14Breedte, lengte en tijdzones

De nacht is gevallen op de oceaan. Op het dek van een zeilschip, in het jaar 1750, heft de navigator zijn instrument naar een heldere ster en meet hij hoe hoog die boven de zee staat. Een paar minuten werk, en hij weet hoe ver ten noorden van de evenaar het schip is. Maar hoe ver naar het oosten of het westen? Dat kan hij niet zeggen. Het probleem was zo ernstig dat het Britse parlement in 1714 een grote prijs had beloofd aan wie een manier vond om het op zee te meten. Vandaag geeft de telefoon in je zak beide antwoorden in één seconde.

Wat je al weet

Een globe is een klein model van de Aarde. De evenaar is de lijn die rond het midden van de globe loopt, halverwege tussen de Noordpool en de Zuidpool; hij snijdt de Aarde in het noordelijk halfrond en het zuidelijk halfrond (Hoofdstuk 6). De natuurkundeboeken lieten zien dat de Aarde één keer per dag om zichzelf draait, rond een as door de twee polen: die draaiing brengt dag en nacht.

14.1 Breedtecirkels en breedtegraad

Om te zeggen waar een plaats op Aarde ligt, hebben we twee getallen nodig, zoals de rij en de stoel in een bioscoop. Het eerste zegt hoe ver ten noorden of ten zuiden van de evenaar de plaats ligt.

Stel je voor dat de Aarde in tweeën wordt gesneden, door beide polen, zoals een appel die je vanaf het steeltje doorsnijdt. Op het snijvlak (links, hieronder) is de evenaar de horizontale lijn door het middelpunt. Een plaats P aan het oppervlak wordt vanuit het middelpunt gezien onder een bepaalde hoek boven of onder die lijn: die hoek is haar breedtegraad.

Definitie 14.1 (Breedtecirkel en breedtegraad)

Een breedtecirkel is een cirkel rond de globe, evenwijdig aan de evenaar; alle plaatsen op dezelfde breedtecirkel liggen even ver van de evenaar. De breedtegraad van een plaats is de hoek, gemeten in het middelpunt van de Aarde, tussen de evenaar en die plaats. Hij loopt van $0^\circ$ op de evenaar tot $90^\circ$ op de polen, en we zeggen of de plaats ten noorden (noorderbreedte, NB) of ten zuiden (zuiderbreedte, ZB) van de evenaar ligt.

De evenaar is zelf een breedtecirkel, de langste, met breedtegraad $0^\circ$. De breedtecirkels worden korter naar de polen toe, en elke pool is één punt, op $90^\circ$ NB of $90^\circ$ ZB. Langs een lijn van een pool naar de evenaar is elke breedtegraad ongeveer $111\,\mathrm{km}$.

De breedtegraad is het makkelijke getal: je vindt hem aan de hemel. Overdag maten zeelieden de hoogte van de Zon om twaalf uur ’s middags; ’s nachts, op het noordelijk halfrond, maten ze de hoogte van de Poolster. Dat is wat de navigator op het plaatje aan het begin doet.

De Poolster staat bijna precies op het verlengde van de aardas, voorbij de Noordpool, en zo ver weg dat haar licht elke plaats op Aarde langs evenwijdige lijnen bereikt. Op de Noordpool staat ze recht boven je hoofd, op $90^\circ$ boven de horizon; op de evenaar staat ze op de noordelijke horizon, op $0^\circ$. Daartussen is de regel eenvoudig: de hoogte van de Poolster boven de noordelijke horizon, gemeten als hoek, is gelijk aan de breedtegraad. De figuur hieronder laat zien waarom de twee hoeken gelijk zijn.

Voorbeeld 14.2 (Een navigator in de nacht)

Een navigator meet de Poolster op $41^\circ$ boven de noordelijke horizon. Het schip ligt op $41^\circ$ NB, ongeveer $41 \times 111 \approx 4550$ km ten noorden van de evenaar. Als ze naar het noorden vaart, staat de ster elke nacht een beetje hoger; als ze naar het zuiden vaart, naar de evenaar, zakt hij naar de horizon. Ten zuiden van de evenaar is de Poolster helemaal niet te zien, want ze blijft onder de horizon: daar geeft de middagzon de breedtegraad.

14.2 Meridianen en lengtegraad

Het tweede getal zegt hoe ver naar het oosten of het westen een plaats ligt. Hier is er geen natuurlijke beginlijn zoals de evenaar: er moet er een worden gekozen.

Definitie 14.3 (Meridiaan, lengtegraad en nulmeridiaan)

Een meridiaan is een halve cirkel op de globe van de Noordpool naar de Zuidpool. De nulmeridiaan is de meridiaan die als beginlijn is gekozen: die door de oude Koninklijke Sterrenwacht van Greenwich, in Londen. De lengtegraad van een plaats is de hoek tussen de nulmeridiaan en de meridiaan van die plaats, gezien vanaf de aardas. Hij loopt van $0^\circ$ op de nulmeridiaan tot $180^\circ$, en we zeggen of de plaats ten oosten (oosterlengte, OL) of ten westen (westerlengte, WL) van de nulmeridiaan ligt.

Alle meridianen komen samen op de polen, en ze zijn allemaal even lang. Aan de andere kant van de Aarde, tegenover Greenwich, zijn de meridiaan $180^\circ$ OL en de meridiaan $180^\circ$ WL dezelfde lijn.

Geschiedenis — De keuze van de nulmeridiaan

Lange tijd tekende elk land zijn kaarten met zijn eigen beginmeridiaan: Londen, Parijs en andere plaatsen werden allemaal gebruikt. In oktober 1884 kwamen afgevaardigden van veel landen in Washington bijeen om één meridiaan voor de hele wereld te kiezen. Op 13 oktober stemden ze om de meridiaan door de sterrenwacht van Greenwich voor te stellen: 21 landen stemden voor, één tegen, en twee stemden niet.

14.3 Een plaats vinden met haar twee hoeken

Met haar breedtegraad en haar lengtegraad kun je elke plaats op Aarde terugvinden, op een kaart of op een globe. We schrijven de breedte eerst: Caïro bijvoorbeeld ligt op ongeveer $30^\circ$ NB, $31^\circ$ OL.

Methode 14.4 (Een plaats vinden met haar coördinaten)

1. Breedtegraad: begin bij de evenaar en ga naar het noorden (NB) of het zuiden (ZB), terwijl je de breedtecirkels telt, tot het juiste aantal graden.
2. Lengtegraad: begin bij de nulmeridiaan en ga naar het oosten (OL) of het westen (WL), terwijl je de meridianen telt, tot het juiste aantal graden.
3. De plaats ligt waar de breedtecirkel en de meridiaan elkaar kruisen. Tussen twee lijnen van het raster schat je: halverwege tussen $30^\circ$ en $60^\circ$ is $45^\circ$.

Voorbeeld 14.5 (De coördinaten van Sydney aflezen)

Op de kaart ligt Sydney onder de evenaar: het ligt op het zuidelijk halfrond, iets boven de breedtecirkel $30^\circ$ ZB, dichter bij $30^\circ$ dan bij $60^\circ$; de breedtegraad is ongeveer $34^\circ$ ZB. Het ligt rechts van de nulmeridiaan, iets voorbij de meridiaan $150^\circ$ OL; de lengtegraad is ongeveer $151^\circ$ OL. We schrijven: Sydney, $34^\circ$ ZB, $151^\circ$ OL.

14.4 De draaiende Aarde en de tijdzones

De Aarde draait één keer per dag om zichzelf, van west naar oost. Terwijl ze draait, lijkt de Zon van oost naar west langs de hemel te trekken. Als de Zon op haar hoogst aan de hemel staat, is het twaalf uur ’s middags. Maar het is niet overal op hetzelfde moment middag: als het in Londen twaalf uur ’s middags is, is het in Caïro, verder naar het oosten, al na twaalven, en in New York, verder naar het westen, nog ochtend.

Hoeveel draait de Aarde in één uur? Een hele omwenteling is $360^\circ$, en die duurt 24 uur:

Twee plaatsen die $15^\circ$ lengte uit elkaar liggen, hebben hun middag dus een uur na elkaar: de plaats die oostelijker ligt, heeft hem het eerst. Eén graad duurt 4 minuten.

Definitie 14.6 (Tijdzone)

Een tijdzone is een strook van de Aarde, van pool tot pool, waar alle klokken dezelfde tijd aanwijzen. In het ideale geval is elke zone $15^\circ$ lengte breed, zodat er 24 zones zijn, één voor elk uur; als je één zone naar het oosten gaat, wijzen de klokken een uur later aan.

In de ideale zones is de zone van een plaats haar lengtegraad gedeeld door $15$, afgerond op een heel getal: ten oosten van Greenwich tellen we dat aantal uren op bij de tijd in Greenwich, ten westen ervan trekken we ze eraf. Tokio, op $140^\circ$ OL: $140 \div 15 \approx 9.3$, dus de zone is $+9$: als het in Greenwich twaalf uur ’s middags is, is het in Tokio 21 uur. Echte tijdzones zijn geen rechte stroken: ze volgen de grenzen van landen en regio’s, zodat een heel land, of een hele regio, dezelfde tijd houdt.

De datumgrens. Reis vanuit Greenwich naar het oosten en tel per zone een uur op: op $180^\circ$ loop je 12 uur voor. Reis naar het westen en trek per zone een uur af: op $180^\circ$ loop je 12 uur achter. De twee reizigers ontmoeten elkaar op dezelfde meridiaan, met klokken die hetzelfde uur aanwijzen, maar een hele dag uit elkaar! Een van hen moet de datum veranderen.

Definitie 14.7 (Internationale datumgrens)

De internationale datumgrens is de lijn, midden in de Stille Oceaan, waar de datum verandert. Hij volgt de meridiaan van $180^\circ$, met een paar bochten om geen land in tweeën te snijden. Als je hem naar het westen oversteekt, ga je naar de volgende dag; als je hem naar het oosten oversteekt, ga je terug naar de dag ervoor.

Geschiedenis — Het zeehorloge van Harrison

Om zijn lengtegraad te vinden, vergelijkt een navigator twee tijden: de plaatselijke tijd op het schip, afgelezen aan de Zon, en op hetzelfde moment de tijd in een thuishaven. Elk uur verschil betekent $15^\circ$ lengte. De moeilijkheid was om de thuistijd over de oceaan mee te nemen: zelfs de beste horloges van die tijd waren niet nauwkeurig genoeg. De Engelse klokkenmaker John Harrison werkte tientallen jaren aan het probleem, met als doel een klok die per dag niet meer dan 3 seconden voor of achter zou gaan. Zijn vierde zeeklok, H4 genoemd, lijkt op een groot zakhorloge en tikt vijf keer per seconde. In 1761 nam zijn zoon William hem mee op een reis naar Jamaica om hem te testen.

14.5 Oefeningen

Oefening 14.1 ★

Neem over en vul aan: “De breedtegraad wordt gemeten vanaf de … en loopt van $0^\circ$ tot …; de lengtegraad wordt gemeten vanaf de … en loopt van $0^\circ$ tot …”

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.1.

“De breedtegraad wordt gemeten vanaf de evenaar en loopt van $0^\circ$ tot $90^\circ$ (noord of zuid); de lengtegraad wordt gemeten vanaf de nulmeridiaan en loopt van $0^\circ$ tot $180^\circ$ (oost of west).”

Oefening 14.2 ★

Wat is de breedtegraad van de Noordpool? En van de Zuidpool? En van een stad op de evenaar?

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.2.

De Noordpool: $90^\circ$ NB. De Zuidpool: $90^\circ$ ZB. Een stad op de evenaar: $0^\circ$.

Oefening 14.3 ★

Zeg met de kaart van de dertien steden op welk halfrond, noordelijk of zuidelijk, en aan welke kant van de nulmeridiaan, oost of west, elk van deze steden ligt: Sydney, New York, Caïro, Rio de Janeiro.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.3.

Sydney: zuidelijk halfrond, oost. New York: noordelijk halfrond, west. Caïro: noordelijk halfrond, oost. Rio de Janeiro: zuidelijk halfrond, west.

Oefening 14.4 ★

Waar of niet waar? Verbeter de zinnen die niet waar zijn. (a) Alle meridianen komen samen op de polen. (b) Alle breedtecirkels zijn even lang. (c) De evenaar is een breedtecirkel. (d) De nulmeridiaan loopt door Parijs.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.4.

(a) Waar. (b) Niet waar: de breedtecirkels worden korter naar de polen toe; de langste is de evenaar. (c) Waar. (d) Niet waar: ze loopt door Greenwich, in Londen.

Oefening 14.5 ★★

Welke stad ligt volgens de kaart van de dertien steden op ongeveer $30^\circ$ NB, $31^\circ$ OL? Welke op ongeveer $41^\circ$ NB, $74^\circ$ WL? Geef de geschatte coördinaten van Tokio.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.5.

Caïro. New York. Tokio ligt op ongeveer $36^\circ$ NB, $140^\circ$ OL (iets boven de breedtecirkel $30^\circ$ NB, iets voorbij de meridiaan $120^\circ$ OL, nog voor $150^\circ$ OL).

Oefening 14.6 ★★

Stad A ligt op lengtegraad $0^\circ$ en stad B op $45^\circ$ OL. Hoeveel uur liggen hun middagen uit elkaar? In welke stad is het het eerst middag?

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.6.

$45 \div 15 = 3$: hun middagen liggen 3 uur uit elkaar. Het eerst is het middag in stad B, die oostelijker ligt.

Oefening 14.7 ★★

Mumbai ligt op ongeveer $73^\circ$ OL. Bereken de ideale tijdzone. Hoe laat is het in Mumbai, in de ideale zones, als het in Greenwich twaalf uur ’s middags is?

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.7.

$73 \div 15 \approx 4.9$, afgerond 5: de zone is $+5$. Als het in Greenwich twaalf uur ’s middags is, is het in Mumbai $12 + 5 = 17$, dus 17 uur.

Oefening 14.8 ★★

Elke breedtegraad is ongeveer $111\,\mathrm{km}$. Hoe ver van de evenaar ligt een stad op $30^\circ$ NB, gemeten langs haar meridiaan? Hoe ver ligt de Noordpool van de evenaar?

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.8.

$30 \times 111 = 3\,330$ km. De Noordpool ligt op $90^\circ$: $90 \times 111 = 9\,990$ km, ongeveer 10 000 km.

Oefening 14.9 ★★

New York ligt in de zone $-5$ en Tokio in de zone $+9$. Hoeveel uur verschillen hun klokken? Als het in New York maandag 8 uur ’s ochtends is, hoe laat en welke dag is het dan in Tokio?

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.9.

$9 - (-5) = 14$ uur verschil. $8 + 14 = 22$: het is maandag 22 uur in Tokio.

Oefening 14.10 ★★

Lena zegt: “De Zon komt op in het oosten, dus de steden in het oosten zien de Zon eerder opkomen dan de steden in het westen.” Heeft ze gelijk? Leg uit met de draaiing van de Aarde.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.10.

Ze heeft gelijk. De Aarde draait van west naar oost, dus de steden in het oosten worden het eerst naar de Zon toe gedraaid: ze zien haar opkomen, op haar hoogst staan en ondergaan voor de steden verder naar het westen.

Oefening 14.11 ★★★

Een scheepsklok loopt 3 seconden per dag voor (ze loopt te snel). (a) Hoeveel seconden loopt ze voor na een reis van 42 dagen? (b) De Aarde draait één graad in 4 minuten, dat is 240 seconden. Welke fout, in graden lengte, veroorzaakt de fout van de klok? (c) Op de evenaar is één lengtegraad ongeveer $111\,\mathrm{km}$. Hoeveel kilometer zit de navigator er op de evenaar ongeveer naast?

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.11.

(a) $42 \times 3 = 126$ seconden, iets meer dan 2 minuten. (b) $126 \div 240 \approx 0.5$: ongeveer een halve lengtegraad. (c) $0.5 \times 111 \approx 55$ km (met $0.525$: ongeveer 58 km). Een fout van ongeveer vijftig kilometer: genoeg om een eiland te missen, of op een kust te lopen waarvan je dacht dat die nog ver weg was.

Oefening 14.12 ★★★

Een vliegtuig vertrekt op maandag om 18 uur uit Tokio (zone $+9$) en vliegt naar het oosten over de Stille Oceaan naar Los Angeles (zone $-8$). De vlucht duurt 10 uur. (a) Hoe laat is het in Greenwich als het vliegtuig vertrekt? (b) Hoe laat is het in Greenwich als het landt? (c) Wat is de plaatselijke tijd en de dag in Los Angeles als het landt? Waarom zeggen reizigers dat je op deze vlucht “landt voordat je vertrokken bent”?

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.12.

(a) $18 - 9 = 9$: maandag 9 uur ’s ochtends in Greenwich. (b) $9 + 10 = 19$: maandag 19 uur in Greenwich. (c) $19 - 8 = 11$: maandag 11 uur ’s ochtends in Los Angeles. Het vliegtuig vertrok op maandag om 18 uur (tijd in Tokio) en landt om 11 uur op dezelfde maandag (tijd in Los Angeles): de klokken bij aankomst wijzen een vroeger uur aan dan de klokken bij vertrek, omdat het vliegtuig de datumgrens naar het oosten is overgestoken en een dag is teruggegaan.

14.6 Probleem: Een videogesprek rond de wereld

Probleem 14.1

Weekendprobleem — vijf vrienden, vier tijdzones en één datumgrens: hoe laat is het in Auckland als het gesprek begint?

Lena woont in Londen. Ze wil een videogesprek organiseren met vier vrienden die ze op vakantie heeft leren kennen: Ana in Rio de Janeiro, Kenji in Tokio, Mia in Auckland en Sam in Los Angeles. In dit probleem gebruiken we de ideale tijdzones.

vriend	stad	coördinaten
Lena	Londen	$52^\circ$ NB, $0^\circ$
Ana	Rio de Janeiro	$23^\circ$ ZB, $43^\circ$ WL
Kenji	Tokio	$36^\circ$ NB, $140^\circ$ OL
Mia	Auckland	$37^\circ$ ZB, $175^\circ$ OL
Sam	Los Angeles	$34^\circ$ NB, $118^\circ$ WL

Deel I — Waar de vrienden wonen.

1. Welke vrienden wonen op het zuidelijk halfrond?
2. Welke vrienden wonen ten westen van de nulmeridiaan?
3. Welke vriend woont het verst van de evenaar?
4. Welke vriend woont het dichtst bij de meridiaan van $180^\circ$? Hoeveel lengtegraden ervandaan?

Deel II — Hoe laat is het?

5. Hoeveel graden draait de Aarde in één uur?
6. Bereken de ideale tijdzone van de stad van elke vriend.
7. Lena stelt voor om het gesprek op vrijdag om 20 uur te beginnen, Londense tijd. Hoe laat en welke dag is het dan in Rio de Janeiro? En in Tokio?
8. Kenji antwoordt dat hij dan slaapt. Leg uit waarom het in Tokio al zaterdag is.

Deel III — De datumgrens oversteken.

9. Hoe laat en welke dag is het in Los Angeles als het gesprek begint?
10. Hoeveel uur lopen de klokken van Auckland voor op die van Los Angeles?
11. Een schip dat van Auckland naar het oosten vaart, naar Los Angeles, steekt de datumgrens over. Gaat het vooruit naar de volgende dag of terug naar de dag ervoor?
12. Wat is de plaatselijke tijd, en de dag, in Auckland als het gesprek begint?

Oplossing

Oplossing van Probleem 14.1.

1. Ana (Rio de Janeiro, $23^\circ$ ZB) en Mia (Auckland, $37^\circ$ ZB).

2. Ana en Sam ($43^\circ$ WL en $118^\circ$ WL). Lena woont op de nulmeridiaan.

3. Lena: Londen ligt op $52^\circ$ NB, verder van de evenaar dan alle anderen.

4. Mia: Auckland ligt op $175^\circ$ OL, maar $180 - 175 = 5$ graden van de meridiaan van $180^\circ$.

5. $360^\circ \div 24 = 15^\circ$.

6. Londen: $0$. Rio de Janeiro: $43 \div 15 \approx 2.9$, west, dus $-3$. Tokio: $140 \div 15 \approx 9.3$, oost, dus $+9$. Auckland: $175 \div 15 \approx 11.7$, oost, dus $+12$. Los Angeles: $118 \div 15 \approx 7.9$, west, dus $-8$.

7. Rio de Janeiro: $20 - 3 = 17$, vrijdag 17 uur. Tokio: $20 + 9 = 29$; $29 - 24 = 5$: zaterdag 5 uur ’s ochtends.

8. Tokio ligt ver naar het oosten: zijn klokken lopen 9 uur voor op die van Londen. Om 20 uur in Londen is het in Tokio al na middernacht, dus is zijn zaterdag begonnen.

9. $20 - 8 = 12$: vrijdag twaalf uur ’s middags.

10. $12 - (-8) = 20$ uur voor.

11. Als het schip de datumgrens naar het oosten oversteekt, gaat het terug naar de dag ervoor.

12. $20 + 12 = 32$; $32 - 24 = 8$: als het gesprek begint, is het in Auckland zaterdag 8 uur ’s ochtends. Mia doet mee aan het gesprek bij het ontbijt, terwijl Sam op vrijdag aan de lunch zit.