الفضاءات الأفينية الجزئية؛ التطبيقات الأفينية কী?

مثال 17.9 (تصنيف تطبيق أفيني، من البداية إلى النهاية)

لنأخذ $f(x, y) = (2x - 1,\ 3y - 4)$ على $\R^2$. جزؤه الخطي هو $\varphi = \operatorname{diag}(2, 3)$، وطيفه $\{2, 3\}$ يتجنب $1$: فبمحك النقطة الثابتة المبرهن أدناه (القضية 17.17)، يقبل $f$ نقطة ثابتة وحيدة، تُوجد بحل

وبإعادة التمركز في $\Omega$ (بوضع $x = 1 + u$، $y = 2 + v$):

ففي المعلم ذي المبدأ $\Omega$، يكون $f$ جزأه الخطي نفسه، وهو تمدد غير موحد الاتجاه يمدد بالمعامل $2$ أفقيا وبالمعامل $3$ شاقوليا انطلاقا من المركز $(1, 2)$. والدرس العام: التطبيق الأفيني هو “تطبيق خطي زائد معطى موضعي”، وينهار المعطى الموضعي إلى مبدأ واحد حسن الاختيار كلما لم يكن $1$ قيمة ذاتية. وبالعكس، فإن نقل المبدأ نقلا سيئا يخلق الحدود الثابتة: فالهندسة الأفينية هي فن اختيار موضع $0$.

مثال 17.2 (فضاء أفيني بلا مبدأ طبيعي)

مستوي الحلول $\mathcal E = \{(x, y, z) \in \R^3 : x + y + z = 1\}$ ليس فضاء متجهيا جزئيا ($0 \notin \mathcal E$)، لكنه فضاء أفيني موجه بالفضاء $E = \{x + y + z = 0\}$: فمن أجل $A, B \in \mathcal E$ يقع الفرق $\vect{AB} = B - A$ في $E$ (فالمجموعان يتلاشيان)، وعلاقة شال موروثة من $\R^3$، والتطبيق $B \mapsto \vect{AB}$ تقابلي على $E$. ولا تتميز أي نقطة من $\mathcal E$ — فأي اختيار “لمبدأ” $O \in \mathcal E$ صالح بالقدر نفسه، وجميع المطابقات $M \mapsto \vect{OM}$ تختلف بانسحابات. وهذا هو الوضع النمطي: فمجموعات حلول المسائل الخطية غير المتجانسة (الجمل الخطية، والمعادلات التفاضلية الخطية في الفصل 16) أفينية لا خطية أبدا، والشعار “حل خاص زائد النواة” هو بالضبط النص $\mathcal F = A + F$ في التعريف التالي.

مثال 17.18 (تقايسات المستوي، مكتملة)

للتقايس الأفيني للمستوي الإقليدي جزء خطي في $O(2)$: إما دوران $R_\theta$ وإما انعكاس (مجلد السنة الأولى). فإذا كان $\theta \neq 0$: فإن $1 \notin \operatorname{Sp} R_\theta$، ومنه يكون التطبيق دورانا حول مركز وحيد (القضية 17.17). وإذا كان الجزء الخطي انعكاسا: فإما انعكاس حول محور (فتوجد نقط ثابتة) وإما انعكاس منزلق (أي انعكاس مركب مع انسحاب موازٍ للمحور، بلا نقطة ثابتة). ومع الانسحابات، هذا هو التصنيف الكامل لتقايسات المستوي.