全部书籍

专业

应用 关于 Coach 登录 开始阅读

书籍暂未推出简体中文版——当前显示 العربية 版。

الرياضيات · 术语表

什么是 فعل زمرة？

又称： مدار · مثبت

تعريف 1.8 الرياضيات الجامعية — السنة 3 · 第 1 章 — نظرية الزمر

فعل للزمرة GG على مجموعة XX هو تشاكل φ ⁣:G→S(X)\varphi \colon G \to \mathfrak{S}(X) إلى زمرة تقابلات XX؛ ونكتب g⋅xg \cdot x بدل φ(g)(x)\varphi(g)(x). وبصيغة مكافئة: تطبيق G×X→XG \times X \to X يحقق e⋅x=xe \cdot x = x و g⋅(h⋅x)=(gh)⋅xg \cdot (h \cdot x) = (gh) \cdot x. ومدار النقطة xx هو Ox={g⋅x:g∈G}\mathcal O_x = \{g \cdot x : g \in G\}، ومثبِّتها هو الزمرة الجزئية Gx={g:g⋅x=x}G_x = \{g : g\cdot x = x\}، و XG={x:∀g, g⋅x=x}X^G = \{x : \forall g,\ g \cdot x = x\} هي مجموعة النقط الصامدة. ويكون الفعل متعدّيًا إذا وُجد مدار واحد لا غير، وأمينًا إذا كان φ\varphi متباينًا، وحرًّا إذا كانت جميع المثبِّتات تافهة.

示例

مثال 1.9

خمسة أفعال تدير نظرية الزمر المنتهية بأكملها:

  1. فعل GG على نفسها عن طريق الانسحاب الأيسر g⋅x=gxg \cdot x = gx: وهو حر ومتعدٍّ.
  2. فعل GG على نفسها عن طريق الاقتران g⋅x=gxg−1g \cdot x = gxg^{-1}: مداراته هي أصناف الاقتران، ومثبِّتاته هي المُرَكِّزات ZG(x)={g:gx=xg}Z_G(x) = \{g : gx = xg\}، ونقطه الصامدة هي مركز الزمرة Z(G)Z(G).
  3. فعل GG على فضاء الصفوف المجاورة G/HG/H حسب القاعدة g⋅xH=gxHg \cdot xH = gxH: وهو متعدٍّ، ومثبِّت الصف HH هو HH نفسها. وكل فعل متعدٍّ من هذا الشكل (التمرين 1.8).
  4. فعل GG على مجموعة زمرها الجزئية بالاقتران: مثبِّت HH هو الناظِم NG(H)={g:gHg−1=H}N_G(H) = \{g : gHg^{-1} = H\}، وهو أكبر زمرة جزئية من GG تكون HH ناظمية فيها.
  5. فعل SnS_n على [ ⁣[1, n] ⁣]\intint{1}{n}: وهو أمّ الأمثلة جميعًا.
在原文中阅读 ←