O que é polinômio minimal?

Exemplo 3.13 (Polinômios minimais achados à mão)

O polinômio minimal se calcula testando graus sucessivos. Para a matriz de uns $J \in \mathcal{M}_3(\R)$: $J \neq \lambda I$ (o grau $1$ está fora), e $J^2 = 3J$, logo

grau $2$, decompõe-se, raízes simples — $J$ é diagonalizável com espectro $\{0, 3\}$ (Corolário 3.17 adiante), confirmando Exemplo 2.19 sem um único determinante. Para a matriz de troca $A$ de Exemplo 3.15: $A \neq \pm I$ e $A^2 = I$ dão $\mu_A = X^2 - 1$. Nos dois casos o padrão é o mesmo: adivinhe uma identidade de grau baixo a partir da estrutura (o posto um força $J^2 = (\operatorname{tr}J)\,J$; uma involução força $A^2 = I$) e depois verifique que nenhum divisor próprio anula. Os polinômios minimais são em geral achados, e não calculados a partir de $\chi$.

Exemplo 3.15 (O lema dos núcleos com projetores explícitos)

Seja $A = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{smallmatrix}\right)$ (troca as duas primeiras coordenadas). Então $A^2 = I$: o polinômio $X^2 - 1 = (X - 1)(X + 1)$ anula $A$, seus fatores são coprimos e Bézout é explícito:

Seguindo a demonstração do Teorema 3.14, as projeções sobre $\ker(A - I)$ e $\ker(A + I)$ são os polinômios em $A$

Verificação: $\pi_+ + \pi_- = I$, $\pi_+\pi_- = 0$, $\pi_\pm^2 = \pi_\pm$, e as imagens são o plano $\{x = y\}$ (vetores simétricos, autovalor $1$) e a reta $\R(1, -1, 0)$ (antissimétricos, autovalor $-1$). O lema dos núcleos não é um enunciado de existência: os coeficientes de Bézout são as fórmulas dos projetores.

Exemplo 3.20 (Minimal contra característico)

Para $D = \operatorname{diag}(2, 2, 3)$: $\chi_D = (X - 2)^2(X - 3)$ mas $\mu_D = (X - 2)(X - 3)$, pois $(D - 2I)(D - 3I) = 0$ (verifique na base canônica), ao passo que nenhum dos fatores sozinho anula $D$. Para o bloco de deslocamento $N = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right) \oplus (3)$, isto é, $N' = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{smallmatrix}\right)$: $\chi_{N'} = X^2(X - 3)$ e $\mu_{N'} = X^2(X - 3)$ — a raiz dupla é genuinamente necessária, pois $N'$ não é diagonalizável do lado $\ker$ ($N'e_2 = e_1 \neq 0$). Regra prática: $\mu$ e $\chi$ têm as mesmas raízes (Proposição 3.12); a multiplicidade em $\mu$ mede o tamanho do maior bloco nilpotente, e a de $\chi$ a dimensão total do subespaço característico.