32Kaarten van de hele Aarde

Op veel wandkaarten in klaslokalen lijkt Groenland ongeveer even groot als Afrika. Op een globe is Afrika ongeveer veertien keer zo groot: ongeveer 29 miljoen vierkante kilometer voor het Afrikaanse vasteland, tegenover ongeveer 2.1 miljoen voor Groenland. Allebei zijn het zorgvuldig gemaakte, eerlijke afbeeldingen van de Aarde. Welke van de twee liegt er dan, en waarom?

Wat je al weet

Een kaart is een tekening van een plaats van boven gezien, kleiner dan de plaats zelf, met een legenda en een schaal (Hoofdstuk 4). Een globe is een klein model van de ronde Aarde; een wereldkaart toont de hele Aarde plat, in één afbeelding (Hoofdstuk 6). Breedtecirkels en meridianen geven elke plaats haar breedtegraad en lengtegraad (Hoofdstuk 14). De hoogte is de hoogte boven zeeniveau, en een natuurkundige kaart toont het reliëf in kleuren (Hoofdstuk 9). In de natuurkunde leer je dat licht met ongeveer $300\,000\,\mathrm{km}$ per seconde reist.

32.1 Waarom een platte kaart moet vervormen

Probeer de schil van een sinaasappel plat op een tafel te leggen: ze scheurt of ze rekt uit. Het oppervlak van een bol kan niet plat worden gelegd zonder sommige lengtes te veranderen. Om de hele Aarde op een vel papier te tekenen, kiest een kaartenmaker een regel die elk punt van de globe naar een punt van het vel stuurt, en kiest hij wat de kaart juist houdt en wat ze opgeeft.

Definitie 32.1 (Kaartprojectie)

Een kaartprojectie is een regel die elk punt van de globe, gegeven door zijn breedtegraad en lengtegraad, naar een punt van een platte kaart stuurt. Bij een mercatorprojectie zijn de breedtecirkels en de meridianen rechte lijnen die elkaar loodrecht snijden, en blijft de vorm van elk klein gebied behouden, maar worden oppervlakten naar de polen toe steeds sterker vergroot. Bij een oppervlaktegetrouwe projectie behoudt elk gebied zijn ware oppervlakte ten opzichte van de andere, maar worden de vormen vervormd, steeds sterker naar de randen van de kaart toe.

De figuur hieronder tekent dezelfde cirkels, op de globe allemaal even groot, op beide kaarten over. Op de mercatorkaart blijven de cirkels rond, maar ze groeien naar de polen toe: op een breedte van $60{}^{\circ}$ is hun oppervlakte vier keer zo groot als op de evenaar, en bij het midden van Groenland, op ongeveer $72{}^{\circ}$, ongeveer tien keer. Op de oppervlaktegetrouwe kaart houden alle cirkels dezelfde oppervlakte, maar die ver van het midden worden tot ovalen platgedrukt.

Geen enkele projectie is voor alles de beste. De mercatorprojectie werd gemaakt voor zeelieden: een koers die steeds dezelfde kompasrichting aanhoudt, is erop een rechte lijn. Om de grootte van landen, bossen of woestijnen te vergelijken, vertelt een oppervlaktegetrouwe kaart de waarheid. Voordat je een wereldkaart vertrouwt, is het de moeite waard om te vragen welke projectie ze gebruikt.

Voorbeeld 32.2 (Groenland en Afrika)

Het Afrikaanse vasteland beslaat ongeveer 29 miljoen $\mathrm{km}^{2}$, Groenland ongeveer 2.1 miljoen $\mathrm{km}^{2}$: $29 \div 2.1 \approx 14$. Afrika ligt aan weerszijden van de evenaar, waar de mercatorprojectie bijna niets vergroot, terwijl het grootste deel van Groenland tussen ongeveer $60{}^{\circ}$ en $84{}^{\circ}$ noorderbreedte ligt, waar oppervlakten 4 tot meer dan 10 keer worden vergroot. Op de mercatorkaart komen de twee ongeveer even groot uit.

32.2 Schaal

Een kaart van een dal of een stad beslaat zo’n klein stukje van de Aarde dat de projectie nauwelijks uitmaakt. Waar het om gaat, is hoeveel kleiner de kaart is dan de werkelijkheid.

Definitie 32.3 (Getalschaal en schaalbalk)

De getalschaal van een kaart is een verhouding zoals $1 : 25\,000$: één centimeter op de kaart staat voor $25\,000$ centimeter in werkelijkheid, en hetzelfde geldt voor elke eenheid. Een schaalbalk is een liniaal die op de kaart is getekend, met de afstanden in werkelijkheid erbij.

Methode 32.4 (Een getalschaal gebruiken)

1. Meet de afstand op de kaart, in centimeter.
2. Vermenigvuldig hem met het getal na de dubbele punt: de uitkomst is de afstand in werkelijkheid, in centimeter.
3. Reken om: deel door 100 voor meter, door $100\,000$ voor kilometer.

Voorbeeld 32.5 (Een wandeling op een kaart van $1 : 25\,000$)

Op een kaart van $1 : 25\,000$ meet een voetpad $6\,\mathrm{cm}$. In werkelijkheid is het $6 \times 25\,000 = 150\,000$ cm, dat is $1500\,\mathrm{m}$ of $1.5\,\mathrm{km}$. Elke centimeter van de kaart staat voor $250\,\mathrm{m}$.

De schaalbalk heeft één voordeel boven de getalschaal: als een kaart op een scherm of met een kopieerapparaat wordt vergroot of verkleind, wordt de balk mee vergroot of verkleind en blijft hij kloppen, terwijl de verhouding die in de hoek staat gedrukt fout wordt.

32.3 De topografische kaart

Een natuurkundige kaart toont het reliëf met kleuren. Een kaart van een klein gebied toont het veel nauwkeuriger, met lijnen.

Definitie 32.6 (Topografische kaart)

Een topografische kaart is een gedetailleerde kaart van een klein gebied, op een schaal zoals $1 : 25\,000$ of $1 : 50\,000$, die de vorm en de hoogte van het terrein toont, met de rivieren, wegen, paden, gebouwen en bossen.

Definitie 32.7 (Hoogtelijn en equidistantie)

Een hoogtelijn is een lijn op een kaart die punten van het terrein op dezelfde hoogte verbindt. De equidistantie is het hoogteverschil tussen twee naburige hoogtelijnen; ze is overal op de kaart hetzelfde.

Stel je een heuvel voor die door horizontale vlakken in plakken wordt gesneden, één om de $100\,\mathrm{m}$. Elk vlak snijdt de heuvel langs een gesloten lijn; van boven gezien zijn die lijnen de hoogtelijnen.

Een topografische kaart lees je met een paar regels.

• Hoogtelijnen kruisen elkaar nooit: een punt heeft maar één hoogte.
• Hoe dichter de hoogtelijnen bij elkaar liggen, hoe steiler de helling; liggen ze ver uit elkaar, dan loopt het terrein flauw af; is er helemaal geen lijn, dan is het bijna vlak.
• Gesloten lijnen die in elkaar liggen en naar binnen toe hoger worden, wijzen op een heuvel; de top ervan is vaak aangegeven met een stip en zijn hoogte, een hoogtecijfer.
• Waar een hoogtelijn een dal kruist, buigt ze stroomopwaarts af, in een V die naar het begin van het dal wijst.
• Elke vijfde lijn, de hoofdhoogtelijn, is dikker getekend en draagt haar hoogte.

De helling van het terrein tussen twee punten is het hoogteverschil gedeeld door de horizontale afstand, vaak geschreven als percentage. Als je op de kaart hieronder vanaf de rivier naar het noorden gaat, liggen de hoogtelijnen van $200\,\mathrm{m}$ en $400\,\mathrm{m}$ op de lijn C–D ongeveer $0.75\,\mathrm{km}$ uit elkaar: de helling is ongeveer $200 \div 750 \approx 0.27$, of $27\,\%$.

Methode 32.8 (Een topografisch profiel tekenen)

1. Teken de lijn van het profiel op de kaart, van het ene uiteinde (C) naar het andere (D).
2. Leg de rechte rand van een strook papier langs de lijn; markeer C, D en elk punt waar de lijn een hoogtelijn kruist, met de hoogte erbij.
3. Teken een horizontale as zo lang als C–D (de afstanden) en een verticale as met de hoogten.
4. Breng elke markering over naar de grafiek, op haar afstand van C en op haar hoogte, en verbind de punten met een vloeiende kromme: afgerond op de heuveltoppen, vlak langs een dalbodem.

32.4 Satellietbeelden van de Aarde

Op 23 juli 1972 lanceerde een raket de eerste satelliet die werd gebouwd om het aardoppervlak te bestuderen, later Landsat 1 genoemd. Hij draaide 14 keer per dag om de Aarde, op $917\,\mathrm{km}$ hoogte, van pool tot pool, kwam om de 18 dagen over dezelfde plek en maakte in zes jaar beelden van ongeveer drie kwart van het aardoppervlak. Sindsdien brengen Landsat-satellieten het land zonder onderbreking in beeld.

Definitie 32.9 (Teledetectie en satellietbeeld)

Teledetectie is het waarnemen van de Aarde op afstand, vanuit vliegtuigen of satellieten, door het licht en de andere straling te meten die het oppervlak terugzendt. Een satellietbeeld is een afbeelding van een deel van de Aarde die uit deze metingen is opgebouwd.

Een satellietcamera ziet meer dan onze ogen: ze meet ook infrarood licht, dat onzichtbaar is. Als het infrarood in kleuren op het beeld wordt weergegeven (een beeld in valse kleuren), maakt het planten, natte grond of kaal gesteente zichtbaar. Beelden van dezelfde plek die met jaren ertussen zijn gemaakt, laten zien hoe een kust, een bos, een gletsjer of een stad verandert (Hoofdstuk 27).

32.5 Satellietplaatsbepaling

Een telefoon of een auto kan bijna overal op de Aarde tot op een paar meter nauwkeurig zeggen waar hij is. Hij ziet de satellieten niet; hij luistert naar ze.

Definitie 32.10 (Satellietplaatsbepaling)

Satellietplaatsbepaling is het bepalen van een positie op de Aarde uit de afstanden tot verschillende satellieten waarvan de posities bekend zijn. Een ontvanger berekent elke afstand uit de tijd die een signaal van de satelliet nodig heeft om hem te bereiken.

Het Amerikaanse systeem, GPS, houdt minstens 24 werkende satellieten op een hoogte van ongeveer $20\,200\,\mathrm{km}$. Elk ervan draait twee keer per dag om de Aarde, in zes banen die rond de planeet zijn verdeeld, zodat vanaf bijna elk punt op de Aarde minstens vier satellieten zichtbaar zijn. Een signaal van $20\,200\,\mathrm{km}$ ver, dat met de lichtsnelheid reist, komt aan na $20\,200 \div 300\,000 \approx 0.067$ s: de ontvanger meet deze tijd en zet hem om in een afstand.

Hoe geven afstanden een positie? Stel je het idee voor op een platte kaart. Als de ontvanger op $5\,\mathrm{km}$ van baken A is, ligt hij ergens op een cirkel met een straal van $5\,\mathrm{km}$ rond A. Als hij ook op $10\,\mathrm{km}$ van B is, ligt hij op beide cirkels: op een van de twee punten waar ze elkaar snijden. Een derde afstand, $5\,\mathrm{km}$ van C, wijst het juiste punt aan. In de ruimte worden de cirkels bollen, en om dezelfde reden is er één satelliet meer nodig.

32.6 Oefeningen

Oefening 32.1 ★

Geef het woord bij elke beschrijving. (a) Een regel die elk punt van de globe naar een punt van een platte kaart stuurt. (b) Een lijn die punten op dezelfde hoogte verbindt. (c) Een verhouding zoals $1 : 50\,000$. (d) Het hoogteverschil tussen twee naburige hoogtelijnen. (e) De Aarde op afstand waarnemen, bijvoorbeeld vanuit een satelliet.

Oplossing

Oplossing van Oefening 32.1.

(a) Een kaartprojectie. (b) Een hoogtelijn. (c) Een getalschaal. (d) De equidistantie. (e) Teledetectie.

Oefening 32.2 ★

Zet elke afstand op de kaart om in een afstand in werkelijkheid, in meter of kilometer. (a) $4\,\mathrm{cm}$ op een kaart van $1 : 25\,000$. (b) $3\,\mathrm{cm}$ op een kaart van $1 : 50\,000$. (c) $2.5\,\mathrm{cm}$ op een kaart van $1 : 1\,000\,000$. (d) Hoeveel centimeter staat op een kaart van $1 : 25\,000$ voor $1\,\mathrm{km}$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 32.2.

(a) $4 \times 25\,000 = 100\,000$ cm $= 1\,\mathrm{km}$. (b) $3 \times 50\,000 = 150\,000$ cm $= 1.5\,\mathrm{km}$. (c) $2.5 \times 1\,000\,000 = 2\,500\,000$ cm $= 25\,\mathrm{km}$. (d) $1\,\mathrm{km} = 100\,000$ cm; $100\,000 \div 25\,000 = 4\,\mathrm{cm}$.

Oefening 32.3 ★

Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste zinnen. (a) Een wereldkaart kan de hele Aarde tonen zonder iets te vervormen. (b) Op een mercatorkaart lijkt Groenland groter dan het is. (c) Op een oppervlaktegetrouwe kaart blijven de vormen overal behouden. (d) Een schaalbalk blijft kloppen als een kaart met een kopieerapparaat wordt vergroot.

Oplossing

Oplossing van Oefening 32.3.

(a) Niet waar: een bol kan niet plat worden gemaakt zonder lengtes te vervormen, dus elke wereldkaart vervormt iets. (b) Waar. (c) Niet waar: een oppervlaktegetrouwe kaart behoudt oppervlakten, maar vervormt de vormen, vooral bij haar randen. (d) Waar.

Oefening 32.4 ★

Wat betekent het op een topografische kaart (a) als de hoogtelijnen heel dicht bij elkaar liggen? (b) als ze ver uit elkaar liggen? (c) Wat tonen gesloten hoogtelijnen die naar binnen toe hoger worden? (d) Waarom kunnen twee hoogtelijnen elkaar nooit kruisen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 32.4.

(a) De helling is steil. (b) Het terrein loopt flauw af. (c) Een heuvel, met de top binnen de kleinste lijn. (d) Een punt van het terrein heeft maar één hoogte, dus het kan niet op twee lijnen met verschillende hoogten liggen.

Oefening 32.5 ★★

Op een mercatorkaart worden oppervlakten op een breedte van $60{}^{\circ}$ 4 keer vergroot, en op een breedte van $30{}^{\circ}$ ongeveer 1.33 keer, vergeleken met de evenaar. (a) Een meer van $1000\,\mathrm{km}^{2}$ op $60{}^{\circ}$ NB wordt op de kaart getekend. Welke ware oppervlakte heeft een meer op de evenaar dat even groot is getekend? (b) Twee eilanden met dezelfde ware oppervlakte liggen op $30{}^{\circ}$ en op $60{}^{\circ}$. Hoeveel keer groter lijkt het tweede dan het eerste? (c) Waarom kan de mercatorkaart de polen nooit tonen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 32.5.

(a) Op $60{}^{\circ}$ NB wordt het meer 4 keer te groot getekend: het lijkt zo groot als $4 \times 1000 = 4000\,\mathrm{km}^{2}$. Op de evenaar worden oppervlakten niet vergroot, dus het meer dat even groot is getekend, heeft een ware oppervlakte van $4000\,\mathrm{km}^{2}$. (b) $4 \div 1.33 \approx 3$ keer groter. (c) Oppervlakten, en afstanden van noord naar zuid, groeien naar de polen toe onbeperkt: de polen zouden oneindig ver van de evenaar liggen.

Oefening 32.6 ★★

Gebruik de topografische kaart van de Varden Hills in dit hoofdstuk. (a) Hoe groot is de equidistantie? (b) Wat is de hoogte van de top die met zijn hoogtecijfer is aangegeven, en van de hoofdhoogtelijn er vlak omheen? (c) De rivier stroomt naar het oosten. Ligt de dalbodem hoger in het westen of in het oosten van de kaart? (d) Tussen welke hoogtelijnen liggen de lijnen langs C–D, ten noorden van de rivier, het dichtst bij elkaar? Wat zegt dat je over de helling daar?

Oplossing

Oplossing van Oefening 32.6.

(a) $50\,\mathrm{m}$. (b) De top ligt op $544\,\mathrm{m}$; de hoofdhoogtelijn eromheen is de lijn van $500\,\mathrm{m}$. (c) In het westen: een rivier stroomt bergafwaarts, dus haar bodem ligt stroomafwaarts, naar het oosten, lager. (d) Tussen ongeveer de lijnen van 300 en $400\,\mathrm{m}$: daar is de helling het steilst, en ze is flauwer zowel bij de dalbodem als bij de top.

Oefening 32.7 ★★

Gebruik het profiel C–D in dit hoofdstuk. (a) Op ongeveer welke hoogte liggen C en D? (b) Wat is de laagste hoogte langs het profiel, en hoe ver van C ligt dat punt? (c) Hoe lang is de vlakke dalbodem langs C–D? (d) Het profiel is getekend met een verticale schaal die drie keer is uitgerekt. Waarom doen kaartenmakers dat vaak?

Oplossing

Oplossing van Oefening 32.7.

(a) C op ongeveer $400\,\mathrm{m}$, D op ongeveer $530\,\mathrm{m}$. (b) Ongeveer $135\,\mathrm{m}$, ongeveer $1.3\,\mathrm{km}$ van C, op de dalbodem. (c) Ongeveer 0.3 tot $0.4\,\mathrm{km}$. (d) De hoogteverschillen zijn klein vergeleken met de afstanden: zonder uitrekken zouden de heuvels bijna vlak lijken.

Oefening 32.8 ★★

Op een kaart van $1 : 25\,000$ kruist een pad de hoogtelijn van $200\,\mathrm{m}$ en daarna, $2\,\mathrm{cm}$ verder, de hoogtelijn van $300\,\mathrm{m}$. (a) Hoe groot is de horizontale afstand tussen de twee punten in werkelijkheid? (b) Hoeveel stijgt het pad? (c) Hoe groot is de helling, als percentage? (d) Verderop liggen twee hoogtelijnen die $100\,\mathrm{m}$ in hoogte verschillen $4\,\mathrm{cm}$ uit elkaar op de kaart. Is het pad daar steiler of minder steil? Hoeveel?

Oplossing

Oplossing van Oefening 32.8.

(a) $2 \times 25\,000 = 50\,000$ cm $= 500\,\mathrm{m}$. (b) $300 - 200 = 100\,\mathrm{m}$. (c) $100 \div 500 = 0.2$, een helling van $20\,\%$. (d) Minder steil: $4\,\mathrm{cm}$ is $1000\,\mathrm{m}$, dus de helling is $100 \div 1000 = 10\,\%$, half zo steil.

Oefening 32.9 ★★

Landsat 1 draaide 14 keer per dag om de Aarde en kwam om de 18 dagen over dezelfde plek. (a) Hoeveel omlopen maakte hij tussen twee passages over dezelfde plek? (b) Elke omloop duurde 103 minuten. Hoe lang duren 14 omlopen, in uren? (c) Hij was gebouwd om één jaar te werken en werd op 6 januari 1978 uitgeschakeld, vijfenhalf jaar na zijn lancering. Hoeveel keer zijn geplande levensduur heeft hij gewerkt? (d) Noem één verandering aan het aardoppervlak die beelden van dezelfde plek, met jaren ertussen gemaakt, kunnen laten zien.

Oplossing

Oplossing van Oefening 32.9.

(a) $14 \times 18 = 252$ omlopen. (b) $14 \times 103 = 1442$ minuten, ongeveer $24\,\mathrm{h}$: een dag. (c) $5.5 \div 1 = 5.5$ keer. (d) Bijvoorbeeld: een gletsjer die zich terugtrekt, een bos dat wordt gekapt, een stad die groeit, een kust of een rivier die verschuift.

Oefening 32.10 ★★

Een GPS-satelliet is ongeveer $20\,200\,\mathrm{km}$ ver weg; zijn signaal reist met ongeveer $300\,000\,\mathrm{km}$ per seconde. (a) Hoe lang doet het signaal erover om aan te komen? Schrijf het antwoord in wetenschappelijke notatie. (b) Als de klok van een ontvanger $1 \times 10^{-3}$ s verkeerd liep, welke fout in de afstand zou dat geven? (c) Wat zegt dat je over de klokken die bij satellietplaatsbepaling worden gebruikt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 32.10.

(a) $20\,200 \div 300\,000 \approx 0.067$ s $= 6.7 \times 10^{-2}$ s. (b) $300\,000 \times 10^{-3} = 300\,\mathrm{km}$. (c) Een piepkleine fout in de tijd geeft een enorme fout in de afstand: de klokken moeten uiterst nauwkeurig zijn.

Oefening 32.11 ★★★

Op een platte kaart met een raster in kilometer staat baken A op $(0, 0)$ en baken B op $(10, 0)$. Een ontvanger ligt op $6\,\mathrm{km}$ van A en $8\,\mathrm{km}$ van B. (a) Laat zien dat het punt $(3.6, 4.8)$ op $6\,\mathrm{km}$ van A en $8\,\mathrm{km}$ van B ligt. (b) Geef een ander punt op dezelfde afstanden van A en B. (c) Een derde baken C staat op $(0, 10)$, en de ontvanger ligt er ongeveer $6.3\,\mathrm{km}$ vandaan. Welk van de twee punten is de ontvanger? (d) Waarom heeft satellietplaatsbepaling meerdere satellieten nodig?

Oplossing

Oplossing van Oefening 32.11.

(a) Afstand tot A: $\sqrt{3.6^2 + 4.8^2} = \sqrt{12.96 + 23.04} = \sqrt{36} = 6$; afstand tot B: $\sqrt{6.4^2 + 4.8^2} = \sqrt{40.96 + 23.04} = \sqrt{64} = 8$. (b) $(3.6, -4.8)$, het spiegelbeeld ten opzichte van de lijn AB. (c) Afstand van C tot $(3.6, 4.8)$: $\sqrt{3.6^2 + 5.2^2} = \sqrt{40} \approx 6.3$; tot $(3.6, -4.8)$: $\sqrt{3.6^2 + 14.8^2} = \sqrt{232} \approx 15.2$. De ontvanger staat op $(3.6, 4.8)$. (d) Eén afstand geeft een cirkel (een bol in de ruimte), twee geven twee mogelijke punten; er is nog een afstand nodig om te kiezen.

Oefening 32.12 ★★★

Het Afrikaanse vasteland beslaat ongeveer 29 miljoen $\mathrm{km}^{2}$ en Groenland ongeveer 2.1 miljoen $\mathrm{km}^{2}$. (a) Hoeveel keer groter is Afrika? (b) Op een mercatorkaart worden oppervlakten bij het midden van Groenland, op ongeveer $72{}^{\circ}$ NB, ongeveer 10.5 keer vergroot. Schat de oppervlakte die Groenland lijkt te hebben. (c) Afrika ligt over de evenaar, waar oppervlakten weinig worden vergroot. Vergelijk je antwoord op (b) met de oppervlakte van Afrika, en verklaar de wandkaart van het begin van het hoofdstuk. (d) Welke projectie zou je kiezen om de grootte van de continenten eerlijk te tonen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 32.12.

(a) $29 \div 2.1 \approx 14$ keer. (b) $2.1 \times 10.5 \approx 22$ miljoen $\mathrm{km}^{2}$. (c) Groenland lijkt ongeveer 22 miljoen $\mathrm{km}^{2}$ te beslaan, dicht bij de 29 miljoen van Afrika: op de mercatorwandkaart lijken de twee ongeveer even groot, hoewel Afrika 14 keer zo groot is. (d) Een oppervlaktegetrouwe projectie.

32.7 Probleem: Een wandelpad door de Varden Hills

Probleem 32.1

Weekendprobleem — ontwerpers hebben op de topografische kaart een wandelpad door de Varden Hills getekend; het eindantwoord is de lengte van het pad in kilometer en de totale stijging in meter

Het wandelpad begint bij een boerderij S, daalt af naar een brug B over de rivier, en klimt dan naar een schuilhut W en verder naar de top T. Elk traject is recht en gaat alleen omlaag of alleen omhoog. De kaart heeft een schaal van $1 : 50\,000$; de hoogten van S, B, W en T staan erbij.

Deel I — De route op de kaart.

1. Voor hoeveel meter in werkelijkheid staat $1\,\mathrm{cm}$ van de kaart bij $1 : 50\,000$?
2. Op de oorspronkelijke kaart meet het traject S–B $3.6\,\mathrm{cm}$. Hoe lang is het in werkelijkheid, in kilometer?
3. De trajecten B–W en W–T meten $2.5\,\mathrm{cm}$ en $2.35\,\mathrm{cm}$. Hoe lang zijn ze in werkelijkheid?
4. In welke algemene richting loopt het pad van B naar T?

Deel II — De klim.

5. Hoe groot is de equidistantie van de kaart?
6. Welk traject gaat omlaag? Hoeveel meter?
7. Hoeveel meter klimt het pad op B–W, en op W–T?
8. Wat is de gemiddelde helling van het traject W–T, als percentage?
9. Waarom hebben de ontwerpers het pad niet in een rechte lijn van S naar T getekend?

Deel III — De wandeling.

10. Stel dat een wandelaar op vlak terrein $4\,\mathrm{km}$ per uur aflegt en voor elke $10\,\mathrm{m}$ klimmen één minuut extra nodig heeft. Hoe lang duurt de hele wandeling?
11. Een andere wandelaarster volgt het pad in omgekeerde richting, van T naar S. Hoeveel meter klimt ze?
12. Wat is de totale lengte van het wandelpad, in kilometer, en de totale stijging, in meter?

Oplossing

Oplossing van Probleem 32.1.

1. $50\,000$ cm $= 500\,\mathrm{m}$.

2. $3.6 \times 500 = 1800\,\mathrm{m} = 1.8\,\mathrm{km}$.

3. B–W: $2.5 \times 500 = 1250\,\mathrm{m}$; W–T: $2.35 \times 500 \approx 1180\,\mathrm{m}$.

4. Naar het noordoosten.

5. $50\,\mathrm{m}$.

6. S–B gaat omlaag: $296 - 143 = 153\,\mathrm{m}$.

7. B–W: $335 - 143 = 192\,\mathrm{m}$; W–T: $544 - 335 = 209\,\mathrm{m}$.

8. $209 \div 1180 \approx 0.18$, ongeveer $18\,\%$.

9. Een rechte lijn van S naar T zou de rivier kruisen op een plek waar geen brug is; het pad gaat omlaag naar de brug bij B.

10. $1.8 + 1.25 + 1.18 \approx 4.2\,\mathrm{km}$ met $4\,\mathrm{km}$ per uur: ongeveer 63 minuten; klim $192 + 209 = 401\,\mathrm{m}$: ongeveer 40 minuten extra. In totaal ongeveer 1 uur 43 min.

11. Vanaf T daalt ze af naar B en klimt ze dan van B omhoog naar S: $296 - 143 = 153\,\mathrm{m}$.

12. Lengte: $1.8 + 1.25 + 1.18 \approx \textbf{4.2 km}$; totale stijging: $192 + 209 = \textbf{401 m}$.