, com toda média ponderada.

24. $E_{\min} = \sum\varepsilon_i^2 = 0$ força todo $\varepsilon_i = 0$ : todos os pontos exatamente sobre a reta; pela questão 13 este é o caso $\abs\rho = 1$ . Teste: para $(1,1), (2,3), (3,5)$ : $\bar x = 2$ , $\bar y = 3$ , $v_x = \frac{14}3 - 4 = \frac23$ , $c_{xy} = \frac{22}3 - 6 = \frac43$ : $\beta = 2$ , $\alpha = -1$ , e de fato $y_i = 2x_i - 1$ para os três pontos; $v_y = \frac{35}3 - 9 = \frac83$ e $\rho^2 = \frac{(4/3)^2}{(2/3)(8/3)} = 1$ .

25. (i) Para funções quadráticas, a expansão de ordem dois é uma identidade, de modo que o estudo de sinal da forma quadrática — pura álgebra, questões 1–2 — classifica os pontos críticos sem nenhum teorema de Taylor admitido. (ii) As equações normais dizem “resíduo ortogonal ao espaço do modelo”, de modo que o mínimo analítico é a projeção ortogonal do vetor de dados: o cálculo e a geometria euclidiana calculam o mesmo objeto. (iii) A correlação $\rho = c_{xy}/\sqrt{v_xv_y}$ mede a parcela $\rho^2$ da variância explicada pela reta, e Cauchy–Schwarz a limita: $\abs\rho \leq 1$ , com igualdade apenas para dados alinhados. (iv) Bases e liberdade (Capítulo 18), matrizes de Gram e de momentos e os seus determinantes (Capítulos 22–23), e a projeção ortogonal (Capítulo 23) reapareceram todas como as peças de trabalho de um único algoritmo. As Partes II–III desenvolvem o método dos mínimos quadrados (Legendre, Gauss) através das suas equações normais.

25.1 O plano R2\R^2R2; continuidade

25.2 Derivadas parciais

25.3 Extremos locais

25.4 Exercícios

25.5 Problema: mínimos quadrados e a reta de regressão

25.1 O plano $\R^2$ ; continuidade