ما معنى فضاء متري؟ — الرياضيات

বইগুলো এখনো বাংলা ভাষায় পাওয়া যায় না — العربية সংস্করণ দেখানো হচ্ছে।

تعريف 4.1 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · অধ্যায় 4 — طوبولوجيا الفضاءات المترية

الفضاء المتري مجموعة $X$ مزوَّدة بتطبيق $d \colon X \times X \to \R_+$ يحقق، من أجل كل $x, y, z$ :

d(x,y) = 0 \iff x = y, \qquad d(x,y) = d(y,x), \qquad d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z).

والكرات: $B(a, r) = \{x : d(a,x) < r\}$ (مفتوحة)، $\overline B(a,r) = \{x : d(a,x) \leq r\}$ (مغلقة). ويصير الجزء $A \subseteq X$ فضاءً متريًا بالمسافة المستحثّة.

উদাহরণ

مثال 4.2

$\R$ مع $\abs{x - y}$ ؛ و $\R^n$ مع أي من المسافات

d_1(x,y) = \sum_i \abs{x_i - y_i}, \quad d_2(x,y) = \Bigl(\sum_i (x_i - y_i)^2\Bigr)^{1/2}, \quad d_\infty(x,y) = \max_i \abs{x_i - y_i};

ومجموعة الدوال المتصلة $C(\intcc{a}{b})$ مع مسافة النهاية العليا $d_\infty(f, g) = \sup_{\intcc{a}{b}} \abs{f - g}$ (وهي منتهية لأن $f - g$ محدودة)؛ وأي مجموعة مع المسافة المتقطعة ( $d(x,y) = 1$ من أجل $x \neq y$ ). أما المسافات الآتية من المعايير فهي موضوع الفصل 5.

مثال 4.4 (الداخل والمنغلق والحافة على مجموعة واحدة)

في $\R$ ، لتكن $A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$ . الداخل: $\intoo{0}{1}$ — إذ تبقى كرة صغيرة حول أي $x \in \intoo01$ داخل $A$ ؛ أما حول $1$ ، فكل كرة $\intoo{1-r}{1+r}$ تتسرّب خارج $A$ من اليمين، ومن ثم فإن $1$ ليست داخلية؛ والنقطة المعزولة $2$ ليست داخلية أيضًا. المنغلق: $\intcc{0}{1} \cup \{2\}$ (فالنقطة $0$ نهاية للمجموعة $A$ ، ولا يُضاف شيء آخر). الحافة (المنغلق ناقص الداخل): $\{0, 1, 2\}$ . ولاحظ التباينات الجديرة بالتذكّر: قد تنتمي نقطة طرفية إلى مجموعة دون أن تكون داخلية ( $1$ )، وقد تكون ملتصقة دون أن تنتمي ( $0$ )، والنقطة المعزولة هي حافة نفسها ( $2$ ). ويجري مسك الدفاتر نفسه حرفيًا في أي فضاء متري، بكرات بدل الفترات.

مثال 4.19 (المسافات بين المجموعات: التراص يستحق أجره)

لتكن $K$ متراصة و $F$ مغلقة، مع $K \cap F = \emptyset$ ، في فضاء متري. عندئذٍ

d(K, F) = \inf\,\{d(x, y) : x \in K,\ y \in F\} > 0 :

فالدالة $x \mapsto d(x, F)$ متصلة (التمرين 4.11) وموجبة على $K$ (إذ إن $d(x, F) = 0$ يضع $x \in \overline F = F$ )، ومن ثم تبلغ حدًّا أدنى موجبًا على المتراص $K$ (المبرهنة 4.16 (3)). وليس التراص زينة: فمن أجل مجموعتين مغلقتين قد ينعدم الحدّ الأدنى دون أن يُبلغ — ففي $\R^2$ ، القطعُ الزائد $F_1 = \{xy = 1\}$ والمحور $F_2 = \{y = 0\}$ مجموعتان مغلقتان منفصلتان مع $d(F_1, F_2) = 0$ (فالنقاط $(n, \frac1n)$ تقترب من المحور). والهرب إلى اللانهاية هو بالضبط ما يمنعه التراص.

প্রসঙ্গসহ পড়ো ←

উদাহরণ

সম্পর্কিত পরিভাষা-শব্দ