O que é Crescente, decrescente? — Matemática

Definição 3.8 Matemática do ensino médio · Capítulo 3 — Funções

Seja $f$ definida em um intervalo $I$ .

$f$ é crescente em $I$ quando, para todos $u, v \in I$ , $u < v$ implica $f(u) \leq f(v)$ : as saídas crescem junto com as entradas, e o gráfico sobe da esquerda para a direita.
$f$ é decrescente em $I$ quando $u < v$ implica $f(u) \geq f(v)$ : o gráfico desce da esquerda para a direita.

Com desigualdades estritas $f(u) < f(v)$ (resp. $>$ ) dizemos estritamente crescente (resp. decrescente).

Exemplos

Exemplo 3.10

Considere a função cujo gráfico está abaixo, em $\intcc{-2}{4}$ .

Uma função definida em [-2, 4], crescente e depois decrescente. — Uma função definida em $\intcc{-2}{4}$ , crescente e depois decrescente.

Lendo o gráfico: $f$ cresce de $f(-2) = -1.5$ até seu máximo $f(1) = 3$ e depois decresce até $f(4) = -1.5$ . Seu quadro de variação é

$x$	$-2$		$1$		$4$
$f$	$-1.5$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$	$-1.5$

Exemplo 3.11 (Demonstrar uma variação)

Mostre que $f(x) = 3x + 1$ é estritamente crescente em $\R$ . Tome quaisquer $u < v$ e compare as imagens:

f(v) - f(u) = (3v + 1) - (3u + 1) = 3(v - u) > 0,

pois $v - u > 0$ . Logo $f(u) < f(v)$ : a função é estritamente crescente. O mesmo cálculo com coeficiente angular negativo, por exemplo $g(x) = -2x + 5$ , dá $g(v) - g(u) = -2(v-u) < 0$ : estritamente decrescente.

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Definição 11.4 Matemática do ensino médio · Capítulo 11 — Funções e variação

Seja $f$ definida em um intervalo $I$ . A função $f$ é crescente em $I$ se preserva a ordem:

\text{para todos } u, v \in I: \quad u < v \implies f(u) \leq f(v),

e decrescente se inverte a ordem ( $u < v \implies f(u) \geq f(v)$ ). Com desigualdades estritas à direita, $f$ é estritamente crescente (resp. decrescente). Uma função crescente ou decrescente em $I$ é dita monótona em $I$ .

Exemplos

Exemplo 11.10

Estude $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ em $\R$ . A função interna $u(x) = x^2 + 1$ é positiva, decrescente em $\intoc{-\infty}{0}$ e crescente em $\intco{0}{+\infty}$ (um quadrado deslocado). Pelo item 3, $f$ tem a mesma variação: decrescente e depois crescente, com mínimo $f(0) = 1$ .

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Exemplos

Exemplos

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