رياضيات المرحلة الثانوية · Grades 10–12

18الاحتمالات والمتغيرات العشوائية

تنمذج الاحتمالات التجارب التي تكون نتيجتها غير مؤكدة: رمية نرد، وسحب ورقة لعب، ولعبة تُلعب. ويرسي هذا الفصل المفردات على المجموعات المنتهية، ثم يقدّم البطل المركزي في نظرية الاحتمالات كلها: المتغير العشوائي وأمله الرياضي. وتُراجَع هذه المفاهيم وتُعمَّق في الفصل 33، وتليها الاحتمالات الشرطية في الفصل 32.

18.1 الاحتمال على مجموعة منتهية

تعريف 18.1 (النموذج الاحتمالي)

تُنمذَج تجربة ذات عدد منته من الإمكانيات بواسطة مجموعة الإمكانيات $\Omega = \{\omega_1, \dots, \omega_n\}$ (وهي مجموعة النتائج الممكنة) مع احتمال $\P$ يرفق بكل إمكانية $\omega_i$ عددًا $p_i \geq 0$ ، حيث $p_1 + \dots + p_n = 1$ . والحادثة هي جزء $A \subseteq \Omega$ ، و

\P(A) = \sum_{\omega_i \in A} p_i .

وعندما تكون كل الإمكانيات متساوية الاحتمال ( $p_i = \frac1n$ : وهو نموذج التساوي في الاحتمال)،

\P(A) = \frac{\text{عدد الإمكانيات في } A} {\text{عدد الإمكانيات في } \Omega}.

مثال 18.2

ارمِ حجري نرد يمكن تمييزهما: فإن $\Omega$ هي مجموعة الأزواج المرتبة $(i, j)$ البالغ عددها $36$ حيث $1 \leq i, j \leq 6$ ، وكلها متساوية الاحتمال. والحادثة $S$ = “المجموع يساوي $7$ ” تحوي $6$ أزواج، هي $(1,6)$ و $(2,5)$ و $(3,4)$ و $(4,3)$ و $(5,2)$ و $(6,1)$ ، إذن $\P(S) = \frac{6}{36} = \frac16$ . أما الحادثة “المجموع يساوي $12$ ” فتحوي الزوج $(6,6)$ وحده: فاحتمالها $\frac{1}{36}$ . واختيار مجموعة الإمكانيات المناسبة — أزواجًا مرتبة لا غير مرتبة — هو ما يجعل نموذج التساوي في الاحتمال قابلًا للتطبيق.

قضية 18.3 (قواعد الاحتمال)

من أجل حادثتين $A, B \subseteq \Omega$ :

\P(\emptyset) = 0, \qquad \P(\Omega) = 1, \qquad \P(\bar A) = 1 - \P(A),

\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B) - \P(A \cap B),

حيث $\bar A$ هي متممة $A$ (أي كل الإمكانيات التي ليست في $A$ ). وخاصة، يكون $\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B)$ عندما تكون $A$ و $B$ متنافيتين ( $A \cap B = \emptyset$ ).

برهان. لا تحوي الحادثة الخالية أي إمكانية (فمجموع خالٍ)، أما $\Omega$ فتحويها كلها (فالمجموع الكلي $1$ ). وكل إمكانية تنتمي إلى واحدة بالضبط من $A$ و $\bar A$ ، إذن $\P(A) + \P(\bar A) = 1$ . وأما الاتحاد: فجمع المقادير $p_i$ على $A$ ثم على $B$ يعدّ إمكانيات $A \cap B$ مرتين؛ وطرح $\P(A \cap B)$ يصحّح هذا العدّ المزدوج. ∎

مثال 18.4

في قسم، يدرس $60\%$ الموسيقى ( $M$ )، ويمارس $45\%$ رياضة ( $S$ )، ويجمع $25\%$ بينهما. فنسبة من يفعل واحدًا على الأقل هي $\P(M \cup S) = 0.60 + 0.45 - 0.25 = 0.80$ ، إذن $20\%$ لا يفعلون أيًا منهما (المتممة).

18.2 المتغيرات العشوائية

تعريف 18.5 (المتغير العشوائي وتوزيعه)

المتغير العشوائي على $\Omega$ هو دالة $X$ ترفق بكل إمكانية عددًا. وتوزيعه هو جدول قيمه الممكنة $x_1, \dots, x_k$ مع احتمالاتها

\P(X = x_i) = \P\bigl(\{\omega : X(\omega) = x_i\}\bigr), \qquad \sum_{i=1}^k \P(X = x_i) = 1 .

مثال 18.6

لعبة: ادفع $2$ أورو، وارمِ حجر نرد غير مغشوش، وخذ القيمة الظاهرة إن كانت $5$ على الأقل، ولا شيء فيما عدا ذلك. وليكن $G$ هو الربح (المقبوض ناقص المدفوع). فالإمكانيات $1, 2, 3, 4$ تعطي $G = -2$ ؛ والإمكانية $5$ تعطي $G = 3$ ؛ والإمكانية $6$ تعطي $G = 4$ . وتوزيع $G$ :

$g$	$-2$	$3$	$4$
$\P(G = g)$	$\dfrac46$	$\dfrac16$	$\dfrac16$

طريقة 18.7 (بناء جدول التوزيع)

اسرد القيم الممكنة للمتغير $X$ ؛ ومن أجل كل قيمة، اجمع الإمكانيات التي تنتجها واجمع احتمالاتها؛ ثم تحقق من أن سطر الاحتمالات مجموعه $1$ .

18.3 الأمل الرياضي

تعريف 18.8 (الأمل الرياضي)

الأمل الرياضي (أو المتوسط) للمتغير $X$ هو متوسط قيمه مرجَّحة باحتمالاتها:

\E(X) = \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\; x_i .

ملاحظة 18.9

$\E(X)$ هو ما سيكون عليه متوسط عدد ضخم من التكرارات المستقلة للتجربة — والصياغة الدقيقة لهذه العبارة هي قانون الأعداد الكبيرة، المبرهَن عليه في الفصل 34. ولاحِظ التشابه الشكلي مع متوسط سلسلة إحصائية بالتواترات (التعريف 17.1): فالاحتمالات تلعب دور التواترات النسبية $\frac{n_i}{n}$ .

مثال 18.10

من أجل لعبة المثال 18.6:

\E(G) = \frac46 \times (-2) + \frac16 \times 3 + \frac16 \times 4 = \frac{-8 + 3 + 4}{6} = -\frac16 \approx -0.17 .

فاللاعب يخسر وسطيًا نحو $17$ سنتًا في كل لعبة: فاللعبة غير مواتية. وتُسمّى اللعبة عادلة عندما يكون الربح المأمول $0$ .

قضية 18.11 (الخطية)

من أجل كل عددين حقيقيين $a, b$ :

\E(aX + b) = a\,\E(X) + b .

برهان. يأخذ المتغير $aX + b$ القيمة $a x_i + b$ باحتمال $\P(X = x_i)$ ، إذن

\E(aX + b) = \sum_i \P(X = x_i)(a x_i + b) = a \sum_i \P(X = x_i)\,x_i + b \underbrace{\sum_i \P(X = x_i)}_{=\,1} = a\,\E(X) + b .

∎

18.4 التباين والانحراف المعياري

تعريف 18.12 (التباين)

يقيس تباين المتغير $X$ تبدد قيمه حول الأمل الرياضي $m = \E(X)$ :

\V(X) = \E\bigl((X - m)^2\bigr) = \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\,(x_i - m)^2, \qquad \sigma(X) = \sqrt{\V(X)} .

قضية 18.13 (الصيغة المختصرة)

\V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2 .

برهان. انشر $(x_i - m)^2 = x_i^2 - 2m\,x_i + m^2$ داخل المجموع:

\V(X) = \sum_i \P(X = x_i)\,x_i^2 - 2m \sum_i \P(X = x_i)\,x_i + m^2\sum_i \P(X = x_i) = \E(X^2) - 2m^2 + m^2 ,

وهذا هو $\E(X^2) - m^2$ . وهذه هي صيغة المتغيرات العشوائية للمتطابقة المبرهَن عليها من أجل السلاسل في القضية 17.7. ∎

قضية 18.14 (التحويل التآلفي)

$\V(aX + b) = a^2\,\V(X)$ و $\sigma(aX + b) = \abs a\,\sigma(X)$ .

برهان. حسب الخطية، ينحرف $aX + b$ عن أمله الرياضي $a m + b$ بمقدار $(aX + b) - (am + b) = a(X - m)$ : فكل انحراف يُضرب في $a$ ، ومنه كل انحراف مربع يُضرب في $a^2$ ، وكذلك متوسطها المرجَّح. وقد اختفى الانسحاب $b$ — فانسحاب متغير لا يغيّر تبدده. ∎

مثال 18.15

من أجل لعبة المثال 18.6: $\E(G^2) = \frac46 \times 4 + \frac16 \times 9 + \frac16 \times 16 = \frac{16 + 9 + 16}{6} = \frac{41}{6}$ ، إذن

\V(G) = \frac{41}{6} - \left(-\frac16\right)^2 = \frac{41}{6} - \frac{1}{36} = \frac{245}{36} \approx 6.8, \qquad \sigma(G) \approx 2.6 .

فخسارة $0.17$ في كل لعبة وسطيًا تأتي مع تأرجحات حجمها النموذجي $2.6$ أورو — فالأمل الرياضي بلا انحراف معياري لا يروي إلا نصف الحكاية.

توزيع الربح G في ، وأمله الرياضي (G) = -1/6 (بالمتقطع): وهو نقطة توازن الكتل الاحتمالية. — توزيع الربح $G$ في المثال 18.6، وأمله الرياضي $\E(G) = -\frac16$ (بالمتقطع): وهو نقطة توازن الكتل الاحتمالية.

18.5 تمارين

تمرين 18.1 ★

تُسحب ورقة من رزمة عادية فيها $52$ ورقة. احسب احتمال سحب: قلبًا؛ ملكًا؛ قلبًا أو ملكًا؛ لا قلبًا ولا ملكًا.

حل

حل التمرين 18.1.

نموذج التساوي في الاحتمال على $52$ ورقة. القلوب: $\frac{13}{52} = \frac14$ . الملوك: $\frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ . قلب أو ملك: $\frac{13 + 4 - 1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$ (فملك القلوب يُعدّ مرة واحدة). ولا هذا ولا ذاك: $1 - \frac{4}{13} = \frac{9}{13}$ .

تمرين 18.2 ★

يُرمى حجرا نرد غير مغشوشين ويُسجَّل مجموعهما $S$ . وباستعمال نموذج $36$ إمكانية في المثال 18.2، احسب $\P(S = 6)$ و $\P(S \geq 10)$ و $\P(S \text{ زوجي})$ .

حل

حل التمرين 18.2.

$S = 6$ : الأزواج $(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$ ، إذن $\P(S = 6) = \frac{5}{36}$ .

$S \geq 10$ : ثلاثة أزواج من أجل $10$ ، واثنان من أجل $11$ ، وواحد من أجل $12$ : $\P(S \geq 10) = \frac{6}{36} = \frac16$ .

$S$ زوجي: المجاميع $2, 4, 6, 8, 10, 12$ لها $1 + 3 + 5 + 5 + 3 + 1 = 18$ زوجًا: فالاحتمال $\frac{18}{36} = \frac12$ .

تمرين 18.3 ★

متغير عشوائي توزيعه

$x$	$-1$	$0$	$2$	$5$
$\P(X=x)$	$0.3$	$0.2$	$0.4$	$p$

أوجد $p$ ، ثم احسب $\E(X)$ .

حل

حل التمرين 18.3.

مجموع الاحتمالات $1$ : $p = 1 - 0.3 - 0.2 - 0.4 = 0.1$ . ثم

\E(X) = 0.3 \times (-1) + 0.2 \times 0 + 0.4 \times 2 + 0.1 \times 5 = -0.3 + 0.8 + 0.5 = 1 .

تمرين 18.4 ★

يحقق $X$ العلاقتين $\E(X) = 3$ و $\V(X) = 4$ . أعطِ الأمل الرياضي والتباين والانحراف المعياري للمتغير $Y = 2X - 5$ .

حل

حل التمرين 18.4.

$\E(Y) = 2 \times 3 - 5 = 1$ ؛ $\V(Y) = 2^2 \times 4 = 16$ ؛ $\sigma(Y) = 4$ .

تمرين 18.5 ★★

عجلة حظ فيها $10$ قطاعات متساوية: $5$ منها تُظهر $0$ أورو، و $3$ تُظهر $2$ أورو، و $2$ تُظهر $5$ أورو. وتكلفة اللعب $2$ أورو. أعطِ توزيع الربح $G$ (المكسب ناقص الرهان)، واحسب $\E(G)$ ، ثم قرّر هل اللعبة مواتية.

حل

حل التمرين 18.5.

المكاسب هي $0$ و $2$ و $5$ أورو باحتمالات $0.5$ و $0.3$ و $0.2$ ؛ وبطرح الرهان البالغ $2$ أورو، يأخذ $G$ القيم $-2, 0, 3$ :

$g$	$-2$	$0$	$3$
$\P(G=g)$	$0.5$	$0.3$	$0.2$

$\E(G) = -1 + 0 + 0.6 = -0.4$ : فاللاعب يخسر $40$ سنتًا في اللعبة الواحدة وسطيًا — أي لعبة غير مواتية.

تمرين 18.6 ★★

كيس فيه $3$ كرات حمراء و $2$ زرقاء؛ وتُسحب كرتان بدون إرجاع. وليكن $X$ عدد الكرات الحمراء المسحوبة. ابنِ توزيع $X$ (بسرد $20$ سحبة مرتبة، أو باستعمال شجرة)، ثم احسب $\E(X)$ .

حل

حل التمرين 18.6.

بالسحب المرتب: $\P(X = 2) = \frac35 \times \frac24 = \frac{3}{10}$ (حمراء ثم حمراء)؛ و $\P(X = 0) = \frac25 \times \frac14 = \frac{1}{10}$ (زرقاء ثم زرقاء)؛ ومنه $\P(X = 1) = 1 - \frac{3}{10} - \frac{1}{10} = \frac{6}{10}$ . ثم

\E(X) = 0 \times \frac1{10} + 1 \times \frac6{10} + 2 \times \frac3{10} = \frac{12}{10} = 1.2 ,

وهذا متسق مع الحدس: إذ $\frac35$ من السحبتين حمراء وسطيًا.

تمرين 18.7 ★★

من أجل عجلة التمرين 18.5، احسب $\V(G)$ و $\sigma(G)$ .

حل

حل التمرين 18.7.

$\E(G^2) = 0.5 \times 4 + 0.3 \times 0 + 0.2 \times 9 = 3.8$ ، إذن حسب الصيغة المختصرة $\V(G) = 3.8 - (-0.4)^2 = 3.8 - 0.16 = 3.64$ و $\sigma(G) \approx 1.9$ أورو.

تمرين 18.8 ★★

تبيع شركة تأمين عقدًا بمبلغ $80$ أورو. وباحتمال $0.05$ يطالب الزبون بمبلغ $1000$ أورو، وباحتمال $0.01$ يطالب الزبون بمبلغ $5000$ أورو، ولا شيء فيما عدا ذلك. وليكن $B$ ربح الشركة من عقد واحد. أعطِ توزيع $B$ ، واحسب $\E(B)$ ، ثم فسّر.

حل

حل التمرين 18.8.

الربح هو $80$ ناقص المطالبة:

$b$	$80$	$-920$	$-4920$
$\P(B=b)$	$0.94$	$0.05$	$0.01$

$\E(B) = 75.2 - 46 - 49.2 = -20$ : فبهذا السعر تخسر الشركة $20$ أورو من كل عقد وسطيًا. فالقسط أدنى مما تقتضيه الأخطار المغطاة (وكان عليه أن يتجاوز $100$ أورو ليكون الربح المأمول موجبًا).

تمرين 18.9 ★★

سؤال متعدد الخيارات له $4$ أجوبة، واحد منها صحيح. والجواب الصحيح يُعطي $+1$ ؛ وللتثبيط عن التخمين، يُعطي الجواب الخاطئ $x < 0$ . ويجيب تلميذ عشوائيًا. فمن أجل أي قيمة للعدد $x$ يكون أمل نتيجة التلميذ معدومًا؟

حل

حل التمرين 18.9.

النتيجة العشوائية هي $+1$ باحتمال $\frac14$ و $x$ باحتمال $\frac34$ :

\E = \frac14 + \frac{3x}{4} = 0 \iff x = -\frac13 .

ومع العقوبة $-\frac13$ ، لا يجلب التخمين العشوائي شيئًا وسطيًا.

تمرين 18.10 ★★

تُرمى قطعتا نقد غير مغشوشتين. وتقترح آن: “إذا تطابقت القطعتان، أدفع لك $1$ أورو؛ وإذا اختلفتا، تدفع لي $1$ أورو.” احسب الربح المأمول لكل لاعب. فهل اللعبة عادلة؟ والسؤال نفسه بثلاث قطع، حيث تدفع آن $2$ أورو إذا تطابقت الثلاث.

حل

حل التمرين 18.10.

قطعتان: تتطابقان (صورة صورة أو ظهر ظهر) باحتمال $\frac24 \times 2 = \frac12$ . وربح اللاعب هو $+1$ أو $-1$ باحتمالين متساويين: فالأمل الرياضي $0$ لكلا اللاعبين — إذن اللعبة عادلة.

ثلاث قطع: تتطابق كلها (ثلاث صور أو ثلاثة أظهر) باحتمال $\frac{2}{8} = \frac14$ . ويقبض اللاعب $2$ باحتمال $\frac14$ ويدفع $1$ باحتمال $\frac34$ : $\E = \frac24 - \frac34 = -\frac14$ . فاللعبة تحابي آن بمقدار $25$ سنتًا في الجولة؛ وكانت ستصير عادلة لو دفعت $3$ أورو عند التطابق الثلاثي.

تمرين 18.11 ★★★

يانصيب يبيع $1000$ تذكرة بسعر $5$ أورو للواحدة. وتربح تذكرة واحدة $2000$ أورو، وتربح خمس تذاكر $200$ أورو، وتربح عشرون تذكرة $25$ أورو.

أعطِ توزيع مدخول المنظّم الإجمالي ناقص الجوائز، وتوزيع ربح لاعب واحد $G$ .
احسب $\E(G)$ وإجمالي الربح المأمول للمنظّم. وتحقق من اتساق الجوابين.

حل

حل التمرين 18.11.

1. يقبض المنظّم $1000 \times 5 = 5000$ أورو ويدفع $2000 + 5 \times 200 + 20 \times 25 = 3500$ أورو في المجموع: فربحه هو المقدار الثابت $1500$ (ولا عشوائية فيه متى بيعت كل التذاكر). وأما ربح لاعب واحد $G$ (الجائزة ناقص التذكرة البالغة $5$ أورو):

$g$	$1995$	$195$	$20$	$-5$
$\P(G=g)$	$\dfrac{1}{1000}$	$\dfrac{5}{1000}$	$\dfrac{20}{1000}$	$\dfrac{974}{1000}$

\E(G) = \frac{1995 + 5 \times 195 + 20 \times 20 - 974 \times 5}{1000} = \frac{1995 + 975 + 400 - 4870}{1000} = -1.5 .

فكل لاعب يتوقع أن يخسر $1.50$ أورو؛ وعلى $1000$ لاعب يكون ذلك $1500$ أورو — وهو ربح المنظّم بالضبط. فالدفاتر متوازنة: إذ ما يخسره اللاعبون وسطيًا هو بالضبط ما يجمعه المنظّم.

18.6 مسألة: اللعبة التي لم تُكمَل

مسألة 18.1

مسألة نهاية الأسبوع — باسكال وفيرما والقسمة العادلة لرهان مقطوع: مولد الأمل الرياضي، وسحر الخطية، وما لا يراه الأمل الرياضي

في سنة 1654 طرح الفارس دو ميري — وهو المقامر نفسه الذي فتحت رهاناته على النرد المسألة الاحتمالية في الكتاب السابق — على بليز باسكال سؤالًا أعمق: لاعبان متساويا المهارة يجب أن يوقفا سلسلتهما عند النتيجة $5$ إلى $3$ ، وستة انتصارات تأخذ الرهان البالغ $64$ بستولًا. فكيف يُقسَم الرهان قسمة عادلة؟ والرسائل المتبادلة بين باسكال وفيرما جوابًا عنه أسّست المفهوم الذي هو قلب هذا الفصل: الأمل الرياضي (التعريف 18.8). وستعيد استخراج جوابهما بالطريقتين، ثم تلقى حيلة الخطية البارعة وبقعة الأمل الرياضي العمياء الوحيدة.

الجزء الأول — التمكّن من الأمل الرياضي.

ارمِ حجر نرد غير مغشوش؛ وربحك هو (الوجه $- 3$ ) أورو. ابنِ جدول توزيع الربح $G$ (الطريقة 18.7) واحسب $\E(G)$ .
احسب $V(G)$ بالصيغة المختصرة (القضية 18.13) ثم $\sigma(G)$ (برقمين عشريين).
بلا أي جدول جديد، أعطِ $\E(2G - 1)$ و $V(2G - 1)$ (القضية 18.14).
كشك يتقاضى $m$ أورو مقابل رمي حجري نرد ويدفع لك المجموع بالأورو. فما السعر العادل $m$ ؟ والكشك يتقاضى $8$ : فما خسارتك المأمولة في اللعبة الواحدة؟
حاسوب محمول قيمته $800$ أورو له احتمال $5\,\%$ في التلف كل سنة. احسب قسط التأمين العادل، وربح المؤمِّن المأمول من العقد الواحد إذا تقاضى $60$ أورو.

الجزء الثاني — قسمة الرهان. النتيجة $5$ – $3$ ، والأول الذي يبلغ $6$ يربح الرهان البالغ $64$ بستولًا، والجولات رميات نقد عادلة.

جوابان خاطئان مغريان: القسمة $5 : 3$ (بالتناسب مع الجولات المربوحة)، أو إعطاء كل شيء للمتصدر. قل في جملة واحدة لكل منهما ما وجه الظلم فيه.
طريقة فيرما: يحتاج اللاعب A إلى انتصار $1$ إضافي، ويحتاج B إلى $3$ ؛ فتخيّل أنهما يلعبان $3$ جولات إضافية بالضبط مهما كان. اسرد $8$ إمكانيات متساوية الاحتمال، وحدّد من يربح السلسلة في كل منها، واستنتج القسمة العادلة للرهان البالغ $64$ بستولًا.
النقطة الدقيقة التي كان على فيرما الدفاع عنها: قد تتوقف اللعبة الحقيقية بعد جولة واحدة — فلماذا يكون مشروعًا مع ذلك أن نستدل على $3$ جولات خيالية كاملة؟
طريقة باسكال، بالرجوع من النهاية: احسب حصة A العادلة عند النتائج (الافتراضية) $5$ – $5$ ، ثم $5$ – $4$ ، ثم $5$ – $3$ ، وفي كل مرة بأخذ متوسط المستقبلين المتساويي الاحتمال. وقارن بالسؤال 7.
السؤال نفسه عند النتيجة $4$ – $3$ : كم جولة خيالية، وأي الإمكانيات تعطي B السلسلة، وما هي القسمة العادلة؟
صُغ المبدأ المشترك بين الطريقتين — القيمة العادلة لمستقبل غير مؤكد هي أمله الرياضي — وسمِّ صناعتين حديثتين تقومان عليه بالكامل (السؤال 5 يبيّن إحداهما).
تحقق من السلامة من أجل كل نتيجة: فسّر، بخطية الأمل الرياضي (القضية 18.11)، لماذا يجب أن يكون مجموع حصتي اللاعبين العادلتين دائمًا هو الرهان البالغ $64$ بستولًا بالضبط.

الجزء الثالث — حيلة الخطية البارعة.

استعد $\E(\text{مجموع حجري نرد}) = 7$ في سطر واحد بالخطية (القضية 18.11)، بلا جدول من $36$ خانة. أما تباين المجموع، فالقاعدة $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ تقتضي استقلال حجري النرد (وهو مقبول): فاحسبه.
حفلة القبعات: يرمي $n$ ضيفًا قبعاتهم في كومة ويأخذ كل منهم واحدة عشوائيًا. وليكن $X$ عدد الضيوف الذين يستعيدون قبعتهم. فمن أجل ضيف واحد ثابت، ما احتمال أن يستعيد قبعته هو؟ وبجمع هذه الفرص، وعددها $n$ ، (بالخطية!) احسب $\E(X)$ . ويجب أن يفاجئك الجواب: فهو لا يتعلق بالعدد $n$ .
تحقق من $\E(X) = 1$ بالقوة الغاشمة من أجل $n = 2$ و $n = 3$ (اسرد توزيعات القبعات المتساوية الاحتمال، وعددها $2$ ثم $6$ ، وخذ متوسط الأعداد).
استعادات الضيوف بعيدة كل البعد عن الاستقلال (فإذا استعاد $n - 1$ ضيفًا قبعاتهم، فلا بد أن يستعيد الأخير قبعته أيضًا). فأين بالضبط لم يقتضِ حساب السؤال 14 الاستقلال؟ صُغ القوة الخارقة للخطية.

الجزء الرابع — ما لا يراه الأمل الرياضي.

بطاقتا حظ ثمن كل منهما $5$ أورو: البطاقة A تربح $10$ أورو باحتمال $\frac12$ ؛ والبطاقة B تربح $1\,000$ أورو باحتمال $0.005$ . تحقق من أن للربحين الأمل الرياضي نفسه، ثم احسب التباينين. فأي بطاقة يشتريها الناس فعلًا، وماذا يشترون؟
لعبة سان بطرسبورغ: ارمِ قطعة نقد حتى أول ظهر؛ فإذا ظهر أول ظهر في الرمية $n$ تقبض $2^n$ أورو. احسب إسهام كل $n$ في الأمل الرياضي، ثم الأمل الرياضي نفسه. فهل تدفع $1\,000$ أورو للعب مرة واحدة؟ وماذا يعلّمنا هذا التصادم عن الأمل الرياضي؟
التأمين من جهة الزبون: أن تدفع $20$ أورو، أو أن تواجه خطرًا قدره $1\,\%$ في خسارة $1\,000$ ؟ قارن بين الأملين الرياضيين، وفسّر لماذا يبقى شراء التأمين عقلانيًا (فما الذي لا تستطيع أسرة واحدة أن “تأخذ متوسطه”)؟
الخاتمة — سيرة الأمل الرياضي، جملة واحدة لكل فصل منها: وُلد سنة 1654 ليقسم رهانًا؛ وقوته الخارقة، الخطية، التي تجمع الآمال الرياضية دون أن تسأل عن الاستقلال (القبعات)؛ وبقعته العمياء، الخطر، الذي يقيسه التباين (البطاقات، وسان بطرسبورغ، والتأمين)؛ وتتويجه في السنة المقبلة، حين يفسّر قانون الأعداد الكبيرة بالضبط لماذا يربح بيت اللعب دائمًا.

حل

حل المسألة 18.1.

1. يأخذ $G$ القيم $-2, -1, 0, 1, 2, 3$ ، كل منها باحتمال $\frac16$ : $\E(G) = \frac{-2 - 1 + 0 + 1 + 2 + 3}{6} = \frac12$ أورو.

2. $\E(G^2) = \frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9}{6} = \frac{19}{6}$ ؛ $V(G) = \frac{19}{6} - \frac14 = \frac{35}{12} \approx 2.92$ ؛ $\sigma(G) \approx 1.71$ .

3. $\E(2G - 1) = 2 \times \frac12 - 1 = 0$ ؛ $V(2G - 1) = 4\,V(G) = \frac{35}{3}$ .

4. $\E(\text{مجموع}) = 7$ : فالسعر العادل $7$ أورو. وعند $8$ ، تكون الخسارة المأمولة $1$ أورو في اللعبة الواحدة.

5. القسط العادل: $0.05 \times 800 = 40$ أورو. وبتقاضي $60$ : يكون الربح المأمول $20$ أورو من العقد الواحد.

6. القسمة $5:3$ تكافئ الماضي — لكن الرهان ملك لمن يربح المستقبل، وقد يربح B بعد. وإعطاء كل شيء إلى A يعامل فوزًا محتملًا معاملة المؤكد — ففرصة B الصغيرة تساوي شيئًا.

7. الجولات التي تُلعب: $3$ ؛ والإمكانيات (فوز A/فوز B في كل جولة): AAA و AAB و ABA و ABB و BAA و BAB و BBA و BBB. ولا يأخذ اللاعب B السلسلة إلا بالفوز بالثلاث كلها: أي BBB وحدها. ويربح A السلسلة في $7$ من $8$ حالات: فالقسمة العادلة $64 \times \frac78 = 56$ بستولًا للاعب A و $8$ للاعب B.

8. لعب الجولات الزائدة العديمة الجدوى لا يغيّر انتصار أحد: فمتى نالت A فوزها السادس، صارت الجولات اللاحقة مراسم. لكن تثبيت الأفق عند $3$ جولات بالضبط يجعل الإمكانيات $8$ كلها متساوية الاحتمال — فالعدّ الأمين يحتاج إلى حكايات متساوية الطول، وحشوها لا يكلّف شيئًا.

9. عند $5$ – $5$ : جولة فاصلة واحدة، أي $32$ لكل منهما. وعند $5$ – $4$ : تنال A $\frac{64 + 32}{2} = 48$ . وعند $5$ – $3$ : تقود الجولة التالية إلى $64$ (إذا ربحتها A) أو إلى الوضع $5$ – $4$ الذي يساوي $48$ : فحصة A $\frac{64 + 48}{2} = 56$ — أي $56 : 8$ عند فيرما، مستخرجة من جديد بالسير إلى الوراء.

10. تحتاج A إلى $2$ ، ويحتاج B إلى $3$ : فتُلعب $4$ جولات خيالية ( $16$ إمكانية). ويأخذ B السلسلة عند $3$ أو $4$ انتصارات: أي $4 + 1 = 5$ إمكانيات. والقسمة: $B$ : $64 \times \frac{5}{16} = 20$ ؛ $A$ : $44$ .

11. القيمة الحالية العادلة لمردود مستقبلي غير مؤكد هي أمله الرياضي — أي متوسط ما قد يأتي مرجَّحًا بالاحتمالات. والتأمين (السؤال 5) والمالية (تسعير المردودات غير المؤكدة) هما هذه الجملة وقد صارت صناعتين؛ وكذلك دور القمار، من الجهة الأخرى من الطاولة.

12. ينتهي الرهان دائمًا في مكان ما: فالحصتان متغيران عشوائيان مجموعهما الثابت $64$ ، إذن بالخطية $\E_A + \E_B = 64$ — فالحصص العادلة تستنفد الرهان، عند كل نتيجة.

13. بالخطية: $\E(X + Y) = 3.5 + 3.5 = 7$ ، بلا جدول — وهذا صحيح حتى لو كان حجرا النرد ملتصقين. وتباين حجر واحد: $\E(X^2) - 3.5^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12}$ ؛ ومن أجل حجرين مستقلين $V(X + Y) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}$ .

14. يستعيد كل ضيف ثابت قبعته باحتمال $\frac1n$ (فقبعته واحدة من بين $n$ ). وبالجمع على الضيوف $n$ : $\E(X) = n \times \frac1n = 1$ — أي ضيف محظوظ واحد وسطيًا، سواء أكانت في الحفلة قبعتان أم ألفان.

15. $n = 2$ : التوزيعان: كلاهما صحيح ( $X = 2$ ) أو متبادلان ( $X = 0$ ): أي $\E = 1$ . و $n = 3$ : تعطي التوزيعات الستة $X = 3, 1, 1, 1, 0, 0$ : $\E = \frac{6}{6} = 1$ .

16. جمع الحساب الآمال الرياضية للمؤشرات $n$ الفردية (“الضيف $i$ نال قبعته”)، و الخطية تجمع الآمال الرياضية بلا شروط — فالتبعية تخرّب جداءً أو تباينًا، لكنها لا تخرّب أبدًا مجموع آمال رياضية. تلك هي القوة الخارقة للخطية: فلا تُسأل أسئلة عن الاستقلال.

17. الربحان: $\E = 0.5 \times 10 - 5 = 0$ و $0.005 \times 1000 - 5 = 0$ . والتباينان (للربح): A: $\E(G^2) = 0.5 \times 25 + 0.5 \times 25 = 25$ ؛ B: $0.005 \times 995^2 + 0.995 \times 25 \approx 4\,975$ : أي $\sigma_A = 5$ ، و $\sigma_B \approx 70.5$ . والناس يشترون B: فما يشترونه ليس الأمل الرياضي (المعدوم في كليهما) بل التبدد — أي فرصة صغيرة في ذيل أيمن يغيّر الحياة.

18. أول ظهر عند الرمية $n$ احتماله $2^{-n}$ ويدفع $2^n$ : فكل $n$ يسهم بمقدار $2^{-n} \times 2^n = 1$ في الأمل الرياضي، الذي يساوي إذن $1 + 1 + 1 + \dots$ : أي لا نهائي. ومع ذلك لا يدفع عاقل $1\,000$ للعب مرة واحدة: فباحتمال $\frac{15}{16}$ يكون المدفوع $16$ على الأكثر. فالأمل الرياضي يلخّص المدى الطويل للرهانات القابلة للتكرار؛ أما لعبة مرة واحدة في العمر ذات ذيل جامح فلا يسعّرها متوسطها.

19. الأملان الرياضيان: التأمين $-20$ ؛ والمواجهة عاريًا $-0.01 \times 1000 = -10$ . فالاستراتيجية العارية تربح وسطيًا — لمن يقدر على امتصاص الخسارة وتكرار الرهان مرات كثيرة. أما الأسرة التي لا تنجو من $-1\,000$ فليست في تجارة المتوسطات: فهي تدفع $10$ زيادة لتمحو التباين. المؤمّنون يأخذون المتوسطات؛ والأسر تشتري اليقين.

20. وُلد وهو يقسم رهانًا بين مقامرين نافدَي الصبر؛ ومكّنته الخطية، التي تجمع الآمال دون أن تستأذن التبعية؛ وهو أعمى عن الخطر، الذي على التباين — في اليانصيبات، ولعبة بطرسبورغ، وعقد الأسرة — أن يقيسه بدلًا منه؛ ويتوّجه في السنة المقبلة قانون الأعداد الكبيرة، الذي يفسّر لماذا تحصّل المتوسطات دائمًا، في نهاية المطاف.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد