Superfície parametrizada regular কী?

Exemplo 19.2 (As três descrições padrão)

1. Gráfico: $\sigma(u, v) = (u,\ v,\ f(u, v))$ para $f \in \mathcal{C}^1(U)$. Sempre regular: $\sigma_u = (1, 0, f_u)$ e $\sigma_v = (0, 1, f_v)$ são independentes.

2. Esfera (coordenadas esféricas): para a esfera de raio $R$,

   $$\sigma(\theta, \varphi) = (R\cos\theta\cos\varphi,\ R\sin\theta\cos\varphi,\ R\sin\varphi), \qquad (\theta, \varphi) \in \R \times \bigl(-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2\bigr),$$

   com $\theta$ a longitude e $\varphi$ a latitude. Verifica-se que $\norm{\sigma_\theta \wedge \sigma_\varphi} = R^2\cos\varphi > 0$: regular fora dos polos (que esta carta omite).

3. Conjunto de nível: $S = \{(x,y,z) : f(x, y, z) = c\}$ em que $f$ é $\mathcal{C}^1$ e $\nabla f \neq 0$ em $S$. Perto de cada ponto, uma coordenada pode ser expressa como função das outras duas pelo teorema da função implícita (Capítulo 15), de modo que $S$ é localmente um gráfico.

Exemplo 19.3 (Do conjunto de nível ao gráfico)

O teorema da função implícita do item 3 merece uma passagem explícita. Tome a esfera $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ perto de seu polo norte $(0, 0, R)$: ali $\frac{\partial f}{\partial z} = 2z = 2R \neq 0$ e, resolvendo em $z$, obtém-se a carta gráfico

regular em todo o seu domínio (aberto) — inclusive no polo que a carta esférica perdia. Perto de um ponto do equador como $(R, 0, 0)$, o mesmo teorema resolve em $x$ ($\frac{\partial f}{\partial x} = 2R \neq 0$). A regra prática: uma superfície de nível é um gráfico sobre o plano coordenado ortogonal à maior componente do gradiente e, cobrindo a esfera com seis dessas cartas gráfico, verifica-se sua suavidade em toda parte sem trigonometria alguma.