Física universitária — 2.º ano · Bachelor Year 2

16Ondas guiadas e cavidades

O pulso de um radar vai do transmissor à antena parabólica dentro de um tubo retangular de cobre; a luz de um enlace de internet viaja dez mil quilômetros dentro de um fio de vidro mais fino que um cabelo; as micro-ondas de um forno ricocheteiam entre suas paredes e se acomodam num padrão de pontos quentes e frios. Uma onda confinada por paredes condutoras ou refringentes deixa de ser uma onda plana livre para ir a qualquer lugar: ela precisa satisfazer as condições de contorno nas paredes, e isso seleciona as formas que ela pode tomar — os modos — e a proíbe abaixo de uma frequência de corte. Este capítulo constrói o guia mais simples, duas placas condutoras paralelas, a partir das reflexões do Capítulo 15; depois o guia de ondas retangular, a cavidade fechada e, na imagem dos raios, a fibra óptica.

16.1 Ondas entre duas placas condutoras

Proposição 16.1 (Modos do guia de placas paralelas)

Dois planos perfeitamente condutores $y = 0$ e $y = a$ limitam o vácuo. Procure uma onda que viaja segundo $z$ com $\vect E = E(y)\,\eu^{\iu(\omega t - k_gz)} \vect e_x$ (o campo paralelo às placas, perpendicular à propagação). As equações de Maxwell no vácuo e a condição $E = 0$ nas placas impõem

E(y) = E_0\sin\frac{n\pi y}a , \qquad k_g^2 = \frac{\omega^2}{c^2} - \Bigl(\frac{n\pi}a\Bigr)^2 , \qquad n = 1, 2, \dots

O modo $n$ só se propaga acima de sua frequência de corte $f_n = nc/2a$ ; abaixo dela, $k_g$ é imaginário e o campo decai ao longo do guia. Suas velocidades de fase e de grupo valem

v_\varphi = \frac c{\sqrt{1 - f_n^2/f^2}} > c , \qquad v_g = c\sqrt{1 - f_n^2/f^2} < c , \qquad v_\varphi v_g = c^2 ,

e seu campo magnético tem componentes segundo $y$ e segundo $z$ : uma onda guiada não é transversal na direção de propagação.

Demonstração. Insira em $\Delta\vect E = \partial_t^2\vect E/c^2$ : $E'' - k_g^2E = -(\omega^2/c^2)E$ , ou seja, $E'' + (\omega^2/c^2 - k_g^2)E = 0$ , cujas soluções que se anulam em $y = 0$ e $y = a$ são os senos com $\omega^2/c^2 - k_g^2 = (n\pi/a)^2$ ; $\operatorname{div} \vect E = 0$ vale porque $E_x$ não depende de $x$ . Faraday dá $\underline B_y = (k_g/\omega)\underline E$ e $\underline B_z = (\iu/\omega)\partial_y\underline E$ , este último em quadratura. As velocidades seguem da forma de Klein–Gordon da relação de dispersão (Capítulo 8). ∎

Observação 16.2 (O modo como duas ondas planas)

$\sin(n\pi y/a)\eu^{-\iu k_gz}$ é a soma de duas ondas planas com vetores de onda $(0, \pm n\pi/a, k_g)$ , de módulo $\omega/c$ , que ricocheteiam entre as placas com o ângulo $\theta$ em relação ao eixo, com $\cos\theta = k_gc/\omega$ : um modo guiado é uma onda plana ziguezagueando entre as paredes, refletida com $r = -1$ em cada uma, sendo a onda estacionária transversal a condição de que ela interfira construtivamente consigo mesma. A energia viaja ao longo do ziguezague a $c$ , e portanto ao longo do eixo a $c\cos\theta = v_g$ ; as interseções das cristas com o eixo correm a $c/\cos\theta = v_\varphi$ . No corte, a onda vai e volta atravessando o guia e não vai a lugar algum.

À esquerda: um modo guiado é uma onda plana que ricocheteia entre as placas; o ângulo se abre quando a frequência se aproxima do corte. À direita: os perfis transversais E(y) dos dois primeiros modos, que se anulam nas paredes condutoras. — À esquerda: um modo guiado é uma onda plana que ricocheteia entre as placas; o ângulo $\theta$ se abre quando a frequência se aproxima do corte. À direita: os perfis transversais $E(y)$ dos dois primeiros modos, que se anulam nas paredes condutoras.

À esquerda: as curvas de dispersão dos três primeiros modos de um guia, cada uma uma hipérbole que começa em seu corte. À direita: as velocidades de fase e de grupo de um modo em função da frequência; a energia rasteja perto do corte e se aproxima de c bem acima dele. — À esquerda: as curvas de dispersão dos três primeiros modos de um guia, cada uma uma hipérbole que começa em seu corte. À direita: as velocidades de fase e de grupo de um modo em função da frequência; a energia rasteja perto do corte e se aproxima de $c$ bem acima dele.

Exemplo 16.3 (Números)

Placas a $3\,\mathrm{cm}$ uma da outra: $f_1 = 5\,\mathrm{GHz}$ , $f_2 = 10\,\mathrm{GHz}$ ; entre essas frequências só um modo se propaga (operação monomodo, que impede um pulso de se dividir em vários com $v_g$ diferentes). A $8\,\mathrm{GHz}$ o modo $n = 1$ tem $v_g = 0.78c$ , $v_\varphi = 1.28c$ , e o comprimento de onda no guia $\lambda_g = 2\pi/k_g = 4.8\,\mathrm{cm}$ , em vez dos $3.75\,\mathrm{cm}$ no espaço livre. A $4\,\mathrm{GHz}$ nada passa: o campo decai como $\eu^{-z/\ell}$ com $\ell = c/2\pi\sqrt{f_1^2 - f^2} = 1.6\,\mathrm{cm}$ — é o princípio da tela na porta de um forno, do guia de ondas abaixo do corte usado como atenuador calibrado, e dos dutos metálicos de ventilação que deixam passar ar, mas não rádio.

16.2 O guia de ondas retangular e a cavidade

Proposição 16.4 (O guia retangular; o modo TE $_{10}$ )

Um tubo metálico oco de seção retangular $a \times b$ ( $a > b$ ) carrega modos cujas frequências de corte valem

f_{mn} = \frac c2\sqrt{\Bigl(\frac ma\Bigr)^2 + \Bigl(\frac nb\Bigr)^2} ;

o mais baixo, o modo TE $_{10}$ ( $f_{10} = c/2a$ ), tem $\vect E = E_0\sin (\pi x/a)\,\eu^{\iu(\omega t - k_gz)}\,\vect e_y$ : meia senoide ao longo do lado largo, uniforme ao longo do lado estreito, anulando-se nas duas paredes $x = 0$ , $x = a$ — exatamente o modo das placas paralelas, sendo as paredes laterais $y = 0$ , $b$ perpendiculares a $\vect E$ e nada lhe impondo. O guia é usado entre $f_{10}$ e o corte seguinte; suas linhas de campo magnético se fecham no plano $xz$ , e as correntes que elas induzem nas paredes são o que uma fenda não deve cortar. A potência transportada vale $\tfrac14\varepsilon_0cE_0^2\,ab \sqrt{1 - f_{10}^2/f^2}$ .

Demonstração. O modo geral é um produto de $\cos$ e $\sin$ em $x$ e $y$ com as condições de contorno nas quatro paredes, o que dá $k_g^2 = \omega^2/c^2 - (m\pi/a)^2 - (n\pi/b)^2$ (admitido no caso geral; o caso TE $_{10}$ é a proposição acima). Potência: o vetor de Poynting médio segundo $z$ vale $E_0^2\sin^2(\pi x/a) \,k_g/2\mu_0\omega$ , integrado na seção. ∎

O modo TE_10 de um guia retangular: o campo elétrico percorre a dimensão estreita com um perfil de meia senoide ao longo da larga; o campo magnético se fecha em espiras no plano das faces largas, com meio comprimento de onda de guia. — O modo TE $_{10}$ de um guia retangular: o campo elétrico percorre a dimensão estreita com um perfil de meia senoide ao longo da larga; o campo magnético se fecha em espiras no plano das faces largas, com meio comprimento de onda de guia.

Proposição 16.5 (Cavidade ressonante)

Fechar um guia com duas paredes condutoras separadas de um comprimento $d$ transforma-o numa cavidade, na qual a onda guiada precisa formar uma onda estacionária também segundo $z$ : $k_g = p\pi/d$ , e as frequências de ressonância de uma caixa retangular $a \times b \times d$ valem

f_{mnp} = \frac c2\sqrt{\Bigl(\frac ma\Bigr)^2 + \Bigl(\frac nb\Bigr)^2 + \Bigl(\frac pd\Bigr)^2} .

O número de modos com frequência abaixo de $f$ cresce como $8\pi V f^3/3c^3$ para uma caixa de volume $V$ (admitido: conte os pontos da rede $(m/2a, n/2b, p/2d)$ num oitavo de esfera, com duas polarizações) — a densidade de modos de que a teoria da radiação térmica vai precisar (Capítulo 26). Cada modo tem um fator de qualidade $Q$ fixado pelas perdas nas paredes (a resistência superficial do Capítulo 14), tipicamente $10^3$ – $10^4$ para o cobre em frequências de micro-ondas, e $10^{10}$ para uma cavidade supercondutora.

Demonstração. Ondas estacionárias nas três direções, com nós nas seis paredes; o vetor de onda $(m\pi/a, n\pi/b, p\pi/d)$ tem módulo $\omega/c$ . ∎

Exemplo 16.6 (Fornos, radares, relógios)

Um forno de micro-ondas de $30 \times 30 \times 20$ cm $^3$ perto de $2.45\,\mathrm{GHz}$ tem dezenas de modos dentro de alguns por cento da frequência do magnetron: o campo é uma superposição de ondas estacionárias, com máximos a $6\,\mathrm{cm}$ um do outro, que o prato giratório (e um "agitador de modos") suavizam. O magnetron de um radar é ele mesmo uma cavidade ressonante; um acelerador de partículas é uma cadeia de cavidades supercondutoras cujo modo TM empurra os pacotes; os átomos de um relógio de césio atravessam uma cavidade de micro-ondas sintonizada em $9.19\,\mathrm{GHz}$ .

16.3 A fibra óptica na imagem dos raios

Proposição 16.7 (Fibra de índice degrau)

Um núcleo de vidro de índice $n_1$ cercado por uma casca de índice ligeiramente menor $n_2$ guia a luz por reflexão total interna na fronteira do núcleo. Um raio que entra pela face de entrada, vindo do ar com ângulo $\alpha$ em relação ao eixo, fica aprisionado se $\sin\alpha < \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$ , a abertura numérica; raios de ângulos diferentes percorrem comprimentos diferentes, e um pulso que entra numa fibra de comprimento $L$ é alargado de

\Delta t = \frac{n_1L}c\Bigl(\frac{n_1}{n_2} - 1\Bigr) ,

a dispersão modal — uns $50\,\mathrm{ns}$ por quilômetro para $n_1 - n_2 = 0.01$ , o que limita uma fibra multimodo a alguns megabits por segundo em dez quilômetros. Uma fibra monomodo tem um núcleo tão fino ( $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) que só um modo se propaga, como o guia entre seus dois primeiros cortes; o que resta é a dispersão cromática do vidro (Capítulo 8).

Demonstração. A reflexão total na interface núcleo–casca exige $\sin\theta > n_2/n_1$ para o ângulo $\theta$ em relação à normal à fronteira, ou seja, $\cos \theta' > n_2/n_1$ para o ângulo $\theta'$ em relação ao eixo, no interior; a refração na entrada dá $\sin\alpha = n_1\sin\theta'$ , donde $\sin\alpha < n_1\sqrt{1 - n_2^2/n_1^2}$ . O raio aprisionado mais inclinado percorre $L/\cos\theta' = Ln_1/n_2$ contra $L$ do raio axial, a $c/n_1$ . ∎

Uma fibra de índice degrau na imagem dos raios: os raios dentro do cone de aceitação ficam aprisionados por reflexão total interna; o raio em ziguezague chega depois do axial — dispersão modal.

Método 16.8 (Contabilidade das ondas guiadas)

(1) Identifique as paredes e sua condição (a componente tangencial $\vect E = 0$ num condutor; reflexão total num dielétrico). (2) Escreva o campo como uma onda estacionária transversal vezes um fator progressivo ao longo do guia; as condições de contorno quantizam o número de onda transversal. (3) A relação de dispersão $k_g^2 = \omega^2/c^2 - k_\perp^2$ dá o corte, $v_\varphi$ , $v_g$ e $\lambda_g$ . (4) Conte os modos que se propagam na frequência de trabalho; procure ter só um. (5) Para uma cavidade, acrescente a condição longitudinal e ache as frequências de ressonância; para as perdas, use a resistência superficial.

16.4 Exercícios

Exercício 16.1 ★

Placas a $2.0\,\mathrm{cm}$ uma da outra: frequências de corte dos três primeiros modos; a $12\,\mathrm{GHz}$ , que modos se propagam e, para o primeiro, $k_g$ , $\lambda_g$ , $v_\varphi$ , $v_g$ ; a $6\,\mathrm{GHz}$ , o comprimento de decaimento do campo.

Solução

Solução de Exercício 16.1.

$f_n = nc/2a = 7.5$ , $15$ , $22.5\,\mathrm{GHz}$ . A $12\,\mathrm{GHz}$ só $n = 1$ : $k_g = (2\pi/c)\sqrt{f^2 - f_1^2} = 196\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $\lambda_g = 3.2\,\mathrm{cm}$ , $v_\varphi = c/0.78 = 3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_g = 2.3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . A $6\,\mathrm{GHz}$ : $\ell = c/2\pi\sqrt{f_1^2 - f^2} = 1.1\,\mathrm{cm}$ .

Exercício 16.2 ★

Um guia de ondas padrão da banda X tem $a = 22.9\,\mathrm{mm}$ , $b = 10.2\,\mathrm{mm}$ . Corte de TE $_{10}$ , de TE $_{20}$ e de TE $_{01}$ ; a faixa monomodo; a $10\,\mathrm{GHz}$ : $\lambda_g$ , $v_g$ , o ângulo do ziguezague. Por que $b \approx a/2$ é uma boa escolha?

Solução

Solução de Exercício 16.2.

TE $_{10}$ $6.55\,\mathrm{GHz}$ , TE $_{20}$ $13.1\,\mathrm{GHz}$ , TE $_{01}$ $14.7\,\mathrm{GHz}$ : monomodo de $6.55$ a $13.1\,\mathrm{GHz}$ . A $10\,\mathrm{GHz}$ : $\sqrt{1 - (6.55/10)^2} = 0.756$ , $\lambda_g = 4.0\,\mathrm{cm}$ , $v_g = 0.76c$ , $\cos\theta = 0.756$ , $\theta = 41{}^{\circ}$ . Com $b \approx a/2$ o TE $_{01}$ fica acima do TE $_{20}$ (a faixa monomodo mais larga), deixando ao mesmo tempo o maior espaço para o campo (potência antes da ruptura).

Exercício 16.3 ★

Uma cavidade de $30 \times 30 \times 20$ cm $^3$ : frequências dos modos $(1,1,0)$ , $(1,0,1)$ , $(2,1,1)$ e $(3,2,1)$ ; número de modos abaixo de $2.5\,\mathrm{GHz}$ pela fórmula de contagem; o modo mais baixo de uma cavidade cúbica de $9.19\,\mathrm{GHz}$ — seu lado.

Solução

Solução de Exercício 16.3.

$f = 1.5 \times 10^8\sqrt{(m/0.3)^2 + (n/0.3)^2 + (p/0.2)^2}$ : $0.71\,\mathrm{GHz}$ , $0.90\,\mathrm{GHz}$ , $1.35\,\mathrm{GHz}$ , $1.95\,\mathrm{GHz}$ . $N = 8\pi Vf^3/3c^3 = 8\pi \times 0.018 \times 1.56 \times 10^{28}/ 8.1 \times 10^{25} \approx 260$ . Cubo: $f = c\sqrt2/2L$ , $L = 2.3\,\mathrm{cm}$ .

Exercício 16.4 ★

Uma fibra tem $n_1 = 1.48$ , $n_2 = 1.46$ . Abertura numérica e semiângulo de aceitação; alargamento modal por quilômetro; taxa máxima de bits em $2\,\mathrm{km}$ se um bit deve durar mais que o alargamento; o mesmo com $n_1 - n_2 = 0.003$ .

Solução

Solução de Exercício 16.4.

$\mathrm{NA} = \sqrt{1.48^2 - 1.46^2} = 0.24$ , $14{}^{\circ}$ ; $\Delta t = (n_1L/c)(n_1/n_2 - 1) = 68\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ ; $135\,\mathrm{ns}$ em $2\,\mathrm{km}$ : $7\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ ; com $0.003$ : $10\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ , $50\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ .

Exercício 16.5 ★★

Para o modo $n = 1$ das placas paralelas: (a) ache $\vect B$ pela lei de Faraday e mostre que ele tem uma componente segundo $z$ em quadratura com $E$ . (b) Corrente superficial em cada placa (relação de passagem). (c) Vetor de Poynting médio segundo $z$ e a potência por unidade de largura; verifique que sua componente transversal tem média nula. (d) Mostre que a velocidade da energia, potência sobre energia média por unidade de comprimento, é igual a $v_g$ .

Solução

Solução de Exercício 16.5.

(a) $\underline B_y = (k_g/\omega)\underline E$ , $\underline B_z = (\iu/\omega)\partial_y\underline E = (\iu\pi/a\omega) E_0\cos(\pi y/a)\eu^{\iu(\omega t - k_gz)}$ : em quadratura. (b) Em $y = 0$ , $B_y = 0$ e $\vect j_s = \vect e_y\wedge\vect B/\mu_0 = (B_z/\mu_0)\vect e_x$ : segundo o campo. (c) $\langle\Pi_z\rangle = E_0^2k_g\sin^2(\pi y/a)/2\mu_0\omega$ , potência por unidade de largura $E_0^2k_ga/4\mu_0\omega$ ; $\langle\Pi_y\rangle \propto \operatorname{Re}(\underline E\,\iu\underline B_z^*) = 0$ . (d) Energia média por unidade de comprimento e de largura $\tfrac14\varepsilon_0E_0^2a$ (as metades elétrica e magnética valendo $\tfrac18\varepsilon_0E_0^2a$ cada); a razão dá $c^2k_g/\omega = v_g$ .

Exercício 16.6 ★★

Abaixo do corte. (a) Um furo de $1\,\mathrm{mm}$ na tela de $0.5\,\mathrm{mm}$ de uma porta de forno a $2.45\,\mathrm{GHz}$ : trate-o como um guia de largura $a = 1\,\mathrm{mm}$ ; comprimento de decaimento e atenuação ao atravessar a chapa, em dB (compare com o Capítulo 14). (b) Um duto de ventilação de seção de $20\,\mathrm{cm}$ numa sala blindada: até que frequência ele bloqueia rádio, e de quanto atenua $100\,\mathrm{MHz}$ em $1\,\mathrm{m}$ ? (c) Um "atenuador de guia abaixo do corte" usa um tubo de $1\,\mathrm{cm}$ de diâmetro a $1\,\mathrm{GHz}$ : atenuação por centímetro (use a fórmula das placas com $a = 1\,\mathrm{cm}$ como estimativa). (d) Por que a atenuação não depende da condutividade das paredes?

Solução

Solução de Exercício 16.6.

(a) $f_1 = 150\,\mathrm{GHz} \gg f$ : $\ell \approx a/\pi = 0.32\,\mathrm{mm}$ ; $\eu^{-0.5/0.32}$ : $-14\,\mathrm{dB}$ em amplitude e $-27$ em potência. (b) $f_1 = 750\,\mathrm{MHz}$ ; a $100\,\mathrm{MHz}$ $\ell = 6.4\,\mathrm{cm}$ : $-136\,\mathrm{dB}$ em um metro. (c) $f_1 = 15\,\mathrm{GHz}$ , $\ell = 3.2\,\mathrm{mm}$ : $27\,\mathrm{dB}/\mathrm{cm}$ . (d) A onda não cabe; a evanescência é geometria, não dissipação.

Exercício 16.7 ★★

Potência e ruptura. O guia da banda X do Exercício 16.2 transporta o modo TE $_{10}$ a $10\,\mathrm{GHz}$ . (a) Potência para $E_0 = 1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ . (b) O ar rompe a $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ : potência máxima; como os radares transportam megawatts (pressurização, gases)? (c) Perdas nas paredes: a corrente superficial na parede larga é da ordem de $E_0/\mu_0c$ ; com $R_s = 0.026\,\Omega$ para o cobre a $10\,\mathrm{GHz}$ , estime a perda por metro e a atenuação em dB/m. (d) Compare com os $0.5\,\mathrm{dB}/\mathrm{m}$ de um cabo coaxial: por que se usam guias nessas frequências?

Solução

Solução de Exercício 16.7.

(a) $P = \tfrac14\varepsilon_0cE_0^2ab\sqrt{1 - f_{10}^2/f^2} = 120\,\mathrm{kW}$ . (b) $\times9$ : $1\,\mathrm{MW}$ ; nitrogênio pressurizado ou SF $_6$ elevam o campo de ruptura. (c) $j_s \approx E_0/\mu_0c = 2.7\,\mathrm{kA}/\mathrm{m}$ ; $\tfrac12R_sj_s^2 = 9 \times 10^{4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ em $2a = 0.046\,\mathrm{m}^{2}$ por metro: $4\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}$ , $3.5\%$ por metro, cerca de $0.15\,\mathrm{dB}/\mathrm{m}$ . (d) Três vezes menos que o cabo, e megawatts em vez de quilowatts.

Exercício 16.8 ★★

Qualidade de uma cavidade. Uma cavidade cúbica de cobre de $10\,\mathrm{cm}$ de lado, em seu modo mais baixo. (a) Frequência. (b) A energia armazenada vale $\tfrac12\varepsilon_0E_0^2V/4$ (admitido) e a perda nas paredes $\tfrac12R_sH_0^2\times$ área, com $H_0 \approx E_0/ \mu_0c$ e $R_s = 1/\gamma\delta$ : fator de qualidade $Q = \omega W/P$ — calcule-o. (c) Largura de banda $f/Q$ da ressonância; tempo de decaimento $Q/\omega$ . (d) Uma cavidade supercondutora tem $R_s \sim 1 \times 10^{-8}\,\Omega$ : quanto vale $Q$ , e por que os aceleradores as usam.

Solução

Solução de Exercício 16.8.

(a) $f = c\sqrt2/2L = 2.12\,\mathrm{GHz}$ . (b) $\delta = 1.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $R_s = 12\,\mathrm{m}\Omega$ ; $W = \varepsilon_0E_0^2V/8 = 1.1 \times 10^{-15}\,E_0^2$ ; $P = \tfrac12R_s(E_0/377)^2 \times 6L^2 = 2.5 \times 10^{-9}\,E_0^2$ : $Q = \omega W/P \approx 6000$ . (c) $360\,\mathrm{kHz}$ ; $0.45\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (d) $Q \sim 10^{10}$ : o campo de dezenas de megavolts por metro é sustentado por quilowatts, e não por gigawatts.

Exercício 16.9 ★★

Contagem de modos. (a) Mostre que o número de modos de uma caixa de volume $V$ com frequência abaixo de $f$ vale $N(f) = 8\pi Vf^3/3c^3$ (pontos $(m, n, p)$ no oitavo da esfera de raio $2fL/c$ para um cubo, com duas polarizações). (b) O número de modos por unidade de volume e de frequência, $\dd N/V\dd f = 8\pi f^2/c^3$ . (c) Uma sala de $1\,\mathrm{m}^{3}$ : modos por hertz a $1\,\mathrm{GHz}$ ; e a $500\,\mathrm{THz}$ (luz visível). (d) Por que uma cavidade pequena tem modos esparsos, ao passo que uma sala grande tem um contínuo — e qual é o caso do forno a $2.45\,\mathrm{GHz}$ ?

Solução

Solução de Exercício 16.9.

(a) Os pontos $(m, n, p)$ com $m^2 + n^2 + p^2 \le (2fL/c)^2$ preenchem um oitavo de esfera: $\tfrac18\cdot\tfrac43\pi(2fL/c)^3$ , vezes duas polarizações: $8\pi L^3f^3/3c^3$ . (b) $8\pi f^2/c^3$ . (c) $9 \times 10^{-7}$ por hertz (um por megahertz) a $1\,\mathrm{GHz}$ ; $2 \times 10^5$ por hertz a $500\,\mathrm{THz}$ . (d) Os modos são discretos quando seu espaçamento supera sua largura; no forno, há um modo a cada $10\,\mathrm{MHz}$ mais ou menos em torno de $2.45\,\mathrm{GHz}$ — dezenas dentro de alguns por cento.

Exercício 16.10 ★★★

O TE $_{10}$ por inteiro. No guia $0 < x < a$ , $0 < y < b$ : $\vect E = E_0\sin(\pi x/a)\eu^{\iu(\omega t - k_gz)}\vect e_y$ . (a) Por Faraday, ache $\underline B_x$ e $\underline B_z$ ; verifique $\operatorname{div}\vect B = 0$ . (b) Verifique Maxwell–Ampère no vácuo e recupere $k_g^2 = \omega^2/c^2 - (\pi/a)^2$ . (c) Correntes superficiais nas quatro paredes (as largas $y = 0$ , $b$ e as estreitas $x = 0$ , $a$ ); que correntes circulam segundo $z$ e quais atravessam? (d) Uma fenda cortada segundo $z$ no centro de uma parede larga não irradia, e uma fenda transversal irradia: explique.

Solução

Solução de Exercício 16.10.

(a) De $\operatorname{\vect{curl}}\vect E = -\partial_t\vect B$ :

\underline B_x = -\frac{k_g}\omega\underline E , \qquad \underline B_z = \frac{\iu\pi}{a\omega}E_0\cos\frac{\pi x}a\,\eu^{\iu(\omega t - k_gz)} ,

e $\partial_xB_x + \partial_zB_z = -(k_g\pi/a\omega)E_0\cos(\pi x/a) + (k_g\pi/a\omega)E_0 \cos(\pi x/a) = 0$ . (b) $(\operatorname{\vect{curl}}\vect B)_y = \partial_zB_x - \partial_xB_z = (\iu/\omega)(k_g^2 + \pi^2/a^2)\underline E = (\iu\omega/c^2)\underline E$ : $k_g^2 = \omega^2/c^2 - \pi^2/a^2$ . (c) Paredes largas: $\vect j_s = \pm(B_z\vect e_x - B_x\vect e_z)/\mu_0$ — segundo $z$ como $\sin(\pi x/a)$ , e transversalmente como $\cos(\pi x/a)$ (nula no centro); paredes estreitas: só segundo $y$ . (d) Uma fenda longitudinal central corta apenas correntes transversais, que ali se anulam; uma fenda transversal corta as longitudinais e irradia: a antena de guia fendido.

Exercício 16.11 ★★★

Guia dielétrico. Uma lâmina de índice $n_1$ e espessura $a$ num meio $n_2 < n_1$ guia a luz por reflexão total. (a) Para um raio a um ângulo $\theta$ da normal às faces, a condição de guiamento é que a fase de ida e volta pela lâmina, $2k_0n_1a\cos\theta - 2\varphi_r$ (com $\varphi_r$ a defasagem da reflexão total, tomada $\approx 0$ aqui), seja um múltiplo de $2\pi$ : número de modos para $a = 50\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $\lambda = 1.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $n_1 = 1.48$ , $n_2 = 1.46$ (admita a contagem de modos $\approx 2a\sqrt{n_1^2 - n_2^2}/\lambda$ por polarização). (b) Espessura para um único modo. (c) Compare com um núcleo de fibra monomodo de $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (d) Por que o guia dielétrico, ao contrário do metálico, não pode ter corte para seu modo mais baixo?

Solução

Solução de Exercício 16.11.

(a) $2a\sqrt{n_1^2 - n_2^2}/\lambda = 2 \times 50 \times 0.242/1.5 \approx 16$ por polarização. (b) $a < \lambda/2\mathrm{NA} = 3.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (c) Um núcleo circular com $\mathrm{NA} = 0.12$ é monomodo abaixo de $d = 2.405\lambda/\pi\mathrm{NA} = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ : o padrão de $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (d) Um raio rasante é sempre totalmente refletido: o modo mais baixo existe em toda frequência, e suas caudas evanescentes apenas se espalham pela casca.

Exercício 16.12 ★★★

Fibra de índice gradual. Para reduzir a dispersão modal, o índice do núcleo decresce do eixo para fora, $n(r) = n_1\sqrt{1 - 2\Delta(r/a)^2}$ com $\Delta \approx 0.01$ . (a) Explique qualitativamente por que um raio fora do eixo, embora mais longo, pode levar o mesmo tempo que o axial. (b) Usando a equação dos raios num meio estratificado, $n(r)\cos\theta(r) =$ const., mostre que um raio lançado do eixo com pequeno ângulo oscila senoidalmente em torno dele (expanda $n$ até a segunda ordem). (c) Período da oscilação para $a = 25\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (d) O alargamento modal residual é da ordem de $n_1L\Delta^2/2c$ : valor por quilômetro, comparado com o $n_1L\Delta/c$ do índice degrau.

Solução

Solução de Exercício 16.12.

(a) O raio fora do eixo passa seu tempo num índice menor, onde a luz é mais rápida: o caminho mais longo é compensado. (b) $n(r)\cos\theta = n_1\cos\theta_0$ com $n \approx n_1(1 - \Delta r^2/a^2)$ e $\cos\theta \approx 1 - \theta^2/2$ : $(\dd r/\dd z)^2 = \theta_0^2 - 2\Delta r^2/a^2$ , uma oscilação harmônica $r = r_0\sin(\sqrt{2\Delta}\,z/a)$ . (c) $2\pi a/\sqrt{2\Delta} = 1.1\,\mathrm{mm}$ . (d) $n_1L\Delta^2/2c = 0.25\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ contra $49\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ : duzentas vezes melhor.

Fibras ópticas iluminadas pelas pontas distantes: luz aprisionada por reflexão total interna num núcleo mais fino que um cabelo, e guiada em torno de cada curva suave.

16.5 Problema: A cavidade do forno e a fibra óptica

Problema 16.1

Problema de fim de semana — dois sistemas de ondas guiadas presentes em toda cozinha e em toda cidade: o forno que cozinha com ondas estacionárias e a fibra que carrega a internet

Parte I — Do magnetron à cavidade. Um magnetron injeta $800\,\mathrm{W}$ a $2.45\,\mathrm{GHz}$ num guia de ondas retangular ( $a = 8.6\,\mathrm{cm}$ , $b = 4.3\,\mathrm{cm}$ ) que desemboca na cavidade do forno ( $30 \times 30 \times 20$ cm $^3$ ); paredes de aço, $\gamma = 1 \times 10^{6}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ .

Frequências de corte dos modos TE $_{10}$ , TE $_{20}$ e TE $_{01}$ do guia; verifique que só TE $_{10}$ se propaga a $2.45\,\mathrm{GHz}$ .
Comprimento de onda no guia e velocidades de fase e de grupo a $2.45\,\mathrm{GHz}$ .
Amplitude do campo $E_0$ no guia para $800\,\mathrm{W}$ (fórmula da potência do TE $_{10}$ ); compare com o campo de ruptura do ar.
Amplitude da corrente superficial na parede larga (da ordem de $E_0/\mu_0c$ ); profundidade de penetração e resistência superficial do aço; perda por metro de guia.
Modos da cavidade: liste os que têm frequência dentro de $3\%$ de $2.45\,\mathrm{GHz}$ (tente $(m, n, p)$ até $4$ ); quantos são?
Distância entre os pontos quentes de um desses modos em cada eixo; por que o prato gira, e o que é um "agitador de modos"?
O fator de qualidade da cavidade carregada com alimento vale cerca de $200$ : largura de banda de sua resposta; por que um descasamento entre a frequência do magnetron e os modos não importa muito.
A cavidade vazia tem $Q \approx 3000$ : energia armazenada com $800\,\mathrm{W}$ de entrada, densidade média de energia, amplitude do campo; compare com a questão 3 e com a ruptura. O que protege o magnetron quando o forno funciona vazio?
Tempo que a energia leva para percorrer os $20\,\mathrm{cm}$ de guia do magnetron até a cavidade.
O magnetron é alimentado por uma fonte retificada de meia onda e só emite durante metade de cada ciclo da rede: potência de pico durante os surtos para uma média de $800\,\mathrm{W}$ ; o que a cavidade faz entre os surtos (use $Q \approx 200$ )?

Parte II — A porta e o corte.

A tela da porta tem furos de $1.5\,\mathrm{mm}$ numa chapa de $1\,\mathrm{mm}$ : comprimento de decaimento num furo e atenuação em dB ao atravessar a chapa.
A borda da porta é vedada por uma armadilha de quarto de onda: uma fenda de $\lambda/4$ de profundidade em volta do batente, que apresenta um circuito aberto na fresta (lembre o Capítulo 15): profundidade da fenda a $2.45\,\mathrm{GHz}$ .
A fuga legal é de $5\,\mathrm{mW}/\mathrm{cm}^{2}$ a $5\,\mathrm{cm}$ : a que fração de $800\,\mathrm{W}$ através de uma porta de $100\,\mathrm{cm}^{2}$ isso corresponde?
Um duto de $30\,\mathrm{cm}$ e $4\,\mathrm{cm}$ de diâmetro ventila a cavidade: ele está abaixo do corte a $2.45\,\mathrm{GHz}$ ? Atenuação ao longo de seu comprimento.
Por que a tela deve estar eletricamente unida ao batente da porta em todo o contorno (a que se pareceria uma falha nessa união)?

Parte III — A fibra. Uma fibra de índice degrau: núcleo $n_1 = 1.465$ , casca $n_2 = 1.460$ , diâmetro do núcleo $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ (multimodo) ou $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ (monomodo); $\lambda = 1.55\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; atenuação de $0.2\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ .

Abertura numérica e ângulo de aceitação; é fácil acoplar luz nela?
Alargamento modal por quilômetro para a fibra multimodo; taxa máxima de bits em $10\,\mathrm{km}$ (um bit por tempo de alargamento).
Número de modos da fibra multimodo (admita $N \approx \tfrac12(\pi d\,\mathrm{NA}/\lambda)^2$ ); e da monomodo ( $d = 9\,\text{µ}\mathrm{m}$ : mostre que a mesma fórmula dá cerca de $1$ ).
Na fibra monomodo o alargamento que resta é cromático: com $\omega'' \approx -0.2\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ (Capítulo 8) e pulsos de $50\,\mathrm{ps}$ , distância em que um pulso dobra de largura; taxa de bits em $100\,\mathrm{km}$ .
Atenuação em $100\,\mathrm{km}$ , em dB e como razão de potências; com $1\,\mathrm{mW}$ de entrada: potência de saída; com amplificadores a cada $80\,\mathrm{km}$ , quantos são necessários para um enlace transatlântico de $6000\,\mathrm{km}$ ?
Frequência e energia do fóton a $1.55\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; fótons por segundo em $1\,\mathrm{mW}$ , e por bit a $10\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ , na entrada e depois de $100\,\mathrm{km}$ .
Por que $1.55\,\text{µ}\mathrm{m}$ (pense nos dois mecanismos de perda da sílica: o espalhamento Rayleigh, que cai como $1/\lambda^4$ , e a absorção no infravermelho, que cresce além de $1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ )?
Reflexão de Fresnel numa ponta de fibra clivada voltada para o ar: perda em dB; por que os conectores usam gel de casamento de índice ou contato físico polido.
Por que uma fibra não irradia numa curva suave, e por que ela perde luz numa curva fechada (pense no ângulo do raio na fronteira do núcleo)?
Compare os dois guias deste problema: o que confina a onda, o que limita a banda e quais são as perdas.

Solução

Solução de Problema 16.1.

1. $c/2a = 1.74\,\mathrm{GHz}$ ; TE $_{20}$ e TE $_{01}$ : $3.49\,\mathrm{GHz}$ : só TE $_{10}$ a $2.45\,\mathrm{GHz}$ .

2. $\sqrt{1 - (1.74/2.45)^2} = 0.70$ : $\lambda_g = 17.4\,\mathrm{cm}$ , $v_\varphi = 1.42c$ , $v_g = 0.70c = 2.1 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

3. $E_0^2 = 4P/\varepsilon_0c\,ab\sqrt{\cdot} = 3200/6.9 \times 10^{-6}$ : $E_0 = 21\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ , um centésimo da ruptura.

4. $j_s \approx E_0/\mu_0c = 57\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ ; $\delta = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $R_s = 0.1\,\Omega$ ; $\tfrac12R_sj_s^2 \times 2a = 28\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ : $3.5\%$ por metro — o aço tem perdas, mas o guia é curto.

5. $f = 1.5 \times 10^8\sqrt{11.1(m^2 + n^2) + 25p^2}$ dentro de $\pm3\%$ de $2.45\,\mathrm{GHz}$ : $(1, 2, 3)$ e $(2, 1, 3)$ a $2.51\,\mathrm{GHz}$ , $(4, 0, 2)$ , $(0, 4, 2)$ , $(4, 3, 0)$ e $(3, 4, 0)$ a $2.50\,\mathrm{GHz}$ — cerca de seis.

6. Meios comprimentos de onda $a/m$ , $b/n$ , $d/p$ : de $7$ a $10\,\mathrm{cm}$ . O prato giratório arrasta a comida por máximos e mínimos; um agitador (um leque metálico giratório) embaralha os modos.

7. $f/Q = 12\,\mathrm{MHz}$ : as ressonâncias carregadas se superpõem num contínuo; o magnetron sempre encontra um modo para alimentar.

8. $W = QP/\omega = 3000 \times 800/1.54 \times 10^{10} = 0.16\,\mathrm{J}$ ; $u = 8.7\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; $E_0 \approx \sqrt{4u/\varepsilon_0} = 2\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ — perto da ruptura: arcos; a potência refletida volta ao magnetron, protegido (um pouco) por uma carga fictícia ou um circulador — daí "nunca ligue vazio".

9. $0.2/2.1 \times 10^8 = 1\,\mathrm{ns}$ .

10. $1.6\,\mathrm{kW}$ de pico; entre os surtos o campo decai em $Q/\omega = 13\,\mathrm{ns}$ : a cavidade fica vazia a maior parte do tempo.

11. $\ell \approx a/\pi = 0.48\,\mathrm{mm}$ ; $\eu^{-1/0.48}$ : $-18\,\mathrm{dB}$ em amplitude, $-36\,\mathrm{dB}$ em potência.

12. $\lambda/4 = 3.1\,\mathrm{cm}$ .

13. $5\,\mathrm{mW}/\mathrm{cm}^{2}$ $\times$ $100\,\mathrm{cm}^{2}$ = $0.5\,\mathrm{W}$ : $0.06\%$ .

14. $f_1 \approx c/2d = 3.75\,\mathrm{GHz} > 2.45\,\mathrm{GHz}$ : abaixo do corte; $\ell = 1.7\,\mathrm{cm}$ , $\eu^{-30/1.7}$ : $-150\,\mathrm{dB}$ .

15. As correntes das paredes precisam fluir continuamente para a tela; uma falha na união é uma fenda que as corta — uma antena de fenda irradiando para fora.

16. $\mathrm{NA} = \sqrt{1.465^2 - 1.460^2} = 0.12$ , $7{}^{\circ}$ : um cone estreito, que exige laser e lente.

17. $(n_1L/c)(n_1/n_2 - 1) = 17\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ ; $170\,\mathrm{ns}$ em $10\,\mathrm{km}$ : $6\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ .

18. $\tfrac12(\pi d\,\mathrm{NA}/\lambda)^2 = 75$ ; para $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $2.4$ — o regime monomodo ( $V = \pi d\,\mathrm{NA}/\lambda = 2.2 < 2.4$ ).

19. $\Delta x_0 = (c/n)\tau = 1\,\mathrm{cm}$ : $t_{\text{al}} = 10^{-4}/0.2 = 0.5\,\mathrm{ms}$ , $100\,\mathrm{km}$ : $10\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ nessa distância, antes de qualquer compensação.

20. $20\,\mathrm{dB}$ , um fator $100$ : $10\,\text{µ}\mathrm{W}$ ; $6000/80 = 75$ amplificadores.

21. $f = 1.9 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $hf = 0.8\,\mathrm{eV}$ ; $8 \times 10^{15}$ fótons por segundo; $8 \times 10^5$ por bit na entrada, e $8 \times 10^3$ depois de $100\,\mathrm{km}$ .

22. A soma das duas perdas é mínima perto de $1.55\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $0.2\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ ).

23. $R = ((1.465 - 1)/2.465)^2 = 3.6\%$ : $0.16\,\mathrm{dB}$ por face, duas vezes num conector, mais a interferência do vão; o gel ou o contato físico elimina o ar.

24. Numa curva suave o raio ainda encontra a fronteira além do ângulo limite; numa curva fechada a incidência na parede externa cai abaixo dele e a luz escapa.

25. Forno: paredes metálicas, reflexão com $r = -1$ ; a banda é fixada pelos modos da cavidade; as perdas ficam na película de aço. Fibra: reflexão total interna numa fronteira vidro–vidro; a banda é fixada pelas dispersões modal e cromática; as perdas vêm do espalhamento e da absorção, $0.2\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ .