ما معنى مقاس مولد بعدد منته؟ — الرياضيات

বইগুলো এখনো বাংলা ভাষায় পাওয়া যায় না — العربية সংস্করণ দেখানো হচ্ছে।

تعريف 3.3 الرياضيات الجامعية — السنة 3 · অধ্যায় 3 — المقاسات على حلقة مثاليات رئيسية

يكون $M$ مولَّدًا بعدد منتهٍ من العناصر إذا كان $M = Ax_1 + \dots + Ax_n$ من أجل عناصر $x_i$ ما. ويكون $M$ حرًّا من الرتبة $n$ إذا كان $M \cong A^n$ ، أي إذا كان له أساس (عائلة مولِّدة ومستقلة خطيًا على $A$ ). وكل مقاس $M$ مولَّد بعدد منتهٍ هو حاصل قسمة لمقاس حر: إذ يرسل $(a_1, \dots, a_n) \mapsto \sum a_ix_i$ المقاسَ $A^n$ على $M$ .

উদাহরণ

مثال 3.10 (اختزال سميث كاملًا)

لنختزل $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ على $\Z$ . الركن $1$ يقسم كل شيء: فنُصفّر سطره وعموده ( $L_2 \leftarrow L_2 - 4L_1$ ، $L_3 \leftarrow L_3 - 7L_1$ ، ثم $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$ ، $C_3 \leftarrow C_3 - 3C_1$ ):

M \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & -6\\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix} .

وفي الكتلة الداخلية، يقسم الركن $-3$ جميع العناصر: فيصفّرها $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_2$ و $C_3 \leftarrow C_3 - 2C_2$ لتصير $\operatorname{diag}(-3, 0)$ . وبضبط الإشارات (بضرب سطر في $-1$ ، وهي عملية مشروعة):

M \sim \operatorname{diag}(1, 3, 0), \qquad \Z^3/M\Z^3 \cong \Z/3\Z \times \Z .

ولنتحقق بواسطة القواسم المحدّدية: $D_1 = \gcd(\text{العناصر}) = 1$ ؛ وكل محدد جزئي من القياس $2\times2$ للمصفوفة $M$ مضاعفٌ للعدد $3$ (مثلًا $\det\bigl(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 4 & 5\end{smallmatrix}\bigr) = -3$ ) وأحدها يساوي $-3$ : ومنه $D_2 = 3$ ؛ و $D_3 = \det M = 0$ . إذن $d_1 = 1$ و $d_2 = 3$ و $d_3 = 0$ : أي الجواب نفسه. وهنا درسان: العامل الصامد المعدوم يسجّل هبوط الرتبة (إذ يكتسب حاصل القسمة حدًّا حرًّا من $\Z$ )، وسلسلة القابلية للقسمة $1 \mid 3 \mid 0$ هي شهادة سميث — فاختزالٌ قطري يخالف السلسلة (مثل $\operatorname{diag}(2, 3)$ ، وهو ما قد يُنتجه غير المتأني من $\bigl(\begin{smallmatrix}2 & 0\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ بالتوقف مبكرًا: والصيغة الصحيحة لسميث هي $\operatorname{diag}(1, 6)$ ، لأن $D_1 = 1$ هنا!) ليس اختزالًا منتهيًا.

প্রসঙ্গসহ পড়ো ←

উদাহরণ

সম্পর্কিত পরিভাষা-শব্দ