15Operadores compactos e o teorema espectral

Solução de Exercício 15.1.

(a) $T(B)$ é um subconjunto limitado do espaço de dimensão finita $\operatorname{im}T$: relativamente compacto por Heine–Borel (Corolário 6.17, transportado por um homeomorfismo linear com $\R^n$). (b) $I$ compacto significa que a bola unitária fechada é compacta, o que, pelo teorema de Riesz (volume do segundo ano), acontece exatamente em dimensão finita. Se um $T$ compacto tivesse inversa limitada $T^{-1}$, então $I = T^{-1}T$ seria compacto (Proposição 15.2): impossível em dimensão infinita.

Solução de Exercício 15.2.

(a) $\norm{Tx}^2 = \sum\abs{\lambda_n}^2\abs{x_n}^2 \leq \sup\abs{\lambda_n}^2\norm x^2$, com quase igualdade nos $e_n$ que realizam o supremo. (b) ($\Leftarrow$) As truncaturas $T_N$ (mantêm $n \leq N$, zero além) têm posto finito e $\vertiii{T - T_N} = \sup_{n>N}\abs{\lambda_n} \to 0$: compacto pela Proposição 15.2. ($\Rightarrow$) Se $\abs{\lambda_{n_k}} \geq \delta > 0$ ao longo de uma subsequência: $\norm{Te_{n_k} - Te_{n_l}}^2 = \abs{\lambda_{n_k}}^2 + \abs{\lambda_{n_l}}^2 \geq 2\delta^2$: nenhuma subsequência convergente de $(Te_{n_k})$. (c) $T^* =$ diagonal com $(\bar\lambda_n)$: autoadjunto se, e somente se, todos os $\lambda_n \in \R$. Então a base canônica $(e_n)$ é uma base ortonormal de autovetores, de autovalores $\lambda_n \to 0$: o teorema espectral literalmente.

Solução de Exercício 15.3.

Seja $(x_n)$ limitada. Então $(Bx_n)$ é limitada ($\vertiii B < \infty$); a compacidade de $S$ extrai $SBx_{n_k} \to y$; a continuidade de $A$ dá $ASBx_{n_k} \to Ay$: $ASB$ é compacto. Se $ST = TS = I$ com $T$ compacto e $\dim H = \infty$: $I = ST$ seria compacto, contradizendo o Exercício 15.1(b) — que é o mesmo enunciado visto do outro lado.

Solução de Exercício 15.4.

(a) Por Cauchy–Schwarz em $y$: $\abs{T_kf(x)}^2 \leq \bigl(\int\abs{k(x,y)}^2\dd y\bigr)\norm f_2^2$; integre em $x$ (Tonelli): $\norm{T_kf}_2 \leq \norm k_{L^2(\square)} \norm f_2$.

(b) A família $e_{mn}(x,y) = e_m(x)\overline{e_n(y)}$ é ortonormal em $L^2(\intcc01^2)$ (Tonelli separa a integral dupla). Total: se $h \perp$ a todos os $e_{mn}$, então, para cada $m$, a função $y \mapsto \int h(x,y)\overline{e_m(x)}\dd x$ (em $L^2$ por Cauchy–Schwarz e Tonelli) é ortogonal a toda $\overline{e_n}$ — e as conjugadas $(\overline{e_n})$ formam uma base hilbertiana sempre que $(e_n)$ forma (a conjugação é uma bijeção isométrica de $L^2$ que preserva ortogonalidade e totalidade) —, de modo que ela é $0$ q.t.p.; então, para q.t.p. $y$, $h(\cdot, y) \perp$ a todo $e_m$: $h(\cdot, y) = 0$ q.t.p.: $h = 0$ (Tonelli). Logo $(e_{mn})$ é uma base hilbertiana; expanda $k = \sum c_{mn}e_{mn}$. A truncatura $k_N$ (índices $\leq N$) dá $T_{k_N}$ de posto finito (imagem em $\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_N)$) e, por (a),

$T_k$ é um limite em norma de operadores de posto finito: compacto (Proposição 15.2).

Solução de Exercício 15.5.

(a) $\lambda\norm x^2 = \langle x, Tx\rangle \geq 0$ num autovetor. A fórmula é a Proposição 15.5 com todos os valores $\langle x, Tx\rangle \geq 0$: o valor absoluto é redundante. (b) $(x, y) \mapsto \langle x, Ty\rangle$ é uma forma sesquilinear hermitiana positiva (possivelmente degenerada); a demonstração usual de Cauchy–Schwarz (expanda $\langle x + t\eu^{\iu\theta}y, T(x + t\eu^{\iu\theta}y)\rangle \geq 0$ e tome o discriminante) nunca usa a definitude.

Solução de Exercício 15.6.

(a) $\norm{Mf}_2 \leq \norm f_2$ e, em $f_n = \sqrt n\, \mathbf 1_{\intcc{1 - 1/n}1}$ (vetores unitários), $\norm{Mf_n}_2 \geq 1 - \frac1n$: $\vertiii M = 1$; autoadjunto, pois o multiplicador é real. Autovalores: $xf(x) = \lambda f(x)$ q.t.p. força $f = 0$ q.t.p. fora do conjunto nulo $\{x = \lambda\}$: $f = 0$ em $L^2$. (b) Com as mesmas $f_n$: $\norm{Mf_n - f_n}_2 \leq \frac1n \to 0$, ao passo que $f_n \rightharpoonup 0$ (para $g \in L^2$ fixo, $\abs{\langle g, f_n\rangle} \leq \norm{g\,\mathbf 1_{\intcc{1-1/n}1}}_2 \to 0$ pelo TCD). Se $Mf_{n_k} \to h$ em norma, então $f_{n_k} \to h$, forçando $h = 0$ (limite fraco), e ainda assim $\norm h = 1$: nenhuma subsequência convergente. (c) No Lema 15.6, é precisamente a extração “$Tx_{n_k} \to y$” que usa a compacidade; para $M$, as sequências maximizantes se concentram perto de $x = 1$ e suas imagens convergem fracamente para $0$, nunca em norma: o autovetor no topo da imagem numérica simplesmente não existe.

Solução de Exercício 15.7.

(a) $V = T_k$ com $k(x, y) = \mathbf 1_{y < x} \in L^2(\intcc01^2)$: compacto (Exercício 15.4). Seu adjunto é o operador de núcleo com núcleo $\overline{k(y, x)} = \mathbf 1_{y > x}$: $V^*f(x) = \int_x^1f$; $V \neq V^*$ (teste em $f = \mathbf 1$). (b) Se $Vf = \lambda f$, $\lambda \ne 0$: $Vf$ é contínua em $\intcc01$ (convergência dominada em $\int_0^x f$), de modo que $f = \frac1\lambda Vf$ tem um representante contínuo; então $Vf$ é $\mathcal C^1$ (teorema fundamental do cálculo para integrandos contínuos), de modo que $f$ é $\mathcal C^1$, e $\lambda f' = f$ com $f(0) = \frac1\lambda Vf(0) = 0$: $f = C\eu^{x/\lambda}$ com $C = f(0) = 0$. (c) $V$ é compacto sem autovalor algum, exceto possivelmente $0$ ($Vf = 0$ força $f = 0$ q.t.p., derivando a integral — de modo que nem mesmo $0$): a maquinaria espectral realmente exige a autoadjunção, não apenas a compacidade.

Solução de Exercício 15.8.

Escreva $x = \sum_ic_ie_i + z$, $z \in \ker T$, de modo que $\langle x, Tx\rangle = \sum_i\mu_i\abs{c_i}^2$. Cota inferior: na esfera unitária de $V_k = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k)$, $\langle x, Tx\rangle = \sum_{i\leq k}\mu_i\abs{c_i}^2 \geq \mu_k$: o máximo em $V$ do mínimo é $\geq \mu_k$. Cota superior: sejam $\dim V = k$ e $W_k = \overline{\operatorname{Vect}}(e_k, e_{k+1}, \dots) + \ker T$, de codimensão $k - 1$ (seu complemento ortogonal é $V_{k-1}$); $V \cap W_k \neq \{0\}$ (uma aplicação linear $V \to H/W_k \cong V_{k-1}$ de posto $\leq k - 1$ tem núcleo não trivial), e um unitário $x \in V\cap W_k$ tem $\langle x, Tx\rangle = \sum_{i \geq k}\mu_i\abs{c_i}^2 \leq \mu_k$: o mínimo em $V$ é $\leq \mu_k$. Juntas: a primeira fórmula; a segunda se demonstra simetricamente (teste $W = W_k$; para $W$ arbitrário de codimensão $k-1$, $W \cap V_k \neq 0$ dá um vetor unitário com $\langle x, Tx\rangle \geq \mu_k$). Monotonicidade: $\langle x, Tx\rangle \leq \langle x, Sx\rangle$ pontualmente se transfere por $\max\min$.

Solução de Exercício 15.9.

Reescreva $f - \lambda Tf = g$. Para $\lambda = 0$: $f = g$, sempre unicamente solúvel. Para $\lambda \neq 0$: isso é $(T - \frac1\lambda)f = -\frac g\lambda$ e, pela alternativa de Fredholm (Teorema 15.8) com os autovalores $\lambda_n = \bigl((n + \frac12)\pi\bigr)^{-2}$ de $T$ (Exemplo 15.9): solubilidade única para todo $g$ se, e somente se, $\frac1\lambda \neq \lambda_n$ para todo $n$, isto é,

Num $\lambda = (n+\frac12)^2\pi^2$ excepcional: existem soluções se, e somente se, $g \perp \sin\bigl((n{+}\frac12)\pi x\bigr)$, e elas são então únicas a menos de somar múltiplos desse seno.

Solução de Exercício 15.10.

(a) $Sx = \lambda x$: comparando coordenadas, $0 = \lambda x_1$ e $x_n = \lambda x_{n+1}$; se $\lambda \ne 0$, então $x_1 = 0$ e, indutivamente, $x = 0$; se $\lambda = 0$, $Sx = 0$ força $x = 0$ ($S$ isométrico). Nenhum autovalor. $S^*x = \lambda x$ se lê $x_{n+1} = \lambda x_n$: $x = x_1(1, \lambda, \lambda^2, \dots)$, em $\ell^2$ exatamente quando $\abs\lambda < 1$: um disco aberto inteiro de autovalores. (b) $\norm{Se_n - Se_m} = \norm{e_{n+1} - e_{m+1}} = \sqrt2$: a imagem da limitada $(e_n)$ não tem subsequência de Cauchy; do mesmo modo, $S^*e_{n+1} = e_n$. Nenhum dos dois é compacto. (c) Para operadores compactos autoadjuntos, os autovalores capturam tudo (Teorema 15.7); abandonando qualquer das hipóteses, os autovalores podem sumir por completo ($S$, Volterra) ou preencher um disco ($S^*$): o objeto robusto é o espectro $\{\lambda : T - \lambda I \text{ não inversível}\}$, cuja teoria pertence a um curso posterior.

Solução de Exercício 15.11.

(a) $S$ é o operador diagonal de coeficientes $\sqrt{\mu_n} \to 0$: compacto (Exercício 15.2(b), transportado para a base $(e_n)$ completada por $\ker T$, em que $S = 0$), autoadjunto (diagonal real), positivo ($\langle x, Sx\rangle = \sum\sqrt{\mu_n}\abs{\langle e_n, x\rangle}^2$) e $S^2 = T$ termo a termo.

(b) $R$ comuta com $T = R^2$; para um autovetor $x$ de $T$ de autovalor $\mu$: $T(Rx) = RTx = \mu Rx$, de modo que o autoespaço de dimensão finita $E_\mu = \ker(T - \mu)$ é $R$-estável. Em $E_\mu$, $R$ é simétrico positivo com $R^2 = \mu\,\mathrm{id}$: seus autovalores $\rho$ satisfazem $\rho^2 = \mu$, $\rho \geq 0$: todos iguais a $\sqrt\mu$, e um operador diagonalizável com um único autovalor é escalar: $R = \sqrt\mu\,\mathrm{id}$ em $E_\mu$. Em $\ker T$: $\norm {Rx}^2 = \langle x, R^2x\rangle = \langle x, Tx\rangle = 0$. Logo $R$ coincide com $S$ em $\ker T$ e em todo autoespaço, cujo espaço gerado fechado é $H$ (teorema espectral): $R = S$.

(c) $\sqrt G$ age como $\frac1{n\pi}$ em $e_n = \sqrt2\sin(n\pi x)$: é o operador de núcleo com

convergindo a série em $L^2(\intcc01^2)$ (coeficientes $\frac1{n\pi} \in \ell^2$; os núcleos das somas parciais dão as aproximações de posto finito). Nenhuma forma fechada elementar é necessária: o lado espectral é o operador.