Determinantes কী?

Exemplo 2.19 (Um determinante pelas regras)

Seja $J \in \mathcal{M}_n(K)$ a matriz de uns e $a \in K$; calculamos $\det(aI_n + J)$ com as ferramentas recém-demonstradas. Toda coluna de $aI_n + J$ soma da mesma maneira: some todas as linhas à primeira (o determinante não muda — somar um múltiplo de uma linha a outra acrescenta um termo de direção repetida, morto pela alternância). A primeira linha torna-se $(a + n, a + n, \dots, a + n)$; ponha $a + n$ em evidência pela linearidade nessa linha, depois subtraia a primeira coluna de todas as demais: o que resta é triangular com diagonal $(1, a, \dots, a)$. Logo

A lição final: as raízes $a = 0$ (multiplicidade $n - 1$) e $a = -n$ dizem que $J$ tem autovalor $0$ com multiplicidade $n - 1$ e autovalor $n$ uma vez — o espectro da matriz de posto um $J$, um capítulo antes da hora (o Capítulo 3 tornará isso sistemático).

Exemplo 2.20 (Um determinante pela fórmula das permutações)

Para uma matriz com muitos zeros a fórmula é prática por si só: em

a única permutação que colhe entradas não nulas é o $4$-ciclo $\sigma = (1\,2\,3\,4)$ que leva a coluna $1 \to$ na linha $4$, etc.; $\varepsilon(\sigma) = (-1)^3 = -1$, logo $\det A = -abcd$. (Confira por três trocas de colunas até chegar a uma matriz diagonal.)

Exemplo 2.21 (Uma Vandermonde pela fórmula do produto)

Para os nós $0, 1, 2$ (usados por regras de quadratura como a de Exercício 2.4), o determinante de Vandermonde de Exercício 2.11 se calcula num relance:

e por desenvolvimento direto ao longo da primeira coluna: $1\cdot(4 - 2) = 2$: coincidem. A não anulação para nós distintos é toda a teoria da interpolação em um só determinante: as formas de avaliação $P \mapsto P(a_i)$ são uma base do dual exatamente quando esse determinante é não nulo, isto é, sempre que os $a_i$ são distintos — o Exemplo 2.2 quantificado.