ما معنى الأمل الرياضي؟

مثال 18.10

من أجل لعبة المثال 18.6:

فاللاعب يخسر وسطيًا نحو $17$ سنتًا في كل لعبة: فاللعبة غير مواتية. وتُسمّى اللعبة عادلة عندما يكون الربح المأمول $0$.

مثال 18.15

من أجل لعبة المثال 18.6: $\E(G^2) = \frac46 \times 4 + \frac16 \times 9 + \frac16 \times 16 = \frac{16 + 9 + 16}{6} = \frac{41}{6}$، إذن

فخسارة $0.17$ في كل لعبة وسطيًا تأتي مع تأرجحات حجمها النموذجي $2.6$ أورو — فالأمل الرياضي بلا انحراف معياري لا يروي إلا نصف الحكاية.

مثال 22.10 (النقل في العمل)

من أجل $X \sim \mathcal P(\lambda)$، احسب $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ — فقانون $\frac1{1+X}$ نفسه محرج، لكن مبرهنة النقل لا تطلبه أبدا:

ودرسان. حسابيا: التعرف على متسلسلة أسية مزاحة هو العمل كله — فمبرهنة النقل تختزل آمال $f(X)$ إلى معالجة متسلسلات. وبنيويا: القيمة الساذجة بالتعويض ستكون $\frac1{1 + \E X} = \frac1{1 + \lambda}$، والجواب الحقيقي أكبر،

تماما كما تقتضي متراجحة جنسن من أجل الدالة المحدبة $t \mapsto \frac1{1+t}$. فآمال الصور المحدبة تقع فوق القيمة الساذجة بالتعويض، وتجعل مبرهنة النقل مع تحقق من متسلسلة المتراجحة المجردة ملموسة.

مثال 22.12 (الجداءات، مع الاستقلال وبدونه)

نرمي نردين متزنين. فإذا كان $Y$ هو النرد الثاني (المستقل عن الأول)، فإن $\E(XY) = \E(X)\E(Y) = 3.5^2 = 12.25$. أما إذا كان $Y = X$ (أي “جداء” نرد بنفسه)،

فالقانونان الحديان أنفسهما في السيناريوهين، لكن القانونين المشتركين مختلفان، وآملا الجداء مختلفان. والعبرة، وهي جديرة بأن تُنقش: أن $\E(XY)$ دالة تخص الزوج، لا القانونين الحديين — والفرق $\E(X^2) - \E(X)^2 \approx 2.92$ هو بالضبط، بحسب كونيغ–هويغنز، تباين $\frac{35}{12}$ النرد.