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Matemática · Glossário

O que é Crescente, decrescente?

Também chamado de: função crescente · função decrescente

Definição 3.8 Matemática do ensino médio · Capítulo 3 — Funções

Seja ff definida em um intervalo II.

  • ff é crescente em II quando, para todos u,v∈Iu, v \in I, u<vu < v implica f(u)≤f(v)f(u) \leq f(v): as saídas crescem junto com as entradas, e o gráfico sobe da esquerda para a direita.
  • ff é decrescente em II quando u<vu < v implica f(u)≥f(v)f(u) \geq f(v): o gráfico desce da esquerda para a direita.

Com desigualdades estritas f(u)<f(v)f(u) < f(v) (resp. >>) dizemos estritamente crescente (resp. decrescente).

Exemplos

Exemplo 3.10

Considere a função cujo gráfico está abaixo, em [−2, 4]\intcc{-2}{4}.

Uma função definida em [-2, 4], crescente e depois decrescente.
Uma função definida em [−2, 4]\intcc{-2}{4}, crescente e depois decrescente.

Lendo o gráfico: ff cresce de f(−2)=−1.5f(-2) = -1.5 até seu máximo f(1)=3f(1) = 3 e depois decresce até f(4)=−1.5f(4) = -1.5. Seu quadro de variação é

xx−2-21144
ff−1.5-1.5↗\nearrow33↘\searrow−1.5-1.5

Exemplo 3.11 (Demonstrar uma variação)

Mostre que f(x)=3x+1f(x) = 3x + 1 é estritamente crescente em R\R. Tome quaisquer u<vu < v e compare as imagens:

f(v)−f(u)=(3v+1)−(3u+1)=3(v−u)>0,f(v) - f(u) = (3v + 1) - (3u + 1) = 3(v - u) > 0,

pois v−u>0v - u > 0. Logo f(u)<f(v)f(u) < f(v): a função é estritamente crescente. O mesmo cálculo com coeficiente angular negativo, por exemplo g(x)=−2x+5g(x) = -2x + 5, dá g(v)−g(u)=−2(v−u)<0g(v) - g(u) = -2(v-u) < 0: estritamente decrescente.

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Definição 11.4 Matemática do ensino médio · Capítulo 11 — Funções e variação

Seja ff definida em um intervalo II. A função ff é crescente em II se preserva a ordem:

para todos u,v∈I:u<v  ⟹  f(u)≤f(v),\text{para todos } u, v \in I: \quad u < v \implies f(u) \leq f(v),

e decrescente se inverte a ordem (u<v  ⟹  f(u)≥f(v)u < v \implies f(u) \geq f(v)). Com desigualdades estritas à direita, ff é estritamente crescente (resp. decrescente). Uma função crescente ou decrescente em II é dita monótona em II.

Exemplos

Exemplo 11.10

Estude f(x)=x2+1f(x) = \sqrt{x^2 + 1} em R\R. A função interna u(x)=x2+1u(x) = x^2 + 1 é positiva, decrescente em (−∞, 0]\intoc{-\infty}{0} e crescente em [0, +∞)\intco{0}{+\infty} (um quadrado deslocado). Pelo item 3, ff tem a mesma variação: decrescente e depois crescente, com mínimo f(0)=1f(0) = 1.

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