رياضيات المرحلة الثانوية · Grades 10–12

8الإحصاء الوصفي

يلخّص الإحصاء مجموعة كبيرة من الأعداد — العلامات، والرواتب، ودرجات الحرارة — ببضعة مؤشرات مختارة جيدًا. يقدّم هذا الفصل عائلتَي المؤشرات: تلك التي تحدد مركز المعطيات (المتوسط الحسابي، والوسيط) وتلك التي تقيس تشتتها (المدى، والربيعيات). أما المعالجة الأعمق، بما فيها الانحراف المعياري، فتأتي في الفصل 17.

8.1 المعطيات والتواترات

تعريف 8.1 (السلسلة الإحصائية)

السلسلة الإحصائية قائمة من القيم $x_1, x_2, \dots, x_N$ مرصودة على مجتمع حجمه $N$ . وعندما تظهر القيمة $x$ عددًا $n$ من المرات، يكون $n$ هو تكرارها ويكون الخارج

f = \frac{n}{N}

هو تواترها (ويُعبَّر عنه غالبًا بنسبة مئوية). ومجموع تواترات كل القيم يساوي $1$ .

مثال 8.2

علامات $20$ تلميذًا في اختبار قصير من $5$ نقاط:

العلامة $x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
التكرار $n$	$1$	$2$	$4$	$6$	$5$	$2$
التواتر $f$	$0.05$	$0.10$	$0.20$	$0.30$	$0.25$	$0.10$

تحقق: $1 + 2 + 4 + 6 + 5 + 2 = 20$ ومجموع التواترات $1$ .

المخطط بالأعمدة لعلامات الاختبار: عمود لكل قيمة، وارتفاعه مساوٍ للتكرار.

8.2 مؤشرات المركز

تعريف 8.3 (المتوسط الحسابي)

المتوسط الحسابي للسلسلة هو

\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_N}{N}.

وإذا ظهرت القيم $v_1, \dots, v_k$ بتكرارات $n_1, \dots, n_k$ ، حُسب العدد نفسه على صورة المتوسط المرجّح

\bar x = \frac{n_1 v_1 + n_2 v_2 + \dots + n_k v_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k}.

مثال 8.4

من أجل الاختبار في المثال 8.2:

\bar x = \frac{1 \times 0 + 2 \times 1 + 4 \times 2 + 6 \times 3 + 5 \times 4 + 2 \times 5}{20} = \frac{0 + 2 + 8 + 18 + 20 + 10}{20} = \frac{58}{20} = 2.9 .

تعريف 8.5 (الوسيط)

الوسيط قيمة تقسم السلسلة المرتَّبة نصفين: فنصف القيم على الأقل $\leq$ الوسيط، و نصفها على الأقل $\geq$ الوسيط. وعمليًا، رتّب القيم $N$ ؛

إذا كان $N$ فرديًا، فالوسيط هو القيمة الوسطى، في الرتبة $\frac{N+1}{2}$ ؛
وإذا كان $N$ زوجيًا، فخذ منتصف القيمتين الوسطيين، في الرتبتين $\frac N2$ و $\frac N2 + 1$ .

مثال 8.6

سلسلة مرتَّبة لأسعار $7$ منازل (بالآلاف): $120$ و $150$ و $160$ و $180$ و $210$ و $240$ و $900$ . الوسيط هو القيمة الرابعة، $180$ . أما المتوسط الحسابي فهو $\frac{1960}{7} = 280$ — وهو أكبر من $6$ من الأسعار السبعة! فقيمة متطرفة واحدة ( $900$ ) تجرّ المتوسط أكثر بكثير من الوسيط: فالوسيط صامد والمتوسط ليس كذلك.

8.3 مؤشرات التشتت

تعريف 8.7 (المدى والربيعيات)

من أجل سلسلة مرتَّبة:

المدى هو الفرق بين أكبر القيم وأصغرها؛
والربيعي الأول $Q_1$ هو أصغر قيمة تجعل ربع القيم على الأقل ( $25\%$ ) $\leq Q_1$ ؛ والربيعي الثالث $Q_3$ هو أصغر قيمة تجعل ثلاثة أرباع القيم على الأقل ( $75\%$ ) $\leq Q_3$ ؛
والمدى الربيعي $Q_3 - Q_1$ يقيس تشتت النصف المركزي من المعطيات.

طريقة 8.8 (إيجاد الربيعيين)

من أجل سلسلة من $N$ قيمة مرتَّبة:

احسب $\frac N4$ ؛ وإذا لم يكن عددًا صحيحًا فقرّبه صعودًا إلى العدد الصحيح التالي؛ و $Q_1$ هو القيمة في تلك الرتبة؛
احسب $\frac{3N}{4}$ ؛ وقرّب صعودًا عند اللزوم؛ و $Q_3$ هو القيمة في تلك الرتبة.

مثال 8.9

خذ القيم $11$ المرتَّبة

2,\ 3,\ 5,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 9,\ 10,\ 12 .

الوسيط: الرتبة $\frac{11+1}{2} = 6$ ، إذن الوسيط $7$ . و $Q_1$ : $\frac{11}{4} = 2.75$ ، نقرّب صعودًا إلى $3$ ؛ والقيمة الثالثة هي $5$ . و $Q_3$ : $\frac{33}{4} = 8.25$ ، نقرّب صعودًا إلى $9$ ؛ والقيمة التاسعة هي $9$ . المدى: $12 - 2 = 10$ ؛ والمدى الربيعي: $9 - 5 = 4$ .

المخطط الصندوقي في : يمتد الصندوق على الفترة الربيعية [Q_1, Q_3] ويحوي النصف المركزي من المعطيات؛ ويبلغ الشاربان القيمتين المتطرفتين. — المخطط الصندوقي في المثال 8.9: يمتد الصندوق على الفترة الربيعية $\intcc{Q_1}{Q_3}$ ويحوي النصف المركزي من المعطيات؛ ويبلغ الشاربان القيمتين المتطرفتين.

مثال 8.10 (مقارنة فوجين)

يخضع فوجان للاختبار نفسه (العلامات من $20$ ):

	الوسيط	$Q_1$	$Q_3$
الفوج أ	$12$	$10$	$14$
الفوج ب	$12$	$6$	$17$

الوسيط نفسه، والتشتت مختلف جدًّا: فالفوج أ متجانس (نصف علاماته في $\intcc{10}{14}$ )، والفوج ب غير متجانس (فنصفه المركزي يمتد على $\intcc{6}{17}$ ). فمؤشرات المركز وحدها لا تحكي القصة كاملة أبدًا.

ملاحظة 8.11

ليس المتوسط “أفضل” من الوسيط ولا العكس: فالمتوسط يستعمل كل قيمة (وهو لازم لحساب المجاميع)، والوسيط يقاوم القيم المتطرفة. و التلخيص الجاد لسلسلة يعطي مؤشر مركز واحدًا على الأقل ومؤشر تشتت واحدًا.

8.4 تمارين

تمرين 8.1 ★

إليك أعداد الكتب التي قرأها $15$ تلميذًا في سنة:

0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 12 .

احسب المتوسط الحسابي والوسيط والمدى لهذه السلسلة.

حل

حل التمرين 8.1.

المجموع: $0+1+1+2+2+2+3+3+4+4+5+6+7+8+12 = 60$ ، إذن المتوسط هو $\frac{60}{15} = 4$ . والسلسلة مرتَّبة أصلًا و $N = 15$ فردي: فالوسيط هو القيمة الثامنة، $3$ . والمدى: $12 - 0 = 12$ .

تمرين 8.2 ★

رُمي حجر نرد $50$ مرة:

النتيجة	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
التكرار	$7$	$9$	$8$	$10$	$6$	$10$

احسب تواتر كل نتيجة والنتيجة المتوسطة.

حل

حل التمرين 8.2.

التواترات: $\frac{7}{50} = 0.14$ و $\frac{9}{50} = 0.18$ و $\frac{8}{50} = 0.16$ و $\frac{10}{50} = 0.20$ و $\frac{6}{50} = 0.12$ و $\frac{10}{50} = 0.20$ (ومجموعها $1$ ). والنتيجة المتوسطة:

\bar x = \frac{7 \times 1 + 9 \times 2 + 8 \times 3 + 10 \times 4 + 6 \times 5 + 10 \times 6}{50} = \frac{7 + 18 + 24 + 40 + 30 + 60}{50} = \frac{179}{50} = 3.58 .

تمرين 8.3 ★

أوجد الوسيط و $Q_1$ و $Q_3$ للسلسلة المرتَّبة

1,\ 2,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 9,\ 11 \qquad (N = 12),

وارسم المخطط الصندوقي الموافق.

حل

حل التمرين 8.3.

$N = 12$ (زوجي): فالوسيط هو منتصف القيمتين السادسة والسابعة، وكلتاهما تساوي $6$ : أي أن الوسيط $6$ .

$Q_1$ : $\frac{12}{4} = 3$ ، إذن $Q_1$ هو القيمة الثالثة: $4$ .

$Q_3$ : $\frac{3 \times 12}{4} = 9$ ، إذن $Q_3$ هو القيمة التاسعة: $8$ .

والمخطط الصندوقي: صندوق من $4$ إلى $8$ مع خط الوسيط عند $6$ ، وشاربان من $1$ إلى $11$ .

تمرين 8.4 ★

متوسط $24$ علامة اختبار هو $11.5$ . ويجتاز تلميذ خامس وعشرون الاختبار فيحصل على $19$ . ما المتوسط الجديد للفوج؟

حل

حل التمرين 8.4.

مجموع العلامات $24$ هو $24 \times 11.5 = 276$ . ومع العلامة الجديدة يصير المجموع $276 + 19 = 295$ من أجل $25$ تلميذًا: فالمتوسط الجديد $\frac{295}{25} = 11.8$ .

تمرين 8.5 ★★

حصل تلميذ على متوسط $12$ بعد $5$ اختبارات متساوية الوزن. ما العلامة التي ترفع المتوسط إلى $13$ في الاختبار السادس؟ وهل متوسط $14$ قابل للبلوغ (والعلامات من $20$ )؟

حل

حل التمرين 8.5.

المجموع الحالي: $5 \times 12 = 60$ . ويستلزم متوسط $13$ على $6$ اختبارات مجموعًا قدره $78$ ، إذن يجب أن تكون العلامة السادسة $78 - 60 = 18$ . أما متوسط $14$ فيستلزم $84 - 60 = 24 > 20$ : وهو غير قابل للبلوغ.

تمرين 8.6 ★★

ابتكر سلسلة من $7$ قيم غير سالبة وسيطها $10$ ومتوسطها أكبر من $20$ ؛ ثم سلسلة وسيطها $10$ ومتوسطها أصغر من $6$ . ولماذا لا يمكن لمتوسط سلسلة كهذه أن يكون أصغر من $\frac{40}{7}$ ؟ وماذا تبيّن هذه الأمثلة؟

حل

حل التمرين 8.6.

متوسط أكبر من $20$ : مثلًا $1,\ 2,\ 3,\ 10,\ 40,\ 50,\ 60$ — الوسيط $10$ (وهي القيمة الرابعة بعد الترتيب)، والمتوسط $\frac{166}{7} \approx 23.7$ .

ومتوسط أصغر من $6$ : مثلًا $0,\ 0,\ 0,\ 10,\ 10,\ 10,\ 10$ — الوسيط $10$ ، والمتوسط $\frac{40}{7} \approx 5.7$ .

ولا يمكن للمتوسط أن ينزل تحت $\frac{40}{7}$ : فلكي يكون الوسيط (وهو القيمة الرابعة بعد الترتيب) مساويًا $10$ ، يجب أن تكون القيم في الرتب $4$ إلى $7$ كلها $\geq 10$ ، إذن يكون المجموع $40$ على الأقل والمتوسط $\frac{40}{7}$ على الأقل — والمثال الثاني حدّي.

وتبيّن هذه الأمثلة أن المتوسط والوسيط مستقلان إلى حد بعيد: فمعرفة أحدهما تقول القليل عن الآخر، ولهذا يذكر التلخيص الجيد كليهما.

تمرين 8.7 ★★

في شركة، يتقاضى الموظفون $9$ مبلغ $1800$ لكل منهم شهريًا ويتقاضى المدير $12000$ .

احسب الراتب المتوسط والراتب الوسيط.
أي المؤشرين يصف الراتب “النموذجي” هنا وصفًا أفضل؟ ولماذا؟

حل

حل التمرين 8.7.

1. المتوسط: $\frac{9 \times 1800 + 12000}{10} = \frac{16200 + 12000}{10} = 2820$ . والوسيط: بعد الترتيب، الرواتب العشرة هي تسع قيم $1800$ ثم $12000$ ؛ فالوسيط منتصف القيمتين الخامسة والسادسة، وكلتاهما $1800$ : أي أن الوسيط $1800$ .

2. الوسيط ( $1800$ ) يصف الراتب النموذجي: فهو ما يتقاضاه $9$ موظفين من كل $10$ فعلًا. أما المتوسط ( $2820$ ) فمشدود إلى أعلى بالراتب المرتفع الوحيد ولا يطابق قسيمة راتب أحد.

تمرين 8.8 ★★

متوسط طول $12$ فتى في فوج هو $168$ سم؛ ومتوسط طول $18$ فتاة في الفوج نفسه هو $163$ سم. احسب متوسط طول الفوج كله. (انتبه: فهو ليس منتصف $168$ و $163$ — بل رجّح المتوسطين بحجمي المجموعتين.)

حل

حل التمرين 8.8.

مجموع الأطوال: $12 \times 168 + 18 \times 163 = 2016 + 2934 = 4950$ سم من أجل $30$ تلميذًا، إذن المتوسط $\frac{4950}{30} = 165$ سم. وهو أقرب إلى متوسط الفتيات لأنهن أكثر عددًا (متوسط مرجّح بالوزنين $12$ و $18$ ).

تمرين 8.9 ★★★

سلسلة من $N$ قيمة $x_1, \dots, x_N$ متوسطها $\bar x$ . وتُحوَّل كل قيمة إلى $y_i = a x_i + b$ من أجل عددين ثابتين $a$ و $b$ .

بيّن أن متوسط السلسلة الجديدة هو $a \bar x + b$ .
متوسط درجات حرارة أسبوع، بالدرجات المئوية، هو $20$ . فما متوسطها بدرجات فهرنهايت ( $F = 1.8\,C + 32$ )؟

حل

حل التمرين 8.9.

1. المتوسط الجديد هو

\bar y = \frac{y_1 + \dots + y_N}{N} = \frac{(a x_1 + b) + \dots + (a x_N + b)}{N} = \frac{a(x_1 + \dots + x_N) + Nb}{N} = a \bar x + b .

2. من أجل $a = 1.8$ و $b = 32$ : المتوسط $1.8 \times 20 + 32 = 68$ درجة فهرنهايت.

8.5 مسألة: الإنسان المتوسط لا وجود له

مسألة 8.1

مسألة نهاية الأسبوع — المتوسط في مواجهة الوسيط: القيم الشاذة، ومنحنيات التصحيح، والمستودع على الطريق، وقمرة القيادة المصممة لأحد

سنة 1950 قاس سلاح الجو الأمريكي $4\,000$ طيار في عشرة أبعاد جسدية وبنى قمرة القيادة على مقاس الرجل المتوسط. وقد ناسبت — كما اكتشف ملازم بالعدّ — لا أحد تقريبًا. يلخّص الإحصاء الحشود بأعداد مفردة، وكل تلخيص يقول الحقيقة عن شيء ويكذب عن شيء آخر. تسوق هذه المسألة المتوسط والوسيط (التعريف 8.3 و التعريف 8.5) إلى المحكمة، وتدع كلًّا منهما يُظهر ما يحسنه، وتغلق قضية قمرة القيادة.

الجزء الأول — تلخيصان في قفص الاتهام.

يبيع شارع سبعة منازل، بآلاف اليورو: $200$ و $210$ و $220$ و $230$ و $240$ و $250$ — وقصر واحد ثمنه $1\,200$ . احسب السعر المتوسط والسعر الوسيط. أي عدد يصف “منزلًا في هذا الشارع”؟
احذف القصر وأعد حساب الاثنين. بكم انتقل كل تلخيص؟ وبيّن المغزى بشأن القيم الشاذة.
جدول إحصاء سكاني: من بين $100$ أسرة، $20$ بلا أطفال، و $25$ لها طفل واحد، و $30$ لها طفلان، و $15$ لها ثلاثة، و $10$ لها أربعة. احسب العدد المتوسط للأطفال. ولا أسرة “لها $1.7$ طفل” — فأي مقدار حقيقي يشفّره المتوسط إذن؟ (اضربه في $100$ .)
من أجل العلامات الخمس عشرة $4, 6, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 17, 19$ : أوجد الوسيط والربيعيين $Q_1$ و $Q_3$ (الطريقة 8.8).
من أجل السلسلة نفسها، أعطِ المدى و المدى الربيعي. وماذا يقيس كل منهما؟

الجزء الثاني — منحنيات التصحيح والأفواج المدمجة.

انطلاقًا من التمرين 8.9: إزاحة كل قيمة بمقدار $+b$ تزيح المتوسط والوسيط والربيعيين بمقدار $+b$ ؛ والضرب في $a$ يضربها في $a$ . فماذا يحدث للمدى وللمدى الربيعي عند الإزاحة؟ وعند الضرب؟ برّر.
لاختبار متوسط $9$ (من $20$ )، ويريد الأستاذ متوسط $12$ . واقتُرح منحنيان للتصحيح: إضافة $3$ نقاط للجميع، أو ضرب كل علامة في $\frac43$ . احسب مصير تلميذ عند $6$ وآخر عند $18$ في كل منحنى. أيهما يحابي مَن — وأيهما فيه مشكلة سقف؟
للفوج أ ( $20$ تلميذًا) متوسط $12$ ؛ وللفوج ب ( $30$ تلميذًا) متوسط $10$ . احسب متوسط التلاميذ $50$ مجتمعين، وفسّر لماذا لا يساوي $11$ (درس المتوسط المرجّح في مسألة نهاية الأسبوع عن المتوسط التوافقي في الكتاب السابق، في قاعة الدرس).
بيّن أن الوسائط ترفض هذه اللعبة: احسب وسيطَي $A = \{1, 2, 3\}$ و $B = \{0, 10\}$ ، ثم وسيط القائمة المدمجة، وقارن بالمتوسط المرجّح بالحجمين للوسيطين.
التزلج الفني: يعطي خمسة حكام العلامات $5.2$ و $5.3$ و $5.4$ و $5.5$ و $9.9$ . احسب المتوسط والوسيط و المتوسط المشذّب (احذف الأصغر والأكبر، وتوسّط الباقي). ولماذا تشذّب معظم الرياضات المحكَّمة؟

الجزء الثالث — قراءة التوزيعات.

ينتج مصنعان براغي متوسط طولها $50$ مم. المصنع أ: $Q_1 = 49.9$ و $Q_3 = 50.1$ ؛ والمصنع ب: $Q_1 = 48$ و $Q_3 = 52$ . وأنت تحتاج إلى براغٍ قابلة للتبادل: فأي مصنع، وأي مؤشر حسم الأمر؟
في عيادة، الانتظار الوسيط $10$ دقائق لكن الانتظار المتوسط $25$ . أي شكل من المعطيات يفضحه هذا الزوج؟ ابنِ مجموعة معطيات من خمس قيم لها هذا الوسيط وهذا المتوسط بالضبط.
“طفلك في المئيني الخامس والسبعين في الطول” — ماذا تعني هذه الجملة؟ وهل يمكن أن يكون كل طفل في بلدة “فوق المتوسط”؟ وفوق الوسيط؟ فسّر الفرق.
الفوج أ: الأصغر $4$ ، و $Q_1\,8$ ، والوسيط $11$ ، و $Q_3\,13$ ، والأكبر $17$ . والفوج ب: الأصغر $2$ ، و $Q_1\,9$ ، والوسيط $11$ ، و $Q_3\,12$ ، والأكبر $19$ . قارن: العلامة النموذجية، وتجانس النصف المركزي، وجموح القيم المتطرفة.
قائمة الصحفي: يقول عنوان “الراتب المتوسط في شركة التقنية: $5\,000$ يورو”. اذكر الأسئلة الثلاثة التي علّمتك هذه المسألة أن تطرحها قبل تصديق أن العنوان يقول شيئًا عن موظف نموذجي.

الجزء الرابع — قضية قمرة القيادة.

ابنِ دليلك بنفسك: كوّن خمسة أسعار منازل متوسطها $300$ ووسيطها $200$ (بآلاف اليورو).
المتوسط هو نقطة التوازن: برهن انطلاقًا من التعريف على أن الانحرافات عن المتوسط يلغي بعضها بعضًا دائمًا، $\sum (x_i - \bar x) = 0$ ، وتحقق من ذلك على مجموعة معطياتك في السؤال 16.
الوسيط هو مقلّل المشاوير: تقع متاجر عند الكيلومترات $1$ و $3$ و $4$ و $9$ و $13$ من طريق، ويجب أن يقلّل مستودع المسافة الكلية إلى المتاجر الخمسة. احسب تلك المسافة الكلية لمستودع عند الوسيط ( $4$ )، وعند المتوسط ( $6$ )، وعند $5$ . مَن يفوز؟ (والأمر عام: فالوسيط يقلّل مجموع المسافات المطلقة — اختبر أي موضع آخر.)
قمرة القيادة، محسومة: لنفترض أن لطيار احتمال $30\,\%$ بأن يكون “قريبًا من المتوسط” في بُعد جسدي واحد، وذلك على نحو مستقل في $10$ أبعاد. قدّر احتمال أن يكون قريبًا من المتوسط في الأبعاد العشرة كلها — ووفّق بين النتيجة وما وجده الملازم في $4\,000$ طيار. ماذا بنى سلاح الجو بدل قمرة الرجل المتوسط؟
الخاتمة — دليل الاستعمال، سطر لكل حالة: حين تكون المجاميع هي المهمة (ميزانية، أو محصول)، استعمل …؛ وحين يهم الفرد النموذجي (الرواتب، وأزمنة الانتظار)، استعمل …؛ وحين تهم عدالة التشتت، اذكر …؛ وحين يهدد التلوّث، استعمل …. أغلق القضية بعنوان المسألة.

حل

حل المسألة 8.1.

1. المتوسط: $\frac{2\,550}{7} \approx 364$ ألف يورو؛ والوسيط: رابع الأسعار السبعة المرتَّبة، $230$ . فالوسيط يصف الشارع — إذ لا يقترب ستة من المنازل السبعة من $364$ .

2. بدون القصر: المتوسط $\frac{1\,350}{6} = 225$ ، والوسيط $\frac{220 + 230}{2} = 225$ . فقد هبط المتوسط نحو $139$ ؛ وهبط الوسيط $5$ . فقيمة متطرفة واحدة قد تجرّ المتوسط إلى أي مكان؛ أما الوسيط فيكاد لا يلحظها — إنه صامد.

3. المتوسط $= \frac{0 \times 20 + 1 \times 25 + 2 \times 30 + 3 \times 15 + 4 \times 10}{100} = \frac{170}{100} = 1.7$ . ولا أسرة لها $1.7$ طفل، لكن $1.7 \times 100 = 170$ هو العدد الكلي المضبوط للأطفال: فالمتوسط يشفّر المجموع موزَّعًا بالتساوي — وتلك موهبته الحقيقية.

4. $N = 15$ : الوسيط $=$ القيمة الثامنة $= 11$ ؛ و $Q_1 =$ القيمة الرابعة $= 8$ ؛ و $Q_3 =$ القيمة الثانية عشرة $= 14$ .

5. المدى $19 - 4 = 15$ : وهو التشتت الكامل بما فيه القيم المتطرفة. والمدى الربيعي $14 - 8 = 6$ : وهو عرض النصف الأوسط — أي التشتت دون ضجيج القيم المتطرفة.

6. الإزاحة بمقدار $+b$ تحرّك كل قيمة، إذن تبقى فروق القيم — المدى والمدى الربيعي — على حالها: $(x_i + b) - (x_j + b) = x_i - x_j$ . أما الضرب في $a$ فيضرب كل الفروق في $a$ : فيُضرب المدى والمدى الربيعي في $\abs a$ .

7. منحنى الجمع: $6 \to 9$ و $18 \to 21$ — فيكسب التلميذ الضعيف $50\,\%$ ويكسب القوي $17\,\%$ ، والعلامة $21$ تتجاوز سلّم $20$ نقطة تجاوزًا طفيفًا فقط. أما منحنى الضرب: $6 \to 8$ و $18 \to 24$ — فالنسب محفوظة، لكن $24$ مستحيلة على سلّم من $20$ : إنها مشكلة السقف. فمنحنيات الجمع تحابي القاع؛ ومنحنيات الضرب تفجّر القمة.

8. مجموع العلامات: $20 \times 12 + 30 \times 10 = 540$ ، إذن المتوسط المدمج $\frac{540}{50} = 10.8$ : فتلاميذ الفوج ب الثلاثون يرجحون على تلاميذ الفوج أ العشرين — فالمتوسطات تُدمج بمتوسط مرجّح، لا بمتوسط بسيط أبدًا.

9. وسيط $A$ : $2$ ؛ ووسيط $B$ : $5$ . والقائمة المدمجة $\{0, 1, 2, 3, 10\}$ : وسيطها $2$ . أما المتوسط المرجّح بالحجمين للوسيطين فسيكون $\frac{3 \times 2 + 2 \times 5}{5} = 3.2 \neq 2$ : فالوسائط لا تحمل أي مجموع، ولذلك لا توجد صيغة دمج — بل يجب إعادة ترتيب القائمة كلها.

10. المتوسط: $\frac{31.3}{5} = 6.26$ . والوسيط: $5.4$ . والمتوسط المشذّب: $\frac{5.3 + 5.4 + 5.5}{3} = 5.4$ . فقد حرّك حَكَم واحد متحمس (أو فاسد) المتوسطَ نحو نقطة كاملة؛ أما الوسيط والمتوسط المشذّب فلم يبالِيا — ومن هنا قواعد التشذيب في الرياضات المحكَّمة.

11. المصنع أ: نصفه الأوسط ضمن $0.2$ مم؛ والمصنع ب: ضمن $4$ مم. المتوسط نفسه وموثوقية متعاكسة: فاشترِ من أ. و المدى الربيعي هو الذي حسم — فالمتوسطات وحدها تقارن المراكز، لا الاتساق أبدًا.

12. وقوع الوسيط أدنى بكثير من المتوسط يفضح ذيلًا أيمن طويلًا: فمعظم فترات الانتظار قصيرة وقليل منها كارثي. مثال: $\{5, 5, 10, 10, 95\}$ — الوسيط $10$ والمتوسط $\frac{125}{5} = 25$ .

13. تعني أن $75\,\%$ من الأطفال في ذلك العمر أقصر (وأن $25\,\%$ أطول): أي أنها رتبة لا قياس. وعبارة “كل طفل فوق المتوسط” مستحيلة — فلو تجاوزت كل القيم المتوسط، لتجاوز متوسطها المتوسطَ نفسه: تناقض. لكن يمكن أن يكون ذلك صحيحًا تقريبًا: فطفل واحد شديد القصر قد يبقي المتوسط دون الجميع. أما فوق الوسيط: فلا أكثر من النصف أبدًا، بحكم التعريف. فالرتب لا تُحابى، أما المتوسطات فتُحابى.

14. العلامة النموذجية: هي نفسها، والوسيط $11$ في الفوجين. وتجانس الوسط: ب أضيق (المدى الربيعي $3$ مقابل $5$ ). والقيم المتطرفة: ب أجمح (المدى $17$ مقابل $13$ ). فالفوج ب فوج من تلاميذ متشابهين مع بضع قيم شاذة؛ أما أ فمتوزع بانتظام.

15. (1) هل $5\,000$ هو المتوسط أم الوسيط — وهل لي بالوسيط؟ (2) ما التشتت (الربيعيان)، حتى أعرف كم هو “النموذجي” نموذجيًّا؟ (3) مَن أُحصي — حجم العينة وطريقة اختيارها (درس استطلاعات الرأي في مسألة نهاية الأسبوع عن كيف تكذب المعطيات في الكتاب السابق)؟

16. مثلًا $100, 150, 200, 250, 800$ : الوسيط $200$ والمتوسط $\frac{1\,500}{5} = 300$ .

17. $\sum (x_i - \bar x) = \sum x_i - N \bar x = N\bar x - N\bar x = 0$ . تحقق: $-200 - 150 - 100 - 50 + 500 = 0$ . فالمتوسط هو النقطة التي تتوازن عندها الانحرافات — أي مركز ثقل المعطيات (وهو $G$ في مسألة نهاية الأسبوع عن مركز الثقل في الكتاب السابق، في بُعد واحد).

18. عند الوسيط $4$ : $3 + 1 + 0 + 5 + 9 = 18$ كم. وعند المتوسط $6$ : $5 + 3 + 2 + 3 + 7 = 20$ كم. وعند $5$ : $4 + 2 + 1 + 4 + 8 = 19$ كم. فيفوز الوسيط — إذ إن الابتعاد عنه يجاوز دائمًا متاجر أكثر مما يقترب منها، فلا يمكن للمجموع إلا أن ينمو.

19. $0.3^{10} \approx 6 \times 10^{-6}$ : أي نحو ستة طيارين في المليون. وفي $4\,000$ طيار يكون العدد المنتظر $0.02$ — أي صفرًا، كما وجد الملازم دانيلز. وقد كفّ سلاح الجو عن التصميم للرجل المتوسط وجعل كل شيء قابلًا للتعديل: المقاعد والدواسات والأحزمة — أي التصميم للتشتت لا للمركز.

20. المجاميع: المتوسط. والفرد النموذجي: الوسيط. وعدالة التشتت: الربيعيان (و المدى الربيعي). والتلوّث: المتوسط المشذّب. وسطر الختام: الإنسان المتوسط لا وجود له — أما الإنسان الوسيط فيكاد يوجد.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد