Mathematics · Livro 2 · Grades 10–12

Matemática do ensino médio

Matemática do ensino médio · Grades 10–12

16O produto escalar no plano

O produto escalar associa um número a um par de vetores, e esse número enxerga geometria: ele se anula exatamente em direções perpendiculares e mede ângulos e comprimentos. É o motor por trás da lei dos cossenos, das equações de círculos e dos cálculos de perpendicularidade. A mesma ferramenta, no espaço, é assunto do Capítulo 31.

16.1 Definição e primeiros cálculos

Definição 16.1 (Produto escalar)

O produto escalar de dois vetores u⃗\vec u e v⃗\vec v é o número

u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2),\vec u \cdot \vec v = \tfrac12\left(\norm{\vec u + \vec v}^2 - \norm{\vec u}^2 - \norm{\vec v}^2\right),

onde ∥u⃗∥\norm{\vec u} denota o comprimento (norma) de u⃗\vec u.

Teorema 16.2 (As quatro faces do produto escalar)

Sejam u⃗ (x,y)\vec u\,(x, y) e v⃗ (x′,y′)\vec v\,(x', y') vetores não nulos e seja θ\theta o ângulo entre eles. Então

  1. (coordenadas) u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec u \cdot \vec v = xx' + yy';
  2. (cosseno) u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ\vec u \cdot \vec v = \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta;
  3. (projeção) u⃗⋅v⃗=u⃗⋅v⃗′\vec u \cdot \vec v = \vec u \cdot \vec v', onde v⃗′\vec v' é a projeção ortogonal de v⃗\vec v sobre a direção de u⃗\vec u; se u⃗=OA→\vec u = \vect{OA} e v⃗=OB→\vec v = \vect{OB}, então u⃗⋅v⃗=OA‾×OH‾\vec u \cdot \vec v = \overline{OA} \times \overline{OH}, um produto de comprimentos com sinal, em que HH é o pé da perpendicular baixada de BB à reta (OA)(OA);
  4. (normas) a fórmula que define o produto na Definição 16.1.

Demonstração de 1 e 2. 1. Em coordenadas, ∥u⃗∥2=x2+y2\norm{\vec u}^2 = x^2 + y^2 (Pitágoras) e u⃗+v⃗\vec u + \vec v tem coordenadas (x+x′,y+y′)(x + x', y + y'), logo

2 u⃗⋅v⃗=(x+x′)2+(y+y′)2−(x2+y2)−(x′2+y′2)=2xx′+2yy′,\begin{align*} 2\,\vec u \cdot \vec v &= (x + x')^2 + (y + y')^2 - (x^2 + y^2) - (x'^2 + y'^2)\\ &= 2xx' + 2yy', \end{align*}

depois de expandir os quadrados e cancelar.

2. Escolha o sistema de coordenadas de modo que u⃗\vec u aponte ao longo do semieixo xx positivo: u⃗ (∥u⃗∥,0)\vec u\,(\norm{\vec u}, 0) e v⃗ (∥v⃗∥cos⁡θ, ∥v⃗∥sin⁡θ)\vec v\,(\norm{\vec v}\cos\theta,\ \norm{\vec v}\sin\theta) (Capítulo 14). A fórmula 1 dá então u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ+0\vec u \cdot \vec v = \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta + 0. A fórmula 3 lê-se no mesmo cálculo: a projeção de v⃗\vec v sobre o eixo xx tem comprimento com sinal ∥v⃗∥cos⁡θ=OH‾\norm{\vec v}\cos\theta = \overline{OH}. ∎

A visão por projeção: u v = OA × OH, em que H é o pé da perpendicular baixada da ponta de v. O segmento laranja OH tem comprimento com sinal v.
A visão por projeção: u⃗⋅v⃗=OA‾×OH‾\vec u \cdot \vec v = \overline{OA} \times \overline{OH}, em que HH é o pé da perpendicular baixada da ponta de v⃗\vec v. O segmento laranja OHOH tem comprimento com sinal ∥v⃗∥cos⁡θ\norm{\vec v}\cos\theta.

Exemplo 16.3

u⃗ (3,1)\vec u\,(3, 1) e v⃗ (2,−4)\vec v\,(2, -4): u⃗⋅v⃗=6−4=2\vec u \cdot \vec v = 6 - 4 = 2. As normas são ∥u⃗∥=10\norm{\vec u} = \sqrt{10} e ∥v⃗∥=20\norm{\vec v} = \sqrt{20}, de modo que cos⁡θ=21020=2102=210\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{10}\sqrt{20}} = \frac{2}{10\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{10}: o ângulo é um pouco menor que 82∘82^\circ.

Proposição 16.4 (Regras algébricas)

Para todos os vetores e todo λ∈R\lambda \in \R:

u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗,u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗,(λu⃗)⋅v⃗=λ (u⃗⋅v⃗),\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u, \qquad \vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w, \qquad (\lambda \vec u)\cdot \vec v = \lambda\,(\vec u \cdot \vec v),
u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2,∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2.\vec u \cdot \vec u = \norm{\vec u}^2, \qquad \norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\,\vec u\cdot\vec v + \norm{\vec v}^2 .

Demonstração. Todas seguem da fórmula em coordenadas: por exemplo, u⃗⋅(v⃗+w⃗)=x(x′+x′′)+y(y′+y′′)=(xx′+yy′)+(xx′′+yy′′)\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = x(x' + x'') + y(y' + y'') = (xx' + yy') + (xx'' + yy''). A última identidade expande ∥u⃗+v⃗∥2=(u⃗+v⃗)⋅(u⃗+v⃗)\norm{\vec u + \vec v}^2 = (\vec u + \vec v)\cdot(\vec u + \vec v) usando as três primeiras regras — o produto escalar comporta-se exatamente como um produto comum, de modo que as identidades algébricas de sempre valem para vetores. ∎

16.2 Ortogonalidade

Definição 16.5 (Vetores ortogonais)

Dois vetores são ortogonais, o que se escreve u⃗⊥v⃗\vec u \perp \vec v, se u⃗⋅v⃗=0\vec u \cdot \vec v = 0.

Observação 16.6

Para vetores não nulos, a fórmula 2 do Teorema 16.2 mostra que u⃗⋅v⃗=0  ⟺  cos⁡θ=0  ⟺  \vec u \cdot \vec v = 0 \iff \cos\theta = 0 \iff as direções são perpendiculares. O vetor nulo é ortogonal a tudo.

Exemplo 16.7

u⃗ (3,2)\vec u\,(3, 2) e v⃗ (−4,6)\vec v\,(-4, 6): u⃗⋅v⃗=−12+12=0\vec u \cdot \vec v = -12 + 12 = 0: ortogonais. Em geral, u⃗ (a,b)\vec u\,(a, b) é sempre ortogonal a v⃗ (−b,a)\vec v\,(-b, a) — uma rotação de um quarto de volta.

16.3 A lei dos cossenos

Teorema 16.8 (Lei dos cossenos)

Em um triângulo ABCABC de lados a=BCa = BC, b=CAb = CA, c=ABc = AB e ângulo A^\widehat A no vértice AA:

a2=b2+c2−2bc cos⁡A^.a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\,\cos\widehat A .

Demonstração. Escreva BC→=BA→+AC→=AC→−AB→\vect{BC} = \vect{BA} + \vect{AC} = \vect{AC} - \vect{AB} e expanda com a Proposição 16.4:

a2=∥BC→∥2=∥AC→∥2−2 AC→⋅AB→+∥AB→∥2=b2+c2−2 AB→⋅AC→.a^2 = \norm{\vect{BC}}^2 = \norm{\vect{AC}}^2 - 2\,\vect{AC}\cdot\vect{AB} + \norm{\vect{AB}}^2 = b^2 + c^2 - 2\,\vect{AB}\cdot\vect{AC}.

Pela fórmula do cosseno, AB→⋅AC→=c b cos⁡A^\vect{AB}\cdot\vect{AC} = c\,b\,\cos\widehat A. ∎

Observação 16.9

Quando A^\widehat A é reto, cos⁡A^=0\cos\widehat A = 0 e a lei dos cossenos se reduz ao teorema de Pitágoras a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2: é Pitágoras com um termo de correção para ângulos não retos.

A lei dos cossenos: conhecer dois lados b, c e o ângulo entre eles determina o terceiro lado a.
A lei dos cossenos: conhecer dois lados bb, cc e o ângulo entre eles determina o terceiro lado aa.

Exemplo 16.10

Dois lados de um triângulo medem b=5b = 5 e c=8c = 8 e formam um ângulo A^=π3\widehat A = \frac\pi3. Então

a2=25+64−2×5×8×12=89−40=49,a^2 = 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times \frac12 = 89 - 40 = 49,

logo a=7a = 7.

16.4 Aplicações: círculos e retas perpendiculares

Proposição 16.11 (Círculo de diâmetro dado)

Um ponto MM está no círculo de diâmetro [AB][AB] se, e somente se,

MA→⋅MB→=0.\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0 .

Demonstração. Se M≠A,BM \neq A, B, a condição diz que o ângulo em MM no triângulo AMBAMB é reto, e os pontos que veem um segmento sob ângulo reto são exatamente os do círculo que tem esse segmento como diâmetro. Eis uma demonstração direta: seja OO o ponto médio de [AB][AB] e r=AB2r = \frac{AB}{2}. Então MA→=MO→+OA→\vect{MA} = \vect{MO} + \vect{OA} e MB→=MO→+OB→=MO→−OA→\vect{MB} = \vect{MO} + \vect{OB} = \vect{MO} - \vect{OA}, logo

MA→⋅MB→=∥MO→∥2−∥OA→∥2=MO2−r2,\vect{MA}\cdot\vect{MB} = \norm{\vect{MO}}^2 - \norm{\vect{OA}}^2 = MO^2 - r^2,

que se anula exatamente quando MO=rMO = r, isto é, quando MM está no círculo de centro OO e raio rr. ∎

Proposição 16.12 (Vetor normal de uma reta)

O vetor n⃗ (a,b)\vec n\,(a, b) é ortogonal a todo vetor diretor da reta d:ax+by+c=0d : ax + by + c = 0; diz-se que n⃗\vec n é um vetor normal de dd. Duas retas são perpendiculares exatamente quando seus vetores normais (ou diretores) são ortogonais.

Demonstração. Um vetor diretor de dd é u⃗ (−b,a)\vec u\,(-b, a) (Teorema 15.9), e n⃗⋅u⃗=a(−b)+b(a)=0\vec n \cdot \vec u = a(-b) + b(a) = 0. ∎

Método 16.13 (Usar vetores normais)

  • Reta por AA com normal n⃗ (a,b)\vec n\,(a,b): escreva AM→⋅n⃗=0\vect{AM} \cdot \vec n = 0, o que se expande em ax+by+c=0ax + by + c = 0, com cc determinado por AA.
  • Perpendicularidade de d:ax+by+c=0d: ax+by+c = 0 e d′:a′x+b′y+c′=0d': a'x+b'y+c' = 0: verifique aa′+bb′=0aa' + bb' = 0.

Exemplo 16.14

A reta por P(2,−1)P(2, -1) perpendicular a d:3x−y+4=0d : 3x - y + 4 = 0: um vetor diretor de dd é (1,3)(1, 3), que serve como vetor normal da perpendicular. Equação: x+3y+c=0x + 3y + c = 0 com 2−3+c=02 - 3 + c = 0, logo c=1c = 1: a reta é x+3y+1=0x + 3y + 1 = 0.

Exemplo 16.15 (Equação de um círculo)

O círculo de centro Ω(1,2)\Omega(1, 2) e raio 33 é o conjunto dos pontos M(x,y)M(x,y) com ΩM2=9\Omega M^2 = 9:

(x−1)2+(y−2)2=9.(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9 .

Reciprocamente, x2+y2−2x−4y−4=0x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0 reescreve-se, completando os quadrados (Capítulo 10), como (x−1)2+(y−2)2=9(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9: o mesmo círculo.

16.5 Exercícios

Exercício 16.1 ★

Calcule u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v para

u⃗ (2,5), v⃗ (3,−1);u⃗ (1,−4), v⃗ (8,2);∥u⃗∥=3, ∥v⃗∥=4, θ=π3.\vec u\,(2, 5),\ \vec v\,(3, -1); \qquad \vec u\,(1, -4),\ \vec v\,(8, 2); \qquad \norm{\vec u} = 3,\ \norm{\vec v} = 4,\ \theta = \frac{\pi}{3} .
Solução

Solução de Exercício 16.1.

(2,5)⋅(3,−1)=6−5=1(2,5)\cdot(3,-1) = 6 - 5 = 1.

(1,−4)⋅(8,2)=8−8=0(1,-4)\cdot(8,2) = 8 - 8 = 0 (vetores ortogonais).

u⃗⋅v⃗=3×4×cos⁡π3=12×12=6\vec u\cdot\vec v = 3 \times 4 \times \cos\frac\pi3 = 12 \times \frac12 = 6.

Exercício 16.2 ★

ABCABC é um triângulo equilátero de lado 66. Calcule AB→⋅AC→\vect{AB} \cdot \vect{AC} e AB→⋅BC→\vect{AB} \cdot \vect{BC}.

Solução

Solução de Exercício 16.2.

AB→⋅AC→=6×6×cos⁡60∘=18\vect{AB}\cdot\vect{AC} = 6 \times 6 \times \cos 60^\circ = 18.

Os vetores AB→\vect{AB} e BC→\vect{BC} formam um ângulo de 180∘−60∘=120∘180^\circ - 60^\circ = 120^\circ (coloque-os com a mesma origem em BB), logo AB→⋅BC→=36cos⁡120∘=−18\vect{AB}\cdot\vect{BC} = 36 \cos 120^\circ = -18.

Exercício 16.3 ★

Para que valor de tt os vetores u⃗ (3,t)\vec u\,(3, t) e v⃗ (t−8,1)\vec v\,(t - 8, 1) são ortogonais? E para que valor (ou valores) de tt o vetor u⃗ (t,2)\vec u\,(t, 2) é ortogonal a ele mesmo menos v⃗ (4,2)\vec v\,(4, 2), isto é, u⃗⊥(u⃗−v⃗)\vec u \perp (\vec u - \vec v)?

Solução

Solução de Exercício 16.3.

u⃗⋅v⃗=3(t−8)+t=4t−24=0\vec u \cdot \vec v = 3(t - 8) + t = 4t - 24 = 0 dá t=6t = 6.

u⃗−v⃗=(t−4, 0)\vec u - \vec v = (t - 4,\ 0), logo u⃗⋅(u⃗−v⃗)=t(t−4)+0=t2−4t\vec u \cdot (\vec u - \vec v) = t(t-4) + 0 = t^2 - 4t, que se anula para t=0t = 0 ou t=4t = 4.

Exercício 16.4 ★

Calcule o ângulo θ\theta entre u⃗ (1,2)\vec u\,(1, 2) e v⃗ (3,1)\vec v\,(3, 1) (dê cos⁡θ\cos\theta exatamente e depois θ\theta com precisão de um grau).

Solução

Solução de Exercício 16.4.

u⃗⋅v⃗=3+2=5\vec u \cdot \vec v = 3 + 2 = 5, ∥u⃗∥=5\norm{\vec u} = \sqrt5, ∥v⃗∥=10\norm{\vec v} = \sqrt{10}, logo

cos⁡θ=55 10=552=22,\cos\theta = \frac{5}{\sqrt5\,\sqrt{10}} = \frac{5}{5\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2},

e portanto θ=45∘\theta = 45^\circ exatamente.

Exercício 16.5 ★★

Um triângulo tem lados b=4b = 4 e c=6c = 6 formando um ângulo A^=2π3\widehat A = \frac{2\pi}{3}. Calcule o terceiro lado aa. Em seguida, em um triângulo de lados a=7a = 7, b=5b = 5, c=4c = 4, calcule cos⁡A^\cos\widehat A e decida se A^\widehat A é agudo ou obtuso.

Solução

Solução de Exercício 16.5.

a2=16+36−2×4×6×cos⁡2π3=52−48×(−12)=76a^2 = 16 + 36 - 2 \times 4 \times 6 \times \cos\frac{2\pi}{3} = 52 - 48 \times \left(-\frac12\right) = 76, logo a=76=219≈8.7a = \sqrt{76} = 2\sqrt{19} \approx 8.7.

Para o segundo triângulo, a lei dos cossenos resolvida em relação ao ângulo dá

cos⁡A^=b2+c2−a22bc=25+16−492×5×4=−840=−15,\cos\widehat A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{25 + 16 - 49}{2 \times 5 \times 4} = -\frac{8}{40} = -\frac15,

negativo: A^\widehat A é obtuso.

Exercício 16.6 ★★

Sejam A(1,1)A(1, 1), B(5,−1)B(5, -1) e C(3,5)C(3, 5). Calcule AB→⋅AC→\vect{AB} \cdot \vect{AC}; o ângulo A^\widehat A é reto? Calcule os comprimentos dos três lados e confira sua resposta com a lei dos cossenos.

Solução

Solução de Exercício 16.6.

AB→ (4,−2)\vect{AB}\,(4, -2) e AC→ (2,4)\vect{AC}\,(2, 4): AB→⋅AC→=8−8=0\vect{AB}\cdot\vect{AC} = 8 - 8 = 0, de modo que o ângulo em AA é reto. Lados: AB=16+4=20AB = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}, AC=4+16=20AC = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}, e BC→ (−2,6)\vect{BC}\,(-2, 6) dá BC=40BC = \sqrt{40}. Coerência: BC2=40=20+20=AB2+AC2BC^2 = 40 = 20 + 20 = AB^2 + AC^2, a lei dos cossenos com cos⁡A^=0\cos\widehat A = 0 (Pitágoras).

Exercício 16.7 ★★

Dê uma equação do círculo de centro Ω(−2,3)\Omega(-2, 3) e raio 55. Determine em seguida o centro e o raio do círculo

x2+y2−6x+2y−6=0.x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0 .
Solução

Solução de Exercício 16.7.

Forma centro–raio: (x+2)2+(y−3)2=25(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25.

Para o segundo círculo, complete os quadrados:

x2−6x+y2+2y=6  ⟺  (x−3)2−9+(y+1)2−1=6  ⟺  (x−3)2+(y+1)2=16:x^2 - 6x + y^2 + 2y = 6 \iff (x - 3)^2 - 9 + (y + 1)^2 - 1 = 6 \iff (x-3)^2 + (y+1)^2 = 16 :

centro (3,−1)(3, -1), raio 44.

Exercício 16.8 ★★

Sejam A(−3,0)A(-3, 0) e B(0,2)B(0, 2). Usando a Proposição 16.11, encontre uma equação do círculo de diâmetro [AB][AB] e verifique que a origem O(0,0)O(0,0) está nele.

Solução

Solução de Exercício 16.8.

M(x,y)M(x,y) está no círculo quando MA→⋅MB→=0\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 0, com MA→ (−3−x, −y)\vect{MA}\,(-3 - x,\ -y) e MB→ (−x, 2−y)\vect{MB}\,(-x,\ 2 - y):

(−3−x)(−x)+(−y)(2−y)=x2+3x+y2−2y=0.(-3 - x)(-x) + (-y)(2 - y) = x^2 + 3x + y^2 - 2y = 0 .

Para a origem: 0+0+0−0=00 + 0 + 0 - 0 = 0, logo OO está no círculo — geometricamente, OA→ (−3,0)\vect{OA}\,(-3,0) e OB→ (0,2)\vect{OB}\,(0,2) são ortogonais, de modo que OO vê [AB][AB] sob ângulo reto. (Completando os quadrados: centro (−32,1)\left(-\frac32, 1\right), raio 132\frac{\sqrt{13}}{2}.)

Exercício 16.9 ★★

Encontre uma equação da reta por P(1,3)P(1, 3) perpendicular a d:2x+y−7=0d : 2x + y - 7 = 0 e as coordenadas do pé HH da perpendicular (a interseção das duas retas). Deduza a distância de PP a dd.

Solução

Solução de Exercício 16.9.

A perpendicular por PP tem como vetor normal o vetor diretor de dd, a saber (−1,2)(-1, 2): equação −x+2y+c=0-x + 2y + c = 0; passando por P(1,3)P(1,3): −1+6+c=0-1 + 6 + c = 0, c=−5c = -5, logo x−2y+5=0x - 2y + 5 = 0.

Interseção com dd: de 2x+y=72x + y = 7 vem y=7−2xy = 7 - 2x; substituindo, x−2(7−2x)+5=5x−9=0x - 2(7 - 2x) + 5 = 5x - 9 = 0, logo x=95x = \frac95, y=175y = \frac{17}5: H(95,175)H\left(\frac95, \frac{17}5\right). Então PH→(45,25)\vect{PH}\left(\frac45, \frac25\right) e

PH=1625+425=205=255≈0.89.PH = \sqrt{\frac{16}{25} + \frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{20}}{5} = \frac{2\sqrt5}{5} \approx 0.89 .

Exercício 16.10 ★★

Usando ∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\vec u\cdot\vec v + \norm{\vec v}^2 e seu análogo para u⃗−v⃗\vec u - \vec v, demonstre a identidade do paralelogramo:

∥u⃗+v⃗∥2+∥u⃗−v⃗∥2=2∥u⃗∥2+2∥v⃗∥2,\norm{\vec u + \vec v}^2 + \norm{\vec u - \vec v}^2 = 2\norm{\vec u}^2 + 2\norm{\vec v}^2 ,

e interprete-a em um paralelogramo (diagonais contra lados).

Solução

Solução de Exercício 16.10.

Somando

∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2e∥u⃗−v⃗∥2=∥u⃗∥2−2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2,\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\vec u\cdot\vec v + \norm{\vec v}^2 \quad\text{e}\quad \norm{\vec u - \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 - 2\vec u\cdot\vec v + \norm{\vec v}^2,

os termos cruzados se cancelam e ∥u⃗+v⃗∥2+∥u⃗−v⃗∥2=2∥u⃗∥2+2∥v⃗∥2\norm{\vec u + \vec v}^2 + \norm{\vec u - \vec v}^2 = 2\norm{\vec u}^2 + 2\norm{\vec v}^2. Em um paralelogramo de lados u⃗\vec u e v⃗\vec v, as diagonais são u⃗+v⃗\vec u + \vec v e u⃗−v⃗\vec u - \vec v: a soma dos quadrados das duas diagonais é igual à soma dos quadrados dos quatro lados.

Exercício 16.11 ★★★

Sejam AA e BB dois pontos com AB=4AB = 4, e II o ponto médio de [AB][AB].

  1. Mostre que, para todo ponto MM, MA→⋅MB→=MI2−4\vect{MA}\cdot\vect{MB} = MI^2 - 4. (Insira II: MA→=MI→+IA→\vect{MA} = \vect{MI} + \vect{IA}.)
  2. Deduza o conjunto dos pontos MM tais que MA→⋅MB→=12\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 12.
Solução

Solução de Exercício 16.11.

1. Como II é o ponto médio, IB→=−IA→\vect{IB} = -\vect{IA} e IA=2IA = 2. Então

MA→⋅MB→=(MI→+IA→)⋅(MI→−IA→)=∥MI→∥2−∥IA→∥2=MI2−4.\vect{MA}\cdot\vect{MB} = (\vect{MI} + \vect{IA})\cdot(\vect{MI} - \vect{IA}) = \norm{\vect{MI}}^2 - \norm{\vect{IA}}^2 = MI^2 - 4 .

2. A condição MA→⋅MB→=12\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 12 vira MI2=16MI^2 = 16, isto é, MI=4MI = 4: o conjunto é o círculo de centro II e raio 44.

16.6 Problema: Dois presentes do produto escalar

Problema 16.1

Problema de fim de semana — as fórmulas de adição caem de um produto escalar, a distância a uma reta de outro, e as três alturas se encontram de brinde

O produto escalar parece contabilidade — multiplique, some — e, no entanto, entrega quase de graça dois tesouros que resistiram a séculos de caça a ângulos: as fórmulas de adição da trigonometria (calcule cos⁡15∘\cos 15^\circ exatamente!) e a distância de um ponto a uma reta em uma fração limpa. De presente de despedida, ele demonstra que as três alturas de todo triângulo passam por um mesmo ponto. As quatro faces do Teorema 16.2 vão se apresentar ao serviço.

Parte I — Fluência.

  1. Para u⃗(3,4)\vec u(3, 4) e v⃗(−1,2)\vec v(-1, 2): calcule u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v, as duas normas e o ângulo entre os vetores (com precisão de um décimo de grau).
  2. Encontre kk para que (2,k)(2, k) e (3,−4)(3, -4) sejam ortogonais (Definição 16.5).
  3. Face física: um trenó é puxado por 1010 m por uma força de 5050 N a 60∘60^\circ do solo. Calcule o trabalho W=F⃗⋅d⃗W = \vec F \cdot \vec d.
  4. Lei dos cossenos (Teorema 16.8): dois lados de 55 e 77 formam um ângulo de 60∘60^\circ; encontre o terceiro lado exatamente.
  5. Ao contrário: um triângulo tem lados 44, 66, 88. Calcule o cosseno do ângulo oposto ao lado 88, classifique o ângulo e dê-o com precisão de um décimo de grau.

Parte II — Primeiro presente: as fórmulas de adição. Sejam u⃗=(cos⁡a,sin⁡a)\vec u = (\cos a, \sin a) e v⃗=(cos⁡b,sin⁡b)\vec v = (\cos b, \sin b): dois vetores unitários nos ângulos aa e bb.

  1. Calcule u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v duas vezes — uma com coordenadas, outra com normas e o ângulo entre os vetores — e conclua a fórmula-mãe:

    cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b.\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b .
  2. Troque bb por −b-b (paridades do seno e do cosseno!) para obter cos⁡(a+b)\cos(a + b).
  3. Obtenha sin⁡(a+b)\sin(a + b) pela identidade complementar sin⁡x=cos⁡(π2−x)\sin x = \cos\left(\frac\pi2 - x\right) aplicada a x=a+bx = a + b.
  4. Valores exatos, enfim: calcule cos⁡15∘\cos 15^\circ (como cos⁡(45∘−30∘)\cos(45^\circ - 30^\circ)) e sin⁡75∘\sin 75^\circ. Confira os dois numericamente.
  5. Faça b=ab = a para deduzir as fórmulas do arco duplo: cos⁡2a\cos 2a (nas suas três formas) e sin⁡2a\sin 2a.
  6. De cos⁡2a=1−2sin⁡2a\cos 2a = 1 - 2\sin^2 a, calcule sin⁡215∘\sin^2 15^\circ e depois sin⁡15∘\sin 15^\circ como um radical encaixado — e verifique que seu quadrado coincide com o valor 6−24\frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4} que o método da questão 9 fornece.

Parte III — Segundo presente: a distância a uma reta.

  1. Seja dd a reta ax+by+c=0ax + by + c = 0, com vetor normal n⃗(a,b)\vec n(a, b) (Proposição 16.12), e seja P(x0,y0)P(x_0, y_0) um ponto. Tomando um ponto AA qualquer de dd, explique por que a distância de PP a dd é ∣AP→⋅n⃗∣∥n⃗∥\dfrac{\abs{\vect{AP} \cdot \vec n}}{\norm{\vec n}} e deduza a fórmula

    dist⁡(P,d)=∣ax0+by0+c∣a2+b2.\operatorname{dist}(P, d) = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}} .

    Calcule a distância de P(5,6)P(5, 6) a 3x+4y−12=03x + 4y - 12 = 0.

  2. Escreva a equação do círculo de centro (5,6)(5, 6) tangente a essa reta.
  3. Contraprova da fórmula: calcule a distância da origem a 3x+4y−12=03x + 4y - 12 = 0 e verifique-a calculando explicitamente o pé da perpendicular baixada da origem.
  4. Triângulo A(0,0)A(0,0), B(6,0)B(6,0), C(2,5)C(2,5): calcule sua área usando a base [AB][AB]; depois calcule a distância de BB à reta (AC)(AC) e verifique que ela reproduz a mesma área.
  5. O círculo de centro (2,1)(2, 1) e raio 22, contra a reta x+y−6=0x + y - 6 = 0: calcule a distância do centro à reta e classifique a posição relativa (secante, tangente, exterior).

Parte IV — O brinde: as alturas concorrem.

  1. Generalize o Exercício 16.11: para dois pontos quaisquer AA, BB de ponto médio II, demonstre que

    MA→⋅MB→=MI2−AB24para todo ponto M.\vect{MA} \cdot \vect{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4} \quad\text{para todo ponto } M .
  2. Deduza a Proposição 16.11 em uma linha: o conjunto dos pontos MM com MA→⋅MB→=0\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0 é o círculo de diâmetro [AB][AB].

  3. As alturas: seja HH a interseção das alturas relativas a AA e a BB em um triângulo ABCABC (de modo que HA→⋅BC→=0\vect{HA} \cdot \vect{BC} = 0 e HB→⋅CA→=0\vect{HB} \cdot \vect{CA} = 0). Demonstre a identidade

    HA→⋅BC→+HB→⋅CA→+HC→⋅AB→=0\vect{HA} \cdot \vect{BC} + \vect{HB} \cdot \vect{CA} + \vect{HC} \cdot \vect{AB} = 0

    — expanda tudo a partir de HH com Chasles — e conclua que HH também está na altura relativa a CC: as três alturas são concorrentes (no ortocentro).

  4. Final: quatro faces, três troféus. Qual face do Teorema 16.2 carregou as fórmulas de adição, qual a fórmula da distância, qual o ortocentro — e por que “calcular a mesma quantidade duas vezes” é o lema do capítulo inteiro?
Solução

Solução de Problema 16.1.

1. u⃗⋅v⃗=−3+8=5\vec u \cdot \vec v = -3 + 8 = 5; ∥u⃗∥=5\norm{\vec u} = 5, ∥v⃗∥=5\norm{\vec v} = \sqrt5; cos⁡θ=555=15\cos\theta = \frac{5}{5\sqrt5} = \frac{1}{\sqrt5}: θ≈63.4∘\theta \approx 63.4^\circ.

2. 6−4k=06 - 4k = 0: k=32k = \frac32.

3. W=50×10×cos⁡60∘=250W = 50 \times 10 \times \cos 60^\circ = 250 joules: só a componente ao longo do movimento realiza trabalho.

4. c2=25+49−2×35×12=39c^2 = 25 + 49 - 2 \times 35 \times \frac12 = 39: c=39c = \sqrt{39}.

5. cos⁡γ=16+36−642×4×6=−14\cos\gamma = \frac{16 + 36 - 64}{2 \times 4 \times 6} = -\frac14: negativo, o ângulo é obtuso: γ≈104.5∘\gamma \approx 104.5^\circ.

6. Em coordenadas: u⃗⋅v⃗=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\vec u \cdot \vec v = \cos a \cos b + \sin a \sin b. Em geometria: dois vetores unitários, u⃗⋅v⃗=1×1×cos⁡(a−b)\vec u \cdot \vec v = 1 \times 1 \times \cos(a - b). Igualando os dois cálculos do mesmo número: cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b.

7. cos⁡(a+b)=cos⁡(a−(−b))=cos⁡acos⁡(−b)+sin⁡asin⁡(−b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a + b) = \cos(a - (-b)) = \cos a \cos(-b) + \sin a \sin(-b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b.

8. sin⁡(a+b)=cos⁡(π2−a−b)=cos⁡((π2−a)−b)=cos⁡(π2−a)cos⁡b+sin⁡(π2−a)sin⁡b=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a + b) = \cos\left(\frac\pi2 - a - b\right) = \cos\left(\left(\frac\pi2 - a\right) - b\right) = \cos\left(\frac\pi2 - a\right)\cos b + \sin\left(\frac\pi2 - a\right)\sin b = \sin a \cos b + \cos a \sin b.

9. cos⁡15∘=cos⁡45∘cos⁡30∘+sin⁡45∘sin⁡30∘=22⋅32+22⋅12=6+24≈0.966\cos 15^\circ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac12 = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4} \approx 0.966. E sin⁡75∘=cos⁡15∘\sin 75^\circ = \cos 15^\circ: mesmo valor.

10. Com b=ab = a nas questões 7 e 8: cos⁡2a=cos⁡2a−sin⁡2a=2cos⁡2a−1=1−2sin⁡2a\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a (usando cos⁡2+sin⁡2=1\cos^2 + \sin^2 = 1), e sin⁡2a=2sin⁡acos⁡a\sin 2a = 2 \sin a \cos a.

11. sin⁡215∘=1−cos⁡30∘2=2−34\sin^2 15^\circ = \frac{1 - \cos 30^\circ}{2} = \frac{2 - \sqrt3}{4}, logo sin⁡15∘=2−32\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt3}}{2}. Elevando 6−24\frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4} ao quadrado: 6−212+216=8−4316=2−34\frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{16} = \frac{8 - 4\sqrt3}{16} = \frac{2 - \sqrt3}{4}: o mesmo número em dois trajes.

12. AP→\vect{AP} decompõe-se em uma parte ao longo de dd (invisível para n⃗\vec n) e uma parte perpendicular a dd, cujo comprimento é a distância procurada; fazer o produto escalar com o normal unitário n⃗∥n⃗∥\frac{\vec n}{\norm{\vec n}} mata a primeira parte e mede a segunda. Com AA em dd: AP→⋅n⃗=ax0+by0−(axA+byA)=ax0+by0+c\vect{AP} \cdot \vec n = a x_0 + b y_0 - (a x_A + b y_A) = a x_0 + b y_0 + c, donde a fórmula. Exemplo: ∣15+24−12∣5=275=5.4\frac{\abs{15 + 24 - 12}}{5} = \frac{27}{5} = 5.4.

13. Raio =5.4= 5.4: (x−5)2+(y−6)2=29.16(x - 5)^2 + (y - 6)^2 = 29.16.

14. Distância =∣−12∣5=2.4= \frac{\abs{-12}}{5} = 2.4. Pé da perpendicular: a perpendicular pela origem é (3t,4t)(3t, 4t); sobre a reta: 9t+16t=129t + 16t = 12, t=1225t = \frac{12}{25}: pé (3625,4825)\left(\frac{36}{25}, \frac{48}{25}\right), a distância 5t=6025=2.45t = \frac{60}{25} = 2.4. A fórmula e a conta honesta concordam.

15. Base AB=6AB = 6, altura == distância de CC a (AB)(AB) (o eixo y=0y = 0): 55; área 1515. Reta (AC)(AC): 5x−2y=05x - 2y = 0, e dist⁡(B,(AC))=∣30∣29\operatorname{dist}(B, (AC)) = \frac{\abs{30}}{\sqrt{29}}; então 12×AC×3029=12×29×3029=15\frac12 \times AC \times \frac{30}{\sqrt{29}} = \frac12 \times \sqrt{29} \times \frac{30}{\sqrt{29}} = 15: mesma área, por qualquer das alturas.

16. dist⁡=∣2+1−6∣2=32≈2.12>2\operatorname{dist} = \frac{\abs{2 + 1 - 6}} {\sqrt2} = \frac{3}{\sqrt2} \approx 2.12 > 2: a reta passa longe do círculo — exterior.

17. Insira II: MA→⋅MB→=(MI→+IA→)⋅(MI→+IB→)=MI2+MI→⋅(IA→+IB→)+IA→⋅IB→\vect{MA} \cdot \vect{MB} = (\vect{MI} + \vect{IA}) \cdot (\vect{MI} + \vect{IB}) = MI^2 + \vect{MI} \cdot (\vect{IA} + \vect{IB}) + \vect{IA} \cdot \vect{IB}. O termo do meio morre (IA→+IB→=0⃗\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0), e IA→⋅IB→=−IA2=−AB24\vect{IA} \cdot \vect{IB} = -IA^2 = -\frac{AB^2}{4} (vetores opostos de comprimento AB2\frac{AB}2).

18. MA→⋅MB→=0  ⟺  MI2=AB24  ⟺  MI=AB2\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0 \iff MI^2 = \frac{AB^2}{4} \iff MI = \frac{AB}{2}: o círculo de centro II e raio AB2\frac{AB}2 — o círculo de diâmetro [AB][AB].

19. Expandindo cada par a partir de HH (BC→=HC→−HB→\vect{BC} = \vect{HC} - \vect{HB} etc.):

HA→⋅HC→−HA→⋅HB→+HB→⋅HA→−HB→⋅HC→+HC→⋅HB→−HC→⋅HA→=0:\vect{HA} \cdot \vect{HC} - \vect{HA} \cdot \vect{HB} + \vect{HB} \cdot \vect{HA} - \vect{HB} \cdot \vect{HC} + \vect{HC} \cdot \vect{HB} - \vect{HC} \cdot \vect{HA} = 0 :

tudo se cancela aos pares — a identidade vale para quaisquer quatro pontos. Para o nosso HH, os dois primeiros produtos escalares se anulam por hipótese, logo HC→⋅AB→=0\vect{HC} \cdot \vect{AB} = 0: HH está na altura relativa a CC. Três alturas, um só ponto.

20. As fórmulas de adição vieram de calcular um mesmo produto escalar pela face das coordenadas e pela face das normas e do ângulo; a fórmula da distância, da face da projeção; o ortocentro, da face da bilinearidade (Chasles e expandir). Calcule a mesma quantidade duas vezes, iguale, e um teorema cai — é esse todo o ofício do produto escalar.