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Mathématiques · Glossaire

Qu'est-ce que « Maximum, minimum » ?

Aussi appelé : maximum · minimum

Définition 3.12 Mathématiques du lycée · Chapitre 3 — Fonctions

Soit ff définie sur DD et a∈Da \in D. La valeur f(a)f(a) est le maximum de ff sur DD lorsque f(x)≤f(a)f(x) \leq f(a) pour tout x∈Dx \in D ; c’est le minimum lorsque f(x)≥f(a)f(x) \geq f(a) pour tout x∈Dx \in D. Sur un graphique, ce sont les points les plus hauts et les plus bas de la courbe.

La courbe de f(x) = (x-1)2 + 2 ne descend jamais sous la droite en pointillés y = 2, et la touche en x = 1 : le minimum de f est 2.
La courbe de f(x)=(x−1)2+2f(x) = (x-1)^2 + 2 ne descend jamais sous la droite en pointillés y=2y = 2, et la touche en x=1x = 1 : le minimum de ff est 22.

Exemples

Exemple 3.13

Montrer que f(x)=(x−1)2+2f(x) = (x - 1)^2 + 2 a pour minimum 22 sur R\R, atteint en x=1x = 1. Pour tout xx, le carré (x−1)2(x-1)^2 est ≥0\geq 0, donc f(x)=(x−1)2+2≥2f(x) = (x-1)^2 + 2 \geq 2 ; et f(1)=0+2=2f(1) = 0 + 2 = 2, donc la valeur 22 est effectivement atteinte. Ces deux faits ensemble prouvent que 22 est le minimum.

Exemple 3.10

Considérons la fonction grapquée ci-dessous sur [−2, 4]\intcc{-2}{4}.

Une fonction définie sur [-2, 4], croissante puis décroissante.
Une fonction définie sur [−2, 4]\intcc{-2}{4}, croissante puis décroissante.

Lecture du graphique : ff croît de f(−2)=−1.5f(-2) = -1.5 jusqu’à son maximum f(1)=3f(1) = 3, puis décroît jusqu’à f(4)=−1.5f(4) = -1.5. Son tableau de variations est

xx−2-21144
ff−1.5-1.5↗\nearrow33↘\searrow−1.5-1.5
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