فضاء باناخ কী?

مثال 5.20 (معيار مؤثر التكامل)

على $\bigl(C(\intcc01), \norm\cdot_\infty\bigr)$، ليكن $T(f)(x) = \int_0^x f(t)\,\dd t$ (وهو تشاكل ذاتي: فالدالة $T(f)$ متصلة). ونشغّل الطريقة 5.9. الحدّ الأعلى:

ومنه $\vertiii T \leq 1$. والشاهد: يعطي $f \equiv 1$ أن $T(f)(x) = x$ و$\norm{T(f)}_\infty = 1 = \norm f_\infty$: فهو مبلوغ، و$\vertiii T = 1$. لكن لاحظ أن $\vertiii{T^2} = \frac12 \neq \vertiii T^2$: فعلًا، $T^2(f)(x) = \int_0^x(x - t)f(t)\dd t$ له $\abs{T^2(f)(x)} \leq \frac{x^2}2\norm f_\infty$، وهو مبلوغ من جديد عند $f \equiv 1$؛ وعمومًا $\vertiii{T^n} = \frac1{n!}$ — فالحدّ الضربي التحتي $\vertiii T^n = 1$ يخطئ بمقدار عاملي. وهذه بالضبط هي الظاهرة التي تحوّلها حيلة التكرار في مسألة نهاية الأسبوع في الفصل 4 إلى قابلية حلّ شمولية للمعادلات التفاضلية الخطية.

مثال 5.22 (الأسّي المصفوفي، أول لقاء)

الأسّي المصفوفي: $\mathcal{M}_n(K)$ مع أي معيار ضربي تحتي ($\vertiii{AB} \leq \vertiii A \vertiii B$) فضاء باناخ (لأنه منتهي البعد). عندئذٍ، من أجل كل $A$،

تتقارب بإطلاق (لأن $\vertiii{A^k/k!} \leq \vertiii A^k /k!$، وهي قابلة للجمع): فهي معرَّفة جيدًا. ويستغلّ الفصل 16 ذلك منهجيًا.