O que é Área? — Matemática

Definição 43.5 Matemática do ensino fundamental · Capítulo 43 — Perímetro, área e volume

A área de uma figura mede a superfície que ela cobre: quantos quadrados unitários cabem dentro dela. Unidades: cm $^2$ (um quadrado de lado $1$ cm), m $^2$ , km $^2$ , … Cuidado:

1 \text{ m}^2 = 100 \times 100 \text{ cm}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2

— um metro quadrado é um quadrado de $100$ cm por $100$ cm, então cada degrau da escada de unidades vale $100$ , e não $10$ .

$A área de um retângulo: 7 colunas de 4 quadrados unitários cada uma, logo 7 × 4 = 28 quadrados ao todo. É por isso que a área é comprimento × largura.$

A área de um retângulo:

7

colunas de

4

quadrados unitários cada uma, logo

7 \times 4 = 28

quadrados ao todo. É por isso que a área é comprimento

\times

largura.

Exemplos

Exemplo 43.7 (Figuras compostas)

Um cômodo em forma de L é um retângulo de $6$ m $\times$ $4$ m com um canto quadrado de $2$ m $\times$ $2$ m retirado. A área dele, passo a passo:

retângulo inteiro: $6 \times 4 = 24$ m $^2$ ;
quadrado retirado: $2 \times 2 = 4$ m $^2$ ;
área que sobra: $24 - 4 = 20$ m $^2$ .

O perímetro dele não é $20$ de coisa nenhuma: percorrendo o L, o contorno continua medindo $6 + 4 + 6 + 4 = 20$ m — os dois cortes do canto substituem dois pedaços iguais de parede. O mesmo número por coincidência, mas metros quadrados num caso e metros no outro!

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Definição 19.20 Matemática universitária — Graduação 2 · Capítulo 19 — Superfícies

Sejam $\sigma \colon U \to \R^3$ uma superfície $\mathcal{C}^1$ regular e injetiva e $K \subseteq U$ um domínio compacto sobre o qual as integrais duplas façam sentido (Capítulo 20). A área do pedaço $\sigma(K)$ é

\mathcal{A} = \iint_K \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v = \iint_K \sqrt{EG - F^2}\;\dd u\,\dd v .

$A sela z = x2 - y2 perto da origem, com suas curvas coordenadas (curvas u em azul, curvas v em verde), o plano tangente em M_0 = (0,0,0) (tracejado) e a normal unitária n. A superfície atravessa seu plano tangente — o análogo bidimensional de uma inflexão.$

Figura 19.1. A sela

z = x^2 - y^2

perto da origem, com suas curvas coordenadas (curvas

u

em azul, curvas

v

em verde), o plano tangente em

M_0 = (0,0,0)

(tracejado) e a normal unitária

n

. A superfície atravessa seu plano tangente — o análogo bidimensional de uma inflexão.

Quatro das nove superfícies quádricas classificadas no problema de fim de semana, esboçadas por suas silhuetas e uma curva de nível (vermelho): o elipsoide limitado, o hiperboloide de uma folha duplamente regrado com sua cintura, a tigela do paraboloide elíptico e a sela, cujas duas seções parabólicas se dobram em sentidos opostos.

Exemplos

Exemplo 19.22 (Dois gráficos diferentes, uma só área)

Sobre o disco unitário, compare a tigela $z = \frac12(x^2 + y^2)$ e a sela $z = xy$ . Seus integrandos de área (Exercício 19.5) são

\sqrt{1 + x^2 + y^2} \qquad\text{e}\qquad \sqrt{1 + y^2 + x^2} :

idênticos. As duas superfícies — uma se curvando do mesmo modo em todas as direções, a outra em forma de sela — têm exatamente as mesmas áreas sobre todo domínio, $\frac{2\pi}3(2\sqrt2 - 1)$ sobre o disco unitário. O elemento de área só enxerga o comprimento do gradiente, não a disposição da flexão; distinguir a tigela da sela exige dados de segunda ordem (a estrutura de sinais exibida no Figura 19.1), que nenhuma medida de área detecta. Primeira forma fundamental: métrica, cega à forma; a segunda forma, que vê a forma, pertence ao terceiro ano.

Exemplo 19.23 (Área da esfera)

Para a carta esférica de Exemplo 19.2:

\sigma_\theta = R(-\sin\theta\cos\varphi,\ \cos\theta\cos\varphi,\ 0), \qquad \sigma_\varphi = R(-\cos\theta\sin\varphi,\ -\sin\theta\sin\varphi,\ \cos\varphi),

logo $E = R^2\cos^2\varphi$ , $F = 0$ , $G = R^2$ e $\sqrt{EG - F^2} = R^2\cos\varphi$ . Portanto

\mathcal{A} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!\!\int_0^{2\pi} R^2\cos\varphi\;\dd\theta\,\dd\varphi = 2\pi R^2\,\bigl[\sin\varphi\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \boxed{4\pi R^2} .

Exemplo 19.24 (O cone, conferido contra a fórmula da escola)

Para o cone $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ sobre a coroa $a \leq \rho \leq b$ , a fórmula do gráfico do Exercício 19.5 dá $1 + f_x^2 + f_y^2 = 2$ (calcule $f_x = x/\rho$ , $f_y = y/\rho$ ), logo

\mathcal A = \sqrt2\,\pi\,(b^2 - a^2) .

Verificação de coerência com a fórmula da geratriz $\pi\rho\ell$ do Exemplo 19.26: os cones completos de raios de base $b$ e $a$ têm áreas laterais $\pi b\cdot b\sqrt2$ e $\pi a\cdot a\sqrt2$ , cuja diferença é exatamente $\sqrt2\pi(b^2 - a^2)$ . Duas cartas, duas fórmulas, uma só área — a invariância demonstrada no Exercício 19.8, vista em pleno funcionamento.

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Exemplos

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