Física universitária — 2.º ano · Bachelor Year 2

6Ondas em cordas e barras: a equação de d’Alembert

Belisque a corda de um violão e uma forma corre por ela, bate no cavalete, volta e se acomoda no padrão estacionário cuja frequência você ouve como uma nota. Encoste o ouvido num trilho e você ouve o trem muito antes de ele chegar: uma compressão desce pelo aço a cinco quilômetros por segundo. O volume do Ano 1 descreveu essas ondas — progressivas, estacionárias, superpostas — sem dizer por que existem. Este capítulo deduz a equação que as governa, a equação de onda de d’Alembert, primeiro para o movimento transversal de uma corda, depois para o movimento longitudinal de uma barra construída, átomo a átomo, de massas e molas; ele calcula a energia que uma onda transporta e a impedância que decide o que acontece quando ela encontra uma mudança de meio.

6.1 A corda vibrante

Teorema 6.1 (Equação de onda de uma corda)

Uma corda de massa linear $\mu$ , esticada com tração $T$ , faz pequenos deslocamentos transversais $y(x, t)$ (inclinações $|\partial_xy| \ll 1$ ). Então

\frac{\partial^2y}{\partial t^2} = c^2\,\frac{\partial^2y}{\partial x^2} , \qquad c = \sqrt{\frac{T}{\mu}} ,

a equação de d’Alembert, cuja solução geral é $y = f(x - ct) + g(x + ct)$ : a superposição de uma forma que viaja para a direita e outra que viaja para a esquerda com celeridade $c$ , sem se deformar.

Demonstração. Isole o elemento entre $x$ e $x + \dd x$ , de massa $\mu\,\dd x$ . Seus vizinhos o puxam ao longo da tangente à corda com a tração $T$ : horizontalmente $T\cos\theta \approx T$ nas duas pontas (não há movimento horizontal, de modo que $T$ é a mesma ao longo de tudo), verticalmente $T\sin\theta \approx T\partial_xy$ , o que dá a força resultante $T[\partial_xy(x + \dd x) - \partial_xy(x)] = T\,\partial_x^2y\,\dd x$ . Newton: $\mu\,\dd x\,\partial_t^2y = T\partial_x^2y\,\dd x$ . Para a solução, ponha $u = x - ct$ , $v = x + ct$ : a equação torna-se $\partial_u\partial_vy = 0$ (regra da cadeia), de modo que $\partial_vy$ só depende de $v$ , e $y = f(u) + g(v)$ ; reciprocamente, todo $y$ dessa forma a satisfaz. A gravidade, desprezada, é legítima quando $T \gg \mu gL$ . ∎

À esquerda: as forças sobre um elemento de corda — as duas trações não são paralelas quando a corda está curvada, e sua resultante é transversal. À direita: uma forma f(x - ct) viaja para a direita a c sem se deformar. — À esquerda: as forças sobre um elemento de corda — as duas trações não são paralelas quando a corda está curvada, e sua resultante é transversal. À direita: uma forma $f(x - ct)$ viaja para a direita a $c$ sem se deformar.

Exemplo 6.2 (Violão, piano, cabo)

A corda mi grave de um violão ( $\mu = 5.5\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , comprimento $0.65\,\mathrm{m}$ , $82.4\,\mathrm{Hz}$ ) vibra em seu fundamental com $\lambda = 2L$ : $c = 2Lf = 107\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e $T = \mu c^2 = 63\,\mathrm{N}$ . A corda lá $_4$ de um piano (aço, $1\,\mathrm{mm}$ , $\mu = 6.1\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , $0.38\,\mathrm{m}$ , $440\,\mathrm{Hz}$ ): $c = 334\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $T = 680\,\mathrm{N}$ — e há cerca de $230$ cordas num piano, vinte toneladas de tração sobre uma placa de ferro fundido. Um cabo de $1\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ a $10\,\mathrm{kN}$ : $100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

6.2 Ondas estacionárias e modos

Proposição 6.3 (Modos de uma corda fixa nas duas pontas)

Uma corda fixa em $x = 0$ e $x = L$ admite as soluções senoidais estacionárias (modos próprios)

y_n(x, t) = A_n\sin\frac{n\pi x}{L}\cos(\omega_nt - \varphi_n) , \qquad f_n = \frac{\omega_n}{2\pi} = n\,\frac{c}{2L} = n f_1 , \quad n = 1, 2, 3, \dots

— o fundamental $f_1 = c/2L$ e seus harmônicos. O modo $n$ tem $n - 1$ nós entre as extremidades. Todo movimento da corda é uma superposição $y = \sum_ny_n$ , com as amplitudes e as fases fixadas pela forma e pela velocidade iniciais (uma série de Fourier, como o volume de matemática deste ano estabelece): a mistura de harmônicos é o timbre da nota.

Demonstração. Procure $y = F(x)\cos(\omega t - \varphi)$ : $F'' + (\omega/c)^2F = 0$ , e $F(0) = 0$ dá $F = A\sin(\omega x/c)$ , enquanto $F(L) = 0$ exige $\omega L/c = n\pi$ . Cada modo é também a soma de duas ondas progressivas: $\sin kx\cos\omega t = \tfrac12[\sin(kx - \omega t) + \sin(kx + \omega t)]$ — a onda e sua reflexão. A completude dos senos é o teorema de Fourier. ∎

À esquerda: os três primeiros modos de uma corda fixa nas duas pontas (f_n = nc/2L). À direita: uma corda pinçada no meio (triângulo) e os primeiros termos de sua série de Fourier — só aparecem harmônicos ímpares, com amplitudes que caem como 1/n2. — À esquerda: os três primeiros modos de uma corda fixa nas duas pontas ( $f_n = nc/2L$ ). À direita: uma corda pinçada no meio (triângulo) e os primeiros termos de sua série de Fourier — só aparecem harmônicos ímpares, com amplitudes que caem como $1/n^2$ .

Exemplo 6.4 (A experiência de Melde)

Uma corda excitada numa ponta por um vibrador de frequência $f$ , com a outra ponta passando por uma polia até uma massa $m$ pendurada (de modo que $T = mg$ ): uma grande onda estacionária aparece sempre que $f$ é igual a um dos $f_n = (n/2L) \sqrt{mg/\mu}$ — ressonância do modo $n$ . Para $L = 1.2\,\mathrm{m}$ , $\mu = 1.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ e $f = 50\,\mathrm{Hz}$ , as massas que dão $n = 1, 2, 3$ ventres são $m_n = 4L^2f^2\mu/n^2g = 1.47/n^2$ kg: $1.47\,\mathrm{kg}$ , $367\,\mathrm{g}$ , $163\,\mathrm{g}$ . Apertar a corda de um violão no décimo segundo traste reduz $L$ à metade e dobra $f_1$ : a oitava; tocá-la de leve no meio, sem apertar, mata os modos ímpares e deixa o segundo harmônico — o harmônico natural.

6.3 Energia, potência e impedância

Proposição 6.5 (Energia de uma onda numa corda)

Uma corda transporta a energia por unidade de comprimento e a potência (fluxo de energia no sentido $+x$ )

e = \tfrac12\mu\Bigl(\frac{\partial y}{\partial t}\Bigr)^2 + \tfrac12T\Bigl(\frac{\partial y}{\partial x}\Bigr)^2 , \qquad \mathcal P = -T\,\frac{\partial y}{\partial x}\,\frac{\partial y}{\partial t} ,

que obedecem ao balanço local $\partial_te + \partial_x\mathcal P = 0$ . Para uma onda progressiva $y = f(x - ct)$ , as densidades cinética e potencial são iguais e $\mathcal P = Z\,(\partial_ty)^2$ com

Z = \sqrt{T\mu} = \mu c = \frac Tc ,

a impedância da corda ( $\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ): a razão entre a força transversal $-T\partial_xy$ exercida pela corda sobre o que está adiante e a velocidade transversal $\partial_ty$ . Uma onda senoidal de amplitude $A$ transporta a potência média $\langle\mathcal P\rangle = \tfrac12Z\omega^2A^2$ .

Demonstração. O termo potencial é o trabalho da tração ao esticar o elemento: seu comprimento vale

\dd x\sqrt{1 + (\partial_xy)^2} \approx \dd x\bigl(1 + \tfrac12(\partial_xy)^2\bigr) ,

de modo que o excesso de comprimento vezes $T$ dá $\tfrac12T(\partial_xy)^2\dd x$ . A potência transmitida através de $x$ no sentido $+x$ é a força transversal exercida pela parte esquerda sobre a direita, $-T\partial_xy$ , vezes a velocidade $\partial_ty$ . Balanço:

\partial_te = \mu\,\partial_ty\,\partial_t^2y + T\,\partial_xy\,\partial_x\partial_ty , \qquad -\partial_x\mathcal P = T\,\partial_x^2y\,\partial_ty + T\,\partial_xy\,\partial_x\partial_ty ,

iguais pela equação de onda. Para $f(x - ct)$ : $\partial_xy = -\partial_ty/c$ , logo $\mathcal P = (T/c) (\partial_ty)^2$ e as duas densidades valem $\tfrac12\mu(\partial_ty)^2$ . ∎

Proposição 6.6 (Reflexão e transmissão numa junção)

Uma onda de amplitude $A_i$ chega, vinda de uma corda de impedância $Z_1$ , a uma corda de impedância $Z_2$ unida a ela em $x = 0$ . A continuidade do deslocamento e da força transversal na junção dá os coeficientes de amplitude

r = \frac{A_r}{A_i} = \frac{Z_1 - Z_2}{Z_1 + Z_2} , \qquad t = \frac{A_t}{A_i} = \frac{2Z_1}{Z_1 + Z_2} ,

e as frações de energia $R = r^2$ , $\mathcal T = 4Z_1Z_2/(Z_1 + Z_2)^2$ , com $R + \mathcal T = 1$ . Uma extremidade fixa ( $Z_2 \to \infty$ ) reflete com $r = -1$ (o pulso volta invertido), uma extremidade livre ( $Z_2 = 0$ ) com $r = +1$ ; impedâncias iguais transmitem tudo.

Demonstração. Ondas senoidais $y_1 = A_i\cos(\omega t - k_1x) + A_r\cos(\omega t + k_1x)$ para $x < 0$ , $y_2 = A_t\cos(\omega t - k_2x)$ para $x > 0$ , com o mesmo $\omega$ dos dois lados. Em $x = 0$ : $y_1 = y_2$ dá $A_i + A_r = A_t$ ; a força $-T\partial_xy$ contínua (junção sem massa) dá $Z_1(A_i - A_r) = Z_2A_t$ (usando $T_1k_1 = Z_1\omega$ ). Resolva. Energias: as potências médias $\tfrac12Z\omega^2A^2$ . ∎

Um pulso encontra uma junção com uma corda mais pesada (Z_2 = 4Z_1): uma parte é transmitida, mais lenta e mais estreita, outra é refletida invertida. — Um pulso encontra uma junção com uma corda mais pesada ( $Z_2 = 4Z_1$ ): uma parte é transmitida, mais lenta e mais estreita, outra é refletida invertida.

6.4 Da cadeia de átomos à barra elástica

Proposição 6.7 (A cadeia de átomos; o módulo de Young)

Uma fila de massas idênticas $m$ separadas por $a$ e ligadas por molas de rigidez $k$ : se $u_n(t)$ é o deslocamento da massa $n$ ao longo da fila,

m\ddot u_n = k(u_{n+1} - u_n) - k(u_n - u_{n-1}) = k(u_{n+1} - 2u_n + u_{n-1}) .

Quando o deslocamento varia lentamente de uma massa à seguinte (em comprimentos de onda $\lambda \gg a$ ), $u_n(t) \to u(x, t)$ com $u_{n\pm1} - u_n \approx \pm a\,\partial_xu + \tfrac12a^2\partial_x^2u$ , e a cadeia obedece à equação de d’Alembert

\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} , \qquad c = a\sqrt{\frac km} = \sqrt{\frac{E}{\rho}} ,

com $\rho = m/a^3$ a massa específica de um sólido feito dessas cadeias num arranjo cúbico e $E = k/a$ seu módulo de Young: a rigidez de uma barra de seção $S$ e comprimento $\ell$ vale $kS/a^2\cdot a/\ell = ES/\ell$ , ou seja, a lei de Hooke $F/S = E\,\Delta\ell/\ell$ (tensão $\sigma = E\varepsilon$ ).

Demonstração. Cada mola é esticada pela diferença dos deslocamentos de suas pontas. Insira as expansões de Taylor: $m\partial_t^2u = ka^2\partial_x^2u$ . Um cubo de lado $a$ por átomo dá $\rho = m/a^3$ ; uma barra de seção $S$ contém $S/a^2$ cadeias paralelas de $\ell/a$ molas em série, de rigidez total $(S/a^2)(ka/\ell) = (k/a)S/\ell$ . ∎

Proposição 6.8 (Ondas longitudinais numa barra)

Diretamente no contínuo: um elemento de barra entre $x$ e $x + \dd x$ , deslocado de $u(x, t)$ , sofre a deformação $\varepsilon = \partial_xu$ e é puxado pela tensão $\sigma = E\partial_xu$ em cada face; Newton dá $\rho\,\partial_t^2u = E\,\partial_x^2u$ : as ondas longitudinais (de compressão) viajam a $c = \sqrt{E/\rho}$ — $5100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ no aço ( $E = 200\,\mathrm{GPa}$ ), $5000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ no alumínio, $3700\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ no granito, $3500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ na madeira ao longo das fibras. A impedância vale $Z = \rho c = \sqrt{E\rho}$ por unidade de área, e as mesmas fórmulas de junção se aplicam — é assim que o ultrassom encontra uma trinca num trilho.

Demonstração. Força resultante sobre o elemento: $S[\sigma(x + \dd x) - \sigma(x)] = SE\partial_x^2u\,\dd x$ ; massa $\rho S\dd x$ . ∎

À esquerda: a cadeia de massas e molas — cada massa sente as duas molas que a cercam, e o limite contínuo é a equação de onda com c = a√k/m. À direita: um elemento de barra elástica puxado pela tensão em suas duas faces. — À esquerda: a cadeia de massas e molas — cada massa sente as duas molas que a cercam, e o limite contínuo é a equação de onda com $c = a\sqrt{k/m}$ . À direita: um elemento de barra elástica puxado pela tensão em suas duas faces.

Observação 6.9 (O que a cadeia sabe e a barra não)

Procurar $u_n = A\cos(\omega t - kna)$ na equação exata da cadeia dá $\omega = 2\sqrt{k/m}\,|\sin(ka/2)|$ : para $ka \ll 1$ isso é $\omega = ck$ , a equação de onda não dispersiva, mas quando o comprimento de onda se aproxima de $2a$ a frequência satura em $2\sqrt{k/m}$ e as velocidades de fase e de grupo diferem — a primeira relação de dispersão deste volume, o assunto do Capítulo 8. Para $a = 0.25\,\mathrm{nm}$ e $c = 5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ o corte fica em $\omega_{\max} = 2c/a = 4 \times 10^{13}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ( $6\,\mathrm{THz}$ ): o sólido não pode vibrar mais rápido do que as molas de seus átomos permitem.

6.5 Exercícios

Exercício 6.1 ★

A corda lá de um violão ( $110\,\mathrm{Hz}$ , $L = 65\,\mathrm{cm}$ , $\mu = 3.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ ): celeridade das ondas, tração, comprimento de onda do fundamental na corda e do som no ar; frequência quando a corda é apertada no quinto traste ( $L$ reduzido por um fator $2^{-5/12}$ ).

Solução

Solução de Exercício 6.1.

$c = 2Lf = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $T = \mu c^2 = 61\,\mathrm{N}$ ; $\lambda = 2L = 1.3\,\mathrm{m}$ na corda, $340/110 = 3.1\,\mathrm{m}$ no ar; no quinto traste: $110 \times 2^{5/12} = 147\,\mathrm{Hz}$ .

Exercício 6.2 ★

Celeridade das ondas longitudinais no aço ( $E = 200\,\mathrm{GPa}$ , $\rho = 7800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ), no alumínio ( $70\,\mathrm{GPa}$ , $2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) e no chumbo ( $16\,\mathrm{GPa}$ , $11\,300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ). Tempo que um som leva para percorrer $1.0\,\mathrm{km}$ por um trilho e pelo ar ( $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ); o que ouve quem encosta o ouvido no trilho.

Solução

Solução de Exercício 6.2.

$\sqrt{E/\rho}$ : aço $5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , alumínio $5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , chumbo $1.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Em $1\,\mathrm{km}$ : $0.20\,\mathrm{s}$ pelo trilho, $2.9\,\mathrm{s}$ pelo ar — dois sons, primeiro o do trilho, separados por $2.7\,\mathrm{s}$ .

Exercício 6.3 ★

Uma corda de fundamental $200\,\mathrm{Hz}$ : frequências e número de nós dos modos 2, 3 e 4; posições dos nós do modo 3; frequência do fundamental se a tração dobra, se o comprimento cai à metade, se a corda é trocada por outra três vezes mais pesada por metro.

Solução

Solução de Exercício 6.3.

$400$ , $600$ e $800$ Hz, com $1$ , $2$ e $3$ nós interiores; os nós do modo 3 ficam em $L/3$ e $2L/3$ . Com $T \times 2$ : $200\sqrt2 = 283\,\mathrm{Hz}$ ; com $L/2$ : $400\,\mathrm{Hz}$ ; com $\mu \times 3$ : $200/\sqrt3 = 115\,\mathrm{Hz}$ .

Exercício 6.4 ★

Uma corda de $12\,\mathrm{m}$ ( $\mu = 0.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ ) é tracionada com $45\,\mathrm{N}$ ; uma ponta está presa a uma parede. Um pulso é enviado da outra ponta. Celeridade; tempo para chegar à parede e voltar; forma do pulso que volta; o mesmo se a ponta distante estiver amarrada a um anel leve que desliza livremente num mastro.

Solução

Solução de Exercício 6.4.

$c = \sqrt{45/0.2} = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $24\,\mathrm{m}$ em $1.6\,\mathrm{s}$ ; o pulso volta invertido ( $r = -1$ ); com o anel livre, volta direito ( $r = +1$ ).

Exercício 6.5 ★★

Uma corda de piano para $440\,\mathrm{Hz}$ : aço ( $\rho = 7800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ), diâmetro $1.0\,\mathrm{mm}$ , comprimento vibrante $38\,\mathrm{cm}$ . (a) $\mu$ , celeridade das ondas, tração. (b) Tensão no fio; compare com a resistência do fio de piano, cerca de $2\,\mathrm{GPa}$ . (c) A mesma nota com um fio de $0.5\,\mathrm{mm}$ : tração e tensão. (d) Por que as cordas graves são encapadas com cobre, em vez de feitas mais longas ou mais grossas?

Solução

Solução de Exercício 6.5.

(a) $\mu = \rho\pi d^2/4 = 6.1\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ ; $c = 2Lf = 334\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $T = \mu c^2 = 690\,\mathrm{N}$ . (b) $\sigma = T/A = \rho c^2 = 0.87\,\mathrm{GPa}$ , margem $2.3$ . (c) $T/4 = 170\,\mathrm{N}$ , a mesma tensão (ela só depende de $\rho c^2$ ). (d) Uma corda longa não cabe na caixa; um fio liso e grosso é rígido demais (muito inarmônico) e difícil de dobrar sobre o cavalete; o encapamento de cobre acrescenta massa sem rigidez.

Exercício 6.6 ★★

Melde. Uma corda de $1.5\,\mathrm{m}$ ( $\mu = 2.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ ) é excitada a $60\,\mathrm{Hz}$ ; sua tração é fixada por uma massa pendurada. (a) Massas que dão $1$ , $2$ , $3$ e $4$ ventres. (b) Com $0.50\,\mathrm{kg}$ : há ressonância? Qual o modo mais próximo. (c) A ponta excitada é de fato um nó ou um ventre? (d) Por que os ventres ficam tão grandes na ressonância, e o que os limita?

Solução

Solução de Exercício 6.6.

(a) $m_n = 4L^2f^2\mu/n^2g = 6.6/n^2$ kg: $6.6$ , $1.65$ , $0.73$ e $0.41\,\mathrm{kg}$ . (b) $n^2 = 13.2$ , $n = 3.6$ : não há ressonância, fica entre os modos 3 e 4 (o mais próximo é o 4, $0.41\,\mathrm{kg}$ ). (c) Praticamente um nó: a amplitude do excitador é minúscula comparada à dos ventres. (d) A energia é injetada em fase a cada período e se acumula; o amortecimento (ar, atrito interno, fuga pela polia) limita a amplitude.

Exercício 6.7 ★★

Uma onda $y = A\cos(\omega t - kx)$ com $A = 2.0\,\mathrm{mm}$ , $f = 100\,\mathrm{Hz}$ viaja numa corda ( $T = 100\,\mathrm{N}$ , $\mu = 10\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ ). Celeridade, $k$ , comprimento de onda; velocidade e aceleração transversais máximas de um ponto; inclinação máxima; impedância; potência média transportada; energia contida em um comprimento de onda.

Solução

Solução de Exercício 6.7.

$c = 100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $k = 6.3\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $\lambda = 1.0\,\mathrm{m}$ ; $v_{\max} = \omega A = 1.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $a_{\max} = \omega^2A = 790\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; inclinação $kA = 0.013$ ; $Z = \sqrt{T\mu} = 1.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ; $\langle\mathcal P\rangle = \tfrac12Z\omega^2A^2 = 0.79\,\mathrm{W}$ ; por comprimento de onda, $\mathcal P/f = 7.9\,\mathrm{mJ}$ .

Exercício 6.8 ★★

Uma corda de $\mu_1 = 2.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ é amarrada a outra de $\mu_2 = 8.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , ambas sob $20\,\mathrm{N}$ . (a) Celeridades e impedâncias. (b) Coeficientes de reflexão e de transmissão em amplitude para uma onda vinda da corda leve; e vinda da corda pesada. (c) Frações de energia nos dois casos; verifique que somam um. (d) Um pulso de $1\,\mathrm{cm}$ de altura e $10\,\mathrm{cm}$ de largura chega pela corda leve: altura e largura dos pulsos transmitido e refletido.

Solução

Solução de Exercício 6.8.

(a) $c_1 = 100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $c_2 = 50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $Z_1 = 0.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , $Z_2 = 0.40\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ . (b) Vindo da corda leve: $r = -1/3$ , $t = 2/3$ ; vindo da pesada: $r = +1/3$ , $t = 4/3$ . (c) $R = 1/9$ , $\mathcal T = 4 \times 0.08/0.36 = 8/9$ nos dois casos. (d) Transmitido: $0.67\,\mathrm{cm}$ de altura e $5\,\mathrm{cm}$ de largura (mesma duração, metade da celeridade); refletido: $-0.33\,\mathrm{cm}$ , $10\,\mathrm{cm}$ .

Exercício 6.9 ★★

Um fio de aço de $2.0\,\mathrm{m}$ e diâmetro $1.0\,\mathrm{mm}$ se alonga $1.0\,\mathrm{mm}$ sob $80\,\mathrm{N}$ . (a) Módulo de Young. (b) Celeridade das ondas longitudinais. (c) Frequência fundamental da vibração longitudinal do fio quando ele é engastado nas duas pontas, e da sua vibração transversal sob aquela tração; por que são tão diferentes? (d) Rigidez $k$ e massa $m$ de um "átomo" no modelo da cadeia, para $a = 0.25\,\mathrm{nm}$ .

Solução

Solução de Exercício 6.9.

(a) $E = F\ell/A\Delta\ell = 80 \times 2/(7.85 \times 10^{-7} \times 10^{-3}) = 2.0 \times 10^{11}\,\mathrm{Pa}$ . (b) $c = 5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (c) Longitudinal: $c/2\ell = 1.3\,\mathrm{kHz}$ ; transversal: $\sqrt{T/\mu} = 114\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $f = 29\,\mathrm{Hz}$ — a tração submete o fio a $100\,\mathrm{MPa}$ , $5 \times 10^{-4}$ de $E$ , de modo que a celeridade transversal vale $\sqrt{5 \times 10^{-4}}$ da longitudinal. (d) $k = Ea = 50\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; $m = \rho a^3 = 1.2 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$ (cerca de $70$ unidades de massa atômica).

Exercício 6.10 ★★★

A corda pinçada. Uma corda fixa em $0$ e $L$ é puxada de lado em $x = L/2$ até a altura $h$ (forma triangular) e solta em repouso. (a) Escreva a solução como $\sum_nb_n\sin(n\pi x/L)\cos(\omega_nt)$ e mostre que $b_n = \dfrac{8h}{n^2\pi^2}\sin\dfrac{n\pi}2$ . (b) Que harmônicos estão ausentes, e por quê? (c) Energia do modo $n$ ( $E_n = \tfrac14\mu L\omega_n^2b_n^2$ ); fração do total no fundamental. (d) A corda é pinçada em $L/5$ : que harmônicos se anulam? Por que um violonista belisca perto do cavalete para obter um som mais brilhante?

Solução

Solução de Exercício 6.10.

(a) $b_n = \frac2L\int_0^Ly(x, 0)\sin(n\pi x/L)\dd x$ com o triângulo $y = 2hx/L$ em $[0, L/2]$ (e simétrico): integre por partes, $b_n = 8h\sin(n\pi/2) /n^2\pi^2$ . (b) Os $n$ pares se anulam: o ponto médio, que é nó de todo modo par, é justamente o ponto puxado. (c) $E_n = \tfrac14\mu L\omega_n^2b_n^2 \propto n^2/n^4 = 1/n^2$ ( $n$ ímpar): o fundamental fica com $1/\sum_{\text{ímpar}}n^{-2} = 8/\pi^2 = 81\%$ . (d) $b_n \propto \sin(n\pi/5)/n^2$ : anulam-se $n = 5, 10, \dots$ . Perto do cavalete o fator $\sin(n\pi x_0/L)$ é pequeno para os modos baixos e continua crescendo para os altos: proporcionalmente mais harmônicos agudos, um som mais brilhante.

Exercício 6.11 ★★★

Dispersão da cadeia. (a) Insira $u_n = A\cos(\omega t - kna)$ na equação da cadeia e deduza $\omega(k) = 2\omega_0|\sin(ka/2)|$ , com $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ . (b) Velocidade de fase $\omega/k$ e velocidade de grupo $\dd\omega/\dd k$ ; seu limite comum para $ka \to 0$ ; seus valores em $ka = \pi$ . (c) Com que aspecto fica a onda em $ka = \pi$ ? Por que não existe onda de comprimento de onda menor que $2a$ ? (d) Para o aço ( $c = 5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $a = 0.25\,\mathrm{nm}$ ): $\omega_0$ , a frequência máxima e o comprimento de onda de um ultrassom de $1\,\mathrm{MHz}$ — ele é dispersivo?

Solução

Solução de Exercício 6.11.

(a) $-m\omega^2 = k(2\cos ka - 2) = -4k\sin^2(ka/2)$ . (b) $v_\varphi = 2\omega_0\sin(ka/2) /k$ , $v_g = \omega_0a\cos(ka/2)$ ; ambas $\to \omega_0a = c$ quando $ka \to 0$ ; em $ka = \pi$ : $v_\varphi = 2c/\pi$ , $v_g = 0$ . (c) Os vizinhos se movem em oposição de fase: uma onda estacionária que nada transporta; um $k$ além de $\pi/a$ dá o mesmo conjunto de deslocamentos que algum $k' = k - 2\pi/a$ — nenhuma onda nova. (d) $\omega_0 = c/a = 2.0 \times 10^{13}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $f_{\max} = \omega_0/\pi = 6.5\,\mathrm{THz}$ ; a $1\,\mathrm{MHz}$ : $\lambda = 5.1\,\mathrm{mm} = 2 \times 10^7a$ , $ka \sim 3 \times 10^{-7}$ : perfeitamente não dispersivo.

Exercício 6.12 ★★★

Corda pendurada, chicote que estala. (a) Uma corda uniforme de comprimento $L$ pende do teto: tração à altura $x$ acima da ponta livre; celeridade local das ondas $c(x)$ . (b) Tempo que um pulso leva de baixo até em cima; valor para $L = 10\,\mathrm{m}$ ; por que a forma do pulso muda. (c) Um chicote afina, com $\mu$ decrescendo rumo à ponta, a tração ficando (quase) constante durante o golpe: como a celeridade varia ao longo dele? (d) Admitindo que a energia do pulso se conserva e que sua duração permanece constante, mostre que a amplitude de sua velocidade transversal cresce como $\mu^{-1/4}$ e estime a celeridade da ponta de um chicote cujo $\mu$ cai por um fator $10^4$ do cabo à ponta, se a mão imprime $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (O estalo é um estrondo sônico.)

Solução

Solução de Exercício 6.12.

(a) $T(x) = \mu gx$ , $c = \sqrt{gx}$ . (b) $t = \int_0^L\dd x/\sqrt{gx} = 2\sqrt{L/g} = 2.0\,\mathrm{s}$ ; a parte de cima de um pulso anda mais rápido que a de baixo: ele se estica. (c) $c = \sqrt{T/\mu}$ cresce rumo à ponta. (d) Energia $\approx \mathcal P\tau = ZV^2\tau = \sqrt{T\mu}V^2\tau$ constante: $V \propto \mu^{-1/4}$ ; um fator $10^4$ em $\mu$ dá $\times10$ : $100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — um chicote real ganha o resto com a alça que se desenrola, que concentra ainda mais a energia, e a ponta ultrapassa a velocidade do som.

Por dentro de um piano de cauda: cerca de duzentas cordas de aço de comprimento e espessura graduados, cada uma afinada por sua tração a um fundamental c/2L; as cordas graves são encapadas com cobre para ganhar massa. — Por dentro de um piano de cauda: cerca de duzentas cordas de aço de comprimento e espessura graduados, cada uma afinada por sua tração a um fundamental $c/2L$ ; as cordas graves são encapadas com cobre para ganhar massa.

6.6 Problema: O piano, do martelo ao tampo harmônico

Problema 6.1

Problema de fim de semana — uma corda de piano desmontada: sua tração e sua rigidez, o golpe do martelo e os harmônicos que ele cria, o cavalete que escoa sua energia para o tampo harmônico, e um trilho que carrega a mesma equação

Parte I — A corda. A corda lá $_4$ de um piano ( $440\,\mathrm{Hz}$ ): aço, $E = 200\,\mathrm{GPa}$ , $\rho = 7800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , diâmetro $d = 1.0\,\mathrm{mm}$ , comprimento vibrante $L = 38\,\mathrm{cm}$ . Cada nota acima do registro grave tem três cordas dessas; o piano tem $230$ cordas.

Massa linear, celeridade das ondas e tração da corda.
Tensão de tração no fio; o fio rompe a $2.0\,\mathrm{GPa}$ : a margem de segurança, e por que a última volta do afinador é a perigosa.
Estime a tração total sobre a placa, supondo todas as cordas na mesma tração.
A corda mais grave (lá $_0$ , $27.5\,\mathrm{Hz}$ ) tem $1.9\,\mathrm{m}$ ; se ela fosse um fio de aço liso à mesma tração, de que $\mu$ e de que diâmetro precisaria? Ela é, na verdade, um núcleo de aço encapado com cobre: explique.
Modos da corda lá $_4$ : frequências dos oito primeiros harmônicos; quais deles ficam num intervalo consonante com o fundamental (oitava, quinta, quarta, terça maior) e quais não?
A corda vibra em seu fundamental com amplitude de $0.50\,\mathrm{mm}$ no ventre: energia armazenada (a energia de um modo vale $\tfrac14\mu L\omega^2A^2$ ).
Escreva o fundamental como soma de duas ondas progressivas; dê a amplitude de cada uma e a potência média que cada uma transporta.

Parte II — O martelo. O martelo golpeia a corda em $x_0 = L/8$ , dando-lhe, em $t = 0$ , uma velocidade $v_0$ num trecho curto de largura $w$ em torno de $x_0$ e nenhum deslocamento.

Escreva a solução geral $y = \sum_nB_n\sin(n\pi x/L)\sin(\omega_nt)$ e mostre, usando a ortogonalidade dos senos, que $B_n = \dfrac{2}{L\omega_n}\int_0^L\dot y(x, 0)\sin\dfrac{n\pi x}L\,\dd x$ .
Para um golpe estreito ( $w \ll L/n$ ), mostre que $B_n \approx \dfrac{2v_0w} {L\omega_n}\sin\dfrac{n\pi x_0}{L}$ .
Que harmônicos estão ausentes para $x_0 = L/8$ ? Por que os fabricantes de piano golpeiam entre $L/7$ e $L/8$ (veja a questão 5)?
Descreva o movimento na imagem das ondas progressivas: o que parte do ponto golpeado, o que acontece nas extremidades e ao cabo de que tempo o estado inicial se repete.
Uma corda real é ligeiramente rígida: seus modos são $f_n = nf_1 \sqrt{1 + Bn^2}$ com $B = \pi^3Ed^4/(64TL^2)$ (admitido). Calcule $B$ e o quanto o oitavo harmônico fica agudo, em por cento e em cents ( $1\,\mathrm{cent}$ = uma razão de frequências $2^{1/1200}$ ).
Por que os afinadores de piano "esticam" as oitavas (afinam as notas agudas um pouco mais altas)?

Parte III — O cavalete e o tampo harmônico. A corda passa por um cavalete colado ao tampo harmônico; o tampo comporta-se, no cavalete, como uma corda de impedância $Z_b = 2000\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ .

Impedância $Z_s$ da corda; coeficiente de reflexão em amplitude no cavalete.
Fração da energia da onda transmitida ao tampo a cada reflexão.
Número de reflexões por segundo no cavalete; deduza a constante de tempo do decaimento da energia e o tempo para o som cair $60\,\mathrm{dB}$ (um fator $10^6$ em energia).
Potência que escoa para o tampo logo após o golpe da questão 6; compare com a potência de uma conversa tranquila, cerca de $1 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$ de som.
Por que uma corda sozinha é quase inaudível, e o que o tampo faz a respeito? (Pense na impedância do ar, $\rho c \approx 400\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , vista através de uma superfície pequena contra uma grande.)
Com o abafador levantado, a corda lá $_3$ ( $220\,\mathrm{Hz}$ ) começa a soar quando se toca lá $_4$ : por quê?
Um fabricante quer uma sustentação mais longa: $Z_b$ deve ser aumentada ou diminuída, e o que se perde com isso?

Parte IV — O trilho. Um trilho de aço ( $E = 200\,\mathrm{GPa}$ , $\rho = 7800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , seção $70\,\mathrm{cm}^{2}$ ).

Celeridade das ondas de compressão; tempo para o som de um trem percorrer $5\,\mathrm{km}$ pelo trilho e pelo ar.
Uma martelada envia um pulso de compressão por um trecho de trilho de $25\,\mathrm{m}$ com extremidade livre: tempo do eco; o eco é uma compressão ou uma rarefação?
Uma sonda ultrassônica de $2\,\mathrm{MHz}$ procura trincas: comprimento de onda no aço; coeficiente de reflexão em amplitude numa trinca aço–ar (impedância do ar $400\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ); por que uma trinca fina é vista tão bem.
Terremotos: na rocha, as ondas de compressão (P) viajam a $6.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ e as de cisalhamento (S) a $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Uma estação registra a onda S $20\,\mathrm{s}$ depois da onda P: distância até a fonte.
Numa tabela, reúna as cinco celeridades de onda deste problema (corda, trilho, P na rocha, S na rocha, ar) com a rigidez e a inércia que fixam cada uma.

Solução

Solução de Problema 6.1.

1. $\mu = \rho\pi d^2/4 = 6.1\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ ; $c = 2Lf = 334\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $T = \mu c^2 = 685\,\mathrm{N}$ .

2. $\sigma = \rho c^2 = 0.87\,\mathrm{GPa}$ : margem $2.3$ . Como $T \propto f^2$ , um semitom acima acrescenta $12\%$ , e uma oitava acima quadruplica a tensão, $3.5\,\mathrm{GPa}$ — a corda arrebenta.

3. $230 \times 685 \approx 160\,\mathrm{kN}$ , dezesseis toneladas.

4. $c = 2Lf = 105\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; a $685\,\mathrm{N}$ : $\mu = T/c^2 = 63\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , ou seja, uma vara de aço de $3.2\,\mathrm{mm}$ — rígida demais para vibrar harmonicamente ou para dobrar sobre o cavalete; um núcleo fino encapado com cobre dá a massa sem a rigidez.

5. $440$ , $880$ , $1320$ , $1760$ , $2200$ , $2640$ , $3080$ e $3520\,\mathrm{Hz}$ : $2$ , $4$ e $8$ são oitavas; $3$ e $6$ , uma quinta acima de uma oitava; $5$ , uma terça maior justa acima de duas oitavas; $7$ ( $3080/1760 = 1.75$ ) é uma sétima menor abaixada — dissonante.

6. $E = \tfrac14\mu L\omega^2A^2 = 0.25 \times 6.1 \times 10^{-3} \times 0.38 \times (2\pi \times 440)^2 \times (5 \times 10^{-4})^2 = 1.1\,\mathrm{mJ}$ .

7. $A\sin kx\cos\omega t = \tfrac12A[\sin(kx - \omega t) + \sin(kx + \omega t)]$ : duas ondas de amplitude $0.25\,\mathrm{mm}$ ; $Z = \mu c = 2.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ; cada uma transporta $\tfrac12Z\omega^2(A/2)^2 = 0.49\,\mathrm{W}$ .

8. $\dot y(x, 0) = \sum_nB_n\omega_n\sin(n\pi x/L)$ ; multiplique por $\sin(m\pi x/L)$ e integre, usando $\int_0^L\sin\sin = \tfrac L2\delta_{mn}$ .

9. O integrando é $v_0\sin(n\pi x/L)$ numa largura $w$ em torno de $x_0$ , onde o seno é praticamente constante.

10. $\sin(n\pi/8) = 0$ para $n = 8, 16, \dots$ ; e como $B_n/B_1 = \sin(n\pi/8)/(n\sin(\pi/8))$ , o sétimo harmônico é reduzido a $1/7$ do primeiro, ao passo que os consonantes de $2$ a $6$ guardam de $0.9$ a $0.3$ : a sétima dissonante fica domada.

11. Dois pulsos de velocidade deixam o ponto golpeado em sentidos opostos, refletem-se invertidos nas extremidades, se cruzam e se recombinam; o estado inicial se repete depois de $2L/c = 1/f_1 = 2.3\,\mathrm{ms}$ .

12. $B = \pi^3 \times 2 \times 10^{11} \times 10^{-12}/(64 \times 685 \times 0.144) = 9.8 \times 10^{-4}$ ; $\sqrt{1 + 64B} = 1.031$ : $+3.1\%$ , $1200\log_2(1.031) = 53$ cents.

13. Os harmônicos de uma nota grave ficam acima dos múltiplos exatos; para fazê-los coincidir com os fundamentais das notas mais agudas (e evitar batimentos), afinam-se as agudas um pouco mais altas.

14. $Z_s = \mu c = 2.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ; $r = (2 - 2000)/2002 = -0.998$ .

15. $1 - r^2 \approx 4Z_s/Z_b = 4 \times 10^{-3}$ .

16. $c/2L = 440$ reflexões por segundo: taxa de decaimento $440 \times 4 \times 10^{-3} = 1.8\,\mathrm{s}^{-1}$ , $\tau = 0.56\,\mathrm{s}$ ; $\ln10^6/1.8 = 7.7\,\mathrm{s}$ para $60\,\mathrm{dB}$ .

17. $1.1\,\text{mJ} \times 1.8\,\text{s}^{-1} = 2\,\mathrm{mW}$ — duzentas vezes uma conversa tranquila; é isso que se ouve.

18. Um fio de $1\,\mathrm{mm}$ quase não empurra ar: o ar escorrega em volta dele e sua potência irradiada é desprezível. O tampo recebe a energia da corda pelo cavalete e move ar num metro quadrado: um casamento de impedâncias por área.

19. $440\,\mathrm{Hz}$ é o segundo harmônico de lá $_3$ : o cavalete excita essa corda num de seus modos — ressonância simpática.

20. Aumentar $Z_b$ : menos energia escapa por reflexão, e a nota dura mais — e soa mais fraca.

21. $c = 5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : $1.0\,\mathrm{s}$ pelo trilho, $15\,\mathrm{s}$ pelo ar.

22. $50/5064 = 10\,\mathrm{ms}$ ; a tensão deve se anular numa extremidade livre: uma compressão volta como uma rarefação.

23. $\lambda = 2.5\,\mathrm{mm}$ ; $Z_{\text{aço}} = \rho c = 4 \times 10^{7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ contra $400$ : $r \approx -1$ , reflexão total: qualquer trinca aberta, por mais fina que seja, devolve um eco.

24. $\Delta t = d(1/3.5 - 1/6) = d \times 0.119\,\mathrm{s}/\mathrm{km}$ : $d = 170\,\mathrm{km}$ .

25. Corda, $334\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $T$ , $\mu$ ); trilho, $5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ( $E$ , $\rho$ ); P na rocha, $6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ (módulo de compressão, $\rho$ ); S na rocha, $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ (módulo de cisalhamento, $\rho$ ); ar, $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $\gamma P$ , $\rho$ — próximo capítulo).