ما معنى الأمل الرياضي؟ — الرياضيات

تعريف 18.8 رياضيات المرحلة الثانوية · الفصل 18 — الاحتمالات والمتغيرات العشوائية

الأمل الرياضي (أو المتوسط) للمتغير $X$ هو متوسط قيمه مرجَّحة باحتمالاتها:

\E(X) = \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\; x_i .

أمثلة

مثال 18.10

من أجل لعبة المثال 18.6:

\E(G) = \frac46 \times (-2) + \frac16 \times 3 + \frac16 \times 4 = \frac{-8 + 3 + 4}{6} = -\frac16 \approx -0.17 .

فاللاعب يخسر وسطيًا نحو $17$ سنتًا في كل لعبة: فاللعبة غير مواتية. وتُسمّى اللعبة عادلة عندما يكون الربح المأمول $0$ .

مثال 18.15

من أجل لعبة المثال 18.6: $\E(G^2) = \frac46 \times 4 + \frac16 \times 9 + \frac16 \times 16 = \frac{16 + 9 + 16}{6} = \frac{41}{6}$ ، إذن

\V(G) = \frac{41}{6} - \left(-\frac16\right)^2 = \frac{41}{6} - \frac{1}{36} = \frac{245}{36} \approx 6.8, \qquad \sigma(G) \approx 2.6 .

فخسارة $0.17$ في كل لعبة وسطيًا تأتي مع تأرجحات حجمها النموذجي $2.6$ أورو — فالأمل الرياضي بلا انحراف معياري لا يروي إلا نصف الحكاية.

اقرأ في الفصل ←

تعريف 22.6 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · الفصل 22 — المتغيرات العشوائية المتقطعة

نقول إن متغيرا عشوائيا حقيقيا $X$ على $(\Omega, \P)$ يقبل أملا رياضيا إذا كانت العائلة $\bigl(X(\omega)\,\P(\{\omega\})\bigr)_{\omega \in \Omega}$ قابلة للجمع (الفصل 7)؛ وعندئذ يكون أمله الرياضي

\E(X) = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\,\P(\{\omega\}) .

أمثلة

مثال 22.10 (النقل في العمل)

من أجل $X \sim \mathcal P(\lambda)$ ، احسب $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ — فقانون $\frac1{1+X}$ نفسه محرج، لكن مبرهنة النقل لا تطلبه أبدا:

\E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr) = \sum_{k\geq0}\frac{1}{k+1}\,\eu^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} = \frac{\eu^{-\lambda}}{\lambda}\sum_{k\geq0} \frac{\lambda^{k+1}}{(k+1)!} = \frac{\eu^{-\lambda}}{\lambda}\bigl(\eu^\lambda - 1\bigr) = \frac{1 - \eu^{-\lambda}}{\lambda} .

ودرسان. حسابيا: التعرف على متسلسلة أسية مزاحة هو العمل كله — فمبرهنة النقل تختزل آمال $f(X)$ إلى معالجة متسلسلات. وبنيويا: القيمة الساذجة بالتعويض ستكون $\frac1{1 + \E X} = \frac1{1 + \lambda}$ ، والجواب الحقيقي أكبر،

\frac{1 - \eu^{-\lambda}}{\lambda} \geq \frac{1}{1 + \lambda},

تماما كما تقتضي متراجحة جنسن من أجل الدالة المحدبة $t \mapsto \frac1{1+t}$ . فآمال الصور المحدبة تقع فوق القيمة الساذجة بالتعويض، وتجعل مبرهنة النقل مع تحقق من متسلسلة المتراجحة المجردة ملموسة.

مثال 22.12 (الجداءات، مع الاستقلال وبدونه)

نرمي نردين متزنين. فإذا كان $Y$ هو النرد الثاني (المستقل عن الأول)، فإن $\E(XY) = \E(X)\E(Y) = 3.5^2 = 12.25$ . أما إذا كان $Y = X$ (أي “جداء” نرد بنفسه)،

\E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6} \approx 15.17 \neq 12.25 :

فالقانونان الحديان أنفسهما في السيناريوهين، لكن القانونين المشتركين مختلفان، وآملا الجداء مختلفان. والعبرة، وهي جديرة بأن تُنقش: أن $\E(XY)$ دالة تخص الزوج، لا القانونين الحديين — والفرق $\E(X^2) - \E(X)^2 \approx 2.92$ هو بالضبط، بحسب كونيغ–هويغنز، تباين $\frac{35}{12}$ النرد.

اقرأ في الفصل ←

أمثلة

أمثلة

مصطلحات ذات صلة