محتوى كثير حدود কী?

مثال 2.26

كثير الحدود $X^n - p$ غير قابل للاختزال على $\Q$ من أجل كل عدد أولي $p$ وكل $n \geq 1$ (أيزنشتاين عند $p$): فتوجد كثيرات حدود غير قابلة للاختزال من كل درجة على $\Q$ — على النقيض التام من $\C$ (الدرجة $1$، دالمبير–غاوس، المبرهَن عليها في الفصل 16) ومن $\R$ (الدرجتان $1, 2$). وتوسّع حيلةُ الإزاحة مدى أيزنشتاين: فكثير الحدود الدائري النوني الأولي $\Phi_p = X^{p-1} + \dots + X + 1 = \frac{X^p - 1}{X - 1}$ يحقق

وهو يحقق شرط أيزنشتاين عند $p$ (لأن $p \mid \binom pk$ من أجل $0 < k < p$، و $\binom{p}{p-1} = p \not\equiv 0 \bmod p^2$): ومنه فإن $\Phi_p(X+1)$، ومنه $\Phi_p$، غير قابل للاختزال على $\Q$. وهذا هو القلب الجبري لقصة المضلّع ذي $17$ ضلعًا المرويّة في الفصل 4.