ما معنى الهرم والمخروط؟

مثال 62.2 (عدّ الأوجه والأحرف والرؤوس)

الهرم ذو القاعدة المربعة له $5$ أوجه ($1$ مربع $+ 4$ مثلثات)، و $8$ أحرف، و $5$ رؤوس. ومع قاعدة ذات $n$ ضلعًا: $n + 1$ وجهًا، و $2n$ حرفًا، و $n + 1$ رأسًا. وتحقّق من نمط أويلر الصغير: الأوجه $+$ الرؤوس $=$ الأحرف $+ 2$.

مثال 62.5

هرم قاعدته مربعة طول ضلعها $5$ سم واِرتفاعه $9$ سم:

1. مساحة القاعدة: $B = 5^2 = 25$ سم$^2$؛
2. والحجم: $V = \frac13 \times 25 \times 9 = 25 \times 3 = 75$ سم$^3$.

ومخروط مثلجات نصف قطره $3$ سم واِرتفاعه $10$ سم:

مثال 62.6 (اِنتبه للارتفاع)

في المخروط، لا تخلط بين الارتفاع $h$ (من القمّة إلى مركز القاعدة، عموديًّا) والطول المائل $s$ (من القمّة إلى الحافة). وترتبط بينهما مبرهنة فيثاغورس (المبرهنة 58.1) في المثلث القائم الزاوية قمّة–مركز–حافة:

ومنه فالمخروط الذي فيه $r = 3$ و $s = 5$ اِرتفاعه $h = \sqrt{25 - 9} = 4$، وحجمه $\frac13 \pi \times 9 \times 4 = 12\pi$.