Matemática universitária — Graduação 2 · Bachelor Year 2

19Superfícies

Depois das curvas, as superfícies: objetos a dois parâmetros em $\R^3$ . O cálculo diferencial de Capítulo 15 fornece tudo o que precisamos — as derivadas parciais dão vetores tangentes, o produto vetorial dá a normal, os determinantes dão áreas. Definimos as superfícies parametrizadas regulares, seus planos tangentes e a primeira forma fundamental, que codifica todas as medidas de comprimento e de área sobre a superfície. Superfícies também surgem como conjuntos de nível $f(x, y, z) = c$ ; o gradiente então dirige a normal.

19.1 Superfícies parametrizadas

Definição 19.1 (Superfície parametrizada regular)

Seja $U \subseteq \R^2$ um aberto. Uma superfície parametrizada de classe $\mathcal{C}^k$ ( $k \geq 1$ ) é uma aplicação $\sigma \colon U \to \R^3$ , $(u, v) \mapsto \sigma(u, v)$ , de classe $\mathcal{C}^k$ . Um ponto é regular se os vetores derivadas parciais

\sigma_u(u, v) = \frac{\partial\sigma}{\partial u}(u,v), \qquad \sigma_v(u, v) = \frac{\partial\sigma}{\partial v}(u,v)

forem linearmente independentes, isto é, $\sigma_u \wedge \sigma_v \neq 0$ ; a superfície é regular se todos os seus pontos o forem.

Exemplo 19.2 (As três descrições padrão)

Gráfico: $\sigma(u, v) = (u,\ v,\ f(u, v))$ para $f \in \mathcal{C}^1(U)$ . Sempre regular: $\sigma_u = (1, 0, f_u)$ e $\sigma_v = (0, 1, f_v)$ são independentes.
Esfera (coordenadas esféricas): para a esfera de raio $R$ ,

$\sigma(\theta, \varphi) = (R\cos\theta\cos\varphi,\ R\sin\theta\cos\varphi,\ R\sin\varphi), \qquad (\theta, \varphi) \in \R \times \bigl(-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2\bigr),$

com $\theta$ a longitude e $\varphi$ a latitude. Verifica-se que $\norm{\sigma_\theta \wedge \sigma_\varphi} = R^2\cos\varphi > 0$ : regular fora dos polos (que esta carta omite).
Conjunto de nível: $S = \{(x,y,z) : f(x, y, z) = c\}$ em que $f$ é $\mathcal{C}^1$ e $\nabla f \neq 0$ em $S$ . Perto de cada ponto, uma coordenada pode ser expressa como função das outras duas pelo teorema da função implícita (Capítulo 15), de modo que $S$ é localmente um gráfico.

Exemplo 19.3 (Do conjunto de nível ao gráfico)

O teorema da função implícita do item 3 merece uma passagem explícita. Tome a esfera $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ perto de seu polo norte $(0, 0, R)$ : ali $\frac{\partial f}{\partial z} = 2z = 2R \neq 0$ e, resolvendo em $z$ , obtém-se a carta gráfico

z = \sqrt{R^2 - x^2 - y^2}, \qquad x^2 + y^2 < R^2 ,

regular em todo o seu domínio (aberto) — inclusive no polo que a carta esférica perdia. Perto de um ponto do equador como $(R, 0, 0)$ , o mesmo teorema resolve em $x$ ( $\frac{\partial f}{\partial x} = 2R \neq 0$ ). A regra prática: uma superfície de nível é um gráfico sobre o plano coordenado ortogonal à maior componente do gradiente e, cobrindo a esfera com seis dessas cartas gráfico, verifica-se sua suavidade em toda parte sem trigonometria alguma.

19.2 Plano tangente e normal

Definição 19.4 (Plano tangente)

Seja $\sigma$ regular em $(u_0, v_0)$ , $M_0 = \sigma(u_0, v_0)$ . O plano tangente $T_{M_0}S$ é o plano por $M_0$ dirigido por $\operatorname{Vect}(\sigma_u, \sigma_v)$ (derivadas parciais em $(u_0, v_0)$ ). A normal unitária é

n(u_0, v_0) = \frac{\sigma_u \wedge \sigma_v} {\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}} .

Proposição 19.5 (Vetores tangentes são vetores velocidade)

A direção de $T_{M_0}S$ é exatamente o conjunto dos vetores $\gamma'(0)$ , em que $\gamma = \sigma \circ c$ percorre as curvas $\mathcal{C}^1$ desenhadas sobre a superfície passando por $M_0$ (isto é, $c \colon (-\varepsilon, \varepsilon) \to U$ é $\mathcal{C}^1$ com $c(0) = (u_0, v_0)$ ).

Demonstração. Se $c(t) = (u(t), v(t))$ , a regra da cadeia (Capítulo 15) dá

\gamma'(0) = u'(0)\,\sigma_u + v'(0)\,\sigma_v \in \operatorname{Vect}(\sigma_u, \sigma_v).

Reciprocamente, o vetor $a\sigma_u + b\sigma_v$ é atingido pela curva $c(t) = (u_0 + at,\ v_0 + bt)$ , que permanece no aberto $U$ para $\abs t$ pequeno. ∎

Exemplo 19.6 (O plano tangente do helicoide)

Para o helicoide $\sigma(u, v) = (v\cos u,\ v\sin u,\ au)$ , no ponto $\sigma(0, 1) = (1, 0, 0)$ :

\sigma_u = (0,\ 1,\ a), \qquad \sigma_v = (1,\ 0,\ 0), \qquad \sigma_u \wedge \sigma_v = (0,\ a,\ -1),

de modo que o plano tangente é $a\,y = z$ . Ele contém toda a geratriz horizontal $\{(t, 0, 0)\}$ (direção $\sigma_v$ ): como no cone do Exercício 19.1, uma superfície regrada por retas tem cada geratriz contida no plano tangente ao longo dela. A outra direção tangente $\sigma_u$ é a velocidade da hélice $u \mapsto \sigma(u, 1)$ : uma carta, duas curvas desenhadas, e o plano tangente inteiro é gerado — a Proposição 19.5 em ação.

Proposição 19.7 (Normal de uma superfície de nível)

Seja $S = \{f = c\}$ com $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ e $\nabla f(M_0) \neq 0$ . Então o plano tangente de $S$ em $M_0$ é o plano por $M_0$ ortogonal a $\nabla f(M_0)$ :

T_{M_0}S :\quad \langle \nabla f(M_0),\ M - M_0\rangle = 0 .

Demonstração. Para qualquer curva $\gamma$ desenhada sobre $S$ passando por $M_0$ , $f(\gamma(t)) = c$ identicamente, logo a regra da cadeia dá $\langle \nabla f(M_0), \gamma'(0)\rangle = 0$ : todos os vetores velocidade são ortogonais ao gradiente, de modo que a direção tangente está contida no plano $\nabla f(M_0)^\perp$ . Ambos são subespaços de dimensão $2$ — a direção tangente porque $S$ é localmente um gráfico regular (Exemplo 19.2) e o complemento ortogonal porque $\nabla f(M_0) \neq 0$ — logo são iguais. ∎

Exemplo 19.8

Para a esfera $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ : $\nabla f = 2(x, y, z)$ , de modo que o plano tangente em $M_0$ é ortogonal ao raio $\vect{OM_0}$ — o fato clássico de que raio e plano tangente são perpendiculares, com equação $\langle M_0, M\rangle = R^2$ .

Exemplo 19.9 (Plano tangente de um gráfico)

Para $z = f(x, y)$ em $(x_0, y_0)$ : aplicando a Proposição 19.7 a $F(x,y,z) = f(x,y) - z$ ,

z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) ,

a parte afim do desenvolvimento de Taylor de primeira ordem — o plano tangente é o gráfico da diferencial, como deve ser.

Exemplo 19.10 (O ponto mais próximo de uma superfície)

Qual ponto do paraboloide $z = x^2 + y^2$ está mais próximo de $P = (0, 0, 1)$ ? Minimize a distância ao quadrado ao longo da superfície: com $\rho^2 = x^2 + y^2$ ,

g(\rho^2) = \rho^2 + (\rho^2 - 1)^2, \qquad g'(\rho^2) = 1 + 2(\rho^2 - 1) = 0 \iff \rho^2 = \tfrac12 ,

o que dá o círculo dos pontos de altura $z = \frac12$ e distância $\sqrt{\tfrac12 + \tfrac14} = \frac{\sqrt3}2$ . A assinatura geométrica da minimalidade: num tal ponto $M$ , o vetor $\vect{MP}$ tem de ser normal à superfície — caso contrário, deslizar ao longo de uma curva desenhada com velocidade tendo uma componente na direção de $P$ diminuiria a distância. Confira: $\nabla(z - x^2 - y^2) = (-2x, -2y, 1)$ em $M = (x, y, \tfrac12)$ , enquanto $\vect{MP} = (-x, -y, \tfrac12) = \tfrac12(-2x, -2y, 1)$ : paralelos, como previsto. A condição de primeira ordem “pé da perpendicular” é a mesma que governará os extremos sobre conjuntos de nível no Exercício 19.12.

Exemplo 19.11 (Planos tangentes de quádricas: a regra da polarização)

Sejam $S : xy + yz + zx = 1$ e $M_0 = (1, 1, 0) \in S$ . Aqui $\nabla f = (y + z,\ x + z,\ x + y)$ , logo $\nabla f(M_0) = (1, 1, 2)$ e o plano tangente é

(x - 1) + (y - 1) + 2z = 0, \qquad\text{i.e.}\qquad x + y + 2z = 2 .

A mesma resposta vem da regra de polarização que generaliza Exemplo 19.8 e Exercício 19.2: na equação da quádrica, substitua $x^2$ por $x_0x$ e cada produto $xy$ por $\frac{x_0y + y_0x}2$ (e ciclicamente):

\frac{x_0y + y_0x}2 + \frac{y_0z + z_0y}2 + \frac{z_0x + x_0z}2 = 1 \;\xrightarrow{\ M_0 = (1,1,0)\ }\; \frac{x + y}2 + \frac z2 + \frac z2 = 1 ,

que é de novo $x + y + 2z = 2$ . A regra funciona porque $\nabla$ de uma forma quadrática é a forma bilinear associada avaliada contra o ponto base — tangência a uma quádrica é polarização, mais uma face do Capítulo 12.

19.3 A primeira forma fundamental

Definição 19.12 (Primeira forma fundamental)

Seja $\sigma \colon U \to \R^3$ uma superfície $\mathcal{C}^1$ regular. Sua primeira forma fundamental em $(u,v)$ é a forma quadrática positiva definida em $\R^2$

I(h, k) = \norm{h\,\sigma_u + k\,\sigma_v}^2 = E\,h^2 + 2F\,hk + G\,k^2,

em que

E = \norm{\sigma_u}^2, \qquad F = \langle \sigma_u, \sigma_v\rangle, \qquad G = \norm{\sigma_v}^2 .

Observação 19.13

$I$ é a restrição do produto escalar euclidiano ambiente ao plano tangente, lida na base $(\sigma_u, \sigma_v)$ : ela é positiva definida precisamente porque $\sigma_u, \sigma_v$ são independentes (Capítulo 12). Toda quantidade métrica sobre a superfície — comprimentos de curvas desenhadas, ângulos entre elas, áreas — é calculada só a partir de $E, F, G$ . Duas superfícies com a mesma $E, F, G$ em parâmetros adequados são isométricas mesmo que estejam dispostas de modos diferentes no espaço: esse é o ponto de partida da geometria intrínseca.

Exemplo 19.14 (Ângulos entre as curvas coordenadas)

A primeira forma fundamental mede também ângulos: as curvas coordenadas $u \mapsto \sigma(u, v_0)$ e $v \mapsto \sigma(u_0, v)$ se encontram sob o ângulo $\theta$ com

\cos\theta = \frac{\langle\sigma_u, \sigma_v\rangle}{\norm{\sigma_u}\,\norm{\sigma_v}} = \frac{F}{\sqrt{EG}} :

o único coeficiente $F$ decide a ortogonalidade da rede de parâmetros. Para a carta da esfera e para o helicoide, $F = 0$ : meridianos cortam paralelos, e hélices cortam as geratrizes horizontais, em ângulo reto — e é por isso que seus integrandos de área colapsaram em $\sqrt{EG}$ . Para uma carta gráfico, $F = f_xf_y$ se anula apenas onde uma derivada parcial se anula: a rede coordenada de um gráfico inclinado não é ortogonal, embora a rede em $(x, y)$ lá embaixo o seja. Quando os cálculos sobre uma superfície ficam pesados, o primeiro movimento é procurar uma carta com $F = 0$ .

Exemplo 19.15 (A carta da sela)

Para a sela $z = xy$ com carta $\sigma(u, v) = (u, v, uv)$ :

\sigma_u = (1, 0, v), \qquad \sigma_v = (0, 1, u), \qquad E = 1 + v^2, \quad F = uv, \quad G = 1 + u^2 ,

e $EG - F^2 = 1 + u^2 + v^2 > 0$ : regular em toda parte. As duas curvas coordenadas por um ponto são retas de $\R^3$ (fixe $u$ ou fixe $v$ : as geratrizes da sela duplamente regrada), e no entanto $F \neq 0$ fora dos eixos: as geratrizes por um ponto genérico não são ortogonais. Ambas as geratrizes estão no plano tangente, que elas geram — de modo que o plano tangente corta a superfície ao longo de duas retas inteiras, o extremo oposto da esfera, cujos planos tangentes tocam num único ponto. O sinal do “contato de segunda ordem” entre uma superfície e seus planos tangentes é uma história de curvatura, retomada no volume do terceiro ano de graduação.

Proposição 19.16 (Comprimento de uma curva desenhada sobre uma superfície)

Se $\gamma(t) = \sigma(u(t), v(t))$ , $t \in [a, b]$ , é $\mathcal{C}^1$ , então

L(\gamma) = \int_a^b \sqrt{E\,u'^2 + 2F\,u'v' + G\,v'^2}\;\dd t ,

com $E, F, G$ avaliados em $(u(t), v(t))$ .

Demonstração. $\gamma' = u'\sigma_u + v'\sigma_v$ pela regra da cadeia, logo $\norm{\gamma'}^2 = I(u', v') = Eu'^2 + 2Fu'v' + Gv'^2$ ; integre $\norm{\gamma'}$ (Definição 18.6). ∎

Exemplo 19.17 (Por que os aviões de linha voam sobre o polo)

Dois aeroportos estão na latitude $\varphi_0$ e em longitudes opostas: $A = \sigma(0, \varphi_0)$ e $B = \sigma(\pi, \varphi_0)$ na esfera de raio $R$ . Ao longo do paralelo ( $\varphi \equiv \varphi_0$ ), o comprimento é $\int_0^\pi R\cos\varphi_0\,\dd\theta = \pi R\cos\varphi_0$ . Ao longo da rota sobre o polo (subindo o meridiano $\theta = 0$ , descendo o meridiano $\theta = \pi$ ), ele vale $2R(\frac\pi2 - \varphi_0)$ . Na latitude $\varphi_0 = \frac\pi3$ (sessenta graus): rota do paralelo $\pi R/2 \approx 1.571\,R$ , rota polar $\pi R/3 \approx 1.047\,R$ — um terço mais curta. De fato, $\pi\cos\varphi_0 \geq \pi - 2\varphi_0$ em $\intcc0{\pi/2}$ (a função $\pi\cos\varphi - \pi + 2\varphi$ se anula nas duas extremidades e sua derivada $2 - \pi\sin\varphi$ muda de sinal uma única vez, logo ela é primeiro crescente e depois decrescente, portanto não negativa): a rota polar nunca perde. A primeira forma fundamental transformou uma questão de navegação em duas integrais de uma linha; o Exercício 19.6 leva a ideia até uma verdadeira demonstração de minimalidade para os meridianos.

Lema 19.18 (Identidade de Lagrange)

Para todos $a, b \in \R^3$ : $\norm{a \wedge b}^2 = \norm a^2 \norm b^2 - \langle a, b\rangle^2$ . Em particular

\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v} = \sqrt{EG - F^2}.

Demonstração. Ambos os membros ficam inalterados se substituirmos $b$ por sua componente $b_\perp = b - \frac{\langle a, b\rangle}{\norm a^2}a$ ortogonal a $a$ (para $a \neq 0$ ; o caso $a = 0$ é trivial): o membro da esquerda porque $a \wedge a = 0$ , o da direita desenvolvendo $\norm {b_\perp}^2 = \norm b^2 - \frac{\langle a,b\rangle^2}{\norm a^2}$ e $\langle a, b_\perp\rangle = 0$ . Basta portanto demonstrar a identidade para $a, b$ ortogonais, em que ela se lê $\norm{a \wedge b} = \norm a \norm b$ : verdadeiro, pois para vetores ortogonais o produto vetorial tem norma $\norm a\norm b\,\abs{\sin\frac\pi2}$ . A fórmula exibida é o caso $a = \sigma_u$ , $b = \sigma_v$ . ∎

Observação 19.19

A identidade de Lagrange diz que $EG - F^2 = \det\left(\begin{smallmatrix} E & F\\ F & G\end{smallmatrix}\right)$ é o determinante de Gram de $(\sigma_u, \sigma_v)$ : a área ao quadrado do paralelogramo por eles gerado. Regularidade, positividade definida da primeira forma fundamental e positividade do determinante de Gram são três formulações de uma só condição — e é por isso que o integrando de área abaixo nunca se anula numa carta regular.

Definição 19.20 (Área)

Sejam $\sigma \colon U \to \R^3$ uma superfície $\mathcal{C}^1$ regular e injetiva e $K \subseteq U$ um domínio compacto sobre o qual as integrais duplas façam sentido (Capítulo 20). A área do pedaço $\sigma(K)$ é

\mathcal{A} = \iint_K \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v = \iint_K \sqrt{EG - F^2}\;\dd u\,\dd v .

Observação 19.21 (Por que essa fórmula)

O retângulo $[u, u + \dd u] \times [v, v + \dd v]$ é aplicado, em primeira ordem, sobre o paralelogramo gerado por $\sigma_u\,\dd u$ e $\sigma_v\,\dd v$ , cuja área vale $\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v$ : a definição integra o fator local de distorção de área, exatamente como o comprimento de arco integra a velocidade local. A compatibilidade com mudanças de parâmetro é o Exercício 19.8; a compatibilidade com a fórmula de mudança de variáveis para integrais duplas é discutida no Capítulo 20.

Exemplo 19.22 (Dois gráficos diferentes, uma só área)

Sobre o disco unitário, compare a tigela $z = \frac12(x^2 + y^2)$ e a sela $z = xy$ . Seus integrandos de área (Exercício 19.5) são

\sqrt{1 + x^2 + y^2} \qquad\text{e}\qquad \sqrt{1 + y^2 + x^2} :

idênticos. As duas superfícies — uma se curvando do mesmo modo em todas as direções, a outra em forma de sela — têm exatamente as mesmas áreas sobre todo domínio, $\frac{2\pi}3(2\sqrt2 - 1)$ sobre o disco unitário. O elemento de área só enxerga o comprimento do gradiente, não a disposição da flexão; distinguir a tigela da sela exige dados de segunda ordem (a estrutura de sinais exibida no Figura 19.1), que nenhuma medida de área detecta. Primeira forma fundamental: métrica, cega à forma; a segunda forma, que vê a forma, pertence ao terceiro ano.

Exemplo 19.23 (Área da esfera)

Para a carta esférica de Exemplo 19.2:

\sigma_\theta = R(-\sin\theta\cos\varphi,\ \cos\theta\cos\varphi,\ 0), \qquad \sigma_\varphi = R(-\cos\theta\sin\varphi,\ -\sin\theta\sin\varphi,\ \cos\varphi),

logo $E = R^2\cos^2\varphi$ , $F = 0$ , $G = R^2$ e $\sqrt{EG - F^2} = R^2\cos\varphi$ . Portanto

\mathcal{A} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!\!\int_0^{2\pi} R^2\cos\varphi\;\dd\theta\,\dd\varphi = 2\pi R^2\,\bigl[\sin\varphi\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \boxed{4\pi R^2} .

Exemplo 19.24 (O cone, conferido contra a fórmula da escola)

Para o cone $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ sobre a coroa $a \leq \rho \leq b$ , a fórmula do gráfico do Exercício 19.5 dá $1 + f_x^2 + f_y^2 = 2$ (calcule $f_x = x/\rho$ , $f_y = y/\rho$ ), logo

\mathcal A = \sqrt2\,\pi\,(b^2 - a^2) .

Verificação de coerência com a fórmula da geratriz $\pi\rho\ell$ do Exemplo 19.26: os cones completos de raios de base $b$ e $a$ têm áreas laterais $\pi b\cdot b\sqrt2$ e $\pi a\cdot a\sqrt2$ , cuja diferença é exatamente $\sqrt2\pi(b^2 - a^2)$ . Duas cartas, duas fórmulas, uma só área — a invariância demonstrada no Exercício 19.8, vista em pleno funcionamento.

Observação 19.25 (Verificações de bom senso para áreas)

Três verificações instantâneas pegam a maioria dos erros num cálculo de área. Escala: dilatar uma superfície por $\lambda$ multiplica $E, F, G$ por $\lambda^2$ e a área por $\lambda^2$ — uma resposta cuja dependência em $R$ não seja quadrática (como $4\pi R^2$ ) está errada. Positividade do elemento: $\sqrt{EG - F^2}$ tem de ser estritamente positivo no interior da carta; um valor nulo sinaliza uma degenerescência da carta, a ser excisada como nos polos da esfera. Simetria: um cálculo sobre um pedaço simétrico tem de ser compatível com a soma de suas partes congruentes — é bom que o hemisfério dê $2\pi R^2$ .

Exemplo 19.26 (Superfície de revolução)

Rode a curva $z \mapsto (r(z), 0, z)$ , $r > 0$ de classe $\mathcal{C}^1$ , em torno do eixo $z$ :

\sigma(\theta, z) = (r(z)\cos\theta,\ r(z)\sin\theta,\ z).

Então $E = r(z)^2$ , $F = 0$ , $G = 1 + r'(z)^2$ , logo

\mathcal{A} = \int_a^b\!\!\int_0^{2\pi} r(z)\sqrt{1 + r'(z)^2}\;\dd\theta\,\dd z = 2\pi\int_a^b r(z)\sqrt{1 + r'(z)^2}\,\dd z ,

a fórmula clássica (circunferência $2\pi r$ vezes o elemento de comprimento da geratriz). Para o cone $r(z) = kz$ , $z \in [0, h]$ : $\mathcal A = 2\pi k\sqrt{1 + k^2}\,\frac{h^2}{2} = \pi \rho \ell$ com $\rho = kh$ o raio da base e $\ell = h\sqrt{1 + k^2}$ a geratriz — a fórmula da escola, agora demonstrada e não admitida.

Exemplo 19.27 (O catenoide)

Rode a catenária $r(z) = \cosh z$ , $z \in \intcc{-1}{1}$ , em torno de seu eixo: o catenoide resultante tem, pela fórmula de revolução e pelo $1 + \sinh^2 z = \cosh^2 z$ ,

\mathcal A = 2\pi\int_{-1}^1\cosh z\,\sqrt{1 + \sinh^2z}\, \dd z = 2\pi\int_{-1}^1\cosh^2z\,\dd z = \pi\bigl[z + \sinh z\cosh z\bigr]_{-1}^{1},

isto é

\mathcal A = 2\pi + \pi\sinh 2 \approx 17.68 .

O fator da geratriz $\sqrt{1 + r'^2}$ fundiu-se com o raio num quadrado perfeito — a mesma identidade que tornou elementar o comprimento de arco da catenária no capítulo das curvas. Isso não é um acaso algébrico: entre todas as superfícies de revolução que se apoiam nos dois círculos de bordo, o catenoide minimiza a área (é a forma de uma película de sabão entre dois anéis), e essa propriedade variacional é precisamente o que singulariza $\cosh$ ; o volume do terceiro ano de graduação a demonstra com o cálculo das variações.

$A sela z = x2 - y2 perto da origem, com suas curvas coordenadas (curvas u em azul, curvas v em verde), o plano tangente em M_0 = (0,0,0) (tracejado) e a normal unitária n. A superfície atravessa seu plano tangente — o análogo bidimensional de uma inflexão.$

Figura 19.1. A sela

z = x^2 - y^2

perto da origem, com suas curvas coordenadas (curvas

u

em azul, curvas

v

em verde), o plano tangente em

M_0 = (0,0,0)

(tracejado) e a normal unitária

n

. A superfície atravessa seu plano tangente — o análogo bidimensional de uma inflexão.

Observação 19.28 (Armadilhas comuns)

(i) Singularidades da carta não são singularidades da superfície: a carta esférica degenera nos polos ( $\cos\varphi = 0$ ), mas a esfera é perfeitamente suave ali — outra carta (troque os papéis dos eixos) é regular nos polos. Antes de declarar um ponto singular, tente uma segunda parametrização. (ii) A regularidade de $\sigma$ diz respeito à parametrização, não à imagem: $\sigma(u, v) = (u^3, v, 0)$ não é regular ao longo de $u = 0$ embora sua imagem seja um plano. (iii) A fórmula da área exige $\sigma$ injetiva em $K$ : uma carta que cobre um pedaço duas vezes o conta duas vezes ( $\theta$ percorrendo $\intcc0{4\pi}$ duplica a área da esfera). (iv) A normal unitária é definida a menos de sinal pela superfície, mas é escolhida pela carta (ordem de $u, v$ ); enunciados que envolvem orientação têm de fixar essa escolha. (v) Por fim, $EG - F^2 > 0$ não é uma hipótese suplementar: é exatamente a regularidade, pela identidade de Lagrange — se ela se anula em algum lugar, o problema é a carta, e nenhuma fórmula de área ou de plano tangente se aplica ali.

Observação 19.29 (Perspectivas dentro deste volume)

Elos para a frente a partir daqui. O elemento de área $\sqrt{EG - F^2}\,\dd u\,\dd v$ é um jacobiano bidimensional disfarçado, e o Capítulo 20 torna a analogia exata com o teorema de mudança de variáveis — as integrais de superfície de lá são as áreas deste capítulo com um integrando a bordo. A primeira forma fundamental é um campo de formas quadráticas positivas, tratado pontualmente pelas ferramentas do Capítulo 12, cujo teorema espectral também move a classificação das quádricas do problema de fim de semana. E a reta normal governa problemas de extremo sobre conjuntos de restrição (Exemplo 19.10), o germe geométrico do método dos multiplicadores de Lagrange esboçado com o Teorema 15.11.

Quatro das nove superfícies quádricas classificadas no problema de fim de semana, esboçadas por suas silhuetas e uma curva de nível (vermelho): o elipsoide limitado, o hiperboloide de uma folha duplamente regrado com sua cintura, a tigela do paraboloide elíptico e a sela, cujas duas seções parabólicas se dobram em sentidos opostos.

Observação 19.30 (Onde isso é usado)

O elemento de área $\norm{\sigma_u\wedge\sigma_v}\,\dd u\,\dd v$ é a medida das integrais de superfície do Capítulo 20, em que ele encontra a fórmula de Green; a primeira forma fundamental é o protótipo de um campo de formas quadráticas, estudado pontualmente com as ferramentas do Capítulo 12; e o problema de fim de semana deste capítulo classifica todas as superfícies quádricas com o teorema espectral. O volume do terceiro ano de graduação volta às superfícies com formas diferenciais e o teorema da divergência, e a curvatura intrínseca — o que $E, F, G$ sabem sobre a flexão — é a porta de entrada da geometria diferencial propriamente dita.

19.4 Exercícios

Exercício 19.1 ★

Mostre que os planos tangentes do cone $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ (menos seu vértice) passam todos pelo vértice. (Parametrize por $\sigma(\theta, r) = (r\cos\theta, r\sin\theta, r)$ , $r > 0$ .)

Solução

Solução de Exercício 19.1.

Com $\sigma(\theta, r) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta,\ r)$ :

\sigma_\theta = (-r\sin\theta,\ r\cos\theta,\ 0), \qquad \sigma_r = (\cos\theta,\ \sin\theta,\ 1),

independentes para $r > 0$ . O plano tangente em $M_0 = \sigma(\theta_0, r_0)$ passa por $M_0$ com direções $\sigma_\theta, \sigma_r$ . Ora, $M_0 - O = r_0(\cos\theta_0, \sin\theta_0, 1) = r_0\,\sigma_r(\theta_0, r_0)$ é ele próprio uma direção tangente: o vértice $O$ está no plano tangente. (Esse é o comportamento geral dos cones: eles são regrados por retas passando pelo vértice, e um plano tangente contém a reta geratriz que passa pelo ponto de tangência.)

Exercício 19.2 ★

Determine o plano tangente do elipsoide $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ num ponto $(x_0, y_0, z_0)$ da superfície.

Solução

Solução de Exercício 19.2.

Aplique a Proposição 19.7 a $f(x,y,z) = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}$ : $\nabla f(x_0,y_0,z_0) = 2\bigl(\frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2}, \frac{z_0}{c^2}\bigr) \neq 0$ sobre a superfície. O plano tangente é

\frac{x_0}{a^2}(x - x_0) + \frac{y_0}{b^2}(y - y_0) + \frac{z_0}{c^2}(z - z_0) = 0, \qquad\text{i.e.}\qquad \frac{x_0\,x}{a^2} + \frac{y_0\,y}{b^2} + \frac{z_0\,z}{c^2} = 1,

usando que $(x_0, y_0, z_0)$ satisfaz a equação do elipsoide — a regra de “desdobrar os quadrados” que generaliza o $\langle M_0, M \rangle = R^2$ da esfera.

Exercício 19.3 ★

Calcule $E, F, G$ para o helicoide $\sigma(u, v) = (v\cos u,\ v\sin u,\ au)$ , $a > 0$ , e a área do pedaço $0 \leq u \leq 2\pi$ , $0 \leq v \leq 1$ , como uma integral (avalie-a usando $\int\sqrt{v^2 + a^2}\,\dd v = \frac12\bigl(v\sqrt{v^2+a^2} + a^2\ln(v + \sqrt{v^2 + a^2})\bigr) + C$ ).

Solução

Solução de Exercício 19.3.

$\sigma_u = (-v\sin u,\ v\cos u,\ a)$ e $\sigma_v = (\cos u,\ \sin u,\ 0)$ , logo

E = v^2 + a^2, \qquad F = 0, \qquad G = 1, \qquad \sqrt{EG - F^2} = \sqrt{v^2 + a^2} > 0

(o helicoide é regular em toda parte, inclusive sobre seu eixo $v = 0$ ). Área do pedaço:

\mathcal{A} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 \sqrt{v^2 + a^2}\;\dd v\,\dd u = 2\pi\cdot\frac12\Bigl[v\sqrt{v^2 + a^2} + a^2\ln\bigl(v + \sqrt{v^2 + a^2}\bigr)\Bigr]_0^1 ,

isto é, $\mathcal{A} = \pi\Bigl(\sqrt{1 + a^2} + a^2\ln\frac{1 + \sqrt{1 + a^2}}{a}\Bigr)$ .

Exercício 19.4 ★★

(Toro) Parametrize o toro obtido girando o círculo de centro $(R, 0, 0)$ e raio $r < R$ no plano $xz$ em torno do eixo $z$ :

\sigma(\theta, \psi) = \bigl((R + r\cos\psi)\cos\theta,\ (R + r\cos\psi)\sin\theta,\ r\sin\psi\bigr).

Calcule $E, F, G$ , verifique a regularidade e mostre que a área vale $4\pi^2 R r$ (Pappus: circunferência média $2\pi R$ vezes o comprimento do círculo $2\pi r$ ).

Solução

Solução de Exercício 19.4.

Derivadas:

\sigma_\theta = \bigl(-(R + r\cos\psi)\sin\theta,\ (R + r\cos\psi)\cos\theta,\ 0\bigr), \qquad \sigma_\psi = \bigl(-r\sin\psi\cos\theta,\ -r\sin\psi\sin\theta,\ r\cos\psi\bigr).

Então

E = (R + r\cos\psi)^2, \qquad F = r\sin\psi\cos\psi\,(R + r\cos\psi) \bigl(\sin\theta\cos\theta - \sin\theta\cos\theta\bigr) = 0, \qquad G = r^2 ,

logo $\sqrt{EG - F^2} = r(R + r\cos\psi) \geq r(R - r) > 0$ : regular em toda parte. Área:

\mathcal{A} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{2\pi} r(R + r\cos\psi) \,\dd\theta\,\dd\psi = 2\pi r \Bigl(2\pi R + r\int_0^{2\pi}\cos\psi\,\dd\psi\Bigr) = 4\pi^2 R r ,

o termo em $\cos\psi$ integrando a zero — teorema de Pappus: área $=$ (comprimento do círculo girado) $\times$ (distância percorrida por seu centro).

Exercício 19.5 ★★

Mostre que a área do gráfico de $f \in \mathcal{C}^1(K)$ é $\iint_K \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\,\dd x\,\dd y$ e calcule-a para o pedaço de paraboloide $z = \frac12(x^2 + y^2)$ sobre o disco $x^2 + y^2 \leq 1$ (coordenadas polares, Capítulo 20).

Solução

Solução de Exercício 19.5.

Para $\sigma(x, y) = (x, y, f(x,y))$ : $\sigma_x = (1, 0, f_x)$ , $\sigma_y = (0, 1, f_y)$ , logo $E = 1 + f_x^2$ , $F = f_xf_y$ , $G = 1 + f_y^2$ e

EG - F^2 = (1 + f_x^2)(1 + f_y^2) - f_x^2f_y^2 = 1 + f_x^2 + f_y^2 ,

o que dá a fórmula de área anunciada. Para $f = \frac12(x^2 + y^2)$ sobre o disco unitário: $1 + f_x^2 + f_y^2 = 1 + x^2 + y^2$ e, em coordenadas polares ( $x = \rho\cos\alpha$ , $y = \rho\sin\alpha$ , jacobiano $\rho$ , Capítulo 20):

\mathcal{A} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 \sqrt{1 + \rho^2}\;\rho \,\dd\rho\,\dd\alpha = 2\pi\Bigl[\tfrac13(1 + \rho^2)^{3/2}\Bigr]_0^1 = \frac{2\pi}{3}\bigl(2\sqrt2 - 1\bigr).

Exercício 19.6 ★★

Uma curva desenhada $\gamma(t) = \sigma(u(t), v(t))$ sobre a esfera de raio $R$ (carta esférica) tem $u = \theta(t)$ , $v = \varphi(t)$ . Escreva seu comprimento como uma integral em $\theta, \varphi$ e demonstre que, entre as curvas que ligam dois pontos de um mesmo meridiano $\theta = \theta_0$ , o arco de meridiano é a mais curta. (Minore o integrando por $R\abs{\varphi'}$ .)

Solução

Solução de Exercício 19.6.

Pelo cálculo do Exemplo 19.23, $E = R^2\cos^2\varphi$ , $F = 0$ , $G = R^2$ , logo, pela Proposição 19.16

L = \int_a^b R\sqrt{\cos^2\varphi(t)\,\theta'(t)^2 + \varphi'(t)^2}\;\dd t .

Sejam os extremos $(\theta_0, \varphi_1)$ e $(\theta_0, \varphi_2)$ , $\varphi_1 < \varphi_2$ . Para qualquer curva que os una,

L \geq \int_a^b R\,\abs{\varphi'(t)}\,\dd t \geq R\,\Bigl|\int_a^b \varphi'(t)\,\dd t\Bigr| = R\,(\varphi_2 - \varphi_1),

descartando o termo não negativo $\cos^2\varphi\,\theta'^2$ e usando a desigualdade triangular para integrais. O arco de meridiano $\theta \equiv \theta_0$ , com $\varphi$ crescendo de $\varphi_1$ a $\varphi_2$ , tem comprimento exatamente $R(\varphi_2 - \varphi_1)$ : ele é o mais curto. (Meridianos são círculos máximos; esse é o primeiro caso, elementar, do fato de que as geodésicas da esfera são círculos máximos.)

Exercício 19.7 ★★★

(Retas normais de uma esfera) Seja $S$ uma superfície de nível regular $\{f = c\}$ , conexa, cujas retas normais passam todas por um ponto fixo $\Omega$ . Mostre que $S$ está contida numa esfera centrada em $\Omega$ . (Mostre que $\norm{M - \Omega}^2$ tem derivada nula ao longo de toda curva desenhada sobre $S$ .)

Solução

Solução de Exercício 19.7.

Fixe uma curva $\gamma$ desenhada sobre $S$ e ponha $g(t) = \norm{\gamma(t) - \Omega}^2$ . Então $g'(t) = 2\langle \gamma'(t),\ \gamma(t) - \Omega\rangle$ . A reta normal em $M = \gamma(t)$ passa por $\Omega$ por hipótese, de modo que $\gamma(t) - \Omega$ é um vetor normal, ortogonal ao plano tangente, em particular à velocidade $\gamma'(t)$ (Proposição 19.5): $g' = 0$ , e $g$ é constante ao longo de toda curva desenhada.

Ora, o conjunto $S_c = \{M \in S : \norm{M - \Omega}^2 = c\}$ é fechado em $S$ ; ele também é aberto em $S$ : perto de qualquer de seus pontos, $S$ é um gráfico regular, de modo que todo ponto vizinho de $S$ liga-se a ele por uma curva desenhada (um segmento levantado), ao longo da qual $g$ é constante. Como $S$ é conexa e $S_c$ é não vazio para o $c$ adequado, $S = S_c \subseteq$ a esfera de centro $\Omega$ e raio $\sqrt c$ (Capítulo 4: argumento de conexidade).

Exercício 19.8 ★★★

(A área é geométrica) Seja $\Phi \colon U' \to U$ um difeomorfismo $\mathcal{C}^1$ entre abertos de $\R^2$ e $\tilde\sigma = \sigma \circ \Phi$ . Mostre que

\norm{\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'}} = \abs{\det J_\Phi}\, \norm{(\sigma_u \wedge \sigma_v)\circ\Phi} ,

e deduza, usando a fórmula de mudança de variáveis do Capítulo 20, que a área de Definição 19.20 não depende da parametrização regular escolhida.

Solução

Solução de Exercício 19.8.

Escreva $\Phi(u', v') = (u, v)$ . Pela regra da cadeia,

\tilde\sigma_{u'} = \frac{\partial u}{\partial u'}\sigma_u + \frac{\partial v}{\partial u'}\sigma_v, \qquad \tilde\sigma_{v'} = \frac{\partial u}{\partial v'}\sigma_u + \frac{\partial v}{\partial v'}\sigma_v ,

com as parciais de $\sigma$ avaliadas em $\Phi(u',v')$ . Desenvolvendo o produto vetorial bilinearmente e usando $\sigma_u \wedge \sigma_u = \sigma_v \wedge \sigma_v = 0$ , $\sigma_v \wedge \sigma_u = -\sigma_u \wedge \sigma_v$ :

\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'} = \Bigl(\frac{\partial u}{\partial u'} \frac{\partial v}{\partial v'} - \frac{\partial v}{\partial u'} \frac{\partial u}{\partial v'}\Bigr)\, \sigma_u \wedge \sigma_v = \det J_\Phi \cdot (\sigma_u \wedge \sigma_v)\circ\Phi .

Tomando normas obtém-se a identidade. Então, pela fórmula de mudança de variáveis (Capítulo 20) aplicada à aplicação $\Phi$ em $K' = \Phi^{-1}(K)$ :

\iint_{K'} \norm{\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'}} \,\dd u'\dd v' = \iint_{K'} \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\circ\Phi\; \abs{\det J_\Phi}\,\dd u'\dd v' = \iint_K \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v :

as duas parametrizações atribuem a mesma área ao mesmo pedaço de superfície.

Exercício 19.9 ★

(Teorema da caixa de chapéu de Arquimedes) Na esfera de raio $R$ , a zona entre as latitudes com $z_1 \leq z \leq z_2$ ( $-R \leq z_1 < z_2 \leq R$ ) tem área $2\pi R\,(z_2 - z_1)$ : demonstre-o com a carta esférica e conclua que a área de uma zona depende apenas de sua altura — fatiar uma laranja em fatias de espessura igual dá quantidades iguais de casca.

Solução

Solução de Exercício 19.9.

Na carta esférica, $z = R\sin\varphi$ , e a zona corresponde a $\varphi_1 \leq \varphi \leq \varphi_2$ com $z_i = R\sin\varphi_i$ . Com o elemento de área $R^2\cos\varphi\,\dd\theta\,\dd\varphi$ (Exemplo 19.23):

\mathcal A = \int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\!\!\int_0^{2\pi} R^2\cos\varphi\,\dd\theta\,\dd\varphi = 2\pi R^2(\sin\varphi_2 - \sin\varphi_1) = 2\pi R\,(z_2 - z_1) .

O resultado depende apenas da altura $z_2 - z_1$ : fatias de espessura igual carregam áreas iguais, sejam cortadas no equador ou no polo — o teorema da caixa de chapéu de Arquimedes, e a razão pela qual a área lateral do cilindro circunscrito ( $2\pi R \cdot 2R = 4\pi R^2$ ) é igual à área da esfera.

Exercício 19.10 ★★

Mostre que toda reta normal de uma superfície de revolução $\sigma(\theta, z) = (r(z)\cos\theta,\ r(z)\sin\theta,\ z)$ ( $r > 0$ de classe $\mathcal C^1$ ) encontra o eixo de revolução, e localize o ponto de interseção.

Solução

Solução de Exercício 19.10.

$\sigma_\theta = (-r\sin\theta,\ r\cos\theta,\ 0)$ e $\sigma_z = (r'\cos\theta,\ r'\sin\theta,\ 1)$ , logo

\sigma_\theta \wedge \sigma_z = (r\cos\theta,\ r\sin\theta,\ -r\,r') ,

um vetor normal em $M = (r\cos\theta, r\sin\theta, z)$ . A reta normal é

t \mapsto \bigl(r(1 + t)\cos\theta,\ r(1 + t)\sin\theta,\ z - t\,r\,r'\bigr),

que em $t = -1$ atinge $(0,\ 0,\ z + r(z)\,r'(z))$ : toda reta normal encontra o eixo, na altura $z + rr'$ . (Essa é a razão tridimensional pela qual a simetria de rotação sobrevive no campo normal.)

Exercício 19.11 ★★

(Desenrolando o cilindro) A carta $\sigma(u, v) = (\cos u,\ \sin u,\ v)$ do cilindro unitário tem $E = G = 1$ , $F = 0$ : verifique isso e explique por que toda curva desenhada $t \mapsto \sigma(u(t), v(t))$ tem o mesmo comprimento que a curva plana $t \mapsto (u(t), v(t))$ . Deduza que a hélice que vai de $(1, 0, 0)$ a $(1, 0, 2\pi c)$ dando uma volta tem comprimento $2\pi\sqrt{1 + c^2}$ e que nenhuma curva desenhada com os mesmos extremos e uma volta completa é mais curta.

Solução

Solução de Exercício 19.11.

$\sigma_u = (-\sin u, \cos u, 0)$ , $\sigma_v = (0, 0, 1)$ : $E = 1$ , $F = 0$ , $G = 1$ . Pela Proposição 19.16, o comprimento de uma curva desenhada é $\int\sqrt{u'^2 + v'^2}\,\dd t$ — o comprimento de sua sombra de parâmetros $(u(t), v(t))$ no plano: a carta é uma isometria local (o desenrolamento do cilindro). A hélice $t \mapsto (\cos t, \sin t, ct)$ , $t \in \intcc0{2\pi}$ , tem por sombra o segmento de $(0,0)$ a $(2\pi, 2\pi c)$ , de comprimento $2\pi\sqrt{1 + c^2}$ . Toda curva desenhada de $(1,0,0)$ a $(1, 0, 2\pi c)$ dando uma volta completa tem uma sombra contínua ligando $(0, 0)$ a $(2\pi, 2\pi c)$ , de comprimento no plano $\geq$ o do segmento reto; como os comprimentos coincidem, a hélice é a mais curta.

Exercício 19.12 ★★★

Sejam $S = \{f = c\}$ uma superfície de nível regular compacta e $M_0 \in S$ um ponto à distância máxima da origem. Mostre que $\nabla f(M_0)$ é colinear com $\vect{OM_0}$ — a normal no ponto mais distante é radial. Aplique ao elipsoide $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ ( $a > b > c > 0$ ): determine todos os pontos em que a normal é radial e identifique os mais distantes.

Solução

Solução de Exercício 19.12.

A função $g(M) = \norm{M}^2$ é contínua no compacto $S$ , logo atinge seu máximo em algum $M_0$ . Para toda curva $\gamma$ desenhada sobre $S$ com $\gamma(0) = M_0$ , a função $t \mapsto \norm{\gamma(t)}^2$ tem um máximo em $t = 0$ , de modo que sua derivada $2\langle\gamma'(0), M_0\rangle$ se anula: $M_0$ é ortogonal a todo vetor tangente, isto é, normal a $S$ em $M_0$ . Como $\nabla f(M_0) \neq 0$ também dirige a reta normal (Proposição 19.7), $\nabla f(M_0)$ e $\vect{OM_0}$ são colineares. Para o elipsoide, radialidade significa

\Bigl(\frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2}, \frac{z_0}{c^2}\Bigr) = \mu\,(x_0, y_0, z_0) :

cada coordenada satisfaz $x_0(\frac1{a^2} - \mu) = 0$ etc.; como $a^{-2}, b^{-2}, c^{-2}$ são distintos, no máximo uma coordenada é não nula, e as soluções sobre a superfície são os seis extremos dos eixos $(\pm a, 0, 0)$ , $(0, \pm b, 0)$ , $(0, 0, \pm c)$ . Os pontos mais distantes são $(\pm a, 0, 0)$ , à distância $a = \max(a,b,c)$ .

19.5 Problema: a classificação das quádricas de $\R^3$

Problema 19.1

Problema de fim de semana — toda superfície quádrica, ordenada pelo teorema espectral

Uma quádrica é o conjunto de zeros em $\R^3$ de um polinômio de grau dois

q(X) = X^{\mathsf T}\!AX + 2\,\langle b, X\rangle + c, \qquad A \in \mathcal S_3(\R),\ A \neq 0,\ b \in \R^3,\ c \in \R .

As superfícies das figuras deste capítulo — esferas, elipsoides, selas, cones, cilindros — são todas quádricas. Este problema as classifica todas: o teorema espectral (Teorema 12.13) endireita a parte quadrática, translações afins (Capítulo 17) absorvem a parte linear, e o que resta é uma lista curta e completa de formas normais.

Parte I — A máquina de redução.

Seja $X = PY + t$ com $P \in O(3)$ e $t \in \R^3$ (uma mudança rígida de coordenadas). Mostre que $q(PY + t) = Y^{\mathsf T}\!A'Y + 2\langle b', Y\rangle + c'$ com

$A' = P^{\mathsf T}\!AP, \qquad b' = P^{\mathsf T}(At + b), \qquad c' = q(t) .$

Deduza que o espectro de $A$ (logo seu posto e sua assinatura) é um invariante rígido da equação e explique por que a equação de uma dada quádrica só é determinada a menos de um fator escalar não nulo.
Usando o teorema espectral, mostre que, após uma rotação, a equação se torna $\sum_i \lambda_i y_i^2 + 2\sum_i\beta_iy_i + c = 0$ com $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ os autovalores de $A$ .
Para todo $i$ com $\lambda_i \neq 0$ , absorva $\beta_iy_i$ por uma translação ( $y_i \mapsto y_i - \beta_i/\lambda_i$ ). Escreva a equação reduzida quando $\operatorname{rank} A = r$ : $\sum_{i\leq r}\lambda_i z_i^2 + 2\sum_{i > r}\beta_iz_i + c'' = 0$ .
Um centro da quádrica de equação $q = 0$ é um ponto $\Omega$ com $q(2\Omega - X) = q(X)$ para todo $X$ : a simetria pontual em $\Omega$ preserva a equação, logo a superfície. Mostre que $q(2\Omega - X) - q(X) = -4\langle A\Omega + b, X\rangle + 4\langle A\Omega + b, \Omega\rangle$ e deduza: os centros são exatamente as soluções de $A\Omega = -b$ ; eles existem se e somente se $b \in \operatorname{im}A$ , e o centro é único se e somente se $A$ é invertível.

Parte II — Quádricas centrais ( $\operatorname{rank}A = 3$ ). Aqui a equação reduzida é $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + \lambda_3z_3^2 = \delta$ .

Multiplicando por $-1$ se necessário, suponha ao menos dois $\lambda_i > 0$ . Enumere as possibilidades: assinatura $(3, 0)$ com $\delta > 0$ , $= 0$ , $< 0$ , e assinatura $(2, 1)$ com $\delta > 0$ , $= 0$ , $< 0$ ; nomeie os seis conjuntos resultantes (elipsoide, ponto, conjunto vazio, hiperboloide de uma folha, cone, hiperboloide de duas folhas) e ponha cada um em sua forma normal euclidiana ( $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ etc.).
Classifique $x^2 + y^2 + z^2 + 4xy + 4yz + 4zx = 1$ : mostre que $A = 2J - I$ com $J$ a matriz de uns, calcule o espectro $\{5, -1, -1\}$ e identifique um hiperboloide de duas folhas de revolução em torno do eixo $\R(1,1,1)$ .
(Geratrizes) Para o hiperboloide de uma folha $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ , fatore

$\Bigl(\frac xa - \frac zc\Bigr) \Bigl(\frac xa + \frac zc\Bigr) = \Bigl(1 - \frac yb\Bigr)\Bigl(1 + \frac yb\Bigr)$

e produza duas famílias a um parâmetro de retas contidas na superfície.
Mostre que por todo ponto do hiperboloide de uma folha passa exatamente uma reta de cada família: a superfície é duplamente regrada.
O cone assintótico do hiperboloide de uma folha é $C : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$ . Com $\rho^2 = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ , mostre que todo ponto do hiperboloide está à distância no máximo $c\bigl(\rho - \sqrt{\rho^2 - 1}\bigr) = \frac{c}{\rho + \sqrt{\rho^2 - 1}}$ de $C$ , de modo que a superfície se cola ao seu cone no infinito. Quais são as seções do hiperboloide pelos planos $x = \pm a$ ?

Parte III — Posto $2$ e posto $1$ : paraboloides, cilindros, planos.

Suponha $\operatorname{rank}A = 2$ , digamos $\lambda_1, \lambda_2 \neq 0 = \lambda_3$ . Partindo da questão 3, separe em dois casos conforme $\beta_3 \neq 0$ (sem centro, pela questão 4) ou $\beta_3 = 0$ (uma reta de centros), e reduza a

$\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 = 0 \qquad\text{ou}\qquad \lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + c'' = 0 :$

paraboloides elípticos/hiperbólicos no primeiro caso, cilindros sobre cônicas centrais (ou pares de planos concorrentes, uma reta, o conjunto vazio) no segundo.
Mostre que a sela $z = xy$ é um paraboloide hiperbólico: rode de $\pi/4$ no plano $xy$ para chegar a $z = \tfrac12(u^2 - v^2)$ , a superfície do Figura 19.1 a menos de escala.
Mostre que a sela $z = xy$ carrega as duas famílias de retas $\{x = x_0,\ z = x_0y\}$ e $\{y = y_0,\ z = xy_0\}$ , com exatamente uma reta de cada uma passando por todo ponto: a segunda quádrica duplamente regrada.
Classifique $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3 = 0$ em $\R^3$ (complete os quadrados; identifique um cilindro circular reto e dê seu eixo e seu raio).
Suponha agora $\operatorname{rank}A = 1$ , digamos $\lambda_1 \neq 0 = \lambda_2 = \lambda_3$ . Rodando dentro do plano do núcleo e transladando, reduza a

$\lambda_1z_1^2 + 2\beta z_2 = 0 \quad (\beta \neq 0) \qquad\text{ou}\qquad \lambda_1z_1^2 + c'' = 0 :$

um cilindro parabólico, ou um par de planos paralelos, um plano duplo, ou o conjunto vazio. Classifique $(x + y)^2 = z$ completamente (forma normal, eixo de invariância por translação).

Parte IV — O teorema de classificação.

Reúna as Partes I–III num teorema: toda quádrica de $\R^3$ é levada por um movimento rígido sobre exatamente uma forma normal. Liste os dezessete tipos afins (conte as variantes vazias e os conjuntos degenerados) e destaque as nove superfícies quádricas: elipsoide, hiperboloides de uma e de duas folhas, cone, paraboloides elíptico e hiperbólico, cilindros elíptico, hiperbólico e parabólico.
Escreva o algoritmo de classificação: dados $(A, b, c)$ , que quantidades você calcula, em que ordem, e qual ramificação decide qual tipo? Justifique que cada passo é efetivo (autovalores de uma matriz $3\times3$ simétrica, posto, resolubilidade de $A\Omega = -b$ ).
Rode o algoritmo em $x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 2yz - 2zx = 1$ : mostre que $A = 2I - J$ tem espectro $\{2, 2, -1\}$ e conclua: um hiperboloide de uma folha de revolução em torno de $\R(1,1,1)$ .
Rode-o em $x^2 + y^2 - z^2 - 2x + 4y + 2z + 4 = 0$ : determine o centro e identifique a quádrica.
Rode-o em $x^2 + 4xy + y^2 = 2z$ : diagonalize o bloco $xy$ ( $u = \frac{x+y}{\sqrt2}$ , $v = \frac{x-y}{\sqrt2}$ ) e identifique a quádrica.
Euclidiano contra afim. Mostre que duas quádricas centrais em forma normal são rigidamente equivalentes se e somente se têm as mesmas listas de coeficientes (a menos de permutação e de um escalar positivo comum sobre a equação), enquanto afimmente só sobrevivem os dados de assinatura: todo elipsoide é imagem afim da esfera redonda. Que teorema garante que a assinatura não pode mudar pelo caminho (Teorema 12.6)?

Parte V — Dividendos.

Mostre que toda seção de uma quádrica por um plano afim é uma cônica (possivelmente degenerada) desse plano. Identifique as seções da sela $z = xy$ pelos planos $z = c$ ( $c \neq 0$ e $c = 0$ ).
Que superfícies quádricas contêm retas? Mostre que o elipsoide, o hiperboloide de duas folhas e o paraboloide elíptico não contêm nenhuma (restrinja $q$ a uma reta e use a desigualdade de Cauchy–Schwarz para o caso de duas folhas); que cone e cilindros são regrados por uma família; e conclua que as superfícies quádricas duplamente regradas são exatamente o hiperboloide de uma folha e o paraboloide hiperbólico.
Quando se quer apenas o tipo afim, a redução de Gauss (Teorema 12.5) é mais barata que diagonalizar. Refaça a questão 17 com o algoritmo de Gauss e confira a assinatura $(2, 1)$ ; que informação euclidiana Gauss perde?
Todos os autovalores de uma matriz simétrica são reais; mostre que, em consequência, os sinais dos autovalores de $A$ podem ser lidos no polinômio característico pela regra dos sinais de Descartes, e verifique-o na questão 6: $\chi_A(\lambda) = \lambda^3 - 3\lambda^2 - 9\lambda - 5$ tem exatamente uma mudança de sinal, logo assinatura $(1, 2)$ .
Síntese. Resuma o algoritmo em algumas linhas; enuncie o papel exato desempenhado (i) pelo teorema espectral, (ii) pela equação do centro $A\Omega = -b$ , (iii) pelo teorema da inércia de Sylvester, (iv) pela redução de Gauss. O que a mesma máquina dá em $\R^2$ , e o que muda em $\R^n$ ?

Solução

Solução de Problema 19.1.

1. Desenvolvendo, e usando a simetria de $A$ ( $t^{\mathsf T}\!APY = (At)^{\mathsf T}PY$ ):

q(PY + t) = Y^{\mathsf T}P^{\mathsf T}\!APY + 2\,(At + b)^{\mathsf T}PY + \bigl(t^{\mathsf T}\!At + 2b^{\mathsf T}t + c\bigr),

que é a tripla exibida. $A' = P^{\mathsf T}\!AP = P^{-1}AP$ é semelhante a $A$ : mesmo polinômio característico, mesmo espectro, mesmo posto, mesma assinatura. Por fim, $\{q = 0\} = \{sq = 0\}$ para $s \neq 0$ , de modo que só a equação a menos de um escalar está ligada ao conjunto; multiplicar por $s$ multiplica todos os autovalores por $s$ .

2. O teorema espectral fornece $P \in O(3)$ com $P^{\mathsf T}\!AP = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$ ; a questão 1 com $t = 0$ transforma a equação em $\sum\lambda_iy_i^2 + 2\sum\beta_iy_i + c = 0$ , em que $\beta = P^{\mathsf T}b$ .

3. Para $\lambda_i \neq 0$ : $\lambda_iy_i^2 + 2\beta_iy_i = \lambda_i\bigl(y_i + \frac{\beta_i}{\lambda_i}\bigr)^2 - \frac{\beta_i^2}{\lambda_i}$ ; a translação $z_i = y_i + \beta_i/\lambda_i$ (e $z_i = y_i$ para $i > r$ ) dá

\sum_{i \leq r}\lambda_iz_i^2 + 2\sum_{i > r}\beta_iz_i + c'' = 0, \qquad c'' = c - \sum_{i\leq r}\frac{\beta_i^2}{\lambda_i}.

4. $q(2\Omega - X) = (2\Omega - X)^{\mathsf T} A(2\Omega - X) + 2b^{\mathsf T}(2\Omega - X) + c$ ; desenvolvendo e subtraindo $q(X)$ , os termos quadráticos se cancelam e

q(2\Omega - X) - q(X) = -4\,\langle A\Omega + b,\ X\rangle + 4\,\langle A\Omega + b,\ \Omega\rangle .

Se $A\Omega + b = 0$ , isso se anula identicamente: a simetria pontual preserva $q$ , logo a quádrica. Reciprocamente, “ $q(2\Omega - X) = q(X)$ para todo $X$ ” diz que a função afim acima se anula em todo $\R^3$ , o que força sua parte linear $A\Omega + b$ a ser nula. Assim, centros $=$ soluções de $A\Omega = -b$ : um conjunto não vazio se e somente se $b \in \operatorname{im}A$ (um subespaço afim dirigido por $\ker A$ ), e um único ponto se e somente se $A$ é invertível.

5. Assinatura $(3,0)$ (todos os $\lambda_i > 0$ ): $\delta > 0$ dá $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ com $a = \sqrt{\delta/\lambda_1}$ etc. — um elipsoide; $\delta = 0$ : o único ponto $O$ ; $\delta < 0$ : vazio. Assinatura $(2,1)$ ( $\lambda_1, \lambda_2 > 0 > \lambda_3$ ): $\delta > 0$ : $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ , o hiperboloide de uma folha; $\delta = 0$ : o cone $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z^2}{c^2}$ ; $\delta < 0$ : $\frac{z^2}{c^2} - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ , o hiperboloide de duas folhas ( $\abs z \geq c$ : duas componentes).

6. A parte quadrática tem matriz $A$ com diagonal $1$ e fora da diagonal $2$ : $A = 2J - I$ . Como $J$ tem espectro $\{3, 0, 0\}$ (autovetor $(1,1,1)$ para $3$ ), $A$ tem espectro $\{5, -1, -1\}$ , sendo o autovalor $5$ carregado por $\R(1,1,1)$ . Nas coordenadas rodadas: $5u^2 - v^2 - w^2 = 1$ , isto é, $\frac{u^2}{1/5} - v^2 - w^2 = 1$ : um hiperboloide de duas folhas, de revolução (autovalores iguais $-1$ ) em torno do eixo $\R(1,1,1)$ .

7. A superfície é $\bigl(\frac xa - \frac zc\bigr)\bigl(\frac xa + \frac zc\bigr) = \bigl(1 - \frac yb\bigr)\bigl(1 + \frac yb\bigr)$ . Para $(\lambda : \mu) \neq (0:0)$ defina a reta

D_{\lambda:\mu} :\quad \lambda\Bigl(\frac xa - \frac zc\Bigr) = \mu\Bigl(1 - \frac yb\Bigr), \qquad \mu\Bigl(\frac xa + \frac zc\Bigr) = \lambda\Bigl(1 + \frac yb\Bigr)

(duas equações afins independentes: uma reta). Multiplicando as duas equações vê-se que todo ponto de $D_{\lambda:\mu}$ está sobre a superfície quando $\lambda\mu \neq 0$ ; os casos $\lambda = 0$ ou $\mu = 0$ verificam-se diretamente (por exemplo $\lambda = 0$ : $y = b$ , $\frac xa = -\frac zc$ , o que satisfaz a equação). A segunda família $D'_{\lambda:\mu}$ troca os dois fatores do membro da direita.

8. Fixe $M$ sobre a superfície. As condições para $M \in D_{\lambda:\mu}$ formam um sistema linear homogêneo $2\times2$ em $(\lambda, \mu)$ cujo determinante vale

\Bigl(\frac{x^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2}\Bigr) - \Bigl(1 - \frac{y^2}{b^2}\Bigr) = 0

precisamente porque $M$ está sobre a quádrica: existe uma solução não trivial $(\lambda : \mu)$ . A matriz de coeficientes nunca é nula (isso forçaria $1 - \frac yb = 1 + \frac yb = 0$ ), de modo que seu posto é $1$ e a solução é única a menos de escala: exatamente uma reta da família passa por $M$ . O mesmo vale para a segunda família, e as duas retas são distintas (em $(a, 0, 0)$ elas são $\{x = a,\ \frac zc = \frac yb\}$ e $\{x = a,\ \frac zc = -\frac yb\}$ ): o hiperboloide de uma folha é duplamente regrado.

9. Seja $M = (x, y, z)$ sobre o hiperboloide, $\rho^2 = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 + \frac{z^2}{c^2} \geq 1$ . O ponto $N = (x,\ y,\ \varepsilon c\rho)$ com $\varepsilon$ o sinal de $z$ satisfaz $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{(c\rho)^2}{c^2} = 0$ : $N \in C$ , e

d(M, C) \leq \abs{z - \varepsilon c\rho} = c\bigl(\rho - \sqrt{\rho^2 - 1}\bigr) = \frac{c}{\rho + \sqrt{\rho^2 - 1}} .

Se $\norm M \to \infty$ , então $\rho \to \infty$ (as três coordenadas são limitadas por múltiplos de $\rho$ ), logo $d(M, C) \to 0$ . A seção $x = a$ : $\frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$ , o par de retas concorrentes da questão 8 — e do mesmo modo em $x = -a$ .

10. Com $\lambda_3 = 0$ , a questão 3 deixa $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 + c'' = 0$ . Na base de autovetores, $\operatorname{im}A = \operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ , de modo que, pela questão 4, existem centros se e somente se $\beta_3 = 0$ . Se $\beta_3 \neq 0$ : a translação $z_3 \mapsto z_3 - c''/(2\beta_3)$ elimina a constante, deixando $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 = 0$ , isto é, $z_3 = px^2 + qy^2$ após renomear: um paraboloide elíptico se $\lambda_1\lambda_2 > 0$ , um paraboloide hiperbólico se $\lambda_1\lambda_2 < 0$ — e, de fato, nenhum centro. Se $\beta_3 = 0$ : a equação $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + c'' = 0$ não envolve $z_3$ : a quádrica é um cilindro sobre a cônica plana correspondente — cilindro elíptico, reta ou conjunto vazio quando $\lambda_1\lambda_2 > 0$ ; cilindro hiperbólico ou par de planos concorrentes quando $\lambda_1\lambda_2 < 0$ — com toda uma reta de centros $\{(z_1^*, z_2^*)\} \times \R$ .

11. $xy - z = 0$ . Substituindo $x = \frac{u + v}{\sqrt2}$ , $y = \frac{u - v}{\sqrt2}$ (rotação de $\pi/4$ ): $xy = \frac{u^2 - v^2}2$ , de modo que a equação se torna $z = \frac12(u^2 - v^2)$ : um paraboloide hiperbólico — a sela da figura, a menos do fator $\frac12$ .

12. A reta $\{x = x_0,\ z = x_0y\}$ (parametrizada por $y$ ) está claramente sobre $z = xy$ , assim como $\{y = y_0,\ z = xy_0\}$ ; por $(x_0, y_0, x_0y_0)$ passam as duas. Unicidade: se $t \mapsto (x_0 + tv_1, y_0 + tv_2, z_0 + tv_3)$ permanece sobre a superfície, o coeficiente de $t^2$ em $(x_0 + tv_1)(y_0 + tv_2) - z_0 - tv_3$ dá $v_1v_2 = 0$ , logo $v_1 = 0$ ou $v_2 = 0$ , caindo em uma das duas famílias: uma reta de cada uma por cada ponto — a segunda quádrica duplamente regrada.

13. Completando os quadrados: $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 2$ , sem condição alguma sobre $z$ : um cilindro circular reto de raio $\sqrt2$ e eixo a reta vertical $\{(1, -2, z) : z \in \R\}$ — uma reta de centros, como a questão 10 prevê.

14. Com $\lambda_2 = \lambda_3 = 0$ , a equação reduzida é $\lambda_1z_1^2 + 2\beta_2z_2 + 2\beta_3z_3 + c'' = 0$ . Uma rotação do plano do núcleo $(z_2, z_3)$ alinha a forma linear: $2\beta_2z_2 + 2\beta_3z_3 = 2\beta w$ com $\beta = \sqrt{\beta_2^2 + \beta_3^2}$ . Se $\beta \neq 0$ , transladar $w$ absorve $c''$ : $\lambda_1z_1^2 + 2\beta w = 0$ , um cilindro parabólico; se $\beta = 0$ : $\lambda_1z_1^2 = -c''$ dá dois planos paralelos ( $c'' \lambda_1 < 0$ ), um plano duplo ( $c'' = 0$ ) ou o conjunto vazio. Para $(x + y)^2 = z$ : com $u = \frac{x + y}{\sqrt2}$ a equação se lê $z = 2u^2$ : um cilindro parabólico, invariante por translações ao longo de $(1, -1, 0)$ .

15. Toda quádrica é levada por uma rotação mais translações sobre uma de: (posto 3) elipsoide, ponto, conjunto vazio, hiperboloide de uma folha, cone, hiperboloide de duas folhas; (posto 2) paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico, cilindro elíptico, reta, conjunto vazio, cilindro hiperbólico, par de planos concorrentes; (posto 1) cilindro parabólico, par de planos paralelos, plano duplo, conjunto vazio. Identificando as três variantes vazias como tipos afins distintos de equações, a contagem é dezessete; entre eles nove são superfícies de verdade: elipsoide, os dois hiperboloides, o cone, os dois paraboloides e os três cilindros.

16. Algoritmo. (i) Leia $(A, b, c)$ ; calcule o polinômio característico de $A$ , seus autovalores (reais, pelo teorema espectral) e $r = \operatorname{rank}A$ . (ii) Resolva $A\Omega = -b$ (eliminação gaussiana): solúvel ou não — há centros ou não. (iii) Se for solúvel, transladar para um centro: a equação se torna $\sum\lambda_iz_i^2 + c'' = 0$ com $c'' = c + \langle b, \Omega\rangle$ ; classifique por $r$ , pela assinatura e pelo sinal de $c''$ , usando as questões 5, 10 e 14. (iv) Se não for solúvel ( $r \leq 2$ ), rode e reduza como nas questões 10 e 14: paraboloide ( $r = 2$ ) ou cilindro parabólico ( $r = 1$ ), elíptico/hiperbólico conforme o sinal de $\lambda_1\lambda_2$ . Cada passo é um cálculo finito: raízes de uma cúbica de raízes reais, postos, sistemas lineares.

17. $A$ tem diagonal $1$ e fora da diagonal $-1$ : $A = 2I - J$ , espectro $\{2 - 3,\ 2,\ 2\} = \{-1, 2, 2\}$ com $-1$ em $\R(1,1,1)$ . Assinatura $(2,1)$ , $b = 0$ , membro da direita $\delta = 1 > 0$ : $2u^2 + 2v^2 - w^2 = 1$ , um hiperboloide de uma folha de revolução em torno do eixo $\R(1,1,1)$ .

18. Complete os quadrados: $(x-1)^2 + (y+2)^2 - (z-1)^2 + (-1 - 4 + 1 + 4) = 0$ , isto é,

(x-1)^2 + (y+2)^2 = (z-1)^2 :

a constante desapareceu — um cone circular reto de vértice (e centro único) $(1, -2, 1)$ e eixo paralelo a $Oz$ .

19. A parte quadrática $x^2 + 4xy + y^2$ tem matriz $\left(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{smallmatrix}\right)$ (no plano $xy$ ), autovalores $3$ (em $(1,1)$ ) e $-1$ (em $(1,-1)$ ): com $u = \frac{x+y}{\sqrt2}$ , $v = \frac{x-y}{\sqrt2}$ ela vale $3u^2 - v^2$ , e a quádrica é

z = \tfrac32u^2 - \tfrac12v^2 :

um paraboloide hiperbólico ( $A$ tem posto $2$ e $b$ tem uma componente ao longo de $\ker A = \R e_z$ : sem centro).

20. Um movimento rígido transforma os dados da equação por $A \mapsto P^{\mathsf T}\!AP$ (mesmos autovalores) e as formas normais não têm liberdade residual além de permutar coordenadas e multiplicar a equação inteira por um escalar ( $> 0$ para preservar a escrita): duas formas normais centrais coincidem a menos de isometria se e somente se as listas de coeficientes coincidem a menos de permutação e de um fator positivo comum — para o elipsoide, se e somente se os semieixos $(a, b, c)$ coincidem. Afimmente, pode-se também escalonar cada coordenada separadamente ( $z_i \mapsto z_i\sqrt{\abs {\lambda_i}}$ ), o que apaga os autovalores e deixa apenas seus sinais: todo elipsoide se torna $u^2 + v^2 + w^2 = 1$ , a esfera. O teorema da inércia de Sylvester (Teorema 12.6) garante que a assinatura sobrevive a qualquer mudança linear invertível: os tipos afins da questão 15 são genuinamente distintos.

21. Parametrize o plano afimmente: $M = P + su + tv$ . Então $q(P + su + tv)$ é um polinômio de grau $\leq 2$ em $(s, t)$ (desenvolva a forma quadrática bilinearmente), de modo que a seção $\{q = 0\}$ é uma cônica do plano, possivelmente degenerada. Para $z = xy$ e o plano $z = c$ : $xy = c$ , uma hipérbole para $c \neq 0$ e, para $c = 0$ , as duas retas coordenadas — o par de geratrizes pela origem.

22. Elipsoide: limitado, não contém reta alguma. Hiperboloide de duas folhas $\frac{z^2}{c^2} - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ : restrinja a $p + tv$ ; o coeficiente de $t^2$ , $\frac{v_3^2}{c^2} - \frac{v_1^2}{a^2} - \frac{v_2^2}{b^2}$ , tem de se anular, logo $v_3 \neq 0$ (senão $v = 0$ ); o coeficiente de $t$ dá $\frac{p_3v_3}{c^2} = \frac{p_1v_1}{a^2} + \frac{p_2v_2}{b^2}$ e Cauchy–Schwarz fornece

\frac{p_3^2}{c^2} = \frac{c^2}{v_3^2}\Bigl(\frac{p_1v_1}{a^2} + \frac{p_2v_2}{b^2}\Bigr)^2 \leq \frac{c^2}{v_3^2}\Bigl(\frac{p_1^2}{a^2} + \frac{p_2^2}{b^2}\Bigr)\frac{v_3^2}{c^2} = \frac{p_1^2}{a^2} + \frac{p_2^2}{b^2},

de modo que o termo constante é $\leq 0 \neq 1$ : nenhuma reta. Paraboloide elíptico $z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ : o coeficiente de $t^2$ força $v_1 = v_2 = 0$ e então a equação é linear não constante em $t$ : nenhuma reta. Cone $x^2 + y^2 = z^2$ : uma reta sobre ele satisfaz $q(p) = q(v) = B(p, v) = 0$ para a forma de Lorentz; a igualdade na desigualdade de Cauchy–Schwarz plana $\abs{p_1v_1 + p_2v_2} = \abs{p_3v_3} = \sqrt{(p_1^2 + p_2^2)(v_1^2 + v_2^2)}$ força $(p_1, p_2) \parallel (v_1, v_2)$ e então $p = kv$ : todas as retas passam pelo vértice — uma só família. Cilindros: para os cilindros elíptico e parabólico o coeficiente de $t^2$ força $v_1 = v_2 = 0$ (só as geratrizes); para o cilindro hiperbólico $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ , $\frac{v_1}a = \pm \frac{v_2}b$ com $v_2 \neq 0$ leva, pelo coeficiente de $t$ , a $\frac{p_1^2}{a^2} = \frac{p_2^2}{b^2}$ , contradizendo o termo constante $1$ : de novo só as geratrizes verticais. Assim, as superfícies quádricas duplamente regradas são exatamente o hiperboloide de uma folha e o paraboloide hiperbólico.

23. Gauss: $x^2 - 2xy - 2zx = (x - y - z)^2 - y^2 - z^2 - 2yz$ , logo

q = (x - y - z)^2 - 4yz = (x - y - z)^2 + (y - z)^2 - (y + z)^2 :

três quadrados independentes com sinais $(+, +, -)$ — assinatura $(2, 1)$ , coincidindo com a questão 17, sem cálculo algum de autovalores. Gauss perde os dados métricos: as novas coordenadas não são ortonormais, de modo que os autovalores (a forma do hiperboloide, seus eixos e seus comprimentos) se foram; só resta o tipo afim.

24. Sejam $p$ , $n$ , $z$ os números de autovalores positivos, negativos e nulos, $p + n + z = 3$ . A regra de Descartes limita $p$ pelo número $V$ de mudanças de sinal de $\chi_A$ , e $n$ pelo número $V'$ de mudanças de sinal de $\chi_A(-\lambda)$ ; além disso, cada par de coeficientes não nulos consecutivos produz uma mudança em exatamente um dos dois polinômios, de modo que $V + V' \leq 3 - z$ (as raízes nulas são visíveis como coeficientes finais que se anulam). Então $p + n = 3 - z \geq V + V' \geq p + n$ : igualdade, logo $p = V$ exatamente — os sinais dos autovalores podem ser lidos diretamente. Para $\chi_A(\lambda) = \lambda^3 - 3\lambda^2 - 9\lambda - 5$ : os sinais $+,-,-,-$ dão $V = 1$ , e $\chi_A(-\lambda) = -\lambda^3 - 3\lambda^2 + 9\lambda - 5$ tem sinais $-,-,+,-$ : $V' = 2$ . Assinatura $(1, 2)$ — coerente com a fatoração exata $\chi_A = (\lambda - 5)(\lambda + 1)^2$ da questão 6.

25. Algoritmo: diagonalizar ortonormalmente a parte quadrática (teorema espectral: esse é o único passo analiticamente profundo, e é o que torna a classificação euclidiana); resolver $A\Omega = -b$ para decidir entre tipos centrais e parabólicos e para eliminar por translação a parte linear quando possível (geometria afim); ler o tipo a partir do posto, da assinatura e da constante (Sylvester garante que esses são invariantes); quando só importa o tipo afim, a redução de Gauss substitui o teorema espectral ao custo da informação métrica. Em $\R^2$ a mesma máquina classifica as cônicas: elipse, hipérbole, parábola, mais pares de retas, uma reta, um ponto e conjuntos vazios. Em $\R^n$ nada muda a não ser a contabilidade: os tipos são indexados pela assinatura de $A$ , pela posição de $b$ em relação a $\operatorname{im}A$ e por uma constante — com a matriz orlada de dimensão $(n{+}2)$ de $(A, b, c)$ fornecendo um invariante compacto.

19.1 Superfícies parametrizadas

19.2 Plano tangente e normal

19.3 A primeira forma fundamental

19.4 Exercícios

19.5 Problema: a classificação das quádricas de R3\R^3R3

19.5 Problema: a classificação das quádricas de $\R^3$