¿Qué es Máximo, mínimo? — Matemáticas

Definición 3.12 Matemáticas de secundaria · Capítulo 3 — Funciones

Sea $f$ definida en $D$ y sea $a \in D$ . El valor $f(a)$ es el máximo de $f$ en $D$ cuando $f(x) \leq f(a)$ para todo $x \in D$ ; es el mínimo cuando $f(x) \geq f(a)$ para todo $x \in D$ . En una gráfica son el punto más alto y el más bajo de la curva.

La curva de f(x) = (x-1)2 + 2 nunca baja de la recta discontinua y = 2 y la toca en x = 1: el mínimo de f es 2. — La curva de $f(x) = (x-1)^2 + 2$ nunca baja de la recta discontinua $y = 2$ y la toca en $x = 1$ : el mínimo de $f$ es $2$ .

Ejemplos

Ejemplo 3.13

Demostremos que $f(x) = (x - 1)^2 + 2$ tiene mínimo $2$ en $\R$ , alcanzado en $x = 1$ . Para todo $x$ , el cuadrado $(x-1)^2$ es $\geq 0$ , luego $f(x) = (x-1)^2 + 2 \geq 2$ ; y $f(1) = 0 + 2 = 2$ , así que el valor $2$ se alcanza de verdad. Las dos cosas juntas demuestran que $2$ es el mínimo.

Ejemplo 3.10

Consideremos la función cuya gráfica aparece abajo, en $\intcc{-2}{4}$ .

Una función definida en [-2, 4], creciente primero y decreciente después. — Una función definida en $\intcc{-2}{4}$ , creciente primero y decreciente después.

Leyendo la gráfica: $f$ crece desde $f(-2) = -1.5$ hasta su máximo $f(1) = 3$ y decrece después hasta $f(4) = -1.5$ . Su tabla de variación es

$x$	$-2$		$1$		$4$
$f$	$-1.5$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$	$-1.5$

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Ejemplos

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