Mathematics · Livro 2 · Grades 10–12

Matemática do ensino médio

Matemática do ensino médio · Grades 10–12

28Números complexos

A equação x2=−1x^2 = -1 não tem solução real. Ampliar R\R com um único número novo i\iu, cujo quadrado é −1-1, produz o corpo C\C dos números complexos, no qual toda equação polinomial tem soluções — e cuja aritmética codifica a geometria do plano: translações, rotações e dilatações viram adições e multiplicações.

28.1 Forma algébrica

Definição 28.1 (Números complexos)

O conjunto dos números complexos é

C={a+ib:a,b∈R},\C = \{a + \iu b : a, b \in \R\},

em que i\iu é um símbolo sujeito à única regra i2=−1\iu^2 = -1; a adição e a multiplicação são feitas como para polinômios reais em i\iu, reduzindo i2\iu^2 a −1-1. Os reais aa e bb são a parte real Re⁡(z)\Rea(z) e a parte imaginária Im⁡(z)\Ima(z) de z=a+ibz = a + \iu b; essa expressão é a forma algébrica de zz, e ela é única: a+ib=a′+ib′a + \iu b = a' + \iu b' se, e somente se, a=a′a = a' e b=b′b = b'.

Exemplo 28.2

(2+3i)(1−i)=2−2i+3i−3i2=5+i(2 + 3\iu)(1 - \iu) = 2 - 2\iu + 3\iu - 3\iu^2 = 5 + \iu.

Definição 28.3 (Conjugado)

O conjugado de z=a+ibz = a + \iu b é z‾=a−ib\conj{z} = a - \iu b.

Proposição 28.4 (Propriedades da conjugação)

Para todos z,w∈Cz, w \in \C:

z+w‾=z‾+w‾,zw‾=z‾ w‾,z‾‾=z,z+z‾=2Re⁡(z),z−z‾=2i Im⁡(z),\conj{z + w} = \conj z + \conj w, \quad \conj{zw} = \conj z\,\conj w, \quad \conj{\conj z} = z, \quad z + \conj z = 2\Rea(z), \quad z - \conj z = 2\iu\,\Ima(z),

e zz‾=a2+b2≥0z\conj z = a^2 + b^2 \geq 0 para z=a+ibz = a + \iu b. Além disso, z∈Rz \in \R se, e somente se, z=z‾z = \conj z.

Demonstração. Todas são cálculos diretos a partir das formas algébricas; por exemplo, zz‾=(a+ib)(a−ib)=a2−(ib)2=a2+b2z\conj z = (a + \iu b)(a - \iu b) = a^2 - (\iu b)^2 = a^2 + b^2. ∎

Método 28.5 (Dividir números complexos)

Para escrever um quociente na forma algébrica, multiplique numerador e denominador pelo conjugado do denominador:

12+i=2−i(2+i)(2−i)=2−i5=25−15i.\frac{1}{2 + \iu} = \frac{2 - \iu}{(2+\iu)(2-\iu)} = \frac{2 - \iu}{5} = \frac25 - \frac15\iu .

Todo número complexo não nulo tem, portanto, um inverso: C\C é um corpo.

28.2 O plano complexo, módulo e argumento

Definição 28.6 (Afixo, módulo)

No plano com coordenadas ortonormais, o ponto M(a,b)M(a, b) é a imagem de z=a+ibz = a + \iu b, e zz é o afixo de MM. O módulo de zz é a distância de MM à origem:

∣z∣=a2+b2=zz‾.\abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z\conj z}.
O ponto M(a,b) de afixo z: o módulo z é o comprimento OM, e o conjugado z é o reflexo de z no eixo real.
O ponto M(a,b)M(a,b) de afixo zz: o módulo ∣z∣\abs z é o comprimento OMOM, e o conjugado z‾\conj z é o reflexo de zz no eixo real.

Proposição 28.7 (Propriedades do módulo)

Para z,w∈Cz, w \in \C:

∣zw∣=∣z∣ ∣w∣,∣zw∣=∣z∣∣w∣ (w≠0),∣z‾∣=∣z∣,\abs{zw} = \abs z\,\abs w, \qquad \abs{\tfrac zw} = \tfrac{\abs z}{\abs w}\ (w \neq 0), \qquad \abs{\conj z} = \abs z,
∣z+w∣≤∣z∣+∣w∣(desigualdade triangular).\abs{z + w} \leq \abs{z} + \abs{w} \quad \text{(desigualdade triangular)}.

Além disso, ∣zB−zA∣\abs{z_B - z_A} é a distância entre os pontos de afixos zAz_A e zBz_B.

Demonstração. ∣zw∣2=zw zw‾=zz‾ ww‾=∣z∣2∣w∣2\abs{zw}^2 = zw\,\conj{zw} = z\conj z\, w \conj w = \abs z^2 \abs w^2 dá a primeira; a segunda e a terceira são análogas. Para a desigualdade triangular:

∣z+w∣2=(z+w)(z‾+w‾)=∣z∣2+∣w∣2+2Re⁡(zw‾)≤∣z∣2+∣w∣2+2∣zw‾∣=(∣z∣+∣w∣)2,\abs{z+w}^2 = (z+w)(\conj z + \conj w) = \abs z^2 + \abs w^2 + 2\Rea(z \conj w) \leq \abs z^2 + \abs w^2 + 2\abs{z\conj w} = \bigl(\abs z + \abs w\bigr)^2,

usando Re⁡(u)≤∣u∣\Rea(u) \leq \abs u. A afirmação sobre a distância é a fórmula de Pitágoras aplicada às coordenadas de zB−zAz_B - z_A. ∎

Definição 28.8 (Argumento, formas trigonométrica e exponencial)

Seja z≠0z \neq 0. Um argumento de zz, escrito arg⁡(z)\Arg(z), é qualquer medida θ\theta do ângulo do semieixo real positivo até a semirreta OMOM; ele é definido a menos de 2kπ2k\pi. Escrevendo r=∣z∣r = \abs z,

z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)(forma trigonomeˊtrica).z = r(\cos\theta + \iu\sin\theta) \qquad\text{(forma trigonométrica)}.

Introduzindo a notação

eiθ=cos⁡θ+isin⁡θ,\eu^{\iu\theta} = \cos\theta + \iu\sin\theta,

isso vira a forma exponencial z=r eiθz = r\,\eu^{\iu\theta}.

Forma exponencial: z fica determinado por sua distância r à origem e pelo ângulo medido a partir do semieixo real positivo.
Forma exponencial: zz fica determinado por sua distância rr à origem e pelo ângulo θ\theta medido a partir do semieixo real positivo.

Teorema 28.9

Para todos θ,θ′∈R\theta, \theta' \in \R:

eiθ eiθ′=ei(θ+θ′),eiθ‾=e−iθ,∣eiθ∣=1.\eu^{\iu\theta}\,\eu^{\iu\theta'} = \eu^{\iu(\theta + \theta')}, \qquad \conj{\eu^{\iu\theta}} = \eu^{-\iu\theta}, \qquad \abs{\eu^{\iu\theta}} = 1 .

Por consequência, para z=reiθz = r\eu^{\iu\theta} e z′=r′eiθ′z' = r'\eu^{\iu\theta'} não nulos:

zz′=rr′ ei(θ+θ′),zz′=rr′ ei(θ−θ′):zz' = rr'\,\eu^{\iu(\theta+\theta')}, \qquad \frac{z}{z'} = \frac{r}{r'}\,\eu^{\iu(\theta - \theta')} :

os módulos se multiplicam, os argumentos se somam.

Demonstração. A primeira identidade é o par de fórmulas de adição (Proposição 24.3):

(cos⁡θ+isin⁡θ)(cos⁡θ′+isin⁡θ′)=(cos⁡θcos⁡θ′−sin⁡θsin⁡θ′)+i(sin⁡θcos⁡θ′+cos⁡θsin⁡θ′).(\cos\theta + \iu\sin\theta)(\cos\theta' + \iu\sin\theta') = (\cos\theta\cos\theta' - \sin\theta\sin\theta') + \iu(\sin\theta\cos\theta' + \cos\theta\sin\theta').

O restante segue por cálculo direto. ∎

Corolário 28.10 (Fórmula de De Moivre)

Para θ∈R\theta \in \R e n∈Zn \in \Z: (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡nθ+isin⁡nθ\bigl(\cos\theta + \iu\sin\theta\bigr)^n = \cos n\theta + \iu \sin n\theta.

Demonstração. Indução em n≥0n \geq 0 usando o Teorema 28.9; estenda a n<0n < 0 tomando inversos. ∎

Método 28.11 (Passar de uma forma a outra)

Da algébrica para a exponencial: calcule r=∣z∣r = \abs z e depois encontre θ\theta com cos⁡θ=ar\cos\theta = \frac ar e sin⁡θ=br\sin\theta = \frac br (localize o quadrante correto antes de invocar um arco cosseno). Da exponencial para a algébrica: expanda rcos⁡θ+i rsin⁡θr\cos\theta + \iu\, r\sin\theta. Use a forma algébrica para somas e a exponencial para produtos, potências e quocientes.

Exemplo 28.12

z=1+iz = 1 + \iu: ∣z∣=2\abs z = \sqrt2 e cos⁡θ=sin⁡θ=12\cos\theta = \sin\theta = \frac{1}{\sqrt2}, logo θ=π4\theta = \frac\pi4 e z=2 eiπ/4z = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4}. Assim, z20=210 e5iπ=−1024z^{20} = 2^{10}\,\eu^{5\iu\pi} = -1024.

28.3 Equações do segundo grau e raízes da unidade

Teorema 28.13 (Equações do segundo grau com coeficientes reais)

Sejam a,b,c∈Ra, b, c \in \R, a≠0a \neq 0, e Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac. A equação az2+bz+c=0az^2 + bz + c = 0 tem soluções em C\C:

Δ>0: z=−b±Δ2a (duas reais);Δ=0: z=−b2a (dupla);Δ<0: z=−b±i−Δ2a (duas conjugadas).\begin{aligned} &\Delta > 0:\ z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \ (\text{duas reais}); \qquad \Delta = 0:\ z = \frac{-b}{2a} \ (\text{dupla}); \\ &\Delta < 0:\ z = \frac{-b \pm \iu\sqrt{-\Delta}}{2a} \ (\text{duas conjugadas}). \end{aligned}

Demonstração. Complete o quadrado: az2+bz+c=a((z+b2a)2−Δ4a2)az^2 + bz + c = a\left(\left(z + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right). Se Δ<0\Delta < 0, então Δ4a2=(i−Δ2a)2\frac{\Delta}{4a^2} = \left(\iu\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)^2, e a diferença de quadrados se fatora como de costume. ∎

Definição 28.14 (Raízes da unidade)

Para n≥1n \geq 1, as raízes nn-ésimas da unidade são as soluções de zn=1z^n = 1.

Teorema 28.15

A equação zn=1z^n = 1 tem exatamente nn soluções:

ωk=e2ikπ/n,k=0,1,…,n−1.\omega_k = \eu^{2\iu k\pi/n}, \qquad k = 0, 1, \dots, n-1 .

Suas imagens são os vértices de um polígono regular de nn lados inscrito no círculo de raio 11 e, para n≥2n \geq 2, sua soma é 00.

Demonstração. Cada ωk\omega_k satisfaz ωkn=e2ikπ=1\omega_k^n = \eu^{2\iu k\pi} = 1, e eles são dois a dois distintos, pois seus argumentos estão em [0, 2π)\intco{0}{2\pi}. Reciprocamente, se zn=1z^n = 1, então ∣z∣n=1\abs z^n = 1, logo ∣z∣=1\abs z = 1 (real positivo) e z=eiθz = \eu^{\iu\theta} com nθ≡0(mod2π)n\theta \equiv 0 \pmod{2\pi}, isto é, θ=2kπn\theta = \frac{2k\pi}{n}; reduzir kk módulo nn leva aos ωk\omega_k. Os vértices estão igualmente espaçados pelo ângulo 2πn\frac{2\pi}{n}: um polígono regular de nn lados. Por fim, com ω=ω1\omega = \omega_1, ω≠1\omega \neq 1 e a soma geométrica dá

∑k=0n−1ωk=∑k=0n−1ωk=ωn−1ω−1=0.\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k = \sum_{k=0}^{n-1}\omega^k = \frac{\omega^n - 1}{\omega - 1} = 0 . \qedhere

∎

As raízes quintas da unidade, = 2 π/5: os vértices de um pentágono regular inscrito no círculo de raio 1 ().
As raízes quintas da unidade, ω=e2iπ/5\omega = \eu^{2\iu\pi/5}: os vértices de um pentágono regular inscrito no círculo de raio 11 (Exercício 28.10).

Exemplo 28.16

As raízes cúbicas da unidade são 11, j=e2iπ/3=−12+i32j = \eu^{2\iu\pi/3} = -\frac12 + \iu\frac{\sqrt3}{2} e j‾=j2\conj j = j^2, que satisfazem 1+j+j2=01 + j + j^2 = 0.

28.4 Números complexos e geometria plana

Proposição 28.17 (Dicionário geométrico)

Sejam A,B,C,DA, B, C, D pontos de afixos a,b,c,da, b, c, d (a≠ba \neq b, c≠dc \neq d).

  1. A translação pelo vetor de afixo tt é z↦z+tz \mapsto z + t.
  2. A rotação de centro ω\omega (afixo) e ângulo θ\theta é z↦ω+eiθ(z−ω)z \mapsto \omega + \eu^{\iu\theta}(z - \omega).
  3. A homotetia de centro ω\omega e razão k∈R∗k \in \R^* é z↦ω+k(z−ω)z \mapsto \omega + k(z - \omega).
  4. d−cb−a\dfrac{d - c}{b - a} tem módulo CDAB\dfrac{CD}{AB} e argumento igual ao ângulo entre os vetores AB→\vect{AB} e CD→\vect{CD}. Em particular, AB⊥CDAB \perp CD se, e somente se, d−cb−a\frac{d-c}{b-a} é imaginário puro, e A,B,CA, B, C são colineares (C≠AC \ne A, C≠BC\ne B) se, e somente se, c−ab−a∈R\frac{c-a}{b-a} \in \R.

Demonstração. (1) e (3) reenunciam as fórmulas em coordenadas. Para (2), a aplicação w↦eiθww \mapsto \eu^{\iu\theta} w multiplica módulos por 11 e soma θ\theta aos argumentos: é a rotação de ângulo θ\theta em torno da origem; conjugar pela translação que leva ω\omega a 00 dá o centro geral. Para (4), os módulos e os argumentos de quocientes se subtraem (Teorema 28.9). ∎

28.5 Exercícios

Exercício 28.1 ★

Escreva na forma algébrica: (3−2i)(1+4i)(3 - 2\iu)(1 + 4\iu), 2+i1−i\dfrac{2 + \iu}{1 - \iu}, i2027\iu^{2027}.

Solução

Solução de Exercício 28.1.

(3−2i)(1+4i)=3+12i−2i−8i2=11+10i(3-2\iu)(1+4\iu) = 3 + 12\iu - 2\iu - 8\iu^2 = 11 + 10\iu.

2+i1−i=(2+i)(1+i)(1−i)(1+i)=1+3i2=12+32i\dfrac{2+\iu}{1-\iu} = \dfrac{(2+\iu)(1+\iu)}{(1-\iu)(1+\iu)} = \dfrac{1 + 3\iu}{2} = \dfrac12 + \dfrac32\iu.

i2027\iu^{2027}: como i4=1\iu^4 = 1 e 2027=4×506+32027 = 4 \times 506 + 3, i2027=i3=−i\iu^{2027} = \iu^3 = -\iu.

Exercício 28.2 ★

Resolva em C\C: (a) z2−4z+13=0z^2 - 4z + 13 = 0; (b) z2+z+1=0z^2 + z + 1 = 0. Verifique em cada caso que as duas soluções são conjugadas e calcule seu produto.

Solução

Solução de Exercício 28.2.

(a) Δ=16−52=−36\Delta = 16 - 52 = -36: z=4±6i2=2±3iz = \dfrac{4 \pm 6\iu}{2} = 2 \pm 3\iu. Par conjugado; produto =4+9=13=ca= 4 + 9 = 13 = \frac ca. (b) Δ=1−4=−3\Delta = 1 - 4 = -3: z=−1±i32z = \dfrac{-1 \pm \iu\sqrt3}{2} (as raízes cúbicas da unidade jj e j‾\conj j); produto =1+34=1= \frac{1 + 3}{4} = 1.

Exercício 28.3 ★

Coloque na forma exponencial: z1=−1+iz_1 = -1 + \iu, z2=3−iz_2 = \sqrt3 - \iu, e calcule z1z2\dfrac{z_1}{z_2} na forma exponencial e depois na algébrica. Deduza o valor exato de cos⁡11π12\cos\dfrac{11\pi}{12}.

Solução

Solução de Exercício 28.3.

∣z1∣=2\abs{z_1} = \sqrt2, argumento 3π4\frac{3\pi}{4} (segundo quadrante): z1=2 e3iπ/4z_1 = \sqrt2\,\eu^{3\iu\pi/4}. ∣z2∣=2\abs{z_2} = 2, argumento −π6-\frac\pi6: z2=2 e−iπ/6z_2 = 2\,\eu^{-\iu\pi/6}. Logo

z1z2=22 ei(3π4+π6)=22 e11iπ/12.\frac{z_1}{z_2} = \frac{\sqrt2}{2}\,\eu^{\iu\left(\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right)} = \frac{\sqrt2}{2}\,\eu^{11\iu\pi/12}.

Algebricamente,

z1z2=−1+i3−i=(−1+i)(3+i)4=−3−1+i(3−1)4.\frac{z_1}{z_2} = \frac{-1+\iu}{\sqrt3 - \iu} = \frac{(-1+\iu)(\sqrt3+\iu)}{4} = \frac{-\sqrt3 - 1 + \iu(\sqrt3 - 1)}{4}.

Identificando as partes reais: 22cos⁡11π12=−3−14\frac{\sqrt2}{2}\cos\frac{11\pi}{12} = \frac{-\sqrt3-1}{4}, logo

cos⁡11π12=−6+24.\cos\frac{11\pi}{12} = -\frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}.

Exercício 28.4 ★★

Descreva geometricamente o conjunto dos pontos MM de afixo zz tais que: (a) ∣z−2∣=∣z+i∣\abs{z - 2} = \abs{z + \iu}; (b) ∣z−1−i∣=3\abs{z - 1 - \iu} = 3; (c) z−1z+1\dfrac{z - 1}{z + 1} é imaginário puro.

Solução

Solução de Exercício 28.4.

(a) ∣z−2∣=∣z−(−i)∣\abs{z - 2} = \abs{z - (-\iu)} significa que MM é equidistante de A(2,0)A(2, 0) e B(0,−1)B(0, -1): a mediatriz de [AB][AB].

(b) Distância 33 do ponto (1,1)(1,1): o círculo de centro 1+i1 + \iu e raio 33.

(c) Pela Proposição 28.17(4), z−1z+1\frac{z-1}{z+1} imaginário puro significa que os vetores de A(1,0)A(1,0) a MM e de B(−1,0)B(-1,0) a MM são ortogonais: MM vê o segmento [AB][AB] sob ângulo reto. O conjunto é o círculo de diâmetro [AB][AB] (o círculo de raio 11) menos os próprios pontos AA e BB.

Exercício 28.5 ★★

Usando a fórmula de De Moivre e o teorema binomial, exprima cos⁡3θ\cos 3\theta como polinômio em cos⁡θ\cos\theta, e sin⁡3θ\sin 3\theta em função de sin⁡θ\sin\theta.

Solução

Solução de Exercício 28.5.

De Moivre: cos⁡3θ+isin⁡3θ=(cos⁡θ+isin⁡θ)3\cos3\theta + \iu\sin3\theta = (\cos\theta + \iu\sin\theta)^3. Expandindo pelo teorema binomial com c=cos⁡θc = \cos\theta e s=sin⁡θs = \sin\theta:

(c+is)3=c3+3ic2s−3cs2−is3=(c3−3cs2)+i(3c2s−s3).(c + \iu s)^3 = c^3 + 3\iu c^2 s - 3 c s^2 - \iu s^3 = (c^3 - 3cs^2) + \iu(3c^2 s - s^3).

Identificando as partes e usando s2=1−c2s^2 = 1 - c^2 e c2=1−s2c^2 = 1 - s^2:

cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ,sin⁡3θ=3sin⁡θ−4sin⁡3θ.\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta, \qquad \sin3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta .

Exercício 28.6 ★★

(Linearização.) Usando cos⁡θ=eiθ+e−iθ2\cos\theta = \frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}, linearize cos⁡3θ\cos^3\theta (escreva-o como combinação de cos⁡kθ\cos k\theta) e deduza ∫0π/2cos⁡3θ  ⁣dθ\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\,\dd\theta.

Solução

Solução de Exercício 28.6.

cos⁡3θ=(eiθ+e−iθ2) ⁣3=e3iθ+3eiθ+3e−iθ+e−3iθ8=cos⁡3θ+3cos⁡θ4.\cos^3\theta = \left(\frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}\right)^{\!3} = \frac{\eu^{3\iu\theta} + 3\eu^{\iu\theta} + 3\eu^{-\iu\theta} + \eu^{-3\iu\theta}}{8} = \frac{\cos3\theta + 3\cos\theta}{4}.

Logo

∫0π/2cos⁡3θ  ⁣dθ=14[sin⁡3θ3+3sin⁡θ]0π/2=14(−13+3)=23.\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\,\dd\theta = \frac14\left[\frac{\sin3\theta}{3} + 3\sin\theta\right]_0^{\pi/2} = \frac14\left(-\frac13 + 3\right) = \frac{2}{3}.

(Coerente com W3=23W_3 = \frac23 no Exercício 25.9, já que ∫0π/2cos⁡3=∫0π/2sin⁡3\int_0^{\pi/2}\cos^3 = \int_0^{\pi/2}\sin^3 pela simetria θ↦π2−θ\theta \mapsto \frac\pi2 - \theta.)

Exercício 28.7 ★★

Sejam AA e BB de afixos a=1+ia = 1 + \iu e b=3+2ib = 3 + 2\iu. Determine os dois pontos CC que tornam o triângulo ABCABC equilátero, como imagens de BB pelas rotações de centro AA e ângulos ±π3\pm\frac{\pi}{3}.

Solução

Solução de Exercício 28.7.

c=a+e±iπ/3(b−a)c = a + \eu^{\pm\iu\pi/3}(b - a) com b−a=2+ib - a = 2 + \iu e e±iπ/3=12±i32\eu^{\pm\iu\pi/3} = \frac12 \pm \iu\frac{\sqrt3}{2}:

eiπ/3(2+i)=(12+i32)(2+i)=(1−32)+i(12+3),\eu^{\iu\pi/3}(2+\iu) = \left(\tfrac12 + \iu\tfrac{\sqrt3}{2}\right)(2+\iu) = \left(1 - \tfrac{\sqrt3}{2}\right) + \iu\left(\tfrac12 + \sqrt3\right),

de modo que c1=(2−32)+i(32+3)c_1 = \left(2 - \frac{\sqrt3}{2}\right) + \iu\left(\frac32 + \sqrt3\right) e, analogamente, com o ângulo −π3-\frac\pi3: c2=(2+32)+i(32−3)c_2 = \left(2 + \frac{\sqrt3}{2}\right) + \iu\left(\frac32 - \sqrt3\right).

Exercício 28.8 ★★★

Resolva z4=−4z^4 = -4 em C\C e marque as soluções no plano. Fatore z4+4z^4 + 4 em dois polinômios do segundo grau com coeficientes reais.

Solução

Solução de Exercício 28.8.

−4=4 eiπ-4 = 4\,\eu^{\iu\pi}, de modo que as soluções de z4=−4z^4 = -4 são

zk=2 ei(π4+kπ2),k=0,1,2,3,z_k = \sqrt2\,\eu^{\iu\left(\frac\pi4 + \frac{k\pi}{2}\right)}, \quad k = 0, 1, 2, 3,

isto é, 1+i1 + \iu, −1+i-1 + \iu, −1−i-1 - \iu, 1−i1 - \iu: os vértices de um quadrado de raio circunscrito 2\sqrt 2. Agrupando raízes conjugadas,

z4+4=(z−(1+i))(z−(1−i))(z+(1−i))(z+(1+i))=(z2−2z+2)(z2+2z+2).z^4 + 4 = \bigl(z - (1{+}\iu)\bigr)\bigl(z - (1{-}\iu)\bigr) \bigl(z + (1{-}\iu)\bigr)\bigl(z + (1{+}\iu)\bigr) = (z^2 - 2z + 2)(z^2 + 2z + 2).

Exercício 28.9 ★★★

Para θ∈(0, 2π)\theta \in \intoo{0}{2\pi} e n∈Nn \in \N, calcule

S=1+cos⁡θ+cos⁡2θ+⋯+cos⁡nθS = 1 + \cos\theta + \cos 2\theta + \dots + \cos n\theta

somando a progressão geométrica ∑k=0neikθ\sum_{k=0}^n \eu^{\iu k\theta} e tomando partes reais. (Resposta: S=sin⁡(n+1)θ2sin⁡θ2cos⁡nθ2S = \dfrac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \cos\frac{n\theta}{2}.)

Solução

Solução de Exercício 28.9.

Com q=eiθ≠1q = \eu^{\iu\theta} \neq 1:

∑k=0neikθ=ei(n+1)θ−1eiθ−1=ei(n+1)θ/2eiθ/2⋅ei(n+1)θ/2−e−i(n+1)θ/2eiθ/2−e−iθ/2=einθ/2 sin⁡(n+1)θ2sin⁡θ2,\sum_{k=0}^{n} \eu^{\iu k\theta} = \frac{\eu^{\iu(n+1)\theta} - 1}{\eu^{\iu\theta} - 1} = \frac{\eu^{\iu(n+1)\theta/2}}{\eu^{\iu\theta/2}} \cdot\frac{\eu^{\iu(n+1)\theta/2} - \eu^{-\iu(n+1)\theta/2}}{\eu^{\iu\theta/2} - \eu^{-\iu\theta/2}} = \eu^{\iu n\theta/2}\, \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}},

usando eiα−e−iα=2isin⁡α\eu^{\iu\alpha} - \eu^{-\iu\alpha} = 2\iu\sin\alpha (a fatoração pelo arco metade). Tomando partes reais:

S=sin⁡(n+1)θ2sin⁡θ2 cos⁡nθ2.S = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\, \cos\frac{n\theta}{2}.

Exercício 28.10 ★★★

Seja ω=e2iπ/5\omega = \eu^{2\iu\pi/5}.

  1. Justifique que 1+ω+ω2+ω3+ω4=01 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0.
  2. Sejam u=ω+ω4u = \omega + \omega^4 e v=ω2+ω3v = \omega^2 + \omega^3. Mostre que u+v=−1u + v = -1 e uv=−1uv = -1, e deduza que u=−1+52u = \frac{-1+\sqrt5}{2}.
  3. Conclua que cos⁡2π5=5−14\cos\dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{\sqrt5 - 1}{4}.
Solução

Solução de Exercício 28.10.

1. ω\omega é uma raiz quinta da unidade diferente de 11, de modo que a soma das cinco raízes se anula (Teorema 28.15), o que se lê 1+ω+ω2+ω3+ω4=01 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0.

2. u+v=ω+ω2+ω3+ω4=−1u + v = \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = -1 pelo item 1. Para o produto, usando ω5=1\omega^5 = 1:

uv=(ω+ω4)(ω2+ω3)=ω3+ω4+ω6+ω7=ω3+ω4+ω+ω2=−1.uv = (\omega + \omega^4)(\omega^2 + \omega^3) = \omega^3 + \omega^4 + \omega^6 + \omega^7 = \omega^3 + \omega^4 + \omega + \omega^2 = -1 .

Assim, uu e vv são as raízes de X2+X−1=0X^2 + X - 1 = 0: {−1+52,−1−52}\left\{\frac{-1+\sqrt5}{2}, \frac{-1-\sqrt5}{2}\right\}. Ora, u=ω+ω‾=2cos⁡2π5>0u = \omega + \conj\omega = 2\cos\frac{2\pi}{5} > 0 (pois 2π5<π2\frac{2\pi}{5} < \frac{\pi}{2}), logo u=−1+52u = \frac{-1 + \sqrt5}{2}.

3. cos⁡2π5=u2=5−14\cos\frac{2\pi}{5} = \frac u2 = \frac{\sqrt5 - 1}{4}.

28.6 Problema: O pentágono no espelho da unidade

Problema 28.1

Problema de fim de semana — as raízes quintas da unidade calculam cos⁡72∘\cos 72^\circ exatamente, a razão áurea assina o resultado, e a multiplicação revela-se uma rotação

Euclides sabia construir o pentágono regular, mas a razão pela qual ele cede à régua e ao compasso — enquanto o humilde ângulo de 20∘20^\circ não cede — ficou escondida por dois mil anos. Ela se esconde neste capítulo: as cinco raízes quintas da unidade (Teorema 28.15) somam zero, e essa única linha de álgebra espreme cos⁡72∘\cos 72^\circ de uma equação do segundo grau — só raízes quadradas, logo construtível, e assinada, é claro, pela razão áurea. Em torno dessa joia: fluência, o atalho de De Moivre para a trigonometria e a multiplicação desmascarada como geometria.

Parte I — Fluência.

  1. Calcule (2+i)(3−i)(2 + \iu)(3 - \iu), 1+i1−i\dfrac{1 + \iu}{1 - \iu} (Método 28.5) e ∣3+4i∣\abs{3 + 4\iu}.
  2. Coloque na forma exponencial: 1+i1 + \iu; −2-2; 1−i31 - \iu\sqrt3.
  3. Calcule (1+i)8(1 + \iu)^8 usando a forma exponencial.
  4. Resolva z2=iz^2 = \iu e depois z2−2z+5=0z^2 - 2z + 5 = 0 (Teorema 28.13).
  5. Dicionário geométrico (Proposição 28.17): descreva a aplicação z↦izz \mapsto \iu z e o conjunto ∣z−(1+i)∣=2\abs{z - (1 + \iu)} = 2.

Parte II — Cinco raízes, um pentágono. Seja ω=e2iπ/5\omega = \eu^{2\iu\pi/5} e considere 1,ω,ω2,ω3,ω41, \omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4.

  1. Verifique que essas são exatamente as soluções de z5=1z^5 = 1 e descreva a figura que elas desenham no plano.
  2. Demonstre que a soma delas é zero. (Progressão geométrica — ou multiplique a soma por 1−ω1 - \omega.)

  3. Tome partes reais e deduza

    1+2cos⁡2π5+2cos⁡4π5=0.1 + 2\cos\frac{2\pi}{5} + 2\cos\frac{4\pi}{5} = 0 .

  4. Ponha c=cos⁡2π5c = \cos\frac{2\pi}{5} e use a fórmula do arco duplo para cos⁡4π5\cos\frac{4\pi}{5} a fim de converter a questão 8 em uma equação do segundo grau em cc; resolva-a e conclua que

    cos⁡72∘=5−14.\cos 72^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}{4} .
  5. Verifique numericamente e deixe a razão áurea assinar o trabalho: mostre que c=12φc = \frac{1}{2\varphi}, com φ=1+52\varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2} (Problema 2.1) — e enuncie o famoso eco geométrico: num pentágono regular, a diagonal vale φ\varphi vezes o lado.

Parte III — Os atalhos de De Moivre.

  1. O veredicto da construção: cos⁡72∘\cos 72^\circ só precisa de raízes quadradas (questão 9), de modo que o pentágono é construtível com régua e compasso; já cos⁡20∘\cos 20^\circ satisfaz uma cúbica indomável (Problema 24.1), de modo que o ângulo de 60∘60^\circ não pode ser trissectado. Enuncie o critério que emerge (raízes quadradas são construtíveis, raízes cúbicas não), cuja teoria completa — Gauss, aos 19 anos, e o polígono de 17 lados — mora nos volumes de graduação.
  2. Resolva z4=−4z^4 = -4 pela forma exponencial e recupere a fatoração do Exercício 28.8, z4+4=(z2−2z+2)(z2+2z+2)z^4 + 4 = (z^2 - 2z + 2)(z^2 + 2z + 2), emparelhando raízes conjugadas.
  3. Expanda (cos⁡θ+isin⁡θ)3(\cos\theta + \iu\sin\theta)^3 com o teorema binomial e De Moivre, e rededuza cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta em três linhas — compare com o caminho das fórmulas de adição do Problema 24.1.
  4. Confronte com o Exercício 28.9: para θ=2π5\theta = \frac{2\pi}{5} e n=4n = 4, quanto vale a soma 1+cos⁡θ+⋯+cos⁡4θ1 + \cos\theta + \dots + \cos 4\theta, e por que isso é coerente com a questão 8?
  5. Calcule as três raízes cúbicas de 8i8\iu na forma algébrica.

Parte IV — A multiplicação é geometria.

  1. Descreva por completo a aplicação z↦(1+i)zz \mapsto (1 + \iu)z: de que ângulo ela gira, por que fator ela dilata e o que faz com o quadrado unitário?
  2. Demonstre ∣z1z2∣=∣z1∣ ∣z2∣\abs{z_1 z_2} = \abs{z_1}\,\abs{z_2} com conjugados (Proposição 28.7), depois calcule (1+i)n(1+\iu)^n para n=1,2,3,4n = 1, 2, 3, 4 e descreva a espiral que as potências traçam.
  3. O número j=e2iπ/3\mathrm{j} = \eu^{2\iu\pi/3}: mostre que 1+j+j2=01 + \mathrm{j} + \mathrm{j}^2 = 0 e verifique no triângulo (1,j,j2)\left(1, \mathrm{j}, \mathrm{j}^2\right) o critério clássico: a+jb+j2c=0a + \mathrm{j} b + \mathrm{j}^2 c = 0 vale para (uma orientação de) um triângulo equilátero abcabc.
  4. O teorema fundamental da álgebra (admitido: d’Alembert e Gauss): todo polinômio se fatora completamente sobre C\C. Deduza o corolário do mundo real — todo polinômio real se fatora em pedaços reais de graus 11 e 22 — e aponte a questão 12 como exemplo.
  5. Final — o retrato de C\C, uma frase para cada: os números viram pontos; a multiplicação vira rotação-com-dilatação; as raízes da unidade viram polígonos regulares; De Moivre transforma potências em identidades trigonométricas; e o fecho algébrico garante que nenhuma equação jamais precisará de um mundo maior. Coda: que dois números célebres se encontraram na questão 10?
Solução

Solução de Problema 28.1.

1. (2+i)(3−i)=6−2i+3i+1=7+i(2 + \iu)(3 - \iu) = 6 - 2\iu + 3\iu + 1 = 7 + \iu. 1+i1−i=(1+i)22=2i2=i\frac{1 + \iu}{1 - \iu} = \frac{(1 + \iu)^2}{2} = \frac{2\iu}{2} = \iu. ∣3+4i∣=5\abs{3 + 4\iu} = 5.

2. 1+i=2 eiπ/41 + \iu = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4}; −2=2eiπ-2 = 2\eu^{\iu\pi}; 1−i3=2e−iπ/31 - \iu\sqrt3 = 2\eu^{-\iu\pi/3}.

3. (1+i)8=(2)8e8iπ/4=16 e2iπ=16(1 + \iu)^8 = \left(\sqrt2\right)^8 \eu^{8\iu\pi/4} = 16\,\eu^{2\iu\pi} = 16.

4. z2=eiπ/2z^2 = \eu^{\iu\pi/2}: z=±eiπ/4=±22(1+i)z = \pm\eu^{\iu\pi/4} = \pm\frac{\sqrt2}{2}(1 + \iu). E Δ=4−20=−16\Delta = 4 - 20 = -16: z=1±2iz = 1 \pm 2\iu.

5. z↦izz \mapsto \iu z: rotação de um quarto de volta em torno da origem. ∣z−(1+i)∣=2\abs{z - (1 + \iu)} = 2: o círculo de centro 1+i1 + \iu e raio 22.

6. (ωk)5=e2iπk=1\left(\omega^k\right)^5 = \eu^{2\iu\pi k} = 1, e os cinco pontos e2ikπ/5\eu^{2\iu k\pi/5} são distintos: as cinco soluções de z5=1z^5 = 1. Eles ficam no círculo de raio 11 em ângulos iguais de 72∘72^\circ: um pentágono regular com um vértice em 11.

7. S=1+ω+⋯+ω4S = 1 + \omega + \dots + \omega^4 satisfaz (1−ω)S=1−ω5=0(1 - \omega)S = 1 - \omega^5 = 0, e ω≠1\omega \neq 1: S=0S = 0. (O ponto de equilíbrio do pentágono é o seu centro.)

8. ω4=ω‾\omega^4 = \overline\omega e ω3=ω2‾\omega^3 = \overline{\omega^2}: emparelhando conjugados, a parte real da soma lê-se 1+2cos⁡2π5+2cos⁡4π5=01 + 2\cos\frac{2\pi}{5} + 2\cos\frac{4\pi}{5} = 0.

9. cos⁡4π5=2c2−1\cos\frac{4\pi}{5} = 2c^2 - 1, logo 1+2c+4c2−2=01 + 2c + 4c^2 - 2 = 0, isto é, 4c2+2c−1=04c^2 + 2c - 1 = 0: c=−1+54c = \frac{-1 + \sqrt5}{4} (a raiz positiva, já que 72∘72^\circ é agudo): cos⁡72∘=5−14\cos 72^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}{4}.

10. Numericamente, c≈0.30902c \approx 0.30902: bate com a calculadora. E 12φ=11+5=5−14\frac{1}{2\varphi} = \frac{1}{1 + \sqrt5} = \frac{\sqrt5 - 1}{4} (racionalizando): c=12φc = \frac{1}{2\varphi}. O pentágono é áureo de ponta a ponta: sua diagonal corta o lado na razão φ\varphi — a autossemelhança sem fim do pentagrama.

11. Raízes quadradas são construtíveis com compasso (a máquina do semicírculo da média geométrica, no volume do ensino fundamental), de modo que um número construído a partir dos racionais só com raízes quadradas — como cos⁡72∘\cos 72^\circ — é construtível; raízes cúbicas não são, e cos⁡20∘\cos 20^\circ precisa de uma: o pentágono cede, a trissecção resiste. O critério de Gauss decide todo polígono regular — seu polígono de 17 lados, aos dezenove anos, fê-lo escolher a matemática.

12. −4=4eiπ-4 = 4\eu^{\iu\pi}: as raízes quartas têm módulo 2\sqrt2 e argumentos π4+kπ2\frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}: os quatro números ±1±i\pm 1 \pm \iu. Emparelhando conjugados: (z−1−i)(z−1+i)=z2−2z+2(z - 1 - \iu)(z - 1 + \iu) = z^2 - 2z + 2 e (z+1−i)(z+1+i)=z2+2z+2(z + 1 - \iu)(z + 1 + \iu) = z^2 + 2z + 2: a fatoração do Exercício 28.8.

13. (cos⁡θ+isin⁡θ)3=cos⁡3θ+3icos⁡2θsin⁡θ−3cos⁡θsin⁡2θ−isin⁡3θ(\cos\theta + \iu\sin\theta)^3 = \cos^3\theta + 3\iu\cos^2\theta\sin\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta - \iu\sin^3\theta; por De Moivre isso é igual a cos⁡3θ+isin⁡3θ\cos 3\theta + \iu \sin 3\theta. Partes reais: cos⁡3θ=cos⁡3θ−3cos⁡θ(1−cos⁡2θ)=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta(1 - \cos^2\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta — e as partes imaginárias entregam sin⁡3θ\sin 3\theta de brinde.

14. Trata-se da parte real de 1+ω+⋯+ω4=01 + \omega + \dots + \omega^4 = 0: a soma vale 00 — exatamente a questão 8, vista pelo núcleo do Exercício 28.9.

15. 8i=8eiπ/28\iu = 8\eu^{\iu\pi/2}: raízes 2eiπ/6=3+i2\eu^{\iu\pi/6} = \sqrt3 + \iu; 2e5iπ/6=−3+i2\eu^{5\iu\pi/6} = -\sqrt3 + \iu; 2e3iπ/2=−2i2\eu^{3\iu\pi/2} = -2\iu.

16. 1+i=2 eiπ/41 + \iu = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4}: a aplicação gira o plano em 45∘45^\circ e o dilata por 2\sqrt2. O quadrado unitário vira um quadrado inclinado de lado 2\sqrt2 — área dobrada, girado um oitavo de volta.

17. ∣z1z2∣2=z1z2z1z2‾=z1z1‾ z2z2‾=∣z1∣2∣z2∣2\abs{z_1 z_2}^2 = z_1 z_2 \overline{z_1 z_2} = z_1\overline{z_1}\, z_2\overline{z_2} = \abs{z_1}^2\abs{z_2}^2: extraia raízes quadradas. Potências de 1+i1 + \iu: 1+i1 + \iu, 2i2\iu, −2+2i-2 + 2\iu, −4-4: cada uma um giro de 45∘45^\circ a mais e 2\sqrt2 vezes mais longa — uma espiral para fora, com módulos 2,2,22,4,…\sqrt2, 2, 2\sqrt2, 4, \dots

18. j\mathrm{j} é uma raiz cúbica da unidade diferente de 11, de modo que (o argumento da questão 7 com n=3n = 3) 1+j+j2=01 + \mathrm{j} + \mathrm{j}^2 = 0. Critério no triângulo padrão: a+jb+j2c=1+j⋅j+j2⋅j2=1+j2+j4=1+j2+j=0a + \mathrm{j}b + \mathrm{j}^2 c = 1 + \mathrm{j}\cdot\mathrm{j} + \mathrm{j}^2 \cdot \mathrm{j}^2 = 1 + \mathrm{j}^2 + \mathrm{j}^4 = 1 + \mathrm{j}^2 + \mathrm{j} = 0: satisfeito, como exige o triângulo equilátero (1,j,j2)\left(1, \mathrm{j}, \mathrm{j}^2\right).

19. Sobre C\C, um polinômio real se decompõe em fatores lineares; suas raízes não reais vêm em pares conjugados (conjugue a equação), e cada par se multiplica formando um trinômio real z2−2Re⁡(z0) z+∣z0∣2z^2 - 2\operatorname{Re}(z_0)\,z + \abs{z_0}^2: daí a fatoração real em pedaços de graus 11 e 22 — a questão 12 a executou em z4+4z^4 + 4.

20. Pontos; rotação com dilatação; polígonos regulares; identidades trigonométricas por expansão; e um mundo fechado em que toda equação de grau nn tem suas nn raízes. Coda: na questão 10, o pentágono de π\pi apertou a mão da razão áurea — os dois convidados mais famosos de Euclides, enfim apresentados por uma soma de cinco setas igual a zero.