Qu'est-ce que « Maximum, minimum » ? — Mathématiques

Définition 3.12 Mathématiques du lycée · Chapitre 3 — Fonctions

Soit $f$ définie sur $D$ et $a \in D$ . La valeur $f(a)$ est le maximum de $f$ sur $D$ lorsque $f(x) \leq f(a)$ pour tout $x \in D$ ; c’est le minimum lorsque $f(x) \geq f(a)$ pour tout $x \in D$ . Sur un graphique, ce sont les points les plus hauts et les plus bas de la courbe.

La courbe de f(x) = (x-1)2 + 2 ne descend jamais sous la droite en pointillés y = 2, et la touche en x = 1 : le minimum de f est 2. — La courbe de $f(x) = (x-1)^2 + 2$ ne descend jamais sous la droite en pointillés $y = 2$ , et la touche en $x = 1$ : le minimum de $f$ est $2$ .

Exemples

Exemple 3.13

Montrer que $f(x) = (x - 1)^2 + 2$ a pour minimum $2$ sur $\R$ , atteint en $x = 1$ . Pour tout $x$ , le carré $(x-1)^2$ est $\geq 0$ , donc $f(x) = (x-1)^2 + 2 \geq 2$ ; et $f(1) = 0 + 2 = 2$ , donc la valeur $2$ est effectivement atteinte. Ces deux faits ensemble prouvent que $2$ est le minimum.

Exemple 3.10

Considérons la fonction grapquée ci-dessous sur $\intcc{-2}{4}$ .

Une fonction définie sur [-2, 4], croissante puis décroissante. — Une fonction définie sur $\intcc{-2}{4}$ , croissante puis décroissante.

Lecture du graphique : $f$ croît de $f(-2) = -1.5$ jusqu’à son maximum $f(1) = 3$ , puis décroît jusqu’à $f(4) = -1.5$ . Son tableau de variations est

$x$	$-2$		$1$		$4$
$f$	$-1.5$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$	$-1.5$

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Exemples

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