O que é Máximo, mínimo? — Matemática

Definição 3.12 Matemática do ensino médio · Capítulo 3 — Funções

Seja $f$ definida em $D$ e seja $a \in D$ . O valor $f(a)$ é o máximo de $f$ em $D$ quando $f(x) \leq f(a)$ para todo $x \in D$ ; é o mínimo quando $f(x) \geq f(a)$ para todo $x \in D$ . No gráfico, são o ponto mais alto e o ponto mais baixo da curva.

A curva de f(x) = (x-1)2 + 2 nunca desce abaixo da reta tracejada y = 2 e a toca em x = 1: o mínimo de f é 2. — A curva de $f(x) = (x-1)^2 + 2$ nunca desce abaixo da reta tracejada $y = 2$ e a toca em $x = 1$ : o mínimo de $f$ é $2$ .

Exemplos

Exemplo 3.13

Mostre que $f(x) = (x - 1)^2 + 2$ tem mínimo $2$ em $\R$ , atingido em $x = 1$ . Para todo $x$ , o quadrado $(x-1)^2$ é $\geq 0$ , logo $f(x) = (x-1)^2 + 2 \geq 2$ ; e $f(1) = 0 + 2 = 2$ , de modo que o valor $2$ é de fato atingido. Os dois fatos juntos provam que $2$ é o mínimo.

Exemplo 3.10

Considere a função cujo gráfico está abaixo, em $\intcc{-2}{4}$ .

Uma função definida em [-2, 4], crescente e depois decrescente. — Uma função definida em $\intcc{-2}{4}$ , crescente e depois decrescente.

Lendo o gráfico: $f$ cresce de $f(-2) = -1.5$ até seu máximo $f(1) = 3$ e depois decresce até $f(4) = -1.5$ . Seu quadro de variação é

$x$	$-2$		$1$		$4$
$f$	$-1.5$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$	$-1.5$

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Exemplos

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