Matemática universitária — Graduação 2 · Bachelor Year 2

15Cálculo diferencial

O cálculo a duas variáveis do volume do primeiro ano de graduação amadurece no cálculo diferencial de aplicações entre espaços normados: a diferencial como melhor aproximação linear, a regra da cadeia em plena generalidade, o teorema da simetria de Schwarz demonstrado, fórmulas de Taylor e a análise completa de segunda ordem dos extremos. O teorema da função inversa, coroa da teoria, é enunciado com sua estratégia de demonstração — um ponto fixo de Banach — explicitada.

Em todo o capítulo, $U$ é um aberto de $\R^n$ (ou de um espaço normado; o caso de dimensão finita carrega todas as ideias), $f \colon U \to \R^m$ .

15.1 A diferencial

Definição 15.1

$f$ é diferenciável em $a$ quando existe uma aplicação linear (contínua) $\dd f_a \colon \R^n \to \R^m$ com

f(a + h) = f(a) + \dd f_a(h) + o(\norm h) \qquad (h \to 0).

A aplicação $\dd f_a$ , a diferencial de $f$ em $a$ , é única; sua matriz nas bases canônicas é a matriz jacobiana $J_f(a) = \bigl(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)\bigr)$ . A diferenciabilidade implica a continuidade e a existência de todas as derivadas direcionais $\dd f_a(v) = \lim_{t\to0}\frac{f(a + tv) - f(a)}{t}$ ; a recíproca falha (Exercício 15.2). Para $m = 1$ , $\dd f_a(h) = \langle \nabla f(a), h\rangle$ : o gradiente do primeiro ano, agora entendido como o vetor que representa a diferencial.

Teorema 15.2 (Critério $C^1$ )

Se todas as derivadas parciais de $f$ existem em $U$ e são contínuas em $a$ , então $f$ é diferenciável em $a$ . “ $C^1$ em $U$ ” — parciais contínuas — implica portanto a diferenciabilidade em toda parte, com diferencial contínua.

Demonstração. Componente a componente ( $m = 1$ basta). A demonstração do primeiro ano para duas variáveis — mova uma coordenada de cada vez, aplique o teorema do valor médio de uma variável em cada trecho e use a continuidade das parciais em $a$ — generaliza-se palavra por palavra a $n$ trechos:

f(a + h) - f(a) = \sum_{j=1}^{n} \bigl(f(a + h^{(j)}) - f(a + h^{(j-1)})\bigr) = \sum_j h_j\,\frac{\partial f}{\partial x_j}(\xi_j),

em que $h^{(j)}$ congela as $j$ primeiras coordenadas de $h$ e $\xi_j$ está no $j$ -ésimo trecho; a continuidade transforma cada $\frac{\partial f}{\partial x_j}(\xi_j)$ em $\frac{\partial f}{\partial x_j}(a) + o(1)$ , e o erro é $o(\norm h)$ . ∎

Teorema 15.3 (Regra da cadeia)

Se $f$ é diferenciável em $a$ e $g$ em $f(a)$ , então $g \circ f$ é diferenciável em $a$ com

\dd(g \circ f)_a = \dd g_{f(a)} \circ \dd f_a , \qquad J_{g\circ f}(a) = J_g\bigl(f(a)\bigr)\,J_f(a) :

as jacobianas se multiplicam.

Demonstração. Escreva $f(a + h) = f(a) + \dd f_a(h) + \norm h\,\varepsilon_1(h)$ e $g(b + k) = g(b) + \dd g_b(k) + \norm k\,\varepsilon_2(k)$ com $b = f(a)$ , $k = k(h) = \dd f_a(h) + \norm h \varepsilon_1(h)$ . Substituindo,

g(f(a+h)) = g(b) + \dd g_b\bigl(\dd f_a(h)\bigr) + \norm h\,\dd g_b(\varepsilon_1(h)) + \norm{k}\,\varepsilon_2(k),

e os dois termos de erro são $o(\norm h)$ : o primeiro porque $\dd g_b$ é contínua e $\varepsilon_1 \to 0$ ; o segundo porque $\norm k \leq C\norm h$ (aplicação linear limitada mais termo pequeno) e $\varepsilon_2(k) \to 0$ quando $h \to 0$ . ∎

Exemplo 15.4 (Funções radiais, de uma vez por todas)

Sejam $r(x) = \norm x_2$ em $\R^n\setminus\{0\}$ e $f = g \circ r$ com $g$ uma função $C^1$ de uma variável. Primeiro, $r$ é diferenciável fora de $0$ : de $r^2 = \sum x_i^2$ ,

\frac{\partial r}{\partial x_i} = \frac{x_i}{r}, \qquad\text{i.e.}\qquad \nabla r(x) = \frac{x}{\norm x} ,

o vetor radial unitário (derive $r^2$ e divida — ou aplique a regra da cadeia a $\sqrt{\cdot}$ ). Então a regra da cadeia dá, para toda função radial,

\nabla f(x) = g'\bigl(\norm x\bigr)\,\frac{x}{\norm x} .

Instância trabalhada: $g(r) = \frac1r$ fornece $\nabla\frac{1}{\norm x} = -\frac{x}{\norm x^3}$ , o campo inverso do quadrado da gravitação e da eletrostática — direção radial, magnitude $\frac{1}{\norm x^2}$ . Lição final: os gradientes de funções radiais são radiais porque as superfícies de nível são esferas e o gradiente é ortogonal às superfícies de nível; em $x = 0$ , em contraste, $r$ não é diferenciável (nenhuma aplicação linear candidata casa com $\norm h$ vinda de todas as direções) — perfis radiais suaves precisam de $g'(0) = 0$ para cruzar a origem com elegância.

Teorema 15.5 (Desigualdade do valor médio)

Seja $f$ diferenciável em $U$ e suponha que o segmento $\intcc{a}{b} = \{a + t(b-a)\}$ esteja em $U$ . Então

\norm{f(b) - f(a)} \leq \norm{b - a}\, \sup_{x \in \intcc{a}{b}} \vertiii{\dd f_x} .

Em particular, uma aplicação diferenciável de diferencial nula num aberto conexo é constante.

Demonstração. A função $\varphi(t) = f(a + t(b-a))$ é diferenciável em $\intcc{0}{1}$ com $\varphi'(t) = \dd f_{a + t(b-a)}(b - a)$ (regra da cadeia), de norma $\leq M\norm{b-a}$ com $M$ o sup exibido. Para $f$ com valores em $\R$ , a desigualdade do valor médio de uma variável conclui; para valores vetoriais, aplique-a a $t \mapsto \langle u, \varphi(t)\rangle$ com $u$ o vetor unitário ao longo de $f(b) - f(a)$ . Constância: localmente constante (segmentos em bolas) mais conexidade (o conjunto em que $f$ vale um dado valor é aberto e fechado: Capítulo 4). ∎

Exemplo 15.6 (Uma constante de Lipschitz pela DVM)

$f(x, y) = \sin x\,\sin y$ é lipschitziana em $\R^2$ , e com qual constante? Seu gradiente é $\nabla f = (\cos x\sin y,\ \sin x\cos y)$ , de norma ao quadrado

\cos^2x\sin^2y + \sin^2x\cos^2y \leq \sin^2 y + \cos^2y\cdot 1 = 1

(majore $\cos^2x$ e $\sin^2x$ por $1$ separadamente), logo $\vertiii{\dd f_{(x,y)}} = \norm{\nabla f} \leq 1$ em toda parte, e Teorema 15.5 no segmento entre dois pontos quaisquer dá

\abs{f(b) - f(a)} \leq \norm{b - a}_2 :

$f$ é $1$ -lipschitziana, e a constante é ótima (perto da origem, $f(x, \tfrac\pi2) = \sin x$ tem inclinação $1$ ). Lição final: a desigualdade do valor médio converte uma cota pontual sobre a diferencial num módulo global de continuidade — a rota padrão para estimativas lipschitzianas em qualquer dimensão, e o motor dentro do Exercício 15.12.

15.2 Derivadas segundas

Teorema 15.7 (Schwarz)

Se $f$ é $C^2$ em $U$ (todas as parciais segundas existem e são contínuas), então, para todos $i, j$ :

\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\,\partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\,\partial x_i} .

Demonstração. Duas variáveis bastam ( $x = x_i$ , $y = x_j$ , as outras congeladas). Considere a diferença segunda

\Delta(h) = f(a + h, b + h) - f(a + h, b) - f(a, b + h) + f(a,b) .

Fixe $h$ e ponha $\varphi(x) = f(x, b+h) - f(x, b)$ : então $\Delta(h) = \varphi(a + h) - \varphi(a)$ , e duas aplicações do teorema do valor médio dão

\Delta(h) = h\,\varphi'(\xi) = h\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x}(\xi, b+h) - \frac{\partial f}{\partial x}(\xi, b)\Bigr) = h^2\,\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}(\xi, \eta),

com $\xi \in \intoo{a}{a+h}$ , $\eta \in \intoo{b}{b+h}$ . Pela continuidade, $\frac{\Delta(h)}{h^2} \to \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(a, b)$ quando $h \to 0$ . O mesmo cálculo com os papéis das variáveis trocados (congele primeiro a segunda variável) dá $\frac{\Delta(h)}{h^2} \to \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a,b)$ : os dois limites da mesma quantidade coincidem. ∎

Exemplo 15.8 (Por que $C^2$ é necessário: o contraexemplo de Peano)

Seja $f(x, y) = \dfrac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2}$ , $f(0,0) = 0$ . Fora da origem $f$ é $C^\infty$ ; na origem, todas as parciais primeiras e segundas existem, mas as mistas discordam. Calcule ao longo dos eixos: $f(x, 0) = f(0, y) = 0$ e, para $y \neq 0$ ,

\frac{\partial f}{\partial x}(0, y) = \lim_{x\to0}\frac{f(x,y)}{x} = \frac{y(0 - y^2)}{y^2} = -y , \qquad\text{simetricamente}\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x, 0) = x .

Logo

\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}(0,0) = \frac{\dd}{\dd y}\Bigl[\frac{\partial f}{\partial x}(0,y)\Bigr]_{y=0} = -1, \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}(0,0) = +1 :

as duas parciais mistas existem e diferem. Nenhuma contradição com o Teorema 15.7: as parciais segundas de $f$ não são contínuas em $0$ (teste ao longo de $y = tx$ ). Lição final: o teorema de Schwarz é um teorema genuíno sobre continuidade, e não uma identidade formal — e a hipótese “ $C^2$ ” no Taylor–Young a seguir está fazendo trabalho de verdade.

Teorema 15.9 (Taylor–Young de ordem 2)

Seja $f \colon U \to \R$ de classe $C^2$ e $a \in U$ . Então, quando $h \to 0$ ,

f(a + h) = f(a) + \langle\nabla f(a), h\rangle + \frac12\, \langle H_a h,\, h\rangle + o\bigl(\norm h^2\bigr),

em que $H_a = \bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(a)\bigr)$ é a matriz hessiana (simétrica, por Schwarz).

Demonstração. Aplique o teorema de Taylor–Young de uma variável (volume do primeiro ano de graduação) a $\varphi(t) = f(a + th)$ em $\intcc{0}{1}$ : pela regra da cadeia, $\varphi'(t) = \langle \nabla f(a + th), h\rangle$ e $\varphi''(t) = \langle H_{a+th}h, h\rangle$ , ambas contínuas em $t$ . Então $\varphi(1) = \varphi(0) + \varphi'(0) + \frac12\varphi''(\theta)$ (Taylor–Lagrange) com $\theta \in \intoo{0}{1}$ , e a continuidade das parciais segundas converte $\varphi''(\theta) = \varphi''(0) + o(1)\cdot\norm h^2$ uniformemente: o desenvolvimento exibido. ∎

Exemplo 15.10 (Um desenvolvimento de duas maneiras)

Desenvolva $f(x, y) = \eu^x\cos y$ na origem até a ordem $2$ . Por composição de desenvolvimentos de uma variável:

\eu^x\cos y = \Bigl(1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)\Bigr)\Bigl(1 - \frac{y^2}{2} + o(y^2)\Bigr) = 1 + x + \frac{x^2 - y^2}{2} + o\bigl(\norm{(x,y)}^2\bigr) .

Por derivadas parciais: $f_x = \eu^x\cos y$ , $f_y = -\eu^x\sin y$ , logo $\nabla f(0) = (1, 0)$ ; e $f_{xx} = f$ , $f_{yy} = -f$ , $f_{xy} = -\eu^x\sin y$ dão $H_0 = \operatorname{diag}(1, -1)$ : Teorema 15.9 reproduz $1 + x + \frac12(x^2 - y^2)$ . Os dois cálculos coincidem, e a rota por composição foi mais rápida — nenhuma parcial segunda. Lição final: a origem não é um ponto crítico ( $\nabla f \neq 0$ ), de modo que, apesar da hessiana indefinida, não há sela a declarar: o termo linear manda, e o teste de segunda ordem só fala em pontos críticos.

Teorema 15.11 (Teste de extremo de segunda ordem, demonstrado)

Seja $f$ de classe $C^2$ perto de um ponto crítico $a$ ( $\nabla f(a) = 0$ ), com hessiana $H = H_a$ .

Se $H$ é positiva definida, $a$ é mínimo local estrito (negativa definida: máximo).
Se $H$ tem autovalores dos dois sinais, $a$ é uma sela: sem extremo.
Se $H$ é singular (e semidefinida), nada se conclui.

O teste “ $rt - s^2$ ” do primeiro ano é o caso $n = 2$ : $\det H = rt - s^2$ , com o sinal de $\operatorname{tr}$ lido em $r$ .

Demonstração. Pelo teorema espectral (Teorema 12.13), a forma quadrática de $H$ fica espremida entre seus autovalores extremos: $\lambda_{\min}\norm h^2 \leq \langle Hh, h\rangle \leq \lambda_{\max}\norm h^2$ .

(1) Se $\lambda_{\min} > 0$ : Taylor–Young dá

f(a + h) - f(a) \geq \frac{\lambda_{\min}}{2}\norm h^2 - o(\norm h^2) > 0

para $h \neq 0$ pequeno: mínimo local estrito.

(2) Ao longo de um autovetor $v_+$ com $\lambda_+ > 0$ : $f(a + tv_+) - f(a) = \frac{\lambda_+}{2}t^2 + o(t^2) > 0$ para $t$ pequeno; ao longo de $v_-$ com $\lambda_- < 0$ a diferença é negativa: os dois sinais ocorrem em toda vizinhança.

(3) $f(x,y) = x^2 + y^4$ , $x^2 - y^4$ , $x^2 + y^3$ compartilham a mesma hessiana singular semidefinida em $0$ com três comportamentos diferentes. ∎

Exemplo 15.12 (Uma classificação completa, global inclusive)

Classifique todos os extremos de $f(x, y) = x^4 + y^4 - 4xy$ em $\R^2$ . Pontos críticos: $\nabla f = (4x^3 - 4y,\ 4y^3 - 4x) = 0$ dá $y = x^3$ e $x = y^3 = x^9$ , logo $x(x^8 - 1) = 0$ : as soluções reais são $(0,0)$ , $(1,1)$ , $(-1,-1)$ . Hessianas: $H = \begin{pmatrix} 12x^2 & -4\\ -4 & 12y^2\end{pmatrix}$ . Em $(\pm1, \pm1)$ : $\begin{pmatrix} 12 & -4\\ -4 & 12\end{pmatrix}$ , autovalores $8$ e $16$ : positiva definida, mínimos locais estritos com $f = -2$ . Em $(0,0)$ : $\begin{pmatrix} 0 & -4\\ -4 & 0\end{pmatrix}$ , autovalores $\pm4$ : uma sela. Globalidade: de $2\abs{xy} \leq x^2 + y^2$ ,

f(x, y) \geq x^4 + y^4 - 2(x^2 + y^2) = (x^2 - 1)^2 + (y^2 - 1)^2 + x^2 + y^2 - 2 \xrightarrow[\norm{(x,y)}\to\infty]{} +\infty :

$f$ é coerciva, logo atinge um mínimo global (compacidade dos conjuntos de subnível), necessariamente num ponto crítico: o valor $-2$ , tanto em $(1,1)$ quanto em $(-1,-1)$ , é o mínimo global; não há máximo ( $f$ é ilimitada superiormente). Lição final: o teste local classifica candidatos, mas só um argumento de crescimento transforma “local” em “global” — o padrão em dois passos de toda demonstração de otimização deste livro.

Método 15.13 (Classificar os extremos de $f \colon \R^n \to \R$ )

Resolva $\nabla f = 0$ (todos os pontos críticos; num domínio com fronteira, trate a fronteira à parte, como no Exercício 15.7).
Em cada ponto crítico, calcule a hessiana e os sinais de seus autovalores — em dimensão $2$ , apenas $\det H$ e $\operatorname{tr} H$ : $\det < 0$ sela; $\det > 0$ extremo, do tipo dado pelo sinal do traço; $\det = 0$ : o teste se cala, estude $f$ ao longo de curvas.
Para enunciados globais, acrescente um argumento de compacidade ou de coercividade ( $f \to +\infty$ no infinito, ou um conjunto de restrições compacto) e depois compare os valores críticos.

15.3 O teorema da função inversa

Teorema 15.14 (Teorema da função inversa)

Seja $f \colon U \to \R^n$ de classe $C^1$ e $a \in U$ com $\dd f_a$ invertível. Então existem vizinhanças abertas $V \ni a$ , $W \ni f(a)$ tais que $f \colon V \to W$ é uma bijeção com inversa $C^1$ , e

\dd (f^{-1})_{f(x)} = (\dd f_x)^{-1} \qquad (x \in V).

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 15.15 (Por que é verdade: a estratégia do ponto fixo)

Resolver $f(x) = y$ perto de $a$ reescreve-se como a equação de ponto fixo $x = x + \dd f_a^{-1}\bigl(y - f(x)\bigr) =: \Phi_y(x)$ ; a aplicação $\Phi_y$ tem diferencial $\mathrm{id} - \dd f_a^{-1}\dd f_x$ , pequena perto de $a$ pela continuidade de $\dd f$ , de modo que $\Phi_y$ é uma contração numa bola fechada pequena e o teorema do ponto fixo de Banach (Teorema 4.12) fornece a única solução local $x = f^{-1}(y)$ . A continuidade e a diferenciabilidade da inversa decorrem então das estimativas da contração. A contabilidade completa é executada no terceiro ano; a estratégia — e o enunciado — são usados livremente daqui em diante. O teorema da função implícita companheiro (resolver $F(x, y) = 0$ em $y(x)$ quando $\frac{\partial F}{\partial y}$ é invertível) segue aplicando o teorema a $(x, y) \mapsto (x, F(x,y))$ .

Exemplo 15.16 (Coordenadas polares)

$\Phi(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ tem jacobiana

J_\Phi = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}, \qquad \det J_\Phi = r :

invertível para $r \neq 0$ , de modo que $\Phi$ é um difeomorfismo local $C^1$ fora da origem — a licença para “passar a coordenadas polares”, renovada para as integrais múltiplas do Capítulo 20.

Exemplo 15.17 (Local em toda parte, global em lugar nenhum)

Seja $f(x, y) = \bigl(\eu^x\cos y,\ \eu^x\sin y\bigr)$ em $\R^2$ . Sua jacobiana,

J_f = \begin{pmatrix} \eu^x\cos y & -\eu^x\sin y\\ \eu^x\sin y & \eu^x\cos y \end{pmatrix}, \qquad \det J_f = \eu^{2x} > 0 ,

nunca se anula: pelo Teorema 15.14, $f$ é um difeomorfismo local $C^1$ em todo ponto do plano. E no entanto $f$ está longe de ser injetiva: $f(x, y + 2\pi) = f(x, y)$ , de modo que todo valor é assumido uma infinidade de vezes; e ela também não é sobrejetiva, pois $\norm{f(x, y)} = \eu^x > 0$ nunca atinge a origem. Lição final: o teorema da função inversa é irredutivelmente local — a invertibilidade de todo $\dd f_a$ produz uma colcha de retalhos de inversas locais que não precisam se juntar numa só. (Quem conhece números complexos reconhecerá $z \mapsto \eu^z$ ; a colcha é a família de ramos do logaritmo.) Compare com o Exercício 15.12, em que uma hipótese global quantitativa força de fato uma inversa global.

Observação 15.18 (Armadilhas comuns)

(i) Derivadas direcionais são baratas, diferenciais não são: todas as derivadas direcionais podem existir — e até deixar de depender linearmente da direção — sem diferenciabilidade (Exercício 15.2); só o critério $C^1$ (Teorema 15.2) eleva as parciais a uma diferencial. (ii) Crítico não significa extremo: as selas (Exemplo 15.12) e o caso singular silencioso (Teorema 15.11 (3)) se escondem os dois atrás de $\nabla f = 0$ . (iii) Não há igualdade do valor médio para valores vetoriais: só a desigualdade do Teorema 15.5 sobrevive (Exercício 15.9); nunca escreva $f(b) - f(a) = \dd f_c(b-a)$ para $f$ com valores em $\R^m$ , $m \geq 2$ . (iv) A invertibilidade local não é injetividade: Exemplo 15.17. (v) O gradiente pertence ao produto interno: $\nabla f$ é o vetor que representa $\dd f_a$ num produto interno escolhido; mude o produto (como no exemplo ponderado do capítulo de formas quadráticas) e o gradiente gira, enquanto a diferencial — o objeto intrínseco — não se move.

Observação 15.19 (Onde isso é usado)

Tudo o que vem depois deste capítulo é cálculo diferencial aplicado: o capítulo de equações diferenciais lineariza fluxos e usa a fórmula do determinante de Liouville (demonstrada no problema de fim de semana deste capítulo); os capítulos sobre curvas e superfícies estudam conjuntos de nível e parametrizações pelo teorema da função implícita; as integrais múltiplas mudam de variáveis por jacobianos. O problema de fim de semana desenvolve o cálculo no próprio espaço das matrizes — diferencial do determinante, da inversa, a exponencial de matriz e o grupo ortogonal como conjunto de nível suave — a sombra, no segundo ano, do que o volume do terceiro ano formaliza como variedades e grupos de Lie.

15.4 Exercícios

Exercício 15.1 ★

Calcule as matrizes jacobianas de $f(x,y) = (x^2 - y^2,\, 2xy)$ e de $\Phi(r,\theta,z) = (r\cos\theta, r\sin\theta, z)$ ; onde são invertíveis as diferenciais?

Solução

Solução de Exercício 15.1.

$J_f = \begin{pmatrix} 2x & -2y\\ 2y & 2x\end{pmatrix}$ , $\det J_f = 4(x^2 + y^2)$ : invertível fora da origem. (Essa $f$ é $z \mapsto z^2$ disfarçada de complexa.)

$J_\Phi = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0\\ \sin\theta & r\cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ , $\det = r$ : invertível para $r \neq 0$ (coordenadas cilíndricas).

Exercício 15.2 ★

Seja $f(x,y) = \frac{x^3}{x^2 + y^2}$ ( $f(0,0) = 0$ ). Prove que todas as derivadas direcionais de $f$ em $0$ existem, mas que $f$ não é diferenciável em $0$ (a aplicação $v \mapsto$ derivada direcional não é linear).

Solução

Solução de Exercício 15.2.

Para $v = (a, b) \neq 0$ : $\frac{f(tv) - 0}{t} = \frac{t^3a^3}{t\cdot t^2(a^2+b^2)} = \frac{a^3}{a^2 + b^2}$ : toda derivada direcional existe, com valor $D_v = \frac{a^3}{a^2+b^2}$ . Mas $v \mapsto D_v$ não é linear ( $D_{(1,0)} = 1$ , $D_{(0,1)} = 0$ , $D_{(1,1)} = \frac12 \neq 1$ ): nenhuma aplicação linear pode produzir esses valores, logo $f$ não é diferenciável em $0$ (a diferencial teria de ser $v \mapsto D_v$ ).

Exercício 15.3 ★

Ache e classifique os pontos críticos de $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$ usando Teorema 15.11, e de $g(x,y) = x^4 + y^4 - 2(x - y)^2$ .

Solução

Solução de Exercício 15.3.

$f = x^3 + y^3 - 3xy$ : pontos críticos $(0,0)$ e $(1,1)$ (cálculo do primeiro ano). Hessianas: $H = \begin{pmatrix} 6x & -3\\ -3 & 6y\end{pmatrix}$ . Em $(0,0)$ : sinais próprios mistos ( $\det = -9 < 0$ ): sela. Em $(1,1)$ : $\det = 27 > 0$ , traço $> 0$ : positiva definida, mínimo local estrito — agora justificado pelo Teorema 15.11 em vez de decretado.

$g = x^4 + y^4 - 2(x-y)^2$ : $\nabla g = (4x^3 - 4(x - y),\; 4y^3 + 4(x-y))$ ; pontos críticos $(0,0)$ , $(\sqrt2, -\sqrt2)$ , $(-\sqrt2, \sqrt2)$ (primeiro ano). Em $(\pm\sqrt2, \mp\sqrt2)$ : $H = \begin{pmatrix} 12\cdot2 - 4 & 4\\ 4 & 20\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 & 4\\ 4 & 20\end{pmatrix}$ : positiva definida (diagonalmente dominante; autovalores $24, 16$ ): mínimos locais estritos. Em $(0,0)$ : $H = \begin{pmatrix} -4 & 4\\ 4 & -4\end{pmatrix}$ , singular negativa semidefinida: o teste se cala; o estudo direcional ( $g(x,x) = 2x^4 > 0$ , $g(x,-x) = 2x^4 - 8x^2 < 0$ pequeno) mostra um ponto do tipo sela — sem extremo.

Exercício 15.4 ★★

Seja $f \colon \R^n \to \R$ de classe $C^1$ e homogênea de grau $p$ : $f(tx) = t^pf(x)$ para $t > 0$ . Demonstre a identidade de Euler

\langle \nabla f(x), x\rangle = p\,f(x) ,

e sua recíproca para funções $C^1$ em $\R^n\setminus\{0\}$ .

Solução

Solução de Exercício 15.4.

Derive $t \mapsto f(tx)$ em $t = 1$ : pela regra da cadeia, $\langle \nabla f(x), x\rangle$ ; por homogeneidade, a mesma função é $t^pf(x)$ , de derivada $pf(x)$ em $t = 1$ : a identidade de Euler.

Recíproca: fixe $x \neq 0$ e ponha $\varphi(t) = f(tx) - t^p f(x)$ em $t > 0$ . Então $\varphi'(t) = \langle\nabla f(tx), x\rangle - pt^{p-1}f(x) = \frac1t\bigl(\langle \nabla f(tx), tx\rangle - p\,t^pf(x)\bigr)$ . A hipótese — a identidade de Euler no ponto $tx$ — avalia o colchete como $p\,f(tx) - p\,t^pf(x) = p\,\varphi(t)$ . Logo $\varphi' = \frac{p}{t}\varphi$ com $\varphi(1) = 0$ : a única solução da EDO linear é $\varphi \equiv 0$ (unicidade do primeiro ano), isto é, $f(tx) = t^pf(x)$ .

Exercício 15.5 ★★

Sejam $A$ simétrica e $f(x) = \frac12\langle Ax, x\rangle - \langle b, x\rangle$ . Calcule $\nabla f$ e $H_f$ ; quando $f$ é convexa? Supondo $A$ positiva definida, mostre que $f$ tem um único mínimo global na solução de $Ax = b$ — a razão de ser do método do gradiente.

Solução

Solução de Exercício 15.5.

Desenvolvendo $f(x + h) - f(x) = \langle Ax - b, h\rangle + \frac12\langle Ah, h\rangle$ (simetria de $A$ ): $\nabla f(x) = Ax - b$ e $H_f = A$ em toda parte. $f$ é convexa se e somente se $A$ é positiva semidefinida (o teste da hessiana, global aqui pois $H$ é constante: a fórmula de Taylor de segunda ordem é exata). Se $A$ é positiva definida: o único ponto crítico é $x^* = A^{-1}b$ , e $f(x^* + h) - f(x^*) = \frac12\langle Ah, h\rangle \geq \frac{\lambda_{\min}}{2}\norm h^2 > 0$ para $h \neq 0$ : mínimo global estrito.

Exercício 15.6 ★★

(Multiplicador de Lagrange, uma restrição, demonstrado à mão) Sejam $f, g$ de classe $C^1$ em $\R^2$ e suponha que $f$ atinja, em $a$ , um extremo local no conjunto de nível $\{g = 0\}$ , com $\nabla g(a) \neq 0$ . Prove que $\nabla f(a) = \lambda\nabla g(a)$ para algum $\lambda$ . (Parametrize o conjunto de nível perto de $a$ pelo teorema da função implícita e derive $t \mapsto f(\gamma(t))$ .) Aplicação: extremos de $f(x,y) = xy$ no círculo $x^2 + y^2 = 1$ .

Solução

Solução de Exercício 15.6.

Como $\nabla g(a) \neq 0$ , alguma parcial, digamos $\frac{\partial g}{\partial y}(a) \neq 0$ : o teorema da função implícita (companheiro do Teorema 15.14) parametriza $\{g = 0\}$ perto de $a = (a_1, a_2)$ como $\gamma(t) = (t, y(t))$ com $y$ $C^1$ , $y'(t) = -\frac{\partial_x g}{\partial_y g}(\gamma(t))$ (derive $g(t, y(t)) = 0$ ). A função de uma variável $t \mapsto f(\gamma(t))$ tem extremo local em $t = a_1$ :

0 = \frac{\dd}{\dd t}f(\gamma(t))\Big|_{a_1} = \partial_x f(a) + \partial_y f(a)\,y'(a_1) = \partial_x f(a) - \partial_yf(a)\frac{\partial_x g(a)}{\partial_y g(a)} :

os vetores $\nabla f(a)$ e $\nabla g(a)$ têm coordenadas proporcionais: $\nabla f(a) = \lambda \nabla g(a)$ com $\lambda = \frac{\partial_y f(a)}{\partial_y g(a)}$ .

Aplicação: no círculo, $\nabla(xy) = (y, x)$ paralelo a $(2x, 2y)$ força $y^2 = x^2$ ; com a restrição, os candidatos são $\pm\bigl(\tfrac{1}{\sqrt2}, \tfrac{1}{\sqrt2}\bigr)$ (valor $\frac12$ ) e $\pm\bigl(\tfrac{1}{\sqrt2}, -\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr)$ (valor $-\frac12$ ): máximo $\frac12$ , mínimo $-\frac12$ (atingidos: o círculo é compacto).

Exercício 15.7 ★★

Determine os extremos de $f(x, y) = x^2 + y^2 - xy + x - y$ em $\R^2$ , e depois seu máximo e mínimo no triângulo fechado de vértices $(0,0)$ , $(1,0)$ , $(0,1)$ (pontos críticos interiores, depois os três lados, depois os vértices).

Solução

Solução de Exercício 15.7.

$\nabla f = (2x - y + 1,\; 2y - x - 1) = 0$ : resolvendo, $x = -\frac13$ , $y = \frac13$ . Hessiana $\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 2\end{pmatrix}$ , positiva definida: mínimo global da quadrática $f$ , valor $f\bigl(-\frac13, \frac13\bigr) = -\frac13$ .

No triângulo $T$ : o ponto crítico interior $(-\frac13, \frac13) \notin T$ (negativo, $x$ ). Lados: em $y = 0$ , $x \in \intcc{0}{1}$ : $f = x^2 + x$ , crescente: extremos $0$ e $2$ . Em $x = 0$ : $f = y^2 - y$ , mínimo $-\frac14$ em $y = \frac12$ , valores $0$ e $0$ nas pontas. Em $x + y = 1$ : substitua $y = 1 - x$ , $f = x^2 + (1-x)^2 - x(1-x) + x - (1-x) = 3x^2 - x$ ; em $\intcc{0}{1}$ : mínimo $-\frac{1}{12}$ em $x = \frac16$ , valores $0$ (em $x=0$ ) e $2$ (em $x=1$ ). Vértices: $f(0,0) = 0$ , $f(1,0) = 2$ , $f(0,1) = 0$ . Global em $T$ : mínimo $-\frac14$ em $(0, \frac12)$ , máximo $2$ em $(1, 0)$ .

Exercício 15.8 ★★★

Sejam $f \colon \R^2 \to \R^2$ , $f(x, y) = (x + y^2,\; y + x^2)$ . Mostre que $f$ é um difeomorfismo local perto de $0$ , calcule $\dd(f^{-1})_{(0,0)}$ e ache o maior $r$ tal que $\dd f$ seja invertível na bola $\norm{(x,y)}_2 < r$ (calcule $\det J_f$ ).

Solução

Solução de Exercício 15.8.

$J_f = \begin{pmatrix} 1 & 2y\\ 2x & 1\end{pmatrix}$ , $\det J_f = 1 - 4xy$ . Em $0$ : $\det = 1 \neq 0$ : difeomorfismo local (Teorema 15.14), com

\dd(f^{-1})_{(0,0)} = (J_f(0))^{-1} = I_2 .

Invertibilidade numa bola: é preciso $4\abs{xy} < 1$ em toda parte; em $\norm{(x,y)}_2 < r$ , $\abs{xy} \leq \frac{x^2 + y^2}{2} < \frac{r^2}{2}$ , logo $r = \frac{1}{\sqrt2}$ serve; e é o maior: em $(x, y) = \bigl(\tfrac12, \tfrac12\bigr)$ , de norma $\frac{1}{\sqrt2}$ , $\det J_f = 0$ .

Exercício 15.9 ★★★

(Rolle falha, o valor médio sobrevive) Dê $f \colon \R \to \R^2$ , $C^1$ , com $f(0) = f(2\pi)$ mas $f'(t) \neq 0$ para todo $t$ (sem Rolle com valores vetoriais). Depois verifique em seu exemplo a desigualdade do valor médio do Teorema 15.5.

Solução

Solução de Exercício 15.9.

$f(t) = (\cos t, \sin t)$ : $f(0) = f(2\pi) = (1, 0)$ , e no entanto $f'(t) = (-\sin t, \cos t)$ tem norma $1$ , nunca nula: não há ponto em que a derivada se anule — Rolle não tem análogo vetorial. A desigualdade do valor médio vale confortavelmente: $\norm{f(2\pi) - f(0)} = 0 \leq 2\pi \cdot \sup\norm{f'} = 2\pi$ .

Exercício 15.10 ★

Calcule a diferencial e o gradiente de $f(x) = \norm x_2^2$ e de $g(x) = \langle Ax, x\rangle$ em $\R^n$ ( $A$ uma matriz quadrada, não suposta simétrica) e a hessiana de cada uma. Para quais $A$ a função $g$ é convexa?

Solução

Solução de Exercício 15.10.

$f(x+h) - f(x) = 2\langle x, h\rangle + \norm h^2$ : $\dd f_x = 2\langle x, \cdot\rangle$ , $\nabla f(x) = 2x$ , hessiana $2I$ (constante). Para $g$ :

g(x + h) - g(x) = \langle Ax, h\rangle + \langle Ah, x\rangle + \langle Ah, h\rangle = \bigl\langle (A + A^{\mathsf T})x,\ h\bigr\rangle + O(\norm h^2),

logo $\nabla g(x) = (A + A^{\mathsf T})x$ e $H_g = A + A^{\mathsf T}$ , constante. Pelo Exercício 15.11, $g$ é convexa se e somente se $A + A^{\mathsf T}$ é positiva semidefinida — só a parte simétrica de $A$ importa, como de fato $g(x) = \langle \frac{A + A^{\mathsf T}}2 x, x\rangle$ .

Exercício 15.11 ★★

Seja $f \colon \R^n \to \R$ de classe $C^2$ . Prove que $f$ é convexa se e somente se sua hessiana $H_x$ é positiva semidefinida em todo $x$ (reduza a uma variável: $t \mapsto f(a + t(b-a))$ ; use Taylor–Lagrange numa direção e, para a recíproca, avalie $\varphi''$ ).

Solução

Solução de Exercício 15.11.

$f$ é convexa se e somente se sua restrição a todo segmento é convexa, isto é, se e somente se toda $\varphi(t) = f(a + tv)$ é convexa. Pela regra da cadeia, $\varphi''(t) = \langle H_{a+tv}\,v,\ v\rangle$ .

Se todas as hessianas são positivas semidefinidas: $\varphi'' \geq 0$ , de modo que cada $\varphi$ é convexa (volume do primeiro ano de graduação) e $f$ é convexa. Reciprocamente, se $f$ é convexa, cada $\varphi$ é convexa, logo $\varphi''(0) \geq 0$ : $\langle H_a v, v\rangle \geq 0$ para todo $a$ e toda direção $v$ : todas as hessianas são positivas semidefinidas.

Exercício 15.12 ★★★

(Um teorema de inversão global) Seja $g \colon \R^n \to \R^n$ de classe $C^1$ com $\vertiii{\dd g_x} \leq k < 1$ para todo $x$ , e $f = \mathrm{id} + g$ .

Mostre que $\norm{f(x) - f(y)} \geq (1 - k)\norm{x - y}$ : $f$ é injetiva, com inversa contínua em sua imagem.
Mostre que, para cada $y \in \R^n$ , a aplicação $x \mapsto y - g(x)$ é uma contração do espaço completo $\R^n$ , e conclua pelo teorema do ponto fixo de Banach (Teorema 4.12) que $f$ é sobrejetiva.
Conclua que $f$ é uma bijeção de $\R^n$ com inversa $(1-k)^{-1}$ -lipschitziana — uma contrapartida global do Teorema 15.14 (que, em contraste, é puramente local).

Solução

Solução de Exercício 15.12.

Pela desigualdade do valor médio (Teorema 15.5) aplicada a $g$ : $\norm{g(x) - g(y)} \leq k\norm{x-y}$ , logo

$\norm{f(x) - f(y)} \geq \norm{x - y} - \norm{g(x) - g(y)} \geq (1 - k)\norm{x - y} :$

$f$ é injetiva e $f^{-1}$ (definida na imagem) é $\frac{1}{1-k}$ -lipschitziana.
Fixe $y$ ; $T(x) = y - g(x)$ satisfaz $\norm{T(x) - T(x')} = \norm{g(x') - g(x)} \leq k\norm{x - x'}$ : uma contração do espaço completo $\R^n$ . Banach (Teorema 4.12) dá um ponto fixo $x^* = y - g(x^*)$ , isto é, $f(x^*) = y$ : $f$ é sobrejetiva.
$f$ é assim uma bijeção de $\R^n$ com inversa $\frac{1}{1-k}$ -lipschitziana: um teorema de inversão global, em que a pequenez de $\dd g$ em toda parte substitui a hipótese de invertibilidade local do Teorema 15.14.

15.5 Problema: o cálculo das matrizes — Jacobi, exponencial e o grupo ortogonal

Problema 15.1

O playground mais limpo para o cálculo diferencial é o próprio espaço $\mathcal M_n(\R) \simeq \R^{n^2}$ : suas aplicações mais naturais — produto, inversa, determinante, exponencial — têm diferenciais de elegância marcante. Este problema as calcula todas: a série de Neumann, a diferencial da inversa, a fórmula de Jacobi para o determinante com a fórmula de Liouville como dividendo, a exponencial de matriz com $\det\eu^A = \eu^{\operatorname{tr}A}$ , e por fim o grupo ortogonal $O_n$ como conjunto de nível suave com as matrizes antissimétricas como espaço tangente — geometria diferencial em embrião. Em todo o problema, $\vertiii\cdot$ é a norma de operador subordinada a $\norm\cdot_2$ , e $\langle X, Y\rangle = \operatorname{tr}(X^{\mathsf T}Y)$ o produto interno de Frobenius.

Parte I — A série de Neumann.

Demonstre a submultiplicatividade, $\vertiii{AB} \leq \vertiii A\,\vertiii B$ , e deduza que as aplicações polinomiais de $A$ (produtos de matrizes, determinante, traço) são contínuas em $\mathcal M_n(\R)$ .
Para $\vertiii X < 1$ , mostre que $\sum_{k\geq0}X^k$ converge absolutamente em $\mathcal M_n(\R)$ (Teorema 5.21), que sua soma é $(I - X)^{-1}$ e que

$\vertiii{(I - X)^{-1}} \leq \frac{1}{1 - \vertiii X}, \qquad (I - X)^{-1} = I + X + O\bigl(\vertiii X^2\bigr) .$
Deduza que $GL_n(\R)$ é aberto: se $A$ é invertível e $\vertiii H < \frac{1}{\vertiii{A^{-1}}}$ , então $A + H$ é invertível. Deduza também que $GL_n(\R)$ é denso em $\mathcal M_n(\R)$ (perturbe $A$ por $\varepsilon I$ : $\det(A + \varepsilon I)$ é um polinômio não nulo em $\varepsilon$ ).
Mostre que a aplicação inversão $\Phi(A) = A^{-1}$ é contínua em $GL_n(\R)$ .

Parte II — Primeiras diferenciais.

Mostre que a aplicação quadrado $A \mapsto A^2$ é diferenciável com diferencial $H \mapsto AH + HA$ , e, mais geralmente, que $A \mapsto A^k$ tem diferencial $H \mapsto \sum_{i=0}^{k-1} A^iHA^{k-1-i}$ . Por que não se pode escrever $kA^{k-1}H$ em geral?
Prove que $\Phi(A) = A^{-1}$ é diferenciável em $GL_n(\R)$ com

$\dd\Phi_A(H) = -A^{-1}HA^{-1}$

(escreva $(A + H)^{-1} = (I + A^{-1}H)^{-1}A^{-1}$ e desenvolva pela questão 2). Confira a fórmula contra o caso escalar $n = 1$ .
Para uma curva $t \mapsto A(t) \in GL_n(\R)$ de classe $C^1$ , deduza que $\bigl(A(t)^{-1}\bigr)' = -A^{-1}A'A^{-1}$ e desenvolva $t \mapsto (I + tB)^{-1}$ até a primeira ordem em $t = 0$ .
Calcule a diferencial de $f(A) = \operatorname{tr}(A^k)$ e identifique seu gradiente para o produto interno de Frobenius:

$\dd f_A(H) = k\operatorname{tr}\bigl(A^{k-1}H\bigr), \qquad \nabla f(A) = k\,\bigl(A^{k-1}\bigr)^{\mathsf T} .$
Mesmas questões para $f(A) = \operatorname{tr} (A^{\mathsf T}A) = \norm A_F^2$ : diferencial, gradiente e a hessiana (constante); conclua que $\norm\cdot_F^2$ é estritamente convexa.

Parte III — A fórmula de Jacobi.

Prove que

$\det(I + H) = 1 + \operatorname{tr}H + O\bigl(\vertiii H^2\bigr)$

(desenvolva $\det(e_1 + h_1, \dots, e_n + h_n)$ pela multilinearidade nas colunas: os termos com ao menos duas colunas de $h$ são $O(\vertiii H^2)$ ): $\dd(\det)_I = \operatorname{tr}$ .
Para $A$ invertível, deduza que

$\dd(\det)_A(H) = \det(A)\, \operatorname{tr}\bigl(A^{-1}H\bigr) .$
Mostre que, para toda $A$ (invertível ou não), $\frac{\partial\det}{\partial a_{ij}}(A) = C_{ij}$ , o cofator $(i,j)$ (desenvolvimento de Laplace ao longo da linha $i$ ), de modo que, com a adjunta $\operatorname{adj}A = \operatorname{com}(A)^{\mathsf T}$ :

$\dd(\det)_A(H) = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{adj}(A)\,H\bigr), \qquad \nabla(\det)(A) = \operatorname{com}(A) ,$

recuperando a questão 11 quando $A$ é invertível ( $\operatorname{adj}A = \det(A)A^{-1}$ ). Essa é a fórmula de Jacobi: $\bigl(\det A(t)\bigr)' = \operatorname{tr}\bigl( \operatorname{adj}(A(t))\,A'(t)\bigr)$ .
(Fórmula de Liouville) Seja $A(t)$ uma curva $C^1$ de matrizes satisfazendo a equação diferencial linear $A'(t) = M(t)A(t)$ . Prove que

$\bigl(\det A(t)\bigr)' = \operatorname{tr}\bigl(M(t)\bigr)\,\det A(t), \qquad\text{logo}\qquad \det A(t) = \det A(0)\, \exp\Bigl(\int_0^t\operatorname{tr}M\Bigr)$

(use $\operatorname{adj}(A)\,A = \det(A)I$ e a invariância cíclica do traço) — a identidade do wronskiano que o capítulo de equações diferenciais usará constantemente.
Mostre que $SL_n(\R) = \{\det = 1\}$ é um conjunto de nível suave: em todo $A \in SL_n(\R)$ a diferencial $\dd(\det)_A$ é uma aplicação linear sobrejetiva sobre $\R$ (avalie-a em $H = \frac1nA$ ).

Parte IV — A exponencial de matriz.

Mostre que $\eu^A = \sum_{k\geq0}\frac{A^k}{k!}$ converge absolutamente para toda $A$ , normalmente em toda bola, com $\vertiii{\eu^A} \leq \eu^{\vertiii A}$ ; e que $\eu^A$ depende continuamente de $A$ .
Prove que $AB = BA$ implica $\eu^{A+B} = \eu^A\eu^B$ (produto de Cauchy, legítimo pela convergência absoluta); deduza que $\eu^A$ é sempre invertível, de inversa $\eu^{-A}$ : $\exp$ leva $\mathcal M_n(\R)$ em $GL_n(\R)$ .
Mostre que $t \mapsto \eu^{tA}$ é $C^1$ (na verdade $C^\infty$ ) com

$\frac{\dd}{\dd t}\,\eu^{tA} = A\,\eu^{tA} = \eu^{tA}A$

(derive a série termo a termo em segmentos: a série derivada converge normalmente).
Demonstre a identidade

$\det\bigl(\eu^{A}\bigr) = \eu^{\operatorname{tr}A}$

(aplique a fórmula de Liouville, questão 13, a $A(t) = \eu^{tA}$ ). Verificações de bom senso: $n = 1$ ; $A$ nilpotente; e as matrizes de traço nulo caem em $SL_n(\R)$ .
Mostre que $\eu^H = I + H + O(\vertiii H^2)$ , de modo que $\exp$ é diferenciável em $0$ com $\dd(\exp)_0 = \mathrm{id}$ ; conclua pelo teorema da função inversa (Teorema 15.14) que $\exp$ é um difeomorfismo $C^1$ de uma vizinhança de $0$ sobre uma vizinhança de $I$ : toda matriz próxima da identidade tem um logaritmo.
Mostre que $\exp$ leva as matrizes simétricas nas simétricas positivas definidas, bijetivamente (diagonalize; a inversa é o logaritmo espectral).

Parte V — O grupo ortogonal como conjunto de nível.

Seja $F(A) = A^{\mathsf T}A$ , de $\mathcal M_n(\R)$ nas matrizes simétricas $S_n$ . Calcule $\dd F_A(H) = A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A$ e mostre que, em todo $A \in O_n = F^{-1}(I)$ , essa diferencial é sobrejetiva sobre $S_n$ (dada $S \in S_n$ , tente $H = \frac12 AS$ ): $O_n$ é um conjunto de nível suave, de dimensão $n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$ .
Mostre que toda curva $A(t) \in O_n$ de classe $C^1$ com $A(0) = I$ tem velocidade antissimétrica $A'(0)$ e, reciprocamente, que para $K$ antissimétrica a curva $\eu^{tK}$ permanece em $O_n$ : o espaço tangente de $O_n$ em $I$ é exatamente o das matrizes antissimétricas.
Mostre que $\det\eu^{K} = 1$ para $K$ antissimétrica (questão 18): a curva exponencial vive no grupo de rotações $SO_n$ . Calcule-a por inteiro para $n = 2$ : com $J = \begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ , prove que

$\eu^{\theta J} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix} :$

a exponencial de matriz é a rotação de $\theta$ , e as definições em série do cosseno e do seno reaparecem dentro de uma matriz.
(O truque da densidade) Usando a densidade de $GL_n(\R)$ (questão 3) e a continuidade, estenda das invertíveis a todas as matrizes a identidade

$\operatorname{adj}(AB) = \operatorname{adj}(B)\operatorname{adj}(A)$

(para $A, B$ invertível os dois lados valem $\det(AB)(AB)^{-1}$ ; os dois lados são polinomiais nas entradas).
Síntese. Uma frase para cada: (i) quais capítulos anteriores forneceram o motor de cada Parte (a completude e as álgebras normadas; o teorema espectral; o teorema da função inversa); (ii) qual fórmula deste problema o capítulo de equações diferenciais vai usar, e onde; (iii) o que $\dd(\det)_I = \operatorname{tr}$ e $\det\eu^A = \eu^{\operatorname{tr}A}$ dizem sobre o traço e o determinante como “volume infinitesimal e global”; (iv) o que o volume do terceiro ano de graduação faz das questões 21–23 (grupos de Lie e suas álgebras de Lie).

Solução

Solução de Problema 15.1.

1. $\norm{ABx} \leq \vertiii A\norm{Bx} \leq \vertiii A\vertiii B\norm x$ : tome o sup sobre $\norm x = 1$ . Os produtos de matrizes, $\det$ e $\operatorname{tr}$ são funções polinomiais das entradas, logo contínuas ( $\mathcal M_n(\R) \simeq \R^{n^2}$ , todas as normas equivalentes: Teorema 5.13).

2. $\sum\vertiii{X^k} \leq \sum\vertiii X^k < \infty$ : a série converge absolutamente, logo converge (Teorema 5.21). De $(I - X)\sum_{k\leq N}X^k = I - X^{N+1} \to I$ : a soma é $(I - X)^{-1}$ . Norma: $\leq \sum\vertiii X^k = \frac{1}{1 - \vertiii X}$ ; e

(I - X)^{-1} - I - X = \sum_{k\geq2}X^k = X^2(I - X)^{-1}, \qquad \vertiii{X^2(I-X)^{-1}} \leq \frac{\vertiii X^2}{1 - \vertiii X} = O(\vertiii X^2).

3. $A + H = A(I + A^{-1}H)$ com $\vertiii{A^{-1}H} \leq \vertiii{A^{-1}}\vertiii H < 1$ : invertível pela questão 2: a bola aberta de raio $\vertiii{A^{-1}}^{-1}$ em torno de $A$ está em $GL_n(\R)$ . Densidade: $\det(A + \varepsilon I)$ é um polinômio de grau $n$ em $\varepsilon$ com coeficiente dominante $1$ : ele tem finitas raízes, de modo que existem $\varepsilon_k \to 0$ com $A + \varepsilon_kI$ invertível, convergindo para $A$ .

4. Para $\vertiii H < \frac{1}{2\vertiii{A^{-1}}}$ :

(A + H)^{-1} - A^{-1} = \bigl[(I + A^{-1}H)^{-1} - I\bigr]A^{-1},

de norma no máximo $\frac{\vertiii{A^{-1}H}}{1 - \vertiii{A^{-1}H}}\,\vertiii{A^{-1}} \leq 2\vertiii{A^{-1}}^2\vertiii H \to 0$ : $\Phi$ é contínua em todo $A \in GL_n(\R)$ .

5. $(A+H)^2 = A^2 + AH + HA + H^2$ : a aplicação $H \mapsto AH + HA$ é linear e o erro $H^2$ é $O(\vertiii H^2)$ . Desenvolvendo $(A + H)^k$ e ordenando pelo número de fatores $H$ : a parte linear é $\sum_{i=0}^{k-1}A^iHA^{k-1-i}$ , e os termos com $\geq 2$ fatores $H$ são majorados por $\binom k2$ produtos de norma de escala $\leq \vertiii A^{k-2}\vertiii H^2$ : $O(\vertiii H^2)$ . Não se pode colapsar a soma em $kA^{k-1}H$ porque $H$ e $A$ não precisam comutar — a soma é a derivada não comutativa correta.

6. Para $H$ pequena:

(A+H)^{-1} = (I + A^{-1}H)^{-1}A^{-1} = \bigl(I - A^{-1}H + O(\vertiii H^2)\bigr)A^{-1} = A^{-1} - A^{-1}HA^{-1} + O(\vertiii H^2) :

$\dd\Phi_A(H) = -A^{-1}HA^{-1}$ , linear em $H$ . Para $n = 1$ : $\dd(1/a)(h) = -h/a^2$ , a derivada familiar.

7. Regra da cadeia ao longo da curva: $\bigl(A(t)^{-1}\bigr)' = \dd\Phi_{A(t)}(A'(t)) = -A(t)^{-1}A'(t)A(t)^{-1}$ . Em $A(t) = I + tB$ , $t = 0$ : $(I + tB)^{-1} = I - tB + O(t^2)$ .

8. Pela questão 5 e pela invariância cíclica do traço:

\dd f_A(H) = \operatorname{tr}\Bigl(\sum_{i=0}^{k-1} A^iHA^{k-1-i}\Bigr) = k\operatorname{tr}\bigl(A^{k-1}H\bigr) .

Contra o produto de Frobenius, $\dd f_A(H) = \operatorname{tr}\bigl((\nabla f)^{\mathsf T}H\bigr)$ exige $(\nabla f)^{\mathsf T} = kA^{k-1}$ : $\nabla f(A) = k\,(A^{k-1})^{\mathsf T}$ .

9. $f(A + H) - f(A) = 2\operatorname{tr} (A^{\mathsf T}H) + \operatorname{tr}(H^{\mathsf T}H)$ : a diferencial é $H \mapsto 2\operatorname{tr}(A^{\mathsf T}H) = 2\langle A, H\rangle$ , logo $\nabla f(A) = 2A$ ; o termo de segunda ordem é exatamente $\norm H_F^2$ : a hessiana é o dobro da forma quadrática identidade, positiva definida e constante, de modo que $\norm\cdot_F^2$ é estritamente convexa (a fórmula de Taylor é exata aqui).

10. Pela multilinearidade nas colunas, $\det(I + H) = \sum_{S\subseteq\{1,\dots,n\}}\det(M_S)$ , em que $M_S$ tem coluna $h_j$ para $j \in S$ e $e_j$ caso contrário. $S = \varnothing$ dá $1$ ; $S = \{j\}$ dá o determinante de $I$ com a coluna $j$ substituída por $h_j$ , a saber sua $j$ -ésima entrada $h_{jj}$ , somando $\operatorname{tr}H$ ; cada termo com $\abs S \geq 2$ é um determinante com ao menos duas colunas de tamanho $O(\vertiii H)$ , logo $O(\vertiii H^2)$ (aplicações multilineares num espaço de dimensão finita são limitadas), e há um número finito delas. Assim $\det(I + H) = 1 + \operatorname{tr}H + O(\vertiii H^2)$ : $\dd(\det)_I = \operatorname{tr}$ .

11. $\det(A + H) = \det A\,\det(I + A^{-1}H) = \det A\,\bigl(1 + \operatorname{tr}(A^{-1}H) + O(\vertiii H^2)\bigr)$ : a diferencial é $H \mapsto \det(A)\operatorname{tr}(A^{-1}H)$ .

12. Desenvolvimento de Laplace ao longo da linha $i$ : $\det A = \sum_j a_{ij}C_{ij}$ , e os cofatores $C_{ij}$ não envolvem a linha $i$ : $\frac{\partial\det}{\partial a_{ij}} = C_{ij}$ . Logo

\dd(\det)_A(H) = \sum_{i,j}C_{ij}h_{ij} = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com}(A)^{\mathsf T} H\bigr) = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{adj}(A)H\bigr), \qquad \nabla(\det)(A) = \operatorname{com}(A) .

Para $A$ invertível, $\operatorname{adj}A = \det(A)A^{-1}$ recupera a questão 11. Ao longo de uma curva $C^1$ , a regra da cadeia lê-se $(\det A(t))' = \operatorname{tr}(\operatorname{adj} (A(t))\,A'(t))$ : a fórmula de Jacobi.

13. Com $A' = MA$ e $\operatorname{adj}(A)A = \det(A)I$ :

(\det A)' = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{adj}(A)MA \bigr) = \operatorname{tr}\bigl(A\operatorname{adj}(A)M\bigr) = \det A\;\operatorname{tr}M

(ciclicidade; $A\operatorname{adj}A = \det(A) I$ também). A EDO linear escalar $y' = \operatorname{tr}(M(t))\,y$ tem solução única $y(t) = y(0)\exp\bigl(\int_0^t \operatorname{tr}M\bigr)$ (primeiro ano): a fórmula de Liouville.

14. Em $A \in SL_n(\R)$ , tome $H = \frac1nA$ : $\dd(\det)_A\bigl(\tfrac1nA\bigr) = \frac1n\det(A) \operatorname{tr}(A^{-1}A) = \frac1n\cdot1\cdot n = 1 \neq 0$ : a diferencial é uma forma linear não nula, logo sobrejetiva sobre $\R$ em todo ponto do conjunto de nível: $SL_n(\R)$ é um conjunto de nível suave (de dimensão $n^2 - 1$ ).

15. $\sum_k\vertiii{A^k/k!} \leq \sum\vertiii A^k/k! = \eu^{\vertiii A}$ : convergência absoluta (o argumento de completude da questão 2), com convergência normal em toda bola $\vertiii A \leq R$ (majore $R^k/k!$ independentemente de $A$ ). Cada soma parcial é contínua (polinomial); o limite uniforme em bolas é contínuo: $A \mapsto \eu^A$ é contínua, com $\vertiii{\eu^A} \leq \eu^{\vertiii A}$ .

16. As duas séries convergem absolutamente, de modo que o produto de Cauchy é legítimo (Teorema 7.14):

\eu^A\eu^B = \sum_{n\geq0}\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n\binom nkA^kB^{n-k} = \sum_{n\geq0}\frac{(A+B)^n}{n!} = \eu^{A+B},

exigindo a identidade binomial que $AB = BA$ . Com $B = -A$ : $\eu^A\eu^{-A} = \eu^0 = I$ : toda $\eu^A \in GL_n(\R)$ .

17. A série $\sum t^kA^k/k!$ e sua série derivada $\sum t^{k-1}A^k/(k-1)! = A\sum t^{k-1}A^{k-1}/(k-1)!$ convergem normalmente em todo segmento $\abs t \leq T$ (cotas $T^k\vertiii A^k/k!$ ): o teorema de derivação para séries (Teorema 10.11, aplicado entrada a entrada) dá $\frac{\dd}{\dd t}\eu^{tA} = A\eu^{tA}$ ; fatorar $A$ à direita, em vez disso, dá $\eu^{tA}A$ . Iterando: $C^\infty$ .

18. $A(t) = \eu^{tA}$ satisfaz $A'(t) = A\,A(t)$ : a fórmula de Liouville (questão 13) com $M = A$ constante dá $\det\eu^{tA} = \eu^{t\operatorname{tr}A}$ (valor $1$ em $t = 0$ ); em $t = 1$ , $\det\eu^A = \eu^{\operatorname{tr}A}$ . Verificações: $n = 1$ é a própria exponencial; uma $A$ nilpotente tem $\operatorname{tr}A = 0$ e $\eu^A$ unipotente de determinante $1$ ; $\operatorname{tr}A = 0$ dá $\det\eu^A = 1$ : as matrizes de traço nulo são enviadas em $SL_n(\R)$ .

19. $\eu^H - I - H = \sum_{k\geq2}H^k/k!$ , de norma $\leq \vertiii H^2\eu^{\vertiii H} = O(\vertiii H^2)$ : $\dd(\exp)_0 = \mathrm{id}$ , invertível. Além disso, $\exp$ é $C^1$ : pela questão 5, a candidata a diferencial $H \mapsto \sum_k\frac1{k!}\sum_iA^iHA^{k-1-i}$ é uma série normalmente convergente de aplicações lineares dependendo continuamente de $A$ (cotas $\vertiii A^{k-1}/(k-1)!$ em bolas), de modo que as parciais existem e são contínuas (Teorema 15.2 e o teorema de transferência para séries). O teorema da função inversa (Teorema 15.14) aplica-se em $0$ : $\exp$ é um difeomorfismo $C^1$ de uma vizinhança de $0$ sobre uma vizinhança de $I$ — matrizes perto de $I$ têm logaritmos.

20. Para $S = PDP^{\mathsf T}$ simétrica (teorema espectral): $\eu^S = P\eu^DP^{\mathsf T}$ é simétrica com autovalores $\eu^{\lambda_i} > 0$ : positiva definida. Sobrejetividade: uma $Q = P\operatorname{diag}(\mu_i)P^{\mathsf T}$ positiva definida ( $\mu_i > 0$ ) é $\eu^S$ para $S = P\operatorname{diag}(\ln\mu_i)P^{\mathsf T}$ . Injetividade: $\eu^S$ determina seus autoespaços, que são exatamente os de $S$ (em cada autoespaço de $S$ associado a $\lambda$ , $\eu^S$ age como $\eu^\lambda$ ; $\lambda$ distintos dão $\eu^\lambda$ distintos), e tomar $\ln$ dos autovalores recupera $S$ . Assim $\exp$ é uma bijeção das matrizes simétricas sobre as positivas definidas.

21. $F(A + H) = A^{\mathsf T}A + A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A + H^{\mathsf T}H$ : $\dd F_A(H) = A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A$ (valores em $S_n$ ; erro $O(\vertiii H^2)$ ). Em $A \in O_n$ e para $S \in S_n$ , a escolha $H = \frac12AS$ dá

A^{\mathsf T}\cdot\tfrac12AS + \tfrac12(AS)^{\mathsf T}A = \tfrac12 S + \tfrac12 S^{\mathsf T} = S :

sobrejetiva. $O_n = F^{-1}(I)$ é um conjunto de nível suave de dimensão $n^2 - \dim S_n = \frac{n(n-1)}2$ .

22. Derivando $A(t)^{\mathsf T}A(t) = I$ em $t = 0$ (com $A(0) = I$ ): $A'(0)^{\mathsf T} + A'(0) = 0$ : antissimétrica. Reciprocamente, para $K^{\mathsf T} = -K$ : $(\eu^{tK})^{\mathsf T}\eu^{tK} = \eu^{tK^{\mathsf T}} \eu^{tK} = \eu^{-tK}\eu^{tK} = I$ (transponha a série termo a termo; os expoentes comutam): a curva permanece em $O_n$ , com velocidade $K$ em $t = 0$ . O espaço tangente em $I$ $=$ o das matrizes antissimétricas, da dimensão esperada $\frac{n(n-1)}2$ .

23. $\operatorname{tr}K = 0$ para $K$ antissimétrica, logo $\det\eu^K = \eu^0 = 1$ (questão 18): a exponencial cai em $SO_n$ . Para $n = 2$ : $J^2 = -I$ , logo $J^{2m} = (-1)^mI$ , $J^{2m+1} = (-1)^mJ$ , e

\eu^{\theta J} = \Bigl(\sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m}}{(2m)!}\Bigr)I + \Bigl(\sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m+1}}{(2m+1)!}\Bigr)J = \cos\theta\,I + \sin\theta\,J ,

a rotação de $\theta$ : as séries do seno e do cosseno vivem dentro da exponencial de matriz.

24. Para $A, B$ invertível: $\operatorname{adj}(AB) = \det(AB)(AB)^{-1} = \det(B)\det(A)B^{-1}A^{-1} = \operatorname{adj}(B)\operatorname{adj}(A)$ . Os dois lados da identidade são aplicações polinomiais (logo contínuas) das entradas de $(A, B)$ ; eles coincidem no subconjunto denso $GL_n\times GL_n$ de $\mathcal M_n\times\mathcal M_n$ (questão 3: aproxime cada fator), logo coincidem em toda parte.

25. (i) A Parte I rodou sobre a completude dos espaços normados de dimensão finita (as séries absolutamente convergentes convergem), a Parte IV sobre a mesma coisa mais o teorema espectral na questão 20, e o logaritmo local da Parte V sobre o teorema da função inversa. (ii) O capítulo de equações diferenciais apoia-se na fórmula de Liouville (questão 13) para o wronskiano de sistemas lineares, e em $\frac{\dd}{\dd t}\eu^{tA} = A\eu^{tA}$ (questão 17), que é o enunciado de que $\eu^{tA}$ resolve $X' = AX$ . (iii) $\dd(\det)_I = \operatorname{tr}$ diz que o traço é a taxa infinitesimal de variação de volume, e $\det\eu^A = \eu^{\operatorname{tr}A}$ integra globalmente esse enunciado. (iv) O volume do terceiro ano de graduação nomeia as estruturas: $O_n$ e $SL_n(\R)$ são grupos de Lie, seus espaços tangentes em $I$ (matrizes antissimétricas e de traço nulo) são álgebras de Lie, e $\exp$ é a ponte entre eles.

Termos definidos neste capítulo

diferenciável

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