fecho কী?

Exemplo 6.22 (A curva seno do topólogo)

Sejam $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ e $S = \bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (todo ponto $(0, y)$, com $\abs y \leq 1$, é limite de pontos de $\Gamma$: resolva $\sin\frac1x = y$ perto de $0$). Então $S$ é conexo — fecho do conexo $\Gamma$, imagem contínua de $(0, 1]$ (Teorema 6.20(3)) — mas não é conexo por caminhos: um caminho de $(1, \sin 1)$ até $(0,0)$ teria de percorrer abscissas $\to 0$ enquanto a ordenada oscila entre $\pm1$; o Exercício 6.9 torna isso rigoroso. Conexidade e conexidade por caminhos diferem de verdade.