3Funções

Solução de Problema 3.1.

1. Domínio: $x \neq 0$ (divisão por $x$). $f(1) = \frac12(1 + 2) = \frac32$; $f(2) = \frac12(2 + 1) = \frac32$; $f\!\left(\frac32\right) = \frac12\left(\frac32 + \frac43\right) = \frac{17}{12}$.

2. $\frac12\left(x + \frac2x\right) = \frac32$ dá $x^2 + 2 = 3x$, isto é, $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0$: as pré-imagens de $\frac32$ são $1$ e $2$ — como a questão 1 já anunciava.

3. $f(x) = x$ dá $x + \frac2x = 2x$, logo $\frac2x = x$, $x^2 = 2$: pontos fixos $\sqrt2$ e $-\sqrt2$. O positivo é a diagonal do quadrado de lado $1$, irracional pelo problema de fim de semana sobre irracionalidade do volume do ensino fundamental.

4. $1 \to \frac32 \to \frac{17}{12} \to \frac{577}{408}$: as aproximações de $\sqrt2$ de Heron. Sua receita “tire a média entre o palpite e $2/$palpite” é exatamente iterar a função $f$ — e o número que o processo persegue é o ponto fixo de $f$.

5. Os pontos fixos são os cruzamentos do gráfico com a diagonal $y = x$: realimentar a máquina com suas saídas faz o ponto caminhar pelo gráfico rumo a esse cruzamento. No problema de fim de semana sobre os dois termômetros, do volume do ensino fundamental, a leitura $-40^\circ$ era essa mesma ideia de cruzar a diagonal, para a função de conversão.

6. $f(v) - f(u) = \frac{v - u}{2} + \frac1v - \frac1u = \frac{v - u}{2} + \frac{u - v}{uv} = (v - u)\left(\frac12 - \frac{1}{uv}\right) = \frac{(v - u)(uv - 2)}{2uv}$. Para $0 < u < v \leq \sqrt2$: $uv < 2$, o parêntese é negativo, $f(v) < f(u)$: decrescente. Para $\sqrt2 \leq u < v$: $uv > 2$: crescente. Ponto de virada: $\sqrt2$.

7. Decrescente antes de $\sqrt2$ e crescente depois: $f$ atinge seu mínimo em $\sqrt2$, valendo $f(\sqrt2) = \frac12\left(\sqrt2 + \frac{2}{\sqrt2}\right) = \sqrt2$. Consequência: toda saída da máquina (com entrada positiva) é pelo menos $\sqrt2$ — depois de uma volta da manivela, os palpites vivem em $\intco{\sqrt2}{+\infty}$.

8. Se $x > \sqrt2$, então $x^2 > 2$, logo $\frac2x < x$, e a média $f(x)$ entre $x$ e $\frac2x$ é menor que $x$; e $f(x) \geq \sqrt2$ pela questão 7, com igualdade só em $x = \sqrt2$. Logo $\sqrt2 < f(x) < x$: cada iteração melhora estritamente sem ultrapassar — a sequência da questão 4 desliza até pousar em $\sqrt2$.

9. Em $\intoo{0}{+\infty}$: decrescente desde $+\infty$ (perto de $0$) até o mínimo $\sqrt2$ em $x = \sqrt2$, e depois crescente sem limite.

10. $g(x) = x$ dá $x^2 = x$, $x(x - 1) = 0$: pontos fixos $0$ e $1$. A partir de $0.9$: $0.81$, $0.656$, $0.430$, $0.185$ — deslizando para $0$. A partir de $1.1$: $1.21$, $1.464$, $2.144$, $4.595$ — fugindo para o infinito. O ponto fixo $0$ atrai, o $1$ repele: um fio de diferença na partida, destinos opostos.

11. $7 \to 22 \to 11 \to 34 \to 17 \to 52 \to 26 \to 13 \to 40 \to 20 \to 10 \to 5 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1$: dezesseis passos, com pico em $52$.

12. $27 \to 82 \to 41 \to 124 \to 62 \to 31 \to 94 \to 47 \to 142 \to 71 \to 214 \to \dots$ — ainda subindo depois de dez passos, a caminho de um pico de $9\,232$ e de um voo de $111$ passos. Lição: uma regra de duas linhas pode produzir um comportamento que ninguém prevê à primeira vista — números vizinhos ($26$, $27$, $28$) têm voos radicalmente diferentes.

13. Uma potência de $2$ desce dividindo-se por dois ao longo de toda a escada: $2^k \to 2^{k-1} \to \dots \to 2 \to 1$. Lá embaixo, $h(1) = 4$, $h(4) = 2$, $h(2) = 1$: o voo entra no ciclo $4 \to 2 \to 1 \to 4$. Um ponto fixo exigiria $\frac n2 = n$ (só $n = 0$) ou $3n + 1 = n$ (negativo): nenhum entre os inteiros positivos — os voos observados terminam não em um ponto fixo, mas naquele pequeno ciclo.

14. Um contraexemplo seria ou um voo que cresce para sempre (sem nunca voltar a $1$) ou um segundo ciclo disjunto de $4 \to 2 \to 1$. A verificação até $10^{20}$ deixa uma infinidade de números por testar — exatamente a lição das regiões do círculo no problema de fim de semana sobre o oráculo dos palitos, no volume do ensino fundamental: concordar em um número finito de casos nada prova sobre todos eles.

15. Na máquina de Heron havia estrutura — uma diferença fatorada (questão 6) revelando a variação, um mínimo, um cerco — ao passo que a regra da granizo, que alterna com a paridade, não oferece alça alguma: ninguém encontrou a estrutura que a domestique.

16. $\sqrt{x - 3}$: exige $x - 3 \geq 0$: $\intco{3}{+\infty}$. $\frac{1}{x^2 - 9}$: exige $x \neq \pm 3$: $\R$ privado de $-3$ e $3$. $\sqrt{9 - x^2}$: exige $x^2 \leq 9$: $\intcc{-3}{3}$.

17. $f(x) = 3$ dá $x + \frac2x = 6$, logo $x^2 - 6x + 2 = 0$, isto é, $(x - 3)^2 = 7$: $x = 3 - \sqrt7$ ou $x = 3 + \sqrt7$ (ambos positivos: duas pré-imagens exatas).

18. Faz sentido físico enquanto a pedra está no ar: $H(t) = 5t(4 - t) \geq 0$ para $t \in \intcc{0}{4}$. Completando o quadrado: $H(t) = 20 - 5(t - 2)^2$: altura máxima $20$ m em $t = 2$ s. Variação: crescente em $\intcc{0}{2}$, de $0$ a $20$; decrescente em $\intcc{2}{4}$, de volta a $0$.

19. $20t - 5t^2 \geq 15 \iff t^2 - 4t + 3 \leq 0 \iff (t - 1)(t - 3) \leq 0 \iff t \in \intcc{1}{3}$: dois segundos inteiros acima de $15$ m.

20. Cada máquina tem um domínio (onde a regra é permitida), uma regra (a fórmula ou o desvio pela paridade) e um gráfico ou quadro que a exibe por inteiro. A cada uma fizemos as duas grandes perguntas: aonde leva a repetição (pontos fixos, ciclos, atração — resolvido para Heron, em aberto para a granizo) e como a saída se move com a entrada (variação, extremos — o cume da pedra, o mínimo de Heron). Os próximos capítulos aguçam as duas: as funções de referência a seguir e, mais adiante, as derivadas para medir a variação e os limites para certificar onde as iterações pousam.