Qu'est-ce que « Espérance » ? — Mathématiques

Définition 18.8 Mathématiques du lycée · Chapitre 18 — Probabilités et variables aléatoires

L’espérance (ou moyenne) de $X$ est la moyenne de ses valeurs pondérées par leurs probabilités :

\E(X) = \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\; x_i .

Exemples

Exemple 18.10

Pour le jeu de l’Exemple 18.6 :

\E(G) = \frac46 \times (-2) + \frac16 \times 3 + \frac16 \times 4 = \frac{-8 + 3 + 4}{6} = -\frac16 \approx -0.17 .

En moyenne le joueur perd environ $17$ centimes par partie : le jeu est défavorable. Un jeu est dit équitable lorsque le gain espéré est $0$ .

Exemple 18.15

Pour le jeu de l’Exemple 18.6 : $\E(G^2) = \frac46 \times 4 + \frac16 \times 9 + \frac16 \times 16 = \frac{16 + 9 + 16}{6} = \frac{41}{6}$ , donc

\V(G) = \frac{41}{6} - \left(-\frac16\right)^2 = \frac{41}{6} - \frac{1}{36} = \frac{245}{36} \approx 6.8, \qquad \sigma(G) \approx 2.6 .

La perte de $0.17$ par partie en moyenne s’accompagne de fluctuations de taille typique $2.6$ euros — l’espérance sans l’écart type ne raconte que la moitié de l’histoire.

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Définition 22.6 Mathématiques universitaires — Licence 2 · Chapitre 22 — Variables aléatoires discrètes

Une variable aléatoire réelle $X$ sur $(\Omega, \P)$ admet une espérance si la famille $\bigl(X(\omega)\,\P(\{\omega\})\bigr)_{\omega \in \Omega}$ est sommable (Chapitre 7) ; son espérance est alors

\E(X) = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\,\P(\{\omega\}) .

Exemples

Exemple 22.10 (Le transfert à l’œuvre)

Pour $X \sim \mathcal P(\lambda)$ , calculons $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ — la loi de $\frac1{1+X}$ elle-même est malaisée, mais le transfert ne la demande jamais :

\E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr) = \sum_{k\geq0}\frac{1}{k+1}\,\eu^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} = \frac{\eu^{-\lambda}}{\lambda}\sum_{k\geq0} \frac{\lambda^{k+1}}{(k+1)!} = \frac{\eu^{-\lambda}}{\lambda}\bigl(\eu^\lambda - 1\bigr) = \frac{1 - \eu^{-\lambda}}{\lambda} .

Deux leçons. Sur le plan du calcul : reconnaître une série exponentielle décalée est tout le travail — le transfert réduit les espérances de $f(X)$ à des manipulations de séries. Sur le plan structurel : la valeur naïve par substitution serait $\frac1{1 + \E X} = \frac1{1 + \lambda}$ , et la vraie réponse est plus grande,

\frac{1 - \eu^{-\lambda}}{\lambda} \geq \frac{1}{1 + \lambda},

exactement comme l’exige l’inégalité de Jensen pour la fonction convexe $t \mapsto \frac1{1+t}$ . Les espérances des images convexes se situent au-dessus de la valeur naïve par substitution, et le transfert plus une vérification de série rend concrète l’inégalité abstraite.

Exemple 22.12 (Produits, avec et sans indépendance)

On lance deux dés équilibrés. Si $Y$ est le second dé (indépendant du premier), $\E(XY) = \E(X)\E(Y) = 3.5^2 = 12.25$ . Si au contraire $Y = X$ (le « produit » d’un dé avec lui-même),

\E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6} \approx 15.17 \neq 12.25 :

mêmes lois marginales dans les deux scénarios, lois jointes différentes, espérances des produits différentes. La morale, digne d’être gravée : $\E(XY)$ est une fonctionnelle du couple, non des deux marginales — et l’écart $\E(X^2) - \E(X)^2 \approx 2.92$ est, par König–Huygens, précisément la variance $\frac{35}{12}$ du dé.

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Exemples

Exemples

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