62الأهرام والمخاريط

حل المسألة 62.1.

1. الرأس $G$ ينتمي إلى الوجه الأعلى $EFGH$ وإلى الوجهين الجانبيين $BCGF$ و $DCGH$. والأوجه الثلاثة التي لا تحوي $G$ هي الأسفل $ABCD$، والأمام $ABFE$، والوجه الأيسر $ADHE$ (وهي كلها تشترك في الرأس $A$، وهو الركن المقابل للرأس $G$). والأهرام الثلاثة هي $ABCDG$ و $ABFEG$ و $ADHEG$: لكل منها وجه مربع من المكعب قاعدةً والرأس البعيد $G$ قمّةً. وكل واحد هرم ذو قاعدة مربعة: $5$ أوجه، و $8$ أحرف، و $5$ رؤوس (المثال 62.2).

2. القطر الطويل $[AG]$ يصل الرأسين الوحيدين اللذين لا ينتميان إلى أيّ من القواعد الثلاث. وإدارة بثلث دورة حول المستقيم $(AG)$ ترسل المكعب إلى نفسه (فالأحرف الثلاثة الخارجة من $A$ — نحو $B$ و $D$ و $E$ — تُخلط في دورة، وكذلك الأحرف الثلاثة الواصلة إلى $G$). وهي تحمل القاعدة $ABCD$ إلى $ADHE$، ثم $ADHE$ إلى $ABFE$، وترجع: فالقمم ثابتة عند $G$، والقواعد تدور. ومنه يُحمل كل هرم على الذي يليه: فالثلاثة نسخ متطابقة.

3. ثلاث قطع متطابقة تملأ المكعب تتقاسم حجمه بالتساوي:

4. الهرم $ABCDG$ قاعدته $ABCD$، ومساحتها $a^2$، وقمّته $G$ تقع عموديًّا فوق الركن $C$، على اِرتفاع $CG = a$ (وهو حرف عمودي من المكعب). وكما في التمرين 62.11، تنطبق الصيغة بالارتفاع العمودي $h = a$:

في توافق تامّ مع السؤال 3 — فالتفكيك والصيغة يؤكد كل منهما الآخر.

5. من أجل $a = 6$: $V = \frac{6^3}{3} = \frac{216}{3} = 72$ سم$^3$ لكل واحد. و تجربة سكب الماء هي هذا التفكيك مسيَّلًا: فالموشور فوق القاعدة $ABCD$ باِرتفاع $a$ هو المكعب نفسه، وهو يسع ثلاث ملآت من الهرم بالضبط — وهنا تتجمّع الملآت الثلاث هندسيًّا أيضًا في المكعب.

6. وصل المركز $O$ بأركان كل وجه الأربعة ينتج ستة أهرام، واحدًا لكل وجه: قاعدة مربعة، وقمّة $O$. والمركز موضوع بالتساوي بالنسبة إلى الأوجه الستة (فأيّ دوران أو تماثل للمكعب يثبّت $O$ ويبدّل الأوجه)، إذن الأهرام الستة متطابقة. واِرتفاع كل واحد هو بُعد $O$ عن وجه: أي نصف الضلع، $\frac{a}{2}$.

7. ست قطع متطابقة تتقاسم المكعب: أي $V = \frac{a^3}{6}$ لكل واحدة.

8. بالصيغة: مساحة القاعدة $a^2$، والارتفاع $\frac a2$:

والجوابان متوافقان.

9. يخصّ التفكيكان أهرامًا ذات نسب خاصّة جدًّا منحوتة من مكعب؛ أما الهرم النحيل، أو المائل، أو المخروط، فلا يمكن تركيبه بهذه الطريقة (فلا ثلاثة مخاريط تملأ أسطوانة). ولهذا كانت المبرهنة 62.3 مقبولة في هذا المستوى: فالتفكيكات وتجربة سكب الماء تجعل العامل $\frac13$ معقولًا تمامًا، والبرهان العامّ الأمين — وهو التكامل — يُعطى في مجلّد المرحلة الثانوية.

10. $V = \frac{6^3}{6} = 36$ سم$^3$؛ وبالصيغة، $V = \frac13 \times 36 \times 3 = 36$ سم$^3$. وهما متوافقان.

11. في المثلث $SAB$، يوصَل بين منتصفَي الضلعين $[SA]$ و $[SB]$ بقطعة موازية للمستقيم $(AB)$ و طولها $\frac{AB}{2} = \frac{c}{2}$ (المبرهنة 59.1). والشيء نفسه يصحّ في كل وجه جانبي، إذن تكوّن المنتصفات الأربعة مربعًا طول ضلعه $\frac c2$، وأضلاعه موازية للقاعدة. وعلى المستقيم العمودي المارّ بالقمّة، يمرّ المقطع في منتصف الارتفاع (بمبرهنة المنتصفين من جديد، في مثلث يمرّ بالقمّة $S$ ومركز القاعدة ورأس من القاعدة): فيقع مستوي القطع على اِرتفاع $\frac h2$.

12. القطعة العليا هرم منتظم ذو قاعدة مربعة طول ضلعها $\frac c2$ واِرتفاعه $\frac h2$ (فقاعدته هي المقطع، وقمّته هي $S$). وحجمه

أي ثُمن الأصلي — لا نصفه.

13. يحتفظ جذع الهرم بالباقي: $V - \frac V8 = \frac{7V}{8}$. فقطع نصف الارتفاع يتقاسم الحجم بنسبة $1 : 7$ — فالبلاطة السفلى المتواضعة المظهر تحمل سبعة أمثال حجم القمّة المدبّبة.

14. يقع تحت نصف الارتفاع $\frac78$ من الحجم. ومع $V = \frac13 \times 35^2 \times 22 = \frac{26\,950}{3} \approx 8\,983$ م$^3$ (التمرين 62.7):

إلى أقرب مئة — فحملة «النصف السفلي» تنظّف نحو ثمانية أمثال حجم زجاج الحملة العليا.

15. مضاعفة كل بُعد تضرب مساحة القاعدة في $2^2 = 4$ والارتفاع في $2$، ومنه الحجم في $4 \times 2 = 8 = 2^3$. والتكبير بالمعامل $k$ يضرب المساحات في $k^2$ وطولًا آخر في $k$: فتنمو الحجوم بالمعامل $k^3$. و القطعة العليا في السؤال 12 نسخة مكبّرة من الهرم كله بالمعامل $k = \frac12$، إذن حجمها $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ من الكلّ — وهو التفسير في سطر واحد.